高中数学 无穷集合论的创立
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
它起源于19世纪末的数学基础危机中，由德国数学家乔治·康托尔创立。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括康托尔的贡献、集合论公理化、集合论的扩展以及应用领域。
2. 康托尔的贡献乔治·康托尔是集合论的奠基人，他首次提出了集合的概念，并研究了无穷集合的性质。
他首先定义了集合的基本概念，即由一些确定的对象组成的整体。
康托尔还引入了集合的基数概念，用来比较集合的大小。
他证明了有些无穷集合的基数比自然数集合的基数还大，从而引发了数学界的震动。
3. 集合论公理化为了确立集合论的严密性，数学家们开始努力将集合论公理化。
在20世纪初，数学家弗雷格和罗素分别提出了集合论的公理系统，但后来发现存在悖论，即罗素悖论。
这一悖论揭示了集合论的一些困难，迫使数学家们重新审视集合论的基础。
在此基础上，数学家祖尔菲提出了集合论的公理化方法，他通过限制集合的构造方式，避免了悖论的产生。
他的公理化系统成为了后来集合论的基础。
此后，数学家们不断完善集合论的公理系统，确立了集合论的严密性和可靠性。
4. 集合论的扩展随着集合论的发展，数学家们开始研究更为复杂的集合结构。
例如，康托尔研究了连续统假设，即不存在介于可数集合和实数集合之间的集合。
此外，数学家还研究了集合的运算、拓扑学中的集合论、模型论中的集合论等等。
5. 集合论的应用领域集合论在数学中有广泛的应用，同时也渗透到其他学科领域。
在数学中，集合论被用于数理逻辑、代数、拓扑学、数论等各个分支中。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于算法设计、数据库理论、人工智能等领域。
在物理学、经济学和社会科学中，集合论被用于建立数学模型和分析问题。
6. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了从康托尔的奠基到公理化的发展过程。
通过严密的公理化系统，集合论的基础得以确立。
随着集合论的发展，它在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。
《无穷集合论的创立》课件-优质公开课-人教A版选修3-1精品
写作的年份
涵盖的事件 1720 1700年1月1日 1721 1700年1月2日 1722 1700年1月3日 …… …… 但是，每一天对应于一年，每一年对应于一天。对 于任何一天，在未来都由指定的一年去记录它，绝 无例外。“香迪的传记不会遗漏任何部分。” 罗素的香迪悖论在常识看来不可思议。事实上，当 我们逐渐了解集合论中的无穷观点后，就可以明白 这一论证是正确的，并无荒谬之处。
随着实数不可列性质的确立，康托又提出一个新的，
更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上 的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说， 平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己 起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：平面 和直线之间可以建立一一对应，证明简述为 在区间(0,1)内的点都可以表示成一个无穷小数，比 如0.2574892…… 如果是1/4，可以表示成0.25000000……。 以0.257489257621……为例
实数不可数集
（局部化思想） 在（0，1）上考虑 实数可表示为 0. a1 a2 a3 a4 … ai 为非负整数 反 1 0. a11 a12 a13 a14…… 证 2 0. a21 a22 a23 a24 …… 法 3 0. a31 a32 a33 a34 …… …… 令 b=0. b1b2 b3b4 …… 当 aii =5，bi =4； 当 aii ≠5 b =5 。 i b=0. ak1 ak 2 ak 3 ak 4 … akk… akk = bk 矛盾！
只需证明区间(0,1)和单位正方形上的点一样多即可。
我们把它的奇数位和偶数位分别取出来
得到两个新的数0.278272……和0.549561……
Georg Cantor
集合论的创立者是Georg Cantor， Cantor对集合所下的定义是一些确定 的，不同东西的总体，这些东西使人 能意识到并判断一个给定的东西是否 属于这个总体。对Cantor来说，如果 一个集合能够和它的一部分构成一一 1845.3.3－1918.1.6 对应，它就是无穷的。当他把全体自 然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个 构造完成了的东西,这样他就肯定了实无穷。他定义 了基数,可数集合（凡是能和自然数集一一对应的集 合都称作可数集，也叫可列集）等概念。
无穷集合论的创立
不朽的康托尔
由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集 合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认 识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统 和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性， 使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透 到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构， 促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展， 成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等 理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。
第八讲
8.2
无穷集合论的创立
建水六中 谭梅
建立集合理论的最早尝试
捷克哲学家、数学家 1796年入布拉格大学哲学院 攻读哲学、物理学和数学 1800年又入神学院， 1805年 任该校宗教哲学教授。 815年成为波希米亚皇家学会 的会员，1818年任该校哲学 院院长。
波尔查诺
