(完整word)六年级奥数-第九讲复杂抽屉原理教师版
六年级奥数抽屉原理含答案
抽屉原理知识框架一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11xn -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．重难点抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。
本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题；（4）利用最不利原则进行解题；（5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
例题精讲（一）、直接利用公式进行解题（1）求结论【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511÷=，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．【答案】对【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】略．【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．【例 2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
小学奥数--抽屉原理
⼩学奥数--抽屉原理⼩学奥数--抽屉原理抽屉原理(⼀)解题要点:要从最不利情况考虑，准确地建⽴抽屉和确定元素的总个数(如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。
道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相⽭盾，因此⾄少有⼀个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽⼦飞进4个鸽笼⾥，那么⼀定有⼀个鸽笼⾄少飞进了2只鸽⼦。
以上两个简单的例⼦所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么⾄少有⼀个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。
假定这n个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件，那么每⼀个抽屉中的物品或者是⼀件，或者没有。
这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相⽭盾，所以前⾯假定“这n 个抽屉中，每⼀个抽屉内的物品都不到2件”不能成⽴，从⽽抽屉原理1成⽴。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。
为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放⼊1件物品，共放⼊n 件物品，此时再放⼊1件物品，⽆论放⼊哪个抽屉，都⾄少有1个抽屉不少于2件物品。
这就说明了抽屉原理1。
例1 某幼⼉园有367名1996年出⽣的⼩朋友，是否有⽣⽇相同的⼩朋友,分析与解:1996年是闰年，这年应有366天。
把366天看作366个抽屉，将367名⼩朋友看作367个物品。
这样，把367个物品放进366个抽屉⾥，⾄少有⼀个抽屉⾥不⽌放⼀个物品。
因此⾄少有2名⼩朋友的⽣⽇相同。
例2在任意的四个⾃然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除, 分析与解:因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。
我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。
⼀个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”⾥。
抽屉原理六年级奥数
• 9、在23×23的方格纸中，将1----9这9个数字填入每一 个小方格中 ，并对所有如下图的“+”字图形中的五个 数字求和，和相等的“+”字图形至少有多少个？
• 10、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜 色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证 至少有4个小球颜色相同？
• 11、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜 色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。 现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个 同色，n的最小值是多少？ • 12、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐 乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人 相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
练习： 1、从一副扑克牌中至少抽出多少张牌，才能保证有5张同 样的花色？（大小王两张牌各算一种花色）
2、学校图书馆有四类图书，规定每个同学最多可以借两 本书，在借书的85名同学中，可以保证至少几人所借书的 类型是完全一样的？
3、能否在10行10列的方格纸的每一个空格中分别填上1、 2、3三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上 的各个数字之和互不相同？为什么？
先以最不利的方式分装： 载重3吨的汽车可以装3箱货物,却装不下4只箱子, 以每箱重量为x,则3x≤3且4x＞3,解得0.75＜x≤1 说明每只箱子装货稍多于0.75吨,若按0.75吨装 箱,10吨货至少需要13箱（余出的1/3吨可以装入 其他任意一箱）,这样为确保一次运完需要的汽车 数为 13/3=4.1,即最少要准备4+1=5（辆）
抽屉原理
• 计算绝招: • 物体数÷抽屉数=商数 • 至少数=商数+1 • 整除时，至少数=商数
例题1：一个旅游团一行100人，游览甲、乙、丙三个景点， 每人至少去一处，问至少有多少人游览的地方相同？若每 人去两处呢？
六年级抽屉原理奥数题及答案-扑克牌
六年级抽屉原理奥数题及答案-扑克牌
导语:今天小编为大家带来的是一道抽屉原理的问题，这是奥数中常见的题型，做类似题型要注意先构思“抽屉”---把所有可能的情况列举出来，每一种情况都是一个“抽屉”，把问题先这样想好题就解决了一半了。
一副扑克牌(去掉两张王牌)，每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的?
