相似射影定理私人整理
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点几何学是研究空间和形状的学科，其中射影定理和相似三角形是其中重要的概念和定理。
本文将介绍这两个知识点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、射影定理射影定理是几何学中的重要定理之一，它描述了两条平行线与一条横截线所形成的射影关系。
射影定理可以用于求解平行线之间的距离、角度和比例等问题。
射影定理的几何表述如下：当一条横截线与两条平行线相交时，它们所形成的对应的线段长度相等。
换句话说，射影定理说明了平行线与横截线之间的相似关系。
射影定理的应用非常广泛。
在建筑设计中，我们常常需要确定建筑物的高度、宽度等尺寸，射影定理可以帮助我们通过测量建筑物的阴影长度来确定其实际尺寸。
在地理测量中，射影定理也可以用于确定高山的高度、河流的宽度等。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，即对应边的比例相等。
相似三角形的判定条件有两种：AAA判定和AA判定。
AAA判定是指两个三角形的对应角度相等，而AA判定是指两个三角形的两个对应角度相等且对应边成比例。
相似三角形的性质有很多。
首先，相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。
其次，相似三角形的周长和面积之间也存在一定的比例关系。
另外，相似三角形的高度、中线、角平分线等也成比例。
相似三角形在几何学中的应用非常广泛。
例如，在地图上测量两座建筑物之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质来计算。
此外，在工程设计中，相似三角形也可以用于计算物体的尺寸、角度等。
总结：几何学中的射影定理和相似三角形是非常重要的知识点。
射影定理描述了平行线与横截线之间的射影关系，可以用于求解距离、角度和比例等问题。
相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形，其对应边成比例。
相似三角形的性质有很多，可以用于计算距离、尺寸和角度等。
这些知识点在实际应用中具有广泛的用途，对于几何学的学习和应用都具有重要意义。
通过学习射影定理和相似三角形，我们可以更好地理解和应用几何学知识，提高解决实际问题的能力。
相似射影定理私人整理
相似三角形（射影定理及角平分线的性质）射影定理：【知识要点】1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90º，则 2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC =22③射影定理：CD 2= · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
求AD 、BD 的长.2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。
（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。
【典型例题】例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AFBADFEGDCAB例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。
求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3例4．在ABC Rt ∆中，k AC BC DE CE AB CD C ==⊥︒=∠,,,90，求CFBF角平分线的性质：【知识要点】如图，在△ABC 中，∠A 平分线交BC 边于D 点，则有：CDBDAC AB =. 证明：例6、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线分别为BD 和CE ，且DE ∥BC 。
射影定理
射影定理所谓射影，就是正投影。
直角二角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式：如图，Rt△ ABC中, / ABC=90 , BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：(1) (BD)2=AD- DC, (2) (AB)2=AD- AC , (3) (BC)2=CD- CA一、(主要是从三角形的相似比推算来的)在厶BAD与△ BCD中, vZ ABD y CBD=90，且/ CBD# C=90°,•••/ ABD Z C,又vZ BDA Z BDC=90•••△ BAD^ CBD••• AD/BD=BD/CD即BC2=AD- DC其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD- AC BC2=CD- CA两式相加得：AB2+BC2= (AD- AC) + (CD- AC) = (AD+CD》AC=AC。
二、用勾股证射影v AC2=ABZ-BD2=AC2-CD2,••• 2AC2=ABZ+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD=(BC+BD)CD-C2=( BC+BD-CD)CD=2BDCD.故AC2=BDX CD.运用此结论可得:AB2=BC2+AC2=BD2+BDX CD=B K (BD+CD) =BD< BC,AC2 =CD2+AD2=CQ+BDX CD=CD(BD+CD)=CECB.综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
精选资料，欢迎下载三、用三角函数证明由等积法可知：ABX BC=B K AC 在Rt△ ABD和Rt △ ABC中，tan / BAD=BD/AD=BC/AB 故ABX BC=B K AC两边各除以tan / BAD得：AB A2=A[^ AC 同理可得BC2=CD・ CA在Rt△ ABD和Rt △ BCD中tan / BAD=BD/AD co丄BCD=CD/BD又■/ tan / BAD=cotZ BCD故BD/AD=CD/BD得BDA2=AD( CD精选资料，欢迎下载Welcome !!!精选资料，欢迎下载。
