北师大版七年级下册讲义 第三讲 三角形全等(PDF版无答案)
数学北师大版七年级下册课题3 三角形全等条件探究
E
C
D
我 思 考
练习2：已知：如图，∠A =∠ D ，∠ D =∠ E，AB=DE， △ABC和△DEF全等吗？
A D
B
C
E
F
全等三角形判定定理2： 两角及其这两角的夹边分别相等的两个三角形全等。 简称“角边角”或“ASA”
我 思 考
练习3：已知：如图，AB与CD相交于点O，O是AB的 中点，∠A =∠ B ，△ABC和△BOD全等吗？请说明 理由。
3、探索三角形全等的条件（二）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我 回 顾
目前你掌握的全等三角形的判定方法是什么？
判定定理1：三边分别相等的两个三角形全等。 简称：“边边边” 或“SSS”
做 一
做
请用5分钟的时间完成下列练习。
练习1：已知、如图：点C、E、B、F在同一条直线 上，AB=DE，AC=DF，CE=BF，△ABC和△DEF全 等吗？请说明理由。
C
A
B
O
D
我 思 考
练习4：已知：如图，∠A =∠ C ，要根据“ASA”来判定 △AOB≌ △COD ，还要添加一个条件是什么？
A C
O
B
D
我 总 结
判定定理1：三边分别相等的两个三角形全等。 简称：“边边边”或 “SSS” 判定定理2：两角及其这两角的夹边分别相等的两个 三角形全等。 简称“角边角”或“ASA”
北师大版数学七年级下4.3探索三角形全等的条件“角边角”“角角边”判定课件 (15张PPT)
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简称 “角边角”或“ASA”
几何语言
在ABC和DEF中
A D,
Q
AB
DE,
B
B E,
ABC DEF ASA
A
D
CE
F
练习
1、如图，∆ABC和∆DEF中，AC=DF，∠A=∠D，∠C=∠F。
(1)判断两个三角形是否全等并说明理由。
(2)类比“SSS”证明全等的格式，写出本题的证明过程。
Q
AB
AC 已知 ,
B C 已知 ,
ABD ACE ASA
练习
3、如图，∠A=∠B，O是AB中点。
（1）要证明∆AOC≌∆BOD已具备了哪些条件?
其余条件的获得方式和上题有什么共同点与不同点？ 依据各是什么？
（2）请写出规范的解题过程。
C
解： Q 点O是AB的中点
AO OB 在ACO和BDO中
M
A
D
C
E
B
Q ME PBC
MEA B 两直线平行，同位角相等
Q DM AB MDE 90 MDE C 在MDE和ACB中
MEA B, Q MDE C
DM AC,
DME ACB AAS
小结反思
通过本节课的学习，你有什么收获？ 知识上…… 学习过程上…… 其它……
课后作业
课后习题 4.7
几何语言
A
D
在ABC和DEF中
A D, Q B E,
BC EF,
B
CE
F
ABC DEF AAS
练习
A
2 1
B
E
D C
Q 1=2
1 EAC 2 EAC 即BAC EAD 在ABC和AED中
北师大版七年级数学下册4.3.3用“边角边”判定三角形全等(教案)
3.创设有趣的情境：在课堂教学中，我要尽量创设有趣、贴近生活的情境，激发学生的学习兴趣。通过让学生动手操作、小组讨论等形式，提高他们的参与度，使课堂氛围更加活跃。
3.通过实际操作、观.能够运用“边角边”全等条件，结合已知信息，证明两个三角形全等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过“边角边”全等条件的探索与应用，使学生能够运用严谨的逻辑推理方法解决问题。
4.加强课堂互动：在讲授过程中，我要注重与学生的互动，鼓励他们提问和发表见解。对于学生的疑问，我要耐心解答，并及时给予反馈，帮助他们巩固所学知识。
5.注重学生思维能力的培养：在讲解全等条件时，我要引导学生从多个角度去思考问题，培养他们的空间想象力和逻辑推理能力。同时，鼓励学生尝试用不同的方法解决问题，提高他们的解题技巧。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解“边角边”（SAS）全等的基本概念。SAS全等是指两个三角形中有两边和它们之间的夹角对应相等时，这两个三角形全等。它是解决几何问题中判断三角形全等的重要依据。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何运用SAS全等条件解决实际问题，如求三角形的未知边长。
难点解析：学生在解决问题时，容易忽略题目中给出的全等条件，或者在复杂的图形中找不到对应的全等关系。
（3）运用“边角边”全等条件证明两个三角形全等时，注意证明过程的逻辑性和严密性。
难点解析：学生需要熟练掌握全等证明的基本步骤，并在实际操作中避免逻辑错误，如错用全等条件、漏掉关键步骤等。
数学北师大版七年级下册探索三角形全等的条件(第3课时)课件
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
“SAS”
符号语言表达：
A
在△ABC与△DEF中，
AB=DE（已知），
B
C D
∵ ∠B=∠E（已知），
BC=EF（已知）， E
F
∴△ABC ≌ △DEF（SAS）.
