证明线段相等六法
求证线段相等的方法
求证线段相等的方法引言：在几何学中，线段相等是指两条线段的长度相等。
求证线段相等是数学中常见的问题之一，也是几何学中的基础内容。
本文将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和解决线段相等的问题。
一、使用尺规作图法求证线段相等尺规作图法是一种常用的求证方法，它利用尺子和圆规这两个工具来完成。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，用尺规作图工具在纸上作出所给的线段和其他几何图形。
2. 根据几何图形的特征和性质，利用尺规作图的方法进行推理和推导，得出结论。
3. 通过尺规作图的结果，可以判断线段是否相等。
二、使用割线法求证线段相等割线法是另一种常用的求证方法，它利用割线的性质来求证线段相等。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，利用割线的性质，将几何图形分割成若干个部分。
2. 根据分割后的几何图形的特征和性质，进行推理和推导，得出结论。
3. 通过割线法的结果，可以判断线段是否相等。
三、使用数学推导法求证线段相等数学推导法是一种较为抽象和严密的求证方法，它利用数学定理和公式进行推导。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，用数学符号和公式表示线段的长度和其他几何图形的性质。
2. 利用数学定理和公式进行推导和计算，得出结论。
3. 通过数学推导的结果，可以判断线段是否相等。
四、使用直观判断法求证线段相等直观判断法是一种简单直观的求证方法，它基于我们对线段长度的直观感受和判断。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，观察线段的长度和其他几何图形的特征。
2. 根据直观感受和判断，判断线段是否相等。
3. 通过直观判断的结果，可以初步判断线段是否相等。
五、使用数值计算法求证线段相等数值计算法是一种较为实用的求证方法，它基于数值计算和测量的结果。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，通过测量和数值计算得到线段的长度。
2. 对比不同线段的长度，判断线段是否相等。
3. 通过数值计算的结果，可以准确判断线段是否相等。
(完整)《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结,推荐文档
《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （a,b≠0 或a=b ，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是平面几何中一个非常基础的概念，也是很多证明题中常见的一个步骤。
在数学学习中，我们经常会遇到需要证明两条线段相等的问题，那么我们应该如何进行证明呢？下面我将介绍几种常见的证明线段相等的方法。
一、利用线段的定义证明。
首先，我们需要了解线段的定义，线段是由两点之间的所有点构成的集合。
因此，要证明两条线段相等，只需要证明它们的长度相等即可。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以利用尺规作图工具，将线段AB与线段CD分别画在同一张纸上，然后利用尺子测量它们的长度，若它们的长度相等，则可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
二、利用线段的性质证明。
除了利用线段的定义进行证明外，我们还可以利用线段的性质来证明线段相等。
常见的线段性质有垂直平分线段、等分线段等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以先作出线段AB的垂直平分线，并延长至与线段CD相交于点E，然后利用垂直平分线的性质证明AE=EB，CE=ED，从而得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、利用其他几何图形证明。
在实际问题中，我们有时也可以利用其他几何图形来证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以构造一个与线段AB和线段CD相关的几何图形，通过对这个几何图形进行分析，得出线段AB与线段CD相等的结论。
总结。
通过以上介绍，我们可以看出，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体的题目情况选择合适的方法进行证明。
在实际操作中，我们需要灵活运用线段的定义和性质，结合几何图形进行分析，从而得出线段相等的结论。
在数学学习中，证明线段相等是一个基础而重要的问题，希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
同时，也希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的证明能力，为今后的学习打下坚实的基础。
《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
初中几何证明常用方法归纳
?几何证明常用方法归纳
一、证明线段相等的常用办法
1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个
角相等。
2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两
