2013年广州海珠区一模数学试题及答案

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2013珠海一模数学试题及答案

2013珠海一模数学试题及答案一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分，每题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)1．-2的绝对值是A．-2 B．2 C．D．2.下列运算正确的是A. B. C. D.3．已知，反比例函数的图象上有两点、，则、的大小关系是A．﹥B．＜C．= D．不能确定4.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是A. 1个B.2个C.3个D.4个5．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块, 如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带（）去.A．①B．②C．③D．①和②6．下列调查中，适合用普查方式的是A．保证“神舟九号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查B．了解人们对环境保护的意识C．了解一批灯泡的使用寿命Ｄ．了解央视2013年“春节联欢晚会”栏目的收视率7．正方形具有而菱形不具有的性质是A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等8．如果两圆的半径长分别为3cm和5cm，圆心距为7cm，那么这两个圆的位置关系是A．内切B．外切C．外离D．相交9. 已知数据2,5,7,6,5，下列说法错误的是A．平均数是5 B．众数是5C．极差是5 D．中位数是710．动车的行驶大致可以分五个阶段：起点加速匀速减速停靠，某动车从漳州南站出发，途经厦门北站停靠5分钟后继续行驶，你认为可以大致刻画动车在这段时间内速度变化情况的图是二．填空题(共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卡的相应位置) 11．分解因式: = .12. 2012年中秋、国庆长假期间，南靖土楼景区接待游客245800人次，245800用科学计数法表示为.13．某立体图形的两个视图如下所示，此立体图形可能是____________.（写一个即可）14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，则DE∶BC的值是. 15．机床厂对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：=20，=0.01；机床乙：=20，=0.05 ，由此可知：________（填甲或乙）机床较稳定.16. 观察下列各式：,……,请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是：______________.三、解答题(共9小题，满分86分．请将答案填入答题卡的相应位置)17.（满分8分）18.（满分8分）请从以下三个二元一次方程：x+y=7，，x+3y=11中，任选两个方程构成一个方程组，并解该方程组.（1）所选方程组是：.（2）解方程组：19.（满分8分）如图：O是正方形ABCD对角线的交点，圆心角为90°的扇形EOF从图1位置，顺时针旋转到图2位置，、分别交、于、.（1）猜想AG与BH的数量关系；（2）证明你的猜想.20. （满分8分）动手操作：用两种不同的方法，将下图中一个等腰三角形分割成四个等腰三角形.解：21.（满分8分）漳州市教育局到某校抽查七年级学生“根据音标写单词”的水平，随机抽取若干名学生进行测试（成绩取整数，满分为100分）.如下两幅是尚未绘制完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生有人；（2）该年段有450名学生，若全部参加测试，请估计60分以上（含60分）有人；(3) 甲、乙、丙是该校三名英语成绩优秀的学生，随机抽取其中两名学生介绍英语学习经验，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求抽到甲、乙两名学生的概率.22. （满分9分）福建省第15届省运会将于2014年10月在漳州市举行，体训基地欲购买单价为100元的排球和单价为300元的篮球共100个.（1）如果购买两种球的总费用不超过24000元，并且篮球数不少于排球数的2倍，那么有哪几种购买方案？（2）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案最合算？23.（满分9分）云洞岩被誉为“闽南第一洞天”风景文化名山，是国家4A级旅游景区。

2014年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

2013年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）． D ．．B ．． D ．3．（3分）（2010•河源）如图所示几何体的正视图是（）．B ．C ．．5．（3分）（2013•海珠区一模）两个相似三角形的相似比是1：2，其中较小三角形的周长为6cm ，则较大的三角形的6．（3分）（2013•海珠区一模）分式方程的解是（）7．（3分）（2013•海珠区一模）函数中自变量x 的取值范围是（）（1）从平均分来看，甲、乙两班学生的数学成绩平均水平相同；（2）如果不低于120分为优秀，那么甲班获得优秀的人数比乙班多；（3）甲班同学的成绩波动相对比较大．9．（3分）（2013•海珠区一模）一次函数y=kx+k （k ≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大．B ．C ．．10．（3分）（2013•海珠区一模）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）．B ．BD=DC=BC=4（）﹣π二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）（2013•上海）分解因式：a 2﹣1= （a+1）（a ﹣1）．12．（3分）（2013•海珠区一模）请写出抛物线y=x 2+1上任意一个点的坐标（0，1）（本题答案不唯一）．13．（3分）（2013•海珠区一模）若关于x 的方程x 2﹣x+m=0有实数根，则m 的取值范围是 m ≤ ． ≤．≤14．（3分）（2013•海珠区一模）已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是．AO=AC=BO===×=33．15．（3分）（2013•海珠区一模）如图，边长为1的正方形网格中，点A 、B 、C 在格点上，则sin ∠CAB=．CA==CBA==故答案为：16．（3分）（2013•海珠区一模）如图，在△ABC 中，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，DE=3，BE=4，BC=6，则AC= 4.5 ．DE=BC 三、解答题（本题共9小题，共102分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17．（9分）（2013•海珠区一模）解不等式组：．解：18．（9分）（2013•海珠区一模）先化简，再求值：，然后选择一个你喜欢且符合题意的x值代入求值．=[﹣﹣==x19．（10分）（2013•海珠区一模）袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中随机摸出一个小球，求小球上数字等于4的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字的积为偶数的概率．（用列表法或画树状图求解）=；=．20．（10分）（2008•烟台）汶川地震后，某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）×21．（12分）（2013•海珠区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，CE=1，点F是BC的中点，求证：AF⊥EF．BF=FC=BC=2==222．（12分）（2013•海珠区一模）如图：若⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足为P，P A=3，BC=．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．BC=PC=BC=3PC=BC=POC===﹣6×923．（12分）（2013•海珠区一模）随着经济发展，污染问题日益严重．某环保厂家看到这个商机，以200万元购买了某项空气净化产品的生产技术后，再投入280万元购买生产设备进行该产品的生产．已知生产这种产品的成本价为每件30元，经过市场调研发现，该产品的销售单价定在40到50元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）请根据图象直接写出销售单价是45元时的年销售量；（2）求出年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并说明投资的第一年，销售单价定为多少时该厂家能获得最大盈利？最大利润是多少？得：解得：得：解得：y=；280=，24．（14分）（2013•海珠区一模）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=5，AB=10，BC=6，点E 是线段AB 上的动点，连结CE ，EF ⊥CE 交AD 于F ，连结CF ，设BE=x ．（1）当∠BCE=30°时，求△BCE 的周长；（2）当x=5时，求证：CF=AF+BC ；（3）是否存在x ，使得CF=（AF+BC ）？如果存在，求出x 的值；如果不存在，请说明理由．QP=，EP=，要使得EP==2，EC===BC+EB+EC=6+6（EP=EP=EP==QP=，∠EP=要使得EP=∴，即2x，（舍），16，，（舍）综上所述：时，25．（14分）（2013•海珠区一模）如图，直线y=kx﹣k+2与抛物线交于A、B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q．（1）证明直线y=kx﹣k+2过定点P，并求出P的坐标；（2）当k=0时，证明△AQB是等腰直角三角形；（3）对于任意的实数k，是否都存在一条固定的直线与以AB为直径的圆相切？若存在，请求出此直线的解析式；若不存在，请说明理由．）的坐标符合方程组：，解得：，y=x﹣x+=AB==4AQ==2，BQ==2，）的坐标符合方程组：得，x﹣（+k﹣=0AB==的中点是（，，==2k+1，=﹣。

2013年广州中考数学一模试题及答案

（第9题图）A B C D2013年中考数学一模试题第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．3-的相反数是（）A ．3B ．3-C ．13-D ．132．广州市发改委最近发布2010-2011年《广州经济社会形势与展望》白皮书中指出：今年全年重点建设项目完成投资82 600 000 000元。

这个数用科学记数法表示为（） A ．9106.82⨯元B ．101026.8⨯元C ．1110826.0⨯ 元D ．以上三种表示都正确 3．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．若∠A =34°，则∠A 的余角的度数为（）A ．54°B ．56°C ．146°D ．66°5．已知一次函数1+=kx y ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图象经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限6．如图，DE 是ABC ∆的中位线，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比是（） A ．1：2 B ．1：4 C ．1：3D ．2:17．下列运算正确的是（） A ．24±= B ．336a a a += C ．9132=-D ．222)(n m n m -=-8．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能．．．是（）9．如图，BD 是⊙O 的直径，CBD ∠=30，则∠A 的度数为（） A ．30B ．45C ．60D ．7510．已知关于x 的方程xkx =+12有一个正的实数根，则k 的取值范围是（） A ．k ＜0 B ．k ＞0C ．k ≤0D ．k ≥0第二部分（非选择题共120分）（第18题图）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．函数=y x 的取值范围是 .12．某班50名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.1，•则该班在这个分数段的学生有_________人．13．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是14．方程组⎩⎨⎧=+=-836032y x y x 的解是 .15．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若ABC ∆与△111A B C 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是． 16．观察下列的等式:39211==-（即3×1）331089221111==-（即3×11） 333110889222111111==-（即3×111）由此猜想=-4434421L 444344421L2011402222211111 ．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分9分）解不等式x 23-≤12x+．18．（本小题满分9分）如图，已知平行四边形ABCD ．（1）用直尺和圆规作出ADC ∠的平分线DE ，交AB 于点E ，（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：AD AE =．19．（本小题满分10分）已知0142=+-a a ,求代数式)2)(2(2)2(2-+-+a a a 的值．20．（本小题满分10分）如下图，小红袋子中有4张除数字外完全相同的卡片，小明袋子中有3张除数字外完全相同的卡片，若先从小红袋子中抽出一张数字为a 的卡片，再从小明袋子中抽出一张数字为b 的卡片，两张卡片中的数字，记为),(b a 。

中考数学一模试题带答案广州市

2013年中考数学一模试题（带答案广州市）2013年真光实验学校初三一模数学科考试问卷（考试说明：共25题，考试时间120分钟，满分150分，请用黑色的圆珠笔或钢笔作答，试卷不允许使用涂改工具，请将答案写在答卷指定的区域内）第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．sin30°的值为（▲）A．B．C．D．2．计算的结果是（▲）A．B．C．D．3．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（▲）A．相交B．相切C．相离D．无法确定4．使分式有意义的x的取值范围是（▲）A．x＝2B．x≠2C．x＝－2D．x≠－25.不等式组的解集是（▲）A．x2B．x3C．2x3D．无解6．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°,则∠DCF等于（▲）A．80°B．50°C．40°D．20°7．下列命题中，正确的是（▲）A.若，则B.若，则C.若，则且D.若，则或8．右图是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（▲）A．B．C．D．9．正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为（▲）A．B．C．D．10．如图，正方形的顶点在坐标轴上，点在上，点在函数的图象上，则点的坐标是（▲）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．第二部分（非选择题共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．用科学记数法表示0.0000210，结果是___▲__ 12．圆柱的底面周长为2π，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为_______▲_____．13．已知正比例函数与反比例函数交A(-1,2),B(1,-2)两点,当正比例函数的值大于反比例函数值时,x的取值范围为______▲______第13题第16题14．通过平移把点A(2，－3)移到点A’(4，－2)，按同样的平移方式，点B(3，1)移到点B′,则点B′的坐标是_____▲___15.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD的距离为▲16.如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH，④AD2=ODDH中，正确的是__▲____三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分9分）（1）、因式分解：（2）、解分式方程：18.（本小题满分9分）如图，AB∥ED，点F、点C在AD 上，AB＝DE，AF＝DC.求证：BC＝EF.19.（本小题满分10分）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线20．（本小题满分10分）某校九年级有400名学生参加全国初中数学竞赛初赛，从中抽取了50名学生，他们的初赛成绩（得分为整数，满分为100分）都不低于40分，把成绩分成六组：第一组39.5～49.5，第二组49.5～59.5，第三组59.5～69.5，第四组69.5～79.5，第五组79.5～89.5，第六组89.5～100.5。