相似三角形中的射影定理知识讲解
相似三角形――相似直角三角形及射影定理【知识要点】1直角三角形的性质:(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U2+(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。
( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。
(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。
精品文档(4)等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则① S s②射影定理：CD 2= ______【常规题型】AC 2= _____ BC 2= ____1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90【典型例题】例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90BM 2=MN • AM 。
例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB • AF【拓展练习】1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。
求证：△ BEFACF,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的CBCFD3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。
相似-射影角平分线定理3学
第7讲 相似三角形3：射影定理、角平分线定理一、 例题部分 例1．（射影定理）在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，AD 是斜边上的高，求证： （1）2AD BD DC =⋅；（2）2AB BD BC =⋅；（3）2AC CD CB =⋅例2．如图，AD 是⊿ABC 的BC 边上的高，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，求证：AE AFAC AB=例3．在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ；求证：33AE AC BF BC=例4．如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，BC 边的垂直平分线和AB 、CA 的延长线分别交于D 、E ，BC 的中点为F ，求证AF 是DF 与EF 的比例中项．例5．如图，Rt⊿ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC边于D ，求证：222 AC BC AD BD=例6．Rt⊿ABC中∠C＝90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D点引AB的平行线交BC于F，求证：BF＝EC例7．已知P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，证明：DH⊥HQ例8．在等边三角形ABC的边BC上取点D，使12BDCD=，作CH⊥AD，连结BH，求证：∠DBH＝∠DAB例9．设P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N；证明：BP PC BM CN⋅=⋅例10．设AM是⊿ABC边BC上的中线，任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N ，求证：AB AP、AM AN 、ACAQ成等差数列．例11．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE＝ED＝CF，求∠CEF＋∠CAD的度数；例12．如图，AD是锐角⊿ABC边BC上的高，E是AD上的一点且满足AE CDED DB=，过D作DF⊥BE于F，求证：∠AFC＝90°例13．在任意三角形ABC的边上向外作⊿BPC、⊿CQA、⊿ARB，使得∠PBC＝∠CAQ＝45°，∠BCP ＝∠QCA＝30°，∠ABR＝∠BAR＝15°，试证：（1）∠QRP＝90°；（2）PQ＝PR例14．（三角形内角平分线的性质）AD是⊿ABC的内角平分线，求证：BD ABDC AC=；反之亦然．例15．（三角形外角平分线的性质）如图，AE是⊿ABC 的一条外角平分线，交BC延长线于E，求证：AB BEAC CE=．例16．在⊿ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a b c >>，AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线，BT ，BT ’分别是∠B 的平分线和外角平分线，CU ，CU ’分别是∠C 的平分线和外角平分线，求证：111'''SS UU TT +=（图中只画出了AS ，AS ’）二、 练习题1．在⊿ABC 中，∠C ＝90°，ED ⊥AB 于D ，AD ＝DB ，AB ＝20，AC ＝12，则DE 的长是（ ） A ．10 B ．8.5 C ．9.5 D ．7.52．⊿ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，BC ＝2AC ，则AD ：DB 等于（ ） A ．1:2B ．1:2C ．1:3D ．1:43．Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长为a 、b 、c ，斜边上的高为x ，则下列各式中成立的是（ ） A ．2ab x =B ．111a b x+= C ．222a b x +=D ．222111x a b =+ 4．在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使⊿PAD 和⊿PBC 相似，这样的点P （ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．不存在5．