八年级数学竞赛专题29 几何变换
初中数学几何变换思想的教学策略的研究
初中数学几何变换思想的教学策略的研究1. 引言1.1 研究背景初中数学几何变换是中学数学学科中的重要内容之一，涉及到平移、旋转、对称和放缩等多种变化方式。
这些数学几何变换的概念和分类对于学生的数学思维能力和几何直觉的培养具有重要意义。
在实际的教学中，许多教师和学生在理解和应用数学几何变换时遇到了困难，教学效果并不理想。
有必要对初中数学几何变换的教学进行深入研究，寻求有效的教学策略，提高学生对几何变换的理解和应用能力。
本研究旨在探讨初中数学几何变换的教学策略，分析常见题型，提供实例分析，以期能够为中学数学教学提供一定的借鉴和参考。
通过对数学几何变换的教学策略进行系统研究，不仅可以促进学生的数学学习兴趣，提高学习效率，还可以培养他们的数学思维能力和解决问题的能力，为其今后的学习和发展奠定良好的基础。
1.2 研究目的研究目的是为了深入探讨初中数学几何变换思想的教学策略，帮助教师更好地掌握如何有效教授这一内容。
通过研究，我们希望能够总结出一套科学可行的教学方法，使学生能够更快更深入地理解数学几何变换的概念，并能够灵活运用于解决实际问题。
我们也希望通过这项研究，进一步提高学生对数学几何变换的学习兴趣，使其对数学学习产生更多的自信和乐趣。
通过本研究，我们也希望能够为未来的教学改革提供一定的借鉴和参考，促进我国数学教育水平的提升。
1.3 研究意义数达到要求了吗，是否还需要继续添加内容等。
【研究意义】部分的内容如下：数学几何变换作为数学的重要分支之一，在教学中扮演着至关重要的角色。
通过对初中数学几何变换的教学策略进行深入研究，不仅可以帮助教师更好地掌握如何有效地传授这一知识点，提高教学效果，也可以帮助学生更好地理解和应用几何变换的概念，提升他们的数学思维能力和解题能力。
通过教学策略的探讨和实例分析，可以为教师提供更多灵活多样的教学方法，丰富教学手段，激发学生学习数学的兴趣，提高教学效率。
对初中数学几何变换的教学策略进行研究，也有助于促进教育教学改革和提高教学质量，推动数学教育的现代化发展。
数学竞赛 几何变换 (第十二届夏令营)
几何变换(第十二届夏令营)湖南师大附中数学竞赛组自公元前3世纪古希腊数学家欧几里得(Euclid)的《几何原本》问世以来, 平面几何就作为数学的一个分支而存在于世. 由于平面几何有其鲜明的的直觉与严谨、精确、简明的语言, 并且经常出现一些极具挑战性的问题, 因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力, 以极具魅力的姿态展现在我们面前. 世界各国无不将平面几何作为培养本国公民的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的重要题材. 由匈牙利于1894年首开先河的国内外各级数学竞赛活动更是将平面几何作为常规的竞赛内容, 并且从1959年开始举办的每年一届(1980年因特殊原因中断)的国际中学生数学竞赛(通称国际数学奥林匹克)中, 在同一届出现两道平面几何题的情况已是屡见不鲜.但是, 传统的平面几何都是采用公理化方法处理的, 这种方法将平面图形视为静止的图形, 其优点是便于掌握几何图形本身的内在规律. 但用这种静止的观点研究平面几何的一个最大缺陷是: 难以发现不同几何事实之间的联系. 欲深刻揭示客观事物之间的联系, 掌握运动的事物的空间形式最本质的东西——在运动中始终保持不变的性质, 仅用静止的观点是远远不够的, 必须动静结合, 用运动、变化的观点来研究客观事物的运动形式和变化规律. 就平面几何而言, 按照德国数学家克莱因(F. Klein)于1872年提出的观点, 平面几何是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性质和不变量的科学.几何变换作为一种现代数学思想方法, 正是采用运动、变化的观点来研究平面几何的. 面对一个平面几何问题, 几何变换往往能有效地帮助我们顺利地实现由条件到结论的逻辑沟通. 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换. 平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换和反演变换等.1 知识方法1.1 合同变换在一个几何变换f下, 如果任意两个之间的距离等于变化后的两点之间的距离, 则称f是一个合同变换.合同变换只改变图形的相对位置, 不改变其性质和大小. 合同变换有三种基本形式: 平移变换, 轴反射变换, 旋转变换.(一) 平移变换将平面图形上的每一个点都按一个定方向移动定距离的变换叫作平移变换.记为()T a , 定方向a 称为平移方向, 定距离称为平移距离.显然, 在平移变换下, 两对应线段平行(或共线)且相等. 因此, 凡已知条件中含有平行线段, 特别是含有相等线段的平面几何问题, 往往可用平移变换简单处理. 平移可移线段, 也可移角或整个图形.例1.1 平面上一个单位正方形与距离为1的两条平行线均相交, 使得正方形被两条平行线截出两个三角形(在两条平行线之外). 证明: 这两个三角形的周长之和与正方形在平面上的位置无关. (第15届亚洲—太平洋数学奥林匹克, 2003)证明: 如图所示, 设直线1l //2l , 1l 与2l 的距离为1,单位正方形ABCD 的边,AB AD 分别与1l 交于,P Q , 边,BC CD 分别与2l 交于,R S . 作平移变换()T PA , 设1122',','l l l l R R →→→, 则'R 在2'l 上, 1'l 过正方形的顶点A . 因点A 到2'l 的距离等于AB , 所以2'l 决不会与边,AB AD 相交. 设2'l 与边,BC CD 分别交于,E F , 则有',,,R F RS SF PA ER AQ === 进而, ',ER PQ = 于是''AP PQ AQ RC CS RS SF ER ER RC CS R F EC CF EF +++++=+++++=++ 过顶点A 作2'l 的垂线, 设垂足为H , 则1AH AB AD ===. 由于,,AB EC AD CF AH EF ⊥⊥⊥, 所以, 点A 是CEF ∆的C -旁心, 且,,B H D 分别为CEF ∆的C -旁心圆与三边的切点, 所以,EH BE HF FD ==, 从而2EC CF EF BC CD ++=+=, 即2AP PQ AQ RC CS RS +++++=. 这就是说, APQ ∆的周长与CSR ∆的周长之和等于2. 它与正方形在平面上的位置无关.(二) 轴反射变换如果直线l 垂直平分连接两点,'A A 的线段'AA , 则称两点,'A A 关于直线l 对称. 其中'()A A 叫作点(')A A 关于直线l 的对称点.把平面上图形中任一点都变到它关于定直线l 的对称点的变换, 叫作关于直线l 的轴反射变换, 记为()S l , 直线l 叫作反射轴.显然, 在轴反射变换下, 对应线段相等, 两对应直线或者相交于反射轴上, 或者与反射轴平行. 通过轴反射变换构成(或部分构成)轴对称图形是处理平面几何问题的重要思想方法.例1.2 在锐角ABC ∆中, AB AC <, AD 是边BC 上的高, P 是线段AD 上一点. 过P 作PE AC ⊥, 垂足为E , 作PF AB ⊥, 垂足为F . 12,O O 分别是,BDF CDE ∆∆的外心. 求证:12,,,O O E F 四点共圆的充要条件为P 是ABC ∆的垂心. (全国高中数学联赛, 2007)证明: 如图所示, 由,PD BC PF AB ⊥⊥知,,,B D P F 四点共圆, 且BP 为其直径, 所以BDF ∆的外心1O 为BP 的中点. 同理, ,,,C D P E 四点共圆, 且2O 是CP 的中点. 因此, 12O O //BC , 所以21O O P CBP ∠=∠.充分性. 设P 是ABC ∆的垂心, 由于,PE AC PF AB ⊥⊥, 所以1,,,B O P E 四点共线, 2,,,C O P F 四点共线, ,,,B C E F 四点共圆. 于是由21O O P CBP ∠=∠得212O O E CBE CFE O FE ∠=∠=∠=∠, 故12,,,O O E F 四点共圆.必要性. 因为1O 是Rt BFP ∆的斜边PB 的中点, 2O 是Rt CEP ∆的斜边PC 的中点, 所以12PO F PBA ∠=∠, 2O EC ACP ∠=∠. 因为,,,A F E P 四点共圆, 所以FEP FAP ∠=∠. 于是212112O O F O O P PO F CBP PBA CBA PBF ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠2229090FEO FEP PEO FAP O EC FAP ACP ∠=∠+∠=∠+-∠=∠+-∠这样, 若12,,,O O E F 四点共圆, 则212180O O F FEO ∠+∠= . 因而有90180CBA PBF FAP ACP ∠+∠+∠+-∠=再注意90CBA FAP ∠+∠= , 即得PBF ACP ∠=∠, 也就是PBA ACP ∠=∠.作反射变换()S AD , 设'B B →, 因AB AC <, AD BC ⊥, 所以BD CD <, 于是'B 在线段CD 上, 且','PB B CBP AB P PBA ∠=∠∠=∠. 因PBA ACP ∠=∠, 所以'AB P ACP ∠=∠, 从而,,',A P B C 四点共圆. 于是'90PB B PAC ACB ∠=∠=-∠ , 所以90CBP ACB ∠=-∠ , 所以, BP AC ⊥. 而AP BC ⊥, 故P 是ABC ∆的垂心.(三) 旋转变换将平面上图形中每一个点都绕一个定点O 按定方向(逆时针或顺时针)转动定角θ的变换, 叫作旋转变换, 记为(,)R O θ. 点O 叫作旋转中心, θ叫作转幅或旋转角.易知, 在旋转变换下, 两对应线段相等, 两对应直线的交角等于转幅. 对于已知条件中含有正方形或等腰三角形或其它特殊图形问题, 往往可运用旋转变换来处理.特别是在转幅为90 的旋转变换下, 两对应线段垂直且相等. 而转幅为180 的旋转变换称为中心对称变换, 记为()C O . 在中心对称变换下, 任意一对对应点的连线段都通过旋转中心(此时称为对称中心), 且被对称中心所平分. 由于中心对称变换的这一特殊性, 凡是与中点有关的平面几何问题, 我们可以考虑用中心对称变换处理.例1.3 设圆1T 与圆2T 交于,A B 两点. 圆1T 在A 点的切线交圆2T 于C , 圆2T在A 点的切线交圆1T 于D . M 是CD 的中点. 求证:CAM DAB ∠=∠. (中国国家队培训, 2007)证明: 如图所示, 作中心对称变换()C M , 设'A A →, 则四边形'ACA D 是一个平行四边形. 设AB 的延长线交'CA 于E , 则AEC BAD BCA ∠=∠=∠. 又CAE ADB ∠=∠, 所以ABC ACE DBA ∆∆∆ , 于是,AC AB AE CE AE AC DA BA ==. 两式相乘, 并注意到'AC DA =, 得'AC CE AD DA =. 而'ACE ADA ∠=∠, 所以'ACE ADA ∆∆ , 则'CAE DAA ∠=∠, 故CAM DAB ∠=∠.例1.4 在ABC ∆中, AB AC =, ,,D E F 分别为直线,,BC AB AC 上的点, 且DE //AC , DF //AB , M 为ABC ∆的外接圆上BC的中点. 求证: MD EF ⊥. (伊朗国家队选拔考试, 2005)证明: 如图所示, 因AB AC =, DF //AB ,所以CF DF =. 又四边形EAFD 显然为平行四边形, 则AE DF CF ==. 于是, 设ABC ∆的外心为O , 作旋转变换(,2)R O CBA (其中,CBA 表示始边为射线BC , 终边为射线BA 的有向角), 则,,C A A B →→ 且F E →, 所以OE OF =. 因此, 设EF 的中点为N , 则ON EF ⊥.另一方面, 因四边形EAFD 是平行四边形, 所以N 也是AD 的中点. 又AB AC =, M 为ABC ∆的外接圆上 BC的中点, 所以AM 为ABC ∆的外接圆的直径, 从而O 为AM 的中点, 故ON //MD . 于是由ON EF ⊥, 即知MD EF ⊥.1.2 相似变换在一个几何变换f 下, 若对于平面上任意两点,A B , 以及对应点','A B , 总有''A B kAB =(k 为非零实数), 则称这个变换f 是一个相似变换. 非零实数k 叫作相似比, 相似比为k 的相似变换记为()H k .显然, 相似变换既改变图形的相对位置, 也改变图形的大小, 但不改变图形的形状. 当1k =时, (1)H 就是合同变换. 讨论相似变换时, 常讨论位似变换、位似旋转变换以及位似轴反射变换.(一) 位似变换设O 是平面上一定点, H 是平面上的变换, 若对于任一双对应点,'A A , 都有'OA kOA =(k 为非零实数), 则称H 为位似变换. 记为(,)H O k , O 叫作位似中心, k 叫作相似比或位似系数. A 与'A 在O 点的同侧时0k >, 此时O 为外分点, 此种变换称为正位似(或顺位似); A 与'A 在O 点的两侧时0k <, 此时O 为内分点, 此种变换称为反位似(或逆位似).显然, 位似变换是特殊的相似变换. 有此问题借助于位似变换求解比相似变换更简洁.例1.5 设ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别切于点,,D E F . 求证: ABC ∆的外心O , 内心I 与DEF ∆的垂心H 三点共线. (第12届伊朗数学奥林匹克, 1995; 第97届匈牙利数学奥林匹克, 1997; 第51届保加利亚数学奥林匹克, 2002)证法一: 如图(1)所示, 设ABC ∆的内切圆半径与外接圆半径分别为,r R , R k r =⋅.作位似变换(,)H I k -, 设'''DEF D E F ∆→∆,则'D I R =. 再设ABC ∆的外接圆上的 BC(不含点A )的中点为M , 则OM //'D I 且'OM D I =, 所以四边形'OMID 是平行四边形, 于是'D O //IM , 注意到,,A I M 共线, 所以'D O //AI . 又AI EF ⊥, 所以'D O EF ⊥. 但EF //''E F , 从而'''D O E F ⊥. 同理, '''E O F D ⊥, 所以O 是'''D E F ∆的垂心, 因此H O →. 故,,H I O 三点共线, 且HI r IO R=.