吉林省长春市实验中学2019届高三上学期开学考试数学【理】试卷附答案
2019届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学(理)试卷Word版含解析
（ 2）在 a＜1 时，是否存在 m＞ 1，使得对任意的 x∈（ 1， m） ,恒有 f（ x） +a＞ 0，并说明理
由.
（ 1）求
的表达式；
2019 届吉林省实验中学
一、单选题
1
．
A．
B．
数学
，则
用区间可表示为
C．
D．
a
2．已知向量
2,3 ， b
x,1 ，若 a b ，则实数 x的值为
3
3
2
2
A ． 2 B． 2 C． 3 D ． 3
3．等差数列 {a n} 中， a1+a5=14 ， a4=10，则数列 {a n} 的公差为
A ． 1 B． 2 C． 3 D ． 4
在 R 上图像连续且存在唯一极值，若在 x＝ 2 处， f(x) 存在极大值，则下
A
．
.
B
．
.
C
．
.
D
．
.
8
．
A．
பைடு நூலகம்C．
D．
B．
9．函数
A ． B． C． D ．
10 ． 在
中，
()
A．
B．
C．
D．
11 ． 设 偶 函 数
满足
，则
在
A ．递增 B．递减 C．先增后减
上的单调性为 D ．先减后增
12 ．
4．若
，且为第二象限角，则
A．
B．
C． D．
5．在正项等比数列 {a n} 中，若 a1=2， a3=8, 数列 {a n} 的前 n 项和为 A ． 62 B． 64 C． 126 D ． 128
，则 S6 的值为
吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题理科附解析
适用精选文件资料分享吉林省实验中学2019 届高三数学上学期期中试题（理科附解析）2019 届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学（理）试卷数学注意事项： 1 ．答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。
2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地域均无效。
3．非选择题的作答：用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地域内。
写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地域均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题 1 ．，则用区间可表示为 A ． B． C． D． 2 ．已知向量，，若，则实数的值为 A ． B ． C． D． 3 ．等差数列 {an} 中， a1+a5=14，a4=10，则数列{an} 的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4 ．若，且为第二象限角，则 A ． B ． C． D． 5 ．在正项等比数列 {an} 中，若 a1=2，a3=8,数列 {an} 的前 n 项和为，则 S6 的值为 A ．62 B．64 C．126 D． 128 6．函数的零点个数为 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D． 3 个 7．设可导函数在 R上图像连续且存在独一极值，若在 x＝2 处，f(x) 存在极大值，则以下判断正确的选项是 A． . B ． . C ． . D ． .8．A ．B． C．D ．9 ．函数的最小正周期为 A ．B．C．D．10 ．在中， ( ) A． B． C． D． 11 ．设偶函数满足，且当时，，则在上的单调性为 A ．递加 B ．递减 C．先增后减 D．先减后增 12 ．恒建立，则以下各式恒建立的是 A ． B ． C． D ．二、填空题 13 ．已知向量，则的夹角余弦值为________．14．在△ABC中，若，则＝______. 15．若 f(x) ＝ x3 －f ′(1)x2 ＋ x＋，则在（ 1，f(1) ）处曲线的切线方程是______ 16．：；.此中真命题的序号为 ___三、解答题17 ．已知等差数列满足。
吉林省高中2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。
【详解】由题意，根据复数的运算，故选A 。
【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力. 2.已知集合，，则（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一次不等式的解法化简集合，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合，， 所以，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 3. （ ）A. B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，以及，求得的值，即可得到答案。
【详解】由题意，可得，又由，∴，又，故的方程为，故选C。
【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令可得切线斜率，由点斜式可得切线方程，求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率，切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和-5，所以与坐标轴围成的三角形面积,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.6.设满足约束条件，则的最小值为（）A. 3B. -3C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。
吉林省长春市实验中学2019届高三数学上学期期末考试试题理2019010903113
吉林省长春市实验中学2019届高三数学上学期期末考试试题 理考试时间：120分钟 分值：150分一．选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合, {|21}x B x =≥，则（ ）{}32|+==x y y A =B A A ． B ． C ． D ． {}1|≥x x ⎭⎫⎩⎨⎧-≥23|x x {}0|≥x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-023|x x 2.若复数43(cos )(sin 55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan()4πθ-的值为（ ）A ． 7-B ．17-C ． 7D ． 7-或17- 3.函数20.5log (32)y x x =-+的递增区间为 A ．3(,)2+∞ B ．3(,2-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,1)-∞ 4.若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④若,，则//αβ n m ==γβγα ,n m //则以上说法中正确的有( )个 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5.下列判断中正确的是（ ）A ． “若0m >，则20x x m +-=有实数根”的逆否命题是假命题B ． “3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线6(1)4x y λ+-=平行”的充要条件C ． 命题“,sin cos x R x x ∀∈+>”是真命题D ． 已知命题0:p x R ∃∈，使得0lg cos 0x >；命题:0,30xq x ∀<>，则p q ⌝∧是真命题. 6.设数列}{n a 中，若)N (21*++∈+=n a a a n n n ，则称数列}{n a 为“凸数列”.已知数列}{n b 为“凸数列”，且11=b ，22-=b ，则数列}{n b 的前2019项和为（ ） A ．1B ．C ．D ．1-4-5-7.若向量,m n满足4,5,29m n m n ==-= ，则m 与n 夹角的余弦值是（ ）A ．716B ．916C D8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ． 20 B ． 15 C ． 10 D ． 59.设 ABC ∆的一个顶点是(3,1)A -，,B C ∠∠的平分线方程分别为0,x y x ==，则直线BC 的方程为（ ）A ．25y x =+B ．C ．35y x =+D ． 1522y x =+ 52-=x y 10.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ． 函数()f x 的周期为πB ． 函数()y f x π=-为偶函数C ． 函数()f x 在[,4ππ--上单调递增 D ． 函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 11.函数21()ln (0)2f x x x ax x =+->在区间1[,3]2上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 5(,3]2B ． 510[,)23 C ．510(,23 D ． 10[2,312.设函数()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =．若()()log a g x f x x =-在(0,)x ∈+∞)23()21(x f x f +=-上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(3,5) B ．[4,6] C ．[3,5] D ． (4,6)二．填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上 13.曲线与x 轴所围成的封闭图形的面积是______．)20(sin π≤≤=x x y 14.A B C 、、是平面上不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足1[(22)(12)]()3OP OD OC R λλλ=-++∈，则点P 的轨迹一定过ABC ∆______心（内心、外心、垂心或重心）．15.已知圆221:220C x y x y ++-=，圆222:260C x y x y +-+=，则两圆的公共弦长是 ______．16.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为__________．三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．(本题共10分）已知等差数列{}n a 中，，前12项和(1)求数列{a n }的通项公式；11-=a 18612=S(2)若数列满足12nan b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记数列的前项和为，求证： 167n T <。
吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含解析
吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数为A. B. C. D.【答案】B【解析】,故选B.2.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】【解析】【分析】解出集合A的解集为，，故，根据集合间的包含关系得到结果.【详解】集合,,若，故，故.故答案为：D.【点睛】判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系;已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析.3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的的值，当，满足条件，退出循环，输出的值为4，从而得解.【详解】模拟执行程序，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出的值为4.故选：A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的的值是解答的关键，属于基础题.4.函数的最大值为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】注意到，，其中，，. 选C.5. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：该四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,故体积,四个侧面是底边为2,高为的等腰三角形,故,侧面积为,故选B．考点：1．三视图；2．几何体的表面积与体积．6.世界华商大会的某分会场有，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（）A. 12种B. 10种C. 8种D. 6种【解析】【分析】该题要求甲、乙两人被分配到同一展台，故采取捆绑法进行求解，然后利用排列组合知识进行求解即可。
