第二章有限元法一般原理3
第二章有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理1. 引言有限元法(Finite Element Method, FEM)是一种数值分析方法，用于解决工程和科学领域中的复杂物理问题。
它通过将连续的物理领域离散化成许多小元素，通过求解代表元素之间关系的离散方程来近似解决原问题。
本章将介绍有限元法的基本原理。
2. 有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将复杂的问题分割成更小的、易于处理的部分，通过求解这些部分的解，并通过它们之间的关系来得到整体解。
在有限元法中，将连续问题离散化为有限元模型，分为以下几个步骤：2.1 建立几何模型首先，根据实际问题建立几何模型。
几何模型可以是二维或三维的，通常使用节点和单元表示。
节点表示模型中的离散点，单元表示连接节点的几何形状。
2.2 确定节点自由度每个节点都有与之关联的自由度，它们是用来表示节点状态的参数。
常见的自由度有位移、温度等。
2.3 建立单元和节点之间的关系根据单元类型和节点连接关系，建立单元与节点之间的关系。
通常，一个单元由若干个节点组成。
2.4 建立元素刚度矩阵根据单元类型和材料参数，建立元素刚度矩阵。
2.5 建立整体刚度矩阵利用单元刚度矩阵和节点关系，建立整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵由元素刚度矩阵按照节点自由度的排列组成。
2.6 施加边界条件和载荷根据实际问题，施加边界条件和载荷。
边界条件可以是位移、力或温度等。
2.7 求解方程通过将边界条件和载荷应用于整体刚度矩阵，可以得到未知节点的解答。
3. 有限元法的优缺点3.1 优点•适用于复杂几何形状和复杂边界条件的问题。
有限元法可以通过将问题离散化为小元素来逼近实际几何形状和边界条件。
•高精度的数值解。
有限元法通过增加节点数量和使用高阶元素可以得到更精确的数值解。
•灵活性。
有限元法可以灵活地处理不同类型的物理问题，例如结构力学、热传导、电磁场等。
3.2 缺点•需要大量的计算资源。
有限元法需要求解大型稀疏矩阵，这导致了计算资源的要求较高。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
有限元原理与应用
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
二、单元分析
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
第二节 平面刚架有限元法
三、坐标变换
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
五 约束处理
第二节 平面问题有限元法
六 求解线方程组
七 计算其它物理量
第二节 平面问题有限元法
八 计算结果处理
第二节 轴对称问题有限元法
二、单元分析
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
三、单元刚度矩阵
第二节 轴对称问题有限元法
第二节 平面问题有限元法
3 总刚矩阵的特点
第二节 平面问题有限元法
3 总刚矩阵的特点
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
四 载荷移置
第二节 平面问题有限元法
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组12()()()0A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Ω内） （2-1）域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件12()()()0B B B ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Γ内） （2-2）要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：()()()0A k k q x x y yφφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ （在Ω内） （2-3）0()0q B k q n φφφφφ⎧-=Γ⎪=⎨∂-=Γ⎪∂⎩（在上）（在上） （2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
第二章 杆系结构的有限元法分析
F ⓔ Fxi
Fyi
Fzi
M xi
M yi
M zi
Fxj
Fyj
Fz j
M xj
M yj
T
M zj
EA
EA
l
0
0
0
0
0
0
l
0
0
0
0
Fxi
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12EI l3
z
0
0
0
6 EI z l2
ui
Fyi
0
0
12EI y l3
0
6EI y l2
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
第八步：引入边界条件
第二章-杆和梁结构的有限元法案例
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元 法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移
单元特性
系统平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
第二章 杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