证法二: 如图(2)所示, 设直线,,DH EH FH分别与ABC ∆的内切圆交于另一点,,P Q R , 则DEF ∆的三边分别垂直平分,,HP HQ HR , 所以DQ DH DR ==, 由此可知QR //BC . 同样地,RP //CA , PQ //AB , 因此ABC ∆与PQR ∆是位似的. 而,O I 分别是ABC ∆与PQR ∆的外心, ,I H 分别是ABC ∆与PQR ∆的内心, 故,,O I H 三点共线, 且HI r IO R=.(二) 位似旋转变换具有共同中心的位似变换(,)H O k 和旋转变换(,)R O θ复合便得位似旋转变换(,,)S O k θ, 即(,,)(,)(,)(,)(,)S O k H O k R O R O H O k θθθ=⋅=⋅.例1.6 设圆1T 与圆2T 交于,A B 两点, 一直线过点A 分别与圆1T 、圆2T 交于另一点C 和D , 点,,M N K 分别是线段,,CD BC BD 上的点, 且MN // BD , MK //BC . 再设点,E F 分别在圆1T 的 BC(不含点A )上和圆2T 的 BD(不含点A )上, 且EN BC ⊥, FK BD ⊥. 求证: 90EMF ∠= .(第43届IMO 预选题, 2004; 第22届伊朗数学奥林匹克, 2004)证明: 如图所示, 设圆1T 与圆2T 的半径分别为12,,r r 12r k r =⋅, 作位似旋转变换(,,)S B k DBC , 因割线CD 过两圆的另一个交点, 所以D C →. 设','K K F F →→, 则'K 在BC 上, 'F 在圆1T 上, 且''F K BC ⊥,'K C KD MD NB BC BD CD BC===, 所以, 'K C BN =. 设''F K 的延长线交圆1T 于L , 则有''EBN BF K ∠=∠, 而''BF K BFK ∠=∠, 于是EBN BFK ∠=∠. 又,BKF ENB ∠∠皆为直角, 因此BFK EBN ∆∆ . 但由MN // BD , MK // BC 知, 四边形MNBK 是平行四边形, 所以,,BK MN BN MK ==. 于是, 易知MNE FKM ∠=∠, 因此MEN FMK ∆∆ . 再注意到,EN BC FK BD ⊥⊥, 即知EM MF ⊥.(三) 位似轴反射变换就目前的情况来看, 位似轴反射变换的应用似乎尚不及其他几种几何变换. 但作为一种不可或缺的几何变换, 应该有其广泛的用武之地. 实际上, 对于梯形、圆内接四边形、对角线等问题, 都有可能用得上位似轴反射变换.例1.7 已知圆内接凸四边形ABCD , F 是AC 与BD 的交点, E 是AD 与BC 的交点, ,M N 分别是AB 和CD 的中点. 求证:1||2MN AB CD EF CD AB=-. (第46届保加利亚数学奥林匹克(第3轮), 1997)证明: 如图所示, 设AB k CD =⋅, 以E为位似中心, k 为位似比作位似轴反射变换, 使,C A D B →→. 设1F F →, 则1EF k EF =⋅. 同样地, 如果以1k -为位似比作位似轴反射变换, 使,A C B D →→. 设2F F →, 则12EF k EF -=⋅, 且12,F F 都在EF 关于AEB ∠的平分线对称的直线上, 所以11212||||||F F EF EF k k EF -=-=-⋅另一方面, 由ABF DCF ∆∆ , 1BAF DCF ∆∆ 知1ABF BAF ∆∆ , 从而1ABF BAF ∆≅∆, 所以四边形1AF BF 是一个平行四边形, 因此M 是1FF 的中点. 同理, N 是2FF 的中点. 于是11211||22MN F F k k EF -==-⋅, 故 111||||22MN AB CD k k EF CD AB-=-=- 1.3 反演变换设O 是平面α上一定点, 对于α上任意异于点O 的点A , 有在OA 所在直线上的点'A , 满足'0OA OA k ⋅=≠, 则称法则I 为平面α上的反演变换, 记为(,)I O k . 其中O 为反演中心或者反演极, k 为反演幂; A 与'A 在点O 的两侧时0k <, 否则0k >; A 与'A 为此反演变换下的一对反演点(或反点), 显然A 与'A 互为反点(但点O 的反点不存在或为无穷远点); 点A 集的像'A 集称为此反演变换下的反演形(或反形).由于0k <时的反演变换(,)I O k 是反演变换(,||)I O k 和以O 为中心的中心对称变换的复合, 我们只就0k >讨论反演变换即可.令r =则2'OA OA r ⋅=. 此时, 反演变换的几何意义则可知如图所示, 并称以O 为圆心, r 为半径的圆为反演变换2(,)I O r 的基圆.由此几何意义, 我们可作出与'AA 垂直的过A 的直线l 及过'A 的直线'l 的反形分别为下图中的圆'c 及圆c , 反之以,'OA OA 为直径的圆c , 圆'c 的反形分别为直线',l l .由反演变换(0k >)的定义及几何意义, 即推出反演变换有下列有趣性质: 性质1 基圆上的点仍变为自己, 基圆内的点(O 除外)变为基圆外的点, 反之亦然.性质2 不共线的任意两对反演点必共圆, 过一对反演点的圆必与基圆正交(即交点处两圆的切线互相垂直).性质3 过反演中心的直线变为本身(中心除外), 过反演中心的圆变为不过反演中心的直线, 特别地过反演中心的相切两圆变为不过反演中心的两平行直线; 过反演中心的相交圆变为不过反演中心的相交直线.性质4 不过反演中心的直线变为过反演中心的圆, 且反演中心在直线上射影的反点是过反演中心的直径的另一端点; 不过反演中心的圆变为不过反演中心的圆, 特别地, (1) 以反演中心为圆心的圆变为同心圆; (2) 不过反演中心的相切(交)圆变为不过反演中心的相切(交)圆; (3) 圆11(,)O R 和圆22(,)O R 若以点O 为反演中心, 反演幂为(0)k k >, 则212222||k R R OO R ⋅=-, 212222||k OO OO OO R ⋅=-. 性质5 在反演变换下, (1) 圆和圆、圆和直线、直线和直线的交角保持不变;(2) 共线(直线或圆)点(中心除外)的反点共反形线(圆和直线), 共点(中心除外)线的反形共发形点.例1.8 设M 为ABC ∆的边BC 的中点, 点P 为ABM ∆的外接圆上 AB (不含点M )的中点, 点Q 为AMC ∆的外接圆上AC (不含点M )的中点. 求证: AM PQ ⊥.(第57届波兰数学奥林匹克, 2006)证明: 如图所示, 以M 为反演中心、MB 为反演半径作反演变换, 则,B C 皆为自反点, 直线AM 为自反直线. 设A 的反点为'A , 则'A 在直线AM 上, 且ABM ∆的外接圆的反形为直线'A B , AMC ∆d 的外接圆的反形为直线'A C , 点P 的反点'P 为直线PM 与'A B 的交点, 点Q 的反点'Q 为直线QM 与'A C 的交点, 直线PQ 的反形为''MP Q ∆的外接圆. 因,MP MQ 分别平分AMB ∠和AMC ∠, 所以, ''MP MQ ⊥, 且''''''''A P MA MA A Q P B MB MC Q C=== 从而''P Q //BC . 设'A M 与''P Q 交于N . 因M 是BC 的中点, 所以N 是''P Q 的中点. 再注意''MP MQ ⊥即知N 为''MP Q ∆的外心, 这说明直线'A M 与''MP Q ∆的外接圆正交, 因此直线AM 与PQ 正交, 即AM PQ ⊥.2 范例选讲2.1 合同变换例2.1 设ABC ∆是一个正三角形, 12,A A 在边BC 上, 12,B B 在边CA 上,12,C C 在边AB 上, 且凸六边形121212A A B B C C 的六边长都相等. 求证: 三条直线121212,,A B B C C A 交于一点. (第46届IMO , 2005)证明: 如图所示, 作平移变换12()T B A , 则12B A →, 设2B K →, 则12122A A B B KA ==, 且2160KA A ∠= , 所以12KA A ∆是正三角形, 因此11212KA A A C C ==, 且由2160A A K CBA ∠==∠ 知, 1KA //12C C , 所以121C C A K 是平行四边形, 于是12121C K C A B C ==, 又21221B K B A B C ==, 所以21KB C ∆也是正三角形.于是, 由221B KA B 是平行四边形, 12KA A ∆与21KB C ∆都是正三角形可知,121121A A B C B B ∠=∠. 同理, 121121B B C C C A ∠=∠, 所以212121AB C BC A CA B ∠=∠=∠再注意212121B AC C BA A CB ∠=∠=∠, 212121B C C A A B ==即得121212AC B BAC CB A ∆≅∆≅∆进而可知111111AC B BAC CB A ∆≅∆≅∆, 所以111A B C ∆是正三角形. 于是1111A B AC =, 又2121B B B C =, 因此12A B 是11B C 的垂直平分线, 从而12A B 通过111A B C ∆的中心O , 同理1212,B C C A 都通过111A B C ∆的中心O . 故121212,,A B B C C A 三线共点.实际上, 在本题中, 222A B C ∆也是正三角形, 且111A B C ∆、222A B C ∆、ABC ∆这三个正三角形的中心都是点O .例2.2 在凸四边形ABCD 中, 对角线BD 既不平分ABC ∠, 也不平分CDA ∠,点P 在四边形的内部, 满足PBC DBA ∠=∠,PDC BDA ∠=∠. 证明: 四边形ABCD 内接于圆的充分必要条件是PA PC =. (第45届IMO , 2004)证明: 如图所示.必要性. 设四边形ABCD 内接于圆. 以AC 的垂直平分线为反射轴作轴反射变换, 设','B B D D →→, 则','B D 都在圆上, 且','CB AB CD AD ==, 所以'B DC ADB PDC ∠=∠=∠, 这说明',,B P D 三点共线. 同理, ',,D P B 三点共线, 所以点P 是'B D 与'BD 的交点, 因而P 在反射轴上, 即P 在AC 的垂直平分线上, 故PA PC =.充分性. 设PA PC =. 分别延长,BP DP 与BCD ∆的外接圆交于点','D B , 则有''PB C DB C DBC ABP ∠=∠=∠=∠, ''PD C BD C BDC ADP ∠=∠=∠=∠, ''BPD B PD ∠=∠. 因,',,'B B D D 四点共圆, ''PBD PB D ∠=∠, 所以''PBD PB D ∆∆ . 又''CB D CBP DBA =∠=∠, ''B D C PDC ADB ∠=∠=∠, 因此''CB D ABD ∆∆ , 从而''ABPD CB PD 四边形四边形. 但PC PA =, 所以''ABPD CB PD ≅四边形四边形. 这说明四边形ABPD 与四边形''CB PD 关于'BPB ∠的平分线互相对称. 而,',,',B B C D D 共圆, 所以',,,,'B B A D D 共圆, 即,,',,',A B B C D D 六点共圆. 故四边形ABCD 内接于圆.例2.3 设H 为ABC ∆的垂心, ,,D E F 为ABC ∆的外接圆上三点, 且AD //BE //CF , ,,S T U 分别为,,D E F 关于边,,BC CA AB 的对称点. 求证: ,,,S T U H 四点共圆. (中国国家队选拔考试, 2006)证明: 我们先证明如下引理: 设,O H 分别为ABC ∆的外心和垂心, P 为ABC ∆的外接圆上任意一点, P 关于BC 的中点的对称点为Q , 则直线AP 关于OH 的中点对称的直线是QH 的垂直平分线.引理的证明. 事实上, 如右图所示, 过A 作ABC ∆的外接圆的直径'AA , 则'A 与ABC ∆的垂心H 也关于BC 的中点对称, 所以QH //'A P 且'QH A P =. 又'A P AP ⊥, 因此QH AP ⊥. 设,D N分别为,AP QH 的中点, 则'2,A P OD = 2QH NH =, 于是OD //NH 且OD NH =. 而AP OD ⊥, 故直线AP 关于OH 的中点对称的直线是QH 的垂直平分线.回到原题. 如下图所示, 过得D 作BC 的平行线与ABC ∆的外接圆交于另一点P . 由AD //BE //CF 易知PE //CA , PF //AB . 因PD //BC , S 是点D 关于BC 的对称点, 所以点P 关于BC 的中点的对称点是S . 于是, 设ABC ∆的外心为O , OH 的中点为M , 作中心对称变换()C M , 由引理可知, 直线AP 的像直线是HS的垂直平分线. 同理, 直线,BP CP 的像直线分别是,HT HU 的垂直平分线.而,,AP BP CP 有公共点P , 因此,,HS HT HU 的垂直平分线交于一点.故,,,S T U H 四点共圆.进一步, 我们还可以证明()STU 与ABC ∆的外接圆是等圆.事实上, 因,,PS PT PU 的中点分别是ABC ∆的三边的中点, 所以()STU 的半径是ABC ∆的中点三角形的外接圆的半径的两倍, 而ABC ∆的外接圆的半径也是其中点三角形的外接圆半径的两倍. 故()STU 与ABC ∆的外接圆是等圆.在本题中, 我们首先将四点共圆的问题转化成三线共点问题, 然后巧妙地通过中心对称变换使问题得到顺利的解决.例2.4 设ABCD 是一个正方形, 以AB 为直径作一个圆T , P 是边CD 上的任意一点, ,PA PB 分别与圆交于,E F 两点. 求证:直线DE 与CF 的交点Q 在圆T 上, 且AQ DP QB PC=. (第44届塞尔维亚和黑山国家数学竞赛, 2006)证明: 如图所示. 设,BE AD 交于R , ,AF BC 交于S , 则,,,F S C P 四点共圆, 所以SPC SFC ∠=∠. 令O 为正方形ABCD 的中心, 作旋转变换(,90)R O , 则,,B C C D D A →→→, 而,AS BP BR AP ⊥⊥, 所以,S P P R →→, 从而PRD SPC ∠=∠. 显然, BC 为圆T 的切线, 所以CBP BAF ∠=∠. 因//AD BC , 所以=+=+RPB PRD CBP SPC CBP ∠∠∠∠∠. 再设CQ 与AB 交于T , 因//AB DC , 则=ATQ DCQ ∠∠, 于是=+=+=+==RPB SPC CBP SFC BAF AFQ BAF ATQ DCQ ∠∠∠∠∠∠∠∠∠又由,,,R E P D 四点共圆, 知=BRP QDC ∠∠, 因此PRB CDQ ∆∆ , 从而=PBR CQD ∠∠, 即=FBE FQE ∠∠, 这说明,,,E Q B F 四点共圆, 换句话说, 点Q 在圆T 上. 