在⊿ABC 中，∠A ＝2∠B ，AC ＝4，AB ＝5，则BC 等于（ ） A ．6B ．7C ．35D ．56．如图，⊿ABC 被DE 、FG 分为面积相等的三部分，并且D E ∥FG ∥BC ，则D E ：FG ：BC ＝____________；7．如图，D为⊿ABC内一点，E为⊿ABC外一点，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：⊿ABC∽⊿DBE8．图中，AD、CF是⊿ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线和AC交于Q点，求证：PQ＝CF；9．⊿ABC和⊿A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，求证：AA1⊥CC110. 如图，AD为⊿ABC的内角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F，若34ACAB=，求FCFB的值；11. AD是等腰⊿ABC底边BC上的高，BM及BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M、N点，连结CN并延长交AB于E，求证：AM AE MN EB=。
相似三角形---射影定理的运用
相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。
射影定理——精选推荐
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
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03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
射影定理的定义 公式是什么
射影定理的定义公式是什么
2021-09-15 15:20:33
直角三角形射影定理是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理的定义公式是什么
1射影定理公式
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC
由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。
此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。
可以使用相似进行证明，过程略。
2射影定理记忆技巧
射影定理的原理就是相似三角形的边长比相等。
想要简单背诵就记好平方项是哪两条线段的比例中项，其中一条是射影。
因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。
所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。
那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。
在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。
将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。
任意三角形的射影定理(3篇)
第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。
射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。
本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。
一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。
设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。
根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。
（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。
根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。
（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。
（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。
（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。
根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。
（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。
（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。
（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。
相似三角形射影型例题
相似三角形射影型例题
射影定理模型，是和直角三角形有关的三角形相似，最经典的模型了。
在很多考题中都有出现。
这个模型的证明也很简单，也是利用两组角对应相等，得出三角形相似，再得出边之间的比例关系。
当然，我们也常常把这个结论，再引申了一下，变成了某边的平方=某两边的乘积。
如上图，从直角三角形的直角顶点，向斜边作高，这样得出来的三个直角三角形都是相似的。
后面的结论1，结论2，结论3，也就出来了。
这些的结论不要死记硬背，在理解的基础上，就很容易记住。
射影定理，是基础考题，在压轴大题，也应用广泛。
特别是一些隐藏着的摄影定理模型，要善于观察和发现，信手拈来。
例题1，例题2，是最基础的。
这个几个空，先好好的学，一步步的推导，理解了，也就理解了。
例题3，正方形中，若有如图的两线垂直，我们可以想到，除了三垂直三角形全等以外，三角形相似，射影定理也是需要考虑到的。
射影定理的证明过程
射影定理的证明过程嘿，咱今儿来唠唠射影定理的证明过程哈！射影定理，听起来是不是挺玄乎的？其实啊，它就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能打开好多难题的大门呢！咱先来说说什么是射影定理。