个合适的目标三角形B确定已有几个条件C还要增加什么条件。
3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。
4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线
段两个端点的距离相等。
5、
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2、
3、
1
2
3、勾股定理逆定理。
（从边）
4、30度角所对的边是另一边的一半。
5、三角形一边上的中线等于这边的一半
六、证明等腰三角形的常用方法
1、证明有两边相等。
（从边）
2、证明有两角相等。
（从角）
七、证明等边三角形的常用方法
1、三边相等。
2、三角相等。
3、有一角是60度的等腰三角形。
八、证明角平分线的常用方法
1、两个角相等（定义）。
2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。
九、证明线段垂直平分线的常用方法
1、把某条线段平分，并与它垂直。
2、等就在：有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。
重复强调是有两个点
十、证明线段垂直的常用方法。
1、两线的夹角90度。
2、等就在：有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。
重复强调是有两个点
十一、证明线平行的常用方法
内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。
初中阶段证明角相等、线段相等的方法归纳
初中阶段证明角相等、线段相等、平行和垂直常用方法归纳证明两条线段相等的方法（1）线段中点（边上的中线）、三等分点（2）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）（4）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（5）夹在两条平行线间的平行线段相等（6）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半（7）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半（8）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边（9）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（10）全等三角形的对应边相等（11）平行四边形的对边相等，对角线相互平分（12）菱形和正方形4条边都相等（13）矩形和正方形的对角线相等（14）同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弦相等、弦心距相等（圆心角定理）（15）垂直于弦的直径平分这条弦（16）切线长定理*（17）等于同一条线段的两条线段相等（等量代换）（18）平移、旋转、对称、翻折证明两个角相等的方法（1）对顶角相等（2）同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等（3）角平分线的定义（4）两直线平行，同位角相等，内错角相等（5）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）（6）等边三角形的各角都相等，且每一个角都等于60°（7）两全等三角形的对应角相等（8）两相似三角形的对应角相等（9）平行四边形的对角相等（10）矩形、正方形的4个内角都是90°（11）同圆（或等圆）中，等弧（或等弦）所对的圆心角相等，圆周角相等（12）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角（13）圆内接四边形的外角等于它的内对角（14）切线长定理*（15）平移、旋转、对称、翻折（16）等于同一个角的两个角相等（等量代换）证明两条直线平行的方法（1）平行线的传递性（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行（3）同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行（4）三角形的中位线平行于第三边（5）平行四边形的对边平行（6）如果一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边（平行线分线段成比例定理的逆命题）证明两条直线垂直的方法（1）垂直的定义（夹角为90°）（2）三角形中，两个内角之和为90°，那么另一个内角是直角（3）互为邻补角的两个角的平分线垂直（4）平行线的同旁内角的平分线垂直（5）利用全等或相似，进行等量代换（6）等腰三角形的性质——“三线合一”（线段的垂直平分线）（7）勾股定理的逆定理（8）三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形（9）矩形和正方形的邻边垂直（10）菱形和正方形的对角线垂直（11）直径所对的圆周角是90°（12）圆的切线垂直于过切点的半径（13）垂径定理的推论（14）切线长定理的推论*。
证明线段相等或成倍数关系的巧妙方法
如何证明线段相等或成倍数关系一【典型例题】（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。
在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。