有限元法基本原理
有限元法基本原理
有限元法是最先应用于航空工程结构的矩阵分析方法，主要用来解决复杂结构中力与位移的关系。
有限元法的基本思想:将具有无限个自由度的连续的求解区域离散为具有有限个自由度、且按一定方式(节点)相互连接在一起的离散体(单元)，即将连续体假想划分为数目有限的离散单元，而单元之间只在数目有限的指定点处相互联结，用离散单元的集合体代替原来的连续体。
一般情况下，有限元方程是一组以节点位移为未知量的线性方程组，解次方程组可得到连续体上有限个节点上的位移，进而可求得各单元上的应力分布规律。
有限元方法求解问题主要分为以下几步:（1）结构的离散化
将已连续体线性沦为单元组合体；（2）挑选加速度模式
即假定单元中位移分布是坐标的某种函数，位移模式一般选为多项式的函数；
（3）单元力学特性分析
利用弹性力学的平衡方程、几何方程、物理方程和虚功原理得到单元节点力和节点位移之间的力学关系，即建立单元刚度矩阵；
（4）排序耦合节点力根据机械功成正比原则，用耦合节点Courtomer替代所有促进作用于单元边界或单元内部的载荷；
（5）建立整个结构的所有节点载荷与节点位移之间的关系（整体结构平衡方程），即建立结构的的总体刚度矩阵；
（6）边界条件
排除结构发生整体刚性位移的可能性。
（7）求解线性方程组
方程组存有唯一求解，即为获得结构中各节点的加速度，单元内部加速度通过插值获得。
（8）后处理与计算结果评价。
计算固体力学(有限元以及无网格方法)
σz ≠ 0
E 1− µ2
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的 E 换成
µ 换成 1 − µ 即可。 即可。
µ
1 E (1 − µ ) µ [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ 0
µ
1− µ 1 0
0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
{ε } = [ B ]{δ }e
i ( xi , yi )
y
vm
Hale Waihona Puke m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
ui
j(x j , y j )
由于[ 是常量， 由于[B]是常量，单元内各点应变分 量也都是常量， 量也都是常量，这是由于采用了线性位 移函数的缘故， 移函数的缘故，这种单元称为三角形常 应变单元。 应变单元。
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后， 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi
u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j u m = α 1 + α 2 xm + α 3 y m
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
O
x
三角形单元
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm yi
有限元ppt课件
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
力,它反映了内力在截面上的分布密度。
z
y
o
zx
xz
z zy
yz
切应力互等定律 xy yx , xz zx , yz zy
y
应力矩阵
x xy
yx
T
x y z xy yz zx
y
x
z
微分体的应力分量
v y w z u v
0
0
yz
zx
y x y
v
w
0
y
0
x
0
z
u v
0
w
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
计算材料学-第二章
j
i
m
y
j
j
i
m
x
m
i
单元内的局部编码
当区域划分完毕，结点编码定义后在随后的分析计算中 就要保持不变。这部分工作可以通过计算机编程来自动完成。
单元分析和单元刚度矩阵的建立
单元分析是有限元计算的主要部分。单元分 析是建立结点力和位移之间的关系，即建立单元 刚度矩阵。
单元位移函数的选择和形函数
单元位移函数就是把单元中任意一点的位移近似的表 示为该点坐标x和y的某种函数，该位移表达式就被称为 单元的位移函数，可表示为：
有限元法进行结构分析时，可以分为单 元分析和整体结构分析。
单元分析的任务是探讨单个单元的特性，并为求 解单个单元的特性建立方程；
整体结构分析是把所有的单元集合起来成为整体 结构，并建立结构方程。
有限元法得到是一种近似的数值解，随着网格的 加密，等效集合体逼近于真值，并收敛于精确解。
有限元法的计算步骤
根据力的独立作用原理，当存在其他应力分量如sy和txy 时，外力所做的功的储存在微元体内的应变能为：
dU
1s
2
xe xdxdy
1 2
s
ye
y dxdy
1t
2
xy
xydxdy
1 2
(s
xe x
s
ye y
t xy
xy )dxdy
令
U
1 2
(s xe x
s
ye y
t xy
xy )
可写成矩阵形式：
U
1
上式就是用于弹性体分析时的虚位移原理的数学表达 式，应该指出上式是在原有的外力、应力、温度及速度均 保持不变，也就是没有热能或动能损失时适用的。其含义 是虚应变能的增加等于外力内能的减小，即等于外力所作 的虚功。
有限单元法 第2章 杆系结构的有限元法分析
义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等 效 结 点 荷 载 矩 阵 ’ 这 里 要 指 出 的 是 ) 分 布 荷 载 ! .$
! # !! !