简单来讲，就是在一个直角三角形里，斜边上的高把斜边分成了两段，这两段和高以及三角形的两条直角边之间有着特别的关系。
那怎么证明它呢？咱就拿一个直角三角形 ABC 来说吧，直角是∠C，BD 是斜边上的高。
咱先从三角形 ABC 和三角形 ABD 入手，这两个三角形有个共同的角∠A，而且都是直角三角形，这不就有相似之处了嘛！根据相似三角形的性质，就能得出一些比例关系。
同理，三角形 ABC和三角形 BCD 也是相似的呀！你想想看，这就好比是在一个大拼图里，我们找到了一块块相似的小拼图，通过它们之间的联系，就能把整个画面拼凑完整。
再深入一点，咱通过这些相似关系，就能推导出射影定理的那些等式啦！比如说，AB 的平方等于 AD 乘以 AC，BC 的平方等于 CD 乘以AC 等等。
是不是很有意思？你说这数学咋就这么神奇呢，这么几条线一摆，就能找出这么多规律来！就好像是在一个神秘的花园里，我们一点点探索，发现了好多隐藏的美景。
而且啊，学会了射影定理，那在解好多几何题的时候可就轻松多啦！就像是有了一把万能钥匙，轻轻一转，难题的锁就开啦！你可别小瞧了这射影定理，它虽然看起来不起眼，但在数学的大厦里可是有着重要的地位呢！它就像是一块坚实的基石，支撑着好多更复杂的理论和应用。
所以啊，同学们，好好去理解和掌握射影定理吧！多做做相关的题目，感受一下它的奇妙之处。
等你真正掌握了，你就会发现数学的世界更加丰富多彩啦！这不就是学习的乐趣所在嘛！相信自己，一定能行的！咱可不能被小小的射影定理给难住了呀，加油吧！。
射影定理
射影定理所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫(Euclid)定理）：中，上的高是两直角边在斜边上射影的。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的和的比例中项。
公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有如下：（1）(BD)2=AD·DC，（2）(AB)2=AD·AC ，（3）(BC)2=CD·CA。
射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。
其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。
二、用勾股证射影∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
三、用证明由等积法可知：AB×BC=BD×AC在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA在Rt△A BD和Rt△BCD中tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠BCD故BD/AD=CD/BD得BD^2=AD×CD。
相似-射影角平分线定理3师
第7讲 相似三角形3：射影定理、角平分线定理一、 基础知识1． 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 2． 相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3． 判定直角三角形的其他方法定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似． 4． 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比及周长的比，都等于相似比； （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 二、 例题部分 例1．（★，射影定理）在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，AD 是斜边上的高，求证： （1）2AD BD DC =⋅；（2）2AB BD BC =⋅；（3）2AC CD CB =⋅ 【证明】：直接根据“直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．”即可得到例2．（★）如图，AD 是⊿ABC 的BC 边上的高，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，求证：AE AFAC AB=【证明】：由射影定理：2AD AE AB =⋅2AD AF AC =⋅∴AE AB AF AC ⋅=⋅例3．（★）在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ；求证：33AE AC BF BC = 《全国奥林匹克初二竞赛教材》数学 京华出版社，P188，例2例4．（★）如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，BC 边的垂直平分线和AB 、CA 的延长线分别交于D 、E ，BC的中点为F，求证AF是DF与EF的比例中项．【证明】：易得∠E＝∠B＝∠DAF在⊿FDA和⊿FAE中：∠FAD＝∠FEA，∠DFA＝∠AFE∴⊿FDA∽⊿FAE∴FA FD FE FA=例5．（★★，96年全国初中数学联赛四川赛区预赛）如图，Rt⊿ABC 中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：222 AC BC AD BD=《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，6例6．（★）Rt⊿ABC中∠C＝90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D点引AB的平行线交BC于F，求证：BF＝EC【证明】：∵AE平分∠A∴CE ACEB AB=；∵DF∥AB，∴HD BFDC FC=∵⊿AC B∽⊿AHC，∴AC AH HD BF AB AC DC FC ===∴EC BFEB FC=，即EC BFEF FB EF EC=++整理得EC＝BF例7．