7.1平面向量的概念
平面向量的概念
平面向量的概念平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。
平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。
平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。
平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。
即用平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)来表示平面向量AB。
向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。
另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。
例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。
平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。
平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。
例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。
减法也是同样的方法。
数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。
平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。
例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。
向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。
高三数学平面向量考点解析
高三数学平面向量考点解析1、高中数学知识点总结平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。
向量和数量是数学中讨论的两种量的形式，数量是实数。
2、平面向量的三种形式：（1）字母形式：用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量；（2）几何形式；用平面内的有向线段表示向量，零向量是一个点；（3）坐标形式：向量可以在坐标平面内用坐标表示，向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。
3、平面向量的相关概念，（1）模（绝对值）：向量的大小或者向量的长度叫做向量的模，模是大于等于的实数。
模也叫作绝对值、大小、长度，这几个说法是一个意思。
（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），两个相等向量的x，y坐标对应相等。
（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。
一个向量加负号即变为其相反向量，在向量化简和运算中很常见、很重要。
（4）平行（共线）向量：平面内两个向量所在的直线平行或者重合，则说这两个向量平行（或者共线），用平行符号表示。
因为向量可以自由平移，所以对向量来讲平行和共线是一个意思。
两个非零向量平行时，必定方向相同或相反。
规定零向量和任意向量都平行，但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。
（5）垂直向量：两向量所在的直线垂直（或者说夹角为90度），则说这两个向量为垂直向量，用垂直符号表示。
规定零向量和任意向量都垂直，但不能说夹角90度。
（6）零向量：大小为零（或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思）的向量叫做零向量，规定零向量的方向是任意的，不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。
规定零向量和任意向量都平行且垂直。
（7）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
一个向量除以自己的模得到和这个向量同方向的单位向量；单位向量乘以一个向量的模得到这个向量。
（8）位置向量：向量AB可以表示点B相对点A的位置，所以向量AB可以叫做点B关于点A的位置向量。
（9）方向向量：一个非零向量与一条直线平行，则这个向量叫做这条直线的平行向量。
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
平面向量的定义和基本性质
平面向量的定义和基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的向量。
它由起点和终点确定，并且可以用箭头表示。
平面向量常用字母加上一个右箭头来表示，例如AB→表示起点为A，终点为B的向量。
平面向量的定义：定义1：若平面上两个点A和B，可以唯一确定一个向量AB→。
其中向量AB→的起点为点A，终点为点B。
点A称为向量AB→的起点，点B称为向量AB→的终点。
向量AB→可以记作AB→或者→AB。
定义2：若平面上某个向量的起点是原点O，则称该向量为单位向量。
单位向量的长度为1，方向可以是任意的。
基本性质：性质1：平面向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。
对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相同时，向量→AB和向量→CD相等。
性质2：平面向量相反的条件是它们的长度相等且方向相反。
对于平面上的两个向量→AB和→CD，当且仅当|→AB|=|→CD|且它们的方向相反时，向量→AB和向量→CD互为相反向量。
性质3：平面向量的运算法则。
3.1 平面向量的加法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB+→CD的终点是链接→AB和→CD的链条的终点。
3.2 平面向量的减法：设→AB和→CD是平面上的两个向量，则向量→AB-→CD的终点是链接→AB的起点与→CD的终点的链条的终点。
3.3 数乘：设k是一个实数，→AB是平面上的一个向量，则k→AB的长度是|k||→AB|，方向与→AB相同。
性质4：平面向量的共线性。
对于平面的两个非零向量→AB和→CD，若存在实数k，使得→CD=k→AB，则称向量→AB和→CD共线。
同样地，若存在实数k1和k2，使得→CD=k1→AB+k2→EF，则称向量→AB、→CD和→EF共线。
性质5：平面向量的数量积。
对于平面的两个向量→AB和→CD，它们的数量积定义为|→AB||→CD|cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。
性质6：平面向量的数量积与夹角的关系。
7.1平面向量的概念
DO = OB
（2）写出所有互为相反的向量；
DA=－BC
OA =－ OC
（3）写出所有与向量 OA 平行的向量。
OC
（４）写出所有与向量 OA的模相等的向量。
OB,OC, DO.
辨析题：判断下列命题是否正确 (1) 平行向量的方向一定相同 × (2) 不相等的向量一定不平行 ×
•7-1 平面向量
你记得《南辕北辙》吗?
《南辕北辙》——据说战国时，有个北方人 要到南方的楚国去。他从太行山脚下出发， 乘着马车一直往北走去。有人提醒他：“到 楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说： “不要紧，我有一匹好马，……，什么地方 都能走到！”结果，他永远到不了目的地！ 成为笑柄！
他为什么永远到不了目的地？
谁更重?
