山西省运城市届高考数学二模试卷理(含解析)【含答案】

2015年山西省运城市高考数学二模试卷（理科）一、选择题共12小题，每小题5分，共60分1．“m=±1”是“复数（1﹣m2）+（1+m）i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．已知集合M={（x，y）|y=x2+1}，N={（x，y）|y=x+1}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）} C．{y|y=1或y=2} D．{y|y≥1} 3．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0 D．4．一已知函数f（x）=cos（ωx+φ﹣）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z}} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}}5．设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13 B．6 C．79 D．376．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S19＞0，S20＜0，则，，，…，中最大项为（）A．B．C．D．7．棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．8．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．D．9．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（0，2）10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为（）A．5 B．4 C．3 D．211．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（）A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或1112．已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（e）=，则f（x）在（0，+∞）上的单调性为（）A．先增后减 B．单调递增 C．单调递减 D．先减后增二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则= ．14．若x，y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a 的取值范围是．15．函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min{a，b}=，若动直线y=m与函数y=f （x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1•x2•x3最大值为．16．设{a n}是公比为q的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）0＜q＜1；（2）T198＜1；（3）a99a101＜1；（4）使T n＜1成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为．三、解答题，共5小题，满分60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2（）+3cos2C=3．（1）求cosC；（2）若B=，2=，求tan∠ABM．18．为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高子”才担任“礼仪小姐”．（1）求12名男志愿者的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从所有“高个子”“非高个子”中共抽取5人，再从这5个人中选2人，那么至少有一个是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个了”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．19．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，定点P（，1），直线OP交椭圆C于点Q（其中O为坐标原点），且||=||．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（2，0），过点（﹣1，0）的直线l交椭圆C于M、N两点，△AMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MAN恒成立，求λ的最小值．21．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．四、选考题。

【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数，α≠kπ，k∈Z）经过椭圆C：（φ为参数）的左焦点F．（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值；（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）+2a﹣1≥f（x+a）．2015年山西省运城市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共12小题，每小题5分，共60分1．“m=±1”是“复数（1﹣m2）+（1+m）i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合纯虚数的概念进行判断即可．【解答】解：若复数（1﹣m2）+（1+m）i为纯虚数，则满足，即，解得m=1，当m=﹣1时，复数（1﹣m2）+（1+m）i=0为实数，不是纯虚数，即“m=±1”是“复数（1﹣m2）+（1+m）i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的必要不充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据纯虚数的概念是解决本题的关键．2．已知集合M={（x，y）|y=x2+1}，N={（x，y）|y=x+1}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）} C．{y|y=1或y=2} D．{y|y≥1}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接联立方程组求得方程组的解集得答案．【解答】解：由M={（x，y）|y=x2+1}，N={（x，y）|y=x+1}，得M∩N={（x，y）|}={（0，1），（1，2）}．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．3．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．0 D．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=2；当i=2时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=3时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=3；当i=4时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=5；当i=5时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=6；当i=6时，执行完循环体后：S=0，满足继续循环的条件，故i=7；当i=7时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=8；当i=8时，执行完循环体后：S=，满足继续循环的条件，故i=9；当i=9时，执行完循环体后：S=，不满足继续循环的条件，故输出结果为，故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．一已知函数f（x）=cos（ωx+φ﹣）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z}} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}}【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：f（x）=cos（ωx+φ﹣）=sin（ωx+φ），则，即函数f（x）的周期T=π，即T==π，∴ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=，解得φ=﹣，即f（x）=sin（2x﹣），则y=f（x+）=sin=sin（2x+），由2x+=﹣+2kπ，解得x=kπ﹣，k∈z，即y=f（x+）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈z}，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数最值的求解，利用图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键．5．设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13 B．6 C．79 D．37【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为•（﹣2）+•（﹣5）=﹣16，可得2m+5n=16 ①．