（★★）已知P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，证明：DH⊥HQ【证明】：∵∠PBC＝90°BH⊥PC∴⊿HBC∽⊿PBC，∴BH BP CH BC=∵BP＝BQ，∴BH BP BQ CH BC CD==又易得∠HBQ＝∠HCD，∴⊿BHQ∽⊿CHD ∴∠BHQ＝∠CHD，∴DH⊥HQ例8．（★★，93年黄冈初中竞赛）在等边三角形ABC的边BC上取点D，使12BDCD=，作CH⊥AD，连结BH，求证：∠DBH＝∠DAB【证明】：过A作AM⊥BC，垂足为M易证⊿BHQ∽⊿CHD，∴AD MDCD HD=，∵AM为⊿ABC的高，∴BM＝CM∵12 BD CD=∴CD＝2BD，DM＝12 BD，易得AD BDBD HD=，又∠ADB＝∠BDH∴⊿ADB∽⊿BDH，∴∠DBH＝∠DAB例9．（★★，94年安徽省数学竞赛）设P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N；证明：BP PC BM CN⋅=⋅《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，5例10．（★★，辽宁省竞赛题）设AM是⊿ABC边BC上的中线，任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N，求证：ABAP、AMAN、ACAQ成等差数列．【证明】：过B、C分别作MN的平行线交PQ的延长线于E、F；易得1()2MN BE CF=+则1()2MN BE CF AN AN AN=+∵⊿BEP∽⊿ANP，∴BE BP AN AP=∵⊿CFQ∽⊿ANQ，∴CF CQ AN AQ=∴1()2MN BP CQ AN AP AQ=+根据合比定理得：1()2AM AB ACAN AP AQ=+【证明2】：过B、C分别作PQ的平行线交AM的延长线于E、F例11．（★★，97年河北初中竞赛）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE＝ED＝CF，求∠CEF＋∠CAD的度数；《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P181，9例12．（★★★，99年上海中学数学实验班选拔赛）如图，AD是锐角⊿ABC边BC上的高，E是AD上的一点且满足AE CDED DB=，过D作DF⊥BE于F，求证：∠AFC＝90°【证明】：易得Rt⊿EFD∽Rt⊿DFB，ED DB EF DF=∴AE AE ED AE DB EF ED EF ED DF =⋅=⋅∵AE CDED DB=，∴AE CD DBEF DB DF=⋅，即AE CDEF DF=又∵∠AEF＝90°＋∠EDF＝∠CDF∴⊿AEF∽⊿CDF，故∠AFC＝∠DFE＝90°例13．（★★★，第17届IMO）在任意三角形ABC的边上向外作⊿BPC、⊿CQA、⊿ARB，使得∠PBC ＝∠CAQ＝45°，∠BCP＝∠QCA＝30°，∠ABR＝∠BAR＝15°，试证：（1）∠QRP＝90°；（2）PQ＝PR【证明】：以AB为边向外作正三角形ABS，连结RS、CS则∠SAR＝45°，∠ASR＝30°∴⊿CQA∽⊿SRA，∴SA RA CA AQ=∵∠SAC＝∠RAQ，∴⊿CAS∽⊿RAQ∴∠CSA＝∠QRA，且AR ASQR CS=（1）同理可得∠CSB＝∠PRB，且BR BSPR CS=（2）∵AR＝BR，AS＝BS由（1），（2）可得PR＝QR∵∠ARB＝180°－15°－15°＝150°∴∠QRP＝150°－（∠ARQ＋∠BRP）＝150°－（∠CSA＋∠CSB）＝150°－60°＝90°拓展：（★★★）如图，AD、BE、CF是锐角三角形ABC的三条高，M、N分别是BE、CF的中点，求证：⊿DMN∽⊿ABC【证明】取BC、CA、AB的中点P、S、Q，易知P、M、S共线，P、N、Q共线，连结SQ、DS、DQ∵DS＝12AB＝PQ，PS＝12AC＝DQ，PD为公共边∴⊿DSP≌⊿PQD∴∠DSP＝∠PQD，即∠DSM＝∠DQN；①又1212ABDS ABDQ ACAC==；1212AESM AEQN AFAF==又由⊿ABE∽⊿ACF，得AB AE AC AF=∴DS SMDQ QN= ② 由①②可知⊿DSM ∽⊿DQN ∴SD QDMD ND=，∠SDM ＝∠QDN ∴∠MDN ＝∠SDQ ∴⊿DMN ∽⊿DSQ但⊿DSQ ≌⊿ASQ ，⊿ASQ ∽⊿ABC ∴⊿DMN ∽⊿ABC 例14．（★，三角形内角平分线的性质）AD 是⊿ABC 的内角平分线，求证：BD ABDC AC=；反之亦然． 【证明】：过C 作CE ∥DA ，交BA 延长线于E ；易得AE ＝AC 则BD AB ABDC AE AC==例15．（★，三角形外角平分线的性质）如图，AE 是⊿ABC 的一条外角平分线，交BC 延长线于E ，求证：AB BEAC CE=． 【证明】：过C 作CF ∥EA ，交AB 于F ；易得AC ＝AF 则AB AB BEAC AF CE==例16．（★★★，90年上海）在⊿ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a b c >>，AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线，BT ，BT ’分别是∠B 的平分线和外角平分线，CU ，CU ’分别是∠C 的平分线和外角平分线，求证：111'''SS UU TT +=（图中只画出了AS ，AS ’） 【证明】∵AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线∴','CS b CS bSB c S B c == ∴',CS b CS b BC b c BC b c==+- 即,'ab abCS CS b c b c==+- ∴222''ab ab abcSS CS CS b c b c b c=-=-=-+- 同理可得：222222','abc abcUU TT a b a c ==-- 22222211()()1''22'b c a b a c SS UU abc abc TT -+--+===三、 练习题1．（★）在⊿ABC 中，∠C ＝90°，ED ⊥AB 于D ，AD ＝DB ，AB ＝20，AC ＝12，则DE 的长是（ ） A ．10 B ．8.5 C ．9.5 D ．7.5【解】：D2．（★）⊿ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，BC ＝2AC ，则AD ：DB 等于（ ） A ．