再由,,,R E P D 四点共圆, 知===PRD PED AEQ ABQ ∠∠∠∠, 而=90=RDP BQA ∠∠ , 所以PDR AQB ∆∆ , 于是=AQ PD QB DR, 又=DR CP , 故AQ DP QB PC =. 2.2 相似变换例2.5 设12,O O 是半径不等的外离两圆. ,AB CD 是两圆的两条外公切线,EF 是两圆的一条内公切线, 切点,,A C E 在1O 上, 切点,,B D F 在2O 上. 再设1EO 与AC 交于K , 2FO 与BD 交于L . 求证: KL平分EF . (罗马尼亚国家队选拔赛, 2007)证明: 如图所示, 设两条外公切线交于O , 内公切线EF 与外公切线,AB CD 分别交于,P Q , 以O 为位似中心作位似变换, 使12O O →, 则AC BD →, 而12//O E O F , 所以12O E O F →直线直线, 于是AC 与直线1O E 的交点→BD 与直线2O F 的交点, 即K L →, 因此,,O K L 三点共线. 过L 作EF 的平行线分别与直线,AB CD 交于,R S , 则2O L RS ⊥, 而22,O B BR O D SD ⊥⊥, 所以2,,,R B L O 四点共圆, 2,,,O L S D 四点共圆, 再注意到22O B O D =, 于是2222SRO LBO O DL O SR ∠=∠=∠=∠所以22O R O S =, 因此L 平分RS . 而//PQ RS , 所以OL 平分PQ , 即KL 平分PQ . 又PF QE =, 故KL 平分EF .例2.6 在ABC ∆的外部作PAB ∆与QAC ∆, 使得,AP AB AQ AC ==, 且PAB CAQ ∠=∠. 设,BQ CP 交于R , BCR ∆的外心为O . 求证: AO PQ ⊥. (中国国家队培训, 2006)证法一: 如右图所示, 易知APC ABQ ∆≅∆, 所以APR ABR ∠=∠. 因此,,,A P B R 四点共圆, 从而PRB PAB ∠=∠. 于是22COB PRB PAB ∠=∠=∠. 设BC k BO =⋅, 作位似旋转变换(,,)S B k OBC , 则O C →. 设'A A →, 则'2A AB COB PAB ∠=∠=∠, 所以'A AP PAB CAQ ∠=∠=∠. 又由OC OB =, 有'AA AB =. 于是, 再作旋转变换(,)R A PAB , 则,'C Q A P →→, 从而(,)(,,)R A PAB S B k OBC AO PQ → .另一方面, 由,2OB OC BOC PAB =∠=∠知90PAB OBC ∠+∠= , 因此存在点1O , 使得1(,)(,,)(,,90)R A PAB S B k OBC S O k = . 这说明在位似旋转变换1(,,90)S O k 下, 有AO PQ →. 故AO PQ ⊥.证法二: 若下图所示. 同证法一, 有22BOC PRB PAB ∠=∠=∠. 设M 为BC的中点, 则OM BC ⊥. 再分别过,B C 作,AP AQ 的垂线, 垂足分别为,E F , 则CFA CMO BMO BEA ∆∆≅∆∆于是, 设CO k CM =⋅, FCA θ= , 则1(,,)(,,)S C k S B k M OM θθ-→→ 所以, 1(,,)(,,)(,1,2)(,2)S B k S C k S M R M θθθθ-==. 而1(,,)(,,)S C k S B k F A E θθ-→→, 因此在旋转变换(,2)R M θ下, F E →, 所以ME MF =且2FME θ∠=. 因OA 与等腰MEF ∆的两腰,ME MF 的交角都等于θ, 所以OA EF ⊥. 另一方面, 由CFA BEA ∆ , 有AE AE AF AF AP AB AC AQ===, 所以//EF PQ , 故OA PQ ⊥.2.3 反演变换例2.7 设圆T 与直线l 相离, AB 是圆T 的垂直于l 的直径, 点B 离l 较近,C 是圆T 上不同于,A B 的任意一点, 直线AC 交l于D , 过D 作圆T 的切线DE , E 是切点, 直线BE 与l 交于F , AF 与圆T 交于另一点G . 求证:点G 关于AB 的对称点在直线CF 上. (德国国家队选拔考试, 2005)证明: 如图所示, 设AB 与直线l 交于M , 则,,,A E M F 四点共圆, 再由DE 与圆T 相切可知EDF EOA ∆∆ , 所以DF DE =, 且EOD EAF ∆∆ , 从而DOE FAE ∠=∠. 但2GOE FAE ∠=∠, 所以GOD DOE ∠=∠, 从而GOD EOD ∆≅∆, 所以DG 也为圆T 的切线, G 为切点, DG DE DF ==. 设点,G F 关于直线AB 的对称点分别为','G F , 则'G 在圆T 上, 且'F DFG FGD ∠=∠=∠, 所以,,,'A G D F 四点共圆. 于是, 作反演变换(,)I A AG AF ⋅, 则,F G 互为反点, ','F G 互为反点, 这说明圆T 与直线l 互为反形, 所以,C D 互为反点. 又,,,'A G D F 四点共圆, 这个圆与直线FC 互为反形, 所以,,'F C G 共线, 即点G 关于AB 的对称点在直线CF 上.3 训练习题3.1 合同变换练3.1 设四边形ABCD 外切于圆, ,A B ∠∠的外角平分线交于点K , ,B C ∠∠的外角平分线交于点L , ,C D ∠∠的外角平分线交于点M , ,D A ∠∠的外角平分线交于点N . 再设,,,ABK BCL CDM DAN ∆∆∆∆的垂心分别为1111,,,K L M N . 求证: 四边形1111K L M N 是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)练3.2 设,C D 是以O 为圆心、AB 为直径的半圆上任意两点, 过B 作圆O 的切线交直线CD 于P , 直线PO 与直线,CA AD 分别交于,E F . 证明: OE OF =. (第4届中国东南地区数学奥林匹克, 2007)练3.3 设,D T 是ABC ∆的边BC 上的两点, 且AT 平分BAC ∠, P 是过D 且平行于AT 的直线上的一点, 直线BP 交CA 于E , 直线CP 交AB 于F . 求证: BT DC =的充分必要条件是BF CE =. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克, 2005)练3.4 设ABC ∆是一个正三角形. P 是其内部满足条件=120BPC ∠ 的一个动点. 延长CP 交AB 于M , 延长BP 交AC 于N . 求AMN ∆的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)3.2 相似变换练3.5 在ABC ∆中, AB AC ≠, 中线AM 交ABC ∆的内切圆于,E F 两点, 分别过,E F 两点作BC 的平行线交ABC ∆的内切圆于另一点,K L , 直线,AK AL 分别交BC 于,P Q . 求证: BP QC =. (第46届IMO 预选题, 2005; 第47届伊朗国家队选拔考试, 2006)练3.6 设,b c I I 分别是ABC ∆的,B C --旁心旁心, P 是ABC ∆的外接圆上一点. 证明: ABC ∆的外心是b I AP ∆和c I AP ∆的外心的连线段的中点. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)3.3 反演变换练3.7 设,a I I 分别是分别为ABC ∆的内心和A -旁心, a II 与BC 交于D , 与ABC ∆的外接圆交于M . 设N 是 AM 的中点, ABC ∆的外接圆分别与,a NI NI 交于另一点,S T . 求证: ,,S D T 三点共线. (第18届伊朗数学奥林匹克, 2001) 4 习题解答4.1 合同变换练3.1设四边形ABCD 外切于圆, ,A B ∠∠的外角平分线交于点K , ,B C ∠∠的外角平分线交于点L , ,C D ∠∠的外角平分线交于点M , ,D A ∠∠的外角平分线交于点N . 再设,,,ABK BCL CDM DAN ∆∆∆∆的垂心分别为1111,,,K L M N . 求证: 四边形1111K L M N 是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)证明: 如图所示, 设四边形ABCD 的内切圆圆心为O . 由于内角平分线和外角平分线互相垂直, 所以,OA NK OB KL ⊥⊥.又1AK 是ABK ∆的高, 所以1AK BK ⊥, 因此1AK //OB . 同理, 1BK //OA , 从而四边形1AK BO 是平行四边形. 同样地, 四边形111,,BLCO CM DO DN AO 皆为平行四边形. 于是 ()()1111T AO T OC K N BD L M →→但()()()()T OC T AO T OC OA T AC =+= , 因而()1111T AC K N L M → . 故四边形1111K L M N 是平行四边形.练3.2 设,C D 是以O 为圆心、AB 为直径的半圆上任意两点, 过B 作圆O 的切线交直线CD 于P , 直线PO 与直线,CA AD 分别交于,E F . 证明:OE OF =. (第4届中国东南地区数学奥林匹克, 2007)证明: 如图所示. 以过圆心O 且垂直于EF 的直线为轴作轴反射变换, 设'A A →, 则'A 仍在圆O 上, 且'FOA AOE BOP ∠=∠=∠, 所以'PA 也是圆O 的切线, 因此',,,A O B P 四点共圆. 于是''''A DA A BA A BO A PO ∠=∠=∠=∠, 从而',,,A D P F 四点也共圆, 所以'''A FO A DC A BC ∠=∠=∠.另一方面, 因AB 是圆O 的直径, 所以BC EC ⊥. 又显然有'A B EF ⊥, 由此可知'A BC OEA ∠=∠, 因此'A FO OEA ∠=∠. 再注意'FOA EOA ∠=∠, 'OA OA =, 即知'A OF AOE ∆≅∆, 故OE OF =.练3.3 设,D T 是ABC ∆的边BC 上的两点, 且AT 平分BAC ∠, P 是过D 且平行于AT 的直线上的一点, 直线BP 交CA 于E , 直线CP 交AB 于F . 求证: BT DC =的充分必要条件是BF CE =. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克, 2005)证明: 如图所示, 设M 为BC 的中点, 作中心对称变换()C M , 则C B →.设'A A →, 则四边形'ABA C 是平行四边形. 再设直线'A B 与CF 交于Q , 则有''A C BF A Q BQ =, CP CE PQ BQ=. 于是, '''//.BT DC T D A D CAB AD AT =⇔→⇔∠⇔为的平分线而//PD AT , 故'=',,''='A C CP BT DC A D P A P CA B A Q PQ ⇔⇔∠⇔三点共线为的平分线 又''A C BF A Q BQ =, CP CE PQ BQ =, 所以===BF CE BT DC BF CE BQ BQ⇔⇔. 练3.4 设ABC ∆是一个正三角形. P 是其内部满足条件=120BPC ∠ 的一个动点. 延长CP 交AB 于M , 延长BP 交AC 于N .求AMN ∆的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)证明: 如图所示, 设AMN ∆的外心为O ,ABC ∆的中心为Q , 分别过点,B C 作BC 的垂线交AQ 的垂直平分线于,E F , 易知, 当P B →时, O E →; 当P C →时, O F →.下面证明: 当P 在ABC ∆内变动时, 点O 的轨迹是线段EF (不包括端点). 事实上, 设点P 满足条件, 作旋转变换(,120)R Q , 则,,A B B C C A →→→. 因=120BPC ∠ , 所以N M →. 注意=60BAC ∠ , 因此,P Q 都在AMN ∆的外接圆上, 所以AMN ∆的外心O 在AQ 的垂直平分线EF 上.反之, 设AMN ∆的外心O 在线段EF 上, 以O 为圆心、OA 为半径作圆分别交,AB AC 于,M N . 由于AQ 平分BAC ∠, 所以=QN QM . 从而在旋转变换。
竞赛数学课程 几何变换
几何变换变换与变换群1． 基本概念：1） 设A 、B 是两个非空集合，给出映射f ：A →B ，如果B=A ，那么映射f 叫做集合A 上的变换。
2） 若变换f ：A →A 是一一映射，则f 叫一一变换。
3） 一一变换f ：A →A ，若,A a ∈∀有f （a ）=a ，则f 叫A 上的恒等变换或单位变换，通常记为I 。
4） A A f A A f →→:,:21是两个变换，变换1f 与2f 的合成12f f ⋅叫做1f 与2f 的乘积。
5） 一一变换f ：A →A ，若存在变换g ：A →A ，使得fg=gf=I ，则g=1-f 叫f 的逆变换。
6） 一一变换f ：A →A ，且I f ≠，若A a ∈∃，使f（a ）=a ，则a 叫f 下的二重点（不动点，不变点）；若存在直线l ，使得f （l ）=l ，则l 叫f 下的二重线（不变线）。
2． 一一变换的性质：1）f 、g ：A →A 是一一变换，则gf 也是一一变换。
2）f 、g 、h ：A →A 是一一变换，则有h （gf ）=（hg ）f 。
3）f ：A →A 是一一变换，则1-f 也是一一变换。
3． 变换群：1） 将几何图形按着某种法则或者规律变换成另一个图形的过程叫几何变换。
2） A 是一个集合，如果G 是由集合A 上的某些一一变换所组成的集合，且满足：（1） 若G f G f ∈∈21,，则G f f ∈⋅12；（2） 若G f ∈，则G f∈-1； 那么集合G 就叫做集合A 上的变换群，简称为变换群。
3） 若H 是变换群的一个子群，且H 自身也构成一个变换群，那么H 叫做G 的子群。
4） 两变换群21,G G ，若它们的元素之间可以建立一一对应关系f ，且有)()()(,,1212121g f g f g g f G g g =∈∀，则称21,G G 同构。
平面几何变换一、合同变换1． 基本概念1） 一个平面到其自身的变换W ，若对于平面上的任意两点A 与B ，都有距离W （A ）W （B ）=AB ，则称W 为平面上的合同变换（全等变换）。
初中数学竞赛专题：几何变换
