北师大版初中数学八年级上册《第七章 平行线的证明 5 三角形内角和定理》 优质课获奖教案_0
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理的证明(教案)
在总结回顾环节，我觉得自己对知识点的梳理和强调还不够到位。在今后的教学中，我需要更加明确地指出知识点的重要性和联系，帮助学生构建知识体系。
3.能够运用三角形内角和定理解决实际问题，如求三角形的某个内角度数。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够通过观察、分析、归纳，运用几何图形和平行线性质进行严谨的证明；
2.强化学生解决问题的策略意识，学会运用三角形内角和定理解决实际问题，提高数学应用能力；
3.增强学生的空间观念，使其能够理解和运用几何图形的性质，培养几何直观；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角和定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.对于几何证明部分，要更加关注学生的理解程度，通过简化证明步骤和增加示例来帮助学生掌握；
2.在实践活动和小组讨论中，要加强对学生的引导和启发，培养他们独立思考的能力；
3.在总结回顾环节，要更加明确地强调知识点的重要性和联系，帮助学生构建知识体系。
在今后的教学中，我会根据本次教学反思，调整教学策略，努力提高教学效果，使学生们能够更好地理解和应用三角形内角和定理。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形内角和定理的证明方法和应用这两个重点。对于难点部分，如几何证明的逻辑推理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
数学北师大版八年级上册 第七章 平行线的证明《三角形内角和定理》一等奖创新教案第2课时(含答案)
数学北师大版八年级上册第七章平行线的证明《三角形内角和定理》一等奖创新教案第2课时（含答案）第七章平行线的证明7.5 三角形内角和定理第2 课时一、教学目标1．掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题．2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：了解并掌握三角形的外角的定义．难点：掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺。
四、相关资源《三角形外角》动画，《三角形其他外角》动画．五、教学过程【新知导入】△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.请试着画出△ABC的其他外角.设计意图：外角概念探究意义不大，所以直接明晰这一概念，通过在图中标注其他外角，深化学生对外角概念的理解，同时，在图中标注其他外角的过程也为发现有关外角的结论做了铺垫.【合作探究】图中，∠ACD与其他角有什么关系？请证明你的结论.通过学生讨论，发现：定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知：△ABC.求证：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质），∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义）∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.设计意图：希望发现有关外角的两个定理.可以对学生进行适当的引导，关系既可以是不等关系，也可以是等量关系.【典例精析】例1 已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠B=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）设计意图：例题的图形较复杂，可以给出分析过程，鼓励学生先自行解决，同时对有困难的学生给予必要的指导.“想一想”关注解决问题方法的多样化，通过多种解法，开拓学生思维.例2 如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A.解析：由题意无法直接得出∠BPC＞∠A，延长BP交AC于D，就能得到∠BPC＞∠PDC，∠PDC＞∠A.即可得证．证明：延长BP,交AC于D，∵∠BPC是△PDC的外角(外角定义)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∵∠PDC是△ABD的外角(外角定义)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．∴∠BPC＞∠A.方法总结：利用推论2证明角的大小时，两个角应是同一个三角形的内角和外角．若不是，就需借助中间量转化求证．设计意图：让学生复习“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，同时体会某些不等关系的递推和论证过程.鼓励学生寻求多种解法，如还可以连接AP，并延长AP交BC于点D ,这时∠BPC 和∠A分别被分成了两个小角，用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可以证明.【课堂练习】1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （）×（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （）√（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （）×（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）√（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （）×（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）√2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )CA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )BA.120°B.115°C.110°D.105°4.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（）A.26°B.63°C.37°D.60°5.如图，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3等于( )A．110°B．160°C．137°D．115°解析：方法总结：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是等于任意两个内角的和．6.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1>∠3.∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）设计意图：巩固三角形外角定理.六、课堂小结今天这节课你学到了什么知识？1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角设计意图：通过对三角形外角及性质的学习，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．七、板书设计7.5 三角形内角和定理（2）1．外角2．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和3．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