1:2B ．1:2C ．1:3D ．1:4【解】：D3．（★）Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长为a 、b 、c ，斜边上的高为x ，则下列各式中成立的是（ ） A ．2ab x = B ．111a b x+= C ．222a b x +=D ．222111x a b =+ 【解】：D4．（★★）在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使⊿PAD 和⊿PBC 相似，这样的点P （ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．不存在 【解】：B ； 5．（★★）在⊿ABC 中，∠A ＝2∠B ，AC ＝4，AB ＝5，则BC 等于（ ） A ．6B ．7C ．35D ．5【解】：A ； 6．（★）如图，⊿ABC 被DE 、FG 分为面积相等的三部分，并且D E ∥FG ∥BC ，则D E ：FG ：BC ＝____________； 【解】：1:2:37．（★）如图，D 为⊿ABC 内一点，E 为⊿ABC 外一点，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：⊿ABC ∽⊿DBE《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P344，例78．（★★）图中，AD 、CF 是⊿ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线和AC 交于Q 点，求证：PQ ＝CF ； 《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P346，例99．（★★，2000年重庆竞赛）⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ，求证：AA 1⊥CC 1 【证明】：连结AD ，A 1D ，延长AA 1交直线DC 于O ，交直线C 1C 于E ，在⊿AA 1D 和⊿CC 1D 中： ∠ADA 1＝90°－∠A 1DC ＝∠CDC 1； 又3ADDC=，113DA DC =，则⊿AA 1D ∽⊿CC 1D 则∠A 1AD ＝∠C 1CD又∠AOD ＝∠COE则∠CEO ＝∠ADO ＝90° 即AA 1⊥CC 110. （★★，96上海）如图，AD 为⊿ABC 的内角平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F ，若34AC AB =，求FCFB的值； 【解】：916《全国初中数学竞赛试题分类集锦》几何分册 上海远东出版社，P122，611．（★★）AD 是等腰⊿ABC 底边BC 上的高，BM 及BN 是∠B 的三等分角线，分别交AD 于M 、N 点，连结CN 并延长交AB 于E ，求证：AM AEMN EB=【证明】易得EB＝EN∵AN平分∠BAC，∴AE EN AC NC=∴AE AC AB EN NC BN==∵AB AMBN MN=，∴AE AMEN MN=∴AM AE MN EB=。
九年级相似三角形射影定理与比例中项经典讲义
射影定理与比例中项射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边别离是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．即CD2=AD·BD；AC2=AD·AB；BC2=BD·AB比例中项：a:b=b:c，或b2=ac，那么，b就叫做a、c的比例。
一、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB⊥交AB于E，且AD=3.2cm，那么DE= （）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm二、如图1-1，在Rt ABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你以为只要明白（）线段的长，就能够够求其他线段的长A、1B、2C、3D、43、在Rt ABC中，90BAC∠=，AD BC⊥于点D，假设34ACAB=，那么BDCD=（）A、34B、43C、169D、9164、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DE AC ADE CDE⊥∠=∠，那么EDB∠=（）A、22.5B、30C、45D、60【填空题】5、ABC中，90A∠=，AD BC⊥于点D，AD=6，BD=12，那么CD=____，AC= ____，22:AB AC= ___________。
6、如图2-1，在Rt△ABC中，90ACB∠=，CD AB⊥，AC=6，AD=3.6，那么BC=_____．7、如图已知CD是△ABC的高，DE⊥CA, DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA八、已知90CAB∠=，AD CB⊥，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE DF⊥OA BDEFACD九、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证：224DE a b =+10、如图（３），已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，高AD 、BE 交于点Ｈ，求证： DH •DA=41BC 21一、已知如图△ABC 中，AD 平分∠ABC ，AD 的垂直平分线交AB 于点Ｅ，交AD 于点Ｈ，交AC 于点Ｇ，交BC 的延长线于点Ｆ， 求证：DF 2＝CF •BF参考答案一、C 2、B 3、C 4、C 五、3,35,4:1HBFE六、 87、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得，2CD CE AC =， 在Rt BCD 中，同理得 2CD CF BC =,CE BCCE AC CF BC CF AC ∴=∴=又ECF BCA ∠=∠，CEFCBA ∴ 八、证明：如下图，在Rt BAC 中，22,AC CD CB AB BD BC == 22AC CD CD CD CD ADAB BD CD BD AD AD BD ∴=====,,AE ADAC AE AB AF BF BD ==∴=60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴∴∠=∠90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥九、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 因此Rt AMB ～Rt ADE因此AB AMDEAD =，因为AB=a ，BC=b ， 因此222244AB ADDE AMb a b a ===++10、证△ABD ∽△BDH 即可1一、证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
