【人教版九年级数学下册】21.2.2公式法PPT精品课件
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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
21.2.2公式法接一元二次方程(2)
21.2解一元二次方程
21.2.2 公式法
1.我们都学过了一元二次方程的哪几种解法？
1）直接开平方法： 2）配方法：3）公式法
2. 什么是求根公式？用求根公式法解一元二次方 程的一般步骤是什么？
b b 2 4ac x 2a
3. 什么是根的判别式？ 式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx&的方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根, 求k的取值范围。
达标测试
1. 用公式法解下列方程：
(1) x2＋x－6=0
（2）3x2－6x+2=0 (4) 4x2－6x=0
达标测试
2. 判断关于x的方程 x2＋x＋k2－k+2=0的根的情况
3. 关于x的方程(m－1)x2－2mx+m=0有两实数根，求 m的取值范围。 变式：
随堂练习
1. 用公式法解方程 4 x 2 12x 3 得到方程的根 是 。 2.已知 y x 2 6 x 5 能使y的值等于-4的x的值 是 。 3.若代数式 4 x 2 2 x 5 与 2 x 2 1 的值是互 为相反数，则的值为 。
随堂练习
4.关于的一元二次方程 4( x m) 2 2m 2 0 的 常数项为0，则关于x的一元二次方程的一般式 为 . 5. 利用根的判别式判断下列方程根的情况：
例1：不解方程，判断方程根的情况 (1) x2+x-6=0
1 x 3x 0 (2) 4
2
(3) x2+4x+8=4x+11
(4)
x(2x-4)=5-8x
ax2+bx+c=0(a≠0)
Δ=b2-4ac 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根。
21.2.2 公式法
1.我们都学过了一元二次方程的哪几种解法？
1）直接开平方法： 2）配方法：3）公式法
2. 什么是求根公式？用求根公式法解一元二次方 程的一般步骤是什么？
b b 2 4ac x 2a
3. 什么是根的判别式？ 式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx&的方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根, 求k的取值范围。
达标测试
1. 用公式法解下列方程：
(1) x2＋x－6=0
（2）3x2－6x+2=0 (4) 4x2－6x=0
达标测试
2. 判断关于x的方程 x2＋x＋k2－k+2=0的根的情况
3. 关于x的方程(m－1)x2－2mx+m=0有两实数根，求 m的取值范围。 变式：
随堂练习
1. 用公式法解方程 4 x 2 12x 3 得到方程的根 是 。 2.已知 y x 2 6 x 5 能使y的值等于-4的x的值 是 。 3.若代数式 4 x 2 2 x 5 与 2 x 2 1 的值是互 为相反数，则的值为 。
随堂练习
4.关于的一元二次方程 4( x m) 2 2m 2 0 的 常数项为0，则关于x的一元二次方程的一般式 为 . 5. 利用根的判别式判断下列方程根的情况：
例1：不解方程，判断方程根的情况 (1) x2+x-6=0
1 x 3x 0 (2) 4
2
(3) x2+4x+8=4x+11
(4)
x(2x-4)=5-8x
ax2+bx+c=0(a≠0)
Δ=b2-4ac 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根。
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法ppt
b b 4ac x 2a
2
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
当b 4ac 0时, 一元二次方程才有实数根.
2
b b2 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
2 4 x 6 x 3, 解:移项，得：
二次项系数化为1，得
2
3 3 3 3 配方，得： x x , 2 4 4 4 3 2 21 3 21 (x ) 由此得: x 4 16 4 4
2
2
温 故 知 新
3 21 x1 , 4 4
课时训练
3.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论 正确的是 ( D ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根
4.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实 数根，则m的取值范围是（ D ） A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0 时，方程没有实数根。 0；
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时，
当方程有两个相等的实数根，
当方程没有实数根，
0；
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
21.2.2_公式法
x b
b2
4ac
. b2
4ac
;
0.
7.定解:写出原方程的解
2a
.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0) ∵a 0,4a2 0 当 b2 4ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2a
b b 2a 2a
b 0
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
课后作业
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分。
解：将x=0代入方程, 得m²+2m-3=0， 解得m1=1，m2=-3, 又∵m-1≠0，即m≠1. 故m的值为-3.
5.解下列方程：
（1）x²+x-6=0； （2）x2 3x 1 0 ；
4
（3）3x²-6x-2=0； （4）4x²-6x=0； （5）x²+4x+8=4x+11； （6）x（2x-4）=5-8x.