2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】∵=+（i4）504•i3，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，-1），位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知集合和集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求解函数的值域和定义域化简集合A与B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】∵A={x|y=x2}={y|y≥0}，B={x|}={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选：B．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域和值域的求法，是基础题．3．已知命题，命题,则（）A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题【答案】C【解析】举出正例x0=10可知命题p为真命题；举出反例x=0可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．【详解】∵p为存在性命题，∴当x0=10时，x0﹣4＞lgx0成立，故命题p为真命题；又当x=0时，x2=0，故命题q为假命题，故命题p∨q是真命题，故A错误；命题p∧q是假命题，故B错误；命题p∧（￢q）是真命题，故C正确；命题p∨（￢q）是真命题，故D错误；故选：C．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．4．已知，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】a=21.1＞2，0＜b=30.6=＜=2，c=＜0，∴a＞b＞c．故选：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值A ． 恒大于0B ． 恒小于0C ． 等于0D ． 无法判断【答案】A【解析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性求解即可．【详解】由已知函数f （x ）=（m 2﹣m ﹣1）是幂函数，可得m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，当m=2时，f （x ）=x 3；当m=﹣1时，f （x ）=x ﹣6． 对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足>0，函数是单调增函数，∴m=2，f （x ）=x 3．又a+b ＞0，∴f （a ）>f （-b ）=-f （b ）则f （a ）+f （b ）恒大于0．故选：A ．【点睛】 本题考查幂函数的性质以及幂函数的定义的应用，考查计算能力．6．设，则等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 原积分化为dx=dx+dx ，根据定积分的计算法则计算即可【详解】dx=dx+dx ，由定积分的几何意义知dx==,dx=（2x ﹣x 2）=（2×2﹣×22）﹣（2﹣）=4﹣2﹣2+=,dx=dx+dx=故选：A ．【点睛】 本题考查了定积分的计算及定积分的意义，关键是求出原函数，属于基础题.7．下列四个命题中真命题的个数是（ ）①设，则的充要条件是； ②在中，； ③将函数的向右平移1个单位得到函数； ④；⑤已知 是等差数列的前项和，若，则； A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【答案】B【解析】 ①由的向量坐标公式直接可得不正确； ②在中，；注意与0的区别； ③将函数的向右平移1个单位得到函数； ④由诱导公式知正确； ⑤由>0可得3(>0，故正确.【详解】 ①设，则的充要条件是当或时，无意义，故①不正确；②在中，，而不是0，故②不正确；③将函数的向右平移1个单位得到函数，故不正确；④由诱导公式知，故正确；⑤已知是等差数列的前项和，若，则>0,3(>0,故正确.故选B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，综合运用向量基本运算、函数的平移变换、等差数列的性质及三角函数中的诱导公式，属于中档题．8．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用同角三角函数的基本关系求得以sin（α﹣β）和cos（α+β）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin 2α=sin[（α+β）+（α﹣β）]的值．【详解】∵已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，∴π＜α+β＜，0＜α﹣β＜．∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）=﹣=﹣，则sin 2α=sin[（α+β）+（α﹣β）]=sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）=﹣×+（﹣）×=﹣．故选B.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．9．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若（、为实数），则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由向量的线性运算得=．即可．【详解】===．∴，=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，转化思想，数形结合思想，属于基础题．10．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】设需要n天时间才能打通相逢，则有：+≥8，即2n﹣﹣8≥0，解不等式即可得出.【详解】设需要n天时间才能打通相逢，则+≥8，化为：2n﹣﹣8≥0，令2n=t,则（舍去）或∴2n>8, ∴n>3,n的最小整数为4.故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数（其中）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：①直线是函数图象的一条对称轴；②点是函数的一个对称中心；③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（，0）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为（，﹣3），则：，所以：T=π，进一步解得：，A=3由于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（，0）成中心对称，所以：（k∈Z），解得：，由于0＜φ＜π，所以：当k=1时，．所以：f（x）=3．①当x=时，f（）=﹣3sin=﹣，故错误．②当x=时，3sin（-）=0，故正确．③由于：﹣≤x≤，则：，所以函数f（x）的图象与y=1有6个交点．根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．故选C.【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型．12．已知函数满足且,则不等式的解为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数g（x）=，确定函数的单调性，即可解不等式．【详解】令lnx=t,则不等式换元后得tlnt>，构造函数g（x）=，则g′（x）=＞0，函数单调递增，且g（1）=1，∴不等式tlnt>>1=g（1）,即g（t）>g（1）∴t>1, ∴lnx>1, ∴x>e故选：A．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生解不等式的能力，正确构造函数是关键．二、填空题13．(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝________.【答案】2【解析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值．【详解】(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝tan30°==2故答案为：2【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．14．在中，内角的对边分别是，若，则最小角的正弦值等于_______.【答案】【解析】依题意，可得（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，继而得b=a，c=a，a最小，角A最小，利用余弦定理可得cosA===，从而可得sinA的值．【详解】∵20a+15b+12c=，∴20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=，∵向量与向量为不共线向量，∴20a﹣15b=0且12c﹣20a=0，∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA===．∴sinA==．故答案为．【点睛】本题考查平面向量基本定理与余定理的综合应用，求得b=a，c=a是关键，也是难点，考查运算求解能力，属于中档题．15．的内角的对边分别为，已知，则周长的取值范围是_____________.【答案】【解析】由正弦定理可得：====4，a=4sinA，c=4sinC，于是a+b+c=2+4sinA+4sin（﹣A）化简整理即可得出．【详解】由正弦定理可得：====4，a=4sinA，c=4sinC，∴a+b+c=2+4sinA+4sin（﹣A）=2+6sinA+2A=2+4sin（A+）∵＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，∴（a+b+c）∈（4，6]．故答案为．【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和与差的余弦公式等基础知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．16．已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k x有4个不同的交点，数形结合求得k的范围．【详解】f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k x有4个不同的零点，则函数f（x）的图象和直线y=k x有4个不同的交点，如图：x>1时，f（x）=lnx, f′（x）=,y=kx与f（x）在A(x,lnx)处相切，满足切点A（e,1）,,时，y=kx与y=f（x）有4个不同零点.故答案为.【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题17．设两个向量，满足.(1)若，求的夹角.(2)若夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】：（1）（2）且【解析】（1）由得，，结合向量的夹角公式求解即可；（2）由已知得．从而可得，由向量与的夹角为钝角，可得2t2+15t+7＜0，即可t的范围.【详解】（1），，，，向量的夹角是（2）向量与的夹角为钝角，，也就是，即，解得，又向量与共线反向时，，所以的取值范围是且【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于基础题．18．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)把的图象向右平移个单位后，在是增函数，当最小时，求的值．【答案】：(1) （2）【解析】（Ⅰ）利用两角差的余弦公式与二倍角公式将f（x）=2cosxcos（x﹣）﹣sin2x+sinxcosx化为f（x）=2sin（2x+）及可求其周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移m个单位后，得到g（x）=2sin（2x﹣2m+），可求其单调增区间为[﹣+m+kπ，+m+kπ]，再结合g（x）在是增函数，即可求得|m|最小值．【详解】(1)∴=（2）由得单调递增区间为.∵在是增函数，而函数的最小正周期恰好是，所以刚好是半个周期，∴，，∴当最小时，=.【点睛】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合考察了两角差的余弦公式与二倍角公式、辅助角公式的应用，考查了正弦函数的单调性，求最值问题等，熟练掌握三角函数公式与三角函数性质是解决问题的关键，属于难题．19．19已知函数（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值.（2）若函数在上为增函数，求的取值范围.【答案】（1）,（2）【解析】（Ⅰ）函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b可知：,进而可解ab的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，则≥0在（1，+∞）上恒成立，分离变量可求a的范围．【详解】（1）切点坐标是，又所以所以解得，把切点代入切线方程的（2）在上恒成立，即在上恒成立，设,因为，所以的最小值是，所以【点睛】本题为导数与函数的综合应用，正确理解在某点处的切线斜率即是该点的导数值是解决问题的关键，属中档题．20．在中，角所对的边分别是，为其面积，若.（1）求角的大小；（2）设的平分线交于，.求的值.【答案】：（1） (2)【解析】（I）由已知及余弦定理可求得cosB=，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（II）由正弦定理可得sin∠BAD，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos∠BAD，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin∠BAC的值．【详解】（1）因为所，所以，,即,所以.(2)在中，由余弦定理，,由正弦定理，，以为所以,所以,,所以，,,所以=也可以由角分线定理，再用余弦定理解【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21．设是定义在上的函数，且对任意实数，恒有，当时，.(1)当时，求的解析式；（2）计算.【答案】（1）（2）0【解析】（1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）是周期函数,再根据函数奇偶性和周期性的关系即可求出当x∈[2，4]时f（x）的解析式.（2）根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算的值．【详解】：（1）将中的用代换得，又得，将用替换得所以周期为4，由得函数的对称中心是，此函数是奇函数，在的解析式为，向右移4个单位得（2），，，，由周期是4知=【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．22．已知函数.(1)若在上存在极值，(1)求实数的取值范围；(2)求证：当时，.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）求出f（x）的导数，求得极值点x=1，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式＞即为•＞，令g（x）=，通过导数，求得＞，令k（x）=，运用导数证得k（x）＜k（1）=，原不等式即可得证．【详解】．：（1），得，由题意，1在内所以（2）只需证明，即证设，则，设，则，当时，，在上是增函数，所以，所以，所以在上是增函数，所以当时，，所以（i）再设，则，当时，，所以在上是减函数，所以，当时，，所以（ii），综合（i）与（ii）得，.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题．。
【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学(理)试题(含答案)