广东省广州市2013届高三数学毕业班综合测试试题文(一)(广州一模)(含解析)

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2013．3 本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A BC ．U A =()U BD ．U=()U A ()U B【答案】D【解析】由{}2,4,6U C A =，{}1,3,5U C B =，则()()U U U C A C B =。

2013年历年广州市初三数学中考一模试题及答案

广州市初三级数学科第一次模拟考试（考试时间： 120分钟，满分：150 分。

）一、选择题（每小题3分，共30分） 1.-3的绝对值是（）Ａ．13 Ｂ．13- Ｃ．3 Ｄ．3- 2.下列运算中正确的是（）Ａ．326a a a = Ｂ．347()a a = Ｃ．632a a a ÷= Ｄ．5552a a a +=3.据人民网5月20日电报道:中国森林生态系统年涵养水源量4947.66亿立方米,相当于12个三峡水库2009年蓄水至175米水位后库容量，将4947.66亿．用科学记数法表示为（）Ａ．134.9476610⨯ Ｂ．124.9476610⨯ Ｃ．111094766.4⨯ Ｄ．104.9476610⨯ 4.如图，将ABC △绕点C 顺利针方向旋转40︒得A CB ''△，若AC A B ''⊥，则BAC ∠等于（）Ａ．50︒ Ｂ．60︒ Ｃ．70︒ Ｄ．80︒5.如图，已知梯形ABCD 的中位线为EF ，且AEF △的面积为26cm ，则梯形ABCD 的面积为（）Ａ．212cm Ｂ．218cm Ｃ．224cm Ｄ．230cm 6.下列命题中，正确命题的序号是（） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ③对角线相等的四边形是矩形 ④对角互补的四边形内接于圆Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④7.一组数据2、1、5、4的方差和中位数分别是（） A ．2.5和2 B ．1.5和3 C ．2.5和3 D ．1.5和28．关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（） A ．1a >- B ．10a a >-≠且第4题图第5题图C ．1a <-D ．12a a <-≠-且9．如图是四棱锥（底面是矩形，四条侧棱等长），则它的俯视图是（）10．如图，已知Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（）A ．84π5 B ．24π C ．168π5D ．12π二．填空题（每小题3分，共18分） 11．分解因式：2327a -=_____________． 12.函数2x y -=的自变量x 的取值范围是__________.13．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，4），将线段O A 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是．14．如图5所示，AB 是O ⊙的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若50ACD ∠=°，则DAB ∠_____________．15．如图6所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距____________米．16．已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分ACB第10题图A ．B ．C ．D ．第9题图y xA B C DO别交于点C 、B ，与双曲线xky =交于点A 、D ，若AB+CD= BC ，则k 的值为 .三、解答题（共102分）17、（9分）计算：10122cos60(32π)2-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭°18、（9分）先化简，再求值：2211()11a a a a++÷--，其中2a =19、（10分）如图,点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上,连结BP 并延长与AD 的延长线交于点Q .(1)求证:DQP ∆∽CBP ∆；(2)当DQP ∆≌CBP ∆，且8=AB 时，求DP 的长.20、（10分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示.斜坡AB 的长为1040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°,已知A 点海拔121米，C 点海拔721米.（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度.21．（12分）某电脑公司各种品牌、型号的电脑价格如下表，育才中学要从甲、乙两种品品牌型号、价格甲乙型号 A B C D E 单价（元/台）60004000250050002000（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）.如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？（2）该中学预计购买甲、乙两种品牌电脑共36台，其中甲品牌电脑只选了A 型号，学校规定购买费用不能高于10万元，又不低于9.2万元，问购买A 型号电脑可以是多少台？22.（12分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．⑴求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；⑵为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．23、（12分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，（1）求证：△ABE ∽△ADB ；（2）求AB 的长；（3）延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．24、（14分）如图，在Rt ABC △中，906024BAC C BC ∠=∠==°，°，，点P 是BC 边上的动点（点P 与点B C 、不重合），过动点P 作PD BA ∥交AC 于点D ．（1）若ABC △与DAP △相似，则APD ∠是多少度？（2）试问：当PC 等于多少时，APD △的面积最大？最大面积是多少？（3）若以线段AC 为直径的圆和以线段BP 为直径的圆相外切，求线段BP 的长．25、（14分）已知：m 、n 是方程2650x x -+=的两个实数根，且m<n ，抛物线2y x bx c=-++的图像经过点A(m ，0)、B(0，n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．60°A D C BP ODCEAFB答案一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案CDCACDCDCA二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分．注：答案不正确、不完整均不给分） 11. ()()333-+a a 12．2x ≥且3x ≠13．（4，－1）14． 40° 15． 116．43-三、解答题（本大题共9题，共102分） 17、（9分）解：原式122212=+-⨯+ ……8分（每算对一个给2分） 4=． ……9分 18、（9分）解：原式=()()()()21111111a a a a a a a⎡⎤++-⨯⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦………………………4分=211a -. ………………………7分当2a =时，原式=1121=-.………………………9分 19、（10分）(1)证明: Θ四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD , ∴∠QDC=∠C . ………………………4分又∠DPQ=∠BPC , ∴△DQP ∽△CBP . ………………………5分 (2) 当△DQP ≌△CBP 时，PQ=PB ，所以P 是QB 的中点.又DP ∥AB ,所以DP 是△ABQ 的中位线.所以DP=21AB=4. 解法二：Θ△DQP ≌△CBP , ∴ DP=CP=21DC . ………………………7分Θ四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD . ………………………9分∴ DP= 21AB =4. ………………………10分20、（10分）解：（1）过点C 作CF ⊥AM ，F 为垂足，过点B 作BE ⊥AM ，BD ⊥CF ，E 、D 为垂足. ……1分∵在C 点测得B 点的俯角为30°，∴∠CBD =30°，…………………………………2分又∵BC =400米，∴CD =400×sin 30°=400×12=200（米）……………4分∴B 点的海拔为721－200=521（米………………5分（2）∵BE =521－121=400（米），AB =1040米，…………………6分∴960AE =（米）. ………………………8分∴AB 的坡度400596012AB BE i AE ===，…………………………………………9分所以斜坡AB 的坡度为1：2.4. …………………………………………………10分 21、（12分）解：（1）树状图如下：…………………3分共有6种选购方案：(,)A D 、（B ，D ）、（C ，D ）、（A ，E ）、（B ，E ）、（C ，E ）.1(.3P A 型号被选中)= …………………5分（2）设购买A 型号x 台，由（1）知当选用方案(,)A D 时：由已知9200060005000(36)100000x x +-≤≤ …………………7分得8880x --≤≤，不符合题意. …………………8分当选用方案()A E ，时，由已知：9200060002000(36)100000x x +-≤≤ …………………10分得57.x ≤≤ …………………11分答：购买A 型号电脑可以是5台，6台或7台. …………………12分 22、（12分）解：（1）设2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x ，……1分根据题意，75（1+x ）2=108……………………………………………………4分 1+x=±1.2∴x 1=0.2=20% x 2=﹣2.2（不合题意，舍去）……………………………5分答：2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%…………6分（2）设从2011年初起每年新增汽车数量为y 万辆，由题意得： ……………7分（108×0.9+y ）×0.9+y≤125.48…………………………………………………10分解得y≤20答：从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过2023、（12分）解：（1）证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ．…………1分∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠D ． …………2分又∵∠BAE =∠EAB ，∴△ABE ∽△ADB ．………3分（2）∵△ABE ∽△ADB ， ∴AB AEAD AB=， …………4分 ∴2()(24)2=12AB AD AE AE ED AE ==+=+⨯，··……5分（3）直线FA 与⊙O 相切，理由如下：…………………7分连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，…………………8分∴BD ==BF =BO=12BD =10分 ∵AB=90BF BO AB OAF ===o ，可证∠，…………………11分 ∴直线FA 与⊙O 相切． …………………12分 24、（14分）解：（1）当△ABC 与△DAP 相似时，∠APD 的度数是60°或30°．…………………2分（2）设PC x =，∵PD BA ∥，90BAC ∠=°，∴90PDC ∠=°，又∵60C ∠=°，∴24cos6012AC ==g °，1cos602CD x x ==g °， ∴1122AD x =-，而sin 60PD x ==g°， ∴11112222APD S PD AD x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭g g g △ …………………4分22(24)12)88x x x =--=--+．…………………6分 ∴PC 等于12时，APD △的面积最大，最大面积是8分（3）设以BP 和AC 为直径的圆心分别为1O 、2O ，过 2O 作 2O E BC ⊥于点E ，设1O ⊙的半径为x ，则2BP x =．显然，12AC =，∴26O C =，∴6cos603CE ==g °，∴2O E ==，124321O E x x =--=-，…………………10分又∵1O ⊙和2O ⊙外切， ∴126O O x =+．在12Rt O O E △中，有2221221O O O E O E =+，∴222(6)(21)x x +=-+，…………………12分解得：8x =， ∴216BP x ==．…………………14分 25、（14分）解：（1）解方程2650x x -+=，得125,1x x ==…………………1分由m<n ，有m ＝1，n ＝5所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）．…………………2分60AD CBPO 2O 1 E。