八年级数学上册 第七章 平行线的证明三角形内角和定理作业设计 北师大版
5 三角形内角和定理一、选择题1. 在△ABC中，∠A＝75°，∠B－∠C＝15°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 45°C. 50°D. 10°2. 在△ABC中，如果∠A=∠B=4∠C，那么∠C的度数是（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3. 下列说法错误的是（）A. 一个三角形中至少有一个角不大于60°B. 锐角三角形中任意两个角的和小于直角C. 一个三角形中至多有一个角是钝角D. 一个三角形中至多有一个角是直角4. 下列叙述中正确的是（）A. 三角形的外角等于两个内角的和B. 三角形的外角大于内角C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D. 三角形每一个内角都只有一个外角5. 如果三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数比为（）A. 4∶3∶2B. 3∶2∶4C. 5∶3∶1D. 3∶1∶56. 三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非锐角三角形7. 等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（）A. 55°B. 70°C. 55°或70°D. 以上答案都不对8. 在△ABC中，∠A＝36°，∠C是直角，则∠B＝________.9. 在△ABC中（1）∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，则此三角形是______ 三角形；（2）∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则此三角形是______ 三角形；（3）∠A＝2∠B＝3∠C，则此三角形是______ 三角形；（4）∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是______ 三角形；（5）∠A－∠B＝∠C，则此三角形是______ 三角形.10. 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝_______.11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，那么∠EDC=_____________°．12. 如图，在四边形ABCD中，∠ B=70°，∠ C=50°，在顶点D的一个外角为80°，则顶点A的一个外角α=__________.13. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°．14. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______．15. 一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_________°16. 已知∠ABC，∠ACB的平分线交于I.（1）根据下列条件分别求出∠BIC的度数：①∠ABC＝70°，∠ACB＝50°；②∠ACB＋∠ABC＝120°；③∠A＝90°；④∠A＝n°.（2）你能发现∠BIC与∠A的关系吗？17. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于F，求证：∠C+∠1+∠2+∠3=180°.答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180o(三角形内角和为180 o),且∠A=75°，∠B=50°，∴∠C＝180o－（∠A+∠B）＝180 o－（75°+50°）＝55°，故选D.2. 【答案】B【解析】设∠C =k°，则三个内角的度数分别为4k°，4k°，k°，根据三角形内角和定理，可知4k°+4k°+k°=180°，得k°=20°，即∠C的度数是20°．故选B．3. 【答案】B【解析】如果锐角三角形中任意两个角的和小于直角，那么不符合三角形内角和定理．故选B．4. 【答案】C【解析】A、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；B、三角形的外角大于和它不相邻的一个内角，故本选项错误．C、符合三角形外角的性质，故本选项正确；D、三角形每一个内角都有两个外角，故本选项错误.故选C．5. 【答案】C【解析】∵三角形三个外角的度数之比为2：3:4，而这三个外角的和为360°，∴这三个外角分别为：80°、120°、160°，∴与这三个外角相邻的内角度数分别为：100°、60°、20°，∴对应的三个内角的度数之比为：100:60:20=5:3:1.故选C.6. 【答案】D【解析】因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而题中说这个外角大于它相邻的内角，所以可知与它相邻的这个内角是一个大于或等于90°的角，则这个三角形就是一个钝角三角形或直角三角形.故选D.7. 【答案】C【解析】因为等腰三角形的一个外角为110°，所以相邻的内角为180°-110°=70°，分两种情况讨论：（1）当此角是底角时，则它的底角为70°；（2）当此角为顶角时，则底角为（180°-70°）÷2=55°∴综上可知，底角为55°和70°．故选C．考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理；3.三角形的外角性质．8.【答案】54°【解析】根据直角三角形的两个锐角互余得：∠B=90°-∠A=90°-36°=54°．9. 【答案】 (1). 等腰直角； (2). 直角； (3). 钝角； (4). 直角； (5). 直角；【解析】（1）∠A：∠B：∠C=1：1：2，则∠A=∠B，且∠C=90°．则此三角形是等腰直角三角形；（2）∠A：∠B：∠C=2：3：5，设∠A=2x．则2x+3x+5x=180°，解得x=18°．则5x=5×18=90°，则此三角形是直角三角形；（3）∠A=2∠B=3∠C，同（2）求解，解得∠A＞90°，则此三角形是钝角三角形；（4）∠A=∠B=∠C，同（2）求解，解得∠C=90°，则此三角形是直角三角形；（5）∠A-∠B=∠C，同（2）求解，解得∠A=90°，则此三角形是直角三角形．10.【答案】18°【解析】设∠A=x，则∠C=∠ABC=2x．根据三角形内为180°知，∠C+∠ABC+∠A=180°，即2x+2x+x=180°，所以x=36°，∠C=2x=72°．在直角三角形BDC中，∠DBC=90°-∠C=90°-72°=18°．考点：三角形内角和定理．11.【答案】25【解析】∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ECD=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=50°，∴∠EDC=∠ECD=25°．12.【答案】40°【解析】如图，∵∠B=70°，∠C=50°，∴∠E=180°-∠B-∠C=180°-70°-50°=60°，∴∠α=180°-60°-100°=20°．13.【答案】280【解析】根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2 +∠3+∠4=140°+140°=280°.故答案为：280.14. 【答案】140°【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ABC=∠ACD=90°﹣∠BCD=40°，∴∠EBC=180°﹣∠ABC=140°．故答案为：140．15.【答案】65【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．∵∠1=155°，∠2+90°=∠1，∴∠2=155°-90°=65°．16.