福建省福州市八县(市)一中高二数学下学期期末联考试题

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2023-2024学年福建省福州市八县(市)一中高二下学期期末联考数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年福建省福州市八县（市）一中高二下学期期末联考数学试题的。

1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.下列说法正确的是( )A. 命题“，都有”的否定是“，使得”B. 函数的零点所在的一个区间是C. 若不等式的解集为，则D. “”是“”的充要条件3.将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配两名志愿者，则有种分配方式.( )A. 35 B. 50C. 60D. 704.已知函数，则( )A. 函数在区间上单调递减B. 函数的图象关于直线对称C. 若，但，则D. 函数有且仅有两个零点5.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中不放回地任取3个，那么最多有1个是二等品的概率是( )A.B.C.D.6.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )A.B.C. D.7.已知随机变量，则( )A. B.C. D. 28.已知，则的最小值为( )A.B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下面结论正确的有( ) A. 若，且，则B. 若，且，则ab 有最小值1C. 若，则D. 若，则10.下列表达式中正确的是( )A.B.的二项展开式中项的系数等于15C.D.11.下列说法正确的有( )A. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1B. 独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率 C. 已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析y 与x 之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和12.设函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是( )A. B. 在上为减函数C. 点是函数的一个对称中心D. 方程仅有3个实数解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年福建省福州市八县(市)协作校高二年级下册学期期末联考数学试题【含答案】

福州市八县（市）协作校2022—2023学年第二学期期末联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}240A x x =∈-≤Z ，{}1,2B =，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1,2--C.{}2,1,1,2-- D.{}1,0,1,2-【答案】B【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据并集的运算求解即可.【详解】{}{}{}240222,1,0,1,2A x x x x =∈-≤=∈-≤≤=--Z Z ，因为{}1,2B =，所以A B ⋃={}2,1,0,1,2--.故选:B.2.若复数z 满足()1i 2z ⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.-I B.iC.-1D.1【答案】C【分析】设i(,R)z a b a b =+∈，根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因为()1i 2z ⋅+=，所以(i)(1+i)=()i 2a b a b a b +-++=，故20a b a b -=⎧⎨+=⎩，得到1,1a b ==-，故选为：C.3.已知2co sin s 0αα+=，则tan 2α=（）A.22B.22- C.2D.24【答案】A【分析】首先求tan α，再代入二倍角的正切公式，即可求解.【详解】因为2co sin s 0αα+=，所以tan 2α=-，()222tan 22tan 2221tan 12ααα-===---.故选：A4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．若“三角垛”从第一层到第n 层的各层的球数构成一个数列{}n a ，则（）A.655a a -=B.1045a =C.212n n n a a a +++=D.11n n a a n +-=+【答案】D【分析】由题意，根据等差数列求和公式，写出通项公式，可得答案.【详解】由题意可得：11a =，2123a =+=，31236a =++=，L ，()11232n n n a n +=++++=L ，对于A ，()()65616515622a a ⨯+⨯+-=-=，故A 错误；对于B ，()1010110552a ⨯+==，故B 错误；对于C ，()()()221233322n n n n n n a a n n +++++=+=++，()()211222322n n n a n n +++=⋅=++，故C 错误；对于D ，()()()1121122n n n n n a n a n ++++=-=+-，故D 错误.故选：D.5.已知p ：6a b +≤，q ：9ab ≤，则p 是q 的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】D【分析】分别取4a b ==-与1,9a b =-=即可求解.【详解】取4a b ==-，满足6a b +≤，但9ab ≤不成立，故充分性不成立；取1,9a b =-=，满足9ab ≤，但6a b +≤不成立，故必要性不成立.所以p 是q 的既不充分也不必要条件.故选:D.6.已知四边形ABCD 是平行四边形，2AE EB =，若EC 与BD 交于点O ，且14EO AB ED λ=+ ，则λ=（）A.14B.38C.12D.34【答案】A【分析】结合图形，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.【详解】由题意可知，3AB EB =，所以134EO EB ED λ=+ ，因为,,O B D 三点共线，所以1314λ+=，得14λ=.故选：A7.设点1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 、N 在C 上（M 位于第一象限）且点M 、N 关于原点对称，若12MN F F =，223NF MF =，则C 的离心率为（）A.108B.104C.58D.558【答案】B【分析】分析可知，四边形12MF NF 为矩形，设2MF t =，则()130MF t t =>，利用椭圆定义可得出2a 与t 的等量关系，利用勾股定理可得出2c 与t 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，O 为12F F 、MN 的中点，则四边形12MF NF 为平行四边形，则1223MF NF MF ==，又因为12MN F F =，则四边形12MF NF 为矩形，设2MF t =，则()130MF t t =>，所以，1224a MF MF t =+=，由勾股定理可得222212122910c F F MF MF t t t ==+=+=，所以，该椭圆的离心率为21010244c t e a t ===.故选：B.8.已知1cos 2a =，12sin 2b =，78c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c >>D.a c b>>【答案】C【分析】分别构造函数()21cos 1,012f x x x x =+-<<与()tan ,01h x x x x =-<<，利用导数求单调性即可比较大小.【详解】设()21cos 1,012f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-+.令()()sin ,01g x f x x x x '==-+<<，则()1cos 0g x x '=->,所以函数()g x 在()0,1上单调递增，所以()()00g x g >=,即()0f x ¢>,所以()f x 在()0,1上单调递增,所以()()00f x f >=,所以21111cos 102222f ⎛⎫⎛⎫=+⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即17cos 28>，即a c >.设()tan ,01h x x x x =-<<,所以()2221sin 10cos cos xh x x x'=-=>,所以()h x 在()0,1上单调递增,所以()()00h x h >=,所以102h ⎛⎫>⎪⎝⎭,即11tan 022->,即112sin cos 22>,即b a >.综上所述，b a c >>.故选:C.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.若1a >，则1a a+的最小值是2【答案】BC【分析】利用不等式的性质，对ABC 三个选项逐一分析判断即可判断出正误；选项D ，利用基本不等式即可判断出正误.【详解】选项A ，当0c =，22ac bc =，故选项A 错误；选项B ，因为a b >，c d <，所以c d ->-，由不等式性质知，a c b d ->-，故选项B 正确；选项C ，14a ≤≤，21b -≤≤，所以12b -≤-≤，由不等式性质知，06a b ≤-≤，故选项C 正确；选项D ，因为1a >，1122a a a a+≥⋅=，当且仅当1a =时取等号，所以等号取不到，选项D 错误.故选：BC.10.已知圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A ，B 两点，点C 是圆M 上的动点，定点P 的坐标为()5,3，则下列说法正确的是（）A.圆M 的圆心为()2,1，半径为1B.直线AB 的方程为240x y --=C.线段AB 的长为455D.PC 的最大值为6【答案】BCD【分析】化圆M 的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径即可判断选项A 的正误；联立两圆的方程求得AB 的方程可判断选项B 的正误；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB 的长判断选项C 的正误，利用圆上动点到定点距离最大值为定点到圆心距离和半径和，可判断出选项D 的正误.【详解】选项A ，因为圆M 的标准方程为22(2)(1)1x y -++=，所以圆心为圆心为()2,1M -，半径为1，故选项A 错误；选项B ，因为圆O ：224x y +=和圆M ：224240x y x y +-++=相交于A ，B 两点，两圆相减得到4280x y --=，即240x y --=，故选B 正确；选项C ，由选项B 知，圆心(0,0)O 到直线AB 的距离为45d =，所以22164522455AB R d =-=-=，故选项C 正确；选项D ，因为()2,1M -,()5,3P ，所以9165PM =+=，又圆M 的半径为1，故PC 的最大值为516PM r +=+=，故选项D 正确.故选项：BCD.11.已知0ω>，函数()π cos 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列选项正确的有（）A.若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B.当2ω=时，函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到cos 2y x =的图像C.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.若()f x 在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是5,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A 正确；利用三角函数的图像变换，可判定B 错误，由()f x 在区间()0,π上只有一个零点，列出不等式组，求得ω的范围，可判定C 正确；根据()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组，求得ω的范围，得到当0k =时，不等式有解，可判定D 错误；【详解】选项A ，由余弦函数图像与性质，可得2π2T ω==，又0ω>，所以得πω=，所以选项A 正确；选项B ，当2ω=时，可得()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得πππcos 2cos 2cos2666y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以选项B 错误；选项C ，若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，由πππ,Z 62x k k ω+=+∈，得到解得ππ3,Z k x k ω+=∈，所以π0π34ππ3ωω⎧<<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，得到1433ω<≤，所以C 正确,选项C ，若()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则πππ2π36,Z ππ2π2π26k k k ωω⎧+≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得51164,Z 23k k k ω+≤≤+∈，又因为0ω>，所以只有当0k =时，此不等式有解，即51123ω≤≤，所以D 错误；故选：AC ．12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则（）A.异面直线1DD 与1B F 所成角的余弦值为255B.过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为2132+C.当三棱锥1B B EF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的体积为62πD.点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322【答案】ABD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A 选项；作出截面，求出截面周长，可判断B 选项；将三棱锥1B B EF -补成长方体1BEIF B SQT -，计算出长方体1BEIF B SQT -的外接球半径，结合球体体积公式可判断C 选项；分别取AD 、11A D 、11C D 的中点X 、W 、U ，连接DW 、DU 、UW 、1A X 、XF ，证明出平面//DWU 平面1B EF ，分析可知，当P WU ∈时，//DP 平面1B EF ，计算出DUW △三边边长，求出DP 的最小值，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为11//BB DD ，所以，异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F，因为1BB BF ⊥，则222211215B F BB BF =+=+=，111225cos 55BB BB F B F ∠===，故异面直线1DD 与1B F 所成角的余弦值为255，A 对；对于B 选项，延长EF 分别交直线DA 、DC 于点M 、N ，连接1D M 交1AA 于点G ，连接1D H 交1CC 于点H ，连接EG 、FH ，故过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1D GEFH ，因为//BC AD ，则1AM AEBF BE==，则1AM BF ==，因为1//AG DD ，则1113MG AM AG MD MD DD ===，则1123GD MD =，11233AG DD ==，因为1DD AD ⊥，3DM AM AD =+=，12DD =，则2222113213MD MD DD =+=+=，故11221333GD MD ==，同理可得12133HD =，因为23AG =，1AE =，AG AE ⊥，则2222213133EG AG AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，同理可得133FH =，又因为22112EF BE BF =+=+=，因此，五边形1D GEFH 的周长为1121313222213233GD HD EG FH EF ++++=⨯+⨯+=+，B 对；对于C 选项，因为1BB ⊥平面BEF ，BE BF ⊥，将三棱锥1B BEF -补成长方体1BEIF B SQT -，如下图所示：其中1BE BF ==，12BB =，则长方体1BEIF B SQT -的外接球直径为222121146R BE BF BB =++=++=，故62R =，因此，三棱锥1B B EF -的外接球O 的体积为33446ππ6π332V R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，C 错；对于D 选项，分别取AD 、11A D 、11C D 的中点X 、W 、U ，连接DW 、DU 、UW 、1A X 、XF ，因为//AB CD 且AB CD =，点X 、F 分别为AD 、BC 的中点，所以，//AX BF 且AX BF =，故四边形ABFX 为平行四边形，则//XF AB 且XF AB =，又因为11//A B AB 且11A B AB =，所以，11//XF A B 且11XF A B =，故四边形11A B FX 为平行四边形，所以，11//A X B F 且11A X B F =，因为11//AD A D 且11AD A D =，X 、W 分别为AD 、11A D 的中点，所以，1//DX AW 且1DX AW =，故四边形1AWDX 为平行四边形，则1//DW A X ，所以，1//DW B F ，又因为DW ⊄平面1B EF ，1B F ⊂平面1B EF ，所以，//DW 平面1B EF ，同理可证//DU 平面1B EF ，因为DW DU D = ，DW 、DU ⊂平面DWU ，所以，平面//DWU 平面1B EF ，因为WU ⊂平面1111D C B A ，且P ∈平面1111D C B A ，则当P WU ∈时，DP ⊂平面DWU ，则有//DP 平面1B EF ，因为222211215DW DD DW =+=+=，同理可得5DU =，2WU =，当DP WU ⊥时，即当点P 为WU 的中点时，DP 的长取最小值，此时，222232522DP DW WP ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为______．【答案】35##0.6【分析】基本事件总数25C 10n ==，两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数11326C C m ==，由此能求出两人恰好是一名男生和一名女生的概率．【详解】从3名男生和2名女生中随机选取两人，基本事件总数25C 10n ==，两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数11326C C m ==，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是63105m p n ===．故答案为:35．14.请写出一个同时满足下列3个条件的函数()()f x x ∈R ：()f x =______．①()()f x f x -=；②()()1f x f x =+；③()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；【答案】sin πx -（答案不唯一）【分析】取()sin πf x x =-，利用正弦型函数的基本性质逐项验证①②③，可得结果.【详解】取()sin πf x x =-，则该函数的定义域为R ，对于①，()()()sin πsin πf x x x f x -=--=-=，①满足；对于②，()()()()1sin π1sin ππsin πf x x x x f x +=-+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，②满足；对于③，当112x ≤≤时，πππ2x ≤≤，则()sin πf x x =-，所以，函数()sin πf x x =-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，③满足.故答案为：sin πx -（答案不唯一）.15.已知向量a ，b 的夹角为π3，且1a = ，2b = ，则向量2a b + 在向量a 上的投影向量为______．（用a表示）【答案】3a【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.【详解】因为向量a ，b 的夹角为π3，且1a = ，2b = ，所以11212a b ⋅=⨯⨯= ，向量2a b + 在向量a上的投影向量为()22221231a b a a a a b a a a a a a+⋅+⋅+⋅=⋅=⋅=.故答案为:3a.16.已知函数()e 2ln 2xf x a x ax x=+-存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围是______．【答案】e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】求出函数的导函数，依题意()0f x '=存在唯一的变号正实根，即()()021e xx ax -=-存在唯一的变号正实根，当0a ≤符合题意，当0a >时参变分离可得e 0xa x -=没有除1之外的正实根，构造函数()e xg x x=，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出a 的取值范围.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()22e 1e 12122x x x x a x af x a x x x x---'=+-=-()()21e 2x x ax x --=，依题意可得()=0f x '存在唯一的变号正实根，即()()021e xx ax -=-存在唯一的变号正实根，当0a ≤时，e 20x ax ->，方程只有唯一变号正实根1，符合题意，当0a >，方程e 20xax -=，即e 20xa x-=没有除1之外的正实根，令()e x g x x =，则()()21e xx g x x -'=，所以当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 1e g x g ==，所以02e a <≤，解得e02a <≤.此时，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，则函数()f x 存在唯一的极值点，合乎题意.综上可得e ,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17.已知数列{}n a 满足12a =，()*121Nn n a a n +=+∈．（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 落入区间()2,2024的所有项的和．【答案】（1）证明见解析，1321n n a -=⨯-（2）3057【分析】（1）由已知可得()1121n n a a ++=+，利用等比数列的定义证明结论，从而可求出{}n a 的通项公式，（2）解不等式123212024n -<⨯-<，即得n 的范围，再利用分组求和求解.【小问1详解】由121n n a a +=+，可知，()1121n n a a ++=+，得1121n n a a ++=+，且113a +=，所以数列{}1n a +是首项为3，公比为2的等比数列，所以1132n n a -+=⨯，即1321n n a -=⨯-；【小问2详解】由题意22024n a <<，即123212024n -<⨯-<，解得：112675n -<<，即110n <≤，故{}n a 落入区间()2,2024的项为2345678910,,,,,,,,a a a a a a a a a ，所以其和2345678910S a a a a a a a a a =++++++++123493(22222)19=⨯+++++-⨯ ()92123912⨯-=⨯--3057=.18.为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，平潭某旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中x 的值和第80百分位数；（2）为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用分层抽样的方法随机选取30人作进一步调查，求应选取评分在[)60,70的游客人数；（3）若游客的“认可系数”（100=认可程度平均分认可系数）不低于0.85．餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改根据你所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，井说明理由．【答案】（1）0.01x =，第80百分位数为92；（2）10；（3）“餐饮服务工作”需要进一步整改，理由见解析；【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出x 的值，再根据百分位数的计算规则计算可得；（2）首先求出三组的比例，再按照分层抽样计算可得；（3）求出平均数，即可判断.【小问1详解】由图可知：()100.0150.020.030.0251x ⨯++++=，解得0.01x =.因为[)50,90内的频率为0.10.150.20.30.750.8+++=<，所以第80百分位数位于区间[]90,100内，设为m ，所以()0.75900.0250.8m +-⨯=，解得92m =，所以第80百分位数为92.【小问2详解】低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1:0.15:0.22:3:4=，则应选取评分在[)60,70的学生人数为：33010234⨯=++（人）；【小问3详解】由图可知，认可程度平均分为：550.1650.15750.2850.3950.2579.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.8510085<⨯=，所以“餐饮服务工作”需要进一步整改.19.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且()sin 2sin A B C -=．（1）证明：2222a b c =+；（2）若2π3A =，6a =，2BM MC = ，求AM 的长度．【答案】（1）证明见解析（2）2【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在ABC 中，由（1）结合余弦定理求出,b c ，再在ABM 中，利用余弦定理即可得解.【小问1详解】由()()sin 2sin 2sin A B C A B -==+，得sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A B A B -=+，则sin cos 3cos sin 0A B A B +=，由正弦定理和余弦定理得：2222223022a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=，化简得2222a b c =+；【小问2详解】如图：在ABC 中，222222cos 36a b c bc A b c bc =+-=++=，又因为2222a b c =+，所以2222236b c b c bc +=++=，所以23b c ==，所以π6B C ==，由2BM MC =，得22433BM BC a ===，在ABM 中，2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅π12162234cos46=+-⨯⨯⨯=，所以2AM =.20.如图，三棱台111ABC A B C -中，1124AB BC B C ===，D 是AC 的中点，E 是棱BC 上的动点．（1）若1AB ∥平面1DEC ，确定E 的位置.（2）已知1CC ⊥平面ABC ，且1AB BC ⊥．设直线1BC 与平面1DEC 所成的角为θ，试在（1）的条件下，求sin θ的最大值．【答案】（1）见解析（2）13【分析】（1）根据线线平行可得四边形11ADC A 为平行四边形，进而可得1//AA 平面1DEC ,又得平面11ABB A //平面1DEC ，由面面平行的性质即可得线线平行，即可求解；（2）根据线线垂直可得线面垂直，即可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得222sin 6420a a θ=++，结合不等式即可求解.【小问1详解】连接1,DC DE ,由三棱台111ABC A B C -中，1124,AB BC B C D ===是AC 的中点可得1111//,A C AD A C AD =,所以四边形11ADC A 为平行四边形，故11//AA DC ,1AA ⊄平面1DEC ,1DC ⊂平面1DEC ,故1//AA 平面1DEC ,又1AB //平面1DEC ，且11,AB AA ⊂平面11ABB A ，11AB AA A = ，所以平面11ABB A //平面1DEC ，又平面11ABB A 平面ABC AB =,平面ABC ⋂平面1DEC DE =,故//DE AB ,由于D 是AC 的中点,故E 是BC 的中点，故点E 在边BC 的中点处，1AB //平面1DEC ;【小问2详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ,所以1CC AB ⊥,又1,AB BC ⊥11111,CC BC C CC BC ⋂=⊂，平面11BCC B ,故AB ⊥平面11BCC B ,由于BC ⊂平面11BCC B ,所以AB CB ⊥,由（1）知：E 在边BC 的中点，D 是AC 的中点,所以//ED AB ,进而DE BC ⊥，连接1B E ,由1111//,,B C EC B C EC =所以四边形11B C CE 为平行四边形，故11//CC B E ,由于1CC ⊥平面ABC ，因此1B E ⊥平面ABC ，故1,,ED EC EB 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设1B E a =，则()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,0,0,2,0,2,0,,0,0,E B C D C a B a -，故1(0,2,0),(2,0,)ED EC a ==，设平面1DEC 的法向量为(),,m x y z =，则1020ED m y EC m x az ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取x a =，则(),0,2m a =- ，又()14,0,BC a =，故1122212222221sin cos ,3644166420220BC m a BC m BC m a a a a a aθ⋅====≤=++++⨯+ ，当且仅当2264a a =，即22a =时取等号，所以sin θ的最大值为13.21.如图，正六边形ABCDEF 的边长为4．已知双曲线Γ的焦点分别为A ，D ，两条渐近线分别为直线BE ，CF．（1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；（2）过点A 的直线l 与Γ交于P ，Q 两点，()1AP AQ λλ=≠- ，若点M 满足PM MQ λ=，证明：点M 在一条定直线上．【答案】（1）221412x y -=（2）见解析【分析】（1）由题意，建立平面直角坐标系，利用双曲线的渐近线方程以及焦距的定义，结合其标准方程，可得答案；（2）由题意，设出直线方程，联立直线与双曲线，写出韦达定理，利用向量数乘的坐标表示，建立方程，解得动点坐标，可得答案.【小问1详解】如图，连接,,AD CF BE 交于点O ，以点O 为坐标原点，OD 方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则4OA OD OE ===，()()4,0,4,0A D ∴-，即4c =，30OEH ∠= ，cos3023EH OE ∴==o ，()2,23E ∴，BE ∴直线方程：3y x =，3ba∴=，则3b a =，222a b c += ，则22316a a +=，解得24a =，212b =，双曲线22:1412x y Γ-=.【小问2详解】由题意，直线l 的斜率存在，则其方程可设为()4y k x =+，联立可得()2241412y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 可得：()22223816120k x k x k ----=，230k -≠，()()422644161230k k k ∆=++->，化简得210k +>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k+=--，()114,AP x y =+uuu r ，()224,AQ x y =+uuu r ，AP AQ λ=uuu r uuu r Q ，1244x x λ+∴=+，12y y λ=，设()00,M x y ，()0101,PM x x y y =--uuur ，()2020,MQ x x y y =--uuu r ，PM MQ λ=uuur uuu r Q ，0120x x x x λ-∴=-，则01122044x x x x x x λ-+==+-，()()()()12020144x x x x x x +-=+-，1201200212014444x x x x x x x x x x x x -+-=-+-，()()1201202480x x x x x x +-+-=，()22002216128248033k k x x k k --⋅+-⋅-=--，()()22200322448830k x k x k --+-⋅--=，222200043430k k x k x x k --+--+=，解得01x =-，由AP AQ λ= ，PM MQ λ= ，则,,,A P Q M 在同一直线上，即()002y k x k =+=，故M 在直线=1x -上.【点睛】圆锥曲线与直线问题解题关键思想为：设而不求，联立直线方程与圆锥曲线方程并化简整理一元二次方程，写出韦达定理，结合题目中的其他等量关系，联立方程即可.22.已知函数()ln b f x ax x x=+-，其中a 、b ∈R ．（1）若0b =，讨论函数()f x 的单调性；（2）已知1x 、2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，证明：()()211211x ax b x ax -<<-．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）若0b =，求得()11ax f x a x x -'=-=，分0a ≤和0a >两种情况，结合导数的符号，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）根据题意得到21121221ln ln x x b ax x x x x x -=-⋅-，要证()()211211x ax b x ax -<<-，转化为11ln 1t t t -<<-，令()()1ln 11p t t t t=-+>，求得()0p t '>，得出函数()p t 的单调性，得出1ln 1t t>-，再设()ln 1q t t t =-+，求得()0q t '<，得到ln 1t t <-，即可求解.【小问1详解】解：若0b =，即()()ln 0f x ax x x =->，可得()11ax f x a x x-'=-=，①若0a ≤，则()0f x '<，即()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间；②若0a >，令()0f x ¢>得1x a >，令()0f x '<可得10x a<<，此时，函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间；当0a >时，函数()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】证明：由题意知1x 、2x 是()f x 的两个零点，且12x x <，即111ln 0b ax x x +-=，222ln 0b ax x x +-=，所以()12211211ln ln 0a x x b x x x x ⎛⎫-+-+-=⎪⎝⎭，即21121221ln ln x x b ax x x x x x -=-⋅-，要证：()()211211x ax b x ax -<<-，只需证：122121ax x x b ax x x -<<-，即证：21212121ln ln x x x x x x x x --<-<--，即证：1222111ln 1x x x x x x -<<-，令211x t x =>，即证：11ln 1t t t -<<-，令()()1ln 11p t t t t =-+>，可得()221110t p t t t t-'=-=>，即()p t 在()1,+∞上单调递增，则()()10p t p >=，即1ln 1t t >-，设()()ln 11q t t t t =-+>，有()110q t t'=-<，所以()q t 在()1,+∞上单调递减，则()()10q t q <=，即ln 1t t <-.综上可得：()()211211x ax b x ax -<<-.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