2013年广州一模文科答案

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．(]1,2 12．1238. 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………7分∴OP PQ OQ ===……………10分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OPOQ+-+-∠===……12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………6分∴(4,P Q . ……………8分 ∴(2,2),(4,OP OQ ==. ……………10分 ∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………12分解法3: ∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭5分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭6∴(4,P Q . ……………7分作1PP x ⊥轴, 1QQ x⊥轴,垂足分别为11P Q ,,∴112,OP OP PP ====114OQ QQ,== (8)分设11POP QOQ,αβ∠=∠=,则13sin ,cos ,sin,cos ααββ====. ……………10分 ∴cos cos POQ ∠=()3cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株）， ……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.①…………3分根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分解①②得:008004a b .,.==. ……………6分（2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为123A A A ,,,4A ，……………… 7分产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. ………11分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O , 连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ……………1分ON MDCBAP∵M 为PC 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,∴PA //平面BMD . ……………3分 (2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD . ……………4分∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =，∴222260BDAB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ……………5分 ∴22ABAD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PDBD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵PB ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取CD 的中点N ，连接MN ，则MN PD //且12MN PD =. ∵PD ⊥平面ABCD ，2PD =，∴MN ⊥平面ABCD ，1MN =. ……………9分在Rt △PCD 中，2CD AB PD ===，1122DM PC ===，∵BC AD //,AD PB ⊥,∴BC PB ⊥.在Rt △PBC 中，12BM PC ==在△BMD 中，BM DM =，O 为BD 的中点, ∴MO BD ⊥.在Rt △ABD 中，602BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △MOB 中，MO ==∴1322ΔABD S AD BD =⨯=，11524ΔMBD S BD MO =⨯=.…………11分设点A 到平面BMD 的距离为h ，∵M ABD A MBD V V --=， ∴13MN 13ΔABD S h =ΔMBD S . ……………12分即13⨯12⨯13h =⨯⨯4，解得5h =. ……………13分∴点A 到平面BMD 的距离为5. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2）解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分 ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234n n ----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分令12n n+10102013>，解得：42877n <. ……………13分故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② ……………7分同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上， ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23x x y f x kx x kx =-=-+-- ……………1分 ∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分方程210x x k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤，故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210x x k -++=的两个实根为112x -=，2x =. ……………4分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12x x x ,∈时，0y '>；()2x x ,∈+∞时，0y '<；故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n x x x f x x n -=-+-+--，得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++-. ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n x f x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<,当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><, ∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++---0>， ………11分 23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++--- 24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++--- 2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅--0<. …………12分 ∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分当()1x ,∈-∞时，()()10n n f x f >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<. 综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解.∴1t =. ……………14分。

2013广州一模(文数WORD版)

广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式,ˆ,)())((ˆn121n111x b y ax x y y x x b i i -=---=∑∑== 其中y x ,代表样本的均值。

锥形的体积公式,31Sh V =其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚数为A. 2B. 1C. -1D. -2 2. 设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,4},则A. B A U =B. B A C U U )(=C. )(B C A U U =D. )()(B C A C U U U =3. 直线0943=-+y x 与圆1)1(22=+-y x 的位置关系是A. 相离B. 相切C. 直线与圆相交且过圆心D. 直线与圆相交但不过圆心4. 若函数)(x f y =是函数xy 2=的反函数，则)2(f 的值是A. 4B. 2C. 1D. 0 5. 已知平面向量)3,1(),,2(=-=b m a ，且,)(b b a ⊥-则实数m 的值为A. 32-B. 32C. 34D. 36 6. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+01112y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A. -3B. 0C. 1D. 37. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A. 2B. 1C. 32 D.318. 已知函数,2sin 2)(x x f =为了得到函数x x x g 2cos 2sin )(+=的图像，只要将)(x f y =的图像A. 向右平移4π个单位长度 B. 向左平移4π个单位长度 C. 向右平移8π个单位长度 D. 向左平移8π个单位长度9. “m<2”是“一元二次不等式012>++mx x 的解集为R ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 设函数)(x f 的定义域为D 。

广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题

绝密★启用前2013学年高三调研测试（一）数学(理科) 2013.8本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()()21i 2z --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为A.1i -B.1+ iC.3i -D.3+ i２．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C U A B ⋃={}4,{}1B =，2,则 CU A B ⋂=A.{}3B.{}4C.{}34，D.∅3. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =A.85B.135C.95D.234．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n , 下列命题中真命题是A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,,,a b αβαγβγ==则//a bC.若//,a b b α⊂,则//a αD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95,则 A .4a = B.5a = C. 6a = D.7a =6．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是.A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2s i n (2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=- 7．给出下列四个结论：①若命题2000:R,10p x x x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥；② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则m ≤0”；④若0,0,4a b a b >>+=，则ba 11+的最小值为1．其中正确结论的个数为A .1 B.2 C. 3 D.48. 已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为A .1- B. 2- C. 2 D.1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．设二项式6的展开式中常数项为A ,则=A ．10．一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为焦．11．设z kx y =+，其中实数,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则k = .12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p = .13．在区间[]-33，上随机取一个数x ，使得125x x -++≤成立的概率为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的参数方程为13cos (13sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），点Q 的极坐标为，4π）．若点P 是圆C 上的任意一点，,P Q 两点间距离的最小值为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB __________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos，()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m ．（１）求sin A 的值；（２）若a =5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影．17．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图3是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品. （1）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（2）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（3）从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．18．(本小题满分14分)如图4，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ,ADC ∠=︒90，1AB AD PD ===,2CD =．(1) 求证：//BE 平面PAD ； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PBD ； (3) 设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为︒45．19．（本小题满分1４分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<都有．20．(本小题满分14分)已知椭圆R ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且过点12⎫⎪⎭，．（１）求椭圆R 的方程；（２）设A 、B 、M 是椭圆上的三点，若3455OM OA OB −−→−−→−−→=+，点N 为线段AB 的中点，C 、D 两点的坐标分别为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、⎫⎪⎪⎝⎭，求证：NC ND +=21．（本小题满分14分）已知函数)0,0(112)1ln()(>≥-+++=a x x ax x f ．（1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值；（2）求)(x f 的单调区间；（3）若1=a 且0<b ，函数bx bx x g -=331)(，若对于)1,0(1∈∀x ，总存在)1,0(2∈x 使得)()(21x g x f =，求实数b 的取值范围．2013学年高三调研测试(一)理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题是选做题，考生只能选做一题．9. 20- 10. 36 11.2 12. 2 13.5614. 1 15.4 三、解答题:本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)（本小题主要考查向量数量积、投影，三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）解:(１)由35m n ⋅=-,得()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,………………1分 ∴()3cos 5A B B -+=-, ………2分∴3cos 5A =-.0A π<<sin A ∴= ………………３分45== ． ………………４分(２)由正弦定理，有sin sin a bA B=, ………………５分 sin sin b A B a ∴==452⨯………………６分 a b >，A B ∴>, ………………７分4B π∴=． ………………8分由余弦定理，有(2223=5+255c c ⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭， ………………9分1c ∴=或7c =-（舍去）． ………………10分故向量BA 在BC 方向上的投影为cos cos BA B c B = ………………11分1==………………12分 17. (本小题满分12分)（本小题主要考查排列、组合的运算，茎叶图,超几何分布，数学期望等知识，考查或然与必然,以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识）解：（1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.105=………………1分乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………2分（2）ξ的取值为0，1，2，3. ………………3分0312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅====== …………5分 ∴ξ的分布列为∴155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（） ……………8分HF E PDCBA(3) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件” ……………9分2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯= ……………10分331123331181()()()()5221000P B C C =⨯= ………11分抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+= ……………12分 18. (本小题满分14分)（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 18.解：令PD 中点为F ，连接EF ，……………１分点,E F 分别是PCD ∆的中点，∴EF //12CD ,EF ∴//AB . ∴四边形FABE 为平行四边形.……………２分//BE AF ∴,AF ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD ……………３分(三个条件少写一个不得该步骤分)PAD BE 面//∴ ……………４分（2）在梯形ABCD 中,过点B 作BH CD ⊥于H ,在BCH ∆中，1BH CH ==,045BCH ∴∠=. 又在DAB ∆中，1AD AB ==,045ADB ∴∠=,045BDC ∴∠=,090DBC ∴∠=∴BD BC ⊥. ……………５分面PCD ⊥面ABCD ,面PCD ⋂面ABCD CD =,PD CD ⊥,PD ⊂面PCD ,PD ∴⊥面ABCD , ……………６分PD BC ∴⊥, ……………7分 BD PD D ⋂=,BD ⊂平面PBD ,PD ⊂平面PBD∴BC ⊥平面PBD , ……………8分BC ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PBD ……………9分(３)以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．…………１０分则()()()()0,0,10,2,01,0,01,1,0P C A B ，，，. 令()000,,Q x y z ，PQ PC λ=，()0,2,1Q λλ-。

2013年历年广州市初三数学中考一模考试题及答案

2013年九年级一模试题数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的班级、姓名、座位号；填写考号，再用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．四个数﹣5，﹣0.1,213为无理数的是（） A 、﹣5 B 、﹣0.1 C 、D 、2．下列运算正确的是（）A ．236·a a a = B ．34x x x =÷ C ．532)(x x = D ．a a a 632=⋅ 3．如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是( ).4．把抛物线2y x =向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ * ）（A ）21y x =+ （B ）2(1)y x =+（C ）21y x =- D ）2(1)y x =-5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）. A ．15B ．0.5C ．5D ．506．如图，BD 为⊙O 的直径，点A 、C 均在⊙O 上，∠CBD ＝60°，则∠A 的度数为（ * ）（A ）60° （B ）30°（C ）45° （D ）20°7．如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（）（A ）2cm（B ）4cm（C ）6cm（D ）8cm8．五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（）．A. 19和20B. 20和19C. 20和20D. 20和219. 把半径为10，面积为π60的扇形做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）410.如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠BAC =30°，AB =6，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合， A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为（）A ．6B ．3C ．32D ．3第二部分非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．9的算术平方根是．12．因式分解:=-92x ． 13. 函数21-=x y 中x 的取值范围是14．如图，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，60,70B C ∠=∠=o o，（第14题）则∠AOD 的度数是_____*_______度．15．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.16. 如图，每个图案都由若干个棋子摆成．依照此规律，第n 含n 的代数式表示为__________．ABCD O 第6题第7题DCABE第15题AB E第10题图基本了解不太了解2%18%三、解答题（本大题共9小题，共102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分9分）解方程组.1123,12⎩⎨⎧=-=+y x y x18．（本小题满分9分）已知，如图，Ｅ、Ｆ分别为矩形ＡＢＣＤ的边ＡＤ和ＢＣ上的点，ＡＥ＝ＣＦ．求证：ＢＥ＝ＤＦ．19．（本小题满分10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出111A B C △和222A B C △：（1）将ABC △先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到111A B C △；（2）以图中的O 为位似中心，将111A B C △作位似变换且放大到原来的两倍，得到222A B C △20．（本小题满分10分）广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表：等级非常了解比较了解基本了解不太了解频数 40 120 36 4 频率0.2m0.180.02（1）本次问卷调查取样的样本容量为_______，表中的m 值为_______．（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图6所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数约为多少？21．（本小题满分12分）已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6）．（1）求m 的值；ABCDEF 18题第22题图ED北BAC（2）如图9，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．22．（本小题满分12分）如图,AB 是⊙O 的直径,点P 是AB 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C , 连结AC ,过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ,交⊙O 于点 E.已知AB ﹦8,∠P=30°.(1) 求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积.23．（本小题满分12分）广州市某楼盘准备以每平方米35000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米28350元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套80平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月4元．请问哪种方案更优惠？ 24．（本小题满分14分）如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°，C 岛在B 岛的北偏西40°，A 、B 两岛相距100km . （1）求从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 的度数；（2）已知海洋保护区的范围设在以C 点为圆心，40km 为半径的圆形区域内.如果一艘轮船从A 岛直线航行到B 岛，那么它会不会穿越保护区.为什么？25．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，BAOCy x(第24题)第21题如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.x(第25题)答案一、选择题：DBACC BACBC 二、填空题11、____3____ 12、（x+3）(x-3) 13、x>2 14、80° 15、5516、n ²+n 17、 ⎩⎨⎧-==13y x18、证明：矩形ABCD 中AB=CD ，∠A=∠C ；又AE=CF∴ △BAE ≌△DCF （SAS ）∴ BE=CF （全等三角形对应边相等） 19、画一个图5分，没有总结性语言总共扣1分20：（1） 180、、 0.6 4分（2）360×20%=72° 5分 360×0.6=216° 6分画图 8分（3）1500×0.6=900 10分21、解：（1）把A(-1、6)代入xm y 8-=得 m=2 4分 (2) C （-4,0） 8分 22．（1）连结OC∵PC切⊙O 于点 C ∴………………1分∵∴………………2分∵∴………………4分（2）∵，∴，∵∴∴…7分∵∴∴…10分。

