复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章

x 0, y 0, x 0 , y 0.
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3. 利用平行四边形法求复数的和差
y
两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 . y
z2 z1
o
z1 z2
z2 z1
x
o
x
z1 z2 4. 复数和差的模的性质 z2 因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故 y z2 z1 z2 (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 ( 2) z1 z2 z1 z2 . z
的点的轨迹，故方程表 示的曲线就是连接点 2i 和 2 的线段的垂直平分线 . 设 z x iy,
x yi 2i x yi 2 , 化简后得 y x. ( 3) Im( i z ) 4 设 z x iy, i z x (1 y )i , Im( i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为y 3.
1
o
8
x
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一对共轭复数z 和 z 在复平面内的位置是关 于实轴对称的 .
y
z x iy
x
o
5.复数的三角表示和指数表示 x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin , 复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , i 复数可以表示成 z re 复数的指数表示式

1 2
r
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定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. z1 注 : arg(z 1 z2 ) argz 1 argz 2 , arg ( ) argz1 argz2不一定成立. z2 2.幂与根 n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂, n n z z z. 记作 z , z
例3 化简 5 12i .
解 设 5 12i x iy, 5 12i ( x 2 y 2 ) 2 xyi, x 2 y 2 5, x 3, y 2, 2 xy 12 5 12i (3 2i ).
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三、复平面
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称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z . y arctan , π x z 0 辐角的主值 , arg z 2 y y (其中 arctan )arctan x π , 2 x 2 π ,
x 0, x Biblioteka 0, y 0, z x iy
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cos 1 的实部和虚部 , 其中 ei . 例1 求复数 z cos 1 cos 1 cos cos 1 i sin cos 解 z cos 1 cos cos 1 i sin cos
记作 x Re( z), y Im( z).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x .
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.

z 旋转一个角 2 , 1 r 再把它的模扩大到r2 倍, 1 z r2 2 所得向量 z 就表示积 z1 z2 . x o 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. 注 由于辐角的多值性, Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
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两个共轭复数 z, z 的积是一个实数.
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5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例. 6. 共轭复数的性质: z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 2 2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z ) Im( z ) ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角, 如果 1 是其中一个辐角 , 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ ( k为任意整数). 特殊地, 当 z 0 时, z 0, 辐角不确定. 辐角主值的定义: 在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0
方程 wn 1 z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
n n
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2kπ 2kπ w z r cos i sin n n ( k 0,1,2,, n 1) 推导过程如下: 设 z r (cos i sin ), w (cos i sin ), 根据棣莫佛公式, w n n (cos n i sin n ) r (cos i sin ), 于是 n r , cos n cos , sin n sin , 显然 n 2kπ, ( k 0, 1, 2,) 1 2kπ n 故 r , , n 1 2kπ 2kπ n n w z r cos i sin n n
二、复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的代数和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3. 两复数的商: z1 x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2 4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy. ( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
2
例1
2的 解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离为 点的轨迹.即表示中心为 i , 半径为 2 的圆. 设 z x iy, x ( y 1)i 2, x 2 ( y 1)2 2, 圆方程 x 2 ( y 1)2 4. ( 2) z 2i z 2 表示所有与点2i 和 2距离相等
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例2 设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ). 证 z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ). 或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
向量的长度称为z 的模,
记为 z r x y . 显然下列各式成立 x z, y z, z x y, 2 z z z z2 .
2 2
6
y
y
( x, y )
r
Pz x iy
o
x
x
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2. 复数的辐角 在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示
第一章
第一节 第二节 第三节 第四节
复数与复变函数
复数 复平面上的点集 复变函数 复球面与无穷远点
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一、复数的概念
第一节
复数
1. 虚数单位: 实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 . 为了解方程的需要, 引入一个新数 i, 称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i 2 1; (2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行四则运算 . 虚数单位的特性: 一般地，如果n是正整数, 则 i 4 n 1, i 4n1 i , i 4 n 2 1, i 4 n 3 i . 2.复数:对于任意两实数x, y, 我们称 z x iy 为复数. 其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
对于任何正整数n, 有 z n r n (cos n i sin n ). 1 n 如果我们定义 z n , 那么当 n 为负整数时, z 上式仍成立.
n个
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棣莫佛公式 当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin , (cos i sin )n cos n i sin n . 棣莫佛公式
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. 复数 z x iy 可以用复平面上的点 ( x, y) 表示. 1. 复数的模 复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,