2012高考数学复习 专题9 应用性问题

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2 设从2006年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少
到90万公顷． 由题意得95 0.2x 0.6 x 5 90， 解得x 20(年)． 故到2025年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷．
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初中我们学习过的正比例、反比例和 一元一次函数的定义和基本性质，我们要 牢固掌握．特别是题目中出现的“成正比 例”、“成反比例”等条件要应用好．
0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减 少到90万公顷？
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切入点：通过理解题意，找出题中属于那一种函数模型．
解析
1由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间
的关系图象近似地为一次函数y kx b的图象． 将x 1，y 0.2与x 2，y 0.4，代入y kx b， 求得k 0.2，b 0， 所以y 0.2x( x N)． 因为原有沙漠面积为95万公顷， 则到2020年底沙漠面积大约为95 0.2 15 98(万公顷)．
a11 1.110 a 1.19 x 1.18 x x 1 1.110 1.110 a x 1 1.1 2.6a 16x.
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设今年年初有居民p人， 则十年后该地区居民人数为p (1 4.9 0 00)10 1.05p. 2.6a 16 x a a 依题意，有 2 ，解得x . 1.05 p p 32 a a 2 由于旧住房的面积为 平方米，每年拆除 平 2 32 方米，则共需要16年拆除所有需要拆除的旧住房．
1 设DAB ，将y表示成的函数关系式； 2 当BE为多长时，y有最小值？最小值是多少？
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切入点：由条件知需找到边与角的关系，分析图形建模．
解析
1因为BD atan，
2
所以 ABD的面积为a tan ( (0， ))． 2 FG DG 设正方形BEFG的边长为t，则由 ， AB DB t a tan t a tan 得 ，解得t ， a a tan 1 tan
即x 2 50 x 0，解得0 x 50， 又因为x＞0，所以0＜x 50.
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2 设这100万农民的人均年收入为y元，
(100 x ) 3000 (1 2 x %) 3000ax 则y 100 60 x 2 3000( a 1) x 300000 100 2 3 2 x 25 a 1 3000 375 a 1 (0 x 50)． 5 ⅰ当0 25 a 1 50，即0＜a 1， () 当x 25 a 1 时，y最大； (ⅱ)当25 a 1＞50，即a＞1，函数y在 0,50 单调递增， 所以当x 50时，y取最大值．
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解析 1由题意知，企业每月向湖区排放的污水量成等 比数列，设第一个月污水排放量为a1，则a1 1，公比为 2，则第m个月的污水排放量为am 2m 1 如果不治理，m个月后的污水总量为： 1 2m Sm 1 2 22 2m 1 2m 1(万立方米)． 1 2
翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？
2 依照 1的拆房速度，共需多少年能拆除所有
需要拆除的旧住房？ 下列数据供计算时参考：
1.19=2.38 1.004910=1.05 1.00499=1.04 1.111=2.85 1.110=2.60 1.004911=1.06
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切入点：该地区从今年年初起，逐年的居民住房面 积就可以构成一个数列，先求出这个数列的前几项， 从而归纳出数列的通项公式．应当注意的是居民住 房面积指的是总面积，而人均住房面积 总面积 . 人数
3的应用
例1 如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植 造一块“绿地 ABD ”，其中AB 长为定值a，BD长可根据需要 进行调节( BC 足够长)．现规划 在 ABD的内接正方形BEFG内 种花，其余地方种草，且把种 S1 草的面积S1与种花的面积S 2的比值 称为“草花比y”． S2
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变式2
据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人
均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引 进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加 工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计， 如果有x( x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业 的农民的人均收入有望提高2x %，而进入企业工作的农 民的人均收入为3000a元( a＞0)．
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2 设A产品投资x万元，则B产品投资 8 x 万元．
1 故所获利润为y x 8 x (0 x 8)． 4 令 8 x t [0, 2 2]， 1 1 2 2 则y 8 t 4t t 2 3. 4 4 所以，当t 2即x 4时，ymax 3(万元)． 答：当A、B产品各投资4万元时，企业所获利润最大， 为3万元．
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考点2 不等式应用问题
例2 据预测，某旅游景区游客人数在500～1300人之间， 游客人数x (人)与游客的消费总额y (元)之间近似地满足 关系：y x 2 2400 x 1000000.