一千吨的大米和一千吨的铁谁更重?
猫能捉住老鼠吗?
• 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由B向东南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
B
A
速度是既有大小又有方向的量
一位老师在中山北路光新路口向小 明问路：“到光新学校怎么走？” 小明热情地告诉他：“从这里沿着 光新路向北走大约200米到一个弄 堂口，再沿着弄堂往东走大约50米 就到了”。 老师对小明的回答非常 满意，这是为什么？
c
9．共线向量：任一组平行向量都可以移到同 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。
10．向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是 相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素， 起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有 向线段。
什么是平面向量
什么是平面向量平面向量是代数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
平面向量可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量，具有方向和大小两个特征。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数组成的有序对，记作AB→，其中A、B 表示平面上的两个点，→表示有向线段。
实数称为平面向量的坐标或分量，可以用来表示向量在坐标轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以用坐标轴上的点表示，也可以用向量的坐标表示。
以直角坐标系为例，设A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，那么平面向量AB→的向量坐标为{(x2-x1), (y2-y1)}。
三、平面向量的运算1. 加法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的和为AB→ +CD→ = AD→。
即向量的加法满足“三角形法则”。
2. 数乘：设有平面向量AB→，实数k，则kAB→ = BA→。
即向量的数乘改变了向量的方向或长度。
3. 减法：设有平面向量AB→和CD→，则它们的差为AB→ - CD→ = AD→。
即向量的减法可以看作是加法和数乘的结合。
四、平面向量的性质1. 零向量：零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于该向量本身。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 共线向量：若两个向量在同一直线上，则它们是共线向量。
4. 相等向量：若两个向量的方向和长度相等，则它们是相等向量。
5. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过将一个非零向量除以它的模长得到。
五、平面向量的应用平面向量在几何学中被广泛应用，例如求向量的模长、向量的夹角、向量的投影等。
在物理学中，平面向量可用于描述力的大小和方向，在工程学中，平面向量可用于描述力的分解和合成等问题。
总结：平面向量是由两个有序实数组成的有序对，具有方向和大小两个特征。
它可以用坐标轴上的点或向量的坐标来表示。
平面向量的运算包括加法、数乘和减法，满足相应的运算规律。
高一数学讲义 第七章 平面向量
高一数学讲义 第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0；0的方向是任意的． 2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a -．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。
与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c ∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i =、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个． （2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个． 注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128i AO i =、两类．一般地我们易想到()128i OA i =、这8个，而易遗漏()128iAO i =、这8个．（2的两个向量，例如边13A A 对应向量13A A 与31A A ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的．例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点． （3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； ③不正确．AB 与CD 共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________．（A）动能（B）重量（C）质量（D）长度（F）作用力与反作用力（F）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．3．回答下列问题，并说明理由．（1）平行向量的方向一定相同吗?（2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b∥，b c∥（）∥，则a bA．总成立B．当0a ≠时成立C．当0b ≠时成立D．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF（见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC+；③FE ED++；②2BC DC+；④2ED FA-；与AC相等的有__________．CF图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a、b，以A为共同起点平移向量，有AB a=，=叫作a和b这两个向量的和，即AD b=，则以AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC c+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四a b c边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = AB BC AC ∴+=由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a +=；()0a a +-=． 对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律： 交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O，作OA a=-，即a b-声可以表示为从向量b的终点指向向=，则BA a b=，OB b量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB图77此外，我们可以先做向量b的负向量OB b′，可根据向量加法的平行四边形法则得()=-OC a b=+-．易知向量OC BA=，因此，()+-=-．a b a b例1．如图7-8所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a b c++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b+，再作()++．a b c解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA a=+，=，再作向量AB b=，则得向量OB a b然后作向量BC c=++即为所求．=，则向量OC a b cO图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++； （2）OE OF OD DO -+--．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-= （2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形． 证明：由已知得AO OC =，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC的值．解：因为23OA OC OB +=，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC=．基础练习1．若对n 个向量12n a a a ，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =-，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a =，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r =C．k r ==D．k r = 4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b +；（2）b d +；（3）d a d ++．