7.10搜索与回溯
回溯算法的应用场景
回溯算法的应用场景回溯算法是一种经典的问题求解算法，常用于解决组合问题、排列问题、搜索问题等。
它通过不断地尝试和回退来寻找问题的解，可以在有限的时间内找到问题的所有解，或者找到满足特定条件的解。
下面将介绍回溯算法的几个常见应用场景。
1. 组合问题组合问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素，使得它们满足一定的条件。
例如，在一副扑克牌中选取若干张牌，使得它们的点数之和等于给定的目标值。
回溯算法可以通过枚举所有可能的组合来解决这类问题。
具体实现时，可以使用递归或迭代的方式进行求解。
2. 排列问题排列问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行全排列，使得每个元素都不重复出现。
例如，在一组数字中找出所有可能的排列。
回溯算法可以通过枚举所有可能的排列来解决这类问题。
具体实现时，同样可以使用递归或迭代的方式进行求解。
3. 搜索问题搜索问题是指在给定的搜索空间中找到满足一定条件的解。
例如，在迷宫中找到从起点到终点的路径，或者在一个图中找到满足特定条件的子图。
回溯算法可以通过不断地尝试和回退来搜索所有可能的解，并找到满足条件的解。
在搜索问题中，通常使用深度优先搜索来实现回溯算法。
4. 数独问题数独问题是指在一个9×9的网格中填入1至9的数字，使得每行、每列和每个小方格中的数字均不重复。
回溯算法可以通过逐个地尝试填入数字，并不断检查当前状态是否满足条件来解决数独问题。
当无法继续填入数字时，回溯算法会回退到前一步继续尝试其他可能的解。
5. 棋盘问题棋盘问题是指在一个给定大小的棋盘上放置一定数量的棋子，使得它们满足一定的规则。
例如，在N皇后问题中，要在一个N×N大小的棋盘上放置N个皇后，使得它们任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
回溯算法可以通过逐行地尝试放置皇后，并检查每次放置是否满足规则来解决这类问题。
回溯算法的应用场景不仅限于上述几个例子，还涉及到许多其他问题，如密码破解、迷宫生成、单词搜索等。
回溯法详解
回溯法详解回溯法（Backtracking）是一种解决问题的算法，也称为试探法。
它是一种基于深度优先策略的搜索方法，用于在一个大型的搜索空间中找到所有可能的解。
回溯法常用于解决组合问题、优化问题、排列问题、路径问题等等。
回溯法的实现方法是：从一个初始状态开始，不断地向前搜索，直到找到一个合法的解或者所有的搜索空间都被遍历结束。
在搜索的过程中，如果发现当前的搜索路径不可能得到合法的解，就会回溯到上一个状态，继续向其他方向搜索。
回溯法仍然是一种穷举算法，但它通过剪枝操作排除大部分不必要的搜索路径，从而减少了搜索的时间和空间复杂度。
回溯法的实现过程中，我们需要完成以下三个步骤：1. 选择基于当前的状态，选择一个可能的方向，继续向前搜索。
这意味着我们需要对问题进行建模，找到一些限制条件或者选择条件，来指导我们如何选择下一个状态。
2. 约束在选择方向之后，我们需要考虑当前方向是否可行。
这称为约束条件。
如果当前的方向违反了某些约束条件，那么我们需要回溯到上一个状态，重新选择一个合法的方向。
3. 回溯如果当前方向无法得到一个合法解，我们就需要回溯到上一个状态，并尝试其他的方向。
回溯操作的核心是恢复状态，也就是将当前状态的改变撤回。
这意味着我们需要记录每一个状态的改变，从而能够正确地回溯。
回溯法的优点在于它的适用范围比较广泛，在解决复杂问题时能够得到很好的效果。
但同时回溯法也存在一些缺点，例如在搜索效率方面并不是最优的，在搜索空间比较大的情况下，时间和空间复杂度也会非常高。
因此，在实践中，我们需要结合具体问题来选择合适的算法。
回溯算法的步骤
回溯算法的步骤介绍回溯算法是一种常用于解决组合优化问题的算法。
它将问题转化为一个搜索树，并使用深度优先搜索的方式遍历整个搜索空间，通过剪枝操作来减少不必要的搜索。
思想回溯算法的思想是不断地试错和回溯。
它通过尝试每一种可能的解决方案，并在发现这条路不可能得到正确解时进行回溯，回退到上一步继续尝试其他的方案。
回溯算法适用于十分灵活的问题，因为它并不局限于特定的解决策略，而是通过搜索整个解空间来找到问题的解。
步骤回溯算法的步骤可以总结为以下几个部分：1. 定义问题的解空间首先需要明确问题的解空间是什么。
解空间是所有可能的解的集合，可以用一个树形结构来表示。
2. 确定搜索的起点确定搜索的起点，通常是空解或者是一个可以快速得到解的初始解。
3. 确定搜索的终点确定搜索的终点，即找到一个满足问题要求的解，或者搜索到整个解空间。
4. 递归地搜索解空间递归地搜索解空间，从起点开始不断地向下搜索，直到找到一个满足条件的解，或者搜索到整个解空间。
5. 对每一个可能的解进行评估对每一个可能的解进行评估，判断是否满足问题的要求。
6. 进行剪枝操作在搜索过程中，如果发现当前的解已经不可能得到满足要求的解，可以进行剪枝操作，直接放弃当前解在解空间的搜索，回溯到上一步继续搜索其他的解。
7. 回溯操作如果当前解满足了问题的要求，可以将其加入到结果集中。
然后进行回溯操作，回退到上一步继续搜索其他的解。
8. 返回解集最后返回所有满足问题要求的解。
实例分析为了更好地理解回溯算法的步骤，我们用一个实例来进行分析。
问题：给定一个数组，求所有可能的子集。
解空间：解空间是所有可能的子集的集合。
起点：空集。
终点：找到所有可能的子集。
步骤： 1. 确定问题的解空间：所有可能的子集的集合，可以用一个树形结构来表示，根节点是空集。
2. 确定搜索的起点：空集。
3. 确定搜索的终点：找到所有可能的子集。
4. 递归地搜索解空间：从起点开始向下搜索，每次可选的操作是向集合添加一个新元素或不添加。
回溯法简介——精选推荐
回溯法简介回溯法(探索与回溯法)是⼀种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到⽬标。
但当探索到某⼀步时，发现原先选择并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个的点称为“回溯点”。
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满⾜某些约束条件的最佳解时，往往要使⽤回溯法。
回溯法的基本做法是搜索，或是⼀种组织得井井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
