探索相似三角形条件1九年级上
探索三角形相似的条件(一)说课稿
探索三角形相似的条件（一）一、说教材：1.地位及重要性本节课是在学生学习了相似三角形的基本概念和基本性质等知识后，对三角形相似的判定的进一步探索。
既是之前学过的全等三角形等知识的延伸和拓展，又是今后证明线段成比例，研究相似多边形性质的重要工具。
本节内容起着承上启下的重要作用。
通过本节课的学习，可以培养学生猜想、实验、探索等能力，因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。
2.教学目标（1）知识与技能目标：理解三角形相似的判定方法；掌握找相等角从而运用判定条件（一）来解决问题。
（2）过程与方法目标：经历“直观感觉――动手感知――理性思维――应用拓展”的活动过程，探索两个三角形相似的条件并用它来解决简单问题，进一步发展学生的逻辑推理能力。
（3）情感、态度与价值观目标：通过生活中的有关三角形相似的应用，让学生体会到数学来源于生活，应用于生活的辩证思想。
3.重点与难点：教学重点：相似三角形的判定方法及其探索过程教学难点：找对应相等的两个角来判定三角形相似二、说教法——师生互动探究式教学学情分析初二学生活泼，求知欲强，这为探究三角形相似的判定条件提供了情感保障，而且学生在此已经学过相似三角形的定义和平行线的特征等知识，这为判定条件的探索和应用提供了认知基础。
同时在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作交流的能力。
教学方法为贯彻“学生的主体地位，而教师是教学过程中的组织者、合作者和引导者”这样的教学理念，我确定如下的教学方式：学生自主探究、合作交流学习，教师引导发现教学。
三、说学法——自主探索研讨发现新课改的精神在于把学习的主动权还给学生。
因此，本节课通过教师引导，学生观察和动脑，主动探索获取新知识。
然后通过针对性练习来让学生突破找相等角证明三角形相似的难点，学生在获得新知的情况下，体验成功。
四、教学过程：本节课的教学，大致按照“温故知新，谈话揭题——合作交流，探索条件——例题拓展，深化提高——归纳总结，深化目标——作业布置、检测反馈”五个环节进行组织。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4探索三角形相似的条件
北师大版九年级数学上册说课稿：4.4 探索三角形相似的条件一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第四单元“相似三角形”的第四节“探索三角形相似的条件”是本单元的核心内容。
本节课主要让学生通过探究、归纳出三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质，为后续解决实际问题和进行几何证明打下基础。
教材从学生已知的图形出发，引导学生观察、思考、归纳，从而得出三角形相似的条件。
首先，通过两组三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状。
然后，引导学生通过测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
最后，通过几何图形的变换，让学生理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对三角形的相关概念有一定的了解。
但是，对于三角形相似的判定方法和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会引导学生从直观的图片出发，通过实际操作、观察、思考，逐步理解和掌握相似三角形的判定方法和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形相似的判定方法，理解相似三角形的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形相似的判定方法，相似三角形的性质。
2.教学难点：对相似三角形性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过两组相似三角形的图片，让学生直观地感受相似三角形的形状，引发学生的兴趣。
2.探究：引导学生观察、测量三角形对应边的长度，比较对应角的大小，从而发现相似三角形的规律。
3.归纳：学生进行小组讨论，归纳出三角形相似的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
探索三角形相似的条件1说课稿
尊敬的各位评委、各位老师：大家好！我是腰站子中学的数学老师景鹏洲，能参加本次课堂教学观摩活动，我感到十分高兴，同时也非常珍惜这样一个交流和学习的机会，希望大家多多指教。
今天我说课的题目是《探索三角形相似的条件（第一课时）》。
下面，我就从教材、教法、学法、教学过程和理论依据五个方面谈谈自己对这节课的理解和处理。
理论依据我会穿插的前面四个环节中说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用我所说的《探索三角形相似的条件》是北师大版八年级下册第四章第六节的内容，它是在学习了相似多边形、相似三角形的概念和性质的基础上所进行的一堂课，后面还要学习测量旗杆的高度，相似多边形的性质，所以，它有着承上启下的作用。
是本章的重点之一。
既是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展，也是今后研究相似多边形性质的重要工具。
同时它也是九年级进一步学习圆的有关知识和研究线段间的比例关系的基础，因此，这一内容在《空间与图形》中所占的位置非常重要，同时也是八年级教学中的一个难点。
2、教学目标（1）知识与技能：初步掌握两个三角形相似的判定条件（两角对应相等的两个三角形相似），能够运用三角相似的条件解决简单的问题。
（2）过程与方法：经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力。