下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。
例1. 已知：四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD。
求证：OA＝OB2. △ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。
求证：DF＝EFAB＝AD求证：求证：DE＝BF例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。
6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。
（二）线段倍、倍或、倍的关系：241214这部分证明中常用到的定理有：（1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。
（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）中位线定理。
下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。
例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF⊥AC 。
求证：EM ＝FM例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的高。
求证：BD AB14D 。
9. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B =︒15，求证：AB 上的高线等于AB 的一半。
【试题答案】1. BF FC BC CE FC EF +=+=，BF CEBC EF=∴=在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，2. MQ PN MNP ⊥∠=︒，45∴=︒∴=∴==︒--=︒--==∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠NMQ MNP NMQ QM QNPMQ MRH MHR HNQ NHQ NQH MHR NHQ MRH NQH PMQ HNQ45180180∠∠∠∠PMQ HNQ MQ NQNQH MQP MPQ NHQ HN PM===⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∆∆3. 过B 作BG//CD 交EF 于GDE DF E GB CD E EB GB BE CF GB CF=∴=∴=∴=∴==∴=，∠∠，∠∠∠∠1122//∠∠，∠∠3456=∴=GB CD //∴≅∴=∆∆GBA ACF AC AB4. AB AC =，AD 平分BC ∴==︒∠∠BAD CAD 60 ∵AE 平分∠BAD∴==︒∠∠BAE EAD 30 ∵AB//DF∴==︒∴==︒∴==︒∴=︒∠∠∠∠∠∠BAE F EAD F DF AD ADC C 30309030在Rt △ADC 中，AD AC cm ==1245. ∴=DF cm 45. 5. ∵∠CBM ＝∠CBA ∵CD//MN∴∠CBM ＝∠DCB ∴∠CBA ＝∠DCB ∴OC ＝OB同理可证：OB ＝OD ∴OC ＝OD ∵OA ＝OB∴ADBC 是平行四边形∠∠∠∠CBM CBO OBD DBN +++=︒180 ∵∠OBC ＝∠CBM ，∠OBD ＝∠DBN∴+=︒∴+=︒2218090∠∠∠∠CBO OBD CBO OBD∴ADBC 是矩形 ∴CD ＝AB6. ∵BE ＋EC ＋BC ＝24，BC ＝10 ∴BE ＋EC ＝14∵DE 是AB 垂直平分线 ∴BE ＝AE∴AC ＝BE ＋EC ＝14 ∵AB ＝AC ∴AB ＝147. 延长DC 、AE 交于O 点∵ABCD 是正方形∴==︒∴====⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠B BCO EB CE AEB OEC EB EC B ECOABE OCE BAE COE O FAE 90∆∆∴===∴=∴=+CO AB BCFAO O AF FO AF FC BC∠∠8. ∵EFCD 是平行四边形∴===︒=∴=∴=EF DC BC BAC BD CD AD BC AD EF 129012∠，9. ∵AB ＝AC∴==︒∴=︒∴=︒⊥∴=∴=∠∠∠∠B C BAC DAC CD DACD AC CD AB1515030121210. 取CD 中点F ，连接EF ，则EF 为∆ACD 中位线 ∵EF 为△ACD 中位线∴=∴⊥∠=︒∴=∴=EF ADEF BCEBD EF BE AD BE //123012。
复习证明线段相等的方法
复习证明线段相等的方法在几何学中，证明线段相等的方法有多种。
下面将介绍几种常用的证明线段相等的方法。
一、等长线段的定义当两条线段的长度相等时，我们称它们为等长线段。
根据等长线段的定义，我们可以证明两个线段相等的方法是通过测量它们的长度，如果测得的长度相等，那么可以得出两个线段相等的结论。
二、尺规作图法尺规作图法是一种利用直尺和圆规绘制几何图形的方法。
当我们需要证明两个线段相等时，可以借助尺规作图的方法来进行证明。
例如，你需要证明线段AB与线段CD相等。
首先，在直线上选择两个不重叠的点A和C，然后以A和CD为半径，用圆规在直线上分别画弧交于点B和D。
接着，以B为圆心，BC为半径，用圆规画弧与原来的弧相交于点E。
最后，连接DE。