再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，故含x2项的系数是•（﹣2）2+•（﹣5）2=37，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S19＞0，S20＜0，则，，，…，中最大项为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的前n项和的公式分别表示出S19＞0，S20＜0，然后再分别利用等差数列的性质得到a10大于0且a11小于0，得到此数列为递减数列，前10项为正，11项及11项以后为负，由已知的不等式得到数列的前1项和，前2项的和，…，前19项的和为正，前20项的和，前21项的和，…，的和为负，所以得到b11及以后的各项都为负，即可得到b10为最大项，即可得到n的值．【解答】解：由S19==19a10＞0，得到a10＞0；由S20==10（a10+a11）＜0，得到a11＜0，∴等差数列{a n}为递减数列．则a1，a2，…，a10为正，a11，a12，…为负；S1，S2，…，S19为正，S20，S21，…为负，则＜0，＜0，…，＜0，又S10＞S1＞0，a1＞a10＞0，得到＞＞0，则最大．故选C【点评】此题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的性质，以及数列的函数特性，数熟练掌握等差数列的性质及求和公式是解本题的关键．7．棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为2的正方体的一部分，由此求出该几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为2的正方体被平面分成体积相等的两部分中的一部分，如图所示；所以该几何体的体积为×23=4．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键根据三视图得出几何体的结构特征是什么．8．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．【点评】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．9．若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（0，2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题．【分析】先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）的图象判断导函数f'（x）的正负进而得到m的关系得到答案．【解答】解：f′（x）==由图知m﹣2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，又＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，故选C【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．10．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设AB的中点为H，求出准线方程，设A，B，H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，运用抛物线的定义可得H的横坐标为2，设出直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得k的范围，由中点坐标公式解得k=﹣2，再求直线AB的中垂线方程，令y=0，即可得到所求值．【解答】解：设AB的中点为H，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线为x=﹣1，设A，B，H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，则|HH'|=（|AA'|+|BB'|），由抛物线的定义可得，|AF|=|AA'|，|BF|=|BB'|，|AF|+|BF|=6，即为|AA'|+|BB'|=6，|HH'|=×6=3，即有H的横坐标为2，设直线AB：y=kx+3，代入抛物线方程，可得k2x2+（6k﹣4）x+9=0，即有判别式（6k﹣4）2﹣36k2＞0，解得k＜且k≠0，又x1+x2==4，解得k=﹣2或（舍去），则直线AB：y=﹣2x+3，AB的中点为（2，﹣1），AB的中垂线方程为y+1=（x﹣2），令y=0，解得x=4，故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查两直线垂直的条件和中点坐标公式的运用，属于中档题．11．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（）A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】小球在长方体容器内，且与共点的三个面相接触，则小球的球心A到三个接触面的距离相等，小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，若以三个面的交点为坐标原点，分别以其中两个面的交线为坐标轴建立空间直角坐标系后，球心和小球上的点的坐标可知，向量和的坐标可求，由向量减法的三角形法则可得向量，向量的模就是小球的半径，由半径相等列式可求这只小球的半径．【解答】解：如图，设长方体的三个面共点为O，以OE，OF，OG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心A（r，r，r），又因为小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，所以点为P（5，4，5），则=（r，r，r），=（5，4，5），由=（5﹣r，4﹣r，5﹣r）．∴||2=（5﹣r）2+（4﹣r）2+（5﹣r）2=r2，即r2﹣14r+33=0，解得：r=3或r=11．故选D．【点评】本题考查了球外切多面体，考查了空间点、线、面间的距离的计算，利用空间向量处理该题起到事半功倍的效果，属中档题．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（e）=，则f（x）在（0，+∞）上的单调性为（）A．先增后减 B．单调递增 C．单调递减 D．先减后增【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】根据得到x2f′（x）+2xf（x）=lnx，从而得到′=lnx，从而x2f（x）=xlnx﹣x+c，由条件f（e）=即可求出c，从而求出f（x），然后求导，根据导数符号即可判断f（x）的单调性．【解答】解：∵；∴x2f′（x）+2xf（x）=lnx；∴′=lnx；∴x2f（x）=xlnx﹣x+c；∵；∴；∴；∴；∴；∴；令g（x）=2x﹣xlnx﹣e，g′（x）=1﹣lnx；∴x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0；∴g（e）=0是g（x）的最大值；∴f′（x）≤0恒成立；∴f（x）是减函数．故选：C．【点评】考查积的导数和商的导数的计算公式，已知一个函数的导函数，可以写出这个函数的解析式，根据函数导数求函数最值的方法与过程，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，注意正确求导．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则= 8 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量加减法的坐标运算求出向量的坐标，利用平行四边形对边相等，得到向量的关系，求出向量，的坐标，进行数量积的运算．【解答】解：因为平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），所以==（﹣1，﹣1）=，=（﹣3，﹣5），所以=（﹣1，﹣1）•（﹣3，﹣5）=3+5=8；故答案为：8．【点评】本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积的坐标运算；关键是求出向量的坐标．14．若x，y满足条件，当且仅当x=y=3时，z=ax﹣y取最小值，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出可行域，根据题中条件目标函数z=ax﹣y （其中a＞0），在（3，3）处取得最大值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件即可求出a的取值范围【解答】解：条件对应的平面区域如图：因为目标函数z=ax﹣y （其中a＞0），仅在（3，3）处取得最大值，令z=0得ax﹣y=0，所以直线ax﹣y=0的极限位置应如图所示，故其斜率 k=a需满足⇒﹣＜a＜．故答案为：（﹣，）．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，以及数形结合、等价转化的思想．15．函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min{a，b}=，若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1•x2•x3最大值为 1 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，通过解方程可用m把x1，x2，x3分别表示出来，利用基本不等式即可求得x1•x2•x3的最大值．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示：由，解得A（4﹣2，2﹣2），由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2．