波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解,在《无穷的悖论》 (1851)中,
不朽的康托尔
1884年，由于连续统假设长期得不到证明， 再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打 击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。 他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论， 从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不 能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总 变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。
他坚持了实无穷集合的存在性 强调了两个集合的等价概念（即两集合元素间存在一一对应） 注意到无穷集合的一部分或子集可以等价于整体。
12 例： 0到5之间的实数通过公式y x，可以与0到12之间的 5 数构成一一对应，虽然第二的集合包含了第一个集合。
还指出，对于无穷集合，可以指定一种数叫超限数，使不 同的无穷集合有不同的超限数，这样就使不同的无穷集合 也能比较元素的多少。不过，根据后来的康托尔的理论， 关于超限数的指定是不正确的。
集合论的产生
(转自育才数学网)康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。
是数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一。
19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。
然而数学的发展最终证明康托是正确的。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。
1.康托尔的生平1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。
像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。
他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。
这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。
康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。
所以在柏林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。
他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。
1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。
数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。
这篇文章的创造性引起人们的注意。
在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
2.集合论的背景为了较清楚地了解康托在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。
集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。
数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。
集合论的诞生与发展
集合论的诞生与发展集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。
但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。
（一）早期研究集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。
集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。
例如美国国会图书馆的全部藏书，自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。
集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。
早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。
公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个悖论，其中关于运动的四个悖论：二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名，前三个悖论都与无穷直接有关。
芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念，但问题的实质却与无穷集合有关。
在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。
希腊哲学家亚里士多德（前384－前322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。
他认为只存在潜在无穷，如地球的年龄是潜在无穷，但任意时刻都不是实在无穷。
他承认正整数是潜在无穷的，因为任何正整数加上1总能得到一个新数。
对他来说，无穷集合是不存在的。
哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内，如同下了一道禁令，谁敢冒天下之大不韪，以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。
公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯（410－485）是欧几里德《几何原本》的著名评述者。
他在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。
为了解释这个在许多人看来是一个矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。