（3）情感态度与价值观：发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值。
由于学生已经掌握了相似三角形的定义，并初步经历了由全等到相似的认识过程，而本节内容正与全等的有关知识是类似且紧密联系的，因此，在建构主义理论的指导下，从教学过程的角度提出了以上目标。
3、教学重点、难点：重点：初步掌握判定两个三角形相似的条件难点：判定相似三角形条件的应用针对以上重、难点，我将引导学生用类比、探究等方法寻求判定两个三角形相似的条件，突出教学重点；分解教学难点。
二、教法八年级学生，身心发展较快，有较强的求知欲，有了一定自主探索，合作交流的学习意识和实践操作能力及思维概括能力。
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》图形的相似(第1课时)
科 目：数学 适用版本：北师大版 适用范围：【教师教学】
第四章 图形的相似
探索三角形相似的条件
第1课时
第一页，共十三页。 相似三角形的判定定理1
逐点
导讲练
课堂小 结
作业提 升
第二页，共十三页。
AD
5
第十页，共十三页。
（来自教材）
知2－讲
知2－练
1 如图所示的三个三角形中，相似的是( )
A．(1)和(2)
B．(2)和(3)
C．(1)和(3)
D．(1)和(2)和(3)
第十一页，共十三页。
（来自《典中点》）
2 (海南)如图，点P是 ABCD边AB上一点，射线
CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形
第四页，共十三页。
2.要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，
三边成比例；
(2)两个三角形相似又为解题提供了条件； (3)相似三角形具有传递性，即若
△ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，则
△ABC∽△A″B″C″； (4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个
全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
知1－讲
第五页，共十三页。
（来自《点拨》）
知1－讲
3．易错警示：
(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上．
(2)求两个相似三角形的相似比，要注AB意顺序BC性．若AC k, AB BC AC 当△ABC∽△A′B′C′时，
复习提问：相似多边形的定义是什么？
第三页，共十三页。
北师大版九年级数学上4.4探索三角形相似的条件(一)教学课件 (共16张PPT)
•
判一判
判断下列说法是否正确？并说明理由.
√ 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（ ）
2.有一个角相等的两个等腰三角形相似.
（×）
D
A
平行顶角型
D
E
B
C
（1）
B
C
（2）
A
A
E
E
D
B
（3）பைடு நூலகம்
CB
（4）
C
非平行共角型
D
E A
非平行顶角型
B
（5） C
问题解决
为了测量一个大峡谷的宽
度，地质勘探人员在对面的岩
石上观察到一个特别明显的标
志点O，再在他们所在的这一
侧选点A、B、D，使得AB┴AO，
DB┴AB，然后确定DO和AB的
O
交点C.测得AC=120m，
B
C
这样的两个三角形相似吗？请说明理由.
（2）改变а、β的度数（取自己喜欢的值），再试一试.
相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵_∠__A_＝__∠__A__′，__∠__B__＝__∠__B_′_，
∴_△__A__B_C_∽__△__A__′B__′C_′___.
A A′
B
C B′
CB=60m，BD=50m.
B 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
C
A
D
1.本节课你有什么收获？ 你还有什么疑惑？ 2.三个角分别相等的两个三角形一定相似吗？ 3.你能说出相似三角形与全等三角形的联系 和
北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
北师大版九年级上册数学教案4.4探索三角形相似的条件
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用相似三角形的判定定理进行推理和解决问题；
2.提高学生的空间想象力，通过观察和分析相似三角形的性质，培养对几何图形的认知和想象；
3.增强学生的数学建模能力，利用相似三角形知识解决实际问题，提高数学应用意识和建模能力。
举例：在解决综合性问题时，教师可以引导学生先识别出相似三角形的判定条件，然后运用相似三角形的性质，逐步推导出答案。如在一个复杂图形中，通过识别隐藏的相似三角形，解决线段长度或比例关系的问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索三角形相似的条件》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个三角形看起来很相似的情况？”比如，当我们看到两个三角形的角度和边长都差不多时，我们会觉得它们是相似的。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形相似的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形相似的基本概念。三角形相似是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。它是解决几何问题的重要工具，可以帮助我们求解线段长度和证明线段比例关系。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析两个相似三角形的性质，我们如何求解实际问题中的未知线段长度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