答案及解析：
扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，抽到两张牌有可能是：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1 张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要摸的人数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少要有11个人。
上海奥数精讲第讲讲义抽屉原理
上海奥数精讲第讲讲义抽屉原理一、引言抽屉原理是奥林匹亚数学竞赛中一个常见的原理，被广泛应用于数学中的排列组合、鸽巢原理等问题的解答中。
本课将通过抽屉原理的解释和示例来帮助学生更好地理解这个概念，并能应用于相关的问题中。
二、抽屉原理的概念1.定义：如果有n个物体放入m个抽屉中，且n>m，则至少有一个抽屉中至少有两个物体。
2.解释：抽屉原理可以理解为，当物体数量多于抽屉数量时，不可能每个抽屉都只有一个物体，至少有一个抽屉里会有多个物体。
三、抽屉原理的证明1.假设有n个物体放入m个抽屉中，且n>m。
2.假设每个抽屉中最多只能放一个物体，即每个抽屉里放的物体数最多为13.总物体数应不超过总抽屉数，即n≤m。
4.由于n≤m，而且n>m，所以不可能每个抽屉都只有一个物体，即至少有一个抽屉中有多个物体。
四、抽屉原理的应用1.应用于排列组合问题：例1：有7只鸽子分别关在8个笼子里，那么至少有一个笼子中有多于一只鸽子。
解析：将7只鸽子依次放入8个笼子里，根据抽屉原理，至少应有一个笼子中有多于一只鸽子。
例2：将10颗彩球放入3个盒子中，那么至少有一个盒子中有多于3颗彩球。
解析：将10颗彩球依次放入3个盒子中，根据抽屉原理，至少应有一个盒子中有多于3颗彩球。
2.应用于集合问题：例3：设有10个整数，它们的平均数与整数部分之和的整数部分相等，证明至少有两个数的小数部分相减的绝对值小于等于0.1解析：设这10个整数的平均数为x，则整数部分之和的整数部分为10x，根据题目中的条件可得10x-10x<0.1，即1<0.1，这是一个矛盾的结论。
根据抽屉原理，至少有两个数的小数部分相减的绝对值小于等于0.1例4：现有9个整数，它们的平均数与整数部分之和的整数部分相等，证明至少有两个数的小数部分相减的绝对值小于等于0.098解析：设这9个整数的平均数为x，则整数部分之和的整数部分为9x，根据题目中的条件可得9x-9x<0.098，即0<0.098，这是一个矛盾的结论。
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第九讲复杂抽屉原理内容概述运用抽原理求解的复的合算与明．里不“抽”与“苹果”需要恰当地与取，而且有构造出达到最佳状的例子．典型1．从 1， 2， 3，⋯， 1988 ， 1989 些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【分析与解】 1， 2， 3， 4， 9， 10， 1l， 12，17， 18，19， 20，25，⋯，些数中任何两个数的差都不4，些数是每8 个的数中取前 4 个的数．有 1989÷8=248⋯⋯ 5，所以最多可以248×4+4=996 个数．注：于，一种方法是先尽可能的多，然后再找出些数的律，再算出最多可以出多少个 .2．从 1 至 1993 1993 个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不且差不等于4？【分析与解】 1，3， 6， 8，11， 13，16， 18，21，⋯，些数中任何两个数不且差不等于4，些数是每 5 个的数中第 1、 3 个数．1993÷5=398⋯⋯3 . 所以最多可以398×2+2 =798 个数．注：当然可以是1， 4，6， 9， 11， 14， 16， 19， 21，⋯，些数足条件，是每 5 个的数中第1、 4 个数．但是此最多只能出398×2+l=797 个数．3.从 1，2， 3，4， 5， 6， 7，8， 9， 10，11，12 中最多能出几个数，使得在出的数中，每一个数都不是另一个数的2 倍 ?【分析与解】方法一：直接从 1 开始 1， 3， 4，5， 7， 9，11， 12，可以出8 个数；而从 2 开始 2， 3， 5，7， 8， 9， 11， 12，也是可以出8 个数．3包含在内，因此只用考两种情况即可．所以，在足意情况下，最多可以出8 个数．方法二：我知道多少个奇数均足，有1， 3， 5，7， 9， 11 均奇数，并且有偶数中 4 的倍数，但不是 8 的倍数的也足，有4，12 是的数．所以，在足意情况下最多可以出8 个数．4．从 1， 3， 5， 7，⋯， 97， 99 中最多可以出多少个数，使得出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数 ?【分析与解】方法一：因均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、 5、 7 等奇数倍 .3×33： 99，于是从 35 开始， 1 : 99 的奇数中没有一个是 35～ 99 的奇数倍 ( 不包括 1 倍 ) ，所以出35，37， 39，⋯， 99 些奇数即可．共可出33 个数，使得出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．方法二：利用 3 的若干次与数的乘50 个奇数分．(1 ， 3， 9， 27，81) ， (5 ， 15， 45) ， (7 ， 21， 63) ，(11 ， 33) ， (13 ， 39) ， (17 ，51) ， (19 ， 57) ， (23 ， 69) ，(25 ， 75) ， (29 ，87) ， (31 ， 93) ， (35) ， (37) ， (41) ，(43) ，⋯， (97) 共 33 ．前11 ，每内任意两个数都存在倍数关系，所以每内最多只能一个数．即最多可以出 33 个数，使得出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．注： 1 : 2n 个自然数中，任意取出 n+1 个数，其中必定有两个数，它一个是另一个的整数倍；从 2，3．⋯⋯， 2n+1 中任取 n+2个数，必有两个数，它一个是另一个的整数倍；从 1，2， 3．⋯⋯ 3n 中任取 2n+1个数，其中必有两个数，它中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1， 2， 3，⋯⋯， mn 中任取 (m-1)n+1 个数，其中必有两个数，它中一个是另一个的整数倍，且至少是 m倍(m、 n 正整数 ).5．明：任12 个不同的两位数，其中一定存在着的两个数，它的差是个位与十位数字相同的两位数．【分析与解】因两个不同的两位数相减得到的差不可能三位或三位以上的数．如果个差是1l 的倍数，那么一定有个差的个位与十位数字相同．两个数的差除以1l 的余数有0、1、 2、 3、⋯、 1011 种情况．将11 种情况11 个抽．将 12 个数12 个苹果，那么必定有两个苹果在同一抽，也就是有两个数除以11 的余数相同，那么它的差一定是11 的倍数．而两个两位数的差一定是一个两位数，如果个差是11 的倍数，那么就有个数与十位数字相等．