【答案】（1）①∠BIC=120°；②∠BIC=120°；③∠BIC=135°；④∠BIC=90°+n°.（2）∠BIC=90°+∠A.【解析】（1）①已知∠ABC，∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；②已知∠ABC+∠ACB，由内角和定理求∠BAC，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；③已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；④已知∠A，由内角和定理求∠ABC+∠ACB，再根据角平分线性质求∠IBC+∠ICB，在△IBC中，由内角和定理求∠BIC的度数；（2）∠BIC的大小不发生变化．可由角平分线的性质及三角形内角和定理求出∠BIC=90°+∠A．解：（1）①∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC=35°，∠ICB=∠ACB=25°，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；②∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=120°；③∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠A CB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=135°；④∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=90°+n°；（2）∠BIC的大小不发生变化．∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-（∠ABC+∠ACB），=180°-（180°-∠A），=90°+∠A，17.【答案】证明见解析.【解析】根据三角形外角的性质推出∠2=∠FAB+∠FBA，根据三角形内角和定理，即可推出∠C+∠1+∠2+∠3=∠C+∠1+∠FAB+∠FBA+∠3=∠C+∠CAB+∠ABC=180°．证明：∵∠ADB是△ADC的外角∴∠ADB＝∠3+∠C∵∠1+∠2+∠ADB=180°∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°。
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第6节 三角形内角和定理1
则∠DAE 的度数为
．
解：∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣80°=60°， ∵AE 平分∠BAC 交 BC 于 E，∴∠BAE= ∠BAC= ×60°=30°，∵∠B=40°，AD⊥ BC，∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣40°=50°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=50°﹣30°=20°． 故答案为：20°
三角形内角和定理
已知：如图， △ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
知识点
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）. ∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
北师大版八年级数学（上）
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理（1)
我们知道，三角形内角和等于180°. 你还记得这个结论的探索过程吗？ （1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的 位置，你能说明这个结论吗？如果 不移动∠A，那么你还有什么方法 可以达到同样的效果？ （2）根据前面给出的基本事实和定理， 你能用自己的语言说说这一结论的 证明思路吗？你能用比较简洁的语 言写出这一证明过程吗？与同伴进 行交流.
解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴设∠A、∠B、∠C 分别为 k、2k、3k， 由题意得，k+2k+3k=180°，解得 k=30°，∠C=3×30°=90°，∴这个三角形是直角 三角形．故选：C．
例 2：在△ABC 中，∠A=55°，∠B 比∠C 大 25°，则∠B 的度数为（ ） A．125° B．100° C．75° D．50°
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第7节 三角形内角和定理2
练习：如图所示，请将∠A、∠1、∠2 按从大到小的顺序排列
．
解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A ∴∠2＞∠1＞∠A，故答案为：∠2＞∠1＞∠A．
例 6：已知：如图，△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，E 是 CA 延长线上一点，F 是 AB 上一点， 连接 EF．求证：∠ACD＞∠E．
C．85°
D．25°
解：∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°． ∵∠B=25°，∴∠A=120°﹣25°=95°．故选：B．
3. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，点 F 在 BC 的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，
解：∵∠E=20°，∠ACB=75°，∴∠CAE=75°﹣20°=55°，∵AE 平分∠CAD， ∴∠EAD=55°，∴∠B=∠EAD﹣∠E=55°﹣20°=35°．
例 5：如图，下列关系正确的是（ ）
A．∠2＜∠1 B．∠2＞∠1 C．∠2≥∠1 D．∠2=∠1 解：∵∠2 是三角形的一个外角，而∠1 是此三角形的一个内角，且∠1 与∠2 不相邻，∴∠2＞∠1．故选：B．
练习：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=40°，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，求∠DCE 的 度数．
解：∵∠A=70°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=110°，
∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，∴∠DCE=
．
例 3：如图，直线 AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E 等于（ ）
证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD＞∠BAC， ∵∠BAC 是△AEF 的一个外角，∴∠BAC＞∠E，∴∠ACD＞∠E．
八年级数学上第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理2三角形的外角授课课北师大
感悟新知
1 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则
∠1＋∠2＋∠3等于( B )
A．180°
B．360°
知3－三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则
与之对应的三个内角的度数之比为( B )
A．4∶3∶2
B．5∶3∶1
C．3∶2∶4
D．3∶1∶5
课堂小结
谢谢观赏
You made my day!