注意：标记相同的量 相等！
分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
A
B
40°
A
B
Байду номын сангаасDC D
F E
(1) △ABC≌△EFD 根据“SAS”
C (2) △ADC≌△CBA 根据“SAS”
探究2：如果两边及其一边所对的角分别相等
画△ABC:
若AB=5cm、BC边的对角∠A=45°，BC取不同的长度 时 问：这样画出的三角形唯一吗？
回应开头，解决问题
【思考】 如图,小颖作业本上画的三角形被墨迹污染,她想画 出一个与原来完全一样的三角形,她该怎么办呢?利用我们已经学 过的知识你能帮帮小颖吗?
问题解决
已知，如图AB =AC，AD = AE，∠1 = ∠2.请判断线段 CE与BD有什么关系？并证明你的猜想.
A
21
C
D
BE
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
北师大版七年级下册数学《全等三角形》全等三角形的基本性质讲义
AFE全等三角形知识点一：全等形的有关概念1、全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．3、对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点；重合的边叫对应边，重合的角叫做对应角.（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 4、“全等”的符号：“≅”，读作“全等于”.知识点二：从运动的角度看全等三角形的生成方法1、翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素；2、旋转法：三角形沿某一点旋转一定的角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素；3、平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素. 知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、下列命题中，真命题的个数是（ ）． ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2、如图，△ABC ≌△ADE ，其中C 和E ，B 和D 是对应点，写出其他的对应边和对应角．3、已知△ABC ≌△MNP ，∠A=48°，∠N=62°，则∠B=______°，∠C 、∠M 、∠P 的度数分别为__________， __________， __________.4、已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°，求∠ADB 的度数.5、如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．ABDCEDCABE EDCBA6、已知：如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长； （2）求证：AB ∥DE ． 练习一：1、如图，如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____．第1题图 第2题图 第3题图2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°3、如图所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____， ∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边___________________；（3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边___________________，对应角______________________． 4、如图，若ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_______，∠C=_______. 5、如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知∠DAE=43°，∠B=30°，求ADC ∠的大小.6、如图，已知△EAD ≌△ABC ，求证：CD+BC=AC.AB C D EFE DCBA第4题FE DCBA 7、如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠BEA=135°，求∠C 的度数. 例题二：7、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，求∠BAC 的度数.练习二：9、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为________度．10、如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC第9题 第10题 第11题11、如图, 在平行四边形ABCD 中, 将△ABE 沿BE 翻折, 点A 落在CD 边上, 成为点F, 如果△DEF 和△BCF 的周长分别是8cm 和22cm, 那么FC 的长度为_______________.综合：如图，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论．例题三：F EDC BA 8、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ） A 、15° B 、20° C 、25°D 、30°9、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB=( ) A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 练习三：12、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A 、70°B 、65°C 、50°D 、25°13、如图，将直角三角形BCA 沿BC 方向平移得到△FED ， H 是线段AC 和FD 的交点.如果ED=9, BF=4, AH=3, 那么四边形FBAH 的面积是_______________.例8题图 例9题图 练习12题图 练习13题图课 后 作 业1、△ABC 和△DEF 是全等三角形，若AB=DE ，∠B=50°，∠C=70°，∠E=50°，则∠D 的度数是_____．2、△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC=________.3、如图，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，△AOB 绕O 旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB ≌△___________.这两个三角形的对应边是AO 与__________，OB 与__________，BA 与__________；对应角是∠AOB 与________，∠OBA 与_________, ∠BAO 与___________.4、已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65、如图，△ABC ≌△CDA ，AC ＝7cm ，AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，则AD 的长是（ ）A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、6cm6、如图所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2.5EDB C′FCD ′AA 'B DAC A CD7、已知△DEF ≌△ABC ，AB=AC ，且△ABC 的周长是23cm ，BC=4cm ，则△DEF 的边长中必有一边等于（ ） A 、9.5cm B 、9.5cm 或4cm C 、9cm D 、4cm 或9cm8、如图，已知△ABC ≌△DBE ，∠BDA=∠A ．若∠A ：∠C=5：3，则∠DBE 的度数是（ ） A ．100° B ．80° C ．60° D ．120°9、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°10、如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.12、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，求∠DGB 的度数.第6题图FE CBA 第9题图第10题图第8题图DCB AE。
北师大版 七年级数学下册 第四章 全等三角形的性质和判定的归纳总结 (无答案)
全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。
北师大版七年级下《三角形》全等、倍长中线、截长补短、动点等专题(PDF版无答案)