6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a =，AF b =，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++和()()()a a a -+-+-．P Q M N aaa-a图712aOC OA AB BC a a a =++=++，简记3OC a =；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=-．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -=．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）a λ的方向定义为：0λ>时a λ与a i 方向相同；0λ<时a λ与a i 方向相反；0λ=或0a =时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a ，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a =．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()0a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有 1．第一分配律()m n a ma na +=+． 2．第二分配律()m a b ma mb +=+． 3．结合律()()m na mn a =． 例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+． 解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a bc a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++-- 62a b =+．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=． 而AC OC OA =-，AB OB OA =-，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+-． 令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=， OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=．充分性．若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+，()OC OA OB OA β=+-，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴=，β∈R ． AC ∴与AB 共线，而A 为AC 与AB 的公共端点，A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC =，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b =，OC c =，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB =，AQ t AC =．()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+-， 即()1OQ t a c =-+．例4．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线． （2）试确定实数k ，使12ke ke +共线． （1）证明12AB e e =+，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D ∴，，三点共线．（2）解12ke e +与12e ke +共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+， 则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ=，AE AC μ=，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+=13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（ ） ①234a b e -=且23a b e +=-；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=； ③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a =、CD b =． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD 是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线． （3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示． 3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+． 4．已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma =，ON nb =，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a =，AC b =，AP c =，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA =，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影．综上，数量积的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--=，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅=，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--=cos a b λθ． （3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=． 综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a =，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB =，7BC =，11CD =，9DA =，则AC BD ⋅的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=， 则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--=，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a b 、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅=代入①或②得：22a b =． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b ba bbθ⋅===，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ +=，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++ 222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅ 2222BP DP PQ =++①又因为BQ QC BC +=，BQ QA BA +=，0QA QC +=， 同理222222BA BC QA QC BQ +=++② 222222CD DA QA QC QD +=++③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++= 2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+展开得222222aa b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+①同理可得2222a dbc +=+② ①-②得2222b a ac =⇒=，b d ∴=，ac =，即AB CD =，BC DA =， 故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =-，bd =-．又a b b c ⋅=⋅，即()0b a c -=()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥， 故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥-，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥-，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=． ()()7150a b a b ∴+⋅-=，0a b ∴-=，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b =代入上式消去b 得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+=．所以()()472a b a b -⊥-．