∴∠C= 1EAC （等式的性质） . 2
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC= 1EAC （ 角 平 分 线 的 定 义 ） . 2
∴∠DAC=∠C （等量代换）.
∴AD// BC （内错角相等，两直线平行）.
感悟新知
1 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝ 30°，
延长BA至点D，则∠CAD的大小为( C )
证明：∵∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠BCA=180°，
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等
式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.
感悟新知
例3
如图，△CEF的外角为_∠__A_F_C__，__∠__B_E_F___．
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角定理
学习目标
1 课时讲解
三角形外角的定义 三角形外角的性质 三角形的外角和
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
新北师大版八年级数学上册第7章 平行线的证明《三角形内角和定理》优质课件
三 角
两个内角的和
形 的
三角形的一个外角大于任何一个和它
外
不相邻的内角
角
不等关系的证明思路
布
置
作
关业
注 三 角
课本P183 ,习题7.7 1、2、4题
形
的
外
角
下课
结束寄语
惜时如金,拼搏进取, 冲刺中考;耕耘今天, 收获明天,再创辉煌！
证明：三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
1
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和）
∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
☞ 关注▲外角 在这里,我们通过三角形内角 和定理直接推导出两个新定理. 像这样,由一个基本事实或定理 直接推出的定理,叫做这个基本 事实或定理的推论(corollary).
∠C=70o，求∠D的度数.
B
C
角 （3）已知：如图，∠EAC与 ∠EBC的
平分线相交于点D.
求证：∠D= 1 ∠C.
2
例
例2、已知：如图，在△ABC
题 欣 赏
关
中，∠1是它的一个外角，E为 边AC上一点，延长BC到D， 连接DE。 求证： ∠1 ＞∠2
注
三
证明：∵ ∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴
∠2=
1 2
∠EAC（角平分线的定义）
∴ ∠2=∠C（等量代换）
角
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
A1
D
2
B
C
变
式 训
北师版八年级数学上册课件 第七章 平行线的证明 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理的证明
三、解答题(共36分) 14．(10分)如图，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点 D，AE是∠BAC的平分线．求∠AED的度数．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAD＝50°，∠CAD＝ 30°.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝50°＋30°＝80°. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝40°.∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE ＝50°－40°＝10°.∴∠AED＝90°－∠DAE＝80°
7．(4分)(天门中考)如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶∠BDC＝ 1∶2，则∠DBC的度数是__5_0_°_．
8．(8分)如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F， ∠A＝57°，∠ACD＝35°，∠ABE＝19°，求∠BFD的度数．
解：∵∠A＝57°，∠ACD＝35°，∴∠ADC＝180°－∠A－∠ACD＝ 180°－57°－35°＝88°.∴∠BDC＝180°－∠ADC＝180°－88°＝ 92°.
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．(3分)已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B＋∠C＝ 2∠A，则此三角形( B )
A．有一个内角为45° B．有一个内角为60° C．是直角三角形 D．是钝角三角形
4．(3分)如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC，若 ∠A＝70°，∠AED＝60°，则∠B的大小为( A)
∵∠ABE＝19°，∴∠BFD＝180°－∠BDC－∠ABE＝180°－92°－ 19°＝69°
9．(9分)(教材P185复习题T6变式)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过 点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
北师大版八年级上册数学第7章平行线的证明 第5节三角形内角和定理
感悟新知
知识点 2 三角形的外角
知2－讲
1.三角形的外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延 长线组成的角，称为三角形的外角 . 如图 7-5-3，∠ ACD 是 △ ABC 的∠ ACB 的外角 .
