操作探究型问题

之间是倍分关系吗？
解题方法点析
此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究 问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、 自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后
的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、
距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．
解：∵∠ACB ＝90°，D 是 AB 的中点， ∴DC＝DB＝DA，∴∠B＝∠DCB . 又∵△ABC≌△FDE ，∴∠FDE＝∠B. ∴∠FDE＝∠DCB，∴DG∥BC. ∴∠AGD＝∠ACB＝90°，∴DG⊥AC. 又∵DC＝DA，∴G 是 AC 的中点， 1 1 1 1 ∴CG＝ AC＝ ×8＝4，DG＝ BC＝ ×6＝3. 2 2 2 2 1 1 ∴S△ DCG＝ ×CG·DG＝ ×4×3＝6. 2 2
1 D AB AD ∵ 是 的中点，∴ ＝ AB＝5. 2 在△ADH 与△ACB 中，∵∠A ＝∠A ，∠ADH＝∠ACB＝90°， ∴△ADH∽△ACB，∴ AD DH ＝ ， AC CB
5 DH 15 即 ＝ ，∴DH＝ ， 8 6 4 1 1 1 1 15 75 ∴S△ DGH＝ S△ADH ＝ × ×DH·AD＝ × ×5＝ . 2 2 2 4 4 16
图40－4
(1)独立思考：请解答老师提出的问题； (2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将 △DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，
如图40－5，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出
解答过程．
图40－5
例题分层分析 (1)为求△DCG的面积，需要研究该三角形的边角的 特征； (2)当将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H， 此时G点是AH的中点吗？△DGH的面积与△DAH的面积
1 4× ×12＝2. 2
2 (3) . 3 提示：模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“尖 角三角形”，如下图． 这样，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影 三角形的面积！
探究二
中心对称操作探究问题
例2 [2013· 陕西] 问题探究 (1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线 (要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分， 并说明理由． 问题解决 (3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是 AD的中点，如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一 点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在， 求出BQ的长；若不存在，说明理由．
操作探究型问题
操作探究型问题是通过动手测量、作图(象)、 取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究 性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手 脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理 猜想和验证．常见类型：(1)操作设计问题；(2) 图形剪拼；(3)操作探究；(4)数学建模．解题策 略：运用观察、操作、联想、推理、概括等多 种方法．
图40－2
例题分层分析 (1)△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等
腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动
手试试． (2)要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面
的4个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积．
(3)依图40－1②的作法补全图40－2，外面的三个“尖角 三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积．
解题方法点析
此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼 接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称 等变换进行作图．
解：(2)四个等腰直角三角形面积和为 a2， 正方形 ABCD 的面积为 a2， ∴S
正方 形
MNPQ ＝ S △ ARE ＋ S △ DWH ＋ S △ GCT ＋ S △ SBF ＝ 4S △ ARE ＝
(2)∵△ABC≌△FDE ，∴∠B＝∠1. ∵∠C＝90°，ED⊥AB， ∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠2＝90°， ∴∠B＝∠2，∴∠1＝∠2.∴GH＝GD. ∵∠A＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°， ∴∠A＝∠3，∴AG＝GD，∴AG＝GH， ∴点 G 是 AH 的中点． 在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝ 82＋62＝10.
请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝 隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为________； (2)求正方形MNPQ的面积；
(3)参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 40－ 2， 在等边△ABC 各边上分别截取 AD ＝BE ＝ CF ，再分别过点 D ， E ， F 作 BC ，AC ， AB 的垂线， 得到等边△RPQ ， 若 S △RPQ＝ 3 ，则 AD 的长为________． 3
例题分层分析
(1)如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？
利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆
的什么性质？ (2)利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？
利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M，要求其中一
条直线必须过点M，如何分割呢？
(3)把正方形改为菱形呢？ 解题方法点析 平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形．过对称 中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．
探究三
平移旋转操作探究问题
例3 [2013· 山西改编]数学活动——求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图40－4，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF
叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC
＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交 AC于点G. 求重叠部分(△DCG)的面积．
解：(1)如图所示．
(2)如图，连接AC、BD相交于点O，
作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，
过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、 F两点，则直线OM、EF将正方形
ABCD的面积四等分．理由如下：
∵点 O 是正方形 ABCD 的对称中心， ∴AP＝ CQ，EB＝DF. 在△AOP 和△EOB 中， ∵∠AOP＝90°－∠AOE，∠BOE＝90°－∠ AOE， ∴∠AOP＝∠BOE. ∵OA＝OB ，∠OAP＝∠EBO＝45°， ∴△AOP≌△BOE. ∴AP＝ BE＝DF＝CQ， ∴AE＝BQ ＝CF＝PD. 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为 d， 1 1 1 1 则 (AP＋AE) d＝ (BE＋BQ)d＝ (CQ ＋CF)d＝ ( PD＋DF) d. 2 2 2 2 ∴S 四边形 APOE ＝S 四边形 BEOQ＝S 四边形 CQOF ＝S 四边形 FOPD . ∴直线 EF、 OM 将正方形 ABCD 的面积四等分．
探究一
折叠剪拼操作面材料:小明遇到这样一个问题：如图40－1①所 示，在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH ＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ 的面积． 小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长 线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全 等的等腰直角三角形(如图40－1②)．
(3) 存在．当 BQ＝CD＝b 时，PQ 将四边形 ABCD 的面积二等分． 理由如下： 如图，延长 BA 到点 E，使 AE＝b，延长 CD 到点 F ， 使 DF＝a，连接 EF. ∵BE CF ，BE＝BC＝a＋b， ∴四边形 EBCF 是菱形． 连接 BF 交 AD 于点 M ，则△MAB ≌△MDF. ∴AM ＝DM ， ∴P、M 两点重合． ∴P 点是菱形 EBCF 对角线的交点．
在 BC 上截取 BQ＝CD＝b，则 CQ＝AB＝a. 设点 P 到菱形 EBCF 一边的距离为 d， 1 1 1 则 ( AB＋BQ)d＝ (CQ＋CD)d＝ (a＋b)d， 2 2 2 ∴S 四边 形 ABQP＝S
四边 形 CDPQ
.
∴当 BQ＝b 时，直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成 相等的两部分．