这种⽅法适⽤于解⼀些组合数相当⼤的问题。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任意⼀点时，先判断该结点是否包含问题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的⼦树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。
问题的解空间应⽤回溯法解问题时，⾸先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应⾄少包含问题的⼀个(最优)解。
问题的解向量：回溯法希望⼀个问题的解能够表⽰成⼀个n元式(x1,x2,…,xn)的形式显约束：对分量xi的取值限定隐约束：为满⾜问题的解⽽对不同分量之间施加的约束解空间：对于问题的⼀个实例，解向量满⾜显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的⼀个解空间注意：同⼀个问题可以有多种表⽰，有些表⽰⽅法更简单，所需表⽰的状态空间更⼩（存储量少，搜索⽅法简单）例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成状态空间树的动态搜索 可能解----》可⾏解---》最优解可能解：解空间的⼀个⼦集。
可⾏解：满⾜约束条件的解最优解：使⽬标函数取极值的最优解。
在背包问题中，有2^n中可能解，其中有些是可⾏解，有些不是可⾏解。
在可⾏解中，也只有⼀个或⼏个是最优解。
有些问题不需要寻找最优解，例如后⾯的⼋后问题和图的着⾊问题，只要找出满⾜约束条件的可⾏解即可。
回溯法的基本步骤：(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。
回溯算法的基本步骤
回溯算法的基本步骤第一篇嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊回溯算法的基本步骤。
第一步呢，就像是要出发去冒险，得先明确目标，知道自己到底要干啥。
比如说，是要找出所有可能的组合，还是要找到满足特定条件的那个唯一答案。
然后呀，咱们得给自己准备一个“背包”，这里面装的就是各种可能的选择。
可别小看这个背包，它可是咱的宝贝。
在这个过程中，还得随时记着自己走过的路。
要是不小心走岔了，还能找回来重新走。
有时候可能会觉得有点迷茫，怎么都找不到对的路。
别灰心，这就是回溯算法的魅力所在，不断尝试，总会有惊喜。
呀，一旦找到了目标，那就欢呼吧！感觉自己就像个超级英雄，成功完成了艰巨的任务。
怎么样，小伙伴们，是不是觉得回溯算法也没那么难啦？第二篇嗨喽！今天来和大家讲讲回溯算法的基本步骤哟！一开始呢，咱们得先把问题看清楚，心里有个底，知道要往哪个方向努力。
这就好比出门前要先搞清楚目的地是哪儿。
接着，就像整理自己的小抽屉一样，把所有可能的办法都整理出来，放在一起。
然后，勇敢地迈出第一步，挑一个办法试试看。
要是这个办法行得通，那就太棒啦，继续往前走。
可要是不行，别着急，赶紧换一个。
在尝试的过程中，要多留个心眼，记住自己试过哪些办法，别在同一个地方摔倒两次。
有时候可能会感觉像是在迷宫里打转，怎么都走不出去。
别害怕，咱们可以回头，重新选择其他的路。
而且呀，每走一步都要问问自己，离目标是不是更近了。
如果不是，那就要重新思考啦。
一直这样不断尝试，不断调整，说不定突然就找到那个完美的答案啦！是不是很有趣呢？好啦，这就是回溯算法的基本步骤，大家明白了吗？。
简述回溯法
简述回溯法
回溯法是一种解决问题的思路和方法，它通常用于在有限的选择中
搜索问题的解。
这种方法通过不断回溯，重复尝试不同的解决方案，
直到找到正确的解答，或者发现问题无解。
回溯法通常用于解决NP问题，如旅行商问题、八皇后问题等。
它的基
本思路是从初始状态开始搜索，逐步深入，直到找到解答或者无解为止。
在搜索的过程中，如果发现当前的搜索方向行不通，就会回溯到
上一个状态，尝试其他可行的方案，直到找到正确的路径。
回溯法的具体实现可以用递归来实现。
在搜索的过程中，我们需要记
录当前的状态和步骤，并根据状态的变化不断更新。
如果发现当前的
状态无法满足要求，就返回上一个状态，继续尝试其他的方案。
这种
方法可以帮助我们避免遗漏解法，同时也能够高效地找到最优解。
在实际应用中，回溯法通常分为两类：深度优先搜索和广度优先搜索。
深度优先搜索从初始状态开始，按照某种规定的搜索方向进行搜索，
直到找到一个终止状态或者遍历完所有状态。
广度优先搜索则是从初
始状态开始，逐层扩展搜索范围，直到找到一个解答或者遍历完所有
状态。
总之，回溯法是一种非常有效的求解方法，可以解决很多复杂的问题。
它的优点在于能够避免遗漏解法，同时也能够高效地找到最优解。
在
实际应用中，我们可以根据问题的具体特点来选择合适的搜索算法，并在实现过程中注意优化和剪枝，以提高搜索效率。
回溯法详解
回溯法详解
回溯法是一种常用的算法思想，通常用于解决一些组合问题，如排列、组合、子集等。
回溯法的基本思想是从一组可能的解中逐一尝试，如果发现当前尝试的解不符合要求，则回溯到上一步继续尝试其他解。
回溯法可以看作是一种深度优先搜索算法，它的搜索过程类似于一棵树的遍历。
在搜索过程中，从根节点开始，逐层向下搜索，直到找到符合条件的解或者搜索完所有的可能情况。
回溯法的实现通常采用递归的方式，具体步骤如下：
1. 定义一个解空间，即所有可能的解的集合。
2. 逐步扩展解空间，直到找到符合条件的解或者搜索完所有可
能的情况。
3. 在扩展解空间的过程中，对于每个扩展的状态，检查它是否
符合要求，如果符合要求，则继续扩展；否则回溯到上一步。
回溯法的时间复杂度通常很高，因为它需要搜索所有的可能情况。
但是在实际应用中，回溯法的效率往往比暴力枚举要高，因为它能够利用一些剪枝策略，避免搜索无用的状态。
例如，在求解八皇后问题时，回溯法可以通过剪枝策略，避免搜索一些不可能的状态，从而大大缩短搜索时间。
回溯法也是一种非常灵活的算法思想，可以应用于各种问题的求解。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点，设计合适的解空间和剪枝策略，以提高算法效率。
深度优先搜索与回溯算法
深度优先搜索与回溯算法深度优先（Depth First Search，简称DFS）和回溯算法是两种常见的算法，它们可以用来解决图和树相关的问题。
尽管它们在一些情况下可能无法找到最优解，但在许多实际应用中都有着广泛的应用。
深度优先是一种常用的遍历算法，其基本原理是从起始节点开始，沿着图的深度遍历到达最深处，然后回溯到上一层节点，继续遍历其他子节点直到所有节点都被访问过为止。
DFS可以用递归或者栈来实现。