福建省福州八县(市)一中高二数学下学期期末联考试题文新人教A版

高二下学期期末联考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知{1,0,1}M =-，{}2|0N x x x =+=，则MN =（）A 、{1}-B 、{0,1}C 、{1,0}-D 、{1,0,1}- 2、用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算()()00,0.50f f <>，可得其中一个零点0x ∈ ___，第二次应计算_______．以上横线上应填的内容为（）。

A 、()()0,0.5,0.125f B 、()()0,0.5,0.25f C 、()()0.5,1,0.75f D 、 ()()0,1,0.25f3、=')(x e x（）A.、x e x -B 、2x e xe x x -C 、2x e xe x x +D 、x e xe xx -4、函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（）。

A 、(1,)-+∞B 、[1,)-+∞C 、(1,1)(1,)-+∞D 、[1,1)(1,)-+∞5、“log2a ＞log2b ”是“2a ＞2b ”的（）条件。

A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要6、已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1m n p ===，则这三个数的大小关系是（）。

A 、<<p m nB 、<<m p nC 、<<m n pD 、<<p n m7、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（）。

A 、1y x =B 、x y e -=C 、lg ||y x =D 、21y x =-+ 8、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（）A 、3-B 、1C 、-1D 、3 9、下列命题中正确的是A 、若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B 、命题“若2320x x -+=，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则2320x x -+≠”。