集合论中的无穷集合与基数理论
集合论中的无穷集合与基数理论集合论是数学中的一个重要分支，研究集合及其性质以及集合之间的关系。
在集合论中，无穷集合和基数理论是两个核心概念。
本文将介绍无穷集合和基数理论的基本概念和性质，并探讨它们在数学中的应用。
一、无穷集合的概念及性质无穷集合是指元素个数不可数的集合。
与有穷集合不同，无穷集合的元素个数无限。
著名的数学家康托尔提出了无穷集合的概念，并对无穷集合进行了深入研究。
在无穷集合中，存在着不同的无穷性质。
例如，自然数集合N就是一个无穷集合，因为它的元素个数是无限的。
但是，N与实数集R之间存在着不同的无穷性质。
根据康托尔的对等性原理，如果两个集合之间存在一一对应关系，即可以用一个集合的元素与另一个集合的元素一一对应，那么这两个集合具有相同的基数（也称为势或者无穷基数）。
康托尔利用对等性原理定义了不同程度的无穷性，即不同基数的无穷集合。
根据康托尔的对等性原理，N与R之间是不存在一一对应关系的，即N与R具有不同的基数。
具体地说，N的基数被称为可数基数，而R的基数被称为不可数基数。
无穷集合的研究不仅仅关注元素个数的多少，还关注基数的大小与比较。
二、基数理论的概念及性质基数理论是研究集合基数的数学理论。
基数是描述集合大小的量度，用来比较不同集合的元素个数多少。
在基数理论中，康托尔引入了基数的概念，并对基数进行了系统的研究。
对于任意一个集合，都存在着一个唯一的基数来描述它的大小。
基数用符号|A|表示，其中A是一个集合。
根据对等性原理，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么它们具有相同的基数。
所以，基数是一个集合的本质特征。
在基数理论中，最小的基数是零基数，用符号0表示。
零基数表示一个集合中没有元素。
而最大的基数则是连续基数，用符号c表示。
连续基数是指实数集R的基数，代表了无限个元素的集合。
根据康托尔的基数偏序原理，对于任意两个基数a和b，存在着三种可能的关系：a小于b、a等于b或者a大于b。
基数的大小关系与集合的包含关系是相关联的，但不完全相同。
无穷集合论的创立
无穷集合论的创立【教学目标】1．知识与技能了解无穷集合论的创立的相关内容。
2．过程与方法用通俗易懂的语言，深入浅出地介绍该节课的基本教学内容及其基本思想。
引导学生简述相应的教学内容。
在学习过程中，可以针对学生的实际情况，布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。
3．情感、态度与价值观让学生对于数学的科学价值和文化价值有更多的认识，开阔学生的视野，从数学的发展或从一个具体的数学分支，来认识数学的魅力和价值。
【教学重难点】重点：无穷集合论的创立的相关内容的了解。
难点：简述无穷集合论的创立的过程。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习无穷集合论的创立。
我们主要了解它的具体内容。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解无穷集合论的创立的内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习建立集合理论的最早尝试。
早在康托尔之前，捷克数学家波尔查诺就已经为建立集合理论做出了努力。
在波尔查诺去世三年后，他的遗作《无穷悖论》一书出版。
该著作表明，他是第一个向着建立集合明确理论的方向采取积极步骤的人。
波尔查诺支持实无穷集合的存在，并且强调了两个集合等价的概念，这就是后来所说的两个集合元素之间的一一对应关系。
这个等价概念，适用于有限集合，同样也适用于无穷集合。
他注意到无穷集合的一部分或子集可以等价于整体，他坚持必须接受这个事实。
波尔查诺还指出，对于无穷集合，可以指定一种数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数，这样就使得无穷集合也可以比较元素的多少。
不过，根据后来康托尔的理论，波尔查诺关于超限数的指定是不正确的。
（3）接着，我们再来看康托尔的集合思想的内容。
康托尔的集合论思想分散在许多文章中，这些文章从1874年开始分别发表在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》上。
下面我们简要地介绍一下他的思想。
康托尔给出了集合论中的一系列概念，首先是集合（Set）概念，他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《无穷集合论的创立》
数学给人类创造了
思想的完美 物质的完美 精神的完美
学习数学,
你将完美
并能 创造完美!
现实的完美
未来的完美
“离经叛道”的理论受到来自四面八方的攻击
菲利克斯．克莱因
庞加莱
克罗内克
有远见的数学家
戴得金
米塔-列夫勒
希尔伯特
在40岁的时候，他患了抑郁症，在他生命的最后
几十年里，这种精神病时时发作，使他不得不经常
住到精神病院的疗养所去。长期的精神折磨所造成 的危害是不容忽视的。由于健康状况逐渐恶化， 1918年，他在哈雷大学附属精神病院去世。
康托尔创造的精神乐园
康托尔的集合论为数学史翻开了崭新的一页。集
合论是现代数学中重要的基础理论。如果没有集合论 的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.所以集 合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且 对现代数学的发展也有深远的影响…
旧知链接
1.元素与集合的概念
2.集合中元素的特征
3.集合的表示方法
4.集合之间的关系
5.集合的分类
6.常用数集
小组合作交流研究
封闭曲线的点一样多
演示表明:两个圆(甚至是封闭曲线)长 度构造一个图形，使有限长度线段上的点与无限 长度直线上的点一一对应。
学生谈感悟
科学的发现和发展在于：
善于学习，善于积累，
善于观察，善于提问，
不朽的康托尔：
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大
的数学家，集合论的创立者，是数学史上最
富有想象力，最有争议的人物之一。
他所创立的集合论被誉为20世纪最伟
大的数学创造。
11岁时移居德国的法兰克福。他对数学表
现出强烈兴趣和非凡天才，数学成了他的终身
《无穷集合论的创立》课件人教版1
➢给出了集合（set）的概念 集合为一些确定的﹑不同的东西的总
体，这些东西人们能意识到，并且能判断 一个给定的东西是否属于这个总体.