专题一：倍长中线1.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．2.已知：如图，M是△ABC的边BC上一点，F，E在AM上，且BE∥CF，BE=CF，试说明AM是BC边上的中线．3.如图，在△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．若要使△ACD≌△EBD，应添上的条件是______．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB=BC+AD，求证：BE⊥AF．5.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在DB的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后她测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A，B两点之间的距离．（1）你能说明张倩这样做的根据吗？（2）如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定AB的长度范围吗？（3）在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在△ABC中，AD是BC边的中线，AD=3cm，AB=5cm，求AC的取值范围．6.如图，△ABC中，AB=AC，线段BC的垂直平分线AD交BC于点D，过点BE作BE∥AC，交AD 的延长线于点E，求证：AB=BE7.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，以下结论，正确的是①DE=BE；②点E是BC的中点；③∠AED=90°；④AD=AB+CDA．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8.在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点．过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．求证：DB=CF．专题二：一线三等角1.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=______时，△ABC和△PQA全等．4.如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF．（1）判断△CDF的形状并证明．（2）若BC=6，AF=2，求AB的长．5.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图甲的位置时，试说明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，试说明：DE=AD－BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图丙的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．6.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）AH垂直于CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．(1)求证：AD=AE；(2)若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．8.经验积累：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；（1）方法迁移：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B，C在∠MAN的边AM，AN 上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF．（2）归纳提升：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：CF+EF=BE．（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．专题三：截长补短1.想一想，证一证已知：如图，射线BM 平分∠ABC ，点P 为射线BM 上一点，PD ⊥BC 于点D ，BD=AB+CD ，过点P 作PE ⊥BA于点E ．求证：△PAE ≌△PCD ．2.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：BC=AB+AD ．3.已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90º，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且1,2AE BD 求证：BD 是∠ABC 的平分线。
第四章第03讲 探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS ﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.特别说明：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .（4）判定定理4：AAS ﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS ”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（）A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于180【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性3．（2024上·湖北省直辖县级单位角形，这样做的数学依据是题型02用SSS 证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点B EC F ，，，在一条直线上，AB DF AC DE BE CF ===，，，求证：ABC DFC △≌△．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ==．求证：ABC EDC △≌△．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知90E F ∠=∠=︒，点B C ，分别在AE AF ，上，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)求证：DE DF =．题型03用ASA 证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，BC EF ∥，点C ，点F 在AD 上，AF DC =，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD BE =，A EDF ∠=∠，.E ABC ∠=∠求证：AC DF =．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在ABC 和ECD 中，90ABC EDC ∠=∠=︒，点B 为CE 中点，BC CD =．(1)求证：ABC ECD ≌△△．(2)若2CD =，求AC 的长．题型04用AAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E 在ABC 边AC 上，AE BC =，BC AD ∥，CED BAD ∠=∠．求证：ABC DEA△△≌【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AB BD =，DE AB ∥，C E ∠=∠．(1)求证：ABC BDE ≅ ．(2)当80A ∠=︒，120ABE ∠=︒时，求EDB ∠的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点C 是线段AB 上一点，DCE A B ∠∠∠==，CD CE =．(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)求证：AB AD BE =+．题型05用SAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知OA OC =，OB OD =，AOB COD ∠=∠．求证：AOB COD ≌△△．【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AB DE =，BF CE =．求证：ABC DEF ≌△△．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC DF ∥，AC DF =，BE CF =．求证：ABC DEF ≌△△．题型06添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点,,,B F C E 在一条直线上，已知,==BF CE AC DF ，请你添加一个适当的条件_________使得ABC DEF ≌△△．（要求不添加任何线段）2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使用“HL ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________；要使用“AAS ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________________．