在深度优先中，每个节点只能访问一次，避免陷入死循环。
通常，我们需要维护一个访问过的节点列表，以确保不会重复访问。
深度优先的时间复杂度为O(，V，+，E，)，其中，V，表示图中节点的数量，E，表示边的数量。
在最坏的情况下，DFS需要遍历图中的所有节点和边。
深度优先的一个经典应用是在图中查找特定路径。
它也被广泛应用于迷宫问题、拓扑排序、连通性问题等。
回溯算法是一种通过枚举所有可能解的方法来解决问题的算法。
在过程中，如果当前路径无法达到目标，就返回上一层，寻找另一种可能的路径。
回溯算法通常使用递归来实现。
回溯算法通常包含三个步骤：1.选择：在当前节点选择一个可行的选项，并向前进入下一层节点。
2.约束：在进入下一层之前，检查当前节点的状态是否符合要求，即剪枝操作。
3.撤销选择：在下一层节点完毕后，返回上一层节点，撤销当前选择。
通过不断地进行选择、约束和撤销选择，回溯算法可以遍历所有可能的解空间，并找到满足条件的解。
回溯算法的时间复杂度取决于问题的规模和约束条件。
在最坏的情况下，回溯算法需要遍历所有的可能解，因此时间复杂度可以达到指数级。
回溯算法的一个经典应用是在数独游戏中寻找解。
它也被广泛应用于组合优化问题、八皇后问题、0-1背包问题等。
总结起来，深度优先和回溯算法是两种常用的算法，它们在图和树的遍历以及问题求解中有着广泛的应用。
深度优先通过遍历到达最深处再回溯，而回溯算法则是通过枚举所有可能解并进行剪枝来寻找解。
深度优先搜索与回溯算法
8、字符序列(characts) 【问题描述】 从三个元素的集合[A，B，C]中选取元素生成一个N个字符组成的序列，使 得没有两个相邻字的子序列（子序列长度=2）相同。例：N = 5时ABCBA是合 格的，而序列ABCBC与ABABC是不合格的，因为其中子序列BC，AB是相同的。 对于由键盘输入的N(1<=N<=12)，求出满足条件的N个字符的所有序列和其 总数。 【输入样例】 4 【输出样例】
72
•9、试卷批分(grade) •【问题描述】
•某学校进行了一次英语考试，共有10道是非题，每题为10分，解答用1表示“是”， 用0表示“非”的方式。但老师批完卷后，发现漏批了一张试卷，而且标准答案也丢 失了，手头只剩下了3张标有分数的试卷。
•试卷一：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
•0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 得分：70
【例6】数的划分(NOIP2001) 【问题描述】 将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同 (不考虑顺序)。例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。 • 1，1，5； 1，5，1； 5，1，1； • 问有多少种不同的分法。 • 【输入格式】 • n,k (6<n≤200，2≤k≤6) • 【输出格式】 • 一个整数，即不同的分法。 • 【输入样例】 • 7 3 • 【输出样例】 • 4 { 4种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3; 2,2,3 说明部分不必输出 }
【课堂练习】
1、输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列。 【参考过程】 int Search(int i) { Int j; for (j=1;j<=n;j++) if (b[j]) { a[i]=j; b[j]=false; if (I<n) Search(i+1); else print(); b[j]=true; } }
回溯性方案
回溯性方案引言回溯法是一种常用于解决组合问题的算法，它通过逐步构建解决方案，并在达到某个不可行解时进行回溯，寻找其他可行解。
回溯法在求解组合、排列、子集、图的遍历等问题中都有广泛的应用。
本文将介绍回溯算法的基本原理、应用场景以及一些常见的优化技巧。
基本概念回溯法是一种通过尝试所有可能的解决方案来求解问题的算法。
它遵循以下基本步骤：1.定义问题的解空间：确定问题的解空间，表示问题可能的解决方案。
2.确定约束条件：确定问题的约束条件，这些条件将约束解的可行性。
3.定义搜索策略：确定一种搜索策略，以确定如何选择下一个可行候选解。
4.回溯搜索：按照搜索策略，逐步构建解决方案，并在达到不可行解时进行回溯，寻找其他可行解。
应用场景回溯法在以下场景中有广泛的应用：1. 组合问题回溯法常用于求解组合问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合。
比如，在一个数组中找到所有可能的组合，使得它们的和等于一个给定的目标值。
2. 排列问题回溯法也可以用于求解排列问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列。
与组合问题不同的是，排列要求选取的元素按照一定的顺序排列。
3. 子集问题回溯法可用于求解子集问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。
4. 图的遍历回溯法在图的遍历问题中也有应用，它通过逐步搜索图中的节点来寻找解决方案。
常见的图的遍历问题有深度优先搜索和广度优先搜索。
优化技巧为了提高回溯算法的效率，可以采用以下一些优化技巧：1. 剪枝操作在每一步的搜索过程中，可以进行剪枝操作，即根据约束条件排除一些明显不可行的解。
这样可以减少搜索空间，提高算法的效率。
2. 使用动态规划保存中间结果对于某些需要重复计算的子问题，可以使用动态规划保存中间结果，避免重复计算，提高算法效率。
3. 优化搜索顺序通过优化搜索顺序，可以使得更有可能找到可行解，从而提高算法的效率。
具体的优化策略可以根据问题的特点进行选择。
回溯算法的实施步骤
回溯算法的实施步骤什么是回溯算法回溯算法是一种通过尝试所有可能的解来求解问题的方法。
它适用于各种问题，包括组合优化问题、图问题以及搜索问题等。
回溯算法通过在每一步尝试所有可能的选择，并在不满足条件的情况下回溯到上一步，重新选择其他路径，直到找到满足条件的解或者穷尽所有可能的选择。
回溯算法的实施步骤回溯算法的实施步骤可以分为以下几个关键步骤：1.定义问题的解空间：首先需要明确问题的解空间，也就是问题的输入和可能的解。
根据具体的问题，可以定义解空间为一个数组、一个矩阵或者其他数据结构。
2.定义约束条件：对于问题的解空间，需要明确每个解的可行性条件。
约束条件可以排除一些不符合条件的解，减少搜索空间，提高算法效率。