感悟新知
2. 外角的特征 (1)顶点是三角形的顶点； (2)一条边是三角形内角的一边； (3)另一条边是该内角另一边的反向延长线 .
第七章
平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
三角形内角和定理 三角形的外角 三角形内角和定理的推论
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 三角形内角和定理
知1－讲
1.定理： 三角形的内角和等于 180° . 几何语言： 在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
感悟新知
2. 三角形内角和定理的证明思路
知1－讲
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将
三角形的三个内角转化为一个平角 . 如图 7-5-1 ①② .
感悟新知
知1－讲
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的 三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角 . 如图 7-5-2 ① ②.
感悟新知
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣三角形外角的定义识别外角 .
知2－练
解：图中△ CEF 的三边的延长线只有 EF的延长线 FA，
CE 的延长线 EB，延长线 FA与边 FC 构成的角为∠
AFC；延长线 EB 与边EF 构成的角为∠ BEF.
由三角形外角的定义可以判断∠ AFC，∠ BEF
是△ CEF的外角 .
北师大版初中数学八年级(上)7-5-2三角形内角和定理 教学课件 教学课件
A
1
B
F
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
2
3
C
D
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
E
∠ACD +∠3=180 ° .③
A
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
1
①+ ②+ ③得
B
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
又因为∠B=∠BAD，
A
1
所以B 80 40,
2
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180º-40º-70º=70°.
B
D
C
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
B
E
∴∠1=∠B+ ∠E.
同理∠2=∠A+∠D.
G
2
∠A < ∠1 < ∠2
D
E
课堂小结
角一边必须是三角形的一边，另一边必
定义
三角形
的外角
须是三角形另一边的延长线
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和
性质
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何
一个内角
三角形的
外 角 和
三角形的外角和等于360 °
当堂检测
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和。（
北师大版初中数学八年级(上)第七章平行线的证明7-5三角形内角和定理(第1课时) 教学详案
第七章平行线的证明5三角形内角和定理第1课时三角形的内角和定理教学目标1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用.2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.3.通过动手探究，使学生体验学习数学的乐趣，养成良好的学习习惯，寻找有效的学习方法.教学重难点重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.难点：应用三角形的内角和定理解决相关问题.教学过程导入新课三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.直角三角形：我的形状最大，那我的内角和最大.钝角三角形：不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.锐角三角形：我的形状最小，那我的内角和最小.我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?探究新知探究:在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.首先让学生自己动手探究,体会数学研究的乐趣.然后老师通过多媒体动画演示，验证这个结论是不是正确的.我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明.这就是我们这节课所要研究的内容.验证:三角形三个内角的和等于180°.已知：△ABC，求证∠A+∠B+∠C＝180°.方法一：过A点作P Q∥BC，∵P Q∥BC，∴∠P AB=∠B，∠Q AC=∠C（两直线平行，内错角相等）.∵∠P AB+∠BAC+∠Q AC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°.方法二：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA．∵CE∥BA，∴∠A=∠ACE ,∠B=∠DCE .又∵∠ACE+∠DCE+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.方法三：在BC边上任取一点P，作PF∥AB，PE∥AC.∴∠B=∠FPC,∠C=∠EPB (两直线平行，同位角相等)，∵∠A+∠AEP=180°,∠AEP+∠EPF=180°(两直线平行，同旁内角相补)，∴∠A=∠EPF.∵∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想:同学们还有其他的方法吗？多种方法证明的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.例1如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB 的度数.【解】在△ABC 中，∠B +∠C +∠BAC =180°（三角形内角和定理）. ∵ ∠B =38°，∠C =62°（已知），∴ ∠BAC =180°-38°-62°=80°（等式的性质）. ∵ AD 平分∠BAC （已知）, ∴∠BAD =∠CAD =21∠BAC =21×80°=40° （角平分线的定义）. 在△ADB 中，∠B +∠BAD +∠ADB =180°. ∵∠B =38°（已知），∠BAD =40°（已证）， ∴∠ADB =180°-38°-40°=102°（等式的性质）.例2 如图，在△ABC 中，D 在BC 的延长线上，过D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于F .