得．注：抽原理一：将抽原理二：将nr+1n+1 个元素放到n 个抽中去，无怎么放，必定有一个抽至少有两个元素．个元素放到n 个抽中去，无怎么放，必定有一个抽至少有r+1 个元素．抽原理三：将 m个元素放到 n 个抽中去 (m≥n) ，无怎么放，必定有一个抽至少有m 1个1n元素．6．从 1， 2， 3，⋯， 49， 50 50 个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，最多能取出多少个数 ?【分析与解】利用除以 7 的余数分：余0： (7 ， 14， 21， 28， 35， 42， 49) ；余1： (1 ， 8，15， 22，29， 36，43， 50) ；余2： (2 ， 9，16， 23，30， 37，44) ；余3： (3 ， 10， 17， 24， 31， 38， 45) ；余4： (4 ， 11， 18， 25， 32， 39， 46) ；余5： (5 ， 12， 19， 26， 33， 40， 47) ；余6： (6 ， 13， 20， 27， 34， 41， 48) ．第一内的数最多只能取 1 个；如果取第二，那么不能取第七内任何一个数；取第三，不能取第六内任何一个数；取第四，不能取第五内任意一个数．第二、三、四、五、六、七分有8、 7、 7、 7、7、 7 个数，所以最多可以取1+8+7+7=23 个数．7．从 1， 2，3，⋯， 99， 100100 个数中任意出51 个数．明：(1)在 51 个数中，一定有两个数互；(2)在 51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在 51个数中，一定存在 9 个数，它的最大公数大于1．【分析与解】(1) 我将 1～ 100 分成 (1 ，2) ， (3 ，4) ， (5 ，6) ， (7 ，8) ，⋯， (99 ， 100) 50 ，每内的数相．而相的两个自然数互．将 50 数作50 个抽，同一个抽内的两个数互．而在 51 个数，放50 个抽，必定有两个数在同一抽，于是两个数互．得．(2)我将 1— 100 分成 (1 ，51) ， (2 ，52) ，(3 ，53) ，⋯， (40 ， 90) ，⋯ (50 ， 100) 50 ，每内的数相差 50．将 50 数抽，在有51 个数放50 个抽内，必定有 2 个数在同一抽，那么两个数的差50．得．(3)我将 1— 100 按 2 的倍数、 3 的奇数倍、既不是 2 又不是 3 的倍数的情况分，有(2 ，4，6， 8，⋯，98， 100) ， (3 ，9， 15， 21，27，⋯， 93， 99) ， (5 ， 7， 11， 13， 17， 19，23，⋯， 95，97) 三．第一、二、三分有 50、 17、33 个元素．最不利的情况下， 51 个数中有 33 个元素在第三 ，那么剩下的18 个数分到第一、二两 内，那么至少有 9 个数在同一 ．所以9 个数的最大公 数2 或3 或它 的倍数， 然大于1． 得8． 求 ：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数．【分析与解】注意到 1996=4×499；于 l ， 1l ， 11l ，⋯， 111L 1中必定有两个数关于499 同余．1 2 3440 个1于是 111L 1111L 1(mod 499)(m>n) ．1 2 31 2 3m 个1n 个1有 111L 1 - 111L 1=111L 1000L 0 ，所以 499111L 1000L 0 ，因 (499 ，1 2 31 2 31 2 314 2 431 2 314 2 43m 个1n 个1m n 个1n 个0m n 个1 n 个 0444L 41000L 0 )=l ，所以 499111L 1；于是有 (499 ×4)（111L 14），即1996 1 2 31 2 314 2 4314 2 43n 个 0m-n 个1m-n 个 1m-n 个 4于是，就找到 的全部都是由4 成的数字，是1996 的倍数．注：111L1、 333L 3、 777L 7 、999L9 可整除不合 2， 5 因数的任何整数；1 2 314 2 4314 2 4314 2 43k 个1k 个 3k 个 7k 个 9222L 2 、 444L 4 、 666L 6 、 888L 8 整除不含因数 5( 因数 2 分 只能含1， 2， 2， 3 个 ) 的任何整14 2 4314 2 43 14 2 4314 2 43k 个 2k 个 4k 个6k 个 8数；555L 5 整除不含因数2( 因数 5 只能含 1 个) 的任何整数．14 2 43k 个 59．有 49 个小孩， 每人胸前有一个号 ， 号 从 1 到 49 各不相同． 在 你挑 若干个小孩， 使任何相 两个小孩的号 数的乘 小于100，那么你最多能挑 出多少个孩子?【分析与解】将 1 至 49 中相乘小于 100 的两个数，按被乘数分成9 ，如下：排成一个 圈，(1 ×2) 、(1 ×3) 、(1 ×4) 、⋯、 (1 ×49) ； (2 ×3) 、(2 ×4) 、(2 ×5) 、⋯、 (2 ×49) ；L L L L L LL(8 ×9) 、(8 × 10) 、(8 (9 ×10) 、(9 ×11) .×11) 、(8 ×12) ；因 每个数只能与左右两个数相乘，两 数出 在 圈中，最多可以取出 18数．也就是每个数作 被乘数或乘数最多两次， 所以每一 中最多会有个数 ，共18 ×2=36 次，但是每个数都出 两次，故出 了18 个例如： (10 ×9) 、(9 ×11) 、 (1 ×8) 、(8 ×12) 、(12 ×7) 、 (7 × 13) 、(13 ×6) 、(6 ×14) 、 (14 ×5) 、(5 ×15) 、 (15×4) 、(4 ×16) 、 (16 X 3) 、(3 ×17) 、(17 ×2) 、(2 ×18) 、(18 ×1) 、(1 ×10) ．共出 l ～ 18 号，共18 个孩子．若随意 取出19 个孩子，那么共有19 个号 ，由于每个号 数要与旁 两数分 相乘， 会形成 个相乘的数 ．那么在 9 中取出 19 个数 ，有19=9×2+1，由抽 原 知，必有三个数 落入同一 中， 某个数字会在数 中出 三次( 或三次以上 ) ，由分析知， 是不允 的．故最多挑出18 个孩子．1910. 在边长为1 的正方形内随意放进9 个点，证明其中必有3 个点构成的三角形的面积不大于1 ．8【分析与解】如下 ，把正方形分成四个形状相同、大小相等的正方形．9 个点任意放人 四个正方形中．根据抽 原理，多于2×4个点放入四个 方形中，至少有2+1 个点 ( 即3 个点 ) 落在某一个正方形之内．现在，特别取出这个正方形来加以讨论．把落在这正方形中的三点组成的三角形记为△ABC，其面积不超过小正方形面积的1，所以其面积不超过1．这样就得到了需要证明的结论．28 1的两点；评注：在边长为 1 的等边三角形中有n21个点，这 n21个点中一定有距离不大于n在边长为 l 的等边三角形内有n21个点，这n21个点中一定有距离小于1的两点．n1已知平行四边形中，其面积为l ，现有2n2 1 个点，则必定有三点组成的三角形，其面积不大于；12n2已知三角形中，其面积为1，现有2n21个点，则必定有三点组成的三角形，其面积不大于．n211．