➢明确指出那些认为只有潜无穷集合的 人是错误的.
➢如果一个集合能够和它的一部分构成 一一对应，那么它就是无穷的.
➢将集合论的概念推广到了n维欧几里得 空间的点集.
两个元素能够一一对应的集合，称
随堂练习
建立“无穷集合论”的数学家是
（ D）
A.费马
B.欧拉
C.高斯
D.康托尔
《无穷集 合论的 创立》 课件人 教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
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《无穷集 合论的 创立》 课件人 教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
《无穷集 合论的 创立》 课件人 教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
“康托尔不朽的功绩在于向无限冒 险前进.”
数
————科尔莫格洛夫
史
留
“我的理论坚如磐石，任何想要
言 动摇它的人都将搬起石头砸自己的
脚…更重要的是，我已追溯到这一理
《无穷集 合论的 创立》 课件人 教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
《无穷集 合论的 创立》 课件人 教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
中学阶段便激发了对数学的热爱，定下 决心投身纯粹数学，并为之不断努力.中学毕 业时，学校的评语是这样的：
“六年一班学生康托尔是一个有很高天 赋，发展全面的学生，在数学方面尤为突出， 具备了出色的从事自然科学研究的预备知识 和能力.”
《无穷集 合论的 创立》 课件人 教版1- 精品课 件ppt( 实用版)
人教版高中选修3-1二无穷集合论的创立课程设计
人教版高中选修3-1：二无穷集合论的创立课程设计一、教学目标1.知识目标：本课程旨在使学生了解二无穷集合论的起源、概念以及相关定理与公理，掌握集合论中的基本概念和运算方法，进一步拓宽学生对于集合论的认识。
2.能力目标：本课程要求学生通过学习，进一步提高自身的抽象思维能力、逻辑推理能力和问题解决能力，培养学生的实践能力和创新精神。
3.情感目标：本课程将注重发掘学生在思想、态度、意志等方面的内在潜力，提升学生的个性素质和人文精神，培养学生的团队合作和沟通能力，提高学生的社会责任感和公益意识。
二、教学重点和难点1.教学重点：•掌握二无穷集合论的相关概念和基本定理；•学会列举不同大小的集合之间的映射；•理解二无穷具有比一无穷更加复杂的性质。
2.教学难点：•理解二无穷所表达的深刻概念；•掌握证明方法和技巧；•熟练应用集合论知识求解问题。
三、教学方法本课程将采用“讲授+讨论”、“实践演示+自主探究”、“启发式教学+小组合作”等教学方法，力求使学生在不断学习、思考和探究中培养独立思考和自主学习的能力。
四、教学内容1.集合的基本概念•集合的定义、运算及其性质•集合的表示法及其应用•集合的分类及其特征2.二无穷集合论的概述•无穷集合的概念及其性质•自然数集、整数集和有理数集的无穷性•二无穷集合论的起源和发展3.二无穷集合论的基本定理•更大的无穷性（康托尔定理）•阿列夫-伯努利定理•康托尔-伯恩斯坦定理4.不同大小的集合之间的映射•有限集合之间的映射•无限集合之间的映射•等势与不等势5.二无穷具有的复杂性质•二无穷不满足排列定理•二无穷中不存在最大元素•等势的集合可以非常奇怪五、教学手段本课程将使用多种教学手段和资源，包括：•教学PPT•经典例题讲解•互动讨论•小组合作计划设计•实践演示和自主探究•线上学习平台的课程资源和教学模式六、教学评估本课程将采用多元化的教学评估，包括课堂表现、小组作业、中期测验和期末考试等几个方面，对学生在知识掌握、思维能力、实践能力等方面全面评估，以便于更好地促进教学质量的提高和学生个体素质的全面提升。
高中数学新人教版A版精品教案《二 无穷集合论的创立》
《无穷集合论的创立》教案一、教学分析集合论的诞生来自于现今数学分析这门课程，微积分的创立成为了解决无穷问题的催化剂，因为微积分本身是不严密的，人们在为微积分寻找严密基础时发现，数学本身的严密化也是个问题，正是这样的情况下，关于无穷集合的许多问题无法回避。
19世纪末，一位年轻的德国数学家用无与伦比的超人智慧拨去笼罩在无穷几何上的重重迷雾，终于使人们看清了“无穷”的真面目，他就是“无穷集合论”的创始人康托尔（G.cantor）。
课程对康托尔思想和生平的介绍，不仅可以为学生展示数学家为研究无穷问题的艰难跋涉，同时让学生对高中阶段为什么一开始就学习集合进而学习函数，以及将来大学阶段学习的实变函数论，都有了一定的了解和理解。
康托尔的思想富有想象力和创造性，但同时他的理论仍有着至今悬而未解的谜题，这些会给充满求知欲和好奇心的高中学生带来广阔的想象空间，激发他们的求知欲和探索心。
我希望通过这堂课，让学生认识到，数学之美不仅在于高考，不仅是一个个死记硬背的技巧，而是它严密的逻辑推理，无限的想象和思考，以及为探索真理百折不挠的执着。
二、教学目标1、了解无穷集合论的创立过程和康托尔的生平2、理解集合论的内涵3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度。