如果线段DE与线段AB相等，那么就可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、剪切法剪切法是证明线段相等的一种简便方法，它利用了几何图形的对称性质。
具体方法如下：将需要证明相等的线段剪下来，并保持其中一端固定。
然后，将剪下的线段旋转或翻转，使其与另一条线段重合。
如果两条线段完全重合，那么就可以得出它们相等的结论。
四、用已知线段构造假设我们已经知道线段AB与线段CD相等，现在需要证明线段EF与线段AB相等。
可以使用用已知线段构造的方法进行证明。
首先，选择一个点X，使得线段EX与线段AB重合。
然后，以X为中心，以EF的长度为半径，使用圆规画弧。
与EF线段交于点Y。
连接FY，如果FY与CD重合，那么就可以得出EF与AB相等的结论。
五、利用等式或比例关系有时，我们可以通过等式或比例关系来证明线段相等。
例如，已知线段AB与线段CD相等，且线段CD的长度为5个单位。
现在需要证明线段EF与线段AB相等。
假设线段EF的长度为X个单位。
则可以得到以下等式：X=5六、重心重合定理重心重合定理是用来证明线段重心重合的方法。
在三角形ABC中，如果线段AD与线段BE所在的中线重合，那么可以得出线段AD与线段BE相等的结论。
初中阶段证明线段相等的方法
初中阶段证明线段相等的方法（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等.②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.③角平分线上任一点到角两边的距离相等.④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等(图1）.（二）三角形中：①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等.③任意三角形的内心到三边的距离相等.④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边.⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半.⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边(图2）.⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等(图3）.（三）四边形中：①平行四边形对边相等,对角线相互平分.②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等.③菱形中四边相等.④等腰梯形两腰相等、两对角线相等.⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰(图4）. （四）正多边形中：①正多边形的各边相等.且边长an = 2Rsin (180°/ n)②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn ) 相等.且rn = Rcos (180°/ n)（五）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等.②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等.③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.④自圆外一点所作圆的两切线长相等.⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等.⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）.⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）.⑧两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）.（六）全等形中：①全等形中,一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等.（七）线段运算：①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等.②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等.③两线段的长具有相同的数学解析式,或二解析式相减为零,或相除为1,则此二线段相等。
怎样证明两线段相等
怎样证明两线段相等求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。
为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：1.三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；2.证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；3.圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b ，则a －c=b －c ；若c b c a，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。
一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C 在BD 上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，BE 、AD 分别与AC 、CE 交于P 、Q 。