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①a b a b a b ⋅=⋅⇔∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅； ③a b a b a b ⊥⇔+=-； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j ，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=-，816a b i j -=-+，求a b ⋅．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，4a=，2b =，求：OA OB ⋅．C图7164．设6a =，10b =，46a b -=，求a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥，2a =，3b =，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a =，2b =，且向量a b +与2a b -垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a =，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________． 10．已知向量()24a =，，()11b =，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，求()AB DC AC +⋅的值．图717DCBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P -，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅，求证：21126n n S n-=．15．在ABC △中，AB a =，BC c =，CA b =，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())132a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=-⎪⎩∶∶∶成立，当1a =时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a =，6b =，2c =，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应． 我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a 相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y +=++，． （2）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y =，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，0a ≠则 12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=．重要的公式（1）长度公式：2221a a a x y ===+()()11a x y =，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式： (()())1122A B d AB AB AB x A x y B xy ==⋅=，，，，．（4）不等式：cos a b a b a b θ⋅=≥．例1．已知()12a a a =，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证：（1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R ，的形式； （2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a xb yc a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解．1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+--． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==． 小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA =，，()11OB =，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上． （1）求OA OB ⋅；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3． 解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a +=又A B 、两点都在直线y x a =-+上，()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =(()22212121224OA OB xx x x x x x ∴==+=+-=当OA 与OB夹角为π3时，π1cos 4232OA OBOA OB ⋅==⨯= 242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求． 例4．已知()10a =，，()21b =，． ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，2373a b ∴+=+ ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，． 设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，， 12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y =，，()222v x y =，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤， 又因为(12v v αβα+==其中12121x x y y +所以12v v αβααβαβ+=+=+≤． 基础练习1．已知()21a =，，()34b =-，，求a b +，a b -，34a b +的坐标． 2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比． 3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+-，()1b i m j =+-，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB =，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC 的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+--，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ． 9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求 （1）AB ，AC ；（2）AB AC +，AB AC -；（3）122AB AC +，3AB AC -． 10．已知向量()12a =，，()1b x =，，2u a b =+，2v a b =-，且u v ∥，求x ． 11．已知()23a =，，()14b =-，，()56c =，，求()a b c ⋅，和()a b c ⋅⋅．12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=-，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值． 能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R ，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点．当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12P P PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12P P 的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔==． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++=．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． （5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解：四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，；则向量()cos sin OA ββ=，，()cos sin OB αα=，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+， 由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OB OA OBαβαβαβ⋅-==+，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y =，，()22b x y =，（1）当0a =或0b =时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立； （2）当当0a ≠且0b ≠时，令θ为a ，b 的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ≤，a b a b ∴⋅≤（当且仅当ab ∥时等号成立）． 