海珠区2013学年第一学期学业水平调研测试九年级数学试卷.doc

海珠区2013学年第一学期学业水平调研测试九年级数学试卷第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题：（本题共有10个小题，每小题3分，共30分）1、下列四个图形中是中心对称图形的为（）A B C D2、已知x=2是一元二次方程x²－mx+2=0的一个解，则m的值为（）A.－3B.3C.0D. 0或33、下列事件中是必然事件的是（）A.从一个装有黄、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球；B.小丹的自行车轮胎被钉子扎坏；C.小红期末考试数学成绩一定得满分；D.将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上。

4、使式子有意义，则x的取值范围是（）A.x＞5B.x≠5C.x≥5D.x≤55、已知方程x²－3x－8=0的两个解分别为值分别是（）A.3，－8B.－3，－8C.－3，8D.3,86、两圆半径分别为3㎝和7㎝，当圆心距d=10㎝时，两圆的位置关系为（）A.外离B.内切C.相交D.外切7、如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A＇B＇C。

若∠A=40°，∠B＇=110°，则∠BCA＇的度数是（）A.110°B.80°C.40°D.30°第7题图第9题图第10题图8、从连续正整数10－99中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等，球选出的数其十位数字与各位数字的和为9的概率是（）9、如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，CD⊥AB于E，若∠ADC=50°，则∠BCD=（）A.50°B.30°C.40°D.25°10、已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a＞0B.3是方程ax²+bx+c=0的一个根C.a+b+c=0D.当x＜1时，y随x的增大而减小第Ⅱ卷非选择题（共120分）二、填空题：（本题共有6个小题，每小题3分，共18分）11、点A（3,－1）关于坐标原点的对称点A’坐标是。

2013年广东省广州市海珠区小学数学毕业试卷

2013年广东省广州市海珠区小学数学毕业试卷一、认真思考，准确填写。

1．（3分）0.6==：2=15÷=%2．（3分）kg=g 25cm2=dm2．3．（3分）如图中，三角形A按：放大后得到三角形B，它的面积扩大到原来的倍．若点C的位置可以用（5，1）表示，那么点D的位置可以用来表示．4．（3分）修一段路，已经修了它的，已修的长度与未修的长度的最简整数比是：．如果已经修了6千米，则还有千米没有修．5．（3分）要画一个周长是25.12cm的圆，圆规两脚间的距离是cm．6．（3分）小明做口算训练，共50题，做错了5题．小明这次口算训练的正确率是．7．（3分）一个高12cm的圆锥形容器装满水，把水全部倒入和它底面积相等的圆柱形空容器里，圆柱形容器的水面高cm．（容器的厚度忽略不计）8．（3分）如果水位升高10cm记作+10cm，那么水位下降8cm记作cm，水位不升不降时记作cm．9．（3分）（1）如图是表示某种规格钢筋的质量与长度成比例关系的图象．（2）不计算，根据图象判断，6m的钢筋重kg．10．（3分）运一堆矿石，已经运走了4车，每车运a吨，还剩下b顿，这堆矿石共有吨．当a=25，b=15时，这堆矿石共有吨．二、仔细推敲，认真辨析．（对的在横线里打“√”，错的打“×”）11．（3分）甲数比乙数多，则乙数比甲数少12.5%．（判断对错）12．（3分）一个末尾不是0的三位小数，精确到十分位是3.0，这个三位小数最小是3.001．．13．（3分）圆的半径扩大到原来的2倍，面积也扩大到原来的2倍．．（判断对错）14．（3分）一个三角形三个内角度数的比是1：1：2，这个是等腰直角三角形．．15．（3分）一组数据：25、28、23、20、250，用平均数表示它的一般水平比较合适．．三、反复比较，慎重选择（选择在答案的序号填在括号里）16．（3分）下面的各种说法，正确的是（）A．在分别写着1、2、3、4、5的五张卡片中任抽一张，抽到质数的可能性是．B．求要修水渠的全长，列式是36÷C．﹣8比﹣1大D．180500300读作一亿八千零五十万零三百17．（3分）下面各题中的两个量，成正比例关系的是（）A．如果y=，y和xB．圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高C．圆的周长与它的直径D．身高与跳高的成绩18．（3分）育新小学六年级学生喜欢的运动项目统计如图，其中喜欢足球的有40人．下面说法正确的是（）A．喜欢踢毽子的人数最少B．喜欢跳绳的有30人C．喜欢乒乓球的人数最多19．（3分）一套衣服卖450元，其中裤子的价格是上衣的，上衣的单价是多少元？以下的列式，错误的是（）A．=4：5 450×B．450×（1）C．设上衣单价为x元，列方程得：x x=45020．（3分）在比例尺是1：3000000的地图上，量得A、B两港距离为12cm，一艘货轮于上午7时出发，以每小时24km的速度从A港开向B港，到达B港的时间是（）A．22时B．23时C．21时四、注意审题，细心计算．21．直接写出计算结果2.25+3.2===5×20%=====22．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法5.585．23．解方程2.5x﹣48=27．24．按照下面的条件列出比例，并且解比例．比例的两个外项分别是和，两个内项分别是x和．25．计算下面圆柱体的体积和表面积体积：表面积：五、看清要求，合理操作26．下面是某街区主要文化单位平面图．（1）电影院到图书馆的实际距离是600m，请量出它们的图上距离，并求出比例尺，把比例尺标在如图的右下角．（2）少年宫在电影院正东方向1.8km处，儿童公园在少年宫正北方向450m处，请在图中画出上述两个地点的平面图．27．光明广场有一个圆形花坛，花坛的直径是40米．（1）若把花坛的平面图画在图中，画出的直径是cm．（2）请在如图的方框里画出这个花坛的平面图（只画出边界）．六、根据信息、准确统计．28．某家电商场A、B两种品牌彩电2012年上半年的月销售量统计如下表．1、请你根据上表中的数据，制成折线统计图．2、（1）品牌彩电的月销售量整体呈上升的趋势．（2）B品牌月销售量增长最快的是月份，这个月的销售量比前一个月增长了%．七、活用知识，解决问题．29．只列式不计算（1）一台微波炉原价800元，现在按七五折出售．现在购买可以便宜多少元？列式：（2）两个底面积相等的圆柱，一个高为4.5dm，体积为81dm3，．另一个高为3dm，它的体积是多少？列式：．30．小丽和小红参加踢毽子比赛，小红踢了90下，比小丽多踢20%，小丽踢了多少下？31．要给一间房子铺地砖，用面积为12dm2的地砖，需要80块．如果改用面积为15dm2的地砖，需要多少块？（用比例解）32．学校图书室友连环画150本，是科技书本数的，故事书的本数是科技书的．图书室里有故事书多少本？33．一个圆锥形的钢铁零件（如图），如果每立方厘米钢重7.8克，那么这个零件重多少克？2013年广东省广州市海珠区小学数学毕业试卷参考答案与试题解析一、认真思考，准确填写。

广东省广州市高三数学毕业班综合测试试题(一)(广州一模) 文新人教A版

12013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程y bx a=+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A BC ．U A=()U B D ．U =()U A ()U B3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y fx =是函数2x y=的反函数，则()2f 的值是A ．4B ．2C ．1D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为2图1俯视图A．-．．．6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B. 1C.23D.138. 已知函数()2fx x sin =，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x fy C C (+= 为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数()()1f x x ln =+-的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：3图2C根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的nn (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，165AD =，则AB 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收4图3a0.06b 图4MDCBAP获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的中点.（1）求证:PA //平面BMD ；（2）求证：AD ⊥PB ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BMD 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，5n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n T ；（3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值. 20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n x x x f x x x n -=-+-+-∈-R. （1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．6 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．(]1,2 12．1238. 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x xππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………7分 ∴OP PQ OQ ===……………10分7∴222222cos 23OP OQ PQPOQOP OQ+-+-∠===.……12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………8分 ∴(2,2),(4,OP OQ ==. ……………10分 ∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………12分解法3: ∵(2)2sin 2cos244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭5分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭6∴(4,P Q . ……………7分作1PP x ⊥轴, 1QQ x⊥轴,垂足分别为11P Q ,,∴112,OP OP PP ====114OQ QQ,== (8)分设11POP QOQ,αβ∠=∠=, 则133sin ,cos ,sin,cos ααββ====. ……………10分 ∴cos cos POQ ∠=()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株），8 ……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.①…………3分根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分解①②得:008004a b .,.==. ……………6分（2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为123A A A ,,,4A ， ……………… 7分产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. (11)分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O , 连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ……………1分 ∵M 为PC 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,9ON MDCBAP∴PA //平面BMD . ……………3分 (2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD . ……………4分 ∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =， ∴222260BDAB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ……………5分 ∴22ABAD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PDBD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵PB ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取CD 的中点N ，连接MN ，则MN PD //且12MN PD =. ∵PD ⊥平面ABCD ，2PD =，∴MN ⊥平面ABCD ，1MN =. ……………9分在Rt △PCD 中，2CD AB PD ===，1122DM PC ===，∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴BC PB ⊥.在Rt △PBC中，12BM PC ==.在△BMD 中，BM DM =，O 为BD 的中点,10 ∴MO BD ⊥.在Rt △ABD中，6022BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △MOB中，MO ==∴132ΔABD S AD BD =⨯=，1152ΔMBD S BD MO =⨯=…………11分设点A 到平面BMD 的距离为h ，∵M ABD A MBD V V --=， ∴13MN 13ΔABD S h =ΔMBD S . ……………12分即13⨯1⨯13h =⨯⨯，解得h =……………13分∴点A 到平面BMD . ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2）解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分 ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234n n----=⋅⋅⋅⋅ ()()2222132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分令12n n +10102013>，解得：42877n <. ……………13分故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② ……………7分同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23x x y f x kx x kx =-=-+-- ……………1分 ∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分方程210x x k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤，故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210x x k -++=的两个实根为1x =，2x =. (4)分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12x x x ,∈时，0y '>；()2x x ,∈+∞时，0y '<；故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n x x x f x x n -=-+-+--，得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++-. ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n x f x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++---0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++--- 24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++--- 2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅--0<. …………12分∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分当()1x ,∈-∞时，()()10n n f xf >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<. 综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解.∴1t =. ……………14分。