! # $! !
! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并 进一步 计算各 单元 的应力 分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移 及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够 由计算 机自 动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #
有限元分析及应用
应力边界条件
58
.
53
二维问题：应力边界条件
xlyxmX xylymY
59
.
54
圣维南原理（局部影响原理）
物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等
效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离
这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。
60
.
55
61
.
56
62
.
57
均匀分布载荷作用 下的平板，应力分 布是均匀的。
工程领域中不断得到深入应用，现已遍及
宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、
海洋等工业，是机械产品动、静、热特性
分析的重要手段。早在70年代初期就有人
给出结论：有限元法在产品结构设计中的
应用，使机电产品设计产生革命性的变化，
理论设计代替了经验类比设计。
5
.
5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
-0 .0 2
-0 .0 0 1
-0 .0 4
-0 .0 0 2
-0 .0 6
-0 .0 0 3
0 .0 5 4
0 .0 5 6
0 .0 5 8
0 .0 6
X
-0 .0 8
-0 .1 0
0 .0 2
0 .0 4
0 .0 6
0 .0 8
0 .1
0 .1 2
X
29
.
27
30
.
28
受垂直载荷的托架
31
从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中 未标出），是四面微分体的高。
56
.
51
设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分
有限元法概论
u2 2P k1 = u3 2P k1 +P k2
弹簧系统（ 弹簧系统（二）
弹簧（Spring）单元小结 弹簧（Spring）
每个节点1 每个节点1个节点自由度 u 2个节点 i, j 1个输入参数 k 每个节点1 每个节点1个节点力 f 单元刚度矩阵 K e = k −k −k k
例1
单元刚阵 总刚的组装
−k1 k k K = 1 , K 2 = 2 −k −k 1 k1 2
有限单元的类型
一维单元
弹簧、桁架杆、 弹簧、桁架杆、梁、管道等 单元
二维单元
平面问题、薄膜、 平面问题、薄膜、板壳等单 元
三维单元
实体单元
著名有限元法商业软件
ANSYS、MSC－NASTRAN、 ANSYS、MSC－NASTRAN、COSMOS
通用（结构、 通用（结构、热、电磁；线性、非线性） 电磁；线性、非线性）
弹簧2 弹簧2 的受力
f 2 = − f 2i = f 2 j = 200 (N)
杆件系统的有限元法（ 杆件系统的有限元法（一）
y
杆（Bar）单元——二维 Bar）单元——二维
f ′ 1 −1 ui′ i =k f j′ −1 1 u ′j
总体节点力列阵
总体节点自由度列阵
0
− k2
0 u1 F1 −k2 u2 = F2 k2 u3 F3
“有限元法原理及应用”讲义-2012
二、最小总势能原理
一个“系统”是一个结构加上作用与其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功 为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势 能定义为 0，则在任何可能的构形上任何一部分外力的势能就是“0 － 外力所作的功” 。 如何对系统总势能进一步理解？ 系统总势能用符号 p 表示， 它是系统位移的泛函， 对于系统每一个 “可能位移” （场） ， 系统有一个总势能与之对应。它是系统的一个状态函数。 “可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。 举例：对于一个图 1-1 所示，一端受集中力 P，具有刚度 k 的单自由度线性弹簧。
d p kDeq dD PdD 0
2
所以： Deq
P k
该结果与静力学求出的结果相同！ 2、多自由度系统、矩阵形式 如果决定一个系统的构形需要 n 个独立的量， 那么这个系统就具有 n 个自由度， 称为广 义坐标。 对于有限自由度（离散系统）问题，势能 p 是广义坐标的函数。广义坐标记为 Di 。 势能表达式为： p p ( D1 , D2, ..., Dn ) 它的全微分为：
位移是可能的待定参数必须满足一定约束关系因此该问题的独立参量广义坐标只里兹解往往是过刚的除非假定场包含了精确由于前面两点经典里兹法在解决实际问题时尤其是几何形状复杂的二三维问题解决的办法下面以一维直杆的分析为例子研究基于里兹法考虑图21a所示的结构长度改为3l把杆分为三个部分
“有限元法原理及应用”讲义
对于图 1-3 所示的多自由度弹簧系统，其总势能为：
p
1 1 1 2 k 1 D1 k 2 ( D 2 D1 ) 2 k 3 ( D 3 D 2 ) 2 P1 D1 P2 D 2 P3 D 3 2 2 2
杆件结构的有限元法PPT课件
2 2
K e
EA
2
L 2 2
2
EA k e k e
L k e
k
e
其中：k e
2
2
2
2