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长2.1公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（）A ．三角形的内角和为180︒B ．三角形的稳定性C ．两点之间线段最短D ．垂线段最短2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断ABC DEF ≌△△的条件是（）A ．,,AB DE BC EF C F==∠=∠B ．,,AB DE AC DF A D ==∠=∠C ．,,AB DE AC DF BC EF ===D ．,,A D B E AC DF∠=∠∠=∠=4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，CD AD ⊥于点D ，BE AD⊥于点E ，若74CD BE ==，，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．75．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙24cm AD =，12cm CE =．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B 在DE 上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE 为（）A ．48cmB ．42cmC ．38cmD ．36cm二、填空题8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）BB '可以绕着O 点转动，就做成了一个测量工具，那么判定OAB 和OA B ''△全等的依据为9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点别与河岸垂直且A 、C 、E三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AB 的两侧，AE BF =，CE DF =，AD BC =．(1)求证：ACE BDF V V ≌．(2)若55CDF ∠=︒，求ACE ∠的度数．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BE CD =，BD 与CE 交于点O ．(1)求证：COD BOE ≌△△；(2)若2CD =，5AE =，求AC 的长．13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，E 是AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ，F 是AC 的中点，AB ∥CD ．(1)求证：AEF CDF △≌△；(2)若107AB CD ==，，求BE 的长．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，12∠=∠，DB DC =，DBC DCB ∠=∠．(1)求证：ABD EDC △≌△；(2)若135A ∠=︒，30BDC ∠=︒，求BCE ∠的度数．15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，,,A D B E AF CD ∠∠∠∠===．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若20A ∠=︒，75E ∠=︒，求BCF ∠的度数．16．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．(1)求证：ABE DBE △≌△；(2)若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求DEC ∠的度数．17．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B F C E 、、、在直线l 上（点F 、C 之间的距离为池塘的长度），点A 、D 在直线l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若120m BE =，38m BF =，求池塘FC 的长度．18．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)求证：CB CD =；(2)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(3)猜想DAB ∠，ECF ∠，DFC ∠三者之间的数量关系，并证明你的猜想．。
初中数学北师大七年级下册第三章三角形-三角形全等PPT
∵ ∠BABACB=C=∠BEDD=FEE∠F
∠ABBACC=C==∠BDED=FE∠F
B
EC
F
∴△ABC ≌△DEF（ AASASSAS）
课堂小结：
本节课我们经历了对符合两角一边的条件的所有三角形进行画图
验证，探索出三角形全等的另两个定理 ，它们分别是：
1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等（ASA）； 2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等（AAS）。
两角和它们的夹边对应相 等的两个三角形全等，简写 成“角边角”或“ASA”
两角和其中一角的对边对 应相等的两个三角形全等， 简写成“角角边”或“AAS”
练一练
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E， 则△ABC ≌△DEF的理由是： 角边角（ASA）
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F， 则△ABC ≌△DEF的理由是：角角边（AAS）
D
(公共边)
1、完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中，A
∠∠A3＝BC∠4=∠DCB 3
∵ B∠C2＝=C∠B1（公共边）
∠CB2=＝∠B1C
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB（ AAASSA）
2、请在下列空格中填上适当的 条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
A
D
∠AAB==∠DDE
再加上前面学的（SSS），证明两个三角形全等共有三个 定理，我们要学会根据题目给出的条件选用合适的定理来 证明两个三角形全等。
A
D
B
C
E
F
三角形全等的判定公理2：∵∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
北师大七年级下册三角形全等课件
A
A′
B
C
B′
C′
图中的两个三角形能够完全重合，就是全等三角形， 全等” 图中的两个三角形能够完全重合，就是全等三角形，“全等” 全等三角形 用符号“ 来表示，读作“全等于” 用符号“ ≅”来表示，读作“全等于”。 图中的 ABC和 A′B′C ′全等，记作“∆ABC ≅ ∆A′B′C ′ ” 和 全等，记作“ 其中A和 其中 和 A′ 、B和 B′ 、C和 C ′是对应点，BC和 B′C ′ CA和 C ′A′ 和 和 是对应点， 和 、 和 AB和 A′B′ 是对应边，∠A和∠ A′ ∠B 和 ∠ B′ 、∠C和 ∠ C ′ 是 是对应边， 和 和 、 和 对应角。 对应角。
∠A = ∠A′ AC = A′C ′ ∠ACB = ∠A′C ′B′
A ′ D ′C ′
{
∴ ∆ABC≅∆ A′B′C′
（ASA） 作业： 作业：
四、作业
1、已知∆ABC中，∠A是锐角，AB=AC，AC、AB边上的高分别为BE、CF。 求证：BE=CF （画出图形并证明） 2、两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？ 为什么？ 3、两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三 角形全等吗？为什么？
关于全等
能够完全重合的两个图形叫做全等形。 能够完全重合的两个图形叫做全等形。两个全等三角形 全等形 重合时，互相重合的顶点叫做对应点 相互重合的边叫做对 对应点， 重合时，互相重合的顶点叫做对应点，相互重合的边叫做对 应边，互相重合的角叫做对应角 对应角。 应边，互相重合的角叫做对应角。
了解全等三角形
在 ∆ABD和∆ A′B′D′
Q ∠ ADB= ∠ A′D′B′ = 90
o
北师大版七年级下册第三章三角形讲义
三角形1．认识三角形1、它的三个顶点分别是，三条边分别是，三个内角分别是2之和以及任意两边之差。
你发现了什么B结论：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边例：有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗为什么长度为13cm的木棒呢长度为7cm的木棒呢二、巩固练习：1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗为什么（单位：cm）（1）1，3，3（2）3，4，7（3）5，9，13（4）11，12，22（5）14，15，302、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是。