初中数学竞赛专题:几何变换§16.1对称和平移16．1．1★设M 是边长为2的正三角形ABC 的边AB 的中点．P 是边BC 上的任意一点,求PA PM +的最小值．CA'M'PA M B解析 作正三角形ABC 关于BC 的对称图形A BC '△．M '是M 的对称点,故M 是A B '的中 点．PM PM '=,如图所示,则PA PM PA PM AM ''+=+≥.连结CM ',易知90ACM '∠=︒,所以AM '==．所以,PA PM +．16．1．2★★已知ABC △中,60A ∠<︒．试在ABC △的边AB 、AC 上分别找出一点P 、Q ,使BQ QP PC ++最小．解析 作B 关于直线AC 的对称点B ',C 关于直线AB 的对称点C ',连B C ''与AB 、AC 分别交于点P 、Q ,则P 、Q 即为所求,如图所示．CA'M'PA M B事实上,对于AB 、AC 上的任意点P ',Q ',BQ Q P P C B Q Q P P C ''''''''''++=++ B C B Q QP PC ''''=++≥ BQ QP PC =++．评注 因为60A ∠<︒,所以所作线段B C ''必与线段AB 、AC 相交．16．1．3★★求证:直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．解析 如图所示,设在直角三角形ABC 中,CD 是斜边上的高,PQR △是它的任一内接三角形．BDP ARC Q S VET G FU将Rt ABC △以BC 为对称轴反射为Rt BCE △,此时PQR △反射为SQV △,再将Rt BCE △以CE 为对称轴反射为Rt FCE △,此时SQV △反射为TUV △延长DC 交EF 于G ．易知FF AB ∥,所以CG CD =,即2GD CD =,且GD 是两平行线AB 与EF 之间的距离． 所以2PQ QR RP PQ QV VT GD CD ++=++=≥.16．1．4★★★在ABC △内取一点M 使10MAB ∠=︒,30MBA ∠=︒．设80ACB ∠=︒,AC BC =．求AMC ∠.CAHBME解析 本题中ABC △为等腰三角形,这就提示我们利用对称性解题,先作一条对称轴,作ABC △的高CH 与直线BM 交于点E 由对称性知,30EAB EBA ∠=∠=︒,所以20EAM ∠=︒, 从而20CAE ∠=︒,因为40AME MAB MBA ∠=∠+∠=︒,又1402ACE ACB ∠=∠︒=,所以CAF △≌MAE △, 于是AC AM =,所以()118040702AMC ∠=︒-︒=︒．16．1．5★★在ABC △中,AH 是高,H 在边BC 上,已知45BAC ∠=︒,2BH =,3CH =,求ABC △的面积．解析 作HAC △的关于AC 的对称图形MAC △,作HAB △的关于AB 的对称图形NAB △．分别延长MC 和NB ,它们相交于L ,如图所示．ANMBH CL易知90M N ∠=∠=︒,且290NAM BAC ∠=∠=︒, AM AH AN ==．所以,四边形LMAN 是正方形． 设正方形LMAN 的边长为a ,则3CL a =-,2BL a =-．在直角三角形BCL 中,由勾股定理知222BL CL BC +=．()()222325a a -+-=．解方程,得6a =,即6AH =．所以1152ABC S BC AH =⋅=△．16．1．6★★★如图,凸四边形PQRS 的四个顶点分别在边长为a 的正方形ABCD 的四条边上,求证:PQRS 的周长不小于．解析 作正方形ABCD 关于BC 的轴对称图形,得到正方形11A BCD ,再作正方形11A BCD 关于1CD 的轴对称图形,得到正方形221A B CD ,再作正方形221A B CD 关于21A D 的轴对称图形,得到正方形2331A B C D ,而P 、Q 、R 、S 四点的对应点如图所示．A S DP B P 1A 1S 1D 1R 3C 3Q 3B 3P 3A 2P 2B 2Q 2R C R 1S 2Q显然,2AA =,23AP A P ∥,故32PP AA ∥,所以四边形PQRS 的周长PQ QR RS SP +++ 11223PQ QR R S S P =+++32PP AA ==≥．即四边形PQRS的周长不小于．16．1．7★★★如图,ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形,90ABC ADE ∠=∠=︒,现固定ABC △而将ADE △绕点A 在平面上旋转,试证:不论ADE △旋转到什么位置,线段EC 上必存在点M 使BMD △力等腰直角三角形．BAD ECMA'解析 如图,设BMD △为等腰直角三角形,下面证明点M 在线段EC 上． 作A 关于BD 的对称点A ',则A DB ADB '∠=∠． 因为902ADE BDM ∠=︒=∠, 所以45EDM A DM A DB ''∠=∠=︒-∠45ADB =︒-∠,又DA DA DE '==．所以A '又是E 关于DM 的对称点． 同理A '也是C 关于BM 的对称点,因此EMD A MD '∠=∠,CMB A MD '∠=∠,又因90BMD ∠=︒, 所以180CME ∠=︒．即M 在EC 上（且为EC 的中点）．16．1．8★★★如图,矩形ABCD 中,20AB =,10BC =,若在AC 、AB 上各取一点M 、N ,使BM MN +的值最小,试求出这个最小值．DEC GF ANP MBQ解析 作AB 关于直线AC 的对称线段AE ,即B 、E 关于AC 对称,作N 关于AC 的对称点F ,则F 在AE 上,且有BE AC ⊥于Q ,NF AC ⊥于P ．由对称变换可知,MN BM MF MB +=+.欲使MF BM +最小,必须BMF 共线,所以BM MN +最小值为点B 到AE 的距离BG . 在Rt ABC △中,20AB =,10BC =,所以AB BCBQ AC⋅==则2BE BQ == 在Rt ABQ △中,AQ ===20AE AB ==,在ABE △ 中,1122ABE S BE AQ AE BG =⋅=⋅△,则16BE AQBG AE⋅==．从而BM MN +的最小值为16． 16．1．9★★凸四边形ABCD 中,ABD CBD ∠>∠,ADB CDB ∠>∠．求证:AB AD BC CD +>+.D CEPA B解析将BCD △沿BD 翻折,点C 落在点P ．因为ABD CBD ∠>∠,ADB CDB ∠>∠,所以P 必定在ABD △内部．BP 延长线交AD 于点E ,则AB AD BE FD BP PD BC CD +>+>+=+.16．1．10★★设S 表示凸四边形ABCD 的面积,证明1()2S AB CD BC AD ⋅+⋅≤．B ACD D'l解析如图,作点D 关于AC 的垂直平分线l 的对称点D ',显然ACD △与ACD '△关于l 成轴对称图形．所以ABCD S S '=BAD BCD S S ''=+△△,11sin sin 22AB AD BAD BC CD BCD ''''=⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()AB AD BC CD ''⋅+⋅≤1()2AB CD BC AD =⋅+⋅. 16．1．11★★在矩形ABCD 内取一点M ,使180BMC AMD ∠+∠=︒,试求BCM DAM ∠+∠的值．解析 如图将BMC △沿AB 平移至ADM '△,显然MM AD '⊥,BMC AM D '∠=∠．所以,由已知条件180AM D AMD '∠+∠=︒,即A 、M 、D 、M '四点共圆,从而 BCM DAM ADM DAM '∠+∠=∠+∠ 90AMM DAM '=∠+∠=︒．16．1．12★★设P 是平行四边形ABCD 内一点,使得PAB PCB ∠=∠, 证明:PBA PDA ∠=∠．A D PP'BC解析 如图,把AP 平移至DP ',则BAP CDP '∠=∠,及PBA P CD '∠=∠,PP BC '∥, 所以P PC BCP '∠=∠．又已知PAB PCB ∠=∠,故P PC CDP ''∠=∠,从而P 、D 、P '、C 四点共圆．于是P PD P CD ''∠=∠,又P PD PDA '∠=∠, 所以PBA PDA ∠=∠．16．1．13★（1）如图（a ）所示,在梯形ABCD 中,AD BC ∥.已知:3AD BC +=,AC,BD =,求梯形ABCD 的面积．（2）如图（b ）,在梯形ABCD 中,AD BC ∥．M 是CD 的中点,MN AB ⊥于N ．设AB a =,MN h =,求梯形ABCD 的面积．解析（1）将BD 平移到CE ,连结DE ,则CE BD ==DE BC =．所以BCAD E(a)A DENM CF B(b)3AE AD DE AD BC =+=+=．222AE AC CE =+．因此90ACE ∠=︒． 因为ABC CDE S S =△△,所以12ACE ABCD S S AC CE ==⋅=△梯形． （2）将AB 平移至EF ,如图（b ）所示,EF 过点M ．由于MDF △≌MCF △,所以ABCD ABFE S S AB MN ah ==⋅=梯形梯形．评注 本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．16．1．14★★如图,在四边形ABCD 中,AD BC =,E 、F 分别是DC 及AB 中点,FE 的延长线与AD 及BC 的延长线分别交于点H 、G ．求证:AHF BGF ∠=∠．G H DAB'F BCE (a)解析1如图（a ）,将线段CB 平移至AB '．则四边形AB BC '为平行四边形．由于F 是AB 中 点,故C 、F 、B '共线．现在EF 是CDB '△的中位线,故EF DB '∥,所以AHF ADB '∠=∠,BGF AB D '∠=∠．又显然AB BC AD '==．故ADB AB D ''∠=∠． 于是AHF BGF ∠=∠．G H E CD MAF B(b)解析2如图（b ）,连结AC ,取AC 中点为M ,连结ME 、MF ,则ME 、MF 分别为CDA △、ABC △的中位线,所以12ME DA ∥,12MF BC ∥．故MEF AHF ∠=∠, AFE FGB ∠=∠,且ME MF =,故MEF MFE ∠=∠, 所以AHF FGB ∠=∠．16．1．15★★如图,A B ∠=∠,1AA 、1PP 、1BB 均垂直于11A B ,垂足为1A 、1P、 1B ,117AA =,116PP =,120BB =,1112A B =．求AP BP +的值．A C D A 1P 1B 1E PB解析 将1PP 平移到1CA ,C 在线段1AA 上,延长BP 交1AA 于D ,将1DA 平移到1EB ,E 在1BB 上． 因为1AA 、1BB 、1PP 均垂直于11A B ,所以四边形11CA PP 和11DA B E 都是矩形． 由1116CA PP ==,117AA =,得1AC =．又11AA BB ∥,所以PDA B A ∠=∠=∠,90PCD PCA ∠=∠=︒,PC PC =．所以Rt PCD △≌Rt PCA △,PA PD =,1CD AC ==．于是AP BP BD +=,11115DA AA AD EB =-==, 115BE BB EB =-=．在Rt BED △中,1112DE A B ==,13BD ==,也即13AP BP +=．16．1．16★★在正三角形ABC 的三条边上,有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．证明:直线21B C 、21C A 、21A B 所成的三角形中,三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边成比例．CABC 1C 2C 3A 1A 2A 3B 1B 2B 3解析 如图,将12C C 平移到2B P ,连结1PA 、1PB 、2PC ．因为四边形12BC C P 为平行四边形,所以1260B B P A ∠=∠=︒,21212B P C C B B ==,故12B B P △为正三角形,112B P A A ∥．这样所得四边形121A A B P 为平行四边形,121A P A B ∥．因此,由21B C 、21C A 、21A B 这三条线段构成的三角形与12A PC △全等,而12A PC △≌333A B C △,从而命题得证．16．1．17★★如图所示,2AA BB CC '''===且共点于O ,60AOB BOC COA '''∠=∠=∠=︒,求证:AOB BOC COA S S S '''++△△△Q解析 将A OC '△沿A A '方向平移A A '长的距离,得AQR △,将BOC '△沿BB '方向平移BB '长的距离,得B PR ''△．由于2OP OQ ==,60POQ ∠=︒,所以2PQ =．又因'2QR R P OC OC CC ''+=+==,故R 与R '重合,且P 、R 、Q 三点共线．在正三角形POQ 中,AOB BOC COA S S S '''++△△△ AOB B PR AQR S S S ''=++△△△22OPQ S <△ 16．1．18★★★如图,由平行四边形的顶点B 引它的高BK 和BH ,已知KH a =,BD b =,求点B 到BKH △的垂心的距离．B PCHD KAaH 1解析 令1H 表示BKH △的垂心．考虑到1KH BH ⊥,DH BH ⊥,有1KH DH ∥．同理有1HH DK ∥,因而四边形1KDHH ,为平行四边形,平移1BKH △到PDH △位置,显然P 为BC 上一点,所求线段1BH 即PH ,已与KH 位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB 为矩形,有PK BD =,于是1BH PH ===16．1．19★★★已知ABC △的面积为S ,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上的点,且1BD CE AF DC EA FB n===,试求以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积S '． GCEDBF A解析 如图,过点A 作AG 平行且等于FC ．连CG 、GD 、GE ,则四边形AFCG 为平行四边形,GCA CAB ∠=∠． 又11CG AF AE AE AB AB AB CA n ====+, 所以CGE △≌ABC △,CEG ACB ∠=∠,因此GE CB ∥. 又因1=1GE BDBC n BC=+, 所以GE BD =．于是四边形GEBD 也为平行四边形,从而GD BE =,即ADG △为AD 、BE 、CF 所构成的三角形,它的面积为S '． 