九年级数学上册《相似三角形判定定理一》教案、教学设计
3.学生的个体差异，针对不同学生的需求，提供适当的学习指导和支持。
4.学生在合作学习中的参与度，鼓励他们积极发言，分享自己的想法和观点。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-理解并掌握相似三角形的判定定理一。
1.判断题：给出几个相似三角形的判定题目，让学生判断其是否符合判定定理一。
2.填空题：给出几个相似三角形的图形，要求学生填写相似比。
3.计算题：运用相似三角形的判定定理一解决实际问题。
学生在完成练习题的过程中，教师巡回指导，针对学生的错误给予及时纠正和解答。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，首先让学生回顾本节课所学的相似三角形的判定定理一，然后提问：
-尝试证明相似三角形的另一个判定定理：如果两个三角形的一个角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形相似。
3.实践应用题：
-结合所学知识，设计一道与相似三角形判定定理一相关的实际问题，要求至少包含两个已知量和两个未知量。
-将设计的问题及解答过程写下来，与同学们分享，共同讨论。
4.研究性学习题：
-以小组为单位，选择一个研究方向，如相似三角形在实际建筑中的应用、相似三角形在艺术作品中的体现等，进行资料收集和整理。
1.请举例说明相似三角形在实际生活中的应用。
2.如何运用相似三角形的判定定理一解决以下问题：（给出几个具体问题）
3.相似三角形判定定理一的证明过程中，有哪些关键步骤？
要求学生在讨论过程中，充分发表自己的观点，互相学习，共同解决问题。教师在旁边观察学生的讨论情况，适时给予指导。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，设计以下练习题：
北师大版数学九年级上册4.4.2探索三角形相似的条件优秀教学案例
二、教学目标
五、案例亮点
1.生活情境的导入：本节课通过展示实际生活中的三角形相似现象，如建筑设计中的相似三角形应用，引导学生关注数学与现实生活的联系。这样的导入方式不仅激发了学生的学习兴趣，还让学生明白了相似三角形在实际生活中的应用价值，提高了学生的学习积极性。
2.问题导向的教学策略：本节课以问题为导向，引导学生提出问题并自主探索相似三角形的判定方法。在解决问题的过程中，教师及时给予反馈和指导，帮助学生克服困难，引导学生正确思考。这种教学策略不仅培养了学生的思维能力，还提高了学生解决问题的能力。
3.引导学生进行小组反思，让学生总结自己在解决问题过程中的收获和不足，促进学生的自我成长。
（四）反思与评价
1.让学生在课后进行自我反思，总结自己在本节课中学到了什么，还有什么需要改进的地方。
2.组织学生进行同伴评价，鼓励学生相互鼓励、相互学习，提高学生的学习积极性。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握情况、思维能力以及合作态度等方面，为下一步教学提供参考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个生活中的实例，如建筑设计中的相似三角形应用，引导学生关注相似三角形的实际意义。
2.提出问题：“你们认为什么是相似三角形？它们有什么特点？”让学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
3.总结相似三角形的定义，并提出本节课的学习目标，让学生4.4.2探索三角形相似的条件优秀教学案例
北师大版九年级上册数学《探索三角形相似的条件》图形的相似培优说课教学复习课件拔高
解：∵在△ ABC 和△ ADE 中，AADB＝DBCE＝AACE， ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， ∴∠CAE＝∠BAD＝20°.
巩固训练
1. △ ABC 和△ DEF 满足下列条件，其中能使△ ABC 与△ DEF 相似
的是( C )
△ DEF 三边长分别为 DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm.△ ABC 与
△ DEF 是否相似？为什么？
解：△ ABC∽△DEF.理由如下：∵DABE ＝33.6＝56，BECF＝
3.5 4.2
＝
5 6
，
CA FD
＝
2.5 3
＝
5 6
，
∴
AB DE
＝
BC EF
＝
CA FD
＝
5 6
【归纳总结】三边成比例的两个三角形相似，当已知三 角形的边长或与三边有关的比例式时，可考虑根据三边成比 例来说明两个三角形相似．
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，在△ ABC 和△ ADE 中，AADB＝DBCE＝AACE，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的度数．
【思路点拨】由AADB＝DBCE＝AACE得△ ABC∽△ADE，由相 似三角形的对应角相等求得答案．
2. 理解黄金矩形，并能解决与之有关的问题．(难点)
课前预习
(一)知识探究 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(如图)， 如果 AACB＝BACC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫 做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．
(二)预习反馈
例题精讲
知识点 1 黄金分割的理解
探索三角形相似的条件1