在回溯算法中，约束条件通常对应于问题的限制条件。
3.定义目标函数：如果问题是优化问题，那么可以定义一个目标函数来评估每个解的优劣。
目标函数可以帮助算法找到最优解。
4.实施回溯搜索：回溯算法是通过深度优先搜索的方式来实施的。
在搜索的过程中，需要对解空间进行遍历，并根据约束条件逐步剪枝。
当找到一个可行解时，可以根据目标函数判断是否要继续搜索其他解。
如果目标函数要求找到所有解，那么需要继续回溯搜索，直到遍历完所有可能的解。
5.实现剪枝操作：在搜索的过程中，可以通过剪枝操作来减少不必要的搜索。
剪枝操作可以根据约束条件来排除某些分支，从而避免搜索无效的解。
6.记录解的搜索路径：在实施回溯算法的过程中，可以记录搜索路径，以便后续分析和回溯操作。
记录搜索路径有助于理解算法的执行过程，并可以用于问题的可视化展示。
7.回溯到上一步：当搜索到达某个状态时，发现没有更多的选择或者找到了一个解时，需要回溯到上一个状态，并选择其他路径继续搜索。
回溯操作可以通过递归实现。
8.终止条件判断：在实施回溯算法的过程中，需要设置终止条件。
终止条件可以是找到一个满足所有约束条件的解，或者遍历完所有可能的解。
示例：回溯算法解决子集问题为了更好地理解回溯算法的实施步骤，我们以一个子集问题为例进行说明。
回溯法方法简介
回溯法方法简介回溯法（backtracking）是一种常用于解决组合优化问题和搜索问题的算法。
它通过逐步建立解决方案的过程，并在某一步发现不满足条件时回溯到前一步，尝试其他可能的选择，直至找到满足条件的解决方案或者确定无解。
回溯法的思想类似于穷举搜索，但通过一些剪枝等优化策略，可以提高搜索效率。
回溯法是许多经典算法问题的核心思想，如八皇后问题、0-1背包问题、图的着色问题等。
回溯法的过程通常包括五个步骤：1. 选择解空间；2. 约束条件；3. 判断当前解是否满足约束条件；4. 如果满足条件则记录当前解，否则回溯到前一步；5. 继续遍历其他分支，直至找到最终解或确定无解。
回溯法通常使用递归的方式来实现，其中递归函数包括参数表示当前搜索深度、当前解决方案、约束条件等信息。
在递归函数中，根据约束条件和当前解决方案，判断是否需要继续搜索或者回溯。
通过不断调用递归函数，可以逐步构建解空间，并寻找满足条件的解决方案。
回溯法的优点在于可以找到问题的所有解（或满足条件的解），适用于许多组合优化问题和搜索问题。
回溯法的搜索过程中可以使用剪枝等策略来提高效率，避免不必要的搜索。
回溯法的缺点在于可能需要遍历整个解空间，并且在某些情况下可能会导致比较大的时间复杂度。
回溯法在实际应用中有许多经典问题的解决方案。
八皇后问题是回溯法的典型案例。
八皇后问题是一个经典的棋盘游戏问题，要求在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，使得彼此之间不能相互攻击。
通过回溯法逐步尝试不同的布局，可以找到所有满足条件的解决方案。
同样，回溯法在解决0-1背包问题、图的着色问题、旅行推销员问题等组合优化问题中也有广泛的应用。
除了组合优化问题，回溯法也常用于搜索问题的解决。
在图的遍历中，可以使用回溯法来寻找从起点到终点的路径。
在人工智能领域，回溯法也常用于解决逻辑推理、规划等问题。
通过对搜索空间进行回溯和剪枝，可以高效地找到问题的解决方案。
回溯法是一种重要的算法思想，适用于解决组合优化问题和搜索问题。
回溯法的功能
回溯法的功能
回溯法是一种既带有系统性又带有跳跃性的算法，以深度优先方式系统搜索问题解，适用于组合数较大的问题。
它的功能主要体现在以下几个方面：
1.系统性搜索：回溯法以深度优先的方式系统地搜索问题的所有解或任一解。
它从问题的初始状态开始，通过逐步构建解决方案，探索问题的所有可能解。
2.生成解空间：回溯法在搜索问题的解时，会生成一个状态空间树。
这个状态
空间树由每个可能的状态组成，每个状态对应一个可能的解决方案。
通过这个状态空间树，回溯法能够系统地搜索所有可能的状态。
3.剪枝优化：在搜索过程中，回溯法使用剪枝函数来避免无效的搜索。
当探索
到某一步时，如果发现当前选择并不优或达不到目标，它会退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法。
4.满足约束条件：在使用回溯法解决问题时，需要确保生成的解满足问题的约
束条件。
请注意，回溯法的效率在很大程度上取决于所面临的具体问题及其约束条件。
在处理大规模或复杂的问题时，回溯法可能需要大量的计算资源和时间。
信息学竞赛中的搜索与回溯算法
信息学竞赛中的搜索与回溯算法在信息学竞赛中，搜索与回溯算法起着重要的作用。
这些算法通过遍历可能的解空间来寻找最优解，解决了许多实际问题。
本文将介绍搜索与回溯算法的基本原理、应用场景以及算法的优化方法。
一、搜索算法搜索算法通常用于在给定的搜索空间中查找目标解。
常见的搜索算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和启发式搜索等。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索从根节点开始，沿着一条路径直到达到叶子节点或目标节点为止，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS算法非常适用于解决问题的完整解存在于较深路径的情况，例如迷宫问题、八皇后问题等。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索从根节点开始，逐层扩展搜索，直到找到目标解或者搜索空间被完全遍历。
BFS算法适用于解决问题的完整解存在于较浅路径的情况，例如最短路径问题、迷宫最短路径问题等。
3. 启发式搜索启发式搜索通过使用启发函数来评估搜索的方向和选择。
它常用于解决复杂问题，如人工智能、路径规划等。
A*算法是一种常见的启发式搜索算法，它通过估计从当前节点到目标节点的代价来选择下一个节点。
二、回溯算法回溯算法是一种通过不断尝试所有可能解的方法，直到找到满足条件的解或遍历所有可能解的算法。
它常用于组合优化问题、排列问题等。
回溯算法的基本思想是通过逐步构建解空间，并在每一步选择一个可能的解，继续向下搜索。
如果当前选择导致无法满足条件，就回溯到上一步，尝试其他的选择。
回溯算法的典型应用包括全排列问题、子集问题和图的着色问题等。
它在信息学竞赛中广泛应用，可以有效地解决各种组合问题。
三、搜索与回溯算法的优化在实际应用中，搜索与回溯算法可能会面临解空间过大、搜索耗时长的问题。
为了提高算法的效率，可以采取以下优化方法。
1. 剪枝剪枝是指在搜索过程中，通过一些条件判断来减少搜索的路径，以避免不必要的计算。