广州市海珠区2013年九年级一模数学试题

广州市海珠区初三毕业班一模考试数学试题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1．实数-2的绝对值是（ ※ ） A ．2 B ．-2 C ．21 D ．21-2．下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ※ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图所示几何体的正视图是（ ※ ）A ．B ．C ．D ．主视方向 4．下列计算中，正确的是（ ※ ）A ．b a b a +-=+-2)(2B ．b a b a --=+-2)(2C ．b a b a 22)(2--=+-D ．b a b a 22)(2+-=+- 5．两个相似三角形的相似比是1：2，其中较小三角形的周长为6cm ，则较大的三角形的周长为（ ※ ） A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm 6．分式方程122x x=+的解是（ ※ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．47．函数12-+=x x y 中自变量x 的取值范围是（ ※ ）A ．2-≥xB ．12≠-≥x x 且C ．1≠xD ．12≠≥x x 或 8．一次数学测验，甲、乙两班的数学成绩统计数据如下表：班级人数平均分中位数方差甲 55 118 119 197 乙55118121180如下结论：（1）从平均分来看，甲、乙两班学生的数学成绩平均水平相同；（2）如果不低于120分为优秀，那么甲班获得优秀的人数比乙班多；（3）甲班同学的成绩波动相对比较大．上述结论正确的是（ ※ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3） 9．一次函数k kx y +=和反比例函数)0(≠=k xk y 在同一直角坐标系中的图象大致是（ ※ ）10．如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=CB ，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ※ ） A ．25244π- B ．2524π- C ．2512π- D ．25124π-二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．分解因式：=-12a ※ ． 12．请写出抛物线12+=x y 上任意一个点的坐标 ※ ． 13．若关于x 的方程02=+-m x x 有实数根，则m 的取值范围是 ※ ． 14．已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是 ※ ． 15．如图，边长为1的正方形网格中，点A 、B 、C 在格点上，则=∠CAB sin ※ ．16．如图，在ABC ∆中，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，3=DE ，4=BE ，6=BC ,则=AC ※ ．17．（本题满分9分）解不等式组：⎩⎨⎧+<-+>-7)1(3132x x x x18．（本题满分9分）先化简，再求值：11)11(22-÷+-x xx x ，然后选择一个你喜欢且符合题意的x 值代入求值．19．（本题满分10分）袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中随机摸出一个小球，求小球上数字等于4的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字的积为偶数的概率．（用列表法或画树状图求解）第15题图C B A 第10题图第16题图 E ACD B20．（本题满分10分）“地震无情人有情”，雅安地震牵动了全国人民的心．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距2m，探测线与地面的夹角分别是30º和60º，试确定生命所在点C的深度．（结果保留到0.1m）21．（本题满分12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，1=CE，点F是BC的中点，求证：EFAF⊥．22．（本题满分12分）如图：若⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足为P，3=PA，36=BC．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．第20题图第21题图FEACDB第22题图C BPOA23．（本题满分12分）随着经济发展，污染问题日益严重．某环保厂家看到这个商机，以200万元购买了某项空气净化产品的生产技术后，再投入280万元购买生产设备进行该产品的生产．已知生产这种产品的成本价为每件30元，经过市场调研发现，该产品的销售单价定在40到50元之间较为合理，并且该产品的年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）请根据图像直接写出销售单价是45元时的年销售量；（2）求出年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）求该公司第一年的年获利W （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；并说明投资的第一年，销售单价定为多少时该厂家能获得最大盈利？最大利润是多少？24．（本题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，=∠=∠B A 90°，5=AD ，10=AB ，6=BC ，点E 是线段AB 上的动点，连结CE ，CE EF ⊥交AD 于F ，连结CF ，设x BE =．（1）当=∠BCE 30°时，求BCE ∆的周长；（2）当5=x 时，求证：BC AF CF +=；（3）是否存在x ，使得)(2BC AF CF +=？如果存在，求出x 的值；如果不存在，请说明理由．25．（本题满分14分）如图，直线2y kx k =-+与抛物线2115424y x x =-+交于A 、B两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ．（1）证明直线2y kx k =-+过定点P ，并求出P 的坐标；（2）当0k =时，证明AQB∆是等腰直角三角形；（3）对于任意的实数k ，是否都存在一条固定的直线与以AB为直径的圆相切？若存在，请求出此直线的解析式；若不存在，请说明理由．第23题图第24题图BC D E FA 第25题图海珠区2012学年第二学期九年级综合练习数学参考答案一、选择题1-5.ADACD 6-10.CBBCD 二、填空题11. )1)(1(-+a a 12.略 13. m ≤1414. 33 15. 2131316. 4.5三、解答题（由各学校自行决定评分标准） 17．（本题满分9分）解：解不等式①得：x >4解不等式②得：x <5所以原不等式组的解集是4<x <5 18．（本题满分9分）解：原式=)1)(11(22-+-x xx x=21(1)(1)(1)x x x x x x -+--+=211x x xx---=(1)x x x-=1x -当2x =时，原式=1（x 可以取除-1、0、1以外的任意实数）19．（本题满分10分）解：（1）P （小球上数字等于4）=16（2）P （数字的积为偶数）=7920．（本题满分10分）∵∠1=60°，∠2=30°，AB=2m∴∠DBC=∠1=60°，∠BAC=∠2=30° ∴∠BCA=∠DBC-∠BAC=30°=∠BAC ∴BC= AB=2m ∴CD=sin 60BC =3≈1.7m即：生命所在点C 的深度约为1.7m21．（本题满分12分）证明：∵正方形ABCD 的边长为4，CE=1，点F 是BC 的中点， ∴AB=BC=4，BF=FC=12BC=2∠B=∠C=90°∴在Rt △ABF 和Rt △FCE 中：∴△ABF ∽FCE ∴∠AFB=∠FEC∵∠EFC+∠FEC=90°∴∠EFC+∠AFB=90°，∠AFE-180°-（∠EFC+∠AFB ）=90°，即：AF ⊥EF22．（本题满分12分）解：（1）如图：连接OC ，∵OA ⊥BC ，PA=3，BC=63，设圆O 的半径为r ∴在Rt △OPC 中，PC=12BC=33，OP=3r -，OC=r根据勾股定理：OP 2+PC 2=OC2222(3)(33)r r -+= 6r =即：圆O 的半径是6.（2）如图：连接OB ，∵OA ⊥BC ，PA=3，PC=12BC=33，设圆O 的半径r =6∴OP=3，sin ∠POC=PC OC=32∴∠POC=60°，∠BOC=120° ∴-O BAC S S =阴影部分扇形-OBC S △=212061-6333602π∙∙∙=12-93π第22题图CBP OA23．（本题满分12分）解：（1）如图：销售单价是45元时的年销售量是30万件．（2）如图：当40≤x ≤45时，设函数关系式为11y k x b =+，分别代入（40,40）和（45,30），则：解得：当45<x ≤50时，设函数关系式为22y k x b =+，分别代入（45,30）和（50,25），则：解得：所以年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为： 40≤x ≤45 45<x ≤50（3）该公司第一年的年获利W （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：40≤x ≤4545<x ≤50当40≤x ≤45时，22218040802(45)30W x x x =-+-=--- 45x =时，max 30W =-所以此时厂家不管如何定销售单价，都不可能盈利．当45<x ≤50时，221052730(52.5)26.25W x x x =-+-=--+ 50x =时，max 20W =综上所述：销售单价定为50元时，厂家能获得最大盈利，最大利润是20万元.24．（本题满分14分）解：（1）如图：∵=∠=∠B A 90°，6=BC ，x BE =，=∠BCE 30° ∴Rt △EBC 中，BE=BCtan30°=23，EC=0cos 30BC =43BCE ∆的周长=BC+EB+EC=6+63（2）如图：取FC 的中点P ，连接E 、P ，∵=∠=∠B A 90°，5=AD ，10=AB ，6=BC ，5==x BE ，CE EF ⊥， ∴EP 是直角梯形ABCF 的中位线，EP=2AF BC+EP 也是Rt △EFC 斜边上的中线，EP=2CF∴EP=2AF BC+=2CF ，即BC AF CF +=（3）如图：取AB 的中点Q ，连接Q 、P ，∵=∠=∠B A 90°，5=AD ，10=AB ，6=BC ，212075x y x -+⎧=⎨-+⎩2221804080(30)2002801052730x x W x y x x ⎧-+-=---=⎨-+-⎩QP 是直角梯形ABCF 的中位线，QP=2AF BC+，∠PQE=90°EP 是Rt △EFC 斜边上的中线，EP=2CF要使得)(2BC AF CF +=，只需EP=2QP,即Rt △PQE 是等腰直角三角形，QP=QE=5x -∴AF=2QP-BC=25x --6∵=∠=∠B A 90°， CE EF ⊥，∴∠AFE+∠AEF=90°，∠BEC+∠AEF=90° ∴∠AFE=∠BEC∴Rt △EBC ∽Rt △FAE ∴EB BC FAAE=，即625610x x x=---当0≤x ≤5时，5x -=5x -，25x --6=42x -64210x xx=--，11197x =+（舍），21197x =-当5<x ≤10时，5x -=5x -，25x --6=216x -621610x x x=--，1197x =-+，2197x =--（舍）综上所述：119797x =-或-1+时，)(2BC AF CF +=25．（本题满分14分）解：（1）证明：∵2(1)2y kx k k x =-+=-+∴当1x =时，2y =，即直线2y kx k =-+过定点P （1,2）（2）当0k =时，直线22y kx k =-+=，交点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）的坐标符合方程组：22115424y y x x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：1112x y =-⎧⎨=⎩ 2232x y =⎧⎨=⎩，即A （-1,2），B （3,2）抛物线2115424y x x =-+=21(1)14x -+，抛物线的对称轴与x 轴交于点Q∴Q （1,0）∴AB=22(13)(22)4--+-= AQ=22(11)(20)22--+-= BQ=22(31)(20)22-+-=∴AB 2=AQ 2+BQ 2，AQ=BQ ，即AQB ∆是等腰直角三角形（3）存在定直线与以AB 为直径的圆相切，此直线即x 轴，解析式是0y =.理由如下：22115424y kx k y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，即：2113()0424x k x k -++-= ∵1224x x k +=+，1243x x k =-∴222121212()()41616x x x x x x k -=+-=+2221212()()y y k x x -=-2121212(2)(2)()2444y y kx k kx k k x x k k +=-++-+=+-+=+∴AB=22222121212()()1()44x x y y k x x k -+-=+-=+，即以AB 为直径的圆的半径为222k + ∵AB 的中点是（122x x +，122y y +）∴AB 的中点，即以AB 为直径的圆的圆心坐标为（21k +，222k +）， ∵圆心到x 轴的距离刚好等于半径∴存在定直线与以AB 为直径的圆相切，此直线即x 轴，解析式是0y =.。

2013广州一模数学及答案解析

广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121，其中y x ,表示样本均值。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则 A.B A U ⋃= B.B A C U U ⋃=)( C.)(B C A U U ⋃= D.)()(B C A C U U U ⋃=2.已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6π B.3π C.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32 D.316.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx 11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12.已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f = （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8． (1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望. 18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点.(1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C 处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点； (3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或27 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===.…10分 ∴POQ sin ∠==. (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=. ………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==. ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠==. (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP = ……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分（2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1aP P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，2CEAB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tanEHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tanCE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE⊥平面1A AB ，z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在R t △EHB中，BH ==，cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EFAA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF=CD . ……………2分∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，2CEAB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tanEHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tanCE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. ……………9分在R t △EHB中，BH==∵R t △EHB ～R t △1A AB ，∴1EH BH AA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n A 1⋅，n 01=⋅A ，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1zx ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA nAA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n=时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. …………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， …………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222pr q +=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x+=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴1012y x x y -=. ① ……………6分同理，20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120xkx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212xa m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m>时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m<时，由0Δ>,得k <-k >若k <-，则1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中1x =, 2x =解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221xk x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中1x =2x =(2)证法1：∵1m=， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ . ……………10分令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ ，则T122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x0>，∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ …11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n nC C C -=+++()012102n n n n n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nn n gx g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-.① 当1n=时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