求证：CP=CQ 。
证明：因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，所以在△ACD 与△BCE 中， AC=BC ，CD=CE 。
因为∠1=∠2=60°，所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°， 所以△ACD ≌△BCE （SAS ）， 所以∠4=∠5。
证明线段相等的10种方法
※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。
［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。
∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。
［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。
∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。
［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。
∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。
初中阶段求证线段相等的几种证法
线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。
证明线段之间关系的技巧
证明线段之间数量关系的技巧证明两线段相等★1.两全等三角形中对应边相等。
★2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形三线合一。
★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。
6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
2.*证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧证明两条直线互相垂直★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
★8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
★11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
★4.三角形的中位线平行于第三边。
119.中考数学复习微专题：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题 如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1 如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ∆≅∆ 于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒ CE CF AF AE ∴==，得AB CD =方法2 如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒， 75AMC CAM ∠=∠=︒ AC CM ∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD =方法3 如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒， 7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD =方法4 如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ， 则有ABC ANC ∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒ DE AE EN EC ∴==，DC AN AB ∴==方法5 如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG , 则有ADC AGC ∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒ AH HG GH BH ∴==， DC CG AB ∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴. 方法6 如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA ∆≅∆得AB CP CD ==方法7 如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD ==方法8 如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒ 30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒ DC EC AB ∴==方法9 如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10 如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC ∴=EDC CBA CD AB ∴∆≅∆=，方法11 如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12 如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC ACr D B∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB =反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