三、教学重点：1.无穷集合论的创立过程2.康托尔的生平教学难点：对无穷集合论的内涵的理解四、教学过程（一）思考引入：对无穷（infinite)的困惑师：无穷是一个很容易想象却很难具体描述的概念，即使是小孩子也能很快地理解无穷这个概念，但数学家们却花了几千年的时间去研究如何遵循严格的逻辑论证去理解无穷。
下面让我们一起来看一看，那些曾经让数学家门困惑很久的谜题。
问题1.无穷的运算法则和自然数一样吗（1）？=+∞1 （2）？=∞+∞ （3）？=∞-∞师： 如果∞=+∞1，那么等式两边同时减去无穷，是不是得到0=∞-∞，如果∞=∞+∞，那么等式两边同时减去无穷，是不是得到∞=∞-∞，我们知道自然数加减一定能得出一个确定的答案，如果无穷减无穷的结果是不确定，那么是不是说明无穷不是自然数。
集合论的建立与发展
康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构
成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无 穷集合的一个本质特征。对康托来说，如果 一个集合能够和它的一部分构成一一对应， 它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概 念。并且证明了实数集是不可数的代数数是 可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇 题为《关于全体实代数数的特征》的文章中, 它标志着集合论的诞生。
形如anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x1＋ a0＝0（n≥1，an≠0）的某整系数代数 方程的复数。其中首项（最高次项）系 数为1的整系数代数方程的根则叫做“代 数整数”。 不满足上面定义的复数则为超越数
代数数及超越数
“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉 的夜空则由超越数构成。” ——数学史作家埃里克· 坦普尔· 贝尔
无穷集合论的建立
第一，肯定实无穷是数学理论发展的需要。 第二，无穷有其固有的本质，不能把有穷所具有的一切 性质都强加于无穷。 第三，有穷的认识能力可以认识无穷。
【集合论的诞生】 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。 1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他 对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不 论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整 体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元 素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信 中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
&集合论的建立
&集合论的发展
无穷是什么？
从一粒沙子看世界， 从一朵野花看苍穹， 把无穷掌握在你的手中， 把永恒掌握在顷刻之中。
威廉•布莱克（William Blake）英国著名诗人 诗作《天真的预言》（节选） --（阿基米德定义法）
集合论的创立与发展
三次数学危机与集合论的创立一、 前言每一门学科都有其自己的历史。
数学，常被认为是一门完善的自然学科也有着自己的发展历程。
同一切事物一样，数学在其发展的过程中，并非是一帆风顺的，而是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。
无论是概念还是体系，内容还是方法，理论还是应用，都是伴随着各种问题的斗争和解决而进步和发展的。
比如无理数，连续，无穷等概念的出现，没一个新问题的提出都刺激着数学的发展。
1、数学危机虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。
第一次危机是由无理数的发现引发的；第二次危机是由于无穷小量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产生的。
每一次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在矛盾的揭示，通过对其中逻辑矛盾的发现，启发人们对原有理论的缺陷或局限性进行思考。
危机的出现刺激着人们更加深入的研究，而每一次危机的解决都是对科学的进一步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。
正如人们常说，“危机是一种激化了的非解决不可的矛盾冲突，每一次危机都大大推动了数学的发展。
”2、集合论简介集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作用。
集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创立的。
集合论到现在已经被应用到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产生了很多数学分科。
