§4.1 二元一次不等式(组)与平面区域

即满足
28 x 58 y 1200, x y 20, x y 30, x, y N. 30
20
y
x+y=30
28x+58y≤1200
20
30 x
10 x+y=20
O 10
1、二元一次不等式表示的区域。 2、掌握画二元一次不等式（组）所表示 的区域。
§4 简单线性规划
4.1 二元一次不等式(组) 与平面区域
一、引入:
一名刚参加工作的大学生为自己制定的 用餐标准是240元，又知其他费用最少支出 180元，而每月可用来支配的资金为500元， 这名新员工可以如何使用这些钱？ 问题：应该用什么不等式模型来刻画呢？ 设用餐费x元，其他费用y元，由题意知，满 足下面不等式
x+y≤500 x≥240 y≥180
确定平面直角坐标系 中不等式组的解集区域
实例分析
平面直角坐标系中,哪些点满足不等式x>y? 在平面直角坐标系中，以二元一次方程 y=x的解为坐标的点的集合是经过原点的一条 直线l，它将直角坐标平面分成三部分,即自身 和它的两侧. y
l:y=x
x
o
在l直线上任取一点,如点A(1,1),过A作 与y轴平行的直线l1, l1上所有点的横坐标 都是1. 在l1 直线上取A的下侧一点,如 A1(1,-1),显然它的横坐标满足不等式x>y
品种 甲 乙
电力/ kW· h 2 8
煤/t 3 5
工人/人 5 2
解:设每天分别生产甲乙两种产品xt和yt. 生产xt的甲产品和生产yt的乙产品的用电量 是(2x+8y)(kW· h),根据条件,有2x+8y ≤160; 用煤量为(3x+5y)t,根据条件,3x+5y≤150; 用工人数为(5x+2y)(人), 根据条件,有5x+2y ≤200. 另外,还有x≥0, y≥0.
y
所以,原不等式组表 示上述平面区域的 公共部分.
x-y=0
1
O
1
2
x
x+y-1=0
例4 一工厂生产甲乙两种产品,生产 每吨产品的资源需求如下表:
品种 甲 乙 电力/ kW· h 2 8 煤/t 3 5 工人/人 5 2
该厂有工人200人,每天只能保证160kW· h 的用电额度,每天用煤不得超过150t,请 在直角坐标系中画出每天甲乙两种产品 允许的产量范围.
例5 某市政府准备投资1200万元兴办一 所中学.经调查,班级数量以20至30个班为宜, 每个初,高中班硬件配置分别为28万元和58 万元.将办学规模(初,高中班的班级数量)在 直角坐标系中表示出来. 解:设初中x个班,高中y个班,此时办学所 需资金为(28x+58y)万元.
市政府准备投资1200万元,则28x+58y≤1200; 班级数量是非负整数, 且要满足则20≤x+y≤30;
集合{(x,y)|x=3},{(x,y)|y=-1}分别把直角坐 标平面分成了哪三个部分? 请画出图形,再刻画三个部分点的特征.
例1：试确定集合{(x,y)|x+2y-3<0} 表示的平面区域.
解:直线l把直角坐标平面分成三部分.在 l右上方的平面区域内的点(x,y)满足不等式 x+2y-3>0,而另外两部分的点均不满足不等 式x+2y-3>0.不等式x+2y-3>0表示的是直线 y l右上方的平面区域. 注意：把直线画 成虚线以表示区 域不包括边界
3、会把若干直线围成的平面区域用二元 一次不等式组表示。
课堂练习2：
课本第98页的练习1、3。 1、图中表示的平面区域满足不等式（ B ） （A） x + y – 1<0 （B） x + y –1>0 （C） x – y – 1 <0 （D） x + y – 1>0 3、本节开头不等式组表示的 平面区域是
综上所述,x, y应满足以下不等式组
y
2 x 8 y 160, 3 x 5 y 150, 5 x 2 y 200, x 0, y 0.
3x+5y=150 5x+2y=200
1
O
2x+8y=160
1 2
x
甲乙两种产品的产量是这一不等式组表示的 平面区域的公共部分.
l:2x-y-4=0
2
x
例3：画出以下列不等式组表示的平面区域.
x y 1 0 x y 0 x 2
分析 :不等式组表示的平面区域是不等 式①,②,③所表示的平面区域的公共部分.
解:不等式①表示直线x+y-1=0右上 方(包括直线)的平面区域; 不等式② 表示直线x-y=0右下方(包括直线)的平 面区域; 不等式③表示直线x=2左方 (包括直线)的平面区域. x=2
y
l1
l:y=x
-1)
这样直线l把直角坐标平面分成三部分: (1)直线l上的点(x,y)满足x-y=0; (2)直线l右下方的平面区域内的点(x,y) 满足x-y>0; (3)直线l右上方的平面区域内的点(x,y) 满足x-y<0;
y
l:y=x
y>x
o
y<x
x
练一练
O
2
3
X
x-y+5≥0 2. 画出不等式组 x+y≥0 表示的区域 x≤3 解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，
x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合， x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合， 所以，不等式组表示的区域如图所示。
8 4 -6 -2 o 2 6 x-y+5=0
x+y=0 x=3
新知初探思维启动
二元线性规划问题的有关概念 一次 不等式组成的不等式 线性约束 由x，y的二元_______ 条件 组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的 解析式
解 二元一次 线性目标 目标函数是关于x，y的_______________ 函数 析式
X+y≤500
y 500
y 1 o 1 x
y =180
x + y =500
x≥240 y≥180
o
500 x =240
x
1.画出下列不等式组表示的平面区域：
y x (1) x 2 y 4 y 2
Y
o
-2
4
x
3
Y
(2)
x 3 2 y x 3 x 2 y 6 3 y x 9
例2：画出不等式2x-y-4≤0表示的平面区域.
解:先画出直线l: 2x-y-4=0,取原点 O(0,0),把O点的坐标代入2x-y-4,得 2×0-0-4<0
y
所以,原点在2x-y-4<0表 示的平面区域内,不等 式2x-y-4≤0表示的平面 O 区域是2x-y-4<0表示的 平面区域加上直线l: 2x-y-4=0
l:x+2y-3=0
O 3 x
抽象概括
一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平 面分成三部分: (1)直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0; (2)直线l右下方的平面区域内的点(x,y)的坐 标满足ax+by+c>0; (3)直线l左上方的平面区域内的点(x,y)的坐 标满足ax+by+c<0; 所以,只需在直线l的某一侧取一特殊点 (x0,y0),以ax0+by0+c的正负的情况便可判断 ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域， 特殊地，当c≠0时常把原点作为此特殊点。