证明两线段相等的途径
几何证明题有关思路一、证明两线段相等的途径1、两全等三角形中对应边相等．2、同一三角形中等角对等边．3、等腰三角形中，顶角的平分线（或底边上的高）平分底边．4、有中点、有中线，就有相等的线段．5、平行四边形的对边相等．6、菱形、正方形的四条边都相等．7、平行四边形、菱形的对角线互相平分．8、矩形、正方形的对角线互相平分且相等．9、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（有三条线段相等）10、线段垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等．11、角平分线上任一点到角的两边距离相等．12、同圆（或等圆）中同弧（或等弧）所对的弦相等．13、切线长定理：切线长相等．14、等量代换：等于同一线段的两条线段相等．二、证明两个角相等的途径1、两全等三角形的对应角相等．2、同一三角形中等边对等角．3、两直线平行，同位角相等．4、两直线平行，内错角相等．5、等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角．（三线合一）6、平行四边形、菱形的对角相等．7、矩形、正方形的四个角都相等．8、菱形的对角线平分每一组对角．9、角平分线的定义．10、对顶角相等．11、同角（或等角）的余角（或补角）相等．12、同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等．13、切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．14、相似三角形的对应角相等．15、圆的内接四边形的外角等于内对角．16、等量代换：等于同一角的两个角相等．三、证明两直线平行1、同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行．2、平行四边形的对边平行．3、三角形的中位线平行于第三边．4、平行于同一直线的两直线平行．5、垂直于同一直线的两直线平行．四、证明两条直线互相垂直（直角）1、等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边．2、若三角形中一边上的中线等于这条边的一半，则这一边所对的角是直角．3、在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角．4、邻补角的平分线互相垂直．5、一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条．6、勾股定理的逆定理．7、菱形、正方形的对角线互相垂直．8、在圆中，平分弦（或弧）的直径垂直于弦．9、直径（半圆）的圆周角是直角．10、半圆弧中点与圆心的连线垂直于该半圆弧所对的直径．11、圆的切线的性质．（有切线，有垂直）五、证明线段的和差倍分1、在最长线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段．2、延长作两条线段的和，证明与最长线段相等．3、延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等．4、取长线段的中点，再证其一半等于短线段．5、利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、相似三角形的性质等）．六、证明比例式或等积式1、利用相似三角形对应线段成比例．2、乘积变比例，横竖理一理，再去证相似．【以圆为背景的证明与计算】1、与弦长有关的问题，通常作弦心距，连半径，构造直角三角形利用勾股定理进行解决；2、出现直径，通常利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角；（有直径、有直角）3、与切线有关的问题，“有切线，连半径，有垂直”、“证切线：连半径，证垂直或作垂直、证半径”；4、利用“同（等）弧所对的圆周角相等”构造相等的角，为证平行、全等或相似等作准备；5、“半径处处相等”，“圆心是直径的中点”，这样“显然”的已知条件不要忽视了；6、直角三角形中出现中点，常常利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到相等的线段．【数的计算必记要点】【式的运算必记要点】【统计与概率必记要点】【应用题】1、解题步骤：审、找、设、列、解、验、答．步骤完整，书写规范．分式方程必须检验．2、找是关键，找关键语句、关键词建立关系，然后翻译成数学式子．3、等量关系列方程，不等关系列不等式，变化关系建立函数．【以圆为背景的证明与计算】1、与弦长有关的问题，通常作弦心距，连半径，构造直角三角形利用勾股定理进行解决；2、出现直径，通常利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角；（有直径、有直角）3、与切线有关的问题，“有切线，连半径，有垂直”、“证切线：连半径，证垂直或作垂直、证半径”；4、利用“同（等）弧所对的圆周角相等”构造相等的角，为证平行、全等或相似等作准备；5、“半径处处相等”，“圆心是直径的中点”，这样“显然”的已知条件不要忽视了；6、直角三角形中出现中点，常常利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到相等的线段．。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