福建省福州市八县一中高二数学下学期期末试卷理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2014-2015学年某某省某某市八县一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（2015春•某某校级期末）n∈N*，则（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）等于（）A． A B．AC． A D．A考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由条件利用排列数公式，可得结论．解答：解：由于（20﹣n）（21﹣n）…（100﹣n）表示81个连续自然数的乘积，最大的项是100﹣n，最小的项为 20﹣n，根据排列数公式可得它可用A表示，故选：C．点评：本题主要考查排列数公式的应用，属于基础题．2．（2015春•某某校级期末）5名运动员同时参加3项冠军争夺赛（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A．35B．53C．D．考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分析可得每一个人取得冠答案的机会相等，即每一项冠军有5种情况，由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，5名运动员同时参加3项冠军争夺赛，则每一个人取得冠军的机会相等，即每一项冠军有5种情况，则获得冠军的可能种数为5×5×5=53，故选：B．点评：本题考查分步计数原理的应用，本题的易错点是不能正确的理解分步原理．3．（2015春•某某校级期末）某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10识图能力y 3 5 6 8由表中数据，求得线性回归方程为=+（），若某儿童记忆能力为12，则他识图能力为（）A．9.2 B．9.8 C．9.5 D．10考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：利用平均数公式求出样本的中心点坐标（，），代入回归直线方程求出系数a．再将x=12代入可得答案．解答：解：∵=（4+6+8+10）=7；=（3+5+6+8）=5.5，∴样本的中心点坐标为（7，5.5），代入回归直线方程得：5.5=×7+，∴=﹣0.1．∴=﹣0.1，当x=12时，=×12﹣0.1=9.5，故选：C．点评：本题考查了线性回归方程系数的求法，在线性回归分析中样本中心点（，）在回归直线上．4．（2015春•某某校级期末）（x﹣y）7的展开式，系数最大的项是（）A．第4项B．第4、5两项C．第5项D．第3、4两项考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据（x﹣y）7的展开式的通项公式以及二项式系数，即可求出展开式中系数最大的项．解答：解：（x﹣y）7的展开式中，通项公式为：T r+1=•x7﹣r•（﹣y）r=（﹣1）r x7﹣r y r，且=，二项式系数最大；当r=3时系数为负，r=4时系数为正，∴系数最大的项是r+1=5，即第5项．故选：C．点评：本题考查了二项式系数的应用问题，也考查了展开式通项公式的应用问题，是基础题目．5．（2015春•某某校级期末）箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取一个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为（）A．B．（）3×C．4×（）3×D．4×（）3×考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，根据所给的条件可知取到一个白球的概率和取到一个黑球的概率，第四次取球之后停止表示前三次均取到黄球，第四次取到白球，写出表示式．解答：解：第四次取球之后停止表示前三次均取到黄球，第四次取到白球，由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，取到一个白球的概率是，去到一个黄球的概率是其概率为（）3×，故选：B．点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，这种题目出现的比较灵活，可以作为选择或填空出现，也可以作为解答题目的一部分出现，属于基础题．6．（2015春•某某校级期末）233除以9的余数是（）A． 1 B． 2 C． 4 D．8考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据幂的运算性质，可得233=（23）11=（8）11=（9﹣1）11，由二项式定理写出其展开式，即（9﹣1）11=C110（9）11×（﹣1）0+C111（9）10×（﹣1）1+…C1110（9）1×（﹣1）10+C110（9）0×（﹣1）11，分析易得，除最后一项C110（9）0×（﹣1）11之外，都可以被9整除，计算C110（9）0×（﹣1）11的值，由余数的性质分析可得答案．解答：解：233=（23）11=（8）11=（9﹣1）11=C110（9）11×（﹣1）0+C111（9）10×（﹣1）1+…C1110（9）1×（﹣1）10+C1111（9）0×（﹣1）11，分析易得，其展开式中C110（9）11×（﹣1）0+C111（9）10×（﹣1）1+…C1110（9）1×（﹣1）10都可以被9整除，而最后一项为C110（9）0×（﹣1）11=﹣1，则233除以9的余数是8，故选D．点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键在于将233转化为（9﹣1）11，再利用二项式定理分析解题．7．（2011•某某模拟）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．解答：解：∵P（X=n）=（n=1，2，3，4），∴+++=1，∴a=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=×+×=．故选D．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目考查的内容比较简单，但是它是高考知识点的一部分．8．（2015春•某某校级期末）把座位编号为1，2，3，4，5，6的6X电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一X，至多分两X，且分得的两X票必须是连号，那么不同分法种数为（）A．240 B．144 C．196 D．288考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份；可以转化为将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：①、先将票分为符合条件的4份；由题意，4人分6X票，且每人至少一X，至多两X，则两人一X，2人2X，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号；易得在5个空位插3个板子，共有C53=10种情况，但其中有四种是1人3X票的，故有10﹣4=6种情况符合题意，②、将分好的4份对应到4个人，进行全排列即可，有A44=24种情况；则共有6×24=144种情况；故选：B．点评：本题考查排列、组合的应用，解答的关键是将分票的问题转化为将6个数如何分为四部分的问题，用插空法解决问题．9．（2015春•某某校级期末）李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：x 1 2 3P（ξ=x）！？！请小王同学计算ξ的数学期望．尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了Eξ的正确答案为（）A．B． 2 C．7 D．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：根据概率分布列的概率的和为1，表示“！”都为x，则“？”为1﹣2x，利用离散型的数学期望的计算方法求解即可．解答：解：根据题意设两个“！”都为x，则“？”为1﹣2x，根据概率分布列得出数学期望E（ξ）=1•x+2•（1﹣2x）+3x=2﹣4x+4x=2，故选：B点评：本题考察了概率分布列的概念，离散型的数学期望的计算方法，属于中档题，大胆的表示即可得出答案．10．（2015春•某某校级期末）已知袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个小球（取后放回），连取三次，则取到的小球的最大标号为3的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出从中任取一个小球（取后放回），连取三次，取法为3×3×3=27种，再分三类，根据分类计数原理求出连取三次，则取到的小球的最大标号为3的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：从中任取一个小球（取后放回），连取三次，取法为3×3×3=27种，连取三次，则取到的小球的最大标号为3，分三类，第一类，3次都取到3，只有1种，第二类，2次取到3，C32•2=6种，第三类，1次取到3，C31•22=12种，故取到的小球的最大标号为3的种数为1+6+12=19，故取到的小球的最大标号为3的概率为P=．故选：B．点评：本题考查了古典概型的概率问题，关键是求出取到的小球的最大标号为3的种数，属于中档题．11．（2015春•某某校级期末）现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（）A．53 B．67 C．85 D．91考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据特殊元素特殊处理的原则，丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类，排完丙后，因为甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，还要进行分类，根据分类计数原理可得解答：解：丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有=2种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有1种，共计2+1=3种．第二类，当丙不当物理课代表时，分四类①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有=18种，②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有=18种，③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有=6种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课，乙只能从语文和甲选完后的剩下的一课中选一课，丁和戊做剩下的两课，有=8种，共计6+8=14种④丙为化学课代表时，同③的选法一样有14种，根据分类计数原理得，不同的选法共有3+18++18+14+14=67种．故选：B点评：本题主要考查了分类计数原理，如何分类时关键，本题中类中有类，需要不重不漏，属于难题．12．（2014•海淀区校级模拟）记为一个n位正整数，其中a1，a2，…，a n都是正整数，1≤a1≤9，0≤ai≤9，（i=2，3，…，n，）．若对任意的正整数j（1≤j≤m），至少存在另一个正整数k（1≤k≤m），使得a j=a k，则称这个数为“m位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为（）A．1994个B．4464个C．4536个D．9000个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；新定义；转化思想．分析：根据题意，首先分析四位数的个数，再由排列公式计算出其中4个数字均不相同的四位数的个数，进而得到至少有1个数字发生重复的数的个数，即可得到答案．解答：解：由题意可得：四位数最小为1000，最大为9999，从1000到9999共有9000个数，而其中4个数字均不相同的数有9×9×8×7=4536个，所以至少有1个数字发生重复的数共有9000﹣4536=4464个故选B．点评：本题主要考查排列、组合的应用，关键是正确理解题中所给的定义，再运用正难则反的解题方法，分析解决问题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2015春•某某校级期末）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.6，则P（0＜ξ＜1）= 0.1 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜2）=0.6，∴P（0＜ξ＜1）=0.6﹣0.5=0.1，故答案为：0.1．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．14．（2015春•某某校级期末）一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P（B|A）=．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：利用P（B|A）=，即可得出结论．解答：解：由题意，P（B|A）===．故答案为：．点评：在事件A发生的条件下事件B发生的概率为P（B|A）=．15．（2015春•某某校级期末）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η=aξ﹣2，E （η）=1，则D（η）的值为11 ．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：根据题意得出分布列，求解E（ξ）=0×+4×=，利用E（η）=aE（ξ）﹣2，D（η）=4D（ξ），求解即可．解答：解：根据题意得出随机变量ξ的分布列：ξ 0 1 2 3 4PE（ξ）=0×+4×=，∵η=aξ﹣2，E（η）=1，∴1=a×﹣2，即a=2，∴η=2ξ﹣2，E（η）=1，D（ξ）=（）2+×（）2+×（2﹣）2+×（3﹣）2+×（4﹣）2=，∵D（η）=4D（ξ）=4×=11．故答案为：11点评：本题考察了离散型的概率分布，数学期望，方差的求解，线性关系的随机变量的数学期望，方差，考察了运算能力．16．（2011•某某三模）计算，可以采用以下方法：构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令x=1，得．类比上述计算方法，计算=n（n+1）•2n﹣2．考点：类比推理．专题：规律型．分析：对1+22x+33x2+…+n n x n﹣1=n（1+x）n﹣1，两边同乘以x整理后再对x求导，最后令x=1代入整理即可得到结论．解答：解：对1+22x+33x2+…+n n x n﹣1=n（1+x）n﹣1，两边同乘以x得：x1+22x2+33x3+…+n n x n=n•x•（1+x）n﹣1，再两边对x求导得到：1+222x+323x2+…+n2n x n﹣1=n（1+x）n﹣1+n（n﹣1）x（1+x）n﹣2在上式中令x=1，得1+222+323+…+n2n=n•2n﹣1+n（n﹣1）•2n﹣2=n（n+1）2n﹣2．故答案为：n（n+1）2n﹣2．点评：本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对1+22x+33x2+…+n n x n ﹣1=n（1+x）n﹣1，两边同乘以x整理后再对x求导，要是想不到这一点，就变成难题了．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（2015春•某某校级期末）已知f（x）=（x+m）2n+1与g（x）=（mx+1）2n（n∈N*，m≠0）．（Ⅰ）若n=3，f（x）与g（x）展开式中含x3项的系数相等，某某数m的值；（Ⅱ）若f（x）与g（x）展开式中含x n项的系数相等，某某数m的取值X围．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：（Ⅰ）n=3时，求出f（x）与g（x）展开式中的含x3项，利用系数相等，列出方程求m的值；（Ⅱ）求出f（x）与g（x）展开式中含x n的项，利用系数相等列出方程求出m的表达式，再求m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当n=3时，f（x）=（x+m）7的展开式中T r+1=x7﹣r m r，令7﹣r=3，解得r=4，∴f（x）展开式中含x3的项是m4x3；同理，g（x）=（mx+1）6展开式中的含x3项是m3x3；由题意得：m4=m3，…（3分）解得m=；…（6分）（Ⅱ）∵f（x）=（x+m）2n+1展开式中的通项公式为T r+1=x2n+1﹣r m r，令2n+1﹣r=n，解得r=n+1；∴展开式中含x n的项为m n+1x n；同理g（x）=（mx+1）2n展开式中含x n的项为m n x n，由题意得m n+1=m n，解得m==（1+）；…（9分）∵n∈N*，∴0＜≤，∴1＜1+≤1+，即＜（1+）≤，即m∈（，]．…点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了方程与不等式的应用问题，是基础题目．18．（2015春•某某校级期末）在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查．调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．（Ⅰ）请根据题目所提供的调查结果填写下列2×2列联表；看电视运动合计女男合计（Ⅱ）已知P（K2≥3.841）=0.05．能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？（注：K2=，（其中n=a+b+c+d为样本容量））考点：独立性检验．专题：计算题；阅读型．分析：（I）由题意填写列联表即可；（II）代入数据计算K2的观测值，比较观测值与3.841的大小，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．解答：解：（Ⅰ）根据题目所提供的调查结果，可得下列2×2列联表：看电视运动合计女30 25 55男20 35 55合计50 60 110（Ⅱ）根据列联表中的数据，可计算K2的观测值k：，∵k=3.67＜k0=3.841，∵不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．点评：本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力．19．（2015春•某某校级期末）为支持”2015某某全国青年运动会”，某班拟选派4人为志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等．（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？（2）设至少有n名男同学当选的概率为P n，当P n≥时，n的最大值？考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有C94种选法，其中女生1人且男生3人当选共有C41C53种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）根据题意写出至少有n名男同学当选的概率为P n的值，求出n=4，3，2的概率值，把概率值同进行比较，即可得到要使n的最大值．解答：解：（1）由于每位候选人当选的机会均等，9名同学中选4人共有C94=63种选法，其中女生1人且男生3人当选共有C41C53=20种选法，故可求概率P=，（2）∵P4==，P3=+=+=，P2=P3=++=+=＞∴要使，n的最大值为2．点评：本题考查等可能事件的概率，考查探究当男生数目不同时，对应的概率的取值X围，属于中档题．20．（2015春•某某校级期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是p，1﹣p．（Ⅰ）当p为何值时，小球落入B袋中的概率最大，并求出最大值；（Ⅱ）在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，当p=时，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）确定事件记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件为事件N．得出P（M）=P3+（1﹣P）3=P3+1﹣3P+3P2﹣P3=3（P﹣）2，利用函数式子求解即可．（II）P（M）=（）3+（）3==．P（N）=1﹣P（M）=1﹣=．利用服从ξ～B（4，），数学期望公式即可．解答：解：（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件M，“小球落入B袋中”为事件N，则事件M 的对立事件为事件N．而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P（M）=P3+（1﹣P）3=P3+1﹣3P+3P2﹣P3=3（P﹣）2，∴当P=时，P（M）取最小值，P（N）取最大值1﹣=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当P=时，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4．且ξ～B（4，），∴E（ξ）=4×=．点评：本题考察了学生的实际应用问题，；离散型的概率求解，重复试验的数学期望公式的运用，属于中档题．21．（2015春•某某校级期末）现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值X围；（Ⅱ）丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”、“购买基金”，或“等额同时投资股市和购买基金”这三种方案中选择一种，已知，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？（其中第三方案须考察两项获利之和的随机变量Z），给出结果并说明理由．考点：离散型随机变量的期望与方差．分析：（I）设出各个事件后得C=A∪B∪AB，根据P（C）=，P+=1，从而求出P的X围；（II）确定两种情况的随机变量，根据分布列得出相应的未知量，求解数学期望得出平均的利润问题，比较即可．解答：（I）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C=A∪B∪AB，且A，B独立．由上表可知，P（A）=，P（B）=p．所以P（C）=P（A）+P（B）+P（AB）=（1﹣P）+P P=P．又因为P+q=1，q≥0，所以p．所以．（II）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 8 0 ﹣4P则E（X）=8×+（﹣4）×=．假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 4 0 ﹣2P则E（Y）=4×=．因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，考察了学生的实际问题的分析解决能力，属于中档题，理解题意是解题的关键．22．（2015•某某一模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角αX 围．解答：解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，本题难度适中，属于中档题．。

福建省福州市八县高二数学下学期期末考试试题理 (2)

2014-2015学年度第二学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理）科试卷第一部分选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若n N *∈，则(20)(21)(22).....(100)n n n n ----等于（ ☆ ）A ．80100nA- B ．n n A --20100 C ． 8120n A - D ．81100n A -2. 5名运动员同时参加3项冠军争夺赛（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为：（ ☆ ）A ．53B ．35C ．35AD ．35C3．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为+=a x y 5（ˆ5a y x =-），若某儿童记忆能力为12，则他识图能力为（ ☆ ）A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．104．7）（y x -的展开式，系数最大的项是（ ☆ ） A ．第4项 B ．第4、5两项 C ．第5项 D ．第3、4两项5.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取一个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为（ ☆ ）A ． 4153⨯B ． 94)95(3⨯ C . 94)95(43⨯⨯ D ．95)94(43⨯⨯6．332除以9的余数是（ ☆ ）A ．1B ．2C ．4D ．87．随机变量X 的概率分布列规律为()(1,2,3,4),(1)a P X n n n n ===+其中a 为常数，则15()22P X <<的值为（ ☆ ）A ．23B ．34C ．45D ．568. 把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ☆ ） A. 240 B. 144 C. 196 D .2889. 李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小王同学计算ξ的数学期望.尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同.据此，小王给出了E ξ的正确答案为（ ☆ ）A ．错误!未找到引用源。

福建省福州市八县高二数学下学期期末考试试题文

2014-2015学年度第二学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（文）科试卷第一部分选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若集合A={),(y x 041=-+-y x } ,B={1,4},则下面选项正确的是（）A ．B ⊆A B ．A ⊆ BC ．A=BD ．A ∩B=Φ2.命题“02000,2x x x ∃><”的否定为（）A ．20,2x x x ∀><B ．20,2x x x ∀>≥C ．20,2x x x ∀≤<D ．20,2x x x ∀≤≥3. 下列函数中,既是偶函数又在区间),0(+∞上单调递减的是( ) A ．21y x =-+B ．x y 5=C ．1y x=．D ．lg ||y x =4. “x <2”是“()1-x x <0” 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（）A. ()()01-=x x f 与()1=x gB. ()x x f =与()2x x g =C. 24(),()22x f x g x x x -==+-D. (0)(),()(0)x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩ 6．若0.522,log 3,log 0.5a b c π===,则（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a >> 7．函数)(x f 的图像如图所示，下列选项中正确的是（）A. ()()()()23320f f f f -<'<'< yB. ()()()()23230f f f f -<'<'<C. ()()()()22330f f f f '<-<'<D. ()()()()32230f f f f '<'<-< O 1 2 3 4 x8．为了得到函数1()3xy =的图像，可以把函数13()3x y =⨯的图象（） A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位9．若函数()333f x x ax a =-+在区间()0,2内有极小值，则a 的取值范围是（）A.0a > B. 02a << C. 04a << D. 2a >10. 若定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当(]1,1-∈x 时，()f x x =，则函数()x x f y 31log -=的零点个数是 ( )A ．0B ．2C ．4D ．8 11．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如右图所示，以A （0，0()f ），B （1，1()f ），C （x ,()f x ）为顶点的ABC 的面积记为函数()S x ,则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为( )12．定义：如果函数()f x 在[]b a ,上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-，()()()ab a f b f x f --='2,则称函数()f x 是[]b a ,上的“双中值函数”.已知函数()m x x x f +-=2331是[]m ,0上的“双中值函数”,则实数m 的取值范围是( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21B. ()3,1C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0D. ⎪⎭⎫⎝⎛3,23第二部分非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (4)= __________14．函数y ＝1x＋x ＋4的定义域为__________xO 1S'(x )1S'(x )OxxOS'(x )1A B C DxOS'(x )11ACBOyx（第11题图）15.已知函数()()()⎩⎨⎧≥+<+=11232x ax x x x x f ，若()()a f f =0，则实数a = ．16.将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）计算（1 ）438116-⎪⎭⎫ ⎝⎛-()23--211691⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅2lg 225lg 39log 8log 7log 29318.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈++=13223．(1)求函数()f x 的图像在点A ()6,1处的切线方程； (2)求()f x 的单调区间19.（本小题满分12分）设命题p :实数x 满足a x >-1其中0a >;命题q ：实数x 满足1362<--x x（1）若命题p 中1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围. 20．（本题满分12分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数 (1)根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)若()()[]的取值范围上恒成立，求在a xx x f x h 2,101>--=。