2013年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州一测及参考答案

广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:如果事件A,B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y axy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121, 其中y x ,表示样本均值。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ,集合}5,3,1{=A ,}4,2{=B ,则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃= 2.已知bi ia+=-11,其中a,b 是实数,i 是虚数单位,则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ,则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是 A.6π B.3π C.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.31 6.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数,函数2)(-+=x e x f x 的零点为a,函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b,则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度d=600m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=,水流速度为2km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题)9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=,据此模型估计,该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元(结果保留两位小数).12.已知1,0≠>a a ,函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ,若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25,则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分,则.________)(______,)3(n f f = (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点)23,2(πA ,点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为______.15.(几何证明选讲选做题)如图3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O交于点D,若BC=3,516=AD ,则AB 的长为______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函)4sin()(πω+=x A x f (其中0,0,>>∈ωA R x )的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P,Q 的横坐标依次为2,4,O 坐标原点,求POQ ∆的面积.17.(本小题满分12分)甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,21乙,丙做对的概率分别为m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.(本小题满分14分)如图4,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,ABC ∆是边长为2的等边三角形,⊥1AA 平面ABC,D,E 分别是CC 1,AB 的中点.(1)求证:CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点,当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时,求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的前n 项和为S n ,且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数,且p,q,r 成等差数列,试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 1的中心在坐标原点,两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,点A(2,3)在椭圆C 1上,过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B,C 两点,抛物线C 2在点B,C 处的切线分别为21,l l ,且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标)；若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ,关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ,其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时,函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点,并求出极值点； (3)若m=1,且x>0,求证:*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.1sin 11.12.38 12.12或27 13.8,22n n -+ 14.1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15.4 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >, ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T πω==,得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分(2)解法1:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===…10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分 ∴cos cos ,6OP OQ POQOP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠== (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =,即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)解:设“甲做对”为事件A ,“乙做对”为事件B ,“丙做对”为事件C ,由题意知, ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的,所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144Pξ-==-=.…………3分 (2)由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=, ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====, ……………5分整理得 112mn =,712m n +=.由mn >,解得13m =,14n =. ……………7分 (3)由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=, …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14, ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一:(1)证明:延长1A D 交AC 的延长线于点F ,连接BF . ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点,∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ,CE ⊥平面1A AB ,z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ,1A B ⊂平面1A AB , ∴BF ⊥AB ,BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角). ……………12分在R t △EHB 中,BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为5. ……………14分解法二:(1)证明:取1A B 的中点F ,连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点, ∴EF ∥1AA ,且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴EF ∥CD ,EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分在R t △EHB 中,BH ==∵R t △EHB ～R t △1A AB , ∴1EH BHAA AB =,即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点,与AC 垂直的直线为x 轴,AC 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,,1A ()004,,,B )10,,D ()02,,2.∴1AA =()004,,,1A B=)14,-,1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,,由n A 1⋅,n 01=⋅A ,得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =,则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC , ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角) ……………14分 19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+,∴ 当1n =时,有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法:法1:由③式得:11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+,即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+, ……………5分∵112240S a +=+=≠,∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=, ……………7分又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分法2:由③式得:()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++,得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得:12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+,得24a =,∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项,2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分 (2)解:∵p q r ,,成等差数列,∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列, 则()()()2111p r q a a a --=-, …………10分即()()()2212121prq--=-,化简得:2222p r q +=⨯. (*) ……………11分 ∵p r ≠,∴2222p r q +>=⨯,这与(*)式矛盾,故假设不成立.…13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ……………1分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =, ……………10分则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理, 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>, ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++. ……………10分令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++,则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412nnn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>,∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++…11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分 ∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说,当1n k =+时,不等式也成立. 由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

2013年广东省广州市普通高中毕业班综合测试理科数学试题广州一测及参考答案

1广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:如果事件A,B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P ·=·.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y a x x y y x x b ni ini ii-=---=åå==ˆ,)())((ˆ121,其中y x ,表示样本均值。

