《估计总体的数字特征》示范公开课教学设计【高中数学必修3(北师大版)】

《估计总体的数字特征》教学设计
教材分析
教科书中介绍了简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种抽样方法，通过学习要弄清各自的特点和适用范围，然后在实践中酌情选用．
对收集到的数据如何分析、估计，才能从中提取合理、有用的信息，帮助我们作出决策，要注意不应把统计处理成数字运算和画图表，重在掌握统计的思想方法．
用样本估计总体是最基本的统计方法，通过学习要弄清样本平均数、方差、标准差、频率分布表、频率分布直方图、折线图等基本概念是怎样来反映统计数据的，通过解决具体问题的实践，领会如何运用这些方法去解决实际问题，要通过系统的数据处理过程，体会统计思维与确定性思维的差异．
教学目标
【知识与能力目标】
（1）理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
【过程与方法目标】
在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.
【情感与态度目标】
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，培养对生活中的问题进行用数学方法进行理性分析的意识.
教学重难点
【教学重点】：
用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.
【教学难点】：
能应用相关知识解决简单的实际问题.
课前准备
多媒体课件
教学过程
一、新课引入：
问题：什么是平均数，众数，中位数？它反映一组数据的什么特征？
什么是标准差？它反映一组数据的什么特征？
日常生活中，我们往往不需要了解总体的分布形态，而是更关心总体的某一数字特征。

例如：买节能灯时，我们希望知道节能灯的平均使用寿命，但是怎样了解节能灯的使用寿命
呢？当然不可能把所有的灯进行一一测试，因为测试后灯也报废了，而且灯的数目太多。

于是需要通过随机抽样，把这批节能灯的寿命看做总体，从中随机抽出若干个个体作为样本，算出样本的数字特征，用样本的数字特征来估计总体的数字特征。

二、问题探究例题精析
例1某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%,15%,20%,25%,15%,10%和5%,试估计该单位职工的平均年收入．
分析：上述百分比就是各组的频率．
解：估计该单位职工的平均年收入为
12 500×10%+17 500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26 125(元).
答：估计该单位人均年收入约为26 125元．
设计意图：用样本平均数估计总体平均数
例2从甲、乙两个公司各随机抽取50名员工月工资：
甲公司：
800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200
1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500
1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500
2 000 2 000 2 000
2 000 2 000 2 500 2 500 2 500
乙公司：
700 700 700 700 700 700 700 700 700
700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000
1 000 1 000 6 000 8 000 10 000
试计算这两个公司50名员工月工资平均数、众数、中位数,并估计这两个企业员工平均工资.答案：甲公司：员工月工资平均数1 240,众数1 200,中位数1 200；
乙公司：员工月工资平均数1 330,众数1 000,中位数1 000；从总体上看乙公司员工月工资比甲公司少,原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.
设计意图：用样本的平均数、众数、中位数估计总体的数字特征。

例3在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕
甲运动员: 7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；
乙运动员: 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7。

观察上述样本数据，如果要从他们中抽取一人参加运动会，你会选谁？依据是什么？
分析：甲的平均环数为：7。

乙的平均环数为：7。

但这两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？我们来观察他们成绩的频率分布直方图:
不难发现：甲的成绩较为分散，乙的成绩较为集中。

我们从另外的角度来考察这两组数据.考察样本数据的离散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.
样本数据x1，x2，……，x n的标准差的算法：
出样本数据的平均数x̅.
算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi-x̅(i=1，2，……n)
算出（２）中xi-x̅(i=1，2，……n)的平方.
算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差.
算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.
其计算公式为：
显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.
由此计算S 甲=√115 S 乙=√65 ∴S 甲>S 乙 因此乙的成绩较稳定，选乙参加运动会比较合适。

设计意图：用样本标准差估计总体标准差
三、用频率分布直方图估计中位数，众数，平均数。

例4在上一节课的头盖骨宽度的样本分析中，我们得到了样本的频率分布直方图，如图所示： 请根据频率分布直方图回答下列问题：
让学生分组讨论
问题：1、如何从频率分布直方图中估计中位数？
2、如何从频率分布直方图中估计众数？
3、如何从频率分布直方图中估计平均数？
分析：1.在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。

因此在频率分布直方图中，中位数左右两侧的直方图面积应该相等。

由此可以估计出中位数是142.5
2.众数是数据中出现次数最多的数，因此众数估计值是面积最大的矩形横轴中点值142.5.
3.平均数估计值：频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点数值之积的和，计算为142.27
思考：这些用频率分布直方图估计出的数据是否和样本的真实数据相等？为什么？ 教学环节
抽象概括：
(n s x x =++-
用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。

不同的样本尽管都来自同一个总体，从这些样本中所得到的有关总体的估计仍然可能互不相同，这一现象是由抽样的随机性引起的，如果抽样方案没有问题的话，那么这些结论之所以不同，其原因就在于样本的随机性，在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们从样本数据得到的分布、平均数和标准差并不是总体真正的分布，平均数和标准差，而只是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，它们确实反映了总体的信息。

四、课堂小结：
1．能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（平均数）,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；
2．平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平；
3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
五、布置作业
P39【练习】P40【习题1—5】3
教学反思
略。