A B C A ′10.4探索三角形相似的条件（1） 学习目标:1.通过探索与交流，得出两个三角形只要具备有两个角对应相等，即可判断两个三角形相 似的方法.2.尝试判断两个三角形相似，并能解决生活中一些简单的实际问题.学习重点：1.两个三角形相似的条件（一）的应用.2.了解两个三角形相似的条件（一）的探究思路和应用.水平.教学过程一、情境引入：我们知道，用相似三角形的定义能够判定两个三角形相似，涉及的条件较多.需要有三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？二、探究学习：1．尝试：小明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这3个三角形吗？在图中，若∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′， AB ＝A ′B ′，那么（1）和（2）中的两个三角形全等吗？ 若∠A ＝∠A ″，∠B ＝∠B ″， A ″B ″＝2AB ，那么（1）和（3）中的两个三角形相似吗？2．概括总结．由此得判定方法一：如果一个三角形的 与另一个三角形的 ，那么这两个三角形相似。
几何语言：在△ABC 与△A ″B ″C ″中，∵∠A ＝∠A ″，∠B ＝∠B ″，∴△A ″B ″C ″∽△ABC3.概念巩固：练习:（1）关于三角形相似下列叙述不准确的是 ( )A.有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似;B.有一个角对应相等的两个等腰三角形相似;C.所有等边三角形都相似;D.顶角对应相等的两个等腰三角形相似.（2）判断题⑴所有的等腰三角形都相似。
( ) ⑵所有的等腰直角三角形都相似。
( ) ⑶所有的等边三角形都相似。
( ) ⑷所有的直角三角形都相似。
( ) ⑸有一个角是100°的两个等腰三角形相似。
（ ）⑹有一个角是70°的两个等腰三角形相似。
（ ）4.典型例题：例1.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝50°,∠B ＝∠B ′＝60°,∠C ′＝70°，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？例 2.如图，在方格图中，画△A ′B ′C ′，使A ′C ′∥AC ，B ′ A ″ B ″ A B （1） （2） （3） B C′A E F C DB B ′C ′∥BC,(1)如果∠A ＝250,∠B ＝1350 ，那么∠A ′＝ ，∠B ′＝ ，∠C ′＝ ；(2) 测量两个三角形的三边长后判定△ABC 与A ′B ′C ′是否相似？(3)发现：两角 的两三角形相似.5.探究：如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，△ADE 与△ABC 相似吗？为什么？【变题】如图，点A 、B 、D 与点A 、C 、E 分别在一条直线上，如果DE ∥BC ，△ADE 与△ABC 相似吗？为什么？由此得：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何语言：∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC练习：1.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中相似的三角形有 对．2.如图，▱ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．△ABE ∽△DGEB ．△CGB ∽△DGEC ．△BCF ∽△EAFD ．△ACD ∽△GCF三、归纳总结：1.探索三角形相似的条件（1），并使用这个条件解决相关问题.2.经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达水平.【课后作业】1.如图（1）， AE 与BD 相交于C ，要△ABC ∽△DEC ，需要条件 。
4.4 探索三角形相似的条件 课件(共22张PPT)北师大版数学九年级上册
A
B
C
D
E
2.有两条边对应成比例的两个三角形一定相似吗？
A
B
C
D
E
F
定理：两角相等的两个三角形相似。
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
探索新知
探索新知
知识点3 用两个条件可以判定两个三角形相似吗
3.有一条边对应成比例且有一个角相等的两个三角形一定相似吗？
1.判断：（1）两个全等三角形一定相似（2）两个等腰直角三角形一定相似（3）两个直角三角形一定相似（4）两个等边三角形一定相似（5）顶角相等的两个等腰三角形一定相似（6）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
×
√
√
√
√
√
巩固练习
2.如图所示的三个三角形中，相似的是( )A．(1)和(2) B．(2)和(3)C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
A
巩固练习
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC.AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
巩固提高
1
2
3
A字型
8字型或X型
有关三角形相似的基本图形
课堂小结
有关三角形相似的基本图形
子母型
一线三等角型或D
例题讲解
变式2：如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若AD＝2，AB＝6，AC＝4，求AE的长.
例题讲解
例2：如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD＝∠B.（1）找出图中的相似三角形并证明
（2）若BD＝6，AD＝2，则求AC的长.