在梯形GABC 中,1111GABCS GC AB GC SAB AB n +==+=++梯形, 所以111GABC S S n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭梯形, 而11ABD S BD S BC n ==+△, 所以111ABC CG CD nS BA BC n n ⋅==⋅⋅++△, 因此()2111111n S S n n n ⎡⎤⎛⎫'=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦ ()2211n n S n ++=+．§16.2旋转16．2．1★★对于边长为1的正ABC △内任一点P ．求证PA PB PC ++．CBPC'P'解析 把ABC △绕点B 旋转60︒到CBC '△．则PBP '△为正三角形,且PC P C ''=,PB PP '=,因而PA PB PC PA PP P C AC ''''++=++=≥．16．2．2★★设P 是等边三角形ABC 内一点,3PC =,4PA =,5PB =．试求此等边三角形的边长．BACP 543解析 如图,把CBP △绕点C 逆时针旋转60︒,到达CAP '△的位置,显然,60PCP '∠=︒,3P C PP ''==,5AP '=．在APP '△中,222222345AP P P AP ''+=+==,所以90APP '∠=︒．故9060150APC APP P PC ''∠=∠+∠=︒+︒=︒.在APC △中,由余弦定理,得2222cos150AC AP PC AP PC =+-⋅⋅︒2234243=+⨯⨯+25=+所以,等边三角形ABC的边长是16．2．3★★设O 是正三角形ABC 内一点,已知115AOB ∠=︒,125BOC ∠=︒,求以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角．解析 以B 为旋转中心,将AOB △按逆时针方向旋转60︒,旋转至CDB △,如图所示． 连结OD ．由于OB OD =,60OBD ∠=︒,所以OBD △是正三角形,故OD OB =． 又CD OA =,故OCD △是以OA 、OB 、OC 为边构成的一个三角形． 因此COD BOC BOD ∠=∠-∠1256065=︒-︒=︒, ODC BDC BDO ∠=∠-∠ AOB BDO =∠-∠ 1156055=︒-︒=︒,从而180655560OCD ∠=︒-︒-︒=︒．所以,以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角分别为65︒、55︒和60︒．16．2．4★★如图,两个正方形ABCD 与AKLM （顶点按顺时针方向排列）,求证:这两个正方形的中心以及线段BM 、DK 的中点是某正方形的顶点．CDQ K LRM SAPB解析 设P 、R 分别是正方形ABCD 、AKLM 的中心,Q 、S 分别是线段DK 、BM 的中点,先证PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．连结BK 、DM ,将ADM △绕A 逆时针旋转90︒,则D 、M 分别到B 、K 位置,所以BK DM =,BK DM ⊥．因为P 、S 分别是BD 、BM 的中点,所以12PS DM ∥．同理12SR BK ∥．所以PS SR ⊥,且PS SR =．即PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．同理可证PQR △也是以PR 为斜边的等腰直角三角形．故P 、Q 、R 、S 是正方形的四个顶点．16．2．5★★正方形ABCD 内有一点P ,1PA =,3PB =．PD =求正方形ABCD 的面积．ADB CPP'解析 将PAB △绕A 点旋转90︒,得P AD '△．连结PP '．易知90PAP '∠=︒,1PA P A '==．于是PP '=在P PD '△中,222279P P PD P D ''+=+==．所以P PD '△是直角三角形,从而135APD ∠=︒． 由余弦定理得222AD PA PD PD =+⋅8=16．2．6★★在正方形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点M 和K ,使得AM AK =,在线段DM 上取点P ,使得PCD PKA ∠=∠．证明:APM ∠是直角．AM BL K PDC解析 如图所示,在边BC 上取点L ,使BL AK =,连结KL 、AP 、PL ．由于PCD PKA ∠=∠,所以P 、C 、D 、K 四点共圆,作四边形PCDK 的外接圆和矩形KDCL 的外接圆,因为这两个外接圆均过K 、D 、C 三点,从而这两圆是相同的,所以 90LPD LKD ∠=∠=︒．易知Rt MAD △≌Rt LBA △.故以正方形ABCD 的中心为旋转中心,将Rt LBA △以逆对针方向旋转90︒,则LBA △旋转至MAD △,从而AL DM ⊥．又LP DM ⊥,故A 、P 、L 三点共线,所以90APM ∠=︒． 16．2．7★★★已知凸六边形123456A A A A A A 中,1223A A A A =,3445A A A A =,5661A A A A =,135246A A A A A A ∠+∠+∠=∠+∠+∠．求证:（1）24612345612A A A A A A A A A S S =△；（2）624212A A A A ∠=∠,246412A A A A ∠=∠,264612A A A A ∠=∠．A 1A 2A 3A 4A 5A 6A'4解析 （1）将234A A A △绕点2A 旋转,使23A A 与21A A 重合,得到214A A A '△,如图所示．连结46A A '． 因为135246()()A A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠+∠720=︒,所以135A A A ∠+∠+∠246360A A A =∠+∠+∠=︒．因此4161412360A A A A A A A ''∠=︒-∠-∠ 135360A A A =︒-∠-∠=∠.从而146A A A '△≌546A A A △,246A A A △≌246A A A '△, 所以24624641234561122A A A A A A A A A A A A A S S S '==△．（2）由（1）可知624624126324A A A A A A A A A A A A '∠=∠=∠+∠2624A A A A =∠-∠,所以624212A A A A ∠=∠．同理可证:246412A A A A ∠=∠,264612A A A A ∠=∠．评注 本题通过旋转,把234A A A △、456A A A △、612A A A △拼成一个与246A A A △全等的新三角形246A A A '.也可以采取向246A A A △内部旋转的方法,把234A A A △、456A A A △、612A A A △放在26A A A 4△的内部,使之恰好“拼成”246A A A △．16．2．8★★★如图所示,P 、Q 是边长为1的正方形ABCD 内两点,使得45PAQ PCQ ∠=∠=︒,求PAB PCQ QAD S S S ++△△△的值．ADQ PBCADQPQ'BQ''C(a)(b)解析 将AQD △绕点A 顺时针旋转90︒至AQ B '△,CQD △绕点C 逆时针旋转90︒至CQ B ''△,连结PQ '、PQ '',则APQ '△≌APQ △,CPQ ''△≌CPQ △．又90ABQ CBQ ADQ CDQ '''∠+∠=∠+∠=︒,所以Q '、B 、Q ''三点共线,且BQ DQ BQ '''==,故PBQ PBQ S S '''=△△, 所以PAB PCQ QAD S S S ++△△△PAQ PBC QCD S S S =++△△△1122ABCD S ==正方形． 16．2．9★★在ABC △中,120A ∠︒≥,点P 不与A 重合．求证PA PB PC AB AC ++>+. 解析 如图,将PAB △绕点A 旋转至P AB ''△的位置,使CA 与AB '共线．于是AB AC AB AC PC PB ''+=+<+．B'ACPBP'又因为120P AB PAC BAP PAC BAC ''∠+∠=∠+∠=∠︒≥,所以18060PAP BAC '∠=︒-∠︒≤．故在等腰PAP '△中,PA P A PP ''=≥．因此PB PP P B PA P B PA PB ''''''++=+≤≤, 从而PA PB PC AB AC ++>+.评注 此题似乎依赖于图形,P 在BAC ∠内,事实上P 在其他位置照样成立,方法完全一样． 16．2．10★★★凸四边形ABCD 中,点M 、N 分别是BC 、CD 的中点,且AM AN a +=（a 是常数）,求证:22ABCDa S <四边形． ED NC FMBA解析 如图所示,将ABM △绕点M 旋转180︒得FCM △,将ADN △绕点N 旋转180︒得ECN △,连EF ,于是360ECF ECN BCD FCM ∠=︒-∠-∠-∠ 360ADC BCD ABC =︒-∠-∠-∠ 180DAB =∠<︒,所以EF 与凸四边形ABCD 的边不相交．故FCM ECN AEF ABCD AMCN S S S S S =++<△△△四边形四边形122AE AF AM AN ⋅=⋅≤ 22222AM AN a +⎛⎫⋅=⎪⎝⎭≤． 16．2．11★★★如图,设D 为锐角ABC △内一点,且AC BD AD BC ⋅=⋅,90ADB ACB ∠=∠+︒,求AB CDAC BD⋅⋅的值．A DBC解析 将线段BD 绕点B 顺时针旋转90︒到BE ,连结DE 、CE ．因为ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠,90ADB ACB ∠=∠+︒,所以90CAD CBD ∠+∠=︒,又90CBD CBE ∠+∠=︒,则CAD CBE ∠=∠． 由AC BD AD BC ⋅=⋅,得AC AD ADBC BD BE==,于是ACD BCE △∽△,所以ACD BCE ∠=∠, AC AD CDBC BE EC==．从而ACB ACD BCD ECB BCD ECD ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以,ABC DEC △△∽,则AB ACDE DC=,即AB CD AC DE ⋅=⋅． 在Rt BDE △中,BD BE =,DE =,故AB CDAC BD⋅⋅。
几何三大变换（讲义及答案）
几何三大变换（讲义及答案）几何三大变换课前预习平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换，它们都是变换，只改变图形的，不改变图形的和．请回忆几何三大变换的相关性质，并解决下列问题：1.在坐标系中，我们可以利用平移的性质来求解点的坐标．横坐标加减管左右平移，纵坐标加减管上下平移．如：将点A(2，3) 先向左平移3 个单位，再向上平移2 个单位，则平移后点坐标为A' (-1，5)．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 平行且相等，若A(-1，-1)，B(3，-1)，C(2，1)，则点D 的坐标为．2.当题目中出现等线段共端点时，我们往往考虑利用旋转思想解决问题．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．（提示：等边三角形有等线段共端点，考虑旋转．将△APC 绕点A 顺时针旋转60°．）1知识点睛1、、统称为几何三大变换．几何三大变换都是，只改变图形的，不改变图形的．2三大变换思考层次平移的思考层次：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：．③新关系：平移会产生．④应用：常应用在、等．旋转的思考层次（旋转结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；；．③新关系：旋转会产生．④应用：当题目中出现的时候考虑旋转结构．轴对称的思考层次（折叠结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；．③新关系：折叠会产生．④应用：常应用在、等．精讲精练1.如图，将周长为8 的△ABC 沿BC 方向平移1 个单位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A．6 B．8C．10 D．1222.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A1B1，若点A1，B1 的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则a +b = ?．第2 题图第3 题图3.如图，AB=CD，AB 与CD 相交于点O，且∠AOC=60°，则AC+BD与AB 的大小关系是（）A．AC +BD >AB B．AC+BD=ABC．AC +BD ≥AB D．无法确定4.如图，在4 ? 4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D第4 题图第5 题图5.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B=120°，OA=2．将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为．339 346.如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板 ABC 和A ′B ′C ′ 重合在一起，将三角板A ′B ′C ′绕其直角顶点C ′按逆时针方向旋转角α（0 < α≤ 90? ），则下列结论：①当α= 30? 时，A ′C 与 AB 的交点恰好为 AB 的中点；②当α= 60? 时，A ′B ′恰好经过点 B ；③在旋转过程中，始终存在AA ′⊥BB ′．其中正确的是．（填写序号）第 6 题图第 7 题图7.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA =3，OB =4，OC =5．将线段 OB 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段O′B ，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点 B 逆时针旋转60°得到；②∠AOB =150°；③ S 四边形AOBO' = 6 + 3 ；④ S △ AOB + S △AOC = 6 +．