若X是奇数，则X的值是。
这样的三角形有个；若X是偶数，则X的值是，这样的三角形又有个3、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是cm 夯实基础1、填空：（1）当0°＜α＜90°时，α是角；（2）当α＝°时，α是直角；（3）当90°＜α＜180°时，α是 角； （4）当α＝ °时，α是平角。
2、如右图，∵AB ∥CE ，（已知）∴∠A ＝ ，（ ）∴∠B ＝ ，（ ） （第2题） 二、探索练习：根据知道三角形的三个内角和等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢（提出问题，激发学生的兴趣）结论：三角形三个内角和等于180°（几何表示） 练习1： 1、判断：（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ） （2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ） 2、在△ABC 中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度； （2）∠B=100°，∠A=∠C ，则∠C= 度； （3）2∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度。
3、如右图，在△ABC 中，∠A ＝x 3°∠＝x 2°∠＝x °求三个内角的度数。
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三角形
一．认识三角形
1．关于三角形的概念及其按角的分类
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三
角形。
注意两点：
①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线
上，三角形就不存在；
②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共
端点，这个公共端点就是三角形的顶点。
三角形按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2．关于三角形三条边的关系
根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。
对于这两个性质，要全面理解，掌握其实质，应用时才不会出错。
设三角形三边的长分别为a、b、c则：
①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成
立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；
②特殊地，如果已知线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。
3．关于三角形的内角和
三角形三个内角的和为180°
①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
4．关于三角形的中线、高和中线
①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，如图3。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
F
直角三角形钝角三角形
锐角三角形
鹏翔教图1
A
D
C
E
B
D B
A
C
F
E
A
D C
B
二．图形的全等
¤能够完全重合的图形称为全等形。
全等图形的形状和大小都相同。
只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。
四．全等三角形
1
¤1．关于全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角
所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。
因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。
★2．全等三角形的对应边相等，对应角相等。
¤3．全等三角形的性质经常用来证明两条线段相等和两个角相等。
五．探三角形全等的条件
★1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
★2．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
★3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
★4．两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
六．作三角形
1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。
2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。
3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。
八．探索直三角形全等的条件
★1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称为“斜边、直角边”或“HL”。
这只对直角三角形成立。
★2．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。
直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：
①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等。
③三条边对应相等的两个直角三角形全等。
知识点补充：
2
3
1.已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．
2.如图,已知:AD 是BC 上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．
3.如图,已知：AB⊥BC 于B ,EF⊥AC 于G ,DF⊥BC 于D ,
BC=DF．求证：AC=EF．
4.如图，在ΔABC 中，AC=AB，AD 是BC 边上的中线，则AD⊥BC，
请说明理由。
5.如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，则∠EFD=∠BCA，请说明
理由。
6.如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC，在AB
上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC 的长。
F
G
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
A B
C
D
A
B
C
D
E
4
F E
D
C
B
A
7.如图，ΔABC 的两条高AD、BE 相交于H，且AD=BD，试说明下
列结论成立的理由。
（1）∠DBH=∠DAC；
（2）ΔBDH≌ΔADC。
8.如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、
CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．
9.已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于
点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。
10.如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交
DC 的延长线于G，DE⊥AG 于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
A B
C
D
E
H
5
11.已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点P 在BD
上，PM⊥AD 于M， PN⊥CD 于N，判断PM 与PN 的关系．
12.如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC⊥OA 于C， ∠OAP+
∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO 的值．
13.如图，∠ABC=90°，AB=BC，BP 为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，
若AD=4，EC=2.求DE 的长。
i.
14.如图所示，A，E，F，C 在一条直线上，AE=CF，过E，F 分别
作DE ⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD 平分EF，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为如图所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
P D A
C
B
M N
P
D
A
C
B G D
F
A
C
B E
G
D
F
A
C
B
E。