例题讲解
变式1：D,E分别是△ABC的边所在直线AB,AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
北京四中九年级上册数学探索相似三角形相似的条件知识讲解(基础)
探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：51AC AB -=≈0.618AB(0.61851-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】下列图形中，必是相似形的是（ ）．A ．都有一个角是40°的两个等腰三角形B ．都有一个角为50°的两个等腰梯形C ．都有一个角是30°的两个菱形D ．邻边之比为2：3的两个平行四边形【答案】C.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．（1）证明：△ABD ∽△DCF ；（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE ⊥AB ， ∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．3、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别AB 、CB 延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE ．若BC=6，AC=8，求证：△ABC ∽△DBE ．【思路点拨】首先利用勾股定理可求出AB 的长，再由已知条件可求出DB ，进而可得到DB ：AB 的值，再计算出EB ：BC 的值，继而可判定△ABC ∽△DBE ．【答案与解析】证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=22BC AC +=10，∴DB=AD-AB=15-10=5∴DB ：AD=1：2，又∵EB=CE-BC=9-6=3，∴EB ：BC=1：2，∴EB ：BC=DB ：AD ，又∵∠DBE=∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．举一反三【变式】【答案】4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8， ∴12AC BC AB DF EF DE ===，∴△ABC ∽△DEF ． 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A ”型和“X ”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC=2222822+==；故答案为：135°；22．（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF ．∵AB=2，BC=22，FE=2，DE=2∴22,222AB BC DE FE ===． ∴△ABC ∽△DEF ．类型三、5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。
【压轴专练】专题07_探索三角形相似的条件(解析版)-2021-2022学年九上压轴题
2021-2022学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题07 探索三角形相似的条件一．选择题1．（2021春•沂源县期末）如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（）A．6对B．5对C．4对D．3对【思路引导】根据相似三角形的判定一一证明即可．【完整解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，∴共有6对相似三角形，故选：A．2．（2021春•芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【思路引导】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【完整解答】解：已知给出的三角形的各边分别为、2、、只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：A．3．（2021春•周村区期末）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x轴，y轴分别交于A，B两点，在第二象限内有一点P，使△P AO和△AOB相似，则符合要求的点P的个数为（）A．2B．3C．4D．5【思路引导】根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题．【完整解答】解：如图，①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．③作∠AOP3＝∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．故选：C．4．（2021春•雁塔区校级期末）如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．【思路引导】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【完整解答】解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当AC2＝AD•AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．5．（2021•龙湾区模拟）如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC【思路引导】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．【完整解答】解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；C、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．6．（2020•黄埔区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，E是BC 的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（）A．四边形AECD的周长是20B．△ABC∽△FECC．∠B+∠ACD＝90°D．EF的长为【思路引导】根据平行四边形和菱形的判定即可证明A选项；根据菱形的性质和三角形的面积公式即可证明C选项和D选项；根据△ABC与△FEC的三边长即可证明B选项．【完整解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC＝5，∴四边形AECD是菱形，∴菱形AECD的周长是20，故A选项正确，不符合题意；∵四边形AECD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠B+∠ACD＝90°，故C选项正确，不符合题意；如图，过A作AH⊥BC于点H，∵S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，∴AH＝＝，∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH＝．故D选项正确，不符合题意；在Rt△EFC中，EF＝，EC＝5，∴FC＝＝，在Rt△CAB中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∵＝，＝，＝，∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．故选：B．7．（2020秋•叶县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路引导】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【完整解答】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，故选：B．8．（2020•浙江自主招生）已知点A，C在直线BD的同侧，且AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，现有点P在直线BD上，并且满足△ABP与△CDP相似，则这样的点P的个数为（）A．3B．5C．6D．7【思路引导】设DP＝x，根据已知可以分三种情况：①当点P在线段BD上时；②当点P在线段BD的右侧时；③当点P在线段BD的左侧时；分别得出比例式得出方程，解方程求出x的值，即可得出结果．【完整解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，∴∠D＝∠B＝90°，设DP＝x，分三种情况：①当点P在线段BD上时，当PD：AB＝CD：PB时，△PDC∽△ABP，∴＝，解得：DP＝2或12，当PD：PB＝CD：AB时，△PCD∽△P AB，∴，解得：DP＝5.6；②当点P在线段BD的右侧，如图1所示：当时，△PCD∽△P AB，即，解得：x＝28；当时，△PCD∽△APB，即，解得：x＝﹣7±（负值舍去），∴PD＝﹣7+；③当点P在线段BD的左侧时，如图2所示：当时，△PCD∽△APB，即，解得：x＝7±（负值舍去），∴PD＝7+；综上所述：当DP＝5.6或2或12或28或﹣7+或7+时，△ABP与△CDP相似，即这样的点P的个数有6个；故选：C．