某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【分析与解】经过第一个月，将16 个学生分成两组，至少有8 个学生分在同一组，下面只考虑这8 个学生．经过第二个月，将这8 个学生分成两组，至少有 4 个学生是分在同一组，下面只考虑这 4 个学生．经过第三个月，将这 4 个学生分成两组，至少有 2 个学生仍分在同一组，这说明只经过 3 个月是无法满足题目要求的．如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为 16÷2=8 人，第二个月保持同组的人数为8÷2=4 人，第三个月保持同组人数为4÷2=2 人，这说明，照此分法，不会有 2 个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过 4 个月．12．上体育课时，21 名男、女学生排成 3 行 7 列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．【分析与解】因为只有男生或女生两种情况，所以第 1 行的 7 个位置中至少有 4 个位置同性别．为了确定起见，不妨设前 4 个位置同是男生，如果第二行的前 4 个位置有 2 名男生，那么 4 个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前 4 个位置中至少有 3 名女生，不妨假定前 3 个是女生．又第三行的前 3 个位置中至少有 2 个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有 2 名女生时与第二行构成四角同性别的矩形．所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形 4 个角上的学生同性别．问题得证．13． 8 个学生解8 道题目．(1)若每道题至少被 5 人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有 4 个学生解出，那么(1) 的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.【分析与解】(1)先设每道题被一人解出称为一次，那么8 道题目至少共解出 5 8=40 次，分到8 个学生身上，至少有一个学生解出了 5 次或 5 次以上题目，即这个学生至少解出 5 道题，称这个学生为4，我们讨论以下 4 种可能：第一种可能：若 4 只解出 5 道题，则另 3 道题应由其他7 个人解出，而 3 道题至少共被解出35=15 次，分到 7 个学生身上，至少有一名同学解出了 3 次或 3 次以上的题目(15=2 7+1，由抽屉原则便知) 由于只有3道题，那么这 3 道题被一名学生全部解出，记这名同学为B．那么，每道题至少被A、B 两名同学中某人解出．第二种可能：若 A 解出 6 道题，则另 2 道题应由另7 人解出，而 2 道题至少共被解出2×5=10 次，分到7 个同学身上，至少有一名同学解出 2 次或 2 次以上的目(10=1 7+3，由抽原便知) ．与 l 第一种可能I 同理，两道必被一名学生全部解出，名同学C．那么，每道目至少被A、 C 学生中一人解出．第三种可能：若 A 解出 7 道目，另一必由另一人解出，此人D．那么，每道目至少被A、D 两名学生中一人解出．第四种可能：若 A 解出 8 道目，随意找一名学生，E，那么，每道目至少被A、 E 两名学生中一人解出，所以(1) 得．(2)似 (1) 中的想法，目共被解出8 4=32 次，可以使每名学生都解出 4 次，那么每人解出 4 道．随便找一名学生，必有 4 道未被他解出， 4 道共被 7 名同学解出 4 4=16 次，由于16=2×7+2，可以使每名同学解出目不超 3 道，就无法找到两名学生，使每道目至少被其中一人解出．具体构造如下表，其中字代表号，数字代表学生，打√代表位置的目被位置的学生解出．14．的表上按准的方式着1，2， 3，⋯， 11，1212 个数，在其上任意做n 个120o的扇形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从任做的面的全部12 个数，求n 的最小．n 个扇形中能恰好取出 3 个覆盖整个【分析与解】如下，只要从某个数字的位置开始，做出的120o扇形，一定能覆盖 4 个数．从最不利的情况出，n 个扇形中最大程度的重叠，需做(12 ， 1， 2， 3) ，2， 3，4) ， (2 ， 3，4， 5) ， (3 ， 4， 5，6) ，(4 ， 5， 6，7) ， (5 ， 6，7， 8) ， (6 ，9) ， (7 ， 8， 9， 10) ， (8 ， 9， 10， 11)9 个 120。
小学六年级奥数-抽屉原理(含答案)
抽屉原理学问要点1.抽屉原理的一般表述(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必定有一个抽屉中至少有2个苹果。
它的一般表述为：第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。
(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必定有一个抽屉空着。
它的一般表述为：第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。
2.构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，……13点牌各一张)，洗好后反面朝上放。
一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数与颜色都一样。
假如要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取张牌。
点拨对于第一问，最不利的状况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都一样。
点拨对于第二问，最不利的状况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。
解(1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相一样；(2)要保证有5人属相一样，但不保证有6人属相一样，那么人的总数应在什么范围内？点拨可以把12个属相看做12个抽屉，依据第一抽屉原理即可解决。
解(1)因为37÷12＝3……1，所以，依据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相一样。
(2)要保证有5人的属相一样的最少人数为4×12＋1＝49(人)不保证有6人属相一样的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。
例3有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色一样？(2)四种花色都有？点拨首先我们要弄清晰一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。
【精品】通用版2022年六年级奥数精品讲义易错专项高频计算题-抽屉原理(含答案)
