3第三章数值分析解线性方程组的直接解法

（3.1）
线性方程组的数值解法可以分为直接法和迭代法两 类。所谓直接法，就是不考虑舍入误差，通过有限步骤 四则运算即能求得线性方程组（3.1）准确解的方法。如 克莱姆法则，但通过第一章的分析，我们知道用克莱姆 法则来求解线性代数方程组并不实用，因而寻求线性方 程组的快速而有效的解法是十分重要的。 本章讨论计算机上常用而有效的直接解法――高斯 消去法和矩阵的三角分解等问题。为方便计，设所讨论 的线性方程组的系数行列式不等于零。
把方程（I）乘（ −
3 2
）后加到方程（II）上去，把方程
4 （I）乘（ − ）后加到方程（III）上去，即可消去方程 2
（II）、（III）中的x1，得同解方程组
2 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 6 0.5 x 2 − 4 x 3 = − 4 − 3 x + 22 x = 20 2 3
综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消 元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过 程求解。
消元公式
( ( k ) akjk −1) j = k , k + 1,⋯ , n + 1 akj = ( k −1) akk ( (k ) aikk ) ( k −1) ( k −1) mik = aij = aij − mik ⋅ akj ; akk j = k + 1,⋯ , n + 1; i = k + 1,⋯ n (3.9)
x = b1 1 a11 x k = (bk − a k1 x1 − a k 2 x2 − ⋯ − a k , k −1 xk −1 ) / a kk
k = 2, 3,…, n (3.4）
此过程称为前推过程。 此过程称为前推过程。 同样地，若aii ≠ 0, i = 1, 2,…, n，则（3.3）的解为
n − (n − k )
次乘除法，在（3.9）
第二个式子中，每执行一次需要 次乘除法。因此在消元过程中，共需要
[n − (k − 1)] × (n − k )
∑ [(n − k + 1) × (n − k ) + (n − k + 1)]
k =1 n
n
1 = ∑ ( n − k + 1) = n( n + 1)( 2n + 1) 6 k =1
x 2 = 1.00
造成这个现象的原因是：第一步主元素太小，使得消元 后所得的三角形方程组很不准确所致。
如果我们选第二个方程中x1 的系数1.00为主元素来 消去第一个方程中的x1，则得出如下方程式： 1.00 x1 = 1.00 x1 = 1.00
这是真解的三位正确舍入值。 从上述例子中可以看出，在消元过程中适当选取主元 素是十分必要的。误差分析的理论和计算实践均表明：顺 序消元法在系数矩阵A为对称正定时，可以保证此过程对 舍入误差的数值稳定性，对一般的矩阵则必须引入选取主 元素的技巧，方能得到满意的结果。
（3.7）
(1) aij = aij − mi1 ⋅ a1(1) i = 2, ⋯ , n 其中 j 1 ai(1 ) mi1 = j = 2, 3,⋯, n + 1 a11
由方程（3.6）到（3.7）的过程中，a11 元素起着重要的作 用，特别地，把 a11 称为主元素。 如果（3.7）中
(1 a 22) ≠ 0
x = bn n a nn x k = (bk − a k ,k +1 x k +1 − ⋯ − a kn x n ) / a kk k = n − 1, n − 2, ⋯ ,1
(3.5)
此过程称为回代过程。 此过程称为回代过程。
算法复杂性分析
从上面的公式来看，求出xk，需要作k – 1次乘法和 加减法及一次除法，总共完成 + 2 + ⋯ + n 1 次乘法、加法及n次除法。
例
0.0001x1 + 1.00 x 2 = 1.00 1.00 x1 + 1.00 x 2 = 2.00
它的精确解为：
10000 ≈ 1.00010 9999 9998 x2 = ≈ 0.99990 9999 x1 =
用顺序消去法，第一步以0.0001为主元，从第二个方程 中消x1后可得： − 10000 x 2 = −10000 回代可得 x1 = 0.00 显然，这不是解。
（3.2）
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a 22 x2 + ⋯ + a 2 n xn = b2 ⋯ a nn x n = bn
（3.3）
方程组（3.2）叫做下三角形方程组，方程组（3.3） 叫做上三角形方程组，三角形方程组的求解是很简单的。 如果aii≠ 0，i = 1, 2,…, n，则（3.2）的解为