1212x x y y ∴+()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD =GP =． 又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++=，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++=，则GB PC =，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心． 例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++= ()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =． 所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++， 即3OH OG =，所以OG 与OH 共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有POCBA图726()()PA PB PC PO +⋅+=()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+ ()()22PO OC PO OC =-⋅+ 2240PO OC =-=有()PA PB +与()PC PO +垂直． 同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ， 由123OP OP OP +=-，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①② 两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP 的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP 的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上， 所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________． 3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比． PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标． 5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB =，3AD AB =，求点C D 、的坐标． 6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+-且2216a b +=．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA =，，()31OB =，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 9．设a b 、是两个不共线的非零向量()t ∈R （1）记OA a =，OB tb =，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？ （2）若1a b ==且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA =，，()51OB =，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅取最小值时，OP 的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m =，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=-． （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()10q =，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，求2n p +的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标； （2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a =，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=-， （1）求向量b ；（2）若()10t =，且b t ⊥，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。
初中数学知识归纳平面向量的概念和运算
初中数学知识归纳平面向量的概念和运算在初中数学中，平面向量是一个重要的概念，它可以用来描述平面内的位移、力等物理量。
平面向量的概念和运算是我们学习数学的基础，下面将对平面向量的概念和运算进行归纳总结。
一、平面向量的概念平面向量可用有序的数对表示，假设有两个点A和B，向量AB用记作→AB或者AB。
其中A称为向量的起点，B称为向量的终点，有时候也会用→OA或者OA来表示一个向量，其中O为坐标原点，A为向量的终点。
在平面向量的概念中，有两个重要的概念需要注意，即向量的模和方向角。
向量的模表示向量的长度，记作|→AB|或者|→OA|，它可以通过勾股定理获得，即|→AB| = √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别是向量的起点和终点的坐标。
而向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角β，可以通过反三角函数获得，即β=arctan((y2-y1)/(x2-x1))。
除了用有序数对表示平面向量外，我们还可以利用向量的坐标表示向量，假设有一个向量→v，可以用(v1,v2)表示，其中v1和v2分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数量乘法三种。
1. 平面向量的加法：平面向量的加法定义如下：→AB + →CD = →AC即向量的加法可以通览连接的法则来进行，将第一个向量的末尾与第二个向量的起点相连就得到了它们的和向量。
同时，向量的加法也满足交换律和结合律，即：→AB + →CD = →CD + →AB(→AB + →CD) + →EF = →AB + (→CD + →EF)2. 平面向量的减法：平面向量的减法定义如下：→AB - →CD = →AB + (-→CD)即向量的减法可以通过将减去的向量取反，转换为向量的加法来进行计算。
3. 平面向量的数量乘法：平面向量的数量乘法定义如下：k→AB = →AB即将向量的模乘以一个常数k，可以得到一个与原向量同方向（若k>0）或者反方向（若k<0），长度为原向量长度的新向量。
平面向量的定义及性质
平面向量的定义及性质平面向量是向量的一种，它有大小和方向两个属性。
平面向量通常用箭头标识，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一、平面向量的定义在平面上，我们可以用两个坐标轴来确定一个点的位置，相应地，平面向量可以由坐标轴上两个点之间的坐标差表示。
设点A坐标为（x_1，y_1），点B坐标为（x_2，y_2），则从A指向B的向量通常记作向量AB，并表示为AB向量。
其坐标表示为AB = (x_2 - x_1，y_2 - y_1)。
二、平面向量的性质1. 零向量性质：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量的相加都会保持原向量不变，即对任意向量a，有a + 0 = a。
2. 相等性质：两个向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。
3. 负向量性质：给定向量a，其负向量记作-a，它与向量a的长度相等，但方向相反。
即a + (-a) = 0。
4. 平行性质：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的夹角为0度或180度，则称这两个向量平行。
5. 共线性质：如果两个向量共线，则它们可以表示为一个向量的倍数。
设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)共线，则存在实数k，使得a = kb。
6. 向量加法性质：设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)，则向量a + b = (x_1 + x_2，y_1 + y_2)。
7. 向量减法性质：设向量a = (x_1，y_1)和向量b = (x_2，y_2)，则向量a - b = (x_1 - x_2，y_1 - y_2)。
8. 数乘性质：设向量a = (x，y)和实数k，则ka = (kx，ky)。
9. 平行四边形法则：如果向量a和向量b的起点相同，则以向量a 和向量b的终点为相对角的四边形ABCD是平行四边形，且向量a + b 等于对角线AC。
10. 三角不等式：对于任意两个向量a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
初中数学知识点平面向量的概念与性质
初中数学知识点平面向量的概念与性质初中数学知识点：平面向量的概念与性质在初中数学学习中，平面向量是一个重要的概念。
它是一个有大小和方向的量，可以用箭头表示。
本文将介绍平面向量的概念和性质，帮助同学们更好地理解和运用这一数学概念。