2021-2022学年福建省福州市八县(市、区)一中高二下学期期末联考数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省福州市八县（市、区）一中高二下学期期末联考数学试题一、单选题 1．44sincos 33ππ=（）A ．14-B ．C ．14D 【答案】D【分析】二倍角公式以及诱导公式.【详解】4π4π18π12πsin cos sin sin 332323===故选：D.2．设集合{}111,214x M xx N x ∣∣⎧⎫=-≤≤=<<⎨⎬⎩⎭，则M N =（）A ．{10}xx -≤<∣ B ．{21}x x -<≤∣ C ．{11}xx ∣-≤< D ．{20}xx -<<∣ 【答案】A【分析】解指数不等式得到{}20N x x =-<<，进而求出交集. 【详解】解：因为1214x <<，所以20x -<<，所以{}20N x x =-<<，又{}11M xx =-≤≤∣，所以M N ={}10x x -≤<.故选：A.3．“2log 5x >”的一个必要不充分条件是（） A ．2log 10x < B ．0.5log 0.2x >C ．2x >D ．4log 35x >【答案】C【分析】根据对数的运算性质和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得22log 5log 42>=，所以当2log 5x >时，可得2x >成立，即必要性成立；反之，当2x >时，2log 5x >不一定成立，即充分性不成立，所以“2log 5x >”的一个必要不充分条件是2x >. 故选：C.4．已知定义域为I 的偶函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且0x I ∃∈，使()00f x <.则下列函数中符合上述条件的是（）A ．()21f x x =+ B ．()22x xf x -=+ C ．()2log f x x = D ．()22x xf x -=-【答案】C【分析】对于选项A ，二次函数性质；对于选项B ，函数值域；对于选项C ，函数性质；对于选项D ，函数性质；【详解】对于选项A ，()211f x x =+≥，不满足题意；对于选项B ，()222x xf x -=+≥，不满足题意；对于选项C ，满足题意；对于选项D ，()22x xf x -=-为奇函数，不满足题意.故选：C.5．某中学为庆祝建校80周年，学校将举办校庆文艺演出，文艺演出含有节目A ，B 等15个节目，甲、乙两位同学都将参演节目A ，B 中的一个，假设甲参加节目A ，B 的概率分别为12,33，乙参加节目A ，B 的概率分别为31,44，且甲乙两人参加节目相互独立，若事件M 表示甲乙两人参加同一个节目，事件N 表示两人都参加节目A ，则()P N M =（） A ．23B ．35C ．56D ．57【答案】B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出(),()P M P MN ，再利用条件概率公式求解作答.【详解】依题意，13215()343412P M =⨯+⨯=，131()344P MN =⨯=，所以()3(|)()5P MN P N M P N ==. 故选：B6．若πe 10,log x yy z x ===，其中e 2.718≈，则（）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>【答案】A【分析】根据给定条件，利用对数定义、对数换底公式、对数函数单调性比较判断作答. 【详解】因πe 10x y ==，则πe 11log 10,log 10lg πlg ex y ====，又1e π10<<<，即有0lg e lg π1<<<，于是得1y x >>，因此log log 1y y z x y =<=，所以y x z >>. 故选：A7．用数字1，2，3排成一个五位数，要求每个数字至少用一次，则不同的五位数有（） A ．180个 B ．150个 C ．120个 D ．90个【答案】B【分析】根据题意，可采用间接法求得，先求得所有的五位数的个数，再求得用一个数字排成的五位数和用两位数字排成的五位数的个数，进而求得答案. 【详解】用数字1，2，3排成一个五位数，共有53243=个不同的数字；其中只用1或2或3排成一个五位数时，共有3个不同的数字；若其中的两数字排成一个五位数，先从数字1，2，3选出两个数字，有23C =3种选法，例如选了数字1，2排成一个五位数，可按数字1分类：若数字1只用了一次，可排除15C 5=个不同的数字；若数字1用了两次，可排除25C 10=个不同的数字；若数字1用了三次，可排除35C 10=个不同的数字；若数字1用了四次，可排除15C 5=个不同的数字，共有51010530+++=个不同的数字，则用其中的两数字排成一个五位数，共有33090⨯=个不同的数字，所以排成一个五位数，且每个数字至少用一次的不同的五位数有：243390150--=个不同的数字. 故选：B.8．已知随机变量Y 服从正态分布()2,4N ，函数()()2f x P x Y x =≤≤+，则（）（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于1x =对称C ．()f x 的图象关于2x =对称D ．方程()0.8f x =有解【答案】B【分析】利用正态密度曲线的对称性结合函数的对称性可判断ABC 选项的正误；利用()()max 0.6827f x P Y μσμσ<-<≤+≈可判断D 选项.【详解】因为()~2,4Y N ，则()()()2424f x P x Y x P x Y x =≤≤+=--≤≤-()()242P x Y x f x =-≤≤-=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，AC 均错，B 对；由于正态密度曲线呈现中间高两边低的形状，且关于直线2x =对称，故()()()()max 1130.6827f x f P Y P Y μσμσ==≤≤<-<≤+≈，因此，()0.8f x =无解，D 错. 故选：B. 二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．“0a b >>”是“22a b >”成立的充分不必要条件B ．命题p ：0x ∀>，均有20x >，则p 的否定：00x ∃≤，使得200x ≤C ．设,A B 是两个数集，则“A B A =”是“A B ⊆”的充要条件D ．设,A B 是两个数集，若A B ⋂≠∅，则x A ∃∈，x B ∈ 【答案】ACD【分析】举反例可判断A 选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B 选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C 选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D 选项.【详解】解：对于A ，当0a b >>时，能推出22a b >，而由22a b > 不能推出0a b >> ，如()223>2-，而32-<，所以 “0a b >>”是“22a b >”成立的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，命题p ：0x ∀>，均有20x >，则命题p 的否定：0>0x ∃，使得200x ≤，故B不正确；对于C ，,A B 是两个数集，则由A B A =能推出A B ⊆，反之，由A B ⊆ 能推出A B A = ，所以 “A B A =”是“A B ⊆”的充要条件，故C 正确；对于D ，,A B 是两个数集，若A B ⋂≠∅，即集合A 、B 存在相同的元素，则x A ∃∈，x B ∈，故D 正确，故选：ACD.10．已知函数()|12sin |f x x =+，则（） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．2x π=是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．方程[]22()()10f x f x =+-在[0,2]π内所有的根之和为6π 【答案】ABD【分析】根据周期和对称性的公式，即可判断AB;利用特殊值判断C ；首先根据方程求得()1f x =-或()12f x =，再得1sin 4x =-，或3sin 4x =-，根据三角函数的对称性，即可判断D.【详解】A.()()()212sin 212sin f x x x f x ππ+=++=+=，且()()()12sin 12sin f x x x f x ππ+=++=-≠，所以函数的最小正周期是2π，故A 正确； B.()()()12sin 12sin f x x x f x ππ-=+-=+=，所以函数关于直线2x π=对称，故B 正确； C.706f π⎛⎫=⎪⎝⎭，312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，7362f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数在区间73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递减，故C 错误；D. []22()()10f x f x =+-，解得：()1f x =-或()12f x =，当()|12sin |1f x x =+=-，不成立，当1()|12sin |2f x x =+=时，得1sin 4x =-，或3sin 4x =-，当[]0,2x π∈时，根据三角函数sin y x =的对称性可知1sin 4x =-的两个实数根关于32x π=对称，两根和为3π，同理3sin 4x =-的两根和也为3π，所以4个根的和为6π，故D 正确. 故选：ABD11．已知实数,a b 满足()lg lg lg 9a b a b +=+，则下列结论正确的是（） A ．a b +的最大值为16 B ．9a b +的最小值为36C D ．lg lg a b +的最大值为2lg6【答案】BC【分析】由()lg lg lg 9a b a b +=+，得9ab a b =+，则191b a+=，然后利用基本不等式逐个分析判断即可【详解】因为实数,a b 满足()lg lg lg 9a b a b +=+，所以0,0a b >>，9ab a b =+，所以191b a+=，对于A，199()101016a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =，即12,4a b ==时取等号，所以的a b +最小值为16，所以A 错误，对于B，19819(9)181836a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当81a b b a =，即 18,2a b ==时取等号，所以9a b +的最小值为36，所以B 正确，对于C ，因为29191112a b a b =+=+++=，当且仅当19b a =，即18,2a b ==C 正确，对于D ，由选项B 可知当18,2a b ==时，9a b +取得最小值36，因为9ab a b =+，所以当18,2a b ==时，ab 有最小值36，因为0,0a b >>，所以()lg lg lg lg362lg6ab a b =+≥=，所以当18,2a b ==时，lg lg a b +的最小值为2lg 6 ，所以D 错误，故选：BC12．已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足()[)()[)221,0,1log 3,1,2xx f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x ≥时，()()2f x f x λ=-，λ为非零常数，则（） A ．当1λ=时，()2log 804f =B ．当1λ=-时，()f x 在区间[)10,11内单调递减C ．当2λ=时，()f x 在区间130,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值为1)D ．当2λ=时，若函数()1x g x -=的图像与()f x 的图像在区间[]0,a 内的m 个交点记为()(),1,2,3,,i i x y i m =⋅⋅⋅，且116mi i x ==∑，则a 的取值范围为[)7,9【答案】BD【分析】利用函数的周期性变化，结合函数图像进行分析.【详解】对于A ，当1λ=时，()()2f x f x =-，则()()222()f x f x f x +=+-=，当2x ≥时，()2()f x f x +=，所以()()2225log 80log 806log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭25log 45121144=-=-=，故A 错误；对于B ，当1λ=-时，()()2f x f x =--，则()()42()f x f x f x +=-+=，当2x ≥时，()4()f x f x +=，所以()f x 在区间[)10,11内单调性与在区间[)2,3内的单调性相同，当[)2,3x ∈时，[)20,1x -∈，所以()f x 在区间[)2,3内单调性与在区间[)0,1内的单调性相反，故B 正确；对于C ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =-，即当0x ≥，()()122f x f x =+，当[0,2]x ∈时，()[0,1]f x ∈，当[2,4]x ∈时，()[0,2]f x ∈，当[4,6]x ∈时，()[0,4]f x ∈，当13[6,]6x ∈时，()8]f x ∈，所以()f x 在区间130,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值为4.故C 错误；对于D ，当2λ=时，当2x ≥，()()22f x f x =-，即当0x ≥，()()122f x f x =+，由图像有：若函数()1(2)x g x -=的图像与()f x 的图像在区间[]0,a 内的m 个交点记为()(),1,2,3,,i i x y i m =⋅⋅⋅，且116mi i x ==∑，则a 的取值范围为[)7,9，故D 正确. 故选：BD. 三、填空题13．根据散点图中的四个观测点53,,(4,3),(5,4),(6,)2m ⎛⎫⎪⎝⎭，利用最小二乘法计算得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35y x =+，据此=m _____.【答案】924.5. 【分析】根据四个观测点求得其样本中心，代入回归直线的方程，即可求解. 【详解】由题意，散点图中的四个观测点53,,(4,3),(5,4),(6,)2m ⎛⎫⎪⎝⎭，可得19(3456)42x =+++=，15192(34)428my m +=+++=，即样本中心为9192(,)28m+，将其代入回归方程ˆ0.70.35yx =+，可得90.7190.35228m =⨯++，解得92m =.故答案为：9214．在63(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则(2,3)(3,2)f f +=_____. 【答案】75【分析】直接由63(1)(1)x y ++的展开式求得含23x y 的项和含32x y 的项，进而得到(2,3),(3,2)f f ，即可求解.【详解】63(1)(1)x y ++的展开式中含23x y 的项为22332363C C 15x y x y ⋅=，含32x y 的项为33223263C C 60x y x y ⋅=，则(2,3)15,(3,2)60f f ==，(2,3)(3,2)75f f +=. 故答案为：75.15．已知0a >，若关于x 的不等式()()221x ax ->的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】将不等式化为同解不等式，然后根据1a =，01a <<，1a >三种情况来分类讨论，再根据题意分别讨论，列出相应的不等式，求得a 的取值范围．【详解】由题意，不等式可转化为22(1)210a x x -+-<,①当210a -=，即1a =时，不等式解集为1{|}2x x <，很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意； ②当210a -<，即01a <<时，此时2244(1)4a a ∆=+-=,01a <<，∴0∆>，不等式可转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +-⋅-+<，此时解集为1{|1x x a <+或1}1x a >--，很明显此时整数解有无穷多个，不符合题意； ③当210a ->，即1a >时，此时2244(1)4a a ∆=+-=,1a >，∴0∆>，不等式可转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +-⋅-+<，此时解集为11{|}11x x a a -<<-+, 当1a >时，11012a <<+，101a -<-, ∴要使原不等式解集中的2个恰有两个整数，则这两个整数分别为1-，0，1211a ∴-≤-<--，解得322a ≤<，综上所述，可得实数a 的取值范围是3[,2)2，故答案为：3[,2)2．16．设函数()f x 的定义域为R ，()12f x +-为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+.若()()011f f -+=，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【答案】340.75【分析】先由题设得函数()f x 关于点()1,2和直线2x =对称，再由对称性得出函数()f x 周期为4，再结合()12f =以及()()011f f -+=求出,a b 的值，最后由周期性求函数值即可.【详解】由()12f x +-为奇函数，可得()()1212f x f x +-=--++，函数()f x 关于点()1,2对称，又定义域为R ，则有()12f =；又()2f x +为偶函数，可得()()22f x f x +=-+，函数()f x 关于直线2x =对称，则()()()4242f x f x f x =--=-+，又()()24f x f x +=--，则()()f x f x =-，则()()()222f x f x f x +=-+=-，函数()f x 周期为4，则202311131012422222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由上可得()()()()1,041424f f a b f f a b ==+=-=---，则2441a b a b a b +=⎧⎨++--=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，则39131244f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则2023334224f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：34.【点睛】本题的关键点在于由题设得出函数的对称中心及对称轴，进而由对称性得出函数的周期；利用()12f =以及()()011f f -+=求出,a b 的值，再由周期性求函数值即可. 四、解答题17．已知正项等比数列{}n a ，若432a a a =，3520a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)12,n n a n N -*=∈(2)41134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，结合题意求得数列的首项11a =和公比2q，即可求得数列的通项公式；（2）由12n n n b a a +=，结合等比数列的定义得到{}n b 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】(1)解：设正项等比数列{}n a 的公比为q ()0q >，由432a a a =，可得23a q =，所以21,1a q a ==，又由3520a a +=，可得2420q q +=，解得24q =，可得2q ，所以12n na ，即{}n a 的通项公式12,n n a n N -*=∈.(2)解：由12n n a ，可得12n n n b a a +=，所以11212b a a ==，且22111211224n n n n n n n n b a a b a a a a q +++++====⋅，故数列{}n b 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1211414(1)13414nn n n T b b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⋅⋅⋅+==--.18．如图在ABC 中，点D 在边AC 上，23AB =，π3A =，π6CBD ∠=，记ABD θ∠=.(1)若3cos 5θ=，求BC ；(2)若32CD AD =，求ABC 的面积. 【答案】(1)5； (2)9332+. 【分析】（1）利用三角形内角关系及正弦定理求解即可；（2）利两个ABD △，BCD △的角度关系及线段关系，结合正弦定理求解即可. 【详解】(1)解：在ABC 中，有ππ3sin sin()sin()cos 635ACB ABC BAC ABD ABD ∠=∠+∠=∠++=∠= 由正弦定理得sin sin AB BCACB CAB=∠∠，32sin 253sin 53AB CABBC ACB⨯∠∴===∠.(2)解：设3,2CD t AD t ==有ππsin sin()cos 63ACB θθ∠=++=，且sin sin 3cos AB CAB BC ACB θ∠==∠在ABD △中，由正弦定理得2sin sin BD CA t B θ=∠，即3sin D t B θ=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin 3BDCBD A Bt C =∠∠，即23cos t BD θ=，所以，323cos sin θθ=即2sin cos 1θθ= sin 21∴=θ，22πθ∴=，即4πθ=，此时3co 32s BC θ== 又62sin sin()644ABC ππ+∠=+=1162933sin 23322242ABC S AB BC ABC ∆++∴=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，D 是AB 的中点，11AA A C =，直线1A B 与平面11A ACC 所成的角为30.(1)求证：1BC ∥平面1A CD ；(2)求平面1A BC 与平面11AC C 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)3913【解析】(1)连接1AC 交1A C 于点E ，连接DE ，∵四边形11ACC A 是平行四边形， ∴E 是1AC 的中点，又∵D 是AB 的中点，∴1DE BC ∥， ∵1BC ⊄平面1A CD ，DE ⊂平面1A CD ，∴1BC ∥平面1A CD(2)取AC 中点O ，连接1OA 、OB ，∵11AA A C =，∴1OA AC ⊥，∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，1OA 平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， ∴1OA ⊥平面ABC ，∵OB ⊂平面ABC，∴1OA OB ⊥∵ABC 是正三角形，O 是AC 的中点，∴OB AC ⊥，又1AC OA O ⋂= ∴OB ⊥平面11A ACC ，∴1OA 是直线1A B 在平面内11A ACC 的射影， ∴1OA B ∠是直线1A B 与平面11A ACC 所成的角，即1OA B ∠30= ∵OB 是边长为2的正三角形ABC 的中线，∴OB =311133tan OB OA B OA ∠===∴13OA = .∵1,,OA OB OC 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则()0,1,0A -，()3,0,0B，()0,1,0C ，31,02D ⎫-⎪⎝⎭，()10,0,3A ，()10,2,3C ， ∴1(0,1,3)AC =-，(3,1,0)BC =-，设平面1BA C 的一个法向量(),,n x y z =，则3030n AC y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =3,1y z ==，所以()3,3,1n =又∵平面11A CC 的一个法向量(1,0,0)m =， ∴39cos ,133m n m n m n⋅==所以平面1A BC 与平面11AC C 3920．“动态清零”是目前我国在新冠肺炎疫情防控中坚持的一个基本原则和目标.“动态清零”就是当出现本土疫情时，政府各部门迅速行动，“发现一起、扑灭一起”，快速切断传播链，保持住社会面无病例的目标.核酸检测是“动态清零”中较为重要的一环，进行核酸检测时，我们将受检者分组，将同一组人员的呼吸道标本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则该组人员检测结果全为阴性；若检验出阳性，则要对该组人员逐个进行检验；这样可以大大减少检验工作量.某社区出现确诊病例，防疫部门决定对社区2000人进行核酸检测.假设随机抽一人核酸检测阳性的概率为0.003.(1)为了熟悉检验流程，先对5人进行逐个检验，求5人中至少有1人检测结果为阳性的概率；(2)现有两种分组方式：方案一：10人一组，方案二：20人一组.请你从检测总次数的期望值选择一种方案，并说明理由.（510200.9970.985,0.9970.970,0.9970.942≈≈≈）【答案】(1)0.015； (2)方案二，理由见解析【分析】（1）先求出“5人检测结果为阴性”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可；（2）设方案一中每组的检测次数为X ，分别求得X 为1，11的概率，列出分布列计算期望；同理求得方案二的期望，比较期望值的大小即可求解.【详解】(1)设“5人中至少1个人检测结果为阳性”为事件A ，则“5人检测结果为阴性”为事件A ，随机抽1人检测为阴性的概率为10.0030.997-=，()50.9970.985P A ∴==，()()110.9850.015P A P A ∴=-=-=，故5人中至少有1人检测结果为阳性的概率0.015；(2)设方案一中每组的检测次数为X ，则X 的取值为1，11，∴()1010.9970.970P X ===，()101110.9970.03P X ==-=，∴X 的分布列为：()10.97110.03 1.300E X =⨯+⨯=，故方案一的检测总次数的期望值为：()200200 1.3260E X =⨯=次．设方案二中每组的检测次数为Y ，则Y 的取值为1，21，()2010.9970.942P Y ===，()202110.9970.058P Y ==-=，∴Y 的分布列为：∴()10.942210.058 2.16E Y =⨯+⨯=，∴方案二的检测总次数的期望为()100100 2.16216E Y ⨯=⨯=次．∵260>216，∴方案二工作量更少．故选择方案二.21．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)，以原点O 为圆心，以C 的短半轴长为半径的圆被直线20x y -+=截得的弦长为2. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 的坐标为(2，1)，直线l （不过原点O 也不过点P ）交C 于A ，B 两点，且直线AP ，BP 的倾斜角互补，若点M 是AB 的中点，求直线OM 的斜率.【答案】(1)22163x y +=(2)12-【分析】（1）利用直线与圆的位置关系求解b ，利用离心率跟,,a b c 的关系，列式求解即可得椭圆方程；（2）分析题意，直线斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程中，得交点,A B 的横坐标关系，在利用直线AP ，BP 的倾斜角互补，建立坐标关系，整理求解即可得直线OM 的斜率.【详解】(1)解：由已知得，c a =，∴c =，222212b a c a =-=,又原点O 到直线20x y -+=因此b 22 ＋12＝3，2=6a ，故椭圆C 的方程为 22163x y +=； (2)解：由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(12)4260k x kmx m +++-=，则△222222164(12)(26)488240k m k m k m =-+-=-+>，且122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，直线PA ，PB 的倾斜角互补，则121202112PA PB y y k k x x +=+-=---，代入11y kx m =+，22y kx m =+，所以12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +---+-= 即有2222642(12)4(1)01212m kmk m k m k k --⋅+--⋅--=++，整理可得 28124440k k km m -+-+=，即(1)(21)0k k m -+-= 又直线l 不经过点P 即 210k m +-≠ 故1k =22222112212122221221212111(3)(3)22OM x x y y y y y yk k x x x x x xx x ---+--⋅=⋅==+---222122211122x x x x -=-=-- 12OM k ∴=- 22．设函数ln ()x f x x=，函数11()2e ()()xg x a b x f f a b a b ⎛⎫⎛⎫=-+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0a b <<，（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 在e x =处的切线方程；(2)记函数()g x 的最小值为(,)a b ϕ. 求证：(,)()ln 2a b b a ϕ<-.【答案】(1)1ey =(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得；（2）利用导数求()g x 的最小值，再对(,)()ln 2a b b a ϕ<-变形，换元令bt a=，然后构造函数()(1)ln(1)ln h t t t t t =++-，利用导数可证. 【详解】(1)函数的定义域为(0,)+∞，且1(e)ef =由21ln ()xf x x -'= 知21lne(e)0e f -'== 故所求的切线方程为1ey =(2)11()2e ()()()()x g x a b x f f a b a b=-+---+2e ()ln ln ()x a b x a a b b a b =-+++-+()2e ()x g x a b ∴'=-+当(ln,)2a bx ++∞∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(ln)2,a bx ∈-+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以min ()(ln)()()ln ln ln ()22a b a bg x g a b a b a a b b a b ++==+-+++-+ 即 (,)()lnln ln 2a ba b a b a a b b ϕ+=-+++ 下面证明(,)()ln 2a b b a ϕ<- 要证：()ln ln ln ()ln 22a ba b a a b b b a +-+++<- 只需证：lnln 2ln 2a b a ba b a a b+++> 即ln(1)ln(1)2ln 2b b aaab+++>令1b t a=>，构造1()ln(1)ln(1)(1)ln(1)ln h t t t t t t t t =+++=++-所以()ln(1)ln 0h t t t '=+-> 所以函数()h t 在(1,)+∞是增函数()(1)2ln 2h t h ∴>=，故证得(,)()ln 2a b b a ϕ<-。