其中正确的是．（填写序号）8.如图，将长为 4cm ，宽为 2cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的中点 E 处，压平后得到折痕 MN ，则线段 AM 的长为459.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分别在AD，BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 边上的一点H 处，点D 落在点G 处，则下列结论：①四边形CFHE 是菱形；②CE 平分∠DCH；③当点H 与点A 重合时，EF= 2 ．其中正确的是．（填写序号）第9 题图第10 题图10.如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D 分别落在点A′，D′处，且A′D′经过点B，EF 为折痕．当D′F⊥CD 时，CF的值为（）DF3 -12B．36C．2 3 -16D．3 +18 11. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．D 是BC 边上一动点（不与点B，C 重合），过点D 作DE⊥BC，交AB 于点E，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为．52 【参考答案】 ? 课前预习全等位置形状大小 1．(-2，1) 2．150°知识点睛1. 平移、旋转、轴对称全等变换，位置，形状和大小2. 平移的思考层次：①平行（或在同一直线上）且相等，相等②对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等③平行四边形④天桥问题、存在性问题旋转的思考层次（旋转结构）：①相等，相等②对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心③等腰三角形④等线段共点轴对称的思考层次（折叠结构）：①相等，相等②对应点所连线段被对称轴垂直平分对称轴上的点到对应点的距离相等③垂直平分、等腰三角形④折叠问题、最值问题精讲精练1．C 2．2 3．C 4．B5．( ， ) 6．①②③ 7．①②④628．13cm 89．①③10．A11．1 或27。
初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移
初二数学竞赛讲义——几何变换：轴对称与平移例1、牧童在A处放牛, 家在B处, 天色将晚，需要回家了，但牛需要喝水。
则在何处饮水，所走路程最短？lABB解：作出A关于l的对称点C,连接CB,交l于P，则P就是所求的点。
证明：在l上任意取一点Q，只要证明QA+QB>PA+PB即可。
根据轴对称性，PC=PA,QC=QA,因此PA+PB=PC+PB=BC<QC+QB=QA+QB.说明：本题也可以换成以下物理背景：(1)l是一面镜子，A处的光线要想经过镜子反射以后照亮B处的物体，应如何选择入射点？(2)在A处击台球，要想经过桌子边缘反射以后击中B处的球，应如何选择入射点？这些问题的解决和上面是一样的。
例2、A、B在直线两侧，且到直线的距离不等，要在直线上找一点P,使得P到A、B的距离之差最大。
AB解：作B关于直线的对称点B’,连接AB’交直线于点P，则P就是所求的点。
证明：在直线上另外取点Q，连接QA、QB、QB’,那么QA-QB=QA-QB’<AB’=AP-B’P=AP-BP.说明：请你比较一下例1和例2的区别。
例3、锐角∠AOB内有一点P，求作△PEF，使E在OA 上，F在OB上，且使△PEF的周长最小.MC解：如图，分别作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN交OA、OB于E、F，则△PEF就是所求的三角形。
证明：在OA、OB上分别取异于E、F的点G、H，只要证明PG+GH+PH>PE+EF+PF即可。
事实上，PG+GH+PH=NG+GH+HM>NM=NE+EF+FM=PE+EF+PF.说明：(1)如果∠AOB是直角或钝角，那么图示的△PEF不复存在。
如果P看作一个锐角三角形的一边上的点，那么问题相当于求经过P点的△ABC的内接三角形，并使得周长最短。
(2)进一步的问题是：P在AC边上什么位置时，得到的内接三角形周长最短？答案是：当P 是AC边上的垂足时，内接三角形周长最短，这样的三角形叫做垂足三角形。
浙教版数学八年级竞赛培优资料 第二讲 图形的变换
第二讲 图形的变换———平移和轴对称1、①、代数式4)4(122+-++x x 最小值为 。
②、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为 。
2、①、已知点A （1，3），B （4，-1），在x 轴上找一点P ，使得AP BP -最大.那么P 点的坐标是_______________.②、已知点A （1，3），B （5，－2），在x 轴上找一点P ，使│AP －BP │最大，则满足条件的点P 的坐标是____________．3、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90,6,8B C AB CD ︒∠+∠===，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则MN 等于 。
4、已知点A(0,2)、B(4,0),点C 、D 分别在直线x=1与x=2上，且CD ∥x 轴，则AC+CD+DB 的最小值为____________。
5、将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ：BC=4：5，则DC:DF 的值是__________.B D M AC ND A B C EF6、矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于．7、将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G(如图)．如果DM：MC=3：2，则DE：DM：EM=( )(A)7：24：25 (B)3：4：5 (C)5：12：13 (D)8：15：178、如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为22和2，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．(1)计算：O1D= ，O2F= ；(2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ；(3)随着中心O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)．9、如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米?10、图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）： 在图a 中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2,得到封闭图形A 1A 2B 1B 2（即阴影部分）； 在图b 中， 将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 1B 2B 3（即阴影部分）；（1） 在图c 中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S 1= ，,S 2= ，S 3= ；（3） 联想与探索：如图d ，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．11、已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）.（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由.12、已知：△ABC中，AB＝AC,过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点求证：PB＋PC≥2AB。
八年级数学几何三大变换(平移、旋转)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。
八年级数学竞赛专题第二十九讲 图形的平移与旋转
第二十九讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM ＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1．(西安市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：(1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【例5】如图，等边△ABC的边长为3a，点P是△ABC内的一点，且=1225+PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12B ．22C ．lD ．21 (2002年荆州市中考题) 5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ． 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2003年江苏省苏州市中考题)6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ， S 四边形ABCD d=8，则BE 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (2004年武汉市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为22和2，对角线BD 、FH 都在直线l 上，O 1、O 2分别为正方形的中心，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有变化．(1)计算：O 1D= ，O 2F= ；(2)当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2= ；(3)随着中心O 2在直线l 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）： 在图a 中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2,得到封闭图形A 1A 2B 1B 2（即阴影部分）； 在图b 中， 将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 1B 2B 3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年河北省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC 的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm 的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是cm2．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．(绍兴市中考题)12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC<AD+ACC．PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( )A．5B．13 C ．5 D．6(2004年武汉市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ．15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ．(1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形；(2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O 是边长为a 的正方形ACBD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转．当扇形纸板的圆心角为 时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；这时正n 边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系；若不是定值，请说明理由．(江苏省连云港市中考题)。
八年级数学竞赛专题训练29 几何变换(附答案)
例题与求解
【例l】如图，∠AOB= ，角内有点P，PO= ，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值为_______________.（黄冈市竞赛试题）
解题思路：作P点关于OA，OB的对称点，确定Q，R的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.
（北京市竞赛试题）
12.如图，已知在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为 ， .
(1)若 是 轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求 的值；
（2）若 是 轴上的两个动点，当四边形ABCD的周长最短时，求 的值；
（3）设M，N分别为 轴， 轴上的动点，问：是否存在这样的点 和 ，使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.
（天津பைடு நூலகம்竞赛试题）
解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.
【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞ ，求证：该六边形的各角都相等.