剪枝可以根据问题的特点设计，例如对于排列问题，可以通过检查当前选择是否合法来剪枝。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法思想：回溯（backtracking）是一种系统地搜索问题解答的方法。
为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。
下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。
典型的组织方法是图(迷宫问题)或树(N皇后问题)。
一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。
回溯方法的步骤如下：1) 定义一个解空间，它包含问题的解。
2) 用适于搜索的方式组织该空间。
3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
回溯算法的一个有趣的特性是在搜索执行的同时产生解空间。
在搜索期间的任何时刻，仅保留从开始节点到当前节点的路径。
因此，回溯算法的空间需求为O （从开始节点起最长路径的长度）。
这个特性非常重要，因为解空间的大小通常是最长路径长度的指数或阶乘。
所以如果要存储全部解空间的话，再多的空间也不够用。
算法应用：回溯算法的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。
(1) 幂集问题(组合问题)(参见《数据结构》（严蔚敏）)求含N个元素的集合的幂集。
如对于集合A={1,2,3},则A的幂集为p(A)={{1,2,3},{1,2},{1,3},{1},{2,3},{2},{3},Φ}幂集的每个元素是一个集合，它或是空集，或含集合A中的一个元素，或含A 中的两个元素，或者等于集合A。
反之，集合A中的每一个元素，它只有两种状态：属于幂集的元素集，或不属于幂集元素集。
则求幂集P（A）的元素的过程可看成是依次对集合A中元素进行“取”或“舍”的过程，并且可以用一棵状态树来表示。
求幂集元素的过程即为先序遍历这棵状态树的过程。
程序：#include <stdio.h>#include <malloc.h>#define ERROR 0#define OK 1typedef int ElemType;typedef struct LNode{ElemType data;struct LNode *next;} LNode,*LinkList;//初始化LinkList ListInit(){LNode *base=(LinkList)malloc(sizeof(LNode)); base->data=0;base->next=NULL;return base;}//插入一个元素int ListInsert(LinkList L,int i,ElemType e){LNode *p,*s;int j=0;p=(LNode *)L;while(p&&j<i-1){p=p->next;++j;}if(!p||j>i-1)return ERROR;s=(LNode *)malloc(sizeof(LNode));s->data=e;s->next=p->next;p->next=s;return OK;}//删除一个结点int ListDelete(LinkList &L,int i,ElemType &e) {LinkList p=L,q;int j=0;while(p->next&&j<i-1){p=p->next;++j;}if(!(p->next)||j>i-1)return ERROR;q=p->next;p->next=q->next;e=q->data;free(q);}//长度int ListLength(LinkList L){LinkList p=L;int j=0;if(!L)return ERROR;while(p->next){p=p->next;++j;}return j;}//查找一个元素int GetElem(LinkList L,int i,ElemType &e) {LNode *p=L;int j=0;while(p->next&&j<i){p=p->next;++j;}if(!p||j>i)return ERROR;e=p->data;return OK;}//输出链表元素void Display(LinkList L){LNode *p=L;if(!(p->next)){printf("NULL,");return;}elsep=p->next;while(p){printf("%d,",p->data);p=p->next;}}//求幂集void PowerSet(int i,LinkList A,LinkList &B) {int k=0;ElemType e=0;if(i>ListLength(A)){Display(B);printf("\n");}else{GetElem(A,i,e);k=ListLength(B);ListInsert(B,k+1,e);PowerSet(i+1,A,B);ListDelete(B,k+1,e);PowerSet(i+1,A,B);}}int main(){LinkList list=ListInit(); //初始化LinkList list2=ListInit();//初始化ListInsert(list,1,1);//插入元素ListInsert(list,2,2);ListInsert(list,3,3);Display(list);//输出元素printf("\npower set is:\n");PowerSet(1,list,list2);//求幂集}(2)迷宫问题(参见《数据结构》（严蔚敏）)计算机解迷宫时，通常用的是"试探和回溯"的方法，即从入口出发，顺某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；否则沿原路退回，换一个方向再继续探索，直至所有可能的通路都探索到为止,如果所有可能的通路都试探过，还是不能走到终点，那就说明该迷宫不存在从起点到终点的通道。
对比回溯法和分支限界法
回溯法（Backtracking）和分支限界法（Branch and Bound）都是求解组合优化问题的常用算法，它们在解空间中搜索最优解的过程中有所不同。
1. 回溯法：
回溯法是一种穷举搜索的算法，通过逐步构建候选解，然后根据约束条件进行判断，如果当前的候选解不能满足约束条件，就进行回溯，撤销上一步的选择，继续搜索其他可能的解。
回溯法常用于求解排列、组合、子集等问题。