2019届吉林省长春市实验中学 高三上学期期中考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z =4i (1−i)2+i2019在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合A ={y|y =x 2}和集合B ={x|y =√1−x 2}，则A ∩B 等于 A ．(0,1) B ．[0,1] C ．[0,+∞) D ．[−1,1]3．已知命题p:∃x 0∈R,x 0−4>lgx 0，命题q:∀x ∈R,x 2>0,则 A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q)是真命题 D ．命题p ∨(¬q)是假命题 4．已知a =21.1,b =30.6,c =log 123，则a,b,c 的大小为A ．b >c >aB ．a >c >bC ．b >a >cD ．a >b >c 5．函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+2m−5是幂函数，对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，若a,b ∈R ，且a +b >0，则f(a)+f(b)的值A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断6．设f(x)={1π√1−x 2,x∈[0,1]2−x,x ∈(1,2]，则∫f(x)dx 20等于A ．34 B ．45 C ．56 D ．0 7．下列四个命题中真命题的个数是①设a ⃗=(x 1,y 1),b ⃗⃗=(x 2,y 2)，则a ⃗//b 的充要条件是x 1y 1=x2y 2；②在ΔABC 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ③将函数y =f(|x |)的向右平移1个单位得到函数y =f(|x |−1)； ④cos(3π2+α)=sinα；⑤已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7>S 5，则S 9>S 3；A ．1B ．2C ．3D ．48．已知π2<β<α<34π,cos(α−β)=1213,sin(α+β)=−35，则sin2α= A ．5665 B ．−5665 C ．6556 D ．−65569．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ、μ为实数），则λ2+μ2 =A ．58B ．14C ．1D ．51610．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)（其中A >0,ω>0,0<ϕ<π）的图象关于点M(5π12,0)成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为N(2π3,−3)，则对于下列判断：①直线x =π2是函数f(x)图象的一条对称轴；②点(−π12,0)是函数f(x)的一个对称中心； ③函数y =1与y =f(x)(−π12≤x ≤35π12)的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知函数y =f(x)满足xf ′(x)>(x −1)f(x) 且f(1)=e ,则不等式lnxf(lnx)>x 的解为 A ．x >e B ．0<x <e C ．x >1 D ．0<x <1二、填空题13．(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝________.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号14．在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若20aBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15bCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12cAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则ΔABC 最小角的正弦值等于_______.15．ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知B =π3，b =2√3，则ΔABC 周长的取值范围是_____________.16．已知函数f(x)={|lnx |,x >02−x 2,x ≤0，若函数g(x)=f(x)−kx 有4个零点，则实数k 的取值范围是_____________.三、解答题17．设两个向量a ⃗,b ⃗⃗，满足|a ⃗|=2,|b ⃗⃗|=1. (1)若(a ⃗+2b ⃗⃗)⋅(a ⃗−b ⃗⃗)=1，求a ⃗、b⃗⃗的夹角. (2)若a ⃗、b ⃗⃗夹角为60∘，向量2ta ⃗+7b ⃗⃗与a ⃗+tb ⃗⃗的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 18．已知函数f(x)=2cosxcos(x −π6)−√3sin 2x +sinxcosx ．(1)求f(x) 的最小正周期；(2)把f(x)的图象向右平移m 个单位后，在[0,π2]是增函数，当|m|最小时，求m 的值． 19．19已知函数f(x)=12x 2−alog 2x(a ∈R)（1）若函数f(x)的图象在x =2处的切线方程为y =x +b ，求a,b 的值. （2）若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数，求a 的取值范围.20．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，S 为其面积，若4S =a 2+c 2−b 2. （1）求角B 的大小；（2）设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，AB =4,BD =√2.求cosC 的值.21．设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，恒有f(x +2)=f(−x),f(x)=−f(4−x)，当x ∈[0,2]时， f (x )=2x −x 2.(1)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；（2）计算f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2019). 22．已知函数f(x)=lnx+1x.(1)若f(x)在(m,m +1)上存在极值，(1)求实数m 的取值范围；(2)求证：当x >1时，f(x)e+1>2e x−1(x+1)(xe x +1).2019届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】∵z=4i(1−i)2+i2019=4i−2i+（i4）504•i3=−2−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，-1），位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．B【解析】【分析】分别求解函数的值域和定义域化简集合A与B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】∵A={x|y=x2}={y|y≥0}，B={x|y=√1−x2}={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选：B．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数的定义域和值域的求法，是基础题．3．C【解析】【分析】举出正例x0=10可知命题p为真命题；举出反例x=0可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．【详解】∵p为存在性命题，∴当x0=10时，x0﹣4＞lgx0成立，故命题p为真命题；又当x=0时，x2=0，故命题q为假命题，故命题p∨q是真命题，故A错误；命题p∧q是假命题，故B错误；命题p∧（￢q）是真命题，故C正确；命题p∨（￢q）是真命题，故D错误；故选：C．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．4．D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】a=21.1＞2，0＜b=30.6=√335＜√255=2，c=log123＜0，∴a＞b＞c．故选：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．A【解析】【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性求解即可．【详解】由已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m2+2m−5是幂函数，可得m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1，。
吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
长春市实验中学2018-2019学年上学期期末考试高三数学试卷（理）一选择题：在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合, ，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出A中函数的值域y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【详解】由A中，得到y≥0，即A＝{y| y≥0}，由B中， x，即B＝{x| x}，则A∩B＝{x| x}，故选：C．【点睛】本题考查了交集的运算及函数定义域和值域的求法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】由于z为纯虚数，,.3.函数的递增区间为（）A. B. C. D.【答案】C分析：令=>0，求得函数的定义域为，且函数y=，本题即求二次函数t（x）在上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在上的增区间．详解：令=>0，求得 x≤1，或x≥2，故函数的定义域为，且函数y=，故本题即求二次函数t（x）在y=上的增区间．再利用二次函数的性质可得t（x）在y=上的增区间为，故选：C．点睛：复合函数单调性判断的口诀：同增异减，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数.4.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，①②③④若,，则则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：对于①，，，由线面垂直的判定定理得，故①正确；对于②，，，，则与平行或异面，故②错误；对于③，，，，由线面垂直的判定定理得，故③正确；对于④，若，，，则与相交或平行，故④错误．故选B.5.下列判断中正确的是（）A. “若，则有实数根”的逆否命题是假命题B. “”是“直线与直线平行”的充要条件C. 命题“”是真命题D. 已知命题，使得；命题，则是真命题.【解析】【分析】A,根据有实数根的等价条件，判断A是否正确；B, 根据“直线与直线平行” 的充要条件是或，判断B；C, 根据sin x+cos x，判断C；D,先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出结果．【详解】对于A, ∵有实数根,∴△＝1+4×m，∴m，∴若，则有实数根是正确的，所以逆否命题是正确的，故A错误；对于B, “直线与直线平行” 的充要条件是或，∴“”是“或”的充分不必要条件，故B错误；对于C, ∵sin x+cos x sin（x），∴命题“”为假命题，故C 错误；对于D，∵﹣1≤cos x≤1，∴lg cos x≤0，∴命题p为假命题，命题q：∀x＜0，3x＞0，是真命题，∴是真命题，故D正确.故选D.【点睛】本题考查了命题的真假判断，考查了命题的否定命题，考查了充要条件的判断，涉及三角函数的值域问题、平面上两直线间的位置关系判断及一元二次方程根的情况的判断等知识，解答时要细心，属于综合题.6.设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】数列{b n}为“凸数列”，b n+1＝b n+b n+2，b1＝1，b2＝﹣2，可得：b3＝﹣3，进而得到b4，b5，b6，b7，b8，…，所以发现b n+6＝b n．即可得出．。
【100所名校】2019届吉林省长春市实验中学高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)
2019届吉林省长春市实验中学 高三上学期开学考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知1−bi1+2i ＝a ＋i (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 A ． －4 B ． 4 C ． －10 D ． 10 2．下列说法中，正确的是A ． 命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ． 命题“存在x 0∈R ，x －x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”C ． 命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ． 已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 3．如图为某几何体的三视图，则其体积为A ． π+43 B ． π3+4 C ． 23π+43 D ． 23π+44．若圆C ：x 2+y 2=4上的点到直线l ：y =x +a 的最小距离为2，则a = A ． ±2√2 B ． ±2√2−2 C ． ±4√2−2 D ． ±4√25．现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有A ． 6种B ． 8种C ． 12种D ． 16种6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是A ．9π4B ． 94πC ． 4π9D ． 49π 7．已知定义域为R 的偶函数f(x)在(−∞,0]上是减函数，且f(1)=2，则不等式f(log 2x)>2的解集为A ． (2,+∞)B ． (0,12)∪(2,+∞) C ． (0,√22)∪(√2,+∞) D ． (√2,+∞)8．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是 A ． 若m//α,m//β,则α//β B ． 若m//α,α//β,则m//β C ． 若m ⊂α,m ⊥β,则α⊥β D ． 若m ⊂α,α⊥β,则m ⊥β9．已知{a n }为正项等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 1=16，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5的值是A ． 29B ． 30C ． 31D ． 3210．已知f(x)={|lgx |,x >02|x |,x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是A ． 3B ． 5C ． 7D ． 811．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式(x −1x )n展开式中x 2项的系数为 A ． 11 B ． 20 C ． 15 D ． 1612．在ΔΑΒC 中，若1tanΑ，1tanΒ，1tan C 依次成等差数列，则A ． a ，b ，c 依次成等差数列B ． √a ，√b ，√c 依次成等比数列C ． a 2，b 2，c 2依次成等差数列D ． a 2，b 2，c 2依次成等比数列二、填空题13．