3、集合论与数学危机的联系集合论的出现，使得第一第二次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。
而第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了矛盾，从而形成了更大的危机。
二、 三次数学危机1、 第一次数学危机第一次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对无理数的发现而引发的。
在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的一个信条。
他们认为一切都可以归结到整数或整数比，也就是说世上只有有理数。
人教A版高中数学选修3-1-8.2 无穷集合论的创立 -课件(共36张PPT)
无穷集合论的创立
• 康托认为，无论数学家们过去曾经作过什么假 定，我们都不应认为有穷的性质可以适用于无 穷的各种情况，而又正是这种不加限制的推广 导致了种种矛盾和误解。
无穷集合论的创立
• 波尔查诺是实无穷的坚定拥护者 实无穷可以无矛盾地引进数学的思想。
• 《无穷的悖论》（1821年） 是对数学和哲学 的重要贡献。
“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的 繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”
——数学史作家埃里克·坦普尔·贝尔
无穷集合论的创立
• 1877年 6月20日，康托证明了：不仅由平面到 直线可以建立一一对应，而且由任意维空间到 直线都可以建立一一对应。
“我看到了，但我简直不能相信它！” ----G。Cantor
• “上面把有理数域比作直线，结果认识到前者充 满了间隙，它是不完备的、不连续的，而我们 则把直线看成是没有间隙的、完备的和连续 的。……”
• “连续性公理”
• 实数就其数目和特性而言，要比有理数更丰富， 因为无理数竟然能不可思议地填满了有理数以 外的所有空隙，从而在连续性和完备性上完全 超过了有理数。
• 著作的特色之一是关于实无穷和潜无穷的区分。 • 数学上“实无穷”的概念；势及序数的概念；
无穷集合论的创立
• 第一，肯定实无穷是数学理论发展的需要。 • 第二，无穷有其固有的本质，不能把有穷所具
有的一切性质都强加于无穷。 • 第三，有穷的认识能力可以认识无穷。
“ 正象每个特例所表明的那样，我们可以从更一 般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷可 能性的所谓证明都是站不住脚的，他们一开始 就期望无穷数具有有穷数的所有特性，甚至把 有穷数的性质强加到无穷数上；与此相反，如 果我们能以任何方式理解无穷数的话，倒是由 于它们（就其与有穷数的对立而言）构成了全 新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本 身的性质，这是研究的对象，而并不从属于我 们的主观臆想和偏见。”
高中数学《第八讲对无穷的深入思考二无穷集合论的创立》7PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
——————————————第1页（共2页）——————————————课题：第八讲对无穷的深入思考——康托尔的集合论●教学目标知识与技能：初步探求对无穷的理解；了解康托尔集合论并理解其提出的背景与意义；过程与方法：通过古今中外的实例，初步对无穷进行思考；探索并理解康托尔的集合论，能在具体的问题情境中，运用所了解的思维方法，提高数学抽象能力。
情感态度与价值观：充分感受数学是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点康托尔集合论的背景与意义●教学难点康托尔集合论中对无穷理解的方式●教学过程一.课题导入1．旧知链接（1）.元素与集合的概念（2）.集合中元素的特征（3）.集合的表示方法（4）.集合之间的关系（5）.集合的分类（6）.常用数集2.新知导入问题1：全体自然数与它们的平方数,哪个多哪个少？{1，2，3，…，n，…}{1，4，9，…，n2，…}不同观点：（1）自然数的平方仍是自然数，所以自然数集中的元素个数应该多于其平方数.（2）无论是自然数的平方还是自然数，都是无穷多个，所以自然数的元素个数应该等于其平方数.伽利略悖论伽利略本人对此问题困惑不解，不知道如何作答，因为不管如何回答都会自相矛盾.后来人们把这个问题称为伽利略悖论二.讲授新课1．古代的无穷观念（1）中国古代数学中的无穷思想庄子刘徽割圆术（2）西方数学中的无穷思想芝诺悖论2.康托尔的集合论（1）建立集合理论的最早尝试（2）康托尔的集合理论思想<1>集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
——————————————第2页（共2页）——————————————<2>如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。
<3>给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
1.1 集合论发展史
2.