回溯法的基本思想是深度优先搜索，在搜索的过程中利用剪枝策略来减少搜索空间。
回溯法的核心是递归实现，在每一层递归中，都会进行选择、判断和回溯操作。
2. 分支限界法：
分支限界法是一种利用剪枝策略进行搜索的优化算法，它通过设置一个界限值，将搜索空间划分为多个子空间，并对每个子空间中的解进行评估。
根据评估结果，可以确定某些子空间中不可能存在更优解的情况，从而剪去这些子空间，减少搜索代价。
分支限界法的基本思想是广度优先搜索，通过优先级队列或堆结构来选择下一个扩展节点。
在搜索的过程中，根据问题的特点和限界条件，确定分支的方向，并对每个扩展节点进行评估。
相比于回溯法，分支限界法在搜索过程中可以更加高效地剪去无效子空间，从而减少不必要的搜索量。
它适用于需要在可能解空间中找到最优解或满足某个目标的问题。
总结：
回溯法是一种穷举搜索的方法，通过递归实现，在搜索过程中进行选择、判断和回溯操作；而分支限界法利用剪枝策略，在广度优先搜索的基础上，通过设定界限值来剪去无效子空间。
两种算法在实际应用中根据问题的特点和求解目标选择使用。
回溯算法与深度优先搜索
回溯算法与深度优先搜索回溯算法（backtracking）和深度优先搜索（DFS）是两种在计算机科学中常用的问题解决方法。
它们在不同的领域和场景中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍回溯算法与深度优先搜索的概念、原理及应用，并探讨它们之间的关系。
1. 回溯算法回溯算法是一种通过不断地尝试所有可能的解决方案来求解问题的方法。
在回溯算法中，我们从解空间的一点出发，逐步扩展搜索范围，并在搜索的过程中不断检查当前状态是否满足问题的要求。
如果当前状态不满足要求，则撤销上一步的操作，回溯到上一个状态，并继续搜索其他可能的解决方案。
回溯算法通常通过递归的方式实现。
在每一层递归中，我们选择一个可能的解决方案，并继续向下一层递归搜索。
如果搜索成功，则得到了一个解决方案；如果搜索失败，则回溯到上一层，选择其他的解决方案继续搜索。
回溯算法具有广泛的应用，如组合问题、排列问题、子集问题等。
它的优点是能够找到所有可能的解决方案，但缺点是搜索的过程比较耗时。
2. 深度优先搜索深度优先搜索是一种优先遍历深度的搜索方法。
在深度优先搜索中，我们从初始状态开始，不断选择可行的动作直到无法继续为止，然后回溯到上一个状态，并选择其他的动作继续搜索。
这个过程类似于在图中沿着一条路径一直向下搜索直到达到叶子节点，然后返回上一层，选择其他的路径继续搜索。
深度优先搜索通常通过递归或使用栈的数据结构实现。
在每一步搜索中，我们选择一个可行的动作，并将状态从一个节点转移到另一个节点。
如果搜索成功，则得到了一个解；如果搜索失败，则回溯到上一个状态。
深度优先搜索在图遍历、路径搜索等问题中有着广泛的应用。
它的优点是搜索效率较高，但缺点是可能会陷入局部最优解，无法找到全局最优解。
3. 回溯算法与深度优先搜索的关系回溯算法和深度优先搜索有着密切的关系。
在很多情况下，回溯算法可以看作是深度优先搜索的一种特殊形式。
回溯算法的核心思想是尝试所有可能的解决方案，并通过回溯到上一个状态来继续搜索。
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法的基本介绍以及原理
回溯法是一种通过逐步试探、回溯到上一步来寻找问题解的方法。
它适用于在一个问题的解空间中搜索所有可能的解，通过深度优先的方式进行搜索。
回溯法的基本原理是：从问题的初始状态开始，不断地进行选择，当发现选择导致了无效的解或者无法继续选择时，就回溯到上一步重新进行选择。
在回溯的过程中，保存了每一步的选择，这样可以在找到一个解或者搜索完整个解空间后，利用已经保存的选择恢复出解。
具体来说，回溯法一般包含以下步骤：
1. 定义问题的解空间：也就是问题的所有可能的解组成的空间。
2. 制定问题的解空间的搜索规则：决定了在解空间中搜索的顺序和方式。
3. 利用深度优先的方式进行搜索：从问题的初始状态开始，逐步进行选择，如果选择导致了无效的解或者无法继续选择，则回溯到上一步。
4. 终止条件：当搜索完整个解空间或者找到一个解时，终止搜索。
回溯法的时间复杂度一般很高，因为它需要搜索整个解空间。
但是，通过合理的剪枝策略，可以减少搜索的路径，降低时间
复杂度。
回溯法常常应用于解决组合问题、排列问题、子集问题等涉及组合选择的问题，也可以用于解决图的遍历问题等其他类型的问题。
回溯算法（Backtracking）
回溯算法（Backtracking）
什么是回溯？
回溯是⼀种基本的搜索算法，通过在搜索过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就"回溯"返回，尝试别的路经。
在探索过程中，当探索到某⼀步时，发现原先搜索并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
搜索⽅式:
深度优先搜索(dfs)
宽度优先搜索(bfs)
基本思想
在包含问题的所有解的空间树中，按照dfs的策略，从根结点出发深度探索空间树。
当探索到某⼀结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。
（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若⽤回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可⾏的⼦树都要已被搜索遍才结束。
⽽若使⽤回溯法求任⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可以结束。
算法基本步骤
1. 满⾜⼀定条件下将当前数据加⼊到结果集(或检查到不满⾜要求当即返回)
2. 选择⼀条路经
3. dfs向前进⾏
4. 回退路经
⼀些情况下需要对数据进⾏预先处理，或在第2步直接检查以决定是否抛弃当前路经，以避免过多地递归，带来时间损耗。
换⽽⾔之，不满⾜条件的路经越早抛弃越好。
回溯性总结
回溯性总结回溯是一种常用的算法思想，用于解决一类具有多个决策点和多个约束条件的问题。
在回溯算法中，通过不断尝试可能的解决方案，并在遇到约束条件不满足时进行回退，探索可能的解空间。
本文将介绍回溯算法的基本原理、应用场景以及一些常见问题的解决思路。
回溯算法的基本原理回溯算法的基本原理是通过递归和回退的方式进行搜索。
在解决问题时，我们首先选择一个可行的决策，然后进行下一层递归，进一步选择下一个决策，直到达到最终的结果或者无法继续前进。
如果无法继续前进，我们会进行回退，撤销当前的决策，然后尝试其他的决策，重新进入递归过程，继续搜索。