平面向量a →与b →的夹角为60°，a →=（2，0），|b →|=1，则|a →+2b →|等于______． 14．若x,y 满足{y ≥1x +y ≥1x −y −1≤0，则x +2y 的最小值为______．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号15．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于______．16．设S n为数列{a n}的前n项和, 已知a1=2, 对任意p,q∈N∗, 都有a p+q=a p+a q，则f(n)=S n+60n+1(n∈N∗)的最小值为__________.三、解答题17．已知函数f（x）=√3sin x2cos x2+cos2x2+m的图象过点（5π6，0）．（1）求实数m值以及函数f（x）的单调递减区间；（2）设y=f（x）的图象与x轴、y轴及直线x=t（0＜t＜2π3）所围成的曲边四边形面积为S，求S关于t的函数S（t）的解析式．18．某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1、2、3、4、5、6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：131163341 2412531263 1612122534 5（1）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；（2）已知该厂生产一件产品的利润y(单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为y={1,ξ<32,3≤ξ<54,ξ≥5，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和均值．19．如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD=2BC=2,∠BAD=∠ABC=90o．（1）证明：AD⊥PC；（2）若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角A−SB−C的余弦值．20．在直角坐标系中，椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，点P为C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=53．（1）求椭圆的方程；（2）过F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点，若线段OF2上存在定点T(t,0)使得以TM、TN为邻边的四边形是菱形，求t的取值范围．21．若函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－．（1）求函数φ(x)＝g(x)－f(x)的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，＋∞)，都有xf(x)≥ax－a成立，求实数a的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xΟy中，曲线C1的参数方程为{x=1+√3cosθy=√3sinθ（其中θ为参数），点Μ是曲线C1上的动点，点Ρ在曲线C2上，且满足ΟΡ⃑⃑⃑⃑⃑ =2ΟΜ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ．（1）求曲线C2的普通方程；（2）以原点Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=π3与曲线C1，C2分别交于Α，Β两点，求|ΑΒ|．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x−a|+|x−1|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f(x)≤4；（2）当x∈(−2,1)时，f(x)>|2x−a−1|恒成立，求a的取值范围．2019届吉林省长春市实验中学高三上学期开学考试数学（理）试题数学答案参考答案1．A【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．【详解】∵1−bi1+2i =(1−bi)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2b−(b+2)i5=a+i，∴1−2b5=a，b+25=﹣1，解得：b=﹣7，a=3．∴a+b=﹣7+3=﹣4．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】A．原命题的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，由于m=0时不成立；B．利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C．由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．【详解】A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．3．A【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．【详解】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．则体积V=12×π×12×2+13×22×1=π+43．故选：A．【点睛】本题考查了四棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．D【解析】【分析】根据圆的性质可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式列方程解出即可．【详解】圆C的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心C到直线l的距离d=√2，∵圆C上的点到直线l的最小距离为2，∴圆心到直线l的距离d=2+r=4．∴√2=4，∴a=±4√2．故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．5．C【解析】【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．【详解】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C21×3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有6+6=12种，故选：C．【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．6．D【解析】【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【详解】如图所示：∵S正=1，S圆=π(32)2=9π4，∴P=S正S圆=49π．故选：D．【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N(A)N求解．7．B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2⇔|log2x|＞1；化简可得log2x＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（log2x）＞2=f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；解可得x＞2或0＜x＜12．故选：B．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于x的方程．8．C【解析】【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9．C【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94，即16q 3+16q 6，=94， 解得q=12（负值舍去）， 则有S 5=a 1(1−q 5)1−q=16×(1−125)1−12=31．故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．10．B 【解析】 【分析】函数y=2f 2（x ）﹣3f （x ）+1=[2f （x ）﹣1][f （x ）﹣1]的零点，即方程f （x ）=12和f （x ）=1的根，画出函数f （x ）={|lgx|，x ＞02|x|，x ≤0的图象，数形结合可得答案．【详解】函数y=2f 2（x ）﹣3f （x ）+1=[2f （x ）﹣1][f （x ）﹣1]的零点， 即方程f （x ）=12和f （x ）=1的根，函数f （x ）={|lgx|，x ＞02|x|，x ≤0的图象如下图所示：由图可得方程f （x ）=12和f （x ）=1共有5个根， 即函数y=2f 2（x ）﹣3f （x ）+1有5个零点， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．11．C 【解析】【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数．【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6．则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x ）6 展开式中的通项公式为 T r+1=C 6r•（﹣1）r •x 6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为C 62=15，故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．12．C 【解析】 试题分析：若1tanΑ，1tanΒ，1tan C依次成等差数列，则1tanΑ+1tan C=2tanB，则2tanB =1tanΑ+1tan C =cosA sinA +cosC sinC =cosA sinC +sinAcosC sinA sinC =sin(A +C)sinA sinC =sinBsinA sinC ∴2cosB sinB=sinBsinA sinC ⇒2cosB =sin 2B sinA sinC ，由正弦定理可得2cosB =b 2ac ，再由余弦定理可得2accosB =b 2⇒a 2+c 2−b 2=b 2⇒a 2+c 2=2b 2，即a 2，b 2，c 2依次成等差数列，选C 考点：正弦定理，余弦定理 13．2√3 【解析】 【分析】运用向量的数量积的定义，可得，a →•b →=|a →|•|b →|cos60°=1，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【详解】由向量a →与b →的夹角为60°，a →=（2，0），|b →|=1， 可得|a →|=2，a →•b →=|a →|•|b →|cos60°=2•1•12=1，则|a →+2b →|=√a →2+4a →⋅b →+4b →2=√4+4+4=2√3． 故答案为：2√3． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题．14．2 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x +2y 得y=﹣12x+z平移直线y=﹣12x+z ，由图象可知当直线y=﹣12x+z 经过点A （0，1）时， 直线y=﹣2x +z 的截距最小， 此时z 最小．将A （0，1）的坐标代入目标函数z=x +2y ， 得z=2．即z=x +2y 的最小值为2； 故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．√10 【解析】 【分析】渐近线与直线x +3y+1=0垂直，得a 、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a 、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【详解】∵双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x +3y+1=0垂直． ∴双曲线的渐近线方程为y=±3x ∴ba =3，得b 2=9a 2，c 2﹣a 2=9a 2， 此时，离心率e=c a=√10．故答案为：√10． 【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．16．292【解析】由题可设p =1,q =n ，则a 1+n =a 1+a n ∴a 1+n +a n =2 ，则数列{a n }是以2 为首项，2 为公差的等差数列，a n =2+(n −1)×2=2n,S n =(2+2n)n2=n 2+n ，f(n)=S n +60n+1=n 2+n+60n+1=n +60n+1=n +1+60n+1−1 ，当且仅当n +1=60n+1⇒n =√60−1时f(n)取得最小值，由n ∈N ∗ ，所以n =6或n =7，因为f(6)=1027,f(7)=292,∴f(6)>f(7)，即f(n)得最小值为292点睛：本题考查数列的递推公式即等差数列的有关性质，解题时注意n ∈N ∗ 17．（1）m =−12，单调递减区间是[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k ∈Z ；（2）s(t)=sin(t −π3)+√32(0<t <2π3)．【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=sin(x +π6)+12+m 的形式，把点（5π6，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f （x ）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数f （x ）求0到t 上的积分，即求被积函数f （x ）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案．【详解】（1）f （x ）=√3sin x2cos x2+cos 2x2+m=√32sinx +12cosx +12+m =sin(x +π6)+12+m ．∵f （x ）的图象过点（5π6，0）， ∴sin(5π6+π6)+12+m =0，解得m =−12．∴f （x ）=sin(x +π6)， 由π2+2kπ≤x +π6≤3π2+2kπ，得π3+2kπ≤x ≤4π3+2kπ，k ∈Z ．故f （x ）的单调递减区间是[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k ∈Z ； （2）由（1）得，f （x ）=√32sinx +12cosx ．∴S =∫0t (√32sinx +12cosx)dx =(−√32cosx +12sinx)|0t=(−√32cost +12sint)−(−√32cos0+12sin0)=sin(t −π3)+√32． ∴S(t)=sin(t −π3)+√32（0＜t ＜2π3）． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．（1）一、二、三等品的概率分别为15,310,12；（2）分布列见解析，均值为3.8． 【解析】 【分析】（1）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）确定Z 的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得Z 的分布列，从而可求数学期望．【详解】（1）由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件， 故该厂生产一等品概率为P 1＝＝，二等品概率为P 2＝＝，三等品概率为P 3＝＝. （2）由题意得：Z 的可能取值为2、3、4、5、6、8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故：P(Z ＝2)＝×＝，P(Z ＝3)＝2××＝，P(Z ＝4)＝×＝，P(Z ＝5)＝2××＝，P(Z ＝6)＝2××＝，P(Z ＝8)＝×＝. ∴Z 的分布列为∴E(Z)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋8×＝3.8.【点睛】本题考查统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题时利用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．19．（1）证明见解析；（2）−2√77． 【解析】 【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，说明PO⊥AD．证明CO⊥AD，然后证明AD⊥平面POC ，推出AD⊥PC；（2）证明PO ⊥平面ABCD ，分别以OC⃑⃑⃑⃑⃑ ,OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面PBC 与平面PDC 的法向量代入公式即可.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接PO,CO ， ∵ΔPAD 为等边三角形，∴PO ⊥AD . 底面ABCD 中,可得四边形ABCO 为矩形， ∴CO ⊥AD ， ∵PO ∩CO =O ，∴AD ⊥平面POC ，∵PC ⊂平面POC ，∴AD ⊥PC . 又AD//BC , 所以AD ⊥PC .（2）由面PAD ⊥面ABCD ,PO ⊥AD 知，PO ⊥平面ABCD ， ∴OP,OD,OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30°， 即∠CPO =30∘， 由AD =2,知PO =√3,得CO =1.分别以OC⃑⃑⃑⃑⃑ ,OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,OP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ， 则P(0,0,√3),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,−1,0)， ∴BC⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,0),PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,−√3),CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1,0) 设平面PBC 的法向量为n ⃑ =(x,y,z).∴{y =0x −√3z =0.则n ⃑ =(√3,0,1)， 设平面PDC 的法向量为m ⃑⃑ =(x,y,z).∴{x −y =0x −√3z =0 .则n ⃑ =(√3,√3,1)， ∴cos ⟨m ⃑⃑ ,n ⃑⃑⃑ ⟩=m ⃑⃑⃑ •n ⃑ |m⃑⃑⃑ ||n ⃑ |=2√7=2√77， ∴由图可知二面角A −SB −C 的余弦值−2√77.【点睛】本题直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（1）x 24+y 23=1；（2）t 的取值范围是(0,14)．【解析】试题分析：（1）运用题设条件及椭圆的定义进行求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析探求：试题解析：解：（Ⅰ）抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0)，|PF 2|=x p +1=53，∴x p =23，∴y p =23√6，∴P(23,23√6)， 又F 2(1,0)，∴F 1(−1,0)，∴|PF 1|+|PF 2|=73+53=4，∴a =2， 又∵c =1，∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆方程是：x 24+y 23=1．（Ⅱ）设MN 中点为D(x 0,y 0)，因为以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形， 则TD ⊥MN ，设直线MN 的方程为x =my +1，联立{x =my +1,x 24+y 23=1,整理得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，∵F 2在椭圆内，∴Δ>0恒成立， ∴y 1+y 2=−6m3m 2+4，∴y 0=−3m 3m 2+4，∴x 0=my 0+1=43m 2+4， ∴k TD ⋅k MN =−1，即−3m3m 2+443m 2+4−t =−m ，整理得t =13m 2+4，∵m 2>0，∴3m 2+4∈(4,+∞)，∴t ∈(0,14)， 所以t 的取值范围是(0,14)．点睛：本题旨在考查圆锥曲线中的椭圆、抛物线的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识与基本思想方法的综合运用。
吉林省长春市实验高中2019届高三第三次月考数学(理)试题+Word版含解析
吉林省长春实验高中2019届高三第三次月考+理科数学第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D2.设复数，则（）A. B. ． C. D.【答案】C【解析】∵∴故选：C3.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，故选B.4.已知，则（）A. 2B.C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用求得平方的值，再开平方即可得结果.【详解】因为，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A. 5B. 6C. 6.5D. 7【答案】B【解析】由题意可知，该几何体在正方体的基础上去掉一个三棱柱故该几何体的体积为故选6.设满足约束条件则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图，易得A（﹣1，1），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故选：A．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根题意得到，n=1,S=1,N=2,S=3;N=3,S=6;N=4,S=10;N=5,S=15;此时S>11,输出S=15.故答案为：C。
8.若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，解得：，设，作出的图象，当时，满足题意.故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝1，则“a3＞5”是“S3＋S9＞93”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式与性质，以及充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】设公差为，若，，则，所以，充分性成立；反之，成立，则，不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.10.函数，f（x）＝Acos（wx＋φ）（A＞0，w＞0，－π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝Asinwx的图象，只需将函数y＝f（x）的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】D【解析】由函数的部分图象可得：，，则，将代入得，则故可将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，即可得到的图象故选11.在四面体中，底面，，，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则（）A. B. 2 C. D.【答案】B【解析】，设的外心为O，则在上，设，则即，解得四面体的外接球的半径，解得则故选点睛：本题主要考查了四面体与球的位置关系，结合题目条件，先利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，再由球心与外接圆圆心连接再次勾股定理，结合外接球的表面积计算得长度，从而计算出结果，本题有一定难度，需要学生能够空间想象及运用勾股定理计算12.已知函数的导数为，不是常数函数，且对恒成立，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原式等于，设，那么，所以函数是单调递增函数，，即，故选A.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解不等式，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造，(2)若，就构造，（3），就构造，（4）或是就构造，或是熟记，等函数的导数，便于给出导数时，联想构造函数。
吉林省长春市实验中学2019届高三上学期开学考试数学(理)试题 含解析
长春市实验中学2018-2019学年上学期学期初考试高三数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知＝a＋i (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )A. －4B. 4C. －10D. 10【答案】A【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．【详解】∵===a+i，∴=a，=﹣1，解得：b=﹣7，a=3．∴a+b=﹣7+3=﹣4．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．2.下列说法中，正确的是( )A. 命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B. 命题“存在x 0∈R，x－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C. 命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D. 已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】A．原命题的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，由于m=0时不成立；B．利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C．由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即可判断出正误．【详解】A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m=0时不成立；B．命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“任意x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C．“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；D．x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确．故选：B．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．3.如图为某几何体的三视图，则其体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．【详解】由三视图可知：该几何体为一个圆柱的一半与一个四棱锥．则体积V=+=．故选：A．【点睛】本题考查了四棱锥与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若圆：上的点到直线：的最小距离为2，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式列方程解出即可．【详解】圆C的圆心为（0，0），半径r=2，∴圆心C到直线l的距离d=，∵圆C上的点到直线l的最小距离为2，∴圆心到直线l的距离d=2+r=4．∴=4，∴a=±4．故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．5.现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( )A. 6种B. 8种C. 12种D. 16种【答案】C【解析】【分析】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．【详解】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有3=6种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有6+6=12种，故选：C．【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．6.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．【详解】如图所示：∵，∴．故选：D．【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．7.已知定义域为R的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2⇔|log2x|＞1；化简可得log2x＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（log2x）＞2=f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；解可得x＞2或．故选：B．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于x的方程．8.