第七章第三节均匀各向同性湍流

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二、两点脉动速度相关矩
以Bij表示M点脉动速度和M’点脉动速度间 的相关矩，即
Bij = u i u ′j
Bi , j (r ) = [ B LL (r ) − B NN (r )]
BLL = u f (r )
2
ξ iξ j
r
2
+ B NN (r )δ ij
若以f(r)和g（r）分布表示纵向和横向相关系数，则
∂ri ∂r ri ∂ri = = δ ij =3 ∂ri r ∂ri ∂r j
u 2 r df r df 2 Bi , j (r ) = 2 [− ri r j + ( f + )r δ ij ] 2 dr 2 dr r
r1，2，3为r在（x1，x2，x3）在直角坐标系的分量
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三、两点速度三元相关矩
3
Keller与Friedman的思路
Keller与Friedman的思路
Reynolds平均 一点平均
N-S方程
Reynolds方程
− (u i′u ′j )
方程不封闭
怎么办？
R=0,τ＝0 两点相关矩 v v v v v Bij ( x , t ; r ,τ ) = u i′ ( x , t )u ′j ( x + r , t + τ )
B p, j v r = B1 (r ) r
B p , j = pu ′j = B1 (r )
rj r
= pu ′ ρ
rj r
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各向同性湍流场 压力速度相关矩
由各向同性的定义
⎧ puθ = − puθ ′ ⎪ ′ ⎨ ′ ⎪ puϕ = − puϕ ⎩ ′
⎧ p ′uθ = − p ′uθ ⎪ ⎨ ⎪ p ′uϕ = − p ′uϕ ⎩
2
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如何将B和S用f和k来表示
B jk ,i ( − r ) = − B jk ,i ( r )
Bi , jk ( r ) = − B jk ,i (r )
2k + r 4r ∂k ∂r (r δ + r δ )] j ik i jk
B jk ,i ( − r ) = Bi , jk ( r )
′ × uk
× ui
′ ∂ 1 ∂pu k ∂p ′u i ∂ ∂ ′ ′ ′ ) + υ (∇ 2 + ∇ ′ 2 22 i u k )u ′ ui u k + ui u j u k + u i u ′j u k = − ( + ∂t ∂x j ∂x ′j ρ ∂xi ∂xi′
Karman-Howarth方程
最后得到各向同性条件下的三元相关矩为：
Bij ,k ∂k ri rj rk k = (u ) [(k − r ) 3 − rk δ ij ∂r 2r 2r ∂k 2k + r ∂r (r δ + r δ )] + j ik i jk 4r
2 3/ 2
可见，Bij,k只决定于径向相关函数k（r，t）。
ri r j ∂k ∂h 2 ∂h 2 [ − + (k − h − 3g )] + δ ij [ + (h + g )] = 0 2 ∂r r r ∂r ∂r r
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两点速度三元相关矩
h, g, k之间的关系为：
1 ⎧ ⎪ h=−2k ⎨ k r ∂k ⎪g = + 2 4 ∂r ⎩
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两点速度三元相关矩
在均匀各向同性湍流场中，根据 Robertson(1940)的研究
′ Bij ,k ≡ u i u j u k = A2 ri r j rk + B2 rk δ ij + C 2 r j δ ik + D2 ri δ jk
Bij,k关于ij对称 取x1与MM’重合，r1=r,r2=r3=0.