一、平面向量的定义平面向量是由大小和方向决定的有向线段。
我们通常用字母加箭头的形式表示平面向量，如AB→。
其中，A和B分别为向量的起点和终点。
二、平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示或者用点表示。
1. 坐标表示法对于平面上的平面向量AB→，我们可以用A和B的坐标表示向量的坐标。
设A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则向量AB→的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。
2. 点表示法我们也可以用点C表示向量AB→，其中C为起点为坐标原点的向量CB→。
这种表示方法在运算中比较方便，可简化计算。
三、平面向量的运算平面向量之间可以进行加法和数乘运算。
1. 加法运算设有平面向量AB→和CD→，则向量AB+CD→等于将向量CD→的起点与向量AB→的终点相连的向量。
换言之，向量的加法就是将一个向量的终点与另一个向量的起点相连得到的向量。
2. 数乘运算数乘运算是指将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量。
数乘运算的结果是将向量的大小进行伸缩，在不改变其方向的情况下使其变大或者变小。
四、平面向量的性质平面向量具有以下性质：1. 相等性质两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点坐标相等。
即如果两个向量的起点和终点坐标分别相等，则这两个向量相等。
2. 相反性质向量的相反向量，是指大小相等方向相反的向量。
例如向量AB→与向量BA→就是相反向量。
3. 平行性质两个向量平行，当且仅当它们的终点和起点之间的坐标差与一个实数的数量积为零。
即如果两个向量的坐标差与一个实数的数量积为零，则这两个向量平行。
4. 共线性质如果两个向量共线，那么它们一定是平行的，并且它们之间存在一个实数倍的关系。
7.1-平面向量的概念及线性运算教案
【课题(kètí)】7.1 平面(píngmiàn)向量的概念(gàiniàn)及线性运算【教学(jiāo xué)目标】知识(zhī shi)目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为的 倍．由此得到．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间*揭示课题7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．图7－2 总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果aAB过程行为行为意图间向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．模为1的向量叫做单位向量．10 *巩固知识典型例题例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．解位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a与b．图7-3 说明强调引领讲解说明强调含义观察思考主动求解通过例题进一步领会13a bA过 程行为 行为 意图 间 *运用知识 强化练习说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．提问巡视 指导思考口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况18 *创设情境 兴趣导入观察图7−4中的向量AB 与，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量与所在的直线平行，两个向量的方向相反．播放 课件 质疑 引导 分析观看 课件 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点 20*动脑思考 探索新知【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量与向量b 平行记作a //b ． 总结归纳思考归纳 带领学生KT K图7−4A BCDEF HG M N QPL Z过程行为行为意图间规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．【想一想】图7−4中，哪些向量是共线向量？仔细分析讲解关键词语理解记忆总结23*动脑思考探索新知【新知识】图7−4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量与，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a 与向量b相等，记作a= b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作．规定：零向量的负向量仍为零向量．显然，在图7－4中，AB= MN，=－TK．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28过 程行为 行为 意图 间*巩固知识 典型例题例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量相等的向量；（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）=DA ； （2）=,；（3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 说明 强调引领 讲解 说明 引领强调含义 说明观察思考 主动 求解 观察 思考求解领会思考求解通过例题进一步领 注意 观察 学生 是否理解知识点 反复 强调+ 33 *运用知识 强化练习1． 如图，ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出 （1）与相等的向量；（2）与共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写 启发引导思考了解可以 交给 学生 自我 发现 归纳F AD BE C（练习题第1题图EFAB CDO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5O过 程行为 行为 意图 间 出 （1）与相等的向量； （2）OC 的负向量；（3）与OC 共线的向量．提问 巡视 指导动手 求解38 *创设情境 兴趣导入王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走500 m 到达超市（B 处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m 到达学校（C 处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处）．播放 课件 质疑 引导 分析观看课件自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点42 *动脑思考 探索新知位移叫做位移AB 与位移的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量 总结 归纳思考 归纳带领 学生A BC图7－6500m200m图7－7ACBaba +bab过程行为行为意图间的和的方法叫做向量加法的三角形法则．观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．【做一做】给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量．【想一想】（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？仔细分析讲解关键词语理解记忆总结50过 程行为 行为 意图 间 *动脑思考 探索新知如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．总结归纳 仔细分析 讲解 关键 词语思考归纳理解 记忆带领 学生 总结55 *巩固知识 典型例题例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然说明 强调观察图7－9A D C BA BDC图7－10过程行为行为意图间==13．又，利用计算器求得1．即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以.解利用平行四边形法则，可以得到，所以．【想一想】根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？引领讲解说明引领分析思考主动求解观察思考求解领会注意观察学生是否理解知识点反复F1 F2kθ图7－11过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c=_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）＋BC＋．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入质疑思考引导启发（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图过 程行为 行为 意图 间 在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数． 引导 分析 参与 分析 学生思考66 *动脑思考 探索新知与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a，b，则．即=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．