（天津市中考试题）
解题思路： 符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM.连DN，只需证DN=BN，∠MDN= ；或将△ACM(或△BCM)旋转.
【例6】如图，∠DAC= ，∠DBC= ，∠CAB= ，∠ABD= ，求∠DCA的度数.
（日本算术奥林匹克试题）
解题思路：已知角的度数都是 的倍数， ，这使我们想到构作正三角形.
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM，且BM⊥DM；
中考数学专题复习：几何变换
几何变换1班级 姓名 座号【基本知识】将一个平面图形按一定方向移动一定距离变成新的图形的几何变换就是平行平移，简称平移. 平移有下列性质：（1）平移变换下，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移变换下，对应角的两边分别平行且方向一致，因此，对应角相等.对称问题包括关于点对称和关于直线对称两类情形.关于直线对称的常称为轴对称或轴反射.【例题】：1、两条长为1的线段AB 与CD 相交于点O ，且60BOD ∠=︒.求证：1AC BD +≥.2、在六边形ABCDEF 中，//,//,//AB ED BC FE CD AF ，且对边之差0BC EF DE BA FA DC -=-=->.求证：六边形ABCDEF 各内角均相等.3、如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在BC 上，且BE=2.点P 在BD 上移动，则PE +PC 的最小值是多少？4、设,M N 分别为四边形ABCD 的边,BC AD 的中点，直线,AB CD 分别与直线MN 交于,E F .证明：AB CD =的充要条件是BEM MFC ∠=∠.G5、在等腰ABC ∆的两腰,AB AC 上分别取点,E F ,使得AE CF =,已知2BC =,求证：1EF ≥.6、ABC ∆中，5AC BC ==,80,ACB O ∠=为ABC ∆内一点，10,30,OAB OBA ∠=∠=求线段AO 的长.7、在梯形ABCD 中，//AD BC ,分别以两腰,AB CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF .线段AD 的垂直平分线j 交线段EF 与点M , EP j ⊥与于点P , FQ j ⊥于点,Q 求证：点M 为EF 的中点.8、ABC ∆是正三角形，111A B C ∆的边11111,,A B B C C 3B 已知232323A C C B B A ==,且222232323.C C B B A A +=证明：1111A B AC ⊥.9、如图ABC ∆和PQR ∆,在ABC∆中，120ADB BDC CDA ︒∠=∠=∠=,求证x u v w =++.10、如图，1AA BB CC '''===,60AOB BOC COA ︒'''∠=∠=∠=.求证：AOB BOC COA S S S '''∆∆∆++<11、在ABC ∆中，40ABC ACB ︒∠=∠=,P 为形内一点，20,30PAC PCB ︒︒∠=∠=,求PBC ∠ 度数.12、矩形ABCD 中，20,10AB BC ==.若在,AC AB 上各取一点M ,N ,使得BM MN +的值最小， 求这个最小值.13、以ABC ∆的三边为边向外作正方形ABDE ，,CAFG BCHK ,连结,,EF GH KD .求证:,,EF GH KD 为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于ABC ∆面积的三倍.14、在ABC ∆中，50,30ABC ACB ︒︒∠=∠=，R 为形内一点，20RAC RCB ︒∠=∠=.求∠RBC 度数.15、一张矩形纸片ABCD 的边长分别为9cm 和3cm ，把顶点A 和C 叠合在一起，得到折痕EF . (1)证明四边形AECF 是菱形；(2)计算折痕EF 的长； (3)求△CEH 的面积.F M N E C B A P 图（2）F M NE C B A P 专题训练---几何探究之旋转2例1．如图，△ABC 和△AEF 绕点A 旋转，且△ABC ∽△DEF ，点P 、M 、N 分别为中点，设∠BAC = α. ①如图⑴，若AB = AC ，且∠α = 90°时，则PM 与PN 的数量关系是 ；∠MPN = .如图⑵，若AB = AC ，且∠α = 30°时，则PM 与PN 的数量关系是 ；∠MPN = . ②如图⑶，若∠ACB = 90°，且∠α = 30°时，连BF 取中点P ，则PM 与PN 的数量关系是 ；∠MPN = . ③如图⑷，若∠ACB = 90°，且∠α = 30°时，连CE 取中点P ，则PM 与PN 的数量关系是 ；∠MPN = .请你在②③中任意选取一个进行证明.例2．已知等腰△ABC 和等腰△DCE ，AB =AC ，DC =DE ，，∠ACB =∠DCE ，P 、M 、N 分别为AD 、BC 、CE 的中点，连结PM 、PN .⑴①如图1，B 、C 、D 在同一条直线上，∠ACB =45°，则∠MPN = ； ②如图2，B 、C 、D 在同一条直线上，∠ACB =60°，则∠MPN = ； ③如图3，B 、C 、D 在同一条直线上，∠ACB =α°， 则∠MPN = ； ⑵如图4，将△DCE 绕C 点旋转180°，使得D 在BC 的延长线上，其它条件不变， 若∠ACB =α°，则∠MPN 与α°之间是否存在确定的数量关系？请证明你的结论。
初中数学竞赛几何变换
几何变换一、 平移变换1． 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得=，则T 叫做沿有向线段的平移变换。
记为X −−→−)PQ (T X'，图形F −−→−)PQ (T F' 。
2． 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。
两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。
二、 轴对称变换1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。
记为X −→−)l (SX'，图形F −→−)l (S F' 。
2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、 旋转变换1． 定义 设α是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点O 仍变到O （不动点），而把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得OX'=OX ，且∠XOX'=α，则R叫做绕中心O ，旋转角为α的旋转变换。
记为X −−−→−α),O (RX'，图形F −−−→−α),O (R F' 。
其中α<0时，表示∠XOX'的始边OX 到终边OX'的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。
2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。
四、 位似变换1． 定义 设O 是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得 =k ·，则H 叫做以O 为位似中心，k 为位似比的位似变换。
记为X −−−→−)k ,O (HX'，图形F −−−→−)k ,O (H F' 。
初二奥数之几何变换
2020年数学竞赛初二奥数之几何变换专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.1.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.l图3图2图1F 1F 2O【例2】如图，P 是等边△ABC 的内部一点，∠APB ，∠BPC ，∠CP A 的大小之比是5:6:7，则以P A ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）解题思路：解本例的关键是如何构造以P A ，PB ，PC 为边的三角形，若把△P AB ，△PBC ，△PCA 中的任一个，绕一个顶点旋转060，就可以把P A ，PB ，PC 有效地集中在一起.【例3】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD 翻折造全等.【例4】如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥FE ，CD ∥AF ，对边之差BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.BCC【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1） 如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2） 如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）(第1题) （第2题） （第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（ ）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 01506.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的长1. 其中正确的结论有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个B（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDADA'7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（ ）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（ ）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）l第8题图第7题图CBBA B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）B14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ； （2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）图2图1ACBBCAB专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== Q P D ∴为等边三角形, 又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠= 20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ， 再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴=(3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =14. 提示:(1)11,,BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= B M D M ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠ ,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠, 又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABC h SBC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。
初中数学竞赛——几何变换——平移
初中数学竞赛——几何变换——平移(共9页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第1讲 几何变换——平移典型例题【例1】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，已知3AD BC +=，AC =，BD ABCD 的面积．【例2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A B ︒∠+∠=，AB a =，CD b =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求EF 的长．【例3】 求证：两中线相等的三角形都是等腰三角形．ACDB FDCBAE【例4】 求证10条两两相交的直线所成的所有角中，至少有一个角不大于18︒．【例5】 已知六边形ABCDEF 的三双对边分别平行并且AB ED =，求证：BC EF =，CD FA =．【例6】 在六边形ABCDEF 中，AB DE BC EF CD AF ∥，∥，∥，且BC EF -=DE AB -=AF CD -0＞．求证：六边形ABCDEF 的各内角相等．【例7】 如图，ABC △中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论．【例8】 如图，ABC △中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【例9】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC BD =．E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．【例10】 求证：GMN GNM ∠=∠．ED CABABCFEE NGDCBAM【例11】 已知，如图，四边形ABCD 中AD ＝BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、EF和BC 的延长线分别交于M N ，两点，求证：AME BNE ∠=∠．【例12】 如图，任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL AE ∥，且14KL AE =．