2023-2024学年福建省福州市多校联考高二(下)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年福建省福州市多校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知A ={x|2x >1}，B ={x|x 2+x−2≤0}，则A ∪B =( )A. {x|x >−2}B. {x|x ≥−2}C. {x|0<x ≤1}D. {x|0≤x ≤1}2.若复数z 满足z +i =2i(z−i)，则|z|=( )A. 1B.2C.3D. 23.已知向量a =(3,4)，|b |=3，且a 与b 的夹角θ=π6，则|a−b |=( )A.10B. 10C.13D. 134.圆台的上底面面积为π，下底面面积为9π，母线长为4，则圆台的侧面积为( )A. 10πB. 20πC. 8πD. 16π5.某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为( )A. 5B. 4.5C. 3.5D. 186.已知α为锐角，且cos (α+π6)=35，则sinα=( )A.3+110B. 2−35C. 23−110D. 43−3107.命题p ：0<a <1，命题q ：函数f(x)=log a (6−ax)(a >0,a ≠1)在(−∞,3)上单调，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设函数f(x)=sin (ωx +π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A. [53,136)B. [53,196)C. (136,83]D. (136,196]二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若向量a =(m,n)(m,n ∈R)，b =(1,2)，则以下说法正确的是( )A. a //b⇔1m =2n B. a ⊥b⇒m +2n =0C. 若m ≠0，n =0，则cos 〈a ,b〉=±55D. 若a =(2,1)，则b 在a 方向上的投影向量的坐标为(85,45)10.已知正数a ，b 满足a +5b =ab ，则( )A. 1a +5b =1B. a 与b 可能相等C.ab ≥6D. a +b 的最小值为6+2511.如图，棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，且B 1F//平面A 1BE ，则下列说法正确的有( )A. 动点F 轨迹的长度为2B. 三棱锥B 1−D 1EF 体积的最小值为13C. B 1F 与A 1B 不可能垂直D. 当三棱锥B 1−D 1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为25π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

福建省福州市八县(市)协作校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题一、单选题1．命题“0x x x ∃∈+R ，＜”的否定是（） A ．0x x x ∃∈+R ，≤ B ．0x x x ∃∈+R ，≥ C ．0x x x ∀∈+R ，＜ D ．0x x x ∀∈+R ，≥ 2．在以下4幅散点图中，y 和x 成正线性相关关系的是（）A ．B ．C ．D ．3．假如女儿身高y （单位：cm ）关于父亲身高x （单位：cm ）的经验回归方程为$0.8125.82y x =+，已知父亲身高为170cm ，则（）A ．女儿的身高必为164 cmB ．女儿的身高估计为164 cmC ．女儿的身高必为178 cmD ．女儿的身高估计为178 cm4．X 是离散型随机变量，()()16,0.5,25E X D X X X ===-，那么()1E X 和()1D X 分别是( )A ．()()1112,1E X D X ==B ．()()117,1E X D X ==C ．()()1112,2E XD X ==D ．()()117,2E X D X ==5．已知随机变量()2~X N μσ，，随机变量()2~2Y N μσ+，，若()0P X =≤()2P X ≥，()20.3P Y =≤，则()34P Y =≤≤（）A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.76．函数ln 1xy ex =--的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知,x y 为正实数，1ln ln x y x y+=-，则（） A ．x y ＞B ．x y ＜C ．1x y +＞D ．1x y +＜8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-．若函数()()22g x f x x x =+-有唯一零点，则()1f =（） A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．已知0a b c ∈R ＜＜，，则下列不等式成立的是（） A ．11b a<B ．33ac bc ＜C ．22a b >D ．11a b b a++＜10．高斯取整函数[]y x =又称“下取整函数”，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如32,2⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦[]533,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．若函数()[],R f x x x x =-∈，则()f x 的值可能是（） A ．0B ．0.5C ．1D ．211．若()()()()()12211120121112231111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+-L ，则（）A ．01a =-B ．()1212013ii i a =-=∑C ．12124i i ia ==∑D ．12112iii a ==-∑三、填空题12．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为． 13．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数2xy =，3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是曲线．（填曲线序号）14．某班安排甲、乙、丙、丁4位同学参加3项不同的社会公益活动，要求每项活动至少有1人参加，且甲、乙不能参加同一项活动，则共有种不同的安排方案．（用数字作答）四、解答题15．已知集合{}{}23100221A x x x B x m x m =--=-≤≤+＜，． (1)当1m =时，求()A B A B R U I ，ð； (2)若B A ⊆，求实数m 的取值范围．16．当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.(1)按照医嘱，护士给患者甲注射了mg a 药品A 两小时后，患者甲血液中药品A 的残存量为225mg ，求a 的值；(2)另一种药物B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg 药品A 和500mg 药品B ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：lg20.301=，lg30.477=.17．节日在即，某店家为此购入一批袋装糖果（每袋1kg ），现从中随机抽取100袋，将它们进行分级，统计结果如下：(1)若将频率视为概率，从这100袋糖果中有放回地随机抽取4袋，求恰好有2袋是三等品的概率；(2)用样本估计总体，该店家制定了两种销售方案：方案一：将糖果混合后不分类售出，售价为20元/kg；方案二：按品级出售，售价如下：为追求更高利润，该店家应采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100袋糖果中抽取10袋，再从抽取的10袋糖果中随机抽取3袋，记抽到一等品的袋数为X，求X的分布列与数学期望．18．2023年5月13日，榕江和美乡村足球超级联赛（简称“村超”）盛大开幕，迅速在全国范围内乃至国际舞台上引起了热烈反响，激发了全民的运动热情．今年，更是迎来了足球传奇人物卡卡的亲临访问．现有一支“村超”球队，其中甲球员是其主力队员，且是一位多面手，胜任多个位置．经统计，该球队在已进行的42场“村超”比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如下表所示：α=的独立性检验，分析球队的胜负是否与甲球员上(1)完成22⨯列联表，依据小概率值0.01场有关；(2)由于教练布阵的不同，甲球员在场上的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中场、后卫的概率分别为0.6，0.2，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.9，0.5，0.8．当甲球员上场参加比赛时，（ⅰ）求球队赢球的概率；（ⅱ）如果球队已获胜，计算该场比赛甲球员打前锋的概率．附：22()n ad bc χ-=，n a b c d =+++．19．已知函数()2121x x f x -=+．(1)我们知道要研究一个函数的性质，通常会从函数的定义域、值域（最值）、奇偶性（对称性）、单调性（极值）、周期性、特殊的点与线（如渐近线）等方面着手．据此，请回答以下问题：（ⅰ）试探究函数()f x 的性质并说明理由；（ⅱ）根据（ⅰ）中结论作出()f x 的草图；(2)若1,3x ∞⎡⎫∀∈+⎪⎢⎣⎭，都有()()2332log log 0mf x f x ++＞，求实数m 的取值范围．。

福建省福州市高二下学期期末联考试题数学(文)-含答案

6．函数y =||2x sin2的图象可能是 ( ) 学校：高二年班号姓名：准考证号：高二文科数学试卷第 1 页共4页A ．B ．C ．D ．7、已知函数()y f x =的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+的值等于（）A ．3B.52C ．1D ．0 8、已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为( )．A. B. 4 C.52D. 39、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且21[0,),()1x x f x x +∈+∞=+，记0.52(6),(7),(8)a f log b f log b f ===，则,,a b c 的大小关系为A ．B ．C ．D ．10、已知sin()cos()23)2ππθθπθ+++=--，则2sin cos cos θθθ-=（）A ．12 B ．12- C 31- D 13-11、设p ：3402x xx-≤， q ： ()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A. []2,1-B. []3,1-C. [)(]2,00,1-⋃D. [)(]2,10,1--⋃ 12、已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()4f x f x '-<-， ()05f =，则不等式()4xf x e >+的解集是（）A. (],1-∞ B. (),0-∞ C. ()0,+∞ D. ()1,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）13、若log 3,log 2,a a m n ==则2m n a += ;14、函数210()20x x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若实数x 满足()4f x =，则实数x = ;15、已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ的值为 ; 16、已知()x f x xe =，关于x 的方程()()220f x tf x ++= (t R ∈)有四个不同的实数根，则t 的取值范围为 .三：解答题（17-21题各12分，22题10分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（12分）已知命题p ：∀∈R ，20tx x t ++≤. （Ⅰ）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）命题q ：∃∈[2，16]，210t log x ⋅+≥，当p ∨q 为真命题且p ∧q 为假命题时，求实数t 的取值范围．18、（12分）设函数32()f x x ax bx c =-+++的导数()f x '满足(1)0,(2)9f f ''-==.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若()f x 在区间[-2，2]上的最大值为20，求c 的值．（III ）若函数()f x 的图象与轴有三个交点，求c 的范围．19、（12分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=-．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）求tan()αβ-的值．20、（12分）科技改变生产力，人工智能在各行各业中的应用越越广泛，某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本p （）=++150万元．（Ⅰ）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（Ⅱ）现按（I ）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送高二文科数学试卷第3页共4页达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？21、（12分）已知函数f （）=2e +2a -a 2，a ∈R ．（I ）求函数f （）的单调区间；（II ）若≥0时，2()3f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．22、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为24cos 3sin 0ρθρθ-+=，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为6π．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）若曲线C 经过伸缩变换''2x xy y⎧=⎨=⎩后得到曲线C ′，且直线l 与曲线C ′交于A ，B 两点，求|MA |+|MB |．度第二学期八县（市）一中期末联考高中二年数学科（文科）参考答案一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）二、填空题：（每题 5分，共20分） 13、 1214 、 3,2 15 、 43- 16 、221(,)e e +-∞- 三、解答题：（本大题共6小题70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）（评分说明：①对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 答案BCBCCDAAACDB分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分；②如果解题出现其他解法，请斟酌给相应的分数。