已知∠A ＝30°，∠FCD ＝80°，求∠D 的度数.【解】∵DE ⊥AB ， ∴∠FEA ＝90°．∵在△AEF 中，∠FEA ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠AFE ＝180°-∠FEA -∠A ＝60°. 又∵∠CFD ＝∠AFE ， ∴∠CFD ＝60°.∴在△CDF 中，∠CFD ＝60°，∠FCD ＝80°，∠D ＝180°-∠CFD -∠FCD ＝40°. 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A ，∠B ，∠C 的度数.【解】设∠B =x °，则∠A =(3x )°，∠C =(x + 15)°， 从而有3x + x +(x +15)＝ 180. 解得x ＝33.所以3x ＝99，x +15＝48.则∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为99°，33°，48°.课堂练习1.已知△ABC 中，∠A =20°，∠B =∠C ，那么三角形△ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.75°B.65°C.165°D.155°3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（）A.35°B.5°C.15°D.25°4.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A.100°B.110°C.115°D.120°5.如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B 处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数.参考答案1.A2.C3.B4.B5.解：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE.∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°.∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°.又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°,∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°﹣35°-60°=85°．课堂小结（学生总结，老师点评）三角形内角和定理布置作业习题7.6第2，3题板书设计第七章平行线的证明5 三角形内角和定理第1课时三角形的内角和定理1.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.2.为了证明三角形三个内角的和等于180°,常通过作辅助线，将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补.。
北师大版八年级数学上册知识点归纳：第七章平行线的证明
第七章平行线的证明
1. 为什么要证明
2. 定义与命题
3. 平行线的判定
4. 平行线的性质
5. 三角形内角和定理
一、命题 :判断一件事情的句子。
如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断，那么它就不是命题。
每个命题都由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推论出的事项。
命题通常可以写成“如果。
那么。
”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
公认的真命题称为真理。
演绎推理的过程称为证明，经历证明的真命题称为定理。
二、平行线的判定
1、平行线的判定公理
（1）．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
（2）．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.
2、平行线的性质．
定理：两直线平行，同位角相等. 定理：两直线平行，内错角相等.
定理：两直线平行，同旁内角互补
定理：平行于同一条直线的两条直线平行
三、三角形的内角和定理
1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180º
2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
八年级数学上册 第七章 平行线的证明 5 三角形内角和定理教案 (新版)北师大版.doc
5 三角形内角和定理（第1课时）一、学生知识状况分析学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础．活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．二、教学任务分析上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题．为此，本节课的教学目标是：1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力．4.对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用．三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂小结第一环节：情境引入活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果（1）（2）（3）（4）试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用．将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明． 教学效果：说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因．第二环节：探索新知活动内容：例1 用严谨的证明来论证三角形内角和定理．例2 看哪个同学想的方法最多？方法一：过A 点作DE ∥BC∵DE ∥BC∴∠DAB =∠B ，∠EAC =∠C （两直线平行，内错角相等）∵∠DAB +∠BAC +∠EAC =180°∴∠BAC +∠B +∠C =180°(等量代换)方法二：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ．∵CE ∥BA∴∠B=∠ECD （两直线平行，同位角相等）∠A =∠ACE （两直线平行，内错角相等）∵∠BCA +∠ACE +∠ECD =180°∴∠A +∠B +∠ACB =180°(等量代换)A B C D E A B C E D用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力．