回溯算法的基本框架如下：def backtrack(path, choices):if满足结束条件:处理结果returnfor choice in choices:选择一个决策将决策加入路径backtrack(path, choices)撤销决策将路径还原其中，path表示当前的路径，choices表示当前可选择的决策。
回溯算法的应用场景回溯算法在很多问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：组合问题组合问题是指从给定的一组数中，选取出所有可能的组合。
例如，给定数字集合[1, 2, 3]，求所有可能的组合。
排列问题排列问题是指从给定的一组数中，选取出所有可能的排列。
与组合问题不同，排列问题中的顺序是重要的。
例如，给定数字集合[1, 2, 3]，求所有可能的排列。
子集问题子集问题是指从给定的一组数中，选取出所有可能的子集。
例如，给定数字集合[1, 2, 3]，求所有可能的子集。
图的遍历图的遍历是指从图中的某个节点出发，遍历所有节点。
例如，深度优先搜索（DFS）就是一种基于回溯思想的图遍历算法。
数独等解数问题数独等解数问题是指在给定的约束条件下，求出符合条件的解。
例如，解数独问题、八皇后问题等。
回溯算法的优化回溯算法可以通过一些优化手段来提高效率，避免不必要的搜索。
以下是一些常见的优化技巧：剪枝剪枝是指在搜索过程中，根据约束条件进行提前终止。
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白色: 没有考虑过的点 黑色: 已经完全考虑过的点 灰色: 发现过, 但没有处理过, 是遍历边界
依次处理每个灰色结点u, 对于邻接边(u, v), 把v 着成灰色并加入树中, 在树中u是v的父亲(parent) 或称前驱(predecessor). 距离d[v] = d[u] + 1 用队列Q管理所有的灰色节点 整棵树的根为s
初始化: time为0, 所有点为白色, dfs森林为空 对每个白色点u执行一次DFS-VISIT(u)
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DFS-VISIT算法
初始化: time为0, 所有点为白色, dfs森林为空 对每个白色点u执行一次DFS-VISIT(u) 时间复杂度为O(V+E)
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n后问题 •解向量：(x1, x2, … , xn) •显约束：xi=1,2, … ,n •隐约束： 1)不同列：xixj 2)不处于同一正、反对角线：|i-j||xi-xj|
bool Queen::Place(int k) { for (int j=1;j<k;j++) if ((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k])) return false; return true; } void Queen::Backtrack(int t) { if (t>n) sum++; else for (int i=1;i<=n;i++) { x[t]=i; if (Place(t)) Backtrack(t+1); } }
constraint:约束 Bound:有义务的；受约束的；
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迭代回溯 采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个 非递归迭代过程。 void iterativeBacktrack () { int t=1; while (t>0) { if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} } else t--;//回溯一步 } 19 } 2013-7-22
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回溯法 有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解 是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的， 能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解 一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结 点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点 时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含， 则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点 回溯；否则，进入该子树8
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解题思路： 总体思想为回溯法。 求解过程从空配置开始。在第1列~的m列为合理配置 的基础上，再配置第m+1列，直至第n列也是合理时， 就找到了一个解。在每列上，顺次从第一行到第n行 配置，当第n行也找不到一个合理的配置时，就要回 溯，去改变前一列的配置
子集树与排列树
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
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遍历排列树需要O(n!)计算时间 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=t;i<=n;i++) { swap(x[t], x[i]); if (legal(t)) backtrack(t+1); swap(x[t], x[i]); } } 20
搜索与回溯
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1
什么是搜索算法呢？
搜索算法是利用计算机的高性能来有目的地 穷举一个问题的部分或所有的可能情况，从 而求出问题的解的一种方法。
搜索过程实际上是根据初始条件和扩展规则 构造一棵解答树并寻找符合目标状态的节点 的过程。
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2