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相似三角形（射影定理及角平分线的性质）
射影定理：
【知识要点】
1、直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两个锐角
（2）Rt△ABC中，∠C=90º，则2+ 2= 2
（3）直角三角形的斜边上的中线长等于
（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为
（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为
2、直角三角形相似的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：
Rt△ABC中，∠C=90º，CD⊥AB于D，则
①∽∽
②S
△ABC =
2
2
③射影定理：
CD2= ·
AC2= ·
BC2= ·
【常规题型】
1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。
求AD、BD的长.
B A
2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D 。
（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。
（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。
【典型例题】
例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。
求证：AD 2=AB ·AF
例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。
例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。
求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3
A
M
C
D C
例4．在ABC Rt ∆中，k AC BC DE CE AB CD C ==⊥︒=∠,,,90，求CF
BF
角平分线的性质：
【知识要点】
如图，在△ABC 中，∠A 平分线交BC 边于D 点，则有：
BD
AB =. 证明：
例6、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线分别为BD 和CE ，且DE ∥BC 。
求证：AB=AC 。
A
B
C
D
E
C
例7、如图21-6，在平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，EF ∥AB ，∠ADE=∠MDE ，求证：∠BCF=∠MCF 。
【拓展练习】
1、如图所示，已知Rt △ABC （AC ＞BC ）的斜边AB 的中点D ，过D 作斜边的垂线交AC 于E ，交BC 延长线于F ，求证：DC 2=DE ·DF 。
2、已知，如图，CE 是直角三角形斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连结
AP BG AP ⊥,，垂足为G ，交CE 于D ，求证：DE PE CE ⋅=2.
A
B
C
D E
F M 图21-6
【作业】
1.已知ABC ∆中，CD ACB ,90︒=∠是高，若b AC a BC ==,，q AD h CD ==,，p BD =，且4,3==b a ，则=c ，=p ，=q ，=h .
2.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm 2和cm 8，则两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为 .
3.如图，ABC Rt ∆，AB CD ACB ⊥︒=∠,90于D ，,6cm BD =
cm AD 4=，则=BC .
4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＞BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，CD=4，AC=54，
则EF:AF=（ ）
A ．1:2
B ．5:2
C ．5:5
D ．52:5
5．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，若AD ：BD=9：4则AC ：BC 的值为（ ）
A ．9：4
B ．3：2
C ．4：9
D ．2：3
6. 如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边AB 边上的高，23=AC AB ，则=BC
CD
（ ） A ．2:5 B ．2:3 C ．3:2 D ．3:2
7．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=10cm ，AB 上的高CD=6cm ，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长。
8．如图，在ABC ∆中，BC AH BAC ⊥︒=∠,90于H ，以AC 和AB 为边在ABC Rt ∆形外作等边三角形ABD ∆和ACE ∆，求证：BDH ∆∽AEH ∆.。