通用版六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编计数问题:抽屉原理【知识点归纳】抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体．例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体．抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：]+1个物体：当n不能被m整除时．①k=[nm个物体：当n能被m整除时．②k=nm理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数．例：[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算．【经典题型】例1：在任意的37个人中，至少有（）人属于同一种属相．A、3B、4C、6分析：把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答解：37÷12=3 (1)3+1=4（人）答：至少有4人的属相相同．故选：B点评：此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑例2：在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（）粒玻璃珠．A、3B、5C、7D、无法确定分析：把红、黄、蓝三种颜色看做3个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出2粒，则一共摸出2×3=6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现3粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答解：根据题干分析可得：2×3+1=7（粒），答：至少摸出7粒玻璃珠，可以保证取到3粒颜色相同的玻璃珠．故选：C点评：此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．一．选择题1．把红、黄、蓝、白、黑五种颜色的球各8个放到一个袋子里，至少取()个球，就能保证取到两个颜色相同的球．A．2B．6C．92．把红、黄、蓝、绿四种同样大小的小球各5个放在同一箱子里，一次至少要摸出()个球才能保证摸出2个红球．A．5B．20C．173．李叔叔给正方体的六个面涂上不同的颜色，结果至少有两个面的颜色一致，颜料的颜色至少有()种．A．3B．4C．54．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出()个球．A．2B．3C．4D．75．某小学有61名学生在4月份出生，至少有()名学生在同一天过生日．A．2B．3C．4D．56．25个8岁的小朋友中至少有()个小朋友是同一个月出生．A．2B．3C．4D．57．20本书放在6层的书架上，总有一层至少放()本书.A．3B．4C．5D．28．一个盒子里装有同样大小的红球、黄球、白球各3个．至少取出()个球，才能保证取到两个颜色相同的球．A．3B．4C．5二．填空题9．在一次数学考试中，有10道选择题，评分办法是：答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分，已知参加考试的学生中，至少有4人得分相同．那么，参加考试的学生至少有人．10．据推测，四（1）班学生中，至少有4人生日一定是在同一个月，那么这个班的学生人数至少有人．11．13本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进本书．12．希望小学共有368名学生，其中六年级有48名．希望小学至少有名学生的生日是同一天，六年级中至少有名学生是同一个月出生的．13．把7个梨放进5个盘子里，总有一个盘子至少放进个梨；把28个梨放进5个盘子里，总有一个盘子至少放进个梨．14．盒子里有3个红球和2个黄球，至少摸出个球，才能确保摸出的球中两种颜色都有；任意摸出一个球，摸出球的可能性比较大．15．把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放在一个袋子里，至少取个球可以保证取到两个颜色相同的球．16．一个袋子中装有红、白、蓝三种球各10个，至少拿出个球才能保证有2个球的颜色是同色.三．判断题17．（）把7支钢笔放进2个笔盒中，总有一个笔盒至少要放进4支钢笔．18．（）老师把36副羽毛球拍分给5个班，至少有7副羽毛球拍分给同一个班．19．（）5只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子放小鸡3只．20．（）盒子里有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的球各5个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出4个球．21．（）367人中必有2人的生日相同．22．（）在366人当中，一定有2人是同一天出生的．23．（）36只鸽子飞进5个鸽笼，总有一个笼子至少飞进了8只鸽子．24．（）11只鸽子飞进了5个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子．四．应用题25．老师要把12朵小红花奖励给11位同学，总有一位同学至少得到几朵小红花？26．三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？27．现有一堆桃子，分给6只猴，总有一只猴至少分到了5个桃．这堆桃子至少有多少个？28．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1米，为什么？（提示：可以通过计算后画图说明）29．有5050张数字卡片，其中1张上面写着数字“1”，2张上面写着数字“2”，3张上面写着数字“3”， ，99张上面写着数字“99”，100张上面写着数字“100”．现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出多少张卡片？30．六（1）班有45名同学，把他们分成6个学习小组．不管怎么分，总有一个学习小组至少有8人，为什么？31．盒子里有同样大小的5个红球和6个黄球．（1）要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出几个球？（2）要想摸出的球一定有3个是同色的，至少要摸出几个球？（3）要想摸出的球一定有5个是同色的，至少要摸出几个球？（4）要想摸出的球一定有不同颜色的，至少要摸出几个球？32．作文比赛中，六年级共有7名选手获奖，已知六年级有6个班，你能不能肯定选手至少有2名来自同一个班？为什么？五．解答题33．7只鸽子飞回3个鸽舍，至少有只鸽子飞回同一个鸽舍里．34．把4个苹果放在3个盘子里，总有一个盘子里至少有个苹果．35．7个小朋友乘6只小船游玩，至少要有多少个小朋友坐在同一只小船里，为什么？36．6个小组的同学栽树．37．一个袋子中有20只绿袜子、30只蓝袜子，40只白袜子，大小都一样．