【例13】 已知：矩形ABCD 内有定点M ，求证：存在四边形，它的四条边分别等于MA 、MB 、MC 、MD ，对角线分别等于AB 和BC ，且两条对角线互相垂直．DAMN DCBEFE DCBAL NMKQP【例14】 如图，已知ABC △中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE BC ＞．【例15】 如图，在等腰三角形ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F ，使得AE CF =．已知2BC =，求证：1EF ≥．【例16】 已知：M 是三角形ABC 内的定点，从M 点出发沿平行于边BC 的直线运动，直到和AC 边交于1B 点，然后再沿平行于AB 边的直线运动，直到和BC 边交于1A 点，然后再沿平行于AC 边的直线运动，直到和AB 边交于1C 点，…如此继续下去．求证：若干步后，M 点的轨迹将是封闭的．CB【例17】 已知ABC △的三条中线长分别为3，4，5，求ABC △的面积．【例18】 已知：ABCD 是梯形，A ∠、B ∠的平分线交于M 点，C ∠、D ∠的平分线交于N ． 【例19】 求证：2MN AB CD BC AD =+--．【例20】 如图所示，在ABC △中，90C ︒∠=，点M 在BC 上，且BM AC =，N 在AC 上，且AN MC =，AM 与BN 相交于P ．求证：45BPM ︒∠=．A作业1. 如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC BD ⊥．求证：222()AC BD AB DC +=+．2. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC =，BD DC =，AC BD ⊥于M ．求证：1()2CM AB DC =+．3. 四边形ABCD 中，AB CD ∥，2D B ∠=∠，若AD a =,AB b =，求CD 的长．AMDCB4. 叙述并证明梯形中位线的性质定理．5. 如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，垂足为E ，DF BC ⊥于F ，MN 是梯形的中位线，求证：DF MN =．6. 在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，且EG FH ⊥，求证：EG FH =．7. ABCD 是四边形，N 是BC 中点，M 是AD 边中点，BA 、NM 的延长线交于P ，CD 、NM 的延长线交于Q ，如果BPN NQC ∠=∠，求证：AB CD =．EFN ND CBA8. ABC △中，BE 和CD 分别是B ∠和C ∠的角平分线，P 是DE 的中点，PQ BC ⊥于Q ，PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于N ．求证：PQ PM PN =+．。
中考数学模拟试题几何变换与轴对称形
中考数学模拟试题几何变换与轴对称形中考数学模拟试题几何变换与轴对称形一、题目描述在数学几何中，几何变换是指对图形进行移动、翻转、旋转等操作，轴对称形是指图形相对于某一直线对称。
本文将介绍几何变换中的重要概念和性质，并以中考数学模拟试题为例，帮助同学们更好地理解和应用。
二、平移平移是指将图形沿着平行于某条线段的方向上移动一定距离，新图形与原图形形状相同，大小不变。
平移的要素包括平移向量和平移方向，平移向量是表示平移的大小和方向的矢量，平移方向是指图形的移动方向。
平移性质：1. 任意两个点之间的距离保持不变；2. 平行线经平移后仍然是平行线；3. 直线上的点经平移后仍然在同一条直线上；4. 平移不改变角度和方向。
例题：已知图形A经过平移变换得到图形B，其中图形A的顶点为ABC，图形B的顶点为A'B'C'。
若A(-2, 3)经平移变换后得到A'(4, 5)，则平移向量为________。
三、旋转旋转是指围绕某一固定点按一定角度将图形转动，旋转过程中，图形的形状、大小以及方向都保持不变。
旋转性质：1. 旋转不改变图形的面积和周长；2. 旋转不改变图形的对称性；3. 旋转后的图形与原图形的对应点到旋转中心的距离是相等的。
例题：图形A经过顺时针旋转90°得到图形B，若B中的一点C(-3,2)经过旋转变换后得到C'(-2, -3)，则旋转中心为________。
四、翻转翻转是指固定图形上的某点，然后将图形沿直线翻转，对称的两个点关于直线对称。
翻转也称为镜像变换，直线称为对称轴。
翻转性质：1. 对于图形中的点A，它的对称点A'关于对称轴；2. 对于图形中的线段AB，它的对称线段A'B'关于对称轴。
例题：图形A经过对称轴y轴的翻转得到图形B，若A中的一点D(2, -4)经过翻转变换后得到D'(-2, -4)，则对称轴为________。
专题29 定值计算
【题型综述】在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值．【典例指引】例1．已知圆错误!未找到引用源。
与坐标轴交于错误!未找到引用源。
（如图）．（1）点错误!未找到引用源。
是圆错误!未找到引用源。
上除错误!未找到引用源。
外的任意点（如图1），错误!未找到引用源。
与直线错误!未找到引用源。
交于不同的两点错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
的最小值；（2）点错误!未找到引用源。
是圆错误!未找到引用源。
上除错误!未找到引用源。
外的任意点（如图2），直线错误!未找到引用源。
交错误!未找到引用源。
轴于点错误!未找到引用源。
，直线错误!未找到引用源。
交错误!未找到引用源。
于点错误!未找到引用源。
．设错误!未找到引用源。
的斜率为错误!未找到引用源。
的斜率为错误!未找到引用源。
，求证：错误!未找到引用源。
为定值．【思路引导】（1）设出错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
的直线方程，联立直线错误!未找到引用源。
，分别得出M,N的坐标，表示出错误!未找到引用源。
，求其最值即可；（2）分别写出E,F的坐标，写出斜率错误!未找到引用源。
，即可证明错误!未找到引用源。
为定值．（2）由题意可知错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
的斜率为错误!未找到引用源。
直线错误!未找到引用源。
的方程为错误!未找到引用源。
，由错误!未找到引用源。
，得错误!未找到引用源。
，则直线错误!未找到引用源。
的方程为错误!未找到引用源。
，令错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，即错误!未找到引用源。
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专题29 几何变换
阅读与思考
几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.
l
图3
图2图1
F 1
F 2
1.平移变换
如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.
平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换
如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.
对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换
如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.
旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.
例题与求解
【例l 】如图，∠AOB =0
45，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）
解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.
O
【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）
A. 2:3:4
B. 3:4:5
C. 4:5:6
D.不能确定
（全国通讯赛试题）
B C
解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，△PCA中的
60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.
任一个，绕一个顶点旋转0
【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.
（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.
C
【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.
（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.
【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =0
45 （1） 如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222
MN AM BN =+
（2） 如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由.
（天津市中考试题）
解题思路：222
MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =0
90；或将△ACM (或△BCM )旋转.
【例6】如图，∠DAC=0
12，∠DBC=0
24，∠CAB=036，∠ABD=0
48，求∠DCA 的度数.
（日本算术奥林匹克试题）
解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0
362460+=，这使我们想到构作正三角形.
A
图2图1
M
A B B
能力训练
1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.
（泰安市中考试题）
B
(第1题) （第2题） （第3题）
2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.
3.如图，直线143y x =
与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线14
3
y x =向右平移92个单位后，与双曲
线2k y x =
交于点B ，与x 轴交于点C . 若
2AO
BC
=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =0
45，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（ ）. A. 0
120 B. 0
135 C. 0
145 D. 0
150
（第6题）
（第5题）
（第4题）
A
C
B A
B
D
A
B
D
A'
6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O
，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转0
60，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②1
2
ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的1. 其中正确的结论有（ ）.
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（ ）.
A. 11米
B. 10米
C. 9米
D. 8米
8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0
120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（ ）.
A. x y <
B. x y =
C. x y >
D. x 与y 的大小关系不确定
l
第8题图第7题图
C
B
9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.
（天津市竞赛试题）
D
B
10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.
（“缙云杯”邀请赛试题）
A B C A'
11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .
（北京市竞赛试题）
B
12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；
（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值； （3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.
（浙江省湖州市中考试题）
13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.
（全国初中数学联赛试题）
14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .
（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ； （2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于0
45的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.
（广州市中考试题）
图2图1
A
C
B
B
C
A
15.如图，在△ABC 中，∠BAC =0
45，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2
，求△ABC 的面积.
（山东省竞赛试题）
B。