设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】C【解析】【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是 ( )A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】C【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q，则a4=16q3，a7=16q6，a4与a7的等差中项为，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（负值舍去），则有S5===31．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．10.已知，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是( )A. 3B. 5C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，画出函数f （x）=的图象，数形结合可得答案．【详解】函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）=和f（x）=1的根，函数f（x）=的图象如下图所示：由图可得方程f（x）=和f（x）=1共有5个根，即函数y=2f2（x）﹣3f（x）+1有5个零点，故选：B．【点睛】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．11.已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为( )A. 11B. 20C. 15D. 16【答案】C【解析】【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中x2项的系数．【详解】∵f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，故函数的最小值为6，再根据函数的最小值为n，∴n=6．则二项式（x﹣）n=（x﹣）6展开式中的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x2项的系为=15，故选：C．【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．12.在中，若，，依次成等差数列，则（）A. ，，依次成等差数列B. ，，依次成等比数列C. ，，依次成等差数列D. ，，依次成等比数列【答案】C【解析】试题分析：若，，依次成等差数列，则，则，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即，，依次成等差数列，选C考点：正弦定理，余弦定理二、填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上13.平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|等于______．【答案】【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，可得，•=||•||cos60°=1，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【详解】由向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，可得||=2，•=||•||cos60°=2•1•=1，则|+2|===2．故答案为：2．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题．14.若满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（0，1）时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．将A（0，1）的坐标代入目标函数z=x+2y，得z=2．即z=x+2y的最小值为2；故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于______．【答案】【解析】【分析】渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【详解】∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故答案为：．【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．16.设为数列的前项和, 已知, 对任意N, 都有，则N)的最小值为__________.【答案】【解析】由题可设，则，则数列是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，，，当且仅当时取得最小值，由，所以或，因为，即得最小值为点睛：本题考查数列的递推公式即等差数列的有关性质，解题时注意三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数f（x）=sin cos+cos2+m的图象过点（，0）．（1）求实数m值以及函数f（x）的单调递减区间；（2）设y=f（x）的图象与x轴、y轴及直线x=t（0＜t＜）所围成的曲边四边形面积为S，求S关于t的函数S （t）的解析式．【答案】（1），单调递减区间是，k∈Z；（2）．【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式降幂，化为y=的形式，把点（，0）代入函数解析式求得m 的值，再代入函数解析式后利用复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间；（2）对（1）中所求函数f（x）求0到t上的积分，即求被积函数f（x）的原函数，代入积分上限和下限后作差得答案．【详解】（1）f（x）=sin cos+cos2+m==．∵f（x）的图象过点（，0），∴，解得．∴f（x）=，由，得，k∈Z．故f（x）的单调递减区间是，k∈Z；（2）由（1）得，f（x）=．∴===．∴（）．【点睛】本题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18.某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1、2、3、4、5、6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：1 3 1 1 6 3 3 4 1 24 1 25 3 1 26 3 16 1 2 1 2 2 5 3 4 5（1）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；（2）已知该厂生产一件产品的利润y(单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和均值．【答案】（1）一、二、三等品的概率分别为；（2）分布列见解析，均值为3.8．【解析】【分析】（1）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）确定Z的可能取值为：2，3，4，5，6，8．用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得Z的分布列，从而可求数学期望．【详解】（1）由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，故该厂生产一等品概率为P1＝＝，二等品概率为P2＝＝，三等品概率为P3＝＝.（2）由题意得：Z的可能取值为2、3、4、5、6、8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故：P(Z＝2)＝×＝，P(Z＝3)＝2××＝，P(Z＝4)＝×＝，P(Z＝5)＝2××＝，P(Z＝6)＝2××＝，P(Z＝8)＝×＝.∴Z的分布列为∴E(Z)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋8×＝3.8.【点睛】本题考查统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题时利用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．19.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为30°，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取AD的中点为O，连接PO，CO，说明PO⊥AD．证明CO⊥AD，然后证明AD⊥平面POC，推出AD⊥PC；（2）证明平面，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量代入公式即可.【详解】（1）取的中点为，连接，∵为等边三角形，∴.底面中,可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又,所以.（2）由面面,知，平面，∴两两垂直，直线与平面所成角为，即，由知得.分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，∴,,设平面的法向量为.∴.则，设平面的法向量为.∴.则，∴，∴由图可知二面角的余弦值.【点睛】本题直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.在直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，其中也是抛物线：的焦点，点为与在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，若线段上存在定点使得以、为邻边的四边形是菱形，求的取值范围．【答案】（1）；（2）的取值范围是．【解析】试题分析：（1）运用题设条件及椭圆的定义进行求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析探求：试题解析：解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，∴椭圆方程是：．（Ⅱ）设中点为，因为以、为邻边的四边形是菱形，则，设直线的方程为，联立整理得，∵在椭圆内，∴恒成立，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∵，∴，∴，所以的取值范围是．点睛：本题旨在考查圆锥曲线中的椭圆、抛物线的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识与基本思想方法的综合运用。
【中小学资料】吉林省某知名中学2019届高三数学上学期开学考试试题 理_2
长春市实验中学2018-2019学年上学期学期初考试高三数学（理）试卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知1－bi1＋2i＝a ＋i (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．4C ．－10D ．102．下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“存在x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件3．如图为某几何体的三视图，则其体积为A ．4π3+B ．π43+ C ．24π33+D ．2π43+4．若圆C ：224x y +=上的点到直线l ：y x a =+的最小距离为2，则a = ( )A ． 22±B ．222-±C ．224-±D ．±5.现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有( )A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种6.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为 3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )A ．9π4B ．94πC ．4π9D ．49π7. 已知定义域为R 的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，且(1)2f =，则不等式2(log )2f x >的解集为（ ）A .(2,)+∞B . 1(0,)(2,)2+∞C . (2,)+∞D .)+∞8．设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A ．若//,//,//m m αβαβ则B ．若//,//,//m m ααββ则C ．若,,m m αβαβ⊂⊥⊥则D ．若,,m m ααββ⊂⊥⊥则9.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是 ( )A ．29B ．30C ．31D ．3210.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,lg )(x x x x f x ，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．811.已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1展开式中x 2项的系数为( )A ．11B ．20C ．15D ．1612.在C ∆AB 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列 BC ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列D ．2a ，2b ，2c 依次成等比数列二．填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上13.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +等于______．14．若,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≥0111y x y x y ，则y x 2+的最小值为15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直，则双曲线的离心率等于______．16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =， 对任意,p q ∈N *，都有p q p q a a a +=+，则()60(1n S f n n n +=∈+N *)的最小值为______．三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．(本题共12分)如图，函数f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＋m 的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,65π（1）求m 的值及f (x )的单调递减区间；（2）设y ＝f (x )的图象与x 轴、y 轴及直线x ＝t ⎪⎭⎫⎝⎛<<320πt 所围成的曲边四边形的面积为S ，求S 关于t 的函数S (t )的解析式． 