不用眼睛看，至少摸出只袜子，才能保证摸出的袜子中至少有1双袜子．（颜色相同的两只袜子为一双）38．红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几个，才能保证有两个是同色的？39．黄色卡片6张，红色卡片4张，蓝色卡片5张放在袋子里，至少要摸出4张，就可以保证摸出两张颜色相同的卡片．．40．26个小朋友乘6只小船游玩，至少要有一只小船里要坐6个小朋友．．参考答案一．选择题1．解：根据分析可得，+=（个)516答：至少取6个球，就能保证取到两个颜色相同的球．答案：B．2．解：532⨯+=+152=（个)17答：一次至少要摸出17个球才能保证摸出2个红球．答案：C．3．解：根据分析可得，623÷=（种)答：颜料的颜色至少有3种．答案：A．4．解：314+=（个)；答：为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出4个球．答案：C．5．解：61302⋯⋯（名)÷=（名)1+=（名)213答：至少有3名学生在同一天过生日．答案：B．6．解：根据分析可得，÷=（个)1⋯（人)，25122+=（人)；213答：至少有3个小朋友在同一个月出生．答案：B．7．解：2063⋯（本)÷=（本)2+=（本)314所以把20本书放进6层的书架上，总有一层至少要放4本。
复杂抽屉原理（精选五篇）
复杂抽屉原理（精选五篇）第一篇：复杂抽屉原理奥数周周练——复杂抽屉原理1．证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．2．从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?3．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?4．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?5．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．奥数周周练——复杂抽屉原理6．8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.7．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人?8.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。
问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【例20巩固】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．奥数周周练——复杂抽屉原理【例24巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个数，其中每两个数的差不等于4．【例25】（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．【例27】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【例29】从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【例34】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？奥数周周练——复杂抽屉原理【例36】在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
小学奥数-抽屉原理(教师版)
抽屉原理如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。
这样n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件。
这与有多于n个物品的假设相矛盾。
说明抽屉原理1成立。
抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+l。
假定这n个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到（m+l）件，即每个抽屉里的物品不多于m件，这样n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。
这与多于m×n件物品的假设相矛盾。
说明原来的假设不成立。
所以抽屉原理2成立。
运用抽屉原理解题的关键是选好“抽屉”，而构造“抽屉”的方法多种多样，会因题而异。
运用原理1还是原理2要看题目的问题和哪一个更直观。
抽屉原理2实际上是抽屉原理1的变形。
【例1】★某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？【解析】平年一年有365天，闰年一年有366天。
把天数看做抽屉，共366个抽屉。
把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
【小试牛刀】某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？【解析】1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。
【例2】★某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？【解析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。
(2021年整理)_抽屉原理精华及习题(附答案)
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★抽屉原则二：把多于m×n个苹果放到n个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有(m+1）个苹果.二、基础知识训练（再蓝皮书）1、把98个苹果放到10个抽屉中，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少含有个苹果.2、1000只鸽子飞进50个巢,无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有只鸽子。