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求解整体坐标系下结构受力与位移方程组：
F K
可得到各节点位移，从而可以求出每根杆的 受力，简单推导可得：
pij
EA L
,
ij
单元1：FF12
ka ka
单元2：FF32
kb kb
ka ka
uu12
kb kb
uu32
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(2)由于整个系统有3个节点，扩充上述方程为3阶：
F1 F2
ka ka
ka ka
00uu21
F3 0 0 0u3
F1 F2
kb kb
** **
行
2j-1 2j
** **
** **
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刚度矩阵的性质： （1）对称性——关于主对角线对称； （2）稀疏性——大量0元素； （3）带状分布——非0元素在主对角线两侧 呈带状分布。 所以可以对总体刚度矩阵进行压缩存储。方法 是：找出所有各行中非0元素所占最宽一行， 以离对角线最远的元素为基准画一条平行于主 对角线的带子，称为其带宽，方法称为等带宽 存储。由于对称性，带宽的一半称为半带宽。
• （1）形成每个单元刚度矩阵； • （2）由各单元的刚度矩阵按节点号叠加
整个系统的刚度矩阵；
• （3）引入约束条件； • （4）以节点位移为未知量求解线性方程
组
• （5）用每个单元的力-位移关系求的单元
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第三节 杆件系统的有限元法 简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆 上的外力（体力、面力）合力的作用线一定与 杆的轴线重合，如图所示。
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vi 1 xi v 1 x j j vm 1 xm
yi 4 yj 5 ym 6
求解得到待定系数的表达式
1 yj (ai ui a j u j amum ) 2A ym
（i,j,m) 取循环指标
2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程
最小位能原理的泛函总位能
p
的表达式如 下 （1.4.51）
1 p p (ui ) Dijkl ij kl dV f i ui dV Ti ui dS V 2 V S
在平面问题中最小位能原理的总位能与（1.4.51）式的形式一致 。 现改为矩阵形式： 1 p T Dtdxdy u T ftdxdy u T TtdS （2.2.24） 2 S 其中，t是二维体的厚度；f是体积力；T是表面力。积分域也作了 相应的改变。
（2.2.17）
3结点三角形单元的应变矩阵为
B [ B ]i
[ B] j
[ B]m
bi 1 0 2A c i
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 cm bm
（2.2.18）
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
式中 bi , ci ，b j , c j 及 bm , cm 由单元结点坐标确定，当单元确定了，
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式 形函数的性质
（1） Ni ( x j , y j ) ij
1 当j i 0 当j i (i, j, m)
保证近似场在节点处取节点值 （2）在单元任意一点插值函数之和等于1，即
Ni N j Nm 1
保证插值函数能正确反映单元的刚体位移 （3）CST单元的形函数是线性的，在相邻单元边界上位移
（2.2.14）
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
B称为应变矩阵，L是平面的微分算子。
应变矩阵的分块矩阵是
0 x Ni [ B]i L[ N ]i 0 y 0 y x N i 0 x 0 N i 0 Ni y N N i i x y
将解代入位移插值函数得到
u 1 2 x 3 y Ni ui N j u j N mum v 4 5 x 6 y Ni vi N j v j N mvm Ni 1 (ai bi x ci y ) (i, j , m) 2A
Ni称为单元的插值函数 (interpolation function)或形函数（shape
（2.2.15）
对（2.2.9）式求导得
N i 1 bi x 2A
， N 1 i ci y 2A
（2.2.16）
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
代入（2.2.15）式得
bi 0 1 [ B ]i 0 c i 2A ci bi
E ( ) x y 1 2 E y ( ) y x 1 2 E xy xy 2(1 )
x
E E E 1 2
(平面应力) (平面应变)
讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函 数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的 原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方 法的一般列式。
3
有限元法基础
2. 弹性力学有限元法
本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法 列式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点
i 为待定系数，称为广义坐标