教学效果：添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．第三环节：反馈练习活动内容：（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A．(a)求∠B的度数；(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏．教学效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题．第四环节：课堂小结活动内容：（1）证明三角形内角和定理有哪几种方法？（2）辅助线的作法技巧.（3）三角形内角和定理的简单应用.复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度．教学效果：学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明.课后练习：课本随堂练习；习题7.6第1，2，3题四、教学反思三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：（1）通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求．（2）充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题．（3）添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在老师的引导下达成共识．5 三角形内角和定理（第2课时）一、学生知识状况分析学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础．活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验．二、教学任务分析在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理》旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题．为此，本节课的教学目标是：1.掌握三角形外角的两条性质；2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题．4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．三、教学过程分析本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思与小结第一环节：情境引入活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．活动目的：引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣．注意事项：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考．第二环节：探索新知活动内容：①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延长线．②两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B 求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？由学生归纳得出：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．证明：(略)．例2、已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠B F D度数．解：(略)．活动目的：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．注意事项：新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖.第三环节：课堂练习活动内容：(4)已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．B ACDE求证：AD ∥BC分析：要证明AD ∥BC ，只需证明“同位角相等”，即需证明∠DAE =∠B .证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B =∠C （已知）∴∠B =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠DAE =21∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAE =∠B （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）∴∠C =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠DAC =21∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAC =∠C （等量代换）∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B =∠C （已知）∴∠C =21∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知）∴∠DAC=21∠EAC ∴∠DAC =∠C （等量代换）∵∠B +∠BAC +∠C =180°∴∠B +∠BAC +∠DAC =180°即：∠B +∠DAB =180°∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）② 已知：如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．证明：∵∠1是△ABC 的一个外角（已知）∴∠1>∠ACB （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知）∴∠ACB >∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1>∠2（不等式的性质）③如图，求证：（1）∠BDC >∠A .（2）∠BDC =∠B +∠C +∠A .如果点D 在线段BC 的另一侧，结论会怎样？［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.证法一：（1）连接AD ，并延长AD ，如图，则∠1是△ABD 的一个外角，∠2是△ACD 的一个外角.∴∠1>∠3.A B C D E 1 F2∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC>∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）活动目的：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2．