表示样本均值。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ,集合}5,3,1{=A ,}4,2{=B ,则A.B A U È=B.B A C U U È=)(C.)(B C A U U È=D.)()(B C A C U U U È= 2.已知bi ia+=-11,其中a,b 是实数,i 是虚数单位,则a+bi=A.1+2iB.2+iC.2-iD.1-2i 3.已知变量x,y 满足约束条件ïîïíì£-£-³+.01,1,12y y x y x ,则y x z 2-=的最大值为的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是所得劣弧所对的圆心角是A.6pB.3pC.2pD.32p5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.316.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[p上单调递增上单调递增 B.奇函数且在],2[p p 上单调递增上单调递增C.偶函数且在]2,0[p 上单调递增上单调递增D.偶函数且在],2[p p 上单调递增上单调递增7.已知e 是自然对数的底数,函数2)(-+=x e x f x的零点为a,函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b,则下列不等式中成立的是则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f << 8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度d=600m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=,水流速度为2km/h,若客船行驶完航程所用最短时若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为则客船在静水中的速度大小为 A.8km/h B.h km /26 C.h km /342D.10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题)9.不等式x x £-1的解集是_________.10.ò=1._______cos xdx11.某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料:x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=,据此模型估计,该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元(结果保留两位小数).12.已知1,0¹>a a ,函数îíì>+-£=1,1,)(x a x x a x f x ,若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比上的最大值比最小值大25,则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(³În N n n 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分,则.________)(______,)3(n f f = (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点)23,2(p A ,点B 在直线0sin 3cos =+q r q r 上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为______. 15.(几何证明选讲选做题) 如图3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O交于点D,若BC=3,516=AD ,则AB 的长为______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函)4sin()(pw+=x A x f (其中,0,>>Îw A R x )的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数)(x f 的解析式；的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ,Q 的横坐标依次为2,4,O 坐标原点,求POQ D 的面积.17.(本小题满分12分)甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,21乙,丙做对的概率分别为m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立记x 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:x0 1 2 3P41ab241 (1)求至少有一位学生做对该题的概率；求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值；的值； (3)求x 的数学期望. 18.(本小题满分14分)如图4,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,ABC D 是边长为2的等边三角形,^1AA 平面ABC,D,E 分别是CC 1,AB 的中点.(1)求证:CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点,当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为所成最大角的正切值为215时,求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的前n 项和为S n ,且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n Î+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数,且p,q,r 成等差数列,试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 1的中心在坐标原点,两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,点A(2,3)在椭圆C 1上,过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B,C 两点,抛物线C 2在点B,C 处的切线分别为21,l l ,且1l 与2l 交于点P .(1)求椭圆C 1的方程；的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标)；若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ,关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ,其中m 为非零常数设1)()(-=x x f x g .(1)求a 的值；的值；(2))(R k k Î如何取值时,函数)1ln()()(--=x k x g x f 存在极值点,并求出极值点；并求出极值点； (3)若m=1,且x>0,求证:*)(22)1()]1([N n x g x g nnnÎ-³+-+参考答案说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.题号题号 12 3 4 5 6 7 8 答案答案 DBCD ACAB二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.1,2éö+¥÷êëø10.1sin 11.12.38 12.12或27 13.8,22n n -+ 14.1116,p æöç÷èø15.4 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分.② 第14题的正确答案可以是:11126k k ,(p p æö+Îç÷èøZ ). 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >, ∴2A =. …………………………11分∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T pw==,得4pw =. …………………………22分∴()2sin()44f x x p p=+. …………………………33分(2)解法1:∵(2)2sin 2cos 2244f p p p æö=+==ç÷èø, …………………………44分 (4)2sin 2sin 244f p p p æö=+=-=-ç÷èø, ……………………55分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴6,23,32OP PQ OQ ===. …………………………88分∴()()()222222632233cos 232632OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-Ð===´.…10分∴21POQ POQ sin cos Ð=-Ð=63. …………………………1111分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =Ð=´´´32=.………………1212分解法2:∵(2)2sin 2cos 2244f p p p æö=+==ç÷èø, …………………………44分(4)2sin 2sin 244f p p p æö=+=-=-ç÷èø, …………………………55分 ∴(2,2),(4,2)P Q -.∴(2,2),(4,2)OP OQ ==-. …………………………88分∴63cos cos ,3632OP OQ POQ OP OQ OP OQ ×Ð=<>===´. …………………………1010分∴21POQ POQ sin cos Ð=-Ð=63. …………………………1111分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =Ð=´´´32=.………………1212分解法3:∵(2)2sin 2cos 2244f p p p æö=+==ç÷èø, ………………44分(4)2sin 2sin 244f p p p æö=+=-=-ç÷èø,…………………………55分 ∴(2,2),(4,2)P Q -. ∴直线OP 的方程为22y x =,即20x y -=.…………………………77分∴点Q 到直线OP 的距离为42233d +==.…………………………99分∵6OP =, …………………………1111分∴△POQ 的面积为1162322SOP d =×=´´32=.…………………………1212分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)解:设“甲做对”为事件A ,“乙做对”为事件B ,“丙做对”为事件C ,由题意知由题意知, ,()()()12P A P B m P C n ,,===.…………………………11分 (1)(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0x =”是对立的”是对立的, ,所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P x -==-= (3)3分 (2)(2)由题意知由题意知()()()()1101124P P ABC m n x ===--=, ……………4分()()113224P P ABC mn x ====, …………………………55分整理得整理得 112mn =,712m n +=.由mn >,解得13m =,14n =. …………………………77分 (3)(3)由题意知由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC x ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=, …9分(2)1(0)(1)(3)b P P P P x x x x ===-=-=-==14, …………………………1010分∴x 的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P x x x x x =´=+´=+=+==1312. ……………………121212分分H FABCA 1C 1B 1D E18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一:(1)证明:延长1A D 交AC 的延长线于点F ,连接BF . ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA , ∴C 为AF 的中点的中点. . …………………………22分 ∵E 为AB 的中点的中点, ,∴CE ∥BF . …………………………33分 ∵BF Ì平面1A BD ,CE Ë平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . …………………………44分 (2)解:∵1AA ^平面ABC ,CE Ì平面ABC ,∴1AA ^CE . …………………………55分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ^,332CE AB ==.∵AB Ì平面1A AB ,1AA Ì平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ^平面1A AB . …………………………66分 ∴EHC Ð为CH 与平面1A AB 所成的角. …………………………77分 ∵3CE =,在R t △CEH 中,tan 3CE EHC EHEHÐ==,∴当EH 最短时,tan EHC Ð的值最大,则EHC Ð最大. …………………………88分 ∴当1EH A B ^时,EHC Ð最大. 此时,tan 3CE EHC EHEHÐ===152.∴255EH =. …………………………99分 ∵CE ∥BF ,CE ^平面1A AB ,z yxH ABCA 1C 1B 1DE F ∴BF ^平面1A AB .…………………………1010分 ∵AB Ì平面1A AB ,1A B Ì平面1A AB , ∴BF ^AB ,BF ^1A B .…………………………1111分 ∴1ABA Ð为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角). …………………………1212分在R t △EHB 中,22BH EB EH=-=55,cos 1ABA Ð55BH EB ==.…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为55. …………………………1414分解法二:(1)证明:取1A B 的中点F ,连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点的中点, , ∴EF ∥1AA ,且112EF AA =. …………………………11分 ∵CD ∥1AA ,且CD12=1AA ,∴EF ∥CD ,EF =CD . …………………………22分 ∴四边形EFDC 是平行四边形是平行四边形. .∴CE ∥DF . …………………………33分 ∵DF Ì平面1A BD ,CE Ë平面1A BD ,∴CE ∥平面1A BD . …………………………44分 (2)解:∵1AA ^平面ABC ,CE Ì平面ABC ,∴1AA ^CE . …………………………55分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ^,332CE AB ==.∵AB Ì平面1A AB ,1AA Ì平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ^平面1A AB . …………………………66分 ∴EHC Ð为CH 与平面1A AB 所成的角 …………………………77分∵3CE =,在R t △CEH 中,tan 3CE EHC EH EHÐ==, ∴当EH 最短时,tan EHC Ð的值最大,则EHC Ð最大. …………………………88分 ∴当1EH A B ^时,EHC Ð最大. 此时,tan 3CE EHC EH EH Ð===152. ∴255EH =. …………………………99分在R t △EHB 中,2255BH EB EH =-=. ∵R t △EHB ～R t △1A AB , ∴1EH BH AA AB =,即1255552AA =. ∴14AA =. …………………………1010分以A 为原点为原点,,与AC 垂直的直线为x 轴,AC 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,,1A ()004,,,B ()310,,,D ()02,,2.∴1AA =()004,,,1A B =()314,,-,1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,,由n B A 1×,n 01=×D A ,得340220x y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =,则13z x ==,. ∴平面A BD 1的一个法向量为n =()311,,. …………………………1212分∵1AA ^平面ABC , ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量的一个法向量..∴cos 111,×==n AA n AA n AA 55. …………………………1313分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为55. …………………………1414分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+,∴ 当1n =时,有 11(11)2,a S =-+ 解得解得 12a =. …………………………11分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ① 得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++,② ………………………………………22分 ② - ①得①得①得: : 11(1)(1)2n n nn a nS n S +++=--+. ③ ………………………………………33分以下提供两种方法: 法1:由③式得由③式得::11(1)()(1)2n nn nn SS nSn S +++-=--+,即122n n S S +=+; …………………………44分 \122(2)n n S S ++=+, …………………………55分 ∵112240S a +=+=¹,∴数列{2}n S +是以4为首项为首项,2,2为公比的等比数列为公比的等比数列. . ∴1242n n S -+=´,即1142222nnn S -+=´-=-.…………………………66分当2n ³时, 11(22)(22)2nn nn n n a S S +-=-=---=,…………………………77分又12a =也满足上式也满足上式, ,∴2n n a =. …………………………88分法2:由③式得由③式得::()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++,得12n n a S +=+. ④ …………………………44分当2n ³时,12n n a S -=+, ⑤ …………………………55分⑤-④得④得::12n n a a +=. …………………………66分由12224a a S +=+,得24a =,∴212a a =. …………………………77分∴数列{}n a 是以12a =为首项为首项,2,2为公比的等比数列为公比的等比数列. . ∴2n n a =. ……………………88分 (2)解:∵p q r ,,成等差数列成等差数列, ,∴2p r q +=. ……………………99分假设111pq r aa a ,,---成等比数列成等比数列,, 则()()()2111p r q a a a --=-,……………………1010分即()()()2212121prq--=-,化简得化简得::2222pprq+=´. (*) …………………………1111分∵p r ¹,∴2222222prprq+>´=´,这与这与(*)(*)(*)式矛盾式矛盾式矛盾,,故假设不成立故假设不成立..…13分∴111p q ra a a ,,---不是等比数列不是等比数列. . …………………………1414分 20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x ya b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ì+=ïíï=+î 解得: 2216,12.a b ì=ïí=ïî …………………………22分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=.…………………………33分解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, …………………………11分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. …………………………22分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=.…………………………33分 (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x BC --=,)413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. …………………………44分 ∴()()()222211211113244x x x x x x æö--=--ç÷èø,化简得:1212212x x x x ()+-=.① …………………………55分由24x y =,即214y x ,=得y ¢=12x . …………………………66分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为的方程为222412x x xy -=. ③ ………………88分设点),(y x P ,由②③得由②③得::=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ¹,则 )(2121x x x +=. …………………………99分代入②得代入②得2141x x y =, …………………………1010分则212x x x +=,214x x y =代入代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .…………………………1111分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, …………………………1212分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. …………………………1313分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. …………………………1414分解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24xy =,即214y x ,=得y ¢=12x . …………………………44分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x xy -+=. …………………………55分 ∵21141x y =, ∴112y x xy -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x xy -=. ① …………………………66分同理, 20202y x xy -=. ② …………………………77分综合①、②得综合①、②得,,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002. ………………88分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的的直线是唯一的,, ∴直线L 的方程为y x x y-=002, …………………………99分∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . …………………………1010分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . …………………………1111分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. …………………………1313分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. …………………………141414分分解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,ì=-+ïí=ïî消去y ,得248120x kx k -+-=. …………………………44分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. …………………………55分由24xy =,即214y x ,=得y ¢=12x .…………………………66分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =, ∴211124x yx x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124xy x x =-. …………………………88分由211222124124x y x x x y x x ,,ì=-ïïíï=-ïî解得121222234x x x k x x y k ,.ì+==ïïíï==-ïî∴()223P k k ,-. …………………………1010分∵1212PF PF AF AF +=+, ∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上.…………………………1111分 ∴()()2222311612kk -+=.化简得271230k k --=.(*) …………………………1212分由()2124732280Δ=-´´-=>, …………………………1313分可得方程可得方程(*)(*)(*)有两个不等的实数根有两个不等的实数根有两个不等的实数根. . ∴满足条件的点∴满足条件的点P 有两个. …………………………1414分 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. …………………………22分 (2)解法1:由(1)(1)得得()()1f xg xx =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()xg x j =-()1k x ln -()11m x x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+¥.∴()1x j ¢=-()211m k x x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. …………………………33分方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+.…………………………44分 ①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为212412k k mx ,+-+=<222412k k mx ,+++=>…………………………55分则()21x x ,Î时,()0x j ¢<；()2x x ,Î+¥时,()0x j ¢>.∴函数()x j 在()21x ,上单调递减上单调递减,,在()2x ,+¥上单调递增上单调递增. .∴函数()x j 有极小值点2x . …………………………66分 ②当0m <时,由0Δ>,得2k m <--或2k m >-, 若2k m <--,则212412k k mx ,+-+=<222412k k mx ,+++=<故x Î()1,+¥时,()0x j ¢>, ∴函数()x j 在()1,+¥上单调递增上单调递增. .∴函数()x j 没有极值点没有极值点. . …………………………77分若2k m >-时,212412k k mx ,+-+=>222412k k mx ,+++=>则()11x x ,Î时,()0x j ¢>；()12x x x ,Î时,()0x j ¢<；()2x x ,Î+¥时,()0x j ¢>.∴函数()x j 在()11x ,上单调递增上单调递增,,在()12x x ,上单调递减上单调递减,,在()2x ,+¥上单调递增上单调递增. .∴函数()x j 有极小值点2x ,有极大值点1x . …………………………88分综上所述综上所述,,当0m >时,k 取任意实数, 函数()x j 有极小值点2x ；当0m <时,2k m >-,函数()x j 有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分(其中21242k k mx +-+=, 22242k k mx +++=)解法2:由(1)(1)得得()()1f xg xx =-()221111x x m mx x x -++==-+--.∴()()x g x j =-()1k x ln -()11m x x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+¥.∴()1x j ¢=-()211m k x x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. …………………………33分若函数()()xg x j =-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x j ¢有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+¥上. …………………………44分令()x j ¢()()22211xk x km x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**)…………………………55分方程(*)的两个实根为21242k k mx +-+=, 22242k k mx +++=.设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,Î时,()0x j ¢<；()2x x ,Î+¥时,()0x j ¢>. ∴函数()x j 在()21x ,上单调递减上单调递减,,在()2x ,+¥上单调递增上单调递增. .∴函数()x j 有极小值点2x . …………………………66分②若②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.ì=->ïí+>ïî得00m k ,.ì<í>î又由(**)解得2k m >-或2k m <--,故2k m >-. …………………………77分则()11x x ,Î时,()0x j ¢>；()12x x x ,Î时,()0x j ¢<；()2x x ,Î+¥时,()0x j ¢>. ∴函数()x j 在()11x ,上单调递增上单调递增,,在()12x x ,上单调递减上单调递减,,在()2x ,+¥上单调递增上单调递增. .∴函数()x j 有极小值点2x ,有极大值点1x . …………………………88分综上所述综上所述,,当0m >时,k 取任何实数, 函数()x j 有极小值点2x ；当0m <时,2k m >-,函数()x j 有极小值点2x ,有极大值点1x …9分(其中21242k k mx +-+=, 22242k k mx +++=)(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111n n n n ng x g x x x x x æöæöéù+-+=+-+ç÷ç÷ëûèøèø112212111111nn n n n n nn nnn n nxC xC x CxC x x x x x x ----æö=+×+×++×+-+ç÷èø 122412n n n nnnnC x C xC x----=+++. …………………………1010分令T 122412nn n nn n nC xC x Cx----=+++, 则T 122412n nn n n nnnCxCxC x -----=+++ 122412nnn n nnnC xC xCx----=+++.∵x 0>, ∴2T ()()()122244122n nn nn nn nnnCxxC xxCxx-------=++++++…11分³122244122222nnnnnnn n n nC xxC xxC xx-------××+××++×× …12分()1212n n n n C C C-=+++()12102n n n n nnnn n n C C C CC C C -=+++++--()222n=-. …………………………1313分 ∴22nT ³-,即()()1122n n n g x g x éù+-+³-ëû. …………………………1414分证法2:下面用数学归纳法证明不等式11n n n x x x x æöæö+-+ç÷ç÷èøèø22n ³-. ① 当1n =时,左边110x x x x æöæö=+-+=ç÷ç÷èøèø,右边1220=-=,不等式成立；……………立；……………1010分② 假设当n k =k (ÎN *)时,不等式成立不等式成立,,即11kkk x x x x æöæö+-+ç÷ç÷èøèø22k³-, 则 11111k k k x x x x +++æöæö+-+ç÷ç÷èøèø11111111k k k k k k k x x x x x x x x x x x x++éùæöæöæöæöæöæöêú=++-++++-+ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøëû111k k k x x x x x x éùæöæöæöêú=++-++ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû111k k x x --æö+ç÷èø …………………………1111分 ()11112222k k k x x x x--³××-+×…………………………1212分 122k +=-.…………………………1313分也就是说也就是说,,当1n k =+时,不等式也成立不等式也成立. .由①②可得由①②可得,,对"n ÎN *,()()1122n n n g x g x éù+-+³-ëû都成立都成立. . ………………1414分。