若SS，则S是不以自身为元素的集合，则根据S的
定义，有SS，与假设矛盾。
“一个理发师宣称，他不给自己刮脸的人刮脸，但
给所有不自己刮脸的人刮脸。”人们问：“理发师
先生，您自己的脸谁刮？”
伯特兰· 罗素（1872-1970） 英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、 散文作家、社会活动家
3 罗素生平
德国数学家魏尔 （C.H.Hermann Weyl，1885－1955）: 关于基数的等级观点是雾上之雾。
菲利克斯.克莱因
（F.Klein，1849－1925）:
不赞成集合论的思想。 数学家H．A．施瓦兹—Cantor的好友
由于反对集合论而同Cantor断交。
这对我来说是最值得钦佩的数学理智之 花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所 取得的最高成就之一。 没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱 赶出去。 ——希尔伯特 超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯 粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之 一。 —— 罗 素 由康托尔的工作所带来的哲学革命也许甚 至比数学本身还伟大。 —— 约 代 因
1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘 禁了7天。他反对越南战争，和萨特一起于1967年5月成 立了一个 “罗素法庭”，揭露美国的战争罪行。
高中数学新人教版A版精品学案《无穷集合论的创立》
无穷集合论的创立【学习目标】1．了解无穷集合论的创立过程。
2．理解集合论的内涵3．激发自我的学习热情与求知欲，培养严谨的学习态度。
【学习重难点】重点：了解无穷集合论的创立过程难点：理解集合论的内涵【学习过程】一、新课学习1．建立集合理论的最早尝试在《无穷悖论》中表明，是第一个朝着建立集合的明确理论方向采取了积极步骤的人，他维护了集合的存在，并强调了两个集合等价的概念，即两个集合元素间的一一对应关系。
他注意到无限集合的部分或子集可以等价于整体，例如，0到5之间的实数可以通过公式125x y与0到12间的实数构成一一对应，虽然和第二个数集包含了第一个数集。
2．康托尔的集合思想（1）集合概念集合：为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
（2）“势”____________________________________________________________________________________________________________________________________________（3）“可数”凡是能和自然数集构成一一对应的任何一个集合都称为可数或可列集合，并且是最小的无穷集合。
首先，康托尔证明了____________是可数的。
（4）“不可数”康托尔证明了：实数集合不能和自然数集合构成一一对应，也就是说实数集合是不可数的。
（5）康托尔从数学上严格证明了“无穷”也有差别，并非所有的无穷集合都有相同的大小，而且无穷的大小也是可以比较的。
3．不朽的康托尔4．康托尔（1）11岁时，______________________________________________。
（2）15岁时，______________________________________________。
（3）1862年，______________________________________________。
集合论的诞生
集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这个崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推动速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，很多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这个原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这个概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这个词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这个数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么. “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在实行一项更新无穷观点的工作.在此以前数学家们仅仅把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观点在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，仅仅一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观点在数学上称为实无限思想.因为潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.不过康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观点基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分长远的理论.这个理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.因为一个无穷集能够与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存有着一一对应关系――也就是说无穷集能够与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观点“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比来说也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这个结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！不过，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这个个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存有着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存有着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它能够无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.