文科数学模拟试卷(三)

2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（三）文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知全集{}{},21012=0U R A B y y x ==--=≥，，，，，下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A.{}0,1,2B.{}2-C.{}1,2--D.{}1,2 2、复数iaiz -=3在复平面内对应的点在第三象限是0a ≥的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3、()10,,sin cos ,tan 5x x x x π∈+==已知且有则（ ）A ．43-B ．34-C ．4334--或D ．434、已知等差数列{}n a 的前n 项和为68726n S a a S =+，若，则是（ ） A.49B.42C.35D.245、右图是一个算法框图，则输出的k 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66、已知点(),P a b 与点()1,0Q 在直线2310x y +-=两侧，且0a >，0b >则2w a b =-取值范围是( )A. 21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 21,32⎛⎫- ⎪⎝⎭7、函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A 、B 是图象与x 轴的交点，设,tan APB θθ∠=则的值是（ ） A.2- B.6C.8D.108、如图，扇形OAB 的中心角为直角，半径为1，点P 为扇形OAB 的弧 AB上任意一点，设OP xOB yOA =+(),x y R ∈,()),,a x y b == ，则a b的最小值为（ ）A 、—1B 、—2C 、1 D9、一个几何体的三视图如图，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A 、(43π+B.(86π+C.(83π+D.(4π+10、设12F F 、分别为双曲线22x 124y C -=:的左、右焦点，P 为双曲丝C 在第一象限上的一点，若12||4||3PF PF =，则△12PF F 内切圆的面积为( ) A.π4 B.π2 C.π D.4 11、下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：（1）数列{}n a 是递增数列； （2）数列{}n n a 是递增数列；（3）数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列； （4）数列{}3n a nd +是递增数列． 其中的真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312、已知函数()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A.ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两个部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知向量a ，b 满足=a (4,3)-，+a b 与-a b垂直，则||b 的值是 ．14、在区间[2,1]-上随机选一个数x ,使得函数)1(log )(22x x f -=有意义的概率为 。

15、已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．16、设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 是抛物线上一点,且在x 轴上方,PA l ⊥，A 为垂足，若直线PF 的倾斜角为120三、解答题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17、（本小题满分12分）ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且a c C b 2cos 2=+（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若BD 为AC 边上的中线，1cos 7A =，ABC 的面积18、（本小题满分12分）如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．19、（本小题满分12分）2016年9月20日是第28个全国爱牙日，为了迎接此节目，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿的不换龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．（1）能否在犯错率不超过0．001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系？ （2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．附：．20.（本小题满分12分）已知函数a x e x f x 33)(+-=（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当e a 3ln >，且0>x 时，a xx x e x 3123-+>.21、（本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：A 、B 、F 三点共线.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：AB 是圆O 的直径，C 是弧BD 的中点，AB CE ⊥，垂足为E ，BD 交CE 于点F . （1）求证：BF CF =；（2）若4=AD ，圆O 的半径为6，求BC 的长. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.23,211:t y t x l （t 为参数），曲线⎩⎨⎧==,sin ,cos :1θθy x C （θ为参数）．(1)设l 与1C 相交于B A ,两点，求AB ； (2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍，纵坐标压缩为原来的23倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-． (1)求不等式()4f x <；(2)若函数()()(1)g x f x f x =+-的最小值为a ，且(0,0)m n a mn +=>>，求2221m n m n+++的取值范围．2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（三）数学(文)参考答案一、CAAB CDCC BACB二、13：5；14：.32, 15：23 16.38三、解答题共6小题17、解: (1)a c C b 2cos 2=+,由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+,------------2分 π=++C B A C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=∴……………………3分)sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+,C B C sin cos 2sin =因为π<<C 0，所以0sin ≠C ，所以21cos =B ,因为π<<B 0，所以3π=B .-----------5分（2）在三角形ABD 中，由余弦定理得:2222cos 22b b c c A ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭所以221291447b c bc=+-……（1）…………………7分 在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin c b C B =，由已知得sin A =所以sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+14=，…………………9分所以57c b=……（2）………………………10分,由（1），（2）解得75b c =⎧⎨=⎩所以1sin 2ABC S bc A == 12分18、解：(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，所以PQ ∥EB ……………………2分. 又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，又PQ ⊄平面ACD ，从而PQ ∥平面ACD.……………………4分(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB.因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为55.…………………………12分19、解：试题解析：（1）由题意可得列联表：…………………………………4分故能在犯错率不超过0．001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系……6分（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表：分组的情况总共有6种，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占2种，所以工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率 (12)分20.（I）解由f(x)＝e x－3x＋3a，x∈R知f′(x)＝e x－3，x∈R. ………………………1分令f′(x)＝0，得x＝ln 3，………………………………2分于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f (x )在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a )．………6分（II ）证明:待证不等式等价于23312xe x ax >-+………………………………7分 设23()312xg x e x ax =-+-，x ∈R ， 于是()33x g x e x a '=-+，x ∈R . 由（I ）及3lnln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a )＞0. ………9分 于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当3lnln 31a e>=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． ………………10分 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0.即23312xe x ax >-+，故3132x e x a x x>+- ……………………12分21、解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2px =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm = ，即42(2)2pp =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分 （II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx ty x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt =代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t-⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分直线AF 的斜率为22(1)1AF tk t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BFtt t k t t t t -+==≠±--+， AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线. ……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线. ……………………………………12分23(1)直线l 的普通方程为()13-=x y ，1C 的普通方程为122=+y x ．联立方程组()⎩⎨⎧=+-=,1,13y 22y x x ，解得l 与1C 的交点为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21,0,1B A ，则1=AB ． (2) 曲线2C 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin 23,cos 21θθy x （θ为参数），故点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθsin 23,cos 21，从而点P 到直线l 的距离是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=24sin 24323sin 23cos 23πθθθd ， 由此当14sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-πθ时，d 取得最小值，且最小值为()1246-．24(1)由()4f x <知|21|4x -<，于是4214x -<-<，解得3522x -<<，故不等式()2f x <的解集为35(,)22-． (2)由条件得()|21||23||21(23)|2g x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13[,]22x ∈时，其最小值2a =，即2m n +=．又21121121()()(3)(3222n m m n m n m n m n +=++=++≥+，所以222121172(322m n m n m n m n ++++=+++≥++=， 故2221m n m n +++的取值范围为72⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭，此时4m =-2n =．。