在几何证明中，我们经常需要证明两条线段相等，因此了解如何证明线段相等的方法是至关重要的。
下面将介绍几种证明线段相等的方法。
一、通过构造等边三角形来证明线段相等。
构造等边三角形是证明线段相等的常用方法之一。
当我们需要证明两条线段相等时，可以通过构造一个等边三角形来实现。
具体步骤如下：1. 连接两条线段的端点，构成一个三角形；2. 通过辅助线的方式，构造一个与原三角形边长相等的等边三角形；3. 由于等边三角形的三条边相等，因此可以得出原线段相等的结论。
这种方法简单直观，易于理解和应用，是证明线段相等的常用方法之一。
二、通过等分线段来证明线段相等。
等分线段是指将一条线段分成相等的几部分。
在证明线段相等时，我们可以通过等分线段的方法来实现。
具体步骤如下：1. 将一条线段等分成相等的若干部分；2. 利用等分线段的性质，可以得出线段相等的结论。
这种方法简单易行，适用范围广，常用于解决线段相等的证明问题。
三、通过勾股定理来证明线段相等。
勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
在证明线段相等时，我们可以利用勾股定理来实现。
具体步骤如下：1. 构造一个直角三角形，使得需要证明相等的线段为直角三角形的两条边；2. 利用勾股定理，证明直角三角形的两条边相等；3. 由于直角三角形的两条直角边相等，因此可以得出原线段相等的结论。
这种方法适用范围广泛，尤其适用于解决与直角三角形相关的线段相等问题。
四、通过平行线的性质来证明线段相等。
平行线的性质在几何学中有着重要的作用，它可以帮助我们证明线段相等。
具体步骤如下：1. 利用平行线的性质，构造出若干个平行线；2. 利用平行线的对应角相等、同位角相等等性质，证明需要相等的线段相等。
通过利用平行线的性质，我们可以简单快捷地证明线段相等。
总结，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
初中几何证明线段和角相等的方法
初中几何证明线段和角相等的方法大全一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等下面有好几种可以证明线段相等的方法，你自己选吧。
（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。
（二）三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。
过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
（三）四边形中：①平行四边形对边相等，对角线相互平分。
②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。
③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
证明角相等的方法（一）相交直线及平行线：①二直线相交，对顶角相等。
②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。
③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。
④角的平分线分得的两个角相等。
⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等（二）三角形中：①同一三角形中，等边对等角。
（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。
③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等）④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形证明直线垂直的方法（一）相交线与平行线：①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。
②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。
（二）三角形：①直角三角形的两直角边互相垂直。
②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。
证明直线平行的方法（一）平行线与相交线：①在同一平面内两条不相交的直线平行。
②同平行、或同垂直于第三直线的两条直线平行。
③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。
证明直角三角形的方法①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形②/ A: / B: / C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形。
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。
．
中 ， Ｂ ＝Ａ Ｅ 是 Ａ Ａ Ｃ． Ｂ 上 的一 点 。 是 Ａ Ｃ延