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第九讲复杂抽屉原理内容概述运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题．这里不仅“抽屉”与“苹果”需要恰当地设计与选取，而且有时还应构造出达到最佳状态的例子．典型问题1．从1，2，3，…，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【分析与解】1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，…，这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数．有1989÷8=248……5，所以最多可以选248×4+4=996个数．评注：对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选择，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个.2．从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【分析与解】1，3，6，8，11，13，16，18，21，…，这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第1、3个数．1993÷5=398……3.所以最多可以选398×2+2=798个数．评注：当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21，…，这些数满足条件，是每5个连续的数中选择第1、4个数．但是此时最多只能选出398×2+l=797个数．3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍?【分析与解】方法一：直接从1开始选1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出8个数；而从2开始选2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出8个数．3包含在组内，因此只用考虑这两种情况即可．所以，在满足题意情况下，最多可以选出8个数．方法二：我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11均为奇数，并且有偶数中4的倍数，但不是8的倍数的也满足，有4，12是这样的数．所以，在满足题意情况下最多可以选出8个数．4．从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【分析与解】方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33：99，于是从35开始，1:99的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组．前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．评注：1:2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，3．……3n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3，……， mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).5．证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．【分析与解】因为两个不同的两位数相减得到的差不可能为三位或三位以上的数．如果这个差是1l的倍数，那么一定有这个差的个位与十位数字相同．两个数的差除以1l的余数有0、1、2、3、…、10这11种情况．将这11种情况视为11个抽屉．将12个数视为12个苹果，那么必定有两个苹果在同一抽屉，也就是说有两个数除以11的余数相同，那么它们的差一定是11的倍数．而两个两位数的差一定是一个两位数，如果这个差是11的倍数，那么就有个数与十位数字相等．问题得证．评注：抽屉原理一：将n+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素．抽屉原理二：将nr+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有r+1个元素．抽屉原理三：将m个元素放到n个抽屉中去(m≥n)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有11 mn-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个元素．6．从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?【分析与解】利用除以7的余数分类：余0：(7，14，21，28，35，42，49)；余1：(1，8，15，22，29，36，43，50)；余2：(2，9，16，23，30，37，44)；余3：(3，10，17，24，31，38，45)；余4：(4，11，18，25，32，39，46)；余5：(5，12，19，26，33，40，47)；余6：(6，13，20，27，34，41，48)．第一组内的数最多只能取1个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数．第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数，所以最多可以取1+8+7+7=23个数．7．从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．【分析与解】 (1)我们将1～100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)这50组，每组内的数相邻．而相邻的两个自然数互质．将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质．而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质．问题得证．(2)我们将1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这50组，每组内的数相差50．将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．(3)我们将1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2，4，6，8，…，98，100)，(3，9，15，21，27，…，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，…，95，97)这三组．第一、二、三组分别有50、17、33个元素．最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组．所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1．问题得证8．求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【分析与解】注意到1996=4×499；对于l ，1l ，11l ，…， 44011111L 123个中必定有两个数关于499同余．于是11111L 123m 个≡11111L 123n 个(mod 499)(m>n)．有11111L 123m 个-11111L 123n 个=111110000m n -L L 12314243个n 个0，所以499 111110000m n -L L 12314243个n 个0，因为(499， 10000L 14243n 个0)=l ，所以4991111L 123m-n 个1；于是有(499×4)（1111L 123m-n 个14），即19964444L 14243m-n 个4于是，就找到这样的全部都是由4组成的数字，是1996的倍数．