3.方程 2x2 4 3x 6 2 0 的根是（ D ）
A. x1 2, x2 3 B. x1 6, x2 2 C.x1 2 2, x2 2 D. x1 x2 6
4.关于x的一元二次方程（m-1）x²+x+m²+2m-3=0有 一个根为0，试求m的值.
2a
一元二次方程 的求根公式
x1 b
b2 2a
21.2.2_一元二次方程的解法-公式法
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
一般地，式子b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示它，即 Δ＝b2－4ac
归纳：
2－4ac Δ ＝ b 由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
2
解：原方程变形为：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 例 3 解方程： x 21 3 x 6
根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
21.2.2公式法解一元二次方程(两课时)
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 = b 4ac 的值，
2
特别注意:当
=
b 4ac 0
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
9 ∴m＞ 8 9 2 （2）若方程有两个相等的实数根，则b -4ac=0即8m+9=0 ∴m= 8
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴当m＞
9 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根 8
2
0
，
一般地，式子b 4 ac 叫做方程
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
ax bx c 0
2
△＝ b 4ac
2
心动
2
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 4ac 0时, 它的根是 :
21.2.2公式法(第二课时)
例题4 如果关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个实数根， 求k的取值范围？ 解： ∵方程有两个实数根 ∴ △=（2k+1）2-4k²=4k+1 ≥0 k²≠0
{
∴kห้องสมุดไป่ตู้-
且k≠0
【点评】
一元二次方程有两个实数根，参数的取值范 围满足两个条件，①二次项系数不为0，②Δ ≥0
例题5 已知于x的方程x²（1）求k的取值范围 （2）|-k-2|+
b b 2 4 ac 可写成 x ，这个式子叫做一元二次方程 2a
ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式.
例题分析 例1 不解方程，判别下列各方程的根的情况
（1）x²+x+1=0
解：∵a=1，b=1，c=1 ∴Δ =b²-4ac
=1²-4×1×1
=-3＜0 ∴原方程无实数解
（2）x²-3x+2=0 解：∵a=1，b=-3，c=2 ∴b²-4ac=（-3）²-4×1×2 =1＞0 ∴原方程有两个不相等实数根
（1）当Δ =b²-4ac＞0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不 相等的实数根； （2）当Δ =b²-4ac=0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等 的实数根；
（3）当Δ =b²-4ac＜0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有实数根；
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式 当Δ ≥0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根
x+
=0,有两个实数根，求m的
7.已知一元二次方程方程(ab-2b)x²+2(b-a)x+2a-ab=0 有两个相等实根，求 的值.
21.2.2 公式法(第一课时[根的判别式])
![21.2.2 公式法(第一课时[根的判别式])](https://img.taocdn.com/s3/m/d9b3a49d9ec3d5bbfc0a7414.png)
移项，得 配方，得
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4a2 >0 式子 b2 4ac的值有以下三种情况：
(1) b2
4ac
0, 这时
b2 4ac 4 a2
0
即 x b b2 4ac
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac
1
2a
x b b2 4ac
2
2a
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4a2 >0 式子 b2 4ac的值有以下三种情况：
(2) b2
4ac
0, 这时
b2 4ac 4 a2
0
即 x b b2 4ac ＝0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
即 因为a≠0,所以4a2 >0
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
式子 b2 4ac的值有以下三种情况：
骤 ：
21.2.2 一元二次方程的解——公式法(优秀经典公开课比赛课件)
不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( )
A．m＞9 B．m＜9 C．m＝9 D．m＜－9
4
4
4
4
2．若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1＝0 有实
数根，则实数 k 的取值范围是( )
A．k＞－1 B．k＜1 且 k≠0
B．C ．k≥－1 且 k≠0 D．k＞－1 且 k≠0
1．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋b－1＝有
三、知识点归纳
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当__
___时，x＝－b± b2－4ac， 2a
这个式子叫做一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 的__
___．
1．式子__ ___叫做一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，常用Δ表示，
Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__
____，b2－4ac＝_____．
5．一元二次方程 x2－x－6＝0 中，b2－4ac＝_____，
可得 x1＝_____，x2＝_____．
7．用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－2＝0；
(2)8x2－8x＋1＝0；
(3)2x2－2x＝5.
五、课堂检测
1.关于 x 的一元二次方程 kx2－3x＋m＝0 有两个
21．2.2 一元二次方程的 解 ——公式法
一、预习检测 1.用配方法解下列方程：
⑴6x2－7x+1=0
⑵4x2－3x=52
2.配方法解一元二次方程的步骤：
二、探究案
阅读教材 9–12,结合教材完成下面问题 ： 如果一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）， 请你试用配方法的步骤求出它们的两根？
解一元二次方程-公式法 ppt课件
利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0
∵ = 1，b=−4，c=−7.
∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x
，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k
=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
21.2.2 公式法(15张ppt)
的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公
式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个
实数根.
注意
三 一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根 的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
判别式的情况
>0 =0 <0 ≥0
根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
情境引入
不解方程，判断下列方程的根的情况？
5x2-4x-12=0 x2 3 2 3 x 4x2-3x+2=0
讲授新课
一 求根公式的推导
合作探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 （a≠0）
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0).
相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数 根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
1.不解方程，判别关于x的方程 x2 2 2kx k 2 0 的根的情况.
解： 2 2k 2 4 1 k2
8k 2 4k 2 4k 2 k2 0 4k 2 0 0
所以方程有两个实数根．
课堂小结
公式法
求根 公式
b b2 4ac x
2a
解一元二次方程 公式法ppt课件
解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0； （2）9x2＋6x＋1＝0； （3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，
21.2.2 公式法
6.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等
的实数根吗？给出你的答案并说明理由. 解：方程化简为x2-5x+6-p2=0
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,
∴Δ>0
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两
个不等的实数根.
课堂小结
公 式 法 ห้องสมุดไป่ตู้求根公式 解一元二次 方程的方法 求根公式
(b2－4ac≥0)
b b2 4ac x 2a
当b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根； 一元二次方程根的 判别式Δ= b2－4ac 当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程无实数根.
课后作业 1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
推进新课
知识点1 一元二次方程根的判别式
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 能否也用配方法得出它的解呢？
ax2+bx+c=0(a≠0)
b c 二次项系数化为1，得 x x a a
2
b b 2 c b 2 配方，得 x x ( ) ( ) a 2a a 2a
( 4) 36 4 6 2 5 10 1 x1 1, x2 5
思考：说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤， 有哪些易错点？ 步骤：先将方程化一般形式，确定a,b,c的值； 计算判别式，Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.
21.2.2 公式法课件
方程两边都除以 a，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
探究新知
用公式法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)
解： a 0, 4a2 0 当 b2 4ac ≥ 0
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m= （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜ 9
当 b2 4ac 0 时，将a，
b，c 代入式子
b b2 4ac x
，就得到方程的根，这个式子叫做一元
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式当法b，-4由ac求<根0
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
时，方程有实数 根吗
探究新知
素养考点 1 公式法解方程
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac
探究新知
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1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们
是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
讲授新课
一 求根公式的推导
合作探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
b b2 4ac x 2a 4a 2 .
2
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， 即
b x 2a b 2 4ac . 2a
特别提醒
x
b
b 2 4ac . 2a
一元二次方程
的求根公式
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时，
•b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不 相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
C.k<1
B.k>-1且k≠0
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数 根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
6 x1 2, x2 5
例2 解方程： x2 3 2
3x
这里的a、b、c的 值是什么？
解： 化简为一般式：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b -2 3、 c 3.
2 Q b2 4ac （ 2 3） 4 1 3 0，
（-2 3） 0 2 3 x 3. 2 1 2
注意
视频：求根公式的趣味记忆
二 公式法解方程
典例精析
b b 2 4ac x 2a
例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0 解：∵a=5,b=-4,c=-12， b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
b b2 4ac x 2a
( 4) 256 4 16 2 8 = 25 10 5
根的情况
两个不相等实数根
>0
=0
<0 ≥0
两个相等实数根 没有实数根
两个实数根
练一练
按要求完成下列表格：
1 2 4 3x 4 x 0 x x 1 0 3 3
2
x 1 0
2
的值
根的
0 有两个相等 的实数根
1 3
4
情况
有两个不相 没有实数根 等的实数根
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0
解： Q a 4, b 3, c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无 实数根.
要点归纳 公式法解方程的步骤
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0). 解: 移项，得 ax bx c，
2
方程两边都除以a 配方，得 即
b c x x ， a a
2
2 2
b c b b 2 x x . a a 2a 2a
b b 2 4ac x 2a 4a2 ＜0.
2
而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程 时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ， 2 b b 4ac 2 . 当b -4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 x 2a 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公 式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个 实数根.
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
三 一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根
的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. 判别式的情况
要点归纳
根的判别式使用方法 1.化为一般式，确定a,b,c的值. 2.计算 的值，确定 的符号. 3.判别根的情况，得出结论.
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×
（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，
故选B.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时， 要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
•b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x 2a
例3 解方程：x 2 x 1 0 （精确到0.001）. 解： a 1, b 1, c 1,
b2 4ac 12 4 1 (1) 5 0
1 5 x 2
用计算器求得：
5 2.2361
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入