总结 归纳仔细 分析 讲解 关键 词语思考 归纳理解 记忆带领 学生 总结 68 *巩固知识 典型例题例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．强调含义思考求解注意 观察 学生 是否 理解aAa -bBbO图7－13BbOaAba（1）（2）图7－14过 程行为 行为 意图 间 解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．【想一想】当a 与 b 共线时，如何画出a －b ． 说明 领会思考求解知识 点70*运用知识 强化练习1．填空：（1）AB=_______________， （2）BC =______________， （3）=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、、．启发 引导 提问巡视 指导思考 了解动手求解 可以 交给学生 自我发现 归纳 72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考参与分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知a a aaOA B C过 程行为 行为 意图 间 一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为（7．3）若0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有0a = 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．总结 归纳 仔细分析讲解 关键 词语思考 归纳理解记忆理解 记忆 带领 学生 分析引导 启发 学生 得出 结论过程行为行为意图间78 *巩固知识典型例题例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，AB＝a，AD＝b，试用a, b表示向量、OD．分析因为,，所以需要首先分别求出向量AC与BD.解AC＝ab,BD＝b −a，＋因为O分别为AC，BD的中点，所以（a＋b）＝a＋12b，OD＝12BD＝12（b −a）＝−12a+12b．例6中，12a＋12b和−12a+12b都叫做向量a，b的线性组合，或者说，AO、OD可以用向量a，b线性表示．一般地，λa＋b叫做a, b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μ b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性强调含义说明思考求解领会思考求解注意观察学生是否理解知识点81图7－16过程行为行为意图间运算．*运用知识强化练习1．计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）；（2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）．2．设a, b不共线，求作有向线段OA，使OA＝12（a＋b）．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳83*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：向量、向量的模、向量相等是如何定义的？结论：当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a 与向量b相等，记作a= b．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况85*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究过程行为行为意图间(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组（选做）(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题说明记录分层次要求90【教师教学(jiāo xué)后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；内容总结（1）【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念。
平面向量的定义与运算
平面向量的定义与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的量，常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量可以理解为带有指向性的线段。
一. 平面向量的定义平面向量由起点和终点确定，可以用有序实数组表示。
设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB可以表示为AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
二. 平面向量的运算1. 平面向量的加法设有向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量AB + CD = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
2. 平面向量的乘法a) 数乘：设向量AB = (x, y)，实数k，则k * AB = (kx, ky)。
数乘改变向量的长度，但不改变方向。
b) 内积：设向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量AB · CD = x₁ * x₂ + y₁ * y₂，也可以表示为AB · CD = |AB| |CD| cosθ，其中θ为AB与CD的夹角。
c) 外积：设向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量AB ×CD = x₁ * y₂ - x₂ * y₁，也可以表示为AB × CD = |AB| |CD| sinθ，其中θ为AB与CD的夹角。
外积的结果是一个数。
注意：内积和外积都是向量运算，结果不再是向量，而是一个数。
3. 平面向量的减法设有向量AB = (x₁, y₁)，向量CD = (x₂, y₂)，则向量AB - CD = AB + (-1) * CD，即向量AB减去向量CD等于向量AB加上向量CD的负向量。
4. 平面向量的模设有向量AB = (x, y)，则向量AB的模可以表示为|AB| = √(x²+ y²)。
5. 平面向量的单位向量设有非零向量AB = (x, y)，则该向量的单位向量可以表示为u = (x / |AB|, y / |AB|)，即向量AB除以它的模得到单位向量。
平面向量的基本概念与运算知识点总结
平面向量的基本概念与运算知识点总结平面向量是研究平面运动的重要工具，具有方向和大小两个基本特征。
本文将对平面向量的基本概念和运算进行总结，帮助读者理解和掌握相关知识。
1. 平面向量的定义平面向量由有向线段表示，起点和终点分别称为向量的始点和终点。
向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a表示为→a。
平面向量有两个基本属性：方向和大小。
方向由向量的方向夹角确定，大小由向量的长度表示。
2. 平面向量的表示方法平面向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示。
在直角坐标系中，向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的投影，a₂表示向量在y轴上的投影。
位置矢量表示中，向量a的始点为原点O，终点为点A，表示为向量OA。
3. 平面向量的相等与相反两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
两个向量的相反向量，大小相等但方向相反，用符号-→a表示。
4. 平面向量的加减运算平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点和另一个向量的终点相连，得到一个新向量，表示两个向量的和。
向量的减法可以通过向量加上其相反向量得到。
5. 平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示为a·b，是两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。
计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ表示两个向量的夹角。
6. 平面向量的数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b)- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c7. 平面向量的夹角与垂直条件两个向量夹角的余弦值可以通过数量积的公式计算。
若两个向量的数量积为0，则它们互相垂直。
8. 平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，表示为a×b，是两个向量长度之积与它们夹角的正弦值的乘积，另外加上垂直于这两个向量所在平面的单位向量n。
平面向量的定义与运算
平面向量的定义与运算一、平面向量的定义平面向量是指在平面内具有方向和大小的量。
平面向量通常用有向线段表示，例如AB表示从点A指向点B的有向线段。
二、平面向量的表示与性质1. 平面向量的表示平面向量可以用字母的粗体表示，如a、b、c等。
以点A和点B为两个端点的向量，可用向量AB或a表示。
向量AB的起点为A，终点为B。
向量AB与向量BA是相等的。