Bij ,k
−
∂ [ ∂r j
1 ∂k k k ∂ k [ rk δ ij ] = ri rk (− 2 + 3 ) + δ ik (− ) ∂r j 2r 2r 2r ∂r 2r
∂k k r ∂ 2 k 3 ∂k 3k 1 ∂ 2k 1 ∂k ∂r (r δ + r δ )] = r r ( + ) + − 3 ) + δ ik ( + 2 j ik i jk i k 2 2 4r ∂r 4 ∂r 2 ∂r 27 r 2 4r 2r ∂r 2r
B NN = u 2 g (r )
u2 Bi , j (r ) = 2 [( f − g )ri r j + gr 2δ ij ] r
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径向相关系数和纵向相关系数
对不可压缩均匀各向同性湍流，径向相关系 数和纵向相关系数 的关系为：
r df g= f + 2 dr
v v v ∂Bij (r ) ∂u i ( x + r ) =0 =0 ∂ri ∂ri
B1 ( r ) = C r2
B1 (r ) = 0
B p, j = 0
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压力－速度相关矩
在不可压缩均匀各向同性湍流中，压力脉动 与速度脉动是统计独立而不相关的。
21Leabharlann 五、Karman-Howarth方程
相关矩所满足的方程。 由于湍流均匀，平均场为零，则M和M’两点 的脉动方程为
∂u i ∂u i u j 1 ∂p =− + υ∇ 2 u i + ∂x j ∂t ρ ∂xi ′ ′ ∂u k ∂u k u ′j 1 ∂p ′ ′ + =− + υ∇ ′u k ′ ∂t ρ ∂x k ∂x ′j
′ ′ puθ = puϕ = p ′uθ = p ′uϕ = 0
pu ′ ≠ 0 ρ
p′u ρ = 0
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对于不可压缩流体
根据不可压缩流体的连续性方程得
∂B p , j ∂r j = ∂ pu ′j ∂r j =p ∂u ′j ∂r j =0
rj ∂ ( B1 (r ) ) = 0 ∂r j r
III
= (u )
2 3/ 2
3 ∂ k 2 ∂k k r ∂ 2 k 3 ∂k k [ri rk ( + )] + + ) + δ ik ( + 4r ∂r 2 r 2 ∂r r 3 4 ∂r 2 2 ∂r r
1 ∂ 2 k 1 ∂k k ∂ ∂k ri r j rk [(k − r ) ] = ri rk ( − 2 2 − 2 + 3) 3 ∂r j ∂r 2r 2r ∂r r ∂r r
一般情况下，任意两点M点和点脉动速度三 元相关矩为下列张量
′ Bij ,k ≡ u i u j u k
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两点速度三元相关矩
它表示 M 点脉动速度与 M’点速度间的相关， 它应该有27个分量，考虑到均匀各向同性特 点，该张量不为零的分量只有三个
2 B LL , L = u L u ′ = (u 2 ) 3 / 2 k ( r , t ) L
上式取平均后， 即可得到描述相关矩 Bi，k 的微分方程。
∂ 2 ( − 2υ∇ r ) Bi ,k = S ik ∂t
(7.3.29)
∂ ∂ ′ ′ S ik = (u i u j u k − u i u ′j u k ) = ( Bij ,k − Bi , jk ) ∂r j ∂r j
∂ ∂ ∂2 2 ∇r = 2 = ∂r j ∂r j ∂r j
Reynolds方程解出
思路好困难多
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本节内容
若不对湍流加以限制，人们便无法处理这样 一个庞杂的体系。均匀各向同性湍流就是为简 化求解相关矩目的而提出的。 一、均匀各向同性湍流 二、两点脉动速度相关矩 三、两点速度三元相关矩 四、压力－速度相关矩 五、Karman-Howarth方程 六、Karman-Howarth方程的应用
2k + r
如何将B和S用f和k来表示
∂B jk ,i ∂r j = (u )
2 3/ 2
∂ ∂ ∂k ri r j rk ∂ k { [(k − r ) ]− [ ri δ jk ] + [ ∂r j ∂r 2r 3 ∂r j 2r ∂r j
2k + r 4r
∂k ∂r (r δ + r δ )]} j ik k ij
Bij ,k = (u )
2 3/ 2
∂k ri r j rk k − rk δ ij + [(k − r ) 3 ∂r 2r 2r
B jk ,i = (u )
2 3/ 2
∂k ri r j rk k − ri δ jk [(k − r ) 3 ∂r 2r 2r
∂k 2k + r ∂r (r δ + r δ )] + j ik k ij 4r
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一、均匀各向同性湍流
均匀各向同性湍流是一种简化了的时空 结构的湍流。在自然界中，完全满足均匀 各向同性的湍流并不存在，但在一定条件 下，它仍可作为对实际湍流运动的一种近 似。 当两点k阶相关矩中的两点重合为一点 时，此时所有一点k阶矩中之奇阶矩均为 零。特别是一点一阶矩为零 .
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均匀各向同性湍流
7、Prandtl动量输送理论的内容是什么？ 8、Taylor的混合长度指的是什么？ 9、Taylor涡度输送理论的内容是什么？ 10、近地面层的风速随高度呈对数分布的 条件是什么？ 11 、 从 湍 流 能 量 方 程 ， 你 能 悟 出 什 么 道 理？
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§7．3 均匀各向同性湍流
从湍流研究的观点看，Prandtl混合长 度理论解决了求解平均场方程的闭合问 题，但它消除掉了湍流脉动的相关矩，无 法解决湍流场内部的微结构的问题，而湍 流场的微结构乃是湍流场的最重要的一个 基本特征量。 1924年Keller与Friedman提出了一个 从Navier—Stokes方程建立能够描述湍流 脉动速度空间两点二阶相关矩 Bij 的微分方 程的方法。