不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，且2﹣m＞0，m+2＞0，∴x1•x2•x3=•（2﹣m）•（2+m）=•m2•（4﹣m2）≤==1，当且仅当m2=4﹣m2．即m=时取得等号，∴x1•x2•x3存在最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．16．设{a n}是公比为q的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）0＜q＜1；（2）T198＜1；（3）a99a101＜1；（4）使T n＜1成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为（1）、（3）、（4）．【考点】等比数列的性质．【分析】首先判断数列的单调性，然后再根据等比数列的性质进行分析判断．【解答】解：根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100﹣1＞0，可知该等比数列的公比是正值，再根据可知，a99，a100一个大于1，一个小于1，而a1＞1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0＜q＜1，而且a99＞1，a100＜1，又a99a101=a1002＜1，（1）（3）正确；T198=a1a2••a99a100••a197a198=（a99a100）99＞1，（2）不正确；T199=a1a2••a100••a198a199=（a100）199＜1，故（4）正确．故答案为：（1）、（3）、（4）．【点评】本题设置开放性的结论，综合考查等比数列的性质以及分析问题的能力，试题比较符合高考命题的趋势．在等比数列中最主要的性质之一就是a m+a n=a p+a q⇔m+n=p+q（m，n，p，q∈N*）．三、解答题，共5小题，满分60分17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2（）+3cos2C=3．（1）求cosC；（2）若B=，2=，求tan∠ABM．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正切函数．【专题】解三角形．【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式求得cosC的值．（2）设出BC，则AB，AC，AM，CM可知，利用余弦定理求得BM，进而利用正弦定理求得sin∠CBM，则cot∠CBM可求得，最后利用诱导公式求得答案．【解答】解：（1）8sin2（）+3cos2C=8•+3cos2C=4﹣4cos（A+B）+3cos2C=4+4cosC+3cos2C=3，∴3cos2C+4cosC+1=0，∴6cos2C+4cosC﹣2=0，∴cosC=﹣1或，故cos=．（2）如图：B=，cosC=，做MN∥BC，交AB于点N，设BC=t，则AC=3t，AM=t，CM=2t，AB=2t，又由MN∥BC，则MN=BC=，NB=AB=t，tan∠ABM==4．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题过程中运用了转化的思想，求得cosC的值是关键．18．为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高子”才担任“礼仪小姐”．（1）求12名男志愿者的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从所有“高个子”“非高个子”中共抽取5人，再从这5个人中选2人，那么至少有一个是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个了”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）由茎叶图能求出12名男志愿者的中位数．（2）由题意及茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，利用对立事件即可．（3）由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知ξ的取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，有期望的公式求出即可． 【解答】解：（1）由茎叶图知12名男志愿者的中位数为：=177（cm ）．（2）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是=，所以选中的“高个子”有12×=2人，“非高个子”有3人．用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，则P （A ）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“高个子”的概率是．（3）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，P （ξ=3）==．因此，ξ的分布列如下：∴E ξ==1．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．解题时要注意茎叶图的合理运用．19．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=．（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；（2）求平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连结AC、BE，交点为G，由已知得AC⊥BE，且AG=CG=，AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】解：（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，∵ABCDEF是边长为2的正六边形，∴AC⊥BE，且AG=CG=，在多面体中，由AC=，得AG2+CG2=AC2，∴AG⊥GC，又GC∩BE=G，GC，BE⊂平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，又AG⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．（2）解：以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得AG=CG=，BG=1，GE=3，则A（0，0，），B（0，﹣1，0），C（），D（），E（0，3，0），F（0，2，），=（0，﹣1，﹣），=（），=（），==（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得，， =（﹣，0，），设平面DEF的一个法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）为θcosθ=|cos＜＞|==，∴平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值为．【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，定点P（，1），直线OP交椭圆C于点Q（其中O为坐标原点），且||=||．（1）求椭圆C的方程；（2）设A（2，0），过点（﹣1，0）的直线l交椭圆C于M、N两点，△AMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MAN恒成立，求λ的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意知a2=2b2，直线OP的方程为y=x，与+=1联立可解得|x|=b，从而求椭圆C的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）；分直线l垂直于x轴时与直线l不垂直于x轴时讨论，从而可得•≤；从而化恒成立问题为最值问题求解即可．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，∴a2=2b2，由题意知，直线OP的方程为y=x，与+=1联立解得，|x|=b，又∵||=||，∴===，∴a=，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）；当直线l垂直于x轴时，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2， =，故=（x1﹣2，y1）=（﹣3，y1），=（﹣3，﹣y1），故•=9﹣=，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x+1），与+y2=1联立消y可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，故x1+x2=﹣，x1x2=，故•=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）x1x2+（k2﹣2）（x1+x2）+k2+4=﹣＜；综上所述，•的最大值为．∵不等式S≤λtan∠MAN恒成立，即||•||sin∠MAN≤λtan∠MAN恒成立，又∵•=﹣＞0，∴•≤2λ恒成立，故λ的最小值为．【点评】本题考查了圆锥曲线的方程的求法与应用，同时考查了平面向量的数量积的应用及恒成立问题，同时考查了学生的化简运算能力，属于难题．21．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x）==，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）=ln﹣+ln（1+ax2）﹣=ln﹣=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）=lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．四、选考题。