福建省福州市八县(市)协作校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题

福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．对实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a b<，则22<ac bcB．若a b>，c d->-<，则a c b dC．若14-££，则06b££，21aa b£-£四、解答题17．已知数列{}na 满足12a =，()*121N n n aa n +=+Î．(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}na 落入区间()2,2024的所有项的和．18．为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，平潭某旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游连接DW 、DU 、UW 、1A X 、XF ，因为//AB CD 且AB CD =，点X 、F 分别为AD 、BC 的中点，所以，//AX BF 且AX BF =，故四边形ABFX 为平行四边形，则//XF AB 且XF AB =，又因为11//A B AB 且11A B AB =，所以，11//XF A B 且11XF A B =，故四边形11A B FX 为平行四边形，所以，11//A X B F 且11A X B F =，因为11//AD A D 且11AD A D =，X 、W 分别为AD 、11A D 的中点，所以，1//DX AW 且1DX AW =，故四边形1AWDX 为平行四边形，则1//DW A X ，所以，1//DW B F ，又因为DW Ë平面1B EF ，1B F Ì平面1B EF ，所以，//DW 平面1B EF ，同理可证//DU 平面1B EF ，因为DW DU D =I ，DW 、DU Ì平面DWU ，所以，平面//DWU 平面1B EF ，因为WU Ì平面1111D C B A ，且P Î平面1111D C B A ，则当P WU Î时，DP Ì平面DWU ，则有//DP 平面1B EF ，由三棱台111ABC A B C -中，1124,AB BC B C D ===是AC 的中点可得1111//,AC AD A C AD=,所以四边形11ADC A 为平行四边形，故11//AA DC ,1AA Ë平面1DEC , 1DC Ì平面1DEC ,故1//AA 平面1DEC ,又1AB //平面1DEC ，且11,AB AA Ì平面11ABB A ， 11AB AA A =I ，所以平面11ABB A //平面1DEC ，又平面11ABB A I 平面ABC AB =,平面ABC Ç平面1DEC DE =,故//DE AB ,由于D 是AC 的中点,故E 是BC 的中点，故点E 在边BC 的中点处，1AB //平面1DEC ;（2）因为1CC ^平面ABC ，AB Ì平面ABC ,所以1CC AB ^,又1,AB BC ^11111,CC BC C CC BC Ç=Ì，平面11BCC B ,故AB ^平面11BCC B ,由于BC Ì平面11BCC B ,所以AB CB ^ ,由（1）知：E 在边BC 的中点，D 是AC 的中点,所以//ED AB ,进而DE BC ^，连接1B E ,由1111//,,B C EC B C EC =。

2022-2023学年福建省福州一中高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A n 2=C nn−3，则n ＝（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．（1﹣2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（） A ．12B ．4C ．﹣4D ．﹣83．某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：千件）的影响．现收集了近5年的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y 关于x 的线性回归方程为y =b x −41，当此公司该种产品的年宣传费为16万元时，预测该产品的年销售量为（）A ．131千件B ．134千件C ．136千件D ．138千件4．△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4√3S =(a +b)2−c 2，则sin C 的值是（）A ．√32B ．√63C ．√22D ．125．将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（） A ．59B ．524C ．14D ．236．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A．8B．16C．24D．327．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A．36B．72C．144D．2888．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：Z＞20的为A级，18＜Z≤20的为B级，16＜Z≤18的为C级，14＜Z≤16的为D级，Z≤14的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（）附：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9773A．4B．5C．6D．7二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少派1名医生，则下列结论正确的是（）A．所有不同分派方案共43种B．所有不同分派方案共36种C．若甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D．若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种10．一个袋子有5个大小相同的球，其中有2个红球，3个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出2个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E（X1），D（X1）；试验二：从中随机地无放回摸出2个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E（X2），D（X2）；则（）A．E（X1）＝E（X2）B．E（X1）＞E（X2）C．D（X1）＞D（X2）D．D（X1）＜D（X2）11．(3x1)6的展开式中，下列说法正确的是（）√xA．所有项系数和为64B．常数项为第4项C．整式共有3项D．x3项的系数﹣8112．已知△ABC中，AB⊥AC，AC=√2AB，点D与点B在直线AC两侧，构成凸平面四边形ABCD，且AD=3，BD=2√6，如图，则CD的长度可以为（）A ．√3B ．1C ．√2D ．3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡上．13．现有两批产品，第一批产品的次品率为5%，第二批产品的次品率为15%，两批产品以3：2的比例混合在一起，从中任取1件，该产品合格的概率为．14．某产品的质量指标服从正态分布N （50，σ2）．质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得σ至多为 .（参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|＜3σ）≈0.9974）15．2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为． 16．我们称n （n ∈N *）元有序实数组（x 1，x 2，⋯，x n ）为n 维向量，|x 1|+|x 2|+⋯+|x n |为该向量的范数．已知n 维向量a →=(x 1，x 2，⋯，x n )，其中x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，⋯n ，记范数为奇数的a →的个数为A n ，则A 3＝；A n ＝，（用含n 的式子表示，n ∈N *）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知b ＝5，c ＝7若△ABC 还满足下列两个条件中的一个：①a+c b=sinB+sinAsinC−sinA；②cos 2(B−A 2)−sinBsinA =34．请从①②中选择一个条件，完成下列问题．我选择____（填①或者②）．（1）求C ；（2）求对应△ABC 的面积．18．（12分）在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前t 天隧道拱顶的累加总下沉量z （单位：毫米）与时间t （单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示：研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数z ＝ke bt 进行拟合．令u ＝lnz ，计算得：z =1.2，∑ 7i=1(t i −t)(z i −z)=22.3，∑ 7i=1(z i −z)2=27.5，u =−1.2，∑ 7i=1(t i −t)(u i −u)=25.2，∑ 7i=1(u i −u)2=30．（1）试建立z 与t 的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）（2）已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）附：①回归直线y =a +b x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a =y −b x ；②参考数据：√210≈14.5，ln10≈2.3，ln30≈3.4，e 24≈11.0，e 2≈7.38．19．（12分）全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基础和保障，为了研究福州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如表数据：（1）如果认为每周健身超过3次的用户为“喜欢健身”，请完成2×2列联表（见答题卡），根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？（2）每周健身6次及6次以上的用户称为“健身达人”，视频率为概率，在我市所有“健身达人”中，随机抽取4名．福州某瑜伽馆计划对抽出的女“健身达人”每人奖励1000元健身卡，记奖励总金额为Y ，求Y 的数学期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，20．（12分）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性某品牌推出2款盲盒套餐，A 款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含小兔款玩偶；B 款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现小兔款玩偶．（1）甲、乙、丙三人每人购买1件B 款盲盒套餐，记随机变量ξ为其中小兔款玩偶的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）某消费者在开售首日与次日分别购买了A 款盲盒套餐与B 款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为小兔款玩偶，求该小兔款玩偶来自于B 款盲盒套餐的概率．21．（12分）已知f(x)=e x−∑ n k=0xkk!．（1）当n ＝2时，求f （x ）的单调性；（2）求证：f （x ）＝0有唯一实数解．22．（12分）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n （n ∈N *）份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，将其中k （k ∈N *且k ≥2）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k 份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为（k +1）次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p （0＜p ＜1）．（1）现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k ∈N *且k ≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．①若E （ξ1）＝E （ξ2），求P 关于k 的函数关系式p ＝f （k ）； ②已知p =1−e−18，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：ln 2＝0.693，ln 25＝3.219，ln 26＝3.258，ln 27＝3.296，ln 28＝3.332．2022-2023学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A n 2=C nn−3，则n ＝（） A ．6B ．7C ．8D ．9解：A n 2=C nn−3，即n!(n−2)!=n!(n−3)!×3!，故n ﹣2＝3!＝6，故n ＝8．故选：C ．2．（1﹣2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（） A ．12B ．4C ．﹣4D ．﹣8解：（1+x ）4的展开式的通项公式为T r+1=C 4r x r ，则（1﹣2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为C 43−2C 41=4−8=−4．故选：C ．3．某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：千件）的影响．现收集了近5年的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y 关于x 的线性回归方程为y =b x −41，当此公司该种产品的年宣传费为16万元时，预测该产品的年销售量为（）A ．131千件B ．134千件C ．136千件D ．138千件解：由题意得x =4+6+8+10+125=8，y =5+25+35+70+905=45，则样本中心点为（8，45），则45=8b −41，解得b =434，故y =434x −41，令x ＝16，则y =434×16−41=131，故当此公司该种产品的年宣传费为16万元时，预测该产品的年销售量为131千件．故选：A ．4．△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4√3S =(a +b)2−c 2，则sin C 的值是（） A ．√32B ．√63C ．√22D ．12解：因为4√3S =(a +b)2−c 2，又S =12absinC ，所以2√3absinC −2ab =a 2+b 2−c 2，所以√3sinC −1=a 2+b 2−c 22ab ，又cosC =a 2+b 2−c 22ab，所以√3sinC −cosC =1，所以sin(C −π6)=12，又C ∈（0，π），则C −π6∈(−π6，5π6)，所以c −π6=π6，所以C =π3，则sinC =√32．故选：A ．5．将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（） A ．59B ．524C ．14D ．23解：将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为59．故选：A ．6．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A ．8B ．16C ．24D ．32解：梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，所以梯形的个数是16+8＝24，故选：C．7．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A．36B．72C．144D．288解：第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：第一步，从甲校选出2人，有C32=3种选择方式；第二步，2人站在两边的站法种数有A22=2；第三步，从乙校选出1人，有C31=3种选择方式；第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有A22=2．根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有3×2×3×2＝36．同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有36，根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有36+36＝72．故选：B．8．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：Z＞20的为A级，18＜Z≤20的为B级，16＜Z≤18的为C级，14＜Z≤16的为D级，Z≤14的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布N（15，9）．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（）附：P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9773A．4B．5C．6D．7解：由题意得蓝莓果重量Z服从正态分布N（15，9），其中μ＝15，σ＝3，∴p=P(Z≥18)=P(Z≥μ+σ)=1−P(μ−σ＜Z≤μ+σ)2=1−0.68272≈0.2，设第k 次抽到优等果的概率P （X ＝k ）＝0.8k ﹣1•0.2（k ＝1，2，3，⋯，n ﹣1），恰好抽取n 次的概率P （X ＝n ）＝0.8n ﹣1，则E(X)=0.2∑k ⋅0．8k−1n−1k=1+n ⋅0．8n−1，设M =∑k ⋅0．8k−1n−1k=1①，则0.8M =∑k ⋅0．8k n−1k=1②，由①﹣②得0.2M =∑0．8k−1n−1k=1−(n −1)⋅0．8n−1=1−0．8n−11−0.8−(n −1)⋅0．8n−1=5(1−0．8n−1)−(n −1)⋅0．8n−1，∴E （X ）＝0.2M +n •0.8n ﹣1＝5（1﹣0.8n ﹣1）﹣（n ﹣1）•0.8n ﹣1+n •0.8n ﹣1＝5（1﹣0.8n ），5（1﹣0.8n ）≤3，即0.8n ≥0.4，又0.84＝0.4096＞0.4，0.85＝0.32768＜0.4，故n 的最大值为4．故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少派1名医生，则下列结论正确的是（） A ．所有不同分派方案共43种 B ．所有不同分派方案共36种C ．若甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种解：由题意，所有不同分派方案共C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36种，故A 错误，B 正确；对于C ，若甲必须到A 企业，若A 企业有两人，则将其余三人安排到三家企业，每家企业一人，则不同分派方案有A 33=6种，若A 企业只有一人，则不同分派方案有C 32C 11A 22=6种，所以所有不同分派方案共6+6＝12种，故C 正确；对于D ，若甲，乙安排到同一家企业，则将剩下的两人安排到另外两家企业，每家企业一人，则有A 33=6种不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共36﹣6＝30种，故D 正确．故选：BCD ．10．一个袋子有5个大小相同的球，其中有2个红球，3个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出2个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E（X1），D（X1）；试验二：从中随机地无放回摸出2个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E（X2），D（X2）；则（）A．E（X1）＝E（X2）B．E（X1）＞E（X2）C．D（X1）＞D（X2）D．D（X1）＜D（X2）解：由题意得X1∼(2，25)，则E(X1)=2×25=45，D(X1)=2×25×(1−25)=1225，由题意X2可能取值有0，1，2，则P(X2=0)=C32C52=310，P(X2=1)=C21C31C52=610，P(X2=2)=C22C52=110，∴E(X2)=0×310+1×610+2×110=45，D(X2)=310×(0−45)2+610×(1−45)2+110×(2−45)2=925，∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2）．故选：AC．11．(3x√x)6的展开式中，下列说法正确的是（）A．所有项系数和为64B．常数项为第4项C．整式共有3项D．x3项的系数﹣81解：令x＝1，由（3﹣1）6＝26＝64知，所有项系数和为64，故A正确；二项展开式的通项公式为T r+1=C6r(3x)6−r(−1)r x−r2=(−1)r36−r C6r x6−32r，令6−32r=0，解得r＝4，故展开式第5项为常数项，故B错误；当r＝0，2，4时，6−32r∈N，展开式为整式，故C正确；当6−32r=3时，r＝2，T3=(−1)236−2C62x3=1215x3，故D错误．故选：AC．12．已知△ABC中，AB⊥AC，AC=√2AB，点D与点B在直线AC两侧，构成凸平面四边形ABCD，且AD=3，BD=2√6，如图，则CD的长度可以为（）A ．√3B ．1C ．√2D ．3解：设∠ADB ＝θ，在△ABD 中，由正弦定理得AB sinθ=BD sin∠BAD=2√6sin∠BAD，则AB ⋅sin ∠BAD =2√6sinθ，由余弦定理得AB 2=AD 2+BD 2−2⋅AD ⋅BD ⋅cosθ=33−12√6cosθ，在△DAC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2+AC 2﹣2•AD •AC •cos ∠DAC=AD 2+AC 2−2⋅AD ⋅AC ⋅cos(∠BAD −π2)=9+2AB 2−6√2ABsin∠BAD =75−24√3(√2cosθ+sinθ)=75−72sin(θ+φ)，其中sinφ=√63，cosφ=√33，所以当sin （θ+φ）＝1时，CD 2取最小值3，CD 最小值为√3，故A 正确，BC 错误；当sin(θ+φ)=1112时，CD 2＝9，CD ＝3，故D 正确．故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡上．13．现有两批产品，第一批产品的次品率为5%，第二批产品的次品率为15%，两批产品以3：2的比例混合在一起，从中任取1件，该产品合格的概率为 0.91 ．解：设两批产品共取n 件，所以第一批产品中的合格品有0.95×35n =0.57n 件，第二批产品中的合格品有0.85×25n ＝0.34n 件，所以从中任取1件，该产品合格的概率为0.57n+0.34nn=0.91．故答案为：0.91．14．某产品的质量指标服从正态分布N （50，σ2）．质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得σ至多为 1 .（参考数据：若X ～N （μ，σ2），则P （|X ﹣μ|＜3σ）≈0.9974）解：依题可知，μ＝50，又P （|X ﹣μ|＜3σ）≈0.9974，所以要使合格率达到99.74%，则（50﹣3σ，50+3σ）⊆（47，53），所以{50−3σ≥4750+3σ≤53，解得：σ≤1，故σ至多为1．故答案为：1．15．2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为 13．解：甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为C 31A 33=18种；（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为C 31C 32A 22=18种，即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为n ＝18+18＝36．若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为m =C 31A 22+C 31A 22=12，故所求的概率为P =m n =1236=13．故答案为：13．16．我们称n （n ∈N *）元有序实数组（x 1，x 2，⋯，x n ）为n 维向量，|x 1|+|x 2|+⋯+|x n |为该向量的范数．已知n 维向量a →=(x 1，x 2，⋯，x n )，其中x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，⋯n ，记范数为奇数的a →的个数为A n ，则A 3＝ 14 ；A n ＝3n −(−1)n2，（用含n 的式子表示，n ∈N *）．解：当n ＝3时，范数为奇数，则x i ＝0的个数为偶数，即0的个数为0，2，根据乘法原理和加法原理得到A 3=C 30⋅23+C 32⋅23−2=14．当n 为偶数时，范数为奇数，则x i ＝0的个数为奇数，即0的个数为1，3，5，⋯，n ﹣1，根据乘法原理和加法原理得到A n =C n 1⋅2n−1+C n 3⋅2n−3+⋯+C n n−1⋅2， 3n =(2+1)n =C n 0⋅2n +C n 1⋅2n−1+⋯+C n n−1⋅2+C n n ， 1=(2−1)n =C n 0⋅2n −C n 1⋅2n−1+⋯−C n n−1⋅2+C n n ，两式相减得到A n =3n−12；当n 为奇数时，范数为奇数，则x i ＝0的个数为偶数，即0的个数为0，2，4，6，⋯，n ﹣1，根据乘法原理和加法原理得到A n =C n 0⋅2n +C n 2⋅2n−2+⋯+C n n−1⋅2，3n =(2+1)n =C n 0⋅2n +C n 1⋅2n−1+⋯+C n n−1⋅2+C n n， 1=(2−1)n =C n 0⋅2n −C n 1⋅2n−1+⋯+C n n−1⋅2−C n n ，两式相加得到A n =3n+12．综上所述：A n =3n−(−1)n2．故答案为：14，3n −(−1)n2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知b ＝5，c ＝7若△ABC 还满足下列两个条件中的一个：①a+c b=sinB+sinA sinC−sinA；②cos 2(B−A 2)−sinBsinA =34．请从①②中选择一个条件，完成下列问题．我选择____（填①或者②）．（1）求C ；（2）求对应△ABC 的面积．解：（1）选①，因为a+c b=sinB+sinA sinC−sinA，由正弦定理可得a+c b =b+a c−a，即c 2﹣a 2＝b 2+ab ，则cosC =a 2+b 2−c 22ab =−12，又C ∈（0，π），所以C =2π3；选②，因为cos 2(B−A2)−sinBsinA =34，所以1+cos(B−A)2−sinBsinA =34，即cosAcosB +sinAsinB −2sinAsinB =12，即cos(A +B)=−cosC =12，所以cosC =−12，又C ∈（0，π），所以C =2π3；（2）由（1）得C =2π3，由余弦定理得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即49＝a 2+25+5a ，解得a ＝3（a ＝﹣8舍去），所以S △ABC =12absinC =12×3×5×√32=15√34． 18．（12分）在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前t 天隧道拱顶的累加总下沉量z （单位：毫米）与时间t （单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示：研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数z ＝ke bt 进行拟合．令u ＝lnz ，计算得：z =1.2，∑ 7i=1(t i −t)(z i −z)=22.3，∑ 7i=1(z i −z)2=27.5，u =−1.2，∑ 7i=1(t i −t)(u i −u)=25.2，∑ 7i=1(u i −u)2=30．（1）试建立z 与t 的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）（2）已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）附：①回归直线y =a +b x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a =y −b x ；②参考数据：√210≈14.5，ln10≈2.3，ln30≈3.4，e 24≈11.0，e 2≈7.38．解：（1）由题意设z ＝ke bt ，则u ＝lnz ＝bt +lnk ， ∴b =∑ 7i=1(t i −t)(u i −u)∑ 7i=1(t i −t)2=25.228=0.9，lnk =u −bt =−1.2−0.9×4=−4.8，∴k ＝e ﹣4.8， ∴z ＝e 0.9t﹣4.8，当t ＝8时，z ＝e 0.9×8﹣4.8＝e 2.4，故预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为e 2.4毫米；（2）由（1）得z ＝e 0.9t﹣4.8，下沉速率z ′＝0.9e 0.9t﹣4.8，设第n 天下沉速率超过27毫米/天，则0.9e 0.9n﹣4.8＞27，即e0.9n﹣4.8＞30，∴0.9n ﹣4.8＞ln 30，即0.9n ＞3.4+4.8，解得n ＞9.1， ∴第10天该隧道拱顶的下沉速率超过27毫米/天，故最迟在第9天需调整支护参数，才能避免塌方．19．（12分）全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基础和保障，为了研究福州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如表数据：（1）如果认为每周健身超过3次的用户为“喜欢健身”，请完成2×2列联表（见答题卡），根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？（2）每周健身6次及6次以上的用户称为“健身达人”，视频率为概率，在我市所有“健身达人”中，随机抽取4名．福州某瑜伽馆计划对抽出的女“健身达人”每人奖励1000元健身卡，记奖励总金额为Y，求Y的数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，解：（1）由题意得列联表如下：则K2=100(40×15−10×35)250×50×75×25≈1.333＜3.841，∴根据小概率值α＝0.05的独立性检验，“喜欢健身”与“性别”无关；（2）在我市所有“健身达人”中，任选一人为男“健身达人”的概率为3030+20=35，任选一人为女“健身达人”的概率为2030+20=25，则随机变量Y的可能取值为0，1000，2000，3000，4000，则P(Y=0)=(35)4=81625，P(Y=1000)=C41×25×(35)3=216625，P(Y=2000)=C42×(25)2×(35)2=216625，P(Y=3000)=C43×(25)3×35=96625，P(Y=4000)=(25)4=16625，∴E(Y)=0×81625+1000×216625+2000×216625+3000×96625+4000×16625=1600元．20．（12分）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同单品，且必包含小兔款玩偶；B款盲盒套餐包含2款不同单品，有50%的可能性出现小兔款玩偶．（1）甲、乙、丙三人每人购买1件B 款盲盒套餐，记随机变量ξ为其中小兔款玩偶的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）某消费者在开售首日与次日分别购买了A 款盲盒套餐与B 款盲盒套餐各1件，并将6件单品全部打乱放在一起，从中随机抽取1件打开后发现为小兔款玩偶，求该小兔款玩偶来自于B 款盲盒套餐的概率．解：（1）由题意ξ∼B(3，12)，则P(ξ=0)=C 30(12)3=18，P(ξ=1)=C 31(12)3=38， P(ξ=2)=C 32(12)3=38，P(ξ=3)=C 33(12)3=18，所以ξ的分布列为：E(ξ)=0×18+1×38+2×38+3×18=32；（2）设事件A ：随机抽取1件打开后发现为小兔款玩偶，设事件B 1：随机抽取的1件单品来自于A 款盲盒套餐，设事件B 2：随机抽取的1件单品来自于B 款盲盒套餐，P(A)=P(B 1)⋅P(A|B 1)+P(B 2)⋅P(A|B 2)=46×14+26×12×12=14，故由条件概率公式可得：P(B 2|A)=P(AB 2)P(A)=P(B 2)⋅P(A|B 2)14=11214=13，即该小兔款玩偶来自于B 款盲盒套餐的概率为13．21．（12分）已知f(x)=e x −∑n k=0x kk!．（1）当n ＝2时，求f （x ）的单调性；（2）求证：f （x ）＝0有唯一实数解．解：（1）当n ＝2时，f(x)=e x −(1+x +x 22)，f ′（x ）＝e x ﹣（1+x ），令h （x ）＝e x ﹣（1+x ），则h ′（x ）＝e x ﹣1，当x ＞0时，h ′（x ）＞0，当x ＜0时，h ′（x ）＜0，所以函数h （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）min ＝h （0）＝0，所以f ′（x ）＝e x ﹣（1+x ）＞0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增；（2）证明：令f(x)=e x−(1+x +x 22!+x 33!+x 44!+⋯+x nn!)=0，即e x=1+x +x 22!+x 33!+x 44!+⋯+x n n!，即(1+x +x 22!+x 33!+x 44!+⋯+x n n!)e −x=1，令g(x)=(1+x +x 22!+x 33!+x 44!+⋯+x nn!)e −x ，则g ′(x)=(1+x +x 22!+x 33!+⋯+x n−1(n−1)!)e −x−(1+x +x 22!+x 33!+⋯+x n n!)e −x =−x n n!e −x ，当n 为偶数时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，因为g （0）＝1，所以g （x ）＝1有唯一解x ＝0，当n 为奇数时，若x ＜0，则g ′（x ）＞0，g （x ）在（﹣∞，0）单调递增，若x ＜0，则g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，+∞）单调递减，所以g （x ）max ＝g （0）＝1，所以g （x ）＝1有唯一解x ＝0，综上，f （x ）＝0有唯一实数解x ＝0．22．（12分）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有n （n ∈N *）份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验n 次；方式二：混合检验，将其中k （k ∈N *且k ≥2）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k 份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为（k +1）次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为p （0＜p ＜1）．（1）现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k ∈N *且k ≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．①若E （ξ1）＝E （ξ2），求P 关于k 的函数关系式p ＝f （k ）； ②已知p =1−e−18，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？参考数据：ln 2＝0.693，ln 25＝3.219，ln 26＝3.258，ln 27＝3.296，ln 28＝3.332．解：（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A ，事件A 分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，所以P(A)=C 32C 41A 33+A 44A 74=435，所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为435，（2）①由已知得E （ξ1）＝k ，ξ2的所有可能取值为1，k +1，所以P(ξ2=1)=(1−p)k ，P(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ，所以E(ξ2)=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k ，若E （ξ1）＝E （ξ2），则k ＝k +1﹣k （1﹣p ）k ，所以k （1﹣p ）k ＝1，(1−p)k =1k，所以1−p =(1k )1k ，得p =1−(1k )1k ，所以P 关于k 的函数关系式p =f(k)=1−(1k)1k （k ≥2且k ∈N *）②由①知E （ξ1）＝k ，E(ξ2)=k +1−ke −k8，若E （ξ1）＞E （ξ2），则k ＞k +1−ke −k 8，所以1−ke −k 8＜0，得ke −k8＞1，所以lnk −k8＞0（k ≥2且k ∈N *）令f(x)=lnx −x 8(x ≥2，x ∈R)，则f ′(x)=1x −18=8−x8x (x ≥2，x ∈R)，当2≤x ＜8时，f ′（x ）＞0，当x ＞8时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在[2，8）上单调递增，在（8，+∞）上单调递减，因为f(2)=ln2−28≈0.693−0.25＞0，f(26)=ln26−268≈3.258−3.25＞0， f(27)=ln27−278≈3.296−3.375＜0，所以不等式E （ξ1）＞E （ξ2）的解是k ∈[2，26]且k ∈N *，所以k ∈[2，26]且k ∈N *时，E （ξ1）＞E （ξ2），采用方案二混合检验方式好， k ∈[27，+∞）且k ∈N *时，E （ξ1）＜E （ξ2），采用方案一逐份检验方式好．。