举例：二分查找
2 3 4 5 6 8 12 20 32 45 65 74 86 95 100
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26
附录：推荐搜索题：
1010、1240、1241、1242 1072、 1253 、 1312、1372 1238、1239、1015、1016 1401、1515、1548 以上题目均为HDU的题目
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head
mid
tail
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3
查找示意图：
A[1]~A[15]
A[1]~A[7]
A[9]~A[15]
A[1]~A[3]
A[5]~A[7]
……
A[1]~A[1]
A[3]~A[3]
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一、宽度优先遍历(BFS)
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基本算法
给定图G和一个源点s, 宽度优先遍历按照从近到 远的顺序考虑各条边. 算法求出从s到各点的距离 宽度优先的过程对结点着色.
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问题的解空间
•问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n 元式(x1,x2,…,xn)的形式。 •显约束：对分量xi的取值限定。 •隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 •解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。 注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
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回溯法的基本思想
(1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用 剪枝函数避免无效搜索。
常用剪枝函数： 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 用限界函数剪去得不到最优解的子树。
用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题 的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结 点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的 长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。而显 式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h(n)!)内存空间。
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生成问题状态的基本方法 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产 生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子 树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结 点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前， 它一直是扩展结点 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要 不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可 能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数 的深度优先生成法称为回溯法
n后问题 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际 象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一 斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇 后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。 1 2 3 4 5 6 7 8
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Q Q Q Q Q Q Q
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2013-7-22
7
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8
二、深度优先遍历(DFS)
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基本算法
新发现的结点先扩展 特别之处: 引入时间戳(timestamp)
发现时间d[v]: 变灰的时间 结束时间f[v]: 变黑的时间 1<=d[v] < f[v] <= 2|V|
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DFS树的性质
括号结构性质 对于任意结点对(u, v), 考虑区间[d[u], f[u]]和[d[v], f[v]], 以下三个性质恰有一 个成立:
完全分离 u的区间完全包含在v的区间内, 则在dfs树上 u是v的后代 v的区间完全包含在u的区间内, 则在dfs树上 v是u的后代
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递归回溯 回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递 归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); } }