评注：11111k L 123个、33333k L 14243个、77777k L 14243个、99999k L 14243个可整除不合2，5因数的任何整数；22222k L 14243个、44444k L 14243个、66666k L 14243个、88888k L 14243个整除不含因数5(因数2分别只能含1，2，2，3个)的任何整数；55555k L 14243个整除不含因数2(因数5只能含1个)的任何整数．9．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?【分析与解】 将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)；L L L L L L L(8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11).因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18 ×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现l ～18号，共18个孩子．若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．10. 在边长为1的正方形内随意放进9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于18．【分析与解】 如下图，把正方形分成四个形状相同、大小相等的正方形．9个点任意放人这四个正方形中．根据抽屉原理，多于2×4个点放入四个长方形中，至少有2+1个点(即3个点)落在某一个正方形之内．现在，特别取出这个正方形来加以讨论．把落在这正方形中的三点组成的三角形记为△ABC ，其面积不超过小正方形面积的12，所以其面积不超过18．这样就得到了需要证明的结论．评注：在边长为1的等边三角形中有21n +个点，这21n +个点中一定有距离不大于1n 的两点； 在边长为l 的等边三角形内有21n +个点，这21n +个点中一定有距离小于1n 的两点． 已知平行四边形中，其面积为l ，现有221n +个点，则必定有三点组成的三角形，其面积不大于212n ； 已知三角形中，其面积为1，现有221n +个点，则必定有三点组成的三角形，其面积不大于21n ．11．某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【分析与解】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生．经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生． 经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的．如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2=8人，第二个月保持同组的人数为8÷2=4人，第三个月保持同组人数为4÷2=2人，这说明，照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月．12．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．【分析与解】 因为只有男生或女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个位置同性别． 为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生．又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形．所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生同性别．问题得证．13．8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.【分析与解】 (1)先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共解出5⨯8=40次，分到8个学生身上，至少有一个学生解出了5次或5次以上题目，即这个学生至少解出5道题，称这个学生为4，我们讨论以下4种可能：若4只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，而3道题至少共被解出3⨯5=15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解出了3次或3次以上的题目(15=2⨯7+1，由抽屉原则便知)由于只有3道题，那么这3道题被一名学生全部解出，记这名同学为B ．那么，每道题至少被A 、B 两名同学中某人解出．A 解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道题至少共被解出2×5=10次，分到7个同学身上，至少有一名同学解出2次或2次以上的题目(10=1⨯7+3，由抽屉原则便知)．与l 第一种可能I 同理，这两道题必被一名学生全部解出，记这名同学为C ． 那么，每道题目至少被A 、C 学生中一人解出．第三种可能：若A 解出7道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为D ．那么，每道题目至少被A 、D 两名学生中一人解出．第四种可能：若A 解出8道题目，则随意找一名学生，记为E ，那么，每道题目至少被A 、E 两名学生中一人解出，所以问题(1)得证．(2)类似问题(1)中的想法，题目共被解出8⨯4=32次，可以使每名学生都解出4次，那么每人解出4道题．随便找一名学生，必有4道未被他解出，这4道题共被7名同学解出4⨯4=16次，由于16=2×7+2，可以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少被其中一人解出．具体构造如下表，其中汉字代表题号，数字代表学生，打√代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出．14．时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n 个120o的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n 个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n 的最小值．【分析与解】 如下图，只要从某个数字对应的位置开始，做出的120o 扇形，一定能覆盖4个数． 从最不利的情况出发，n 个扇形中最大程度的重叠，需做(12，1，2，3)，(1，2，3，4)，(2，3，4，5)，(3，4，5，6)，(4，5，6，7)，(5，6，7，8)，(6，7，8，9)，(7，8，9，10)，(8，9，10，11)这9个120。