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
将位移插值函数代入节点坐标（xi , yi）,得到
ui 1 xi u 1 x j j um 1 xm
ui 1 1 uj 2A um xi xj xm yi
yi 1 yj 2 ym 3
1 uj (ci ui c j u j cmum ) 2A um ui
yi
2A 1 xj 1 xm
1 (bi vi b j v j bm vm ) 2A
4
1 (ai vi a j v j am vm ) 2A
5
6
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
1
(平面应力) (平面应变 )
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
对于平面应力问题，弹性矩阵D为
1 0 E D 1 0 2 1 1 0 0 2
由（2.2.14）可知， B e ，从而可得
2
有限元法基础
2.1 引言
本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题 有限元法列式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量 是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基
础建立的有限单元位移元。它是有限元方法中应用最普
遍的单元。 平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，
而且至今仍经常采用的单元形式。我们将以此作为典型，
21
有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
对于离散模型，系统位能是各单元位能的和，将（2.2.11）及
（2.2.14）式代入（2.2.24）式，即得到离散模型的总位能为
1 p ep eT e B T DBtdxdy e 2 e e eT e N T ftdxdy eT e N T TtdS S e e
（2.2.5）
将结构总位能的各项矩阵表达成各个单元总位能的各对应项矩阵
之和。
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
令 K e e B T DBtdxdy
Pfe e N T ftdxdy
（2.2.28）
D DB e S e
（2.2.19）
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
上式中S写成分块矩阵的形式，则
S DB D [ B]i
[B] j
[B]m [S ]i
[S ] j
[S ]m （2.2.20）
S称为应力矩阵。分块矩阵的具体表达式
b c i i E [ S ]i D[ B]i bi ci 2 2(1 ) A 1 1 ci bi 2 2
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
平面问题常应变单元（CST）
节点变量（节点位移）
u i i vi
(i, j, m)
单元节点位移
i e j ui m
vi
uj
vj
um
vm
T
插值函数－－线性完备的多项式
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
物理方程求得单元的应变和应力。在（1.4.21）式的几
何方程中，位移用（2.2.11）式代入，得到单元应变为
u x x v y Lu LN e L [ N ]i [ N ] j [ N ]m e y xy u v e e [ B ] [ B ] [ B ] B y x i j m
function）.
位移插值函数的矩阵表示为
u N u i v 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 ui v i 0 u j v N m j u m vm
[ N ]i [ N ] j [ N ]m e N e
ai x j ym xm y j bi y j ym ci x j xm
1 xi yi yj ym
1 (ci vi c j v j cm vm ) 2A
1 ui 1 2 1 uj 2A 1 um
1 xi 1 3 1 xj 2A 1 xm
1 yj (bi ui b j u j bmum ) 2A ym
x y DB e S e xy
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
由于N，B，S都是已知的矩阵，只要求得
e
，则单元内的位移、
应变和应力就可以就得，问题是：如何求结点位移向量。
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
这些常数也完全确定，因此B是常量矩阵。而应变 B e ，当单 元结点位移确定后，单元内的应变都是常量，因此3结点三角形单
元为常应变单元。在应变变化较大的区域，单元划分应适当加密，
否则不能反映应变的真实变化而导致较大误差。
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有限元法基础
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式
⑵ 应力
单元应力可以根据物理方程求得， 而对于平面问题
位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移
元。它是有限元方法中应用最普遍的单元。
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有限元法基础
2. 弹性力学有限元法
2.2 弹性力学平面问题的有限元格式