2. 平面向量的性质（1）相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作AB = CD。
（2）零向量：大小为0的向量称为零向量，记作0。
（3）相反向量：具有相同大小但方向相反的向量称为相反向量，计作AB = -BA。
（4）平面向量的加法满足交换律：AB + CD = CD + AB。
（5）平面向量的加法满足结合律：(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)。
（6）平面向量的加法满足加法逆元：对于向量AB，存在向量BA，使得AB + BA = 0。
三、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法即将两个向量的坐标按对应位置相加。
设向量a =(a1,a2)，向量b = (b1,b2)，则向量a + b = (a1+b1,a2+b2)。
2. 向量的乘法（1）数乘：向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。
设向量a = (a1,a2)，则k * a = (k * a1,k * a2)。
（2）数量积：也称为点乘，是两个向量的数量积等于两向量的模长乘以它们夹角的余弦值。
设向量a = (a1,a2)，向量b = (b1,b2)，则a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 = |a| * |b| * cosθ。
（3）向量积：也称为叉乘，是两个向量的向量积满足右手法则，垂直于这两个向量所在平面。
设向量a = (a1,a2)，向量b = (b1,b2)，则a ×b = (0,0,a1 * b2 - a2 * b1)。
3. 平移、旋转与放缩（1）平移：向量的平移指给定一个向量A和另一个向量B，将向量A的起点放在向量B的终点，得到新的向量C。
教学目标理解平面向量的概念与性质
教学目标理解平面向量的概念与性质一、平面向量的定义平面向量是指在平面内，既有大小又有方向的量。
平面向量一般用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量通常用字母加上箭头来表示，比如向量a可以表示为→a。
二、平面向量的性质1. 平面向量的加法：平面向量的加法满足交换律、结合律和零向量律。
- 交换律：→a + →b = →b + →a- 结合律：(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)- 零向量律：→a + →0 = →a2. 平面向量的数乘：数乘是指将向量的长度扩大或缩小的运算。
- 数乘的定义：k→a表示将向量→a的长度变为原来的k倍。
- 数乘的性质：k(→a + →b) = k→a + k→b，(k+m)→a = k→a +m→a，k(m→a) = (km)→a。
3. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，且模不为零，则称这两个向量为平行向量。
- 判断平行向量的条件：设→a和→b是两个非零向量，则→a和→b平行的充分必要条件是有实数k，使得→a = k→b。
4. 零向量：零向量是长度为零的向量，通常表示为→0。
- 零向量的性质：对于任意向量→a，有→a + →0 = →a，0→a =→0。
5. 相等向量：如果两个向量的模相等，方向相同，就称这两个向量相等。
- 相等向量的性质：若→a = →b，则有→a + →c = →b + →c，k→a = k→b。
6. 平面向量的分解：任意一个平面向量→a都可以分解为两个平行于已知向量→b的向量→p和垂直于→b的向量→q的和。
- →a = →p + →q，其中→p = k→b，→q与→b垂直。
7. 平面向量的数量积：数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角余弦的乘积。
- 定义：→a·→b = |→a| |→b| cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。
- 性质：- →a·→b = →b·→a（交换律）- →a·→a = |→a|^2（模的平方）- →a·→0 = 0（零向量的数量积）- 若→a·→b = 0，则→a与→b垂直。
7.1平面向量的概念(1)
组织教学：清点人数
探究新知：见教材第32页
（1）该生所跑的路程是多少？
（2）如果该生从A处出发，跑完1500米，那么他所跑的路程是多少？位移是什么？
（3）位移和路程这两个量有什么差别？
学习新知：
1、向量的概念
在数学上，我们把具有大小和方向的量叫做向量．
2、向量的表示方法
如何描述平面上一点的位移？
（1）用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
（2）用有向线段来表示向量时，我们也称为向量；在印刷时，向量常用黑体小写字母 a，b，c，…来表示，书写时，则常用带箭头的小。
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练习：
9、用小写的西文字母a，b,c,… 表示向量时，书写用a,b,c,…书 写时字母上方的箭头可以省略， 对吗？ ×
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练习：
10、温度有上下之分,因此温度也是 向量，对吗？
×
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例题精讲
例2 设矩形ABCD的边长为2和3，其所有边及对角线 能构成多少向量？这些向量的模是多少？
A B
解：可以构成如下向量： AB,BA,CD,DC BC,CB,AD,DA AC,CA,BD,DB 这些向量的模为： |AB|=|BA|=|CD|=|DC|=3 |BC|=|CB|=|AD|=|DA|=2 |AC|=|CA|=|BD|=|DB|=
13
D C
例3.在平行四边形ABCD中，O为对角线交点． （1）找出与向量 DA 相等的向量； （2）找出向量
导弹的位移是一个既有大小又有方向的量！
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
一、向量的定义 把既有大小，又有方向的量叫做向量，
把只有大小，没有方向的量称为数量
在质量、重力、速度、加速度、身高、 面积、体积这些量中，哪些是数量？ 哪些是向量？
DC 的相反向量；
（3）找出与向量 AB 平行的向量
（4）找出与向量
D
O
OA
C模相等的向量Fra bibliotekAB
课堂小结
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
向量的方向
合作探究：
如图，以1*1的方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中，可以得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
共有2种不同的模
0
(2)单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 0 向量大小为0，方向不确定的，可以是任意方向。 单位向量大小为1，方向不一定相同。
以平面内一个点为起点，可以作多 少个单位向量？
所以 单位向量可以有无数个
2、几个特殊向量
（3）相等向量（或同一向量）
（4）相反相量
（5）平行向量或共线向量
注：零向量与任何向量平行
a b c
向量若用黑体字母a，b，c，…来表示， 为印刷体！
三、向量的有关概念
1、向量的模
向量AB的大小也就是向量的长度（模）记作|AB|或者|a|
a
b
a
b 成立吗？
a b 成立吗？
注意：向量不能比较大小，向量的模能比较大小！
2、几个特殊向量
(1) 零向量 ： 长度为 0 的向量。 记作
共有8种不同的向量
若改为1×2的方格纸中的格点为起点 和终点的所有向量中，可得到多少种 不同的模？多少种不同的向量呢？ 共有4种不同的模
共有14种不同的向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
金钱豹以5m/s的速度向东方向追赶一只以2m/s向 西方向逃跑的小狗……
请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
速度是一个既有大小又有方向的量!
某巡航导弹若 要击中1200km外的 敌军事目标必须具 备两个条件（1）导 弹的有效射程要大 于1200km;(2)明确 发射方向。二者缺 一不可！为什么？
二、向量的表示 思考1： 一条小船从A地出发，向西北方向 航行15km到达B地，可以用什么方式表 示小船的位移？
B 北
A
东
二、向量的表示方法
Ｂ
1、几何表示：
A
向量常用带箭头的短线段表示：线段的长度表示 向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
2、代数表示：
（1）以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ; （2）如果表示向量的带箭头的线段没有标注起点和终点 字母，向量也可以用小写西文字符上方加一个小箭头，…
课后作业： 教学案P175
BACK
练习
3、单位向量的大小是否一定相等？
一定
BACK
练习
4、零向量没有方向,对吗？ ×
BACK
练习： 5、 确定向量有三个要素：大 小、方向和起点，对吗？ ×
BACK
练习： 6、 向量AB与向量BA是同一向 量吗？
不是
练习:
7.向量的模一定是非负数，对吗？
练习
8、 0=0 ，对吗？
×
如图：他们都表示同一个向量。
a a
试判定下列各组向量是否为平行向量
（1） （3）
（2）
（4）
我们在平面内平移向量时，不得改变向 量的大小和方向！
欢迎来到： 过关竞技场
1 5 8 10 2 6 9 3 4
7
练习：
1、单位向量是否一定相等？
不一定
BACK
练习：
2、模为0的向量一定是零向量吗？
一定