18．(本题共12分)某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1、2、3、4、5、6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：1 3 1 1 6 3 3 4 12 4 1 2 53 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 34 5（1）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；（2）已知该厂生产一件产品的利润y (单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=5,453,23,1ξξξy ，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z ，求Z 的分布列和均值．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22,AD BC ==o 90BAD ABC ∠=∠=．（1）证明：BC PC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为︒30，求二面角D PC B --的余弦值．20.（本小题满分12分）在直角坐标系中，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 也是抛物线2C ：24y x =的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且25||3PF =． （1）求椭圆的方程；（2）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M 、N 两点，若线段2OF 上存在定点(,0)T t 使得以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围． 21．(本题共12分)若函数f (x )＝lnx ，g (x )＝x －2x ．（1）求函数φ(x )＝g (x )－f (x )的单调区间；（2）若对所有的x ∈[e ，＋∞)，都有xf (x )≥ax －a 成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程(本题共10分)在直角坐标系x y O 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP =OM ． （1）求曲线2C 的普通方程；（2）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB ．23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()1f x x a x =-+-，R a ∈．（1）当3a =时，解不等式()4f x ≤；（2）当()2,1x ∈-时，()21f x x a >--恒成立，求a 的取值范围．长春市实验中学2018-2019学年上学期阶段测试高三数学（理）试卷三．选择题：本题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的四．填空题：本题共4小题，每小题5分，将正确的答案填在横线上13.．2 15292四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．(本题共12分)解：（1）f(x)＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x2＋m ＝32sin x ＋12cos x ＋12＋m ＝m x +++21)6sin(π因为f(x)的图象过点)0,65(π，所以021)665sin(=+++m ππ，解得m ＝－12.所以f(x)＝)6sin(π+x ，由π2＋2k π≤x ＋π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，得34223ππππ+≤≤+k x k k∈Z. 故f(x)的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++342,32ππππk k ，k∈Z. （2）由（1）得f(x)＝32sin x ＋12cos x. 所以dx x t)6sin(0⎰+π=t x 0|)6cos(π+-=23)6cos(++-πt =23)3sin(+-πt )320(π<<t20．(本题共12分)解：（1）由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件， 故该厂生产一等品概率为P 1＝630＝15，二等品概率为P 2＝930＝310，三等品概率为P 3＝1530＝12.（2）由题意得：Z 的可能取值为2、3、4、5、6、8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互独立的，故： P (Z ＝2)＝12×12＝14，P(Z ＝3)＝2×12×310＝310，P(Z ＝4)＝310×310＝9100，P(Z ＝5)＝2×12×15＝15，P(Z ＝6)＝2×310×15＝325，P(Z ＝8)＝15×15＝125.∴Z 的分布列为∴E(Z)＝2×14＋3×310＋4×9100＋5×15＋6×325＋8×125＝3.8.19.（本小题满分12分）解：（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，∵PAD ∆为等边三角形，∴PO AD ⊥.底面ABCD 中,可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥， ∵POCO O =， ∴AD ⊥平面POC ，∵PC ⊂平面POC，∴AD PC ⊥. 又//AD BC ,所以AD PC ⊥.（2）由面⊥PAD 面ABCD,PO AD ⊥知，∴PO ⊥平面ABCD ，,,OP OD OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为︒30， 即30CPO ∠=由2,AD =知PO =得1CO =.分别以,,OC OD OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则(0,1,0),(1,0,0),(1,1,0)P D C B -，(0,1,0)BC =,(1,0,PC =,(1,1,0)CD =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =.∴00y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩.则(3,0,1)n =， 设平面PDC 的法向量为(,,)m x y z =.∴00x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩.则(3,3,1)n =，cos ,7||||27m n mn m n ∙===，∴由图可知二面角A SB C --的余弦值7-. 20.（本小题满分12分）解：（1）抛物线24y x =的焦点为(1,0)，25||13p PF x =+=，∴23p x =，∴p y =2(3P ，又2(1,0)F ，∴1(1,0)F -， ∴1275||||433PF PF +=+=，∴2a =，又∵1c =，∴2223b a c =-=， ∴椭圆方程是：22143x y +=． （2）设MN 中点为00(,)D x y ，因为以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形，则TD MN ⊥， 设直线MN 的方程为1x my =+，联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得22(34)690m y my ++-=，∵2F 在椭圆内，∴0∆>恒成立，∴122634m y y m -+=+，∴02334m y m -=+，∴0024134x my m =+=+，∴1TD MN k k ⋅=-，即22334434mm m t m -+=--+，整理得2134t m =+，∵20m >，∴234(4,)m +∈+∞，∴1(0,)4t ∈，所以t 的取值范围是1(0,)4．21．(本题共12分)解：（1）函数φ(x)＝x －2x－ln x 的定义域为(0，＋∞)．φ′(x)＝xx 1212-+=222x x x +- 因为02>x 022>+-x x 恒成立，所以函数φ′(x)恒为正，函数φ(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．无递减区间（2）∵x≥e，∴xln x≥ax－a ⇔a≤xln xx －1.令p(x)＝xln x x －1，x∈[e，＋∞)，则p′(x)＝x －ln x －1(x －1)2. ∵当x≥e 时，(x －ln x －1)′＝1－1x >0，∴函数y ＝x －ln x －1在[e ，＋∞)上是增函数， ∴x－ln x －1≥e－ln e －1＝e －2>0，p′(x )>0， ∴p (x)在[e ，＋∞)上是增函数，∴p(x)的最小值为p(e)＝e e －1，∴a≤ee －1.请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本题共10分)解：（1）曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=，设()00,x y M ，(),x y P ，由于2OP =OM ，因此0022x x y y =⎧⎨=⎩，即0022x x yy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又点M 在1C 上，221322x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2C 的普通方程为()22212x y -+=．（2）曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，将3πθ=代入，可得2ρ=，因此A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭； 曲线2C 的极坐标方程为24cos 80ρρθ--=，将3πθ=代入，可得4ρ=，因此B 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭． 所以422AB =-=．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当3a =时，()42,12,1324,3x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩．当1x <时，由424x -≤可得01x ≤<；当13x ≤≤时，24≤恒成立；当3x >时，由244x -≤可得34x <≤．因此()4f x ≤的解集为{}04x x ≤≤． （2）()()()1121f x x a x x a x x a =-+-≥-+-=--，当()()10x a x --≥时，()21f x x a =--；当()()10x a x --<时，()21f x x a >--．… 记不等式()()10x a x --<的解集为A ，则()2,1-⊆A ，故2a ≤-， 所以a 的取值范围为(],2-∞-．。
2019长春高三一模数学理科试卷及答案高考资料高考复习资料中考资料
你永远是最棒的长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 (13i)(3i)A.10 B.10C.10i D.10i2.已知集合 M {0,1}，则满足条件 MN M 的集合 N 的个数为A.1 B.2 C.3D.43.函数 f (x) sin(x )sin x 的最大值为，3A.3B.2 C.2 3D.44.下列函数中是偶函数，且在区间(0,) 上是减函数的是A. y | x | 1B.y x2C.1 y xD.y2|x|x5.已知平面向量 a 、b ，满足| a || b |1，若 (2a b)b 0 ，则向量 a 、 b 的夹角为 A.30B.45C.60D.120 6.已知等差数列{a }中， nS 为其前 n 项的和， nS， 4 5 S，则 9 20 a7A.3B.5C.3D.57.在正方体 ABCDA B C D 中，直线 1 1 1 1A C 与平面 1 1ABC D 所成角的正弦值为1 1A.1B.32C.2 2D.128.要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到 A 、 B 、C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人， 则甲被分到 A 班的分法种数为， A. 6 B. 12 C. 24 D. 369.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单 位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y 1.16x 30.75 ，以下结论中不正确的为190 185 180 175 170 165 160 155 1501451 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415身高臂展自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的A. 15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15 名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米，D. 身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米，10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人 三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该 问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 S 2.5(单位:升)，则输入的 k 值为，A. 4.5B. 6C. 7.5D. 10开始 输入 k n1, Sk 否n 4?是 输出 Sn n 1结束SSS n11.已知双曲线 xy 22221( 0, 0)a b的两个顶点分别为 A 、 B ，点 P 为双曲线上除A 、 a bB 外任意一点，且点 P 与点 A 、 B 连线的斜率分别为 1 2 3k 、k ，若 k k ，则双曲线的渐12近线方程为，A.y xB.y 2xC.y 3xD.y 2x12.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的函数，且满足 f (x) f (x) 0 ，其中 f (x) 为 f (x) 的导数，设 af (0) ，b 2 f (ln 2)， c ef (1) ，则 a 、b 、 c 的大小关系是A. c b aB. a b cC. ca bD.b c a二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分.13.log 4log 2.2414. 