福建省福州市八县(市)一中2018_2019学年高二数学下学期期末联考试题文(含解析)

福建省福州市八县（市）一中2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）。

1.设集合{|13}A x x =-≤≤，{|ln(2)}B x y x ==-，则A B =（ )A. [3,2)-B. (2,3]C. [1,2)-D. (1,2)-【答案】C 【解析】【分析】先计算集合B ，再计算AB 得到答案.【详解】(){|ln 2}{|2}B x y x B x x ==-⇒=<{|13}A x x =-≤≤A B ={|12}x x -≤<故答案选C【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2.已知函数y =的值域为[0,)+∞，求a 的取值范围为（） A. 1a ≥ B. >1aC. 1a ≤D. <1a【答案】A 【解析】【分析】对a 进行讨论，然后将y =[)0,+∞，转换为 ()211a x ax -++值域包含[)0,+∞，计算得到答案.【详解】当1a =时，y =[)0,+∞，符合题意；当1a ≠时，要使y =[)0,+∞，则使21014(1)0a a a a ->⎧⇒>⎨∆=--≥⎩ . 综上，1a ≥. 故答案选A【点睛】本题考查了函数的值域问题，意在考查学生的计算能力.3.定义在R 上的奇函数()f x ，满足在(0,)+∞上单调递增，且(1)=0f -，则(+1)>0f x 的解集为（） A. (,2)(1,0)-∞-⋃- B. (0,)+∞C. (2,1)(1,2)--⋃D. (2,1)(0,)--⋃+∞【答案】D 【解析】由函数性质可知，函数()f x 在(),0-∞上单调递增，且()10f =．结合图象及(1)0f x +>可得110x -<+<或11x +>，解得21x -<<-或0x >．所以不等式的解集为()()2,10,--⋃+∞．选D ．4.设0.46a =，0.4log 0.5b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A. <<a b c B. <<c b aC. <<c a bD. <<b c a【答案】B 【解析】【分析】分别判断a ，b ，c 与0,1的大小关系得到答案. 【详解】0.40661a =>=0.40.40.40log 1log 0.5log 0.41b =<=<=88log 0.4log 10c =<=<<c b a故答案选B【点睛】本题考查了根据函数单调性判断数值大小，01分界是一个常用的方法.5.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2(xf x m m =+为常数），则 ()1f -=（） A. 3 B. 1C. 1-D. 3-【答案】C 【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()010,1,0f m m x =+=∴=-≥时，()21x f x =-，()()()1121=1f f ∴-=-=---，故选C.6.已知1()sin 2f x x x =-，则()f x 的图像是（） A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除B ，D ，再根据函数值即可判断．【详解】∵f（﹣x ）=1sin 2x x -+ =﹣f （x ）， ∴f（x ）为奇函数，∴图象关于原点对称，故排除B ，D 当x=2π时，f （2π）=4π﹣1＜0，故排除C ，故选：A ．【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．7.”log 0a b >（>0a 且1a ≠）”是”>1a 且>1b ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由对数函数的性质得到a 和b 的范围，然后根据必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】由log a b ＞0得：“a＞1且b ＞1“或“0＜a ＜1且0＜b ＜1“，又“a＞1且b ＞1“或“0＜a ＜1且0＜b ＜1“是“a＞1且b ＞1”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题之间的关系即可．8.已知函数()224,0,{4,0.x x x f x x x x +≥=-<若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是（） A. ()(),12,-∞-⋃+∞ B. ()1,2-C. ()2,1-D. ()(),21,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】因为函数()f x 为R 上单调递增奇函数，所以由f (2－a 2)＞f (a )得2222021a a a a a ->⇒+-<⇒-<< ，选C.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内9.偶函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +为奇函数，且1(0)=f ，则(2019)+(2020)=f f（） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据题意计算函数周期，再计算数值得到答案. 【详解】偶函数()f x ，()1f x + 为奇函数()1(1)f x f x +=--+，且(1)(1)0f f =-=()1(1)()(2)()(2)()(4)f x f x f x f x f x f x f x f x ⇒+=--+⇒=--+⇒=--⇒=-函数周期为4(2019)+(2020)=(-1)+(0)=1f f f f故答案选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的周期性，根据题意计算出周期是解题的关键.10.若2,242k k ππαππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭()k ∈Z 则sin α，cos α，tan α的大小关系为（） A. tan sin cos ααα>> B. tan cos sin ααα>> C. tan sin cos ααα<< D. tan cos sin ααα<<【答案】A 【解析】【分析】根据范围判断sin α，cos α，tan α的大小关系得到答案. 【详解】()2,21sin cos 42k k k Z ππαππαα⎛⎫∈++∈⇒>> ⎪⎝⎭tan 1α>故tan sin cos ααα>> 答案选A【点睛】本题考查了三角函数值的大小关系，属于简单题.11.设x ∈R ，则使lg(1)1x +<成立的必要不充分条件是（） A. 19x -<< B. 1x >-C. 1x >D. 19x <<【答案】B 【解析】【分析】解不等式()lg 11x +<可得19x -<<，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由()lg 11x +<可得0110x <+<，解得19x -<<．选项A 中，“19x -<<”是“()lg 11x +<”成立的充要条件，所以A 不符合题意；选项B 中，由“1x >-”成立不能得到“19x -<<”成立，反之，当“19x -<<”成立时，“1x >-”成立，所以“1x >-”是“19x -<<”的必要不充分条件，所以B 符合题意；选项C 中，“1x >”是“19x -<<”既不充分也不必要条件，所以C 不符合题意；选项D 中，“19x <<”是“19x -<<”的充分不必要条件，所以D 不符合题意．故选B ．【点睛】解题的关键是正确理解“使()lg 11x +<成立的必要不充分条件”的含义，即由()lg 11x +<可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到()lg 11x +<成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．12.设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（）A. ()0()g a f b <<B. ()0()f b g a <<C. 0()()g a f b <<D. ()()0f b g a <<【答案】A 【解析】【详解】试题分析：对函数()2xf x e x =+-求导得()=1xf x e '+，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，所以()0()g a f b <<. 考点：利用导数求函数的单调性.【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数()2xf x e x =+-求导得()=10x f x e +>'，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，进一步求得函数()2x f x e x =+-的零点01a <<；同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知2()ln 3g x x x =+-的零点1b >，所以∴g （a ）＝lna +a 2﹣3＜g （1）＝ln 1+1﹣3＝﹣2＜0，f （b ）＝e b +b ﹣2＞f （1）＝e +1﹣2＝e ﹣1＞0．即()0()g a f b <<.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．） 13.已知函数93x y a -=（0a >且1a ≠）恒过定点(,)A m n ，则log m n =__________．【答案】12【解析】【分析】先通过定点计算A 坐标，代入计算得到答案.【详解】函数93x y a-=（0a >且1a ≠）恒过定点(9,3)9,3m n ==， 1log 2m n =故答案为12【点睛】本题考查了函数过定点问题，对数的计算，意在考查学生的计算能力.14.若函数()224,4{log ,4x x x f x x x -+≤=>在区间(,1)a a + 单调递增，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(,1][4,)-∞⋃+∞ 【解析】【解析】由题意得12,a +≤ 或4a ≥ ，解得实数a 的取值范围为][(),14,-∞⋃+∞点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.15.已知曲线ln y x =的切线过原点，则此切线的斜率为__________．【答案】1e【解析】【详解】y=lnx 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则1|x x k Y x ︒=︒='=,所以切线方为 y-y 0= 1x ︒(x-x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以11|x x k Y x e︒=︒=='=.16.如果关于x 的方程23a x x x+=有两个实数解，那么实数a 的值是__________．【答案】0或2± 【解析】【分析】将23a x x x+=通过参数分离转换为对应函数，画出图形得到答案. 【详解】方程3233a x a x x x x+=⇒=-+设32()3'()3301f x x x f x x x =-+⇒=-+=⇒=±根据图像知：a 等于0或2± 故答案为：0或2±【点睛】本题考查了方程的解，通过参数分离转化为函数交点是解题的关键.三：解答题（17-21题各12分，22题10分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩．（1）若=1a ，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(2,3)；（2）(1,2]. 【解析】【分析】（1）p q ∧为真, ,p q 均为真命题，分别计算范围得到答案. （2）p 是q 的必要不充分条件，根据表示范围关系解得答案.【详解】解：:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中>0a ，解得<<3a x a命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，解得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，即23x <≤．（1）1a =时，1<x<3p ：p q ∧为真，可得p 与q 都为真命题，则1323x x <<⎧⎨<≤⎩解得23x <≤．所以实数x 的取值范围是()2,3（2）p 是q 的必要不充分条件，233a a ≤⎧∴⎨<⎩，0a >解得12a <≤.∴实数a 的取值范围是(1,2]．【点睛】本题考查了命题与充分必要条件，属于简单题型.18.已知函数()sin cos f x x x =-，（1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；（2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值。