§1
高斯消去法
高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法 之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系 数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此 三角形方程组得原方程组的解。 下面先讨论三角形方程组的解法。
1．三角形方程组的解法
= b1 a11 x1 a x + a x = b2 21 1 22 2 ⋯ ⋯ ⋯ a n1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = bn
列主元消去法 在列主元消去法中，未知数仍然是顺序地消去的，但 是把各方程中要消去的那个未知数的系数按绝对值最大值 作为主元素，然后用顺序消去法的公式求解。
列主元消去法计算步骤： 列主元消去法计算步骤： 1、输入矩阵阶数 输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1); 输入矩阵阶数 增广矩阵 2、对于 k = 1,2, ⋯ , n 对于 (1) 按列选主元：选取 l 使 按列选主(2) 如果 l ≠ k ，交换 A(n,n+1) 的第 行与底 行元素 的第k行与底 行与底l (3) 消元计算 ：
按照上述步骤进行n次后，将原方程组加工成下列形式：
(1 (1 1 x1 + a12) x 2 + a13) x3 + ⋯ + a1(n) x n = a1(,1n)+1 (2 ( ( x 2 + a 23) x3 + ⋯ + a 22 ) x n = a 22n)+1 n , ⋯ (n ( − x n −1 + a nn −1) x n = a nn 1,1n)+1 − ( x n = a nnn)+1 ,
n( n + 1) = 2
从（3.4）、（3.5）可以看出，求解三角形方程组是 很简单的，只要把方程组化成了等价的三角形方程组，求 解过程就很容易完成。
2．高斯消去法 下面先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的 基本思想。
( Ι) 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 = 6 ( ΙΙ) 3x1 + 5 x2 + 2 x3 = 5 4 x + 3x + 30 x = 32 ( III) 2 3 1
（3.8）
( = a n 2 )n +1 ,
针对（3.8） 继续消元，重复同样的手段，第k步所要加工的 方程组是：
(1 (1 x1 + a12) x 2 + a13) x3 +⋯ + a1(1) x n = a1(,1n)+1 n (2 ( ( x 2 + a 23) x3 +⋯ + a 22 ) x n = a 22)n +1 n , ⋯ ( − (k ( − x k −1 + a k k 11) x k + ⋯ + a kn −1) x n = a kk 1,1)n +1 − − (k (k ( a kk −1) x k + ⋯ + a nn −1) x n = a k k −1)1 , n+ ⋯ (k (k ( − a nk −1) x k + ⋯ + a nn −1) x n = a nk n1)1 , +
a11 a12 ⋯ a 21 a 22 ⋯ A= ⋯ ⋯ a n1 a n 2 ⋯ a1n a2n ⋯ a nn x1 x2 X = ⋮ x n b1 b2 b= ⋮ b n
第三章 解线性方程组的直接法
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = bn
AX = b
将方程（II）乘（ 组：
3 0 .5
( Ι) ( ΙΙ ) ( III)
）后加于方程（III），得同解方程
2 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 6 0 .5 x 2 − 4 x 3 = − 4 − 2 x 3 = −4
(Ι ) (ΙΙ ) (III)
x2 = 8 x1 = -13
,则以
(1 a 22) 为主元素，又可以
把方程组（3.7）化为：
(1 1 x1 + a 12 ) x 2 + ⋯ + a 1(n) x n (2 ( x 2 + a 23 ) x 3 + ⋯ + a 2 2 ) x n n (2 ( a 33 ) x 3 + ⋯ + a 3 2 ) x n n ⋮ ( (2 a n 2 ) x 3 + ⋯ + a nn ) x n 3 ) = a 1(,1n +1 ( ) = a 2 2 n +1 , ( ) = a 3 3 n +1 ,