高三文科数学一轮复习数列5-1

命题要点：(1)数列的通项公式(′11年6考，′10年5考)；(2)数列的概念及性质(′11年1考).
A级
(时间：40分钟满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知数列，1，3，5，7，…，2n－1，…，则35是它的()．A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项
解析35＝45＝2×23－1.
答案 B
2．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第七个三角形数是()．
A．27 B．28 C．29 D．30
解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案 B
3．(2011·四川)数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n＋1＝3S n(n≥1)，则a6＝
()．A．3×44B．3×44＋1 C．45D．45＋1
解析a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4 ＝3×43，a6＝3S5＝3×44.
答案 A
4．对于数列{a n}，“a n＋1＞|a n|(n＝1,2，…)”是“{a n}为递增数列”的()．A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C ．必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 当a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ， ∴a n ＋1＞a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2＞|a 1|不成立，即知：a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．
答案 B
5．(2011·绵阳模拟)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是
( )．
A ．103 B.8658 C.8258 D ．108
解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.
答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在函数f (x )＝x 中，令x ＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．
答案 1，2，3，2， 5
7．数列1,2,4,7,11,16，…的一个通项公式a n ＝________.
解析 通过观察得知a n ＋1－a n ＝n ，利用累差叠加法，可求出a n ＝1＋2＋…＋(n
－1)＋1＝n 2－n ＋22
. 答案 n 2－n ＋22
8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值为________．
解析 ∵S n ＝n 2－9n ，
∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，
a 1＝S 1＝－8适合上式，∴a n ＝2n －10(n ∈N *)，
∴5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9.∴k ＝8.
答案 8
三、解答题(共23分)
9．(11分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．
解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.
∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.
(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －522－94.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.
10．(★)(12分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.求{a n }的通项公式．
解 由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，
解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2.
又由a n ＋1＝S n ＋1－S n
＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16
(a n ＋1)(a n ＋2)， 得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .
因a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．
因此a n ＋1－a n －3＝0.
即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.
【点评】 解决已知数列的前n 项和S n 与通项a n 的关系，求通项a n 的问题，步骤主要有：,第一步：令n ＝1，由S n ＝f (a n )求出a 1；,第二步：令n ≥2，构造a n ＝S n －S n －1，用a n 代换S n －S n －1(或用S n －S n －1代换a n ，这要结合题目的特点)，由递推关系求通项；,第三步：验证当n ＝1时的结论是否适合当n ≥2时的结论.如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示；,第四步：明确规范表述结论.
B 级
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·惠州二模)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )．
A ．(5,5)
B ．(5,6)
C ．(5,7)
D ．(5,8)
解析 按规律分组
第一组(1,1)
第二组(1,2)，(2,1)
第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)
则前10组共有10×112＝55个有序实数对．
第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．
答案 C
2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋k n ＋2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )．
A ．(0，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－2，＋∞)
D ．(－3，＋∞)
解析 a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋k n ＋2，则k ＞－(2n ＋1)对所有的n ∈N *都成立，而当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，所以k ＞－3.
答案 D
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2011·合肥三检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n
(n ≥2)，则a 16＝________. 解析 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3
＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a 16＝a 3×5＋1＝a 1＝12.
答案 12
4．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 解析 由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1.
∴S n ＝2n ＋1－1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ，
n ＝1时不适合a n ，∴a n ＝⎩
⎨⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2. 答案 ⎩⎨⎧ 3，n ＝12n ，n ≥2
三、解答题(共22分)
5．(10分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求a n . 解 由a n ＋1＝a n ＋2n －1，得a n ＋1－a n ＝2n －1. 所以a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，
a 4－a 3＝22，
a 5－a 4＝23，
…
a n －a n －1＝2n －2(n ≥2)，
将以上各式左右两端分别相加，得a n －a 1＝1＋2＋22＋…＋2n －2＝2n －1－1， 所以a n ＝2n －1(n ≥2)，又因为a 1＝1适合上式，故a n ＝2n －1(n ≥1)．
6．(12分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1
，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)判断数列{c n }的增减性．
解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．
∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n (n ≥2)，
23 (n ＝1).
(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1
＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1
， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1
＝－n－1
(2n＋2)(2n＋3)(n＋1)
＜0，∴{c n}是递减数列．。