福建省福州八县(市)一中2012-2013学年高二数学下学期期末联考试题理新人教A版

高二下学期期末联考数学（理）试题参考公式:（2）：,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量。

（3）：1122211()()ˆˆ()nni iii i i n ni ii i x ynx yxx y y b ay bx x nx xx ====---==---∑∑∑∑ =，一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、若34C C n n =，则()!3!3!n n -的值为（）。

A 、1B 、20C 、35D 、72、今有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）。

A 、32种B 、10种C 、25种D 、20种3、已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为()。

A 、4B 、5C 、6D 、74、设集合A={1,2,3,4,5}，B ⊆A ，已知1∈B,且B 中含有3个元素，则集合B 有( ) A 、24A 个B 、24C 个 C 、35A 个 D 、35C 个5、三位同学独立地做一道数学题，他们做出的概率分别为21、31、41，则三位同学能够将此题解答出的概率为（）。

A 、0.25B 、0.5C 、0.6D 、0.75 6、已知某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且∧∧+=a x y 95.0，则据此模型预报广告费用为5万元高二数学（理科）试卷第 1 页共4页时销售额为（）。

A 、2.65万元B 、8.35万元C 、7.35万元D 、9.35万元7、某单位订阅了5份相同的学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料，问不同的发放方法有（）。

A 、150种B 、10种C 、12种D 、6种8、从1,2, 3,4,5,6,7中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (|B A )等于（）。

福建省福州市八县(市)一中2018_2019学年高二数学下学期期末联考试题理(含解析)

福建省福州市八县（市）一中2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.()(2)(3)(4)(15),15x x x x x N x +----∈>可表示为（）A. 132x A - B. 142x A -C. 1315x A -D. 1415x A -【答案】B 【解析】【分析】根据排列数的定义可得出答案。

【详解】()()()()()()()()()()234151621234151621x x x x x x x x x x -----⋅----=-⋅()()()()1422!2!16214!x x x A x x ---===-⎡⎤--⎣⎦！，故选：B. 【点睛】本题考查排列数的定义，熟悉排列数公式是解本题的关键，考查理解能力，属于基础题。

2.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l 1和l 2，已知在两人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t ，那么下列说法正确的是( ) A. 直线l 1和直线l 2有交点(s ，t ) B. 直线l 1和直线l 2相交，但交点未必是点(s ，t )C. 直线l 1和直线l 2必定重合D. 直线l 1和直线l 2由于斜率相等，所以必定平行【答案】A 【解析】【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。

【详解】由于回归直线必过样本的数据中心点，则回归直线1l 和回归直线2l 都过点(),s t ，做了两次试验，两条回归直线的斜率没有必然的联系，若斜率不相等，则两回归直线必交于点(),s t ，若斜率相等，则两回归直线重合，所以，A 选项正确，B 、C 、D 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查回归直线的性质，考查“回归直线过样本数据的中心点”这个结论，同时也要抓住回归直线的斜率来理解，考查分析理解能力，属于基础题。

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2016—2017学年度第二学期八县(市)一中期末联考高中二年数学理科试卷完卷时间：120分钟满分：150分附：1、回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()2121121ˆx n xy x n yx x x y yx x b ni ini ii ni ini ii--=---=∑∑∑∑====，ˆˆˆay bx =-. 2、得2K 观测值()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22)(02k K P ≥0.10 0.05 0.005 0k2.7063.8417.8793、若X ～()2,N μσ，则()0.6826=+≤≤-σμξσμp ，()0.954422=+≤≤-σμξσμp()0.997433=+≤≤-σμξσμp4、条件概率公式 ()()()()()A n AB n A P AB P A B P ==一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、某校从高中三个年级中各选取1名学生干部参加某项校外活动，若高一、高二、高三年级分别有2,3,4个学生干部备选，则不同选法有（）。

A 、 9种B 、10种C 、12种D 、24种2、在6件产品中有4件合格品，2件次品，产品检验时，从中抽取3件，至少有1件次品的抽法有（）。

A 、10B 、16C 、32D 、243、已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ai3(i ＝1,2,3,4,5)，则P (1＜X ＜4)等于( )。

A 、31 B 、53 C 、a 35 D 、a394、6个人排成一排，对排位顺序有如下要求，甲不能排在第一位，乙必须排在前两位，丙必须排在最后一位，那这样排位方法有（）种。

A 、54种 B 、48种 C 、42种 D 、36种5、某人将密码“19923”记错密码数字顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)( )。

A 、120B 、119C 、60D 、596、将5名大学生分配到A,B,C 3个乡镇去任职，每个乡镇至少一名，那么A 镇分得两位大学生的概率为（）。

A 、51 B 、52C 、32D 、417、某厂生产的零件外直径ξ~N （10，0.09），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为11cm 和9.3cm ，则可认为（）。

A 、上午生产情况正常，下午生产情况异常B 、上午生产情况异常,下午生产情况正常C 、上、下午生产情况均正常D 、上、下午生产情况均异常8、由1,2,3,4,5,6,六个数字组成一个无重复数字的六位数,则有且只有2个偶数相邻的概率为（）。

A 、15 B 、25 C 、35 D 、3109、在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 3项的系数是( )。

A 、－25B 、－5C 、5D 、25 10、三个元件123T ,T ,T 正常工作的概率分别为43,41,21，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大( )。

A 、3213 B 、327 C 、3215 D 、 32311、盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，任意摸出2个球使用，已知其中一个是新球的条件下，另一个也是新球的概率为（）。

A 、135 B 、185 C 、31 D 、9512、()72345670123456712x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则代数式71615141312121765432a a a a a a a a a a a a a ++++++的值为（）。

A 、98B 、-98C 、-196D 、196二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －4)＝P (ξ>2a ＋2)，则a 的值为。

14、若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝34，D (ξ)＝98，则P (ξ＝1)的值为。

15、设编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒子内投放一个球，并且恰好有1个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为________．16、如图，是在竖直平面内的一个“通道游戏”。

图中竖直线段和斜线段表示通道，并且在交点处相遇，假设一个小弹子在交点处向左或向右是等可能的。

若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，...，依此类推，现有一颗小弹子从第一层的通道向下运动。

猜想该小弹子落入第n+1层的第m 个通道里的概率。

？T？T ？T入口第一层第二层第三层第四层三、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤（共70分）。

17、(10分)在极坐标系中，圆 C 以点C 为半径为圆心2,3,2⎪⎭⎫⎝⎛π。

在以极点为原点,以极轴为x 轴正半轴且单位长度一样的直角坐标系中,直线l 的参数方程为122(332x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,．若点P 的坐标为(2，3)，求PA PB +．18、(12分) 若22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中前三项的二项式系数之和等于22，（1）求该展开式中含21x项的系数（2）求展开式中系数绝对值最大的项的系数 19、(12分)某冻品店为了解气温对其销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单o x 3 6 9 8 9 y1210887（1）利用最小二乘法求出y 与x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）设该地1月份的日最低气温X ～()2,x x Nσμ，其中x μ近似为样本平均数x ，2xσ近似为样本方差2xs ，该地1月份的最高气温ξ与最低气温x 的关系为12+=x ξ且ξ～()2,ξξσμN ，其中ξμ近似为最高气温的平均数，2ξσ近似为最高气温的方差2ξs ，求().2424.01≤≤ξp .附：①11.5130≈ 3.2 1.8≈，若X ～()2,N μσ，则()0.6826=+≤≤-σμξσμp ，()0.954422=+≤≤-σμξσμp附：②回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()2121121ˆx n xy x n yx x x y yx x b ni ini ii ni ini ii--=---=∑∑∑∑====，ˆˆˆay bx =-.20、(12分)某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成。

该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见。

下面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图。

（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？赞成不赞成合计城镇居民农村居民合计注：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=其中,))()()(()(22)(02k K P ≥0.10 0.05 0.005 0k2.7063.8417.879（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为x ，试求x 的分布列及数学期望()x E 。

21、（12分）袋中共有6个球，其中有2个白球，4个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n x ．（1）求随机变量2x 的概率分布列及数学期望()2x E ；（2）求随机变量n x 的数学期望()n x E 关于n 的表达式． 22、(12分)在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)曲线1C 横坐标扩大为原来的两倍,纵坐标扩大为原来的三倍得到曲线2C 。

(1)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴且单位长度一样的极坐标系中,求曲线2C 的极坐标方程 (2)若N M ,两点在曲线2C 上，且ON OM ⊥.求2211ONOM+的值．(3)3231(,.1x tC t P C P C y t =-⎧⎨=+⎩已知的参数方程为为参数)，为上的一点求点到直线的最大距离农村城镇不赞成赞成0.6 0.40.2 0.8∵2016-2017八县一中高二年段期末试卷答案一、选择题:12题，每题5分，计60分二、填空题:4题，每题5分，共20分13 2 14 813215 45 16 n m n C 21-17、解：（1）圆C 的极坐标方程为)3cos(4πθρ-=)4)3()1((0322sin 32cos 2sin 32cos 222222=-+-=--+∴+=+=y x y x y x C 或的直角坐标方程为：圆θρθρρθθρ--------------4分（2）∵直线l 122()332x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数恰过定点P (2，3) 将122()332x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数代入圆C 的直角坐标方程,得230t t --=12121214(3)130,10,3,t t t t t t ∴∆=-⨯-=>+=>⋅=-∴异号2121212()413PA PB t t t t t t ∴+=-=+-=-----------10分18.解：（1）∵该展开式中前三项的二项式系数之和等于2222210=++∴n n n C C C 222)1(1=-++∴n n n 6)(70422=-==-+∴n n n n 或舍去解得 --------------------3分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBACDBBCCCAD----------------------------------------8分--------6分 ------------------------6分602)1(14)60(2262)1()2()2(,64624226662661=⋅-∴=∴∈≤≤-=-⋅⋅-=-⋅⋅==*---+C xr N r r r x C x x C T n rr r r r r r r()96-21-5605285235231523222212)1()2()2(1)2(566-105821662642166261126662661=∴=∴∈≤≤≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥∴⎩⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅∴⎩⎨⎧≥≥+⋅⋅-=-⋅⋅=∴*+---+--+---+C r N r r r r r C C C C a a a a a r x C xx C T r r r r r r r r r r r r r rr r r r r r r 最大的项的系数为该展开式中系数绝对值取且解得得项，系数绝对值记为值最大的项为第设该展开式中系数绝对）由（Θ19. 解：(1)∵令5n =,113575n i i x x n ====∑， 114595n i i y y n ====∑, ---------------------2分∴()()15(37)(129)(67)(109)(97)(89)(87)(89)(97)(79)20iii y x x y ==--+--+--+--+---=--∑22222215()(37)(67)(97)(87)(97)26ii x x =-=-+-+-+-+-=∑——————————4分∴ˆ26201013b-==- ∴10187971ˆ313ˆˆa y bx ⎛⎫=-=--⨯=⎪⎝⎭———————5分 ∴所求的回归方程是1018713ˆ13yx =-+-------------------6分 (2)由(1)知267,5x x =该地当日最低气温的方差为 —————————7分22262115,452130 4.65x s ξξξμσσ=+===⨯∴=≈-------------------------------9分----------------------------------------7分---------------8分------------------------------------10分---------------------------------------12分∵()()()()()()10.424.222112222110.68260.9544220.34130.47720.8185P P P P P P ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξμσξμσμσξμμξμσμσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+=-≤≤+≤≤+=-≤≤++-≤≤+=⨯+⨯=+=-----------12分 20.解：赞成不赞成合计城镇居民 30 15 45 农村居民45 10 55 合计7525100得2K 观测值222()100(300675) 3.03 3.841()()()()45557525n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯---------5分所以，我们没有95%的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关” -----------------6分（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6抽中农村户口家长的概率为0.4X 的可能取值为0,1,2,3 -----------------------7分3123223333(0)(0.4)0.064(1)0.6(0.4)0.288(2)(0.6)0.40.432(3)(0.6)0.216P X P X C P X C P X C =====⨯⨯===⨯⨯===⨯=---------------------10分所以的分布列为()00.06410.28820.43230.2161E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X123P0.0640.2880.4320.216-----------------------------------------2分-----------------------------------11分. -------------------------12分 21.依题意可得：2X 的取值为2,3,4.----------------------------------------1分当2X =2时，即两次摸球均摸到白球，其概率为91)2(161216122=⨯==C C C C X P ；------------2分当2X =3时，即两次摸球恰好摸到一白，一黑，其概率为95)3(16131614161416122=+==C C C C C C C C X P ----3分当2X =4时，即两次摸球均摸到黑球，其概率是31)4(161316142=⨯==C C C C X P 。