9．（2019春•宝安区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD为边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（）（1）△P AM∽△PBC（2）PM⊥PC；（3）∠MPB＝∠MCB；（4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6（5）AN＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个【思路引导】根据互余角性质得∠P AM＝∠PBC，进而得△P AM∽△PBC，可以判断（1）；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断（2）；由B、C、P、M四点共圆得∠MPB＝∠MCB，进而判断（3）；过P点作EF⊥BC，分别志AD、BC相交于点EF，由相似三角形得PF，进而由△BCN与△BCP的面积之差求得△PCN的面积便可判断（4）；由△APB∽△NAB得，再结合△P AM∽△PBC便可判断（5）．【完整解答】解：（1）∵AP⊥BN，∴∠P AM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠P AM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△P AM∽△PBC，故（1）正确；（2）∵△P AM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故（2）正确；（3）∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故（3）正确；（4）过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F点，∵N为AD的中点，AB＝2∴AN＝DN＝，BC＝EF＝2，∴BN＝，易证△ANP∽△NBA，得，即，∴PN＝1，∴PB＝5﹣1＝4，∵AD∥BC，∴△PEN∽△PFB，∴，∴PF＝，∴，故（4）错误；（5）易证△P AN∽△P AB，∴，∵△P AM∽△PBC，∴，∴，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故（5）正确；故选：B．二．填空题10．（2021春•濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动或s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC 相似．【思路引导】分两种情形①当＝时，②当＝时，分别构建方程求解即可．【完整解答】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，∴AD＝6﹣t，∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①当＝时，即＝，解得：t＝；②当＝时，即＝，解得：t＝；综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．11．（2021•葫芦岛二模）如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于12或．【思路引导】根据相似三角形对应边成比例得出＝或＝，再代值计算即可．【完整解答】解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴＝或＝，∵AD＝AB，AB＝15，∴AD＝10，∵AC＝18，∴＝或＝，解得：AE＝12或．故答案为：12或．12．（2020秋•北海期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，点Q 是BC边上一个动点，当BQ＝2或8 时，△BPQ与△BAC相似．【思路引导】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．【完整解答】解：∵AB＝8，BC＝16，点P是AB边的中点，∴BP＝4．当△BPQ∽△BAC时，则＝，故＝，解得：BQ＝8；当△BPQ∽△BCA时，则＝，故＝，解得：BQ＝2，综上所述：当BQ＝2或8时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：2或8．13．（2021•抚顺县模拟）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能与△ABC相似的是③△DEB．（△ABC除外）【思路引导】分别求出三个三角形的三边的比，符合这个结果就是与△ABC相似的．【完整解答】解：∵△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1：：；③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：．∴③（△DEB）与△ABC相似，故答案为：③△DEB．14．（2021•河北模拟）如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有 4 条．【思路引导】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．【完整解答】解：如图所示，①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．故答案为：4．15．（2020秋•松江区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上一点，将△ABC沿经过点P的直线折叠，使得点A落在边BC上的A′处，若△PBA′恰好和△ABC相似，则此时AP的长为或2﹣2 ．【思路引导】分两种情形：①如图1中，当∠P A′B＝∠C＝90°时，△BP A′∽△BAC，②如图2中，当∠PBC＝90°时，△BP A′∽△BCA，分别利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【完整解答】解：①如图1中，当∠P A′B＝∠C＝90°时，设P A＝P A′＝x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵∠B＝∠B，∠BA′P＝∠C＝90°，∴△BP A′∽△BAC，∴＝，∴＝，∴x＝．②如图2中，当∠BP A′＝90°时，△BP A′∽△BCA，∴＝，∴＝，∴x＝2﹣2，综上所述，满足条件的AP的值为或2﹣2．16．（2020秋•江阴市月考）如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是6≤AP＜8 ．【思路引导】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．【完整解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜8；如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0＜AP≤8；如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，∴CP＝2，AP＝6，∴此时，6≤AP＜8；综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似，则AP长的取值范围是6≤AP＜8．故答案为：6≤AP＜8．17．（2019•东平县二模）如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B 出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝1.2 s时△APR∽△PRQ．【思路引导】先证△CRQ为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，由QR∥BA推得∠QRP＝∠APR，从而△PRQ中再有一个角等于∠A，即等于60°，即可得△APR ∽△PRQ．根据相似三角形的性质列比例式求解即可．【完整解答】解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵QR∥BA∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°∴△CRQ为等边三角形∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t∵QR∥BA∴∠QRP＝∠APR若要△APR∽△PQR，则需满足∠RPQ＝60°∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°∴∠BPQ＝∠ARP又∵∠A＝∠B∴△APR∽△BQP∴＝∴＝解得t＝1.2故答案为1.2．18．（2011春•成华区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN 的两端在CB、CD上滑动，当CM＝或时，△ADE与△CMN相似．