第四环节：课堂反思与小结活动内容：由学生自行归纳本节课所学知识：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．活动目的：复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力．注意事项：学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解．课后练习：课本随堂练习第1题，习题7.7第1，2，3题．思考题：课本习题7.7第4题（给学有余力的同学做）四、教学反思教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路．本节课的教学设计力图具有以下几个特色：（1）充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；（2）从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；（3）在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情．。
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《三角形的内角和》教学设计
教学目的：
1、学生通过量、折、拼、剪、摆等操作学具活动，找到新旧知识之间的联系，主动掌握三角形内角和是180°，并运用所学知识解决问题。
2、让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
在应用三角形内角和知识解决问题的过程中促进学生数学思维发展。
3、让学生在探究数学的过程中体验发现的乐趣,增强学好数学的信心。
教学重点：
让学生探究猜想并验证三角形内角和等于180°。
教学难点：
理解所有三角形的内角之和都是180°。
教学准备：
不同类型的三角形纸片，剪刀，量角器。
教学过程：
一、复习旧知，提示课题
1、一个平角是多少度？1个平角等于几个直角？
2、长方形有什么特征？（生汇报：长方形对边相等，有4个角，4个角都是直角）
3、三角形按角分可分成几类？
4、引出内角的概念，我们把图形里面的角叫做内角。
三角形有几个内角？三角形三个内角的度数和叫做三角形的内角和。
今天我们一起来研究三角形的内角和。
（板书课题：三角形的内角和）
设计意图：学生对数学知识的学习，在很多时候都是对已有数学知识的延伸和发展。
本节课，我充分认识到学生已有知识对新知的铺垫和孕伏作用，设计了三道复习题，把角的度数，长方形的特征，三角形的分类这些原本零散的数学知识纳入到一个整体，让旧知的复习、新知的孕伏和引入有机的结合起来。
二、创设情境，大胆猜想
1、长方形的内角和是多少度？为什么？如果沿长方形的一条对角线剪开，长方形就变成了两个什么图形？
2、出示三个三角形，说一说分别属于哪一类？（板书：锐角三角形直角三角形钝角三角形），判断这三个三角形的内角和谁大？为什么？（板书：内角和）
3、你猜三角形的内角和是多少度？（板书：是180°）
设计意图：数学教学最为重要的是要培养学生对数学的感觉，给学生一双数学的眼睛，由于学生已经知道长方形的内角和是360°，抓住时机，要求学生猜一猜三角形的内角和是多少度，以此培养学生的探索精神和创新意识。
三、动手操作，探究验证。
1、小组合作。
同学们能够用什么方法来验证三角形的内角和是180°，请同学们小组合作，充分利用你们的学具进行验证，比一比哪些组的方法多而且又富有新意，开始！
2、汇报交流。
谁愿意来给大家介绍你们小组是用什么方法来验证三角形的内角和是180°的？
量一量：
生：我们小组的方法是用量角器测量出三个内角的度数，再求出它们的和。
师：你们的方法是分别测量三个内角的度数，那你们测量的三个内角的度数分别是多少？（生汇报时吩咐学生记录下来并算出内角和）你觉得这个小组的方法怎样？（抽生评价）这种方法可出现误差吗？为什么？（生回答）
师：能不能因此否定我们刚才的猜想呢？还有不同的方法吗？
折一折：
生：我们是通过折一折的方法得出结论的。
（边说边演示）。
我将直角三角形的两个锐角折向直角，三个顶点重合，我发现两个锐角正好组成了一个直角，再加上直角，它的内角和是180°，所以我得出结论：直角三角形的内角和是180°。
生：我拿一个锐角三角形，把上面的角沿虚线横折，使它的点落到底边上，再将剩下的两个角横折过来，使三个角正好拼在一起，这三个角组成了一个平角，所以我得出结论：锐角三角形的内角和是180°。
生：我拿一个钝角三角形，用同样的方法去折，发现钝角三角形的三个角也正好拼在一起组成一个平角，所以我得出结论：钝角三角形的内角和是180°。
生：直角三角形的三个角也可以用同样的方法折拼成一个平角。
师：真是心灵手巧的孩子，让我们把掌声送给他们！动脑筋的同学真多，请你说。
拼一拼：
生：我发现两个直角三角形正好可以拼成一个长方形，长方形的四个角都是直角，所以，长方形的内角和是360°。
再除以2，就得到直角三角形的内角和是180°。
师：能从不同的角度去思考问题，你真棒！
剪一剪，摆一摆：
生：我们将每个三角形的三个角都剪下来，再把每个三角形的三个角的顶点重合，发现每个三角形的三个角都组成了一个平角，这就证明了三角形的内角和是180°。
师：你们只验证了三个三角形，为什么从中能得出“三角形的内角和是180°”的结论呢？
生：因为三角形按角分可以分为三类，钝角三角形，直角三角形和锐角三角形。
我们已经通过各种的方法证明了这三种类型的三角形的内角和是180°，所以可以得出“三角形的内角和是180°”的结论。
师：说得真好，我们给他鼓掌。
师概括小结。
：刚才同学们用量、折、拼、计算、推理、剪等这么多巧妙的方法得出，无论是什么样的三角形的内角和都是180°，（师手指课题）你们真不错，我为你们成功的学习表示衷心祝贺，让我们带着自豪的语气大声地读出“三角形的内角和是180°”。
设计意图：新课标注重学生三维目标的培养，在这里，我要求学生用自己的方法进行验证，把知识的学习与情感态度价值观的培养融为一体，无疑有效地培养了学生科学的态度。
小组合作是课程改革所倡导的一种学习方式，本节课，我立足于学生的创新意识和实践能力的培养，把学习的时空还给学生，大胆地开展小组合作学习，使学生通过量、折、拼、剪、摆等操作学具活动主动掌握三角形内角和是180°，同时学生的发散思维也能得到有效培养。
四、实践应用，解决问题
1、那么同学们能不能根据三角形的内角和是180°求出三角形中任意一个角的度数，请完成书85页上“做一做”。
2、请完成书88页第9题
（提示：这一题只知道一个角的度数，另一个角是多少度，从哪看出来的？直角三角形中的一个锐角还可以怎样算？）
3、请完成书88页第10题
设计意图：“解决问题”，按学生的认知水平，是在感知、理解、掌握知识后，认知水平得已体现的最高层次。
最后让学生运用结论解决实际问题，为学生把知识转化为能力起到积极的促进作用。
五、拓展延伸，活用新知
现在老师手中有一个三角形，我一刀把它剪成两个图形，你猜这两个会是什么图形，它们的内角和是多少度？
把刚才的四边形剪去一个角，得到一个五边形，它的内角和是多少度？
继续剪掉一个角，得到一个六边形，它的内角和是多少度？你发现有什么规律吗？
(学生猜测→动手操作→计算内角和→归纳多边形内角和计算公式)
六、课堂小结，内化知识
今天，你有什么收获？
板书设计：
锐角三角形
因为直角三角形内角和是180°
钝角三角形
所以三角形的内角和是180°。