广东省海珠区2013届高三数学综合测试(一)试题理新人教A版

海珠区2012学年高三综合测试（一）数学(理科)本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

参考公式：柱体体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 锥体体积公式Sh V 31=,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}{}2,4,5,1,3,5,7A B ==，则()U A C B ⋂=.A {}5 .B {}2,4 .C {}2,4,5,6 .D {}1,2,3,4,5,72．下面是关于复数21z i=- 的四个命题: 1p :2z =, 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1其中真命题为.A 23,p p .B 12,p p .C 24,p p .D 34,p p3．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是.A 3y x =- .B cos y x = .C y x x = .D x y e =4．要得到函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上的所有点.A 向右平行移动6π个长度单位.B 向左平行移动6π个长度单位.C 向右平行移动3π个长度单位.D 向左平行移动3π个长度单位5．执行如图1所示的程序框图,输出的i值为.A 5 .B 6 .C 7 .D 86．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y += 7．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积大于29cm 的概率为.A 110 .B 15 .C 310 .D 45图18.已知函数()()()22,20,f x x x g x ax a =-=+>对任意的[]11,2x ∈-都存在[]01,2x ∈-,使得()()10,g x f x =则实数a 的取值范围是 .A 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ .B 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C [)3,+∞ .D (]0,3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．在()7a x +展开式中4x 的系数为35,则实数a 的值为 .10．设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是 . 11．一个几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积为 .12．不等式211x -<的解集为(),a b ,计算定积分)2b ax dx =⎰ .13．将石子摆成如图3的梯形形状.称数列5,9,14,20,为“梯形数”.根据图形的构成,数列第6项6a = ;第n 项n a = .图3正视图俯视图侧视图图2（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C到直线l 的距离为 .15．（几何证明选讲选做题）如图4，在ABC ∆中， DE //BC ， EF //CD ，若4,2,1BC DE DF ===，则AB 的长为__________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、,c 向量()()3,sin ,cos ,1-==B B ,且m n ⊥.(1)求角B 的大小; (2)若ABC ∆,2253b ac -=,求,a c 的值.FE DCBA图417．(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图5是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是:[)[)[)0,10,10,20,20,30,[)30,40,[)40,50,[]50,60.将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）求图中x 的值;（2）从“体育迷”中随机抽取2人，该2人中日均收看该类体育节目时间在区间[]50,60内的人数记为X ，求X 的数学期望()E X .18．(本小题满分14分)如图6,在三棱柱ABC -111A B C 中,侧棱与底面垂直,090BAC ∠=,1AB AC AA ==2=,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.（1）证明:1A M ⊥MC ; （2）证明://MN 平面11A ACC ; （3）求二面角N MC A --的正弦值.B 1A 1MABCNC 1图6图519．(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 满足,32,5253=-=a a a 又数列{}n b 中,31=b 且()130n n b b n N *+-=∈.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别是n n T S ,,且()23.n n n S T c n+=求数列{}n c 的前n 项和n M ; (3)若n M ()39log 0,14mm m >>≠且对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.20．(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.21．(本小题满分14分)已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值. (1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立.海珠区2012学年高三综合测试(一) 理科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

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24．（本题满分 14 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， A B 90°，AD 5 ，AB 10 ， BC 6 ，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 CE ， EF CE 交 AD 于 F ，连结 CF ，设 BE x ．（1）当 BCE 30°时，求 BCE 的周长；（2）当 x 5 时，求证： CF AF BC ；（3）是否存在 x ，使得 CF 请说明理由．
[来源:学科网 ZXXK]
1 6
P（数字的积为偶数）=
7 9
20．（本题满分 10 分）解：如图：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，依题意：获取更多学习资料，请登录
当学网——专业教育服务平台！ ∵∠1=60°，∠2=30°，AB=2m ∴∠DBC=∠1=60°，∠BAC=∠2=30° ∴∠BCA=∠DBC-∠BAC=30°=∠BAC ∴BC= AB=2m ∴CD=
第一部分
选择题（共 30 分）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1．实数-2 的绝对值是（ ※ ） A．2 B．-2 C．
1 2
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
D．
1 2
2．下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ※ ）1 4来自14. 3 3 15.
2 13 16. 4.5 13
三、解答题（由各学校自行决定评分标准） 17．（本题满分 9 分）解：解不等式①得： x >4 解不等式②得： x <5 所以原不等式组的解集是 4< x <5 18．（本题满分 9 分）解：原式= (
1 1 2 )( x 2 1) x x x
A B C P O
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PA 3 ， BC 6 3 ．
（1）求⊙ O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．
23．（本题满分 12 分）随着经济发展，污染问题日益严重．某环保厂家看到这个商机，以 200 万元购买了某项空气净化产品的生产技术后，再投入 280 万元购买生产设备进行该产品的生产．已知生产这种产品的成本价为每件 30 元，经过市场调研发现，该产品的销售单价定在 40 到 50 元之间较为合理，并且该产品的年销售量 y（万件）与销售单价 x （元）之间的关系如图所示．（1）请根据图像直接写出销售单价是 45 元时的年销售量；（2）求出年销售量 y （万件）与销售单价 x （元）之间的函数关系式；（3）求该公司第一年的年获利 W （万元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式；并说明投资的第一年，销售单价定为多少时该厂家能获得最大盈利？最大利润是多少？
9 ．一次函数 y kx k 和反比例函数 y （ ※ ）
k (k 0) 在同一直角坐标系中的图象大致是 x
A．
B．
C．
D．
获取更多学习资料，请登录
当学网——专业教育服务平台！ 10．如图，在 ABC 中， AB AC 5 ， CB 8 ，分别以 AB 、 AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ※ ） A．
B． 2(a b) 2a b D． 2(a b) 2a 2b
5．两个相似三角形的相似比是 1：2，其中较小三角形的周长为 6 cm ，则较大的三角形的周长为（ ※ ） A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
6．分式方程
1 2 的解是（ ※ ） x2 x
2
13．若关于 x 的方程 x 2 x m 0 有实数根，则 m 的取值范围是 ※ ．
14．已知菱形的边长为 3，一个内角为 60°，则菱形较长的对角线长是
※ ．
15．如图，边长为 1 的正方形网格中，点 A 、 B 、C 在格点上，则 sin CAB
※ ．
C
A
第 15 题图
B
CE 分别是 BC 、AB 边上的高，DE 3 ，BE 4 ，BC 6 , 16．如图，在 ABC 中，AD 、则 AC ※ ．
BC = 3 ≈1.7m sin 600
即：生命所在点 C 的深度约为 1.7m 21．（本题满分 12 分）证明：∵正方形 ABCD 的边长为 4，CE=1，点 F 是 BC 的中点， ∴AB=BC=4，BF=FC=
1 BC=2 2
∠B=∠C=90° ∴在 Rt△ABF 和 Rt△FCE 中：
A．
B．
C．
D．
3．如图所示几何体的正视图是（ ※ ）
A．
B．
C．
D．
主视方向
4．下列计算中，正确的是（ ※ ）获取更多学习资料，请登录
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A． 2(a b) 2a b C． 2(a b) 2a 2b
25 24 B． 25 24 4
C． 25 12
D．
25 12 4
第 10 题图
第二部分
11．分解因式： a 2 1
非选择题（共 120 分）
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．） ※ ．
12．请写出抛物线 y x 1 上任意一个点的坐标 ※ ．
2
1 BC= 3 3 ，OP= r 3 ，OC= r 2
2 2
根据勾股定理：OP +PC =OC
(r 3) 2 (3 3) 2 r 2
第 22 题图
r 6
即：圆 O 的半径是 6. （2）如图：连接 OB， ∵OA⊥BC，PA=3，PC=
[来源:]
1 BC= 3 3 ，设圆 O 的半径 r =6 2
∴△ABF∽FCE ∴∠AFB=∠FEC ∵∠EFC+∠FEC=90° ∴∠EFC+∠AFB=90°，∠AFE-180°-（∠EFC+∠AFB）=90°，即：AF⊥EF 22．（本题满分 12 分）解：（1）如图：连接 OC， ∵OA⊥BC，PA=3，BC= 6 3 ，设圆 O 的半径为 r ∴在 Rt△OPC 中，PC=
∴OP=3，sin∠POC=
3 PC = OC 2
∴∠POC=60°，∠BOC=120° ∴ S阴影部分 S扇形O -BAC - S△OBC
=
120 62 1 - 6 3 3 360 2
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= 12 -9 3 23．（本题满分 12 分）解：（1）如图：销售单价是 45 元时的年销售量是 30 万件．（2）如图：当 40≤ x ≤45 时，设函数关系式为 y k1 x b1 ，分别代入（40,40）和（45,30），则：解得：当 45< x ≤50 时，设函数关系式为 y k2 x b2 ，分别代入（45,30）和（50,25），则：解得：
18．（本题满分 9 分）先化简，再求值： ( 合题意的 x 值代入求值．
1 1 1 ，然后选择一个你喜欢且符 2 ) 2 x x x x 1
19．（本题满分 10 分）袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字 1，2，3，4，5，6．（1）从袋中随机摸出一个小球，求小球上数字等于 4 的概率；（2）将标有 1， 2， 3 数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字的积为偶数的概率．（用列表法或画树状图求解）
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20．（本题满分 10 分） “地震无情人有情” ，雅安地震牵动了全国人民的心．某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点 A 、 B 相距 2 m ，探测线与地面的夹角分别是 3 0º和 60º，试确定生命所在点 C 的深度．（结果保留到 0.1 m ）
2 ( AF BC ) ？如果存在，求出 x 的值；如果不存在，
A
F
D
E B C
第 24 题图
25．（本题满分 14 分）如图，直线 y kx k 2 与抛物线 y
1 2 1 5 x x 交于 A 、 B 4 2 4
两点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 Q ．（1）证明直线 y kx k 2 过定点 P ，并求出 P 的坐标；（2）当 k 0 时，证明 AQB 是等腰直角三角形；（3）对于任意的实数 k ，是否都存在一条固定的直线与以 AB 为直径的圆相切？若存在，请求出此直线的解析式；若不存在，请说明理由．获取更多学习资料，请登录第 25 题图
小明通过上表分析后得出如下结论：（1）从平均分来看，甲、乙两班学生的数学成绩平均水平相同；（2）如果不低于 120 分为优秀，那么甲班获得优秀的人数比乙班多；（3）甲班同学的成绩波动相对比较大．上述结论正确的是（ ※ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（ 2）（3） D．（1）（ 2）（3）
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海珠区 2012 学年第二学期九年级综合练习数学参考答案
一、选择题 1-5.ADACD 二、填空题 11. (a 1)(a 1) 12.略 6-10.CBBCD 13. m ≤
=
x 2 1 ( x 1)( x 1) x x( x 1)
x2 1 x 1 x x
=
x( x 1) x = x 1 当 x 2 时，原式=1 （ x 可以取除-1、0、1 以外的任意实数）
= 19．（本题满分 10 分）解：（1）

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