【思路引导】根据AE＝EB，△AED中AD＝2AE，所以在△MNC中，分CM与AE和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【完整解答】解：∵AE＝EB，∴AD＝2AE，又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+CM2＝4，解得：CM＝；②CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+4CM2＝4，解得：CM＝．综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．故答案是：或．19．（2003•武汉）△ABC中，以AB为直径的▱O交BC边于点D，连接AD，要使△ABD与△ACD相似，则△ABC的边AB与AC之间，应满足的条件为AB⊥AC．（填入一个即可）【思路引导】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．【完整解答】解：∵AB为▱O的直径∴∠ADC＝∠BDA＝90°∴当∠CAD＝∠B时，△ABD∽△CAD∵∠CAD+∠C＝90°∴∠B+∠C＝90°∴AB⊥AC答案不唯一，如AB⊥AC．三．解答题20．（2021春•朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD•BC，求证：△ABC∽△DAC．【思路引导】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．【完整解答】证明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∵AC2＝CD•BC，∴＝，∴△ABC∽△DAC．21．（2021春•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？【思路引导】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．【完整解答】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．×2x（8﹣x）＝×8×10×．解得x1＝x2＝4．答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．∵∠C＝∠C，∴可分为两种情况：①＝，即＝，解得t＝；②＝，即＝．解得t＝．答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．22．（2021•越秀区校级二模）如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．【思路引导】根据等腰三角形的性质得出∠PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可．【完整解答】证明：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，又∵∠A＝∠BPD，∴∠B＝∠APC，∴△APC∽△PBD．23．（2020秋•崇川区期末）如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝4，AC＝3，AB＝a，在线段AB上是否存在一点E，使△BDE∽△ACE？【思路引导】当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，利用相似三角形的性质解答．【完整解答】解：存在，理由如下：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，∴＝＝，∴AE＝BE，∴AE＝AB＝a．∴点E在线段AB上，距离点A的距离是a．24．（2020秋•宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD．【思路引导】利用“两角法”证得结论．【完整解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°．∴∠ACB+∠ACD＝90°．又∵AC⊥DE，∴∠CDE+∠ACD＝90°．∴∠ACB＝∠CDE．∴△ABC∽△ECD．25．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【思路引导】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F 即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【完整解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．26．（2020秋•肇源县期末）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【思路引导】先利用勾股定理计算出AB＝5，由于∠P AQ＝∠BAC，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，然后分别解方程求出t即可．【完整解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝5，则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，∵∠P AQ＝∠BAC，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．27．（2019秋•临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BCF．【思路引导】（1）根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C＝∠E，结合图形，证明即可．【完整解答】（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF．28．（2020春•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点B开始，沿BC边以2cm/s的速度向点C运动，当点P运动到点B时，运动停止，如果P、Q分别从A、B两点同时出发．（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2？（2）几秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【思路引导】（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6﹣x，BQ＝2x，再分△BPQ∽△BAC与△BPQ∽△BCA两种情况进行讨论即可．【完整解答】解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于8cm，此时，AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，∵S△PBQ＝BP•BQ，即（6﹣t）×2t＝8，即t2﹣6t+8＝0，解得t1＝2，t2＝4．∴2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设x秒后以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，AP＝x，BP＝6﹣x，BQ＝2x，①若△BPQ∽△BAC，则＝，即＝，解得x＝3；②若△BPQ∽△BCA，则＝，即＝，解得x＝1.2．综上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。
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练习2、判断正误：
1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似√( ) 2.所有的直角三角形都相似。 （×） 3.两个等腰直角三角形相似。 （√ ） 4.顶角相等的两个等腰三角形相似. （√ ） 5. 有一个角相等的两个等腰三角形相似. （×）
300 300
如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的
两角对应相等的两个三角形相似.
D
A
B
CE
F
如图,在△ ABC和△ DEF中 ∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∴ △ ABC∽ △DEF.
小试牛刀
练习1 下列图形中两个三角形是否相似？说明理由
A’
B
A
A
C
D
B A
C B’
C’
(1) 是
(2）是
E
B
A’
E
B
C B’
(3) 否
C’
A
D
C
( 4 ) △ ACE与 △BCD相似吗？是
（2）△ADE∽△ACB 理由是：
∠D =∠C ∠E =∠B
（3）△ADE∽△ACB
△ADE∽△ACB
→ AD AC
=
DE BC
=
AE AB
课堂达标 1.如图在△ABC中，DE∥ BC,AD=3cm,BD=2cm,△ADE与△ABC
是否相似，相似比是 3 。 5
2.如图，D,E分别为△ABC中AB,AC边上的点，请你添加一个条件
（两角对应相等的两个三角形相似 ）
如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的
点,DE∥BC.