能够想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观点的一次大革新，因为他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们能够把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这个激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.不过集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便能够建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们能够说绝对的严格已经达到了.”不过这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，所以R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，所以R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存有着矛盾.这个仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存有的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这个段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这个切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然能够引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一. 这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。
集合论的创立资料
集合论的创立资料
集合论是一种数学分支，研究的是集合的性质和关系。
它的创立可以追溯到19世纪末和20世纪初。
以下是集合论的创立资料：
1. 19世纪末，德国数学家Georg Cantor开始研究无限集合的
性质。
他发现无限集合可以分为可数无限集合和不可数无限集合。
2. Cantor提出了“对角线论证”，证明不可数无限集合的存在。
这个证明方法至今仍被广泛使用。
3. 在20世纪初，Ernst Zermelo提出了集合论的公理化体系，即ZFC公理系统。
这个公理系统被认为是集合论的基础。
4. 在ZFC公理系统下，Kurt Gdel证明了集合论的不完备性定理。
这个定理表明，在ZFC公理系统内，存在一些命题无法证明或证伪。
5. 集合论的应用非常广泛，涉及到数学、逻辑、计算机科学等
多个领域。
例如，它可以被用来推导出自然数、有理数、实数和复数等数学概念，也可以被用来研究形式语言和自动机等计算机科学问题。
总之，集合论的创立和发展对于数学和其他学科都有着重要的影响。
它为我们提供了一种强有力的工具，用来描述和分析各种对象及其之间的关系。
- 1 -。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，它研究的是集合的性质、结构和相互关系。
自从19世纪末以来，集合论经历了持续的发展和演化。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括其起源、主要概念和重要定理，以及对数学和其他学科的影响。
二、起源与发展1. 集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪末的法国数学家康托尔（Georg Cantor）。
他在研究实数的连续性时，首次引入了集合的概念，并提出了集合的基本性质和运算规则。
2. 集合论的发展阶段（1）康托尔的贡献：康托尔在集合论的发展中做出了重要贡献，他提出了无穷集合的概念，并研究了不同基数的集合之间的关系。
他还证明了有理数集和实数集的基数不同，从而揭示了无穷集合的复杂性。
（2）公理化的建立：20世纪初，数学家们开始试图建立集合论的公理化体系，以确保集合论的严密性和一致性。
其中最著名的是弗雷格（Gottlob Frege）和罗素（Bertrand Russell）的工作，他们提出了一些集合论的公理，并试图通过这些公理来解决集合论中的悖论问题。
（3）公理化的完善：在公理化的基础上，数学家们进一步完善了集合论的公理系统，尤其是在20世纪中叶至末期。
包括冯·诺依曼（John von Neumann）、伯纳·塔斯基（Alfred Tarski）等数学家在内，他们为集合论的公理系统提供了更加严谨和完备的基础。
三、主要概念和重要定理1. 集合的基本概念（1）集合：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用罗马字母大写字母表示，如A、B等。
（2）子集：集合A的所有元素都是集合B的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
（3）并集和交集：给定两个集合A和B，它们的并集是包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B；它们的交集是包含A和B共有元素的集合，记作A∩B。
2. 康托尔的重要定理（1）康托尔定理：对于任何集合A，它的幂集（包含A的所有子集的集合）的基数大于A的基数，即不存在一个集合的基数等于其幂集的基数。
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实无穷：把无限的整体本身作为一个现成 的单位，是已经构造完成了的东西。
2.无穷究竟有多大？
康托尔的集合论
（1）波尔查诺《无穷悖论》
一一对应
0 x 5,0 y 12 y 12x
5
（2）康托尔的无穷集合论，或者相 同的基数
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无穷集合论的创立
一、对无穷（infinite)的困惑
1.无穷的运算法则和自然数一样吗
1 ？
？
？
2.无穷个量的和是无穷吗？
111111 ？
111111 ？
S S1 S2 S3
1 (2r) r
2
r 2
伽利略的困惑.mp4
二、对无穷（infinite）的思考
1.无穷究竟是什么？
无穷的大小
1.可数集：自然数集
自然数与其平方数 一
偶数与自然数 有理数和自然数 负整数与整数
样 多
整数和自然数
2.不可数集：实数集
实数比自然数多 有限线段上的点和实数一样多
无理数比有理数多
部分等于 整体
康托尔的集合论思想
1 给出集合概念，承认实无穷的存在 2 自然数集是最小的无穷集合 3 全体有理数集合是可数的 4 无穷的大小是可以比较的
3.不朽的康托尔
康托的连续统假设 不存在基数介于自然数集和实数集
之间的无穷数集
连续统假设.mp4
3.不朽的康托尔
没有人能把我们从康托尔为我们 创造的乐园中开除出去。
——希尔伯特
数学的本质在于它的自由。 ——康托尔