于是 尸 Ｅ＝Ｐ ． Ｃ
长线 上 的 一 点 ， Ｅ＝ Ｂ ｃ Ｅ Ｆ． Ｆ交 Ｂ Ｃ于 Ｄ 求 Ｈ ． 。
证： ＤＥ＝Ｄ
三 、 用等 量 代换 利 例 ３ 如 图 ．Ｄ 为 Ａ ［Ａ Ｘ ＢＣ 的 中 线 ． 为 Ｅ
２０ ０ ２年第 ９期
数学学 习与研究
‘ ． ．
证明
’ ∥Ｄ ． ‘ Ｅ．
ＡＭ ＝ Ｍ Ｎ ．
１
＿
・ ． ‘
ＡＫ Ｄ Ｅ
・ ． ．
— ＡＣ— ＣＥ
Ｃ ÷ ， Ｂ ２ ， Ｍ＝ Ⅳ 于是 Ｎ＝ ｘ
二
Ａ ／Ｆ ，． Ｌ＝ Ｂ Ｃ／ Ｇ ．Ａ 丽 ・ Ａ
．
‘ ． ．
中．
＝９ 。分 别 以 ０，
Ｆ
Ａ Ａ Ｂ、Ｃ为 边 向外 作 正
方 形 Ａ ＤＥ 和 Ａ Ｆ Ｂ Ｃ Ｇ．
曰 Ｃ
Ｄ Ｃ交 Ａ Ｂ于 。 ，交
Ａ Ｃ于 Ｅ ．求 证 ：
・
Ａ Ｃ于 ．求 证 ：Ｋ＝ Ｌ Ａ Ａ．
１ ・ ６
维普资讯
说 明证 明此类 问题 的 常用 方 法 ， 同 学 学 供
习时 参考 ．
一
．
．
又 。 ＰＤ ＬＡ ． １＋ ３ ＝９ ， ． 。 Ｂ ０。
． ．
、
构 造 全等 三角 形
３＝ ５ ． ３＝ ４，。 ． ４ ＝ ５， ．
例 ｌ 如 图 △Ａ ＢＣ
。
（ ２即 Ｅ， ３即 ／Ｅ Ｎ） ＿ Ｄ 六、 面积 法 例 ６ 如 图 ． 直 在 角 梯 形 Ａ Ｃ 中 ．Ｄ ＢＤ Ａ
Ｃ
／Ｂ Ｃ ＿ Ｅ ．求证 ：Ｄ ＝ Ｅ Ａ Ｂ
证明 过 Ｃ作 Ａ
＃８ ，Ｂ上Ｂ ， Ｅ上 ｃＡ ＣＢ
Ｃ 于 Ｅ． ＢＥ ＝Ａ Ｄ 且 Ｂ．
Ａ Ｃ上一 点 ， 结 Ｂ 连 Ｅ交
／ 于 ． ＡＥ ＝Ｆ ｉ Ｄ 且 Ｅ．
证明
‘ ．
。
过 作 Ｅ ／Ａ Ｇ／ Ｃ交 Ｂ Ｃ于 Ｇ。 则
１： ／ ２． ３ ＝ ／ ４． ＡＢ ＝ＡＣ ，
求证 ： Ｆ＝ ＡＣ
证明
形 ．
。 ． ．
延 长 Ａ 至 Ⅳ， Ｄ ＝Ａ 并 Ｄ 使 Ｎ Ｄ，
ＢＥ ＝２ ＋Ｙ ｘ ．
又 Ａ ＝ＭＮ ＝ ＋Ｙ． Ｍ 又 Ｃ ． Ｅ＝Ｂ ＤＥ＝Ａ Ａ ＝Ｇ ‘ Ｇ， Ｂ， Ｃ Ｆ，
‘ ． ． ’ ． ．
ＡＤ ＝ ＋Ｙ ＋ ＝２ ＋Ｙ． ｘ
Ｋ ＝Ａ Ｌ．
．
ＡＤ ＝ＢＥ．
五 、 算 法 计
例 ５ 如图． 已知
ＡＣ ＝Ｂ Ｃ． Ａ － ／ ＤＣ ＝
・ ． ．
＝／４ 等边 对 等角 ） （ ．
＝ ／ ３．
连 结 Ｂ Ｃ ｒ则 四边 形 Ａ ＮＣ为平 行 四边 Ｎ、 Ａ， Ｂ
。
．
．
・ ． ．
Ｅ Ｅ （ 角对 等边 ） Ｂ＝ Ｇ 等 ．
ＢＥ ：ＣＦ．‘ ． ．ＥＧ ：ＣＦ．
Ｂ ／Ａ 。Ｎ＝ Ｃ ． ／ｌ ４ Ｎ ／ Ｃ Ｂ Ａ ，． ＝／ ． ／ ‘
Ｊ 类 跨 恐 趔 僻 题 刨 示 分
（ 安徽 省 灵璧 县 向阳 中学 ２ ４ １ ） 王 兴仁 ３ ２ １ 分 类讨论 思 想是 一种 重 要 的数学 思想
式子 ． 关键 是 去 掉 绝 对 值 的符 号 ．考 虑 到
方法 ．分 类 讨论 要根 据 题 目需 要 进 行 。 分 类要 做 到不 重 不 漏 ． 且 要 按 相 同 的标 准 而 进行 讨 论 ．其 一 般 步 骤 是 ： 分 类 ． 讨 先 再 论 ， 后 归纳 ．下 面 举说 明 如 何 运用 分 类 最 讨 论思 想 解题 ．
‘ ． ．
△锄
△Ｆ Ｄ（ Ａ ） Ｃ ＡＳ ，
‘
． ．
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ＥＤ ：ＤＦ．
四、 利用 比例
例 ４ 如图 ＡＡ Ｃ Ｂ
Ｇ
二 、 用等角 对等 边 利
例 ２ 已知 如 图 ． Ａ Ｂ为 ｏ０的直 径 。 Ｃ Ａ
为 弦 。 Ｃ切 Ｏ０于 点 Ｐ
Ｃ Ｐ 上Ａ 于 Ｄ 交 Ａ ．Ｄ Ｂ
ＡＥ ＝ ＥＦ ．‘ ． ． １＝ ２ ．
‘ ．
‘
‘
．
。
在 △Ｇ 与 △Ｆ Ｄ 中 ． 肋 Ｃ
‘ ． ‘
又 。 ２＝ ３． １： ４， ． ‘
‘ ． ．
１＝ ／２。 ５＝ Ｌ６． ＥＧ ＝Ｃ Ｆ，
３ ＝ ４ ．。 ＢＮ ＝ＢＦ ． ． ． Ｆ ＝ＡＣ
例 １ 化 简
Ｉ ＋２Ｉ √ ： 一 。
绝对值符号 内代 数式值的符号不确定 ． 因 此 采用 “ 点划 分 法 ” 段 讨 论 ． 而 得到 零 分 从
的题 型 ． 为一种 思 想方 法 ． 初 中阶 段 占 作 在
有相 当重 要 的位置 ．本 文将 通过 典 型例 题
证明
・ ． 。 。
连结 Ｏ ， Ｃ 则 １ ２ ＝ ．
Ｐ Ｃ是 Ｏ 的切 线 ， Ｃ为 切点 ，
Ｃ ｊ ＰＣ ．。 － ． ２ ＋ ． ５ ＝９ ． ００
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２０ ０ ２年 第 ９期
数 学 学 习 与 研 究
６ ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ｔ ｌ ｔ ｔ ｔ ｔ
证 叼线段碉 詈六法
２ ６ ０ ） 李 茂瑞 ７ ３０
ＰＥ ＝ ＰＣ．
（ 山东 省沂 南县 第 四 中学 证 明线段 相 等是 初 中平 面几何 最 常 见
Ｃ
Ｃ Ｍ∥Ｂ Ｅ交 Ａ Ｄ于 ． 并延长 Ａ Ｄ交 Ｂ Ｅ于
Ⅳ， ＭＤ＝ Ｄ 设 ， Ｎ＝
‘ ． ‘
求 证 ： Ｃ＝∞ ． Ｂ
Ｃ Ｍ∥Ｂ ． ２＝ ４ Ｅ．． ’ ．
证明 ’Ａ ． ． Ｄ∥ ｃ ’
’ ． ．
・ ．
‘
／１ ＿ （ 顶 角相 等 ） ＝／３ 对 ，
１＝ ／ ２． ＿
２＝ ３． １＝ ４ ．
Ｓ△｛ｃ Ｓ△Ｂ口， ８ ｃ
‘
Ａ ・ＢＣ ＝ １ Ｂ
・
・
．
ＣＤ ・ＢＥ．
’ ． ．
‘ ． ．
Ｃ ：ｘ． Ｎ ＝Ｙ Ｍ Ｅ ．
‘ ．
‘
ＢＥ ＝ＡＢ．’ ＢＣ ＝ Ｃ ． ． Ｄ．
’
Ａ Ｃ：Ｃ Ｃ ｆ Ｅ Ｂ．ＭＩＢ