A
（1）图中有哪些相等的角?
（2）找出图中的相似三角形,
D
E
并说明理由;
（3）写出三组成比例的线段.
B
C
(3) ∵ △ ADE∽ △ABC
ADDE AE. AB BC AC
（相似三角形对应边成比例.）
A
D
E
B
C
5、发散探究
过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D作一 条直线与另一边AC相交， 截得的小三角形与△ABC相似，这样的直 线有几条？请把它们一 一作出来。
AD ●B来自E FCA D A E
提示：线 段AB BD AD 有什么 关系呢？
即BD CE. AD AE
D
E
如图，DE∥BC
⑴图中有哪些相等的角？
A
⑵找出图中的相似三角形，
并说明理由。
⑶写出三组成比例的线段。
B
C
解：（1） DE∥BC
∠E 与∠B是内错角
∠D =∠C ，∠E = ∠B
∠D与∠C是内错角
所以∠D =∠C ，∠E = ∠B, ∠DAE = ∠BAC,
（2）用刻度尺分别量出两个三角形的边长（可保留一位小数） 并 使 用 计 算 器 计 算 对 应 边 的 比 A B ,A C ,B C 的 比 值 相 等 吗 ?
A 1 B 1A 1 C 1B 1 C 1
同学们所作的两个三角形相似吗? （由定义法判定）
通过上面的活动,同学们猜出了什么结论呢?
判定三角形相似的方法之一
小明和小亮在老师的指导下分别制作了 一个风筝。
问题
1、这两个风筝的形状有何关系？ 2、如何判定这两个风筝中的三角形相似呢？
根据定义我们判断两个三角形相似需要哪些条件？
A D
B
C
E
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
AB BC AC DE EF DF
△ABC∽△DEF
2、能否象判断三角形全等那样，利用尽可能少的条 件判断三角形相似呢？
一、温故知新，谈话揭题
1、什么叫全等三角形?
2、全等三角形的判定 方法有哪些？
1、什么叫相似三角形?
2、要同时满足六个元素， 判定时感觉太繁，想不想找一 些简单的方法来判定两个三角 形相似呢？
AAS ASA SAS SSS HL
只要确定三角形的形 状，不必考虑其大小， 究竟需要哪些条件呢？
情景问题：
例如:等边三角形与含60°角的直角三角形
结论：一角对应相等的两个三角形不一定相似
合作交流
问题二：两角对应相等的两个三角形相似吗?
活动要求：
以小组为单位合作完成：请依据下列条件画三角形：两人一组，一 人画△ABC，另一人画△A1B1C1 ,使∠A= ∠A1＝60 °
∠B= ∠B1 ＝45 ° 比较（1）你们画的两个三角形, ∠C与∠C1相等吗?
问题 & 探索
两个三角形中，从边角关系看，有那几种情况呢？
猜想一：一个角对应相等
3种猜想：角 角和 的边 关关 系系猜 猜想 想二 三： ：两 三个 个角 角对 对应 应相 相等 等 边的关系 根据三角形内角和，可将猜想三与
猜想二化归为同一个猜想
如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？
例 如图4-17,D,E分别是△ ABC边AB,AC上的
点,DE∥BC.
A
还是在上面例题的条件下,
AB AC吗? BD CE吗?
D
E
AD AE
AD AE
解: （1）由上述第(3)题可知:
B
C
∵ △ ABC∽ △ADE
2 AB AC.
AD AE
AB AC . AD AE
A BA D A C A E合 比 性 质 .
使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是 ∠ ADE= ∠C （∠AED= ∠B） 。
3.如图，在△ABC中， ∠ADE=∠C,则下列等式成立的是（C ）
A.
AD BC
AE AC
C. DE AE BC AB
B. AE AD BC BD
D. DE AD BC AB
4、如图，已知ΔABC中，DE∥BC , AD = DB = DE =1， 则BC= 2 。
点,DE∥BC.
A
（1）图中有哪些相等的角?
（2）找出图中的相似三角形,
D
E
并说明理由;
（3）写出三组成比例的线段.
B
C
解:(1) ∵ DE∥BC
(2) △ ADE∽ △ABC.
∴ ∠ADE=∠B,
理由是:
∠AED=∠C.
∵ ∠ADE=∠B
( 两直线平行,同位角相等. ）
∠AED=∠C
∴ △ ADE∽ △ABC.