若椭圆C 的方程为 xy 221，则其离心率为.3415.各项均为正数的等比数列{a }的前 n 项和为 nS ，已 知 nS，630 S,则970S.3自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的16.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为3的球面上，则该三棱锥的表面积为.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.(本小题满分12分)1在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b a cosC c.2(1)求角A；(2)若AB AC3,求a的最小值.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD中,平面PAD平面ABCD，PA PD2,四边形ABCD是边长为2的菱形，A60,E是AD的中点.(1)求证:BE平面PAD；(2)求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.PDCEAB19.(本小题满分12分)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线C的方程为y22px(p0).(1)过抛物线C的焦点F且与x轴垂直的直线交曲线C于A、B两点，经过曲线C上任意一点Q作x轴的垂线，垂足为H.求证:|QH|2|AB||OH|；(2)过点D(2,2)的直线与抛物线C交于M、N两点且OM ON，OD MN.求抛物线C的方程.20.(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X (单位:瓶)的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货 量 n （单位：瓶）为多少时？Y 的数学期望达到最大值？ 21. (本小题满分 12 分)已知函数1f (x) e bxax (a,bR) .x22（1）当 a1且b 1时，试判断函数 f (x) 的单调性；（2）若 a 1e 且b1，求证：函数 f (x) 在[1,) 上的最小值小于1 2；（3）若 f (x) 在 R 单调函数，求 ab 的最小值.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题 计分.22. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程选讲已知直线l 的参数方程为 x 1t cosy t sin（t 为参数，0≤ ），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 21 2cos 4 sin .（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于 A 、 B 两点，且| AB |2 3 ，求 的值.23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲 已知 a0 ，b 0， a b 2 . (1)求证：a 2b 2≥2 ；(2)求证：2 12≥1 .a b2自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. C 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】C (1 3i)(3i) 10i .故选 C. 2. D 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D M N M 有 N M .故选 D. 3. A 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A 由题意可知函数最大值为 3 . 故选 A. 4. B 【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B 由函数是偶函数，排除 C ，在 (0,) 上是减函数，排除 A ，D.故 选 B.5. C 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.21【试题解析】C 由题意知 2a b b0, c os a,b.故选 C.26. C 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C S S a .故选 C 9 4 5 77. D 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】D 由题意知成角为 6.故选 D.8. B 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到 A ，有 6 种；第二类，甲单独在 A ，有 6 种，共 12 种.故选 B. 9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识. 【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选 D. 10. D 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知 k 10 .故选 D. 11. C 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.yxy222【试题解析】C 由题意可知3, 1，从而渐近线方程为xa a3a2222y 3x .故选 C.12. A 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令 g(x) e x f (x), g (x) e x ( f (x) f (x)) 0 ，所以 g(x) 在定义域内单调递增，从而 g(0) g(ln 2) g(1) ，得 f (0) 2 f (ln 2) ef (1)，即 a b c . 故选 A.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.5 2【命题意图】本题考查对数运算. 5【试题解析】由题意可知值为 .2114.【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.21【试题解析】a 2,b 3,c 1,e.215.10【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得(S S)2S(S S)，得63396S310.自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的16.8 3 【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其1 3S 4 (2 2)8 3 .222三、解答题17.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.1 1【试题解析】解：（1）由b a cosC c 可得 sin B sin AcosC sinC ，所以2 21cos A , A. 2 3（2）由（1）及 AB AC 3得bc 6 ，所以 a 2 b 2 c 2 2bccos A b 2 c 262bc 6 6，当且仅当b=c 时取等号，所以 a 的最小值为 6 .18.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接 BD ，由 PA PD 2， E 是 AD 的中点，得 PE AD ，由平面 PAD 平面 ABCD ，可得 PE 平面 ABCD ， PE BE ，又由于四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， A 60 ，所以 BE AD ，从而 BE 平面 PAD .（2）以 E 为原点， EA, EB, EP 为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系， P(0, 0, 3) ，A(1, 0, 0), B(0, 3, 0),C(2, 3, 0) ， 有 PA (1, 0, 3),PB (0, 3, 3) ，PC (2, 3,3) ， 令 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ， 由PA n 0， 可得 一 个PB n 0n ( 3 ,1,1) ，同理可得平面 PBC 的一个法向量为 m (0,1,1) ，所以平面 PAB 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 | m n |10.| m || n | 519.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设Q(x , y ), H(x , 0),| QH || y |,| OH | x ,| AB | 2p ，从而| QH |y 2px| AB || OH |.22 0（2）由条件可知， MN : yx 4 ，联立直线 MN 和抛物线C ，有 y x 4y 2px 2，有 y 2 2py 8p 0 ，设 M (x , y ), N(x , y ) ，由 OM ON有1 12 2x xy y，有 (4 y )(4 y ) y y 0 ，由韦达定理可求得 p 2 ，所以抛物1 21 2121 2线C : y 2 4x .20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知21636257 4P X2000.2，P X3000.4，P X5000.4.909090因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的200 ≤ n ≤ 500 . 当300 ≤ n ≤ 500 时，若最高气温不低于25，则Y6n 4n 2n ； 若最高气温位于区间20, 25，则Y 6300 2n 3004n 12002n ； 若最高气温低于20，则Y 6200 2n 2004n 8002n ；因此 EY2n 0.412002n0.48002n0.2 6400.4n .当 200 ≤ n 300 时，若最高气温不低于20，则Y 6n 4n 2n ；若最高气温低于20，则Y 6200 2n 2004n 8002n ；因此 EY2n 0.40.48002n0.21601.2n .所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元. 21.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法， 考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得 f x e x a ，x设gx e， g xfxexx a ，则x1所以当 x 0 时 g x0 ， fx 在0,上单调递增，当 x 0 时 g x 0 ， f x在,0上单调递减，所以 f xf01 a ，因为 a1，所以1a0，即 fx0 ，所以函数 fx在 R 上单调递増.（4 分）（2）由（1）知 f x在1,上单调递増，因为 a 1 e ，所以 f 1e 1 a0 ，所以存在 t 1, ，使得 ft 0 ，即 et a 0 ，即 a t e t ，t所以函数 f x 在1,t 上单调递减，在t,上单调递増，111所以当 x1,时，t 2t2tt2f xf t e tat e t t t ee 1 tt .min2221令 h xex1 x x2 ,x 1，则 h xx(1 e x ) 0恒成立，2 11所以函数 hx在 1,上单调递减，所以h x e 111 ，22211 1所以 e1 tt ，即当 x 1,时 f x，t2222min故函数 f x 在1,上的最小值小于 1 2. （8 分）1（3）f xebx 2ax ， fx e bx axx2由 f (x) 为 R 上的单调函数，可知 f (x) 一定为单调增函数因此 f xe bx a ≥ 0 ，令 g(x) fx e bx a ， g (x) e x bxx当b0时， ab 0 ；当b 0时， g (x) e x b 0 ， y g(x) 在 R 上为增函数x 时, g(x) 与 g(x) 0矛盾当b 0时, g (x) 0 x lnb,g (x) 0 x lnb当 x lnb 时,g (x)b blnb a 0 ， ab ≥ b 2 lnb b 2(b 0) min令 F(x) x 2 ln x x 2(x0) ，则 F (x) x(2 l n x 1)F (x) 0 x e,F(x) 0 0 x e自信是迈向成功的第一步你永远是最棒的e e当 x e 时, F(x), ab 的最小值为 . （12 分）min2222. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆 C 的直角坐标方程为x 2 y 22x 4y 1 0 .（2）将直线 l 的参数方程代入到圆 C 的直角坐标方程中，有 t 2 4t sin0 ，由3 2AB 2 3 得sin ，所以 或 .2 3 323.(本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.2212【试题解析】（1） a b (a b) 2.2（2）2 1 a b 2 13 b a3 (2 2)2()2 ，a b 2 a b 2 a 2b 24故 2 1 21 .a b2自信是迈向成功的第一步。
2019届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学(理)试卷Word版含解析
届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学（理）试卷数学注意事项：．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题．，则用区间可表示为．．．．．已知向量，，若，则实数的值为．．．．．等差数列{}中，，，则数列{}的公差为． ． ． ． ．若，且为第二象限角，则． ． ． ．．在正项等比数列{}中，若，,数列{}的前项和为，则的值为 ． ． ． ． ．函数的零点个数为． 个 ． 个 ． 个 ． 个 ．设可导函数在上图像连续且存在唯一极值，若在＝处，()存在极大值，则下列判断正确的是 ．. ．. ．. ．.．． ． ． ．．函数的最小正周期为． ． ． ．．在中，( )．．．．．设偶函数满足，且当时，，则在上的单调性为．递增 ．递减 ．先增后减 ．先减后增．恒成立，则下列各式恒成立的是．． ．．二、填空题 ．已知向量，则的夹角余弦值为．．在△中，若，则＝.．若()＝－′()＋＋，则在（，()）处曲线的切线方程是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号．：；.其中真命题的序号为三、解答题 ．已知等差数列满足。
（）求通项； （）设是首项为，公比为的等比数列，求数列通项公式及前项和.．（）求的表达式；（）将（）的图象向右平移个单位后得到（）的图象，求在上的值域．．设数列的前项和为，满足．（）求数列的通项公式；（）设．求数列前项和．．设函数.（）求函数的极小值;（）若关于的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围. ．在中，角的对边的边长为，且。
（）求的大小；（）若，且，求边长的值。