1 若该景区游客消费总额不低于400000元，求景区游
客人数的范围；
2 当景区游客的人数为多少时，游客的人均消费额最
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2 由1 知a6 32，则a7
28.
由题意知，从7月份开始，企业每月向湖区排放的污水 量成等差数列，公差为 4. 则bn 28 n 1 4 32 4n. 令bn 32 4n 0，得n 8. 所以该企业2010年2月向湖区停止污水排放． 记7月份企业向湖区排放的污水量为b1，
月份 该企业向湖区排放的污水 (单位：立方米) 1月 1万 2月 2万 3月 4万 4月 8万
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1 如果不加以治理，求从2009年1月起，m个月后，该
企业总计向某湖区排放了多少立方米污水？
2 为保护环境，当地政府和企业决定从7月份开始投资
安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减 少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万 立方米．当企业停止排放污水后，再以每月 万立方米 16 的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区中 的污水不多于50万立方米？
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则该企业共排污水 8 (28 0) S6 63 112 175(万立方米)． 2 设x个月后污水不多于50万立方米， 125 则175 16x 50，得x . 16 125 因为7 8，所以8个月后即2010年10月湖区中的 16 污水不多于50万立方米．
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变式1 某民营企业生产两种产品，据市场调查与预测， A产品的利润 y 与投资额 x 成正比，其关系如图1所 示，B产品的利润 y 与投资额 x 的算术平方根成正 比，其关系如图2所示(注：利润与投资额的单位为万 元)．
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1 分别将A、B两种产品的利润表示为投资额的函
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a 2 tan t 则S 2 . a tan 1 2 1 2 a 2 tan 2 所以S1 a tan S 2 a tan ， 2 2 2 (1 tan ) S1 (1 tan ) 2 则y 1. S2 2 tan 2 因为tan (0， )， 1 1 1 1 所以y (tan 2) 1 (tan ) 1， 2 tan 2 tan a 当且仅当tan 1时取等号，此时BE . 2 a 所以当BE长为 时，y有最小值1. 2
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解析
1 设今年为第1年，第n年居民住房面积为an m 2，
则a1 a，
a2 a1 1 10% x 1.1a x， a3 a2 1 10% x 1.12 a 1.1x x a4 a3 1 10% x 1.13 a 1.12 x 1.1x x，
数关系式；
2 该企业已筹集到8万元资金，并全部投入A、B
两种产品的生产．问怎样分配这8万元资金，才 能使企业获得最大利润？最大利润为多少万元？
解析 1 1 A产品：设y k1 x，将点 1, 0.25 代入得k1 ， 4
1 故y x. 4 B产品：设y k2 x，将点 4, 2 代入得k2 1，故y x .
专题九 应用性问题
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考点1 函数应用问题
例1 某地区2005年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地 区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将 每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息 进行预测：
1 如果不采取任何措施，那么到2020年底，该地区的沙
漠面积将大约变为多少万公顷；
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2 如果从2010年底后采取植树造林等措施，每年改造
高？并求游客的人均最高消费额
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切入点： 根据消费总额不低于400000元列不等式 1 求解；2 先建立人均消费额的函数关系，再根据表 达式的特点求解．
解析
1 依题意得 x 2 2400 x 1000000 400000，
所以x 2 2400 x 1400000 0， 解得1000 x 1400. 又500 x 1300， 所以该景区游客人数的范围是 1000,1300．
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1 在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民
的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总 收入，试求x的取值范围；
2 在 1的条件下，当地政府应该如何引导农民
(即x取多大时)，能使这100万农民的人均年收入 达到最大．
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解析
1由题意得 100 x 3000 1 2x % 100 3000，
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1．建立数列模型，列出数列的前几项， 归纳出数列的通项公式． 2．处理数列问题，要分清所要涉及的 量是an ，还是Sn ，同时要数清项数，常常因 多一项或少一项而出错.