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上海市交大附中2019届高三数学一模试题(含解析)

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精品解析：【全国百强校】上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

精品解析：【全国百强校】上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

上海市交大附中高三9月份开学考试注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题.1.方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

2.若直线的参数方程为，则直线的倾斜角是_______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为y+2（x﹣3），求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，直线l的参数方程为，则其普通方程为y+2（x﹣3），其斜率k，则有tanθ，且0°≤θ＜180°，则θ＝120°；故答案为：120°．【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题3._______．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可．【详解】由二项式定理系数的性质可得，．故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4.已知数列的前项的和，则当为正偶数时，______．【答案】【解析】【分析】由已知求得，当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3，验证a2＝3适合，由此可得当n为正偶数时的a n．【详解】由，得＝1，；当n≥2且n为正偶数时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣[2（n﹣1）﹣1]＝2n﹣2n+3．验证＝3适合上式，∴当n为正偶数时，．故答案为：2n﹣2n+3．【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．5.函数是奇函数，那么______．【答案】【解析】【分析】求f（﹣x）＝，再根据f（x）为奇函数，可得出＝-整理化简即可求出a的值．【详解】由题f（﹣x）＝函数是奇函数，∴- f（﹣x）＝，即-解得2,∴故答案为-1【点睛】本题考查奇函数的定义，多项式的运算，多项式相等的充要条件，准确利用定义计算是关键，是基础题6.若函数无最值，则的取值范围是______．【答案】a或a【解析】【分析】由题意函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，可得a的取值范围．【详解】由题意，函数f（x）＝lg（x2﹣ax+2）无最值，即f（x）的值域为R，那么（0，+∞）是y＝x2﹣ax+2的值域的子集，即△≥0，∴a2﹣8≥0，则a或a；故答案为：a或a．【点睛】本题考查对数型复合函数的值域，考查对数函数的性质，明确真数无最值是突破点，准确利用二次函数的△≥0解决问题是关键，是中档题7.△的内角，，的对边分别为，，，已知△的面积为，，则______．【答案】【解析】【分析】直接利用三角形的面积公式和正弦定理求出sinBsinC的值，进一步利用三角函数关系式的变换即可求出A 的值．【详解】已知△ABC的面积为，则：S△ABC acsinB，整理得：3csinBsinA＝2a，由正弦定理得：3sinCsinBsinA＝2sinA，由于sinA≠0，故：sinBsinC，由于：6cosBcosC＝1，所以：cosBcosC，所以：cosBcosC﹣sinBsinC，所以：cos（B+C），故：cosA，A所以：A．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.设，是虚数单位，已知集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示圆的圆心移动到了（1，1+b）；两圆面有交点即可求解b的取值范围．【详解】由题意，集合A表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B表示点的轨迹为（1，1+b），半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴．可得：，故答案：，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B集合的意义是关键，是中档题9.从双曲线（，）的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.关于的方程恰有3个实数根，，，则__________．【答案】2【解析】【分析】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）＝0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）＝0的解，即可得到所求和．【详解】令f（x）＝x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）＝0有三个实数根，∴f（0）＝0，即0a＝0，故有a，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）0，可设＝0，且2+arcsin（cos）0，2+arcsin（cos）0，由y＝x2和y arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y arcsin（cosx）arcsin（sin（x））（x））＝x，则﹣π＜x＜0时，y arcsin（cosx）＝﹣x，由y＝x2和y arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则2+2+2＝0+1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查函数与方程，函数的奇偶性，反三角函数的定义和性质，函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是____．①没有最大元素，有一个最小元素；②没有最大元素，也没有最小元素；③有一个最大元素，有一个最小元素；④有一个最大元素，没有最小元素.【答案】①②④【解析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【详解】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；则M没有最大元素，N也没有最小元素，故②可能成立；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故④可能成立；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在M和N两个集合中，与M和N的并集是所有的有理数矛盾，故③不可能成立．故答案为：①②④【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和推理能力，对每个选项举出反例说明是关键，属于基础题．二、选择题。

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题.doc_

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题.doc_

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分，共54分）只要求直接填写结果，否则一律得零分．1、二项式()52x -的展开式中，3x 项的系数为 ．2、若{}1,2,3A =，{}3,5B =，用列举法表示{}2,A B a b a A b B *=-∈∈= ．3、已知b i +、()2,ai a b -∈R 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，则q = ．4、某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有 篇．5、设0,1a a >≠，行列式log 11201223a xD -=-中第3行第2列的元素的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数经过点()1,2，则a = ．6、国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如右图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744， 也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，则n= （其中i 为虚数单位）． 7、在三棱锥D ABC -中，A C BC ==CD = CD ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒．若其主视图、俯视图 如图所示，则其左视图的面积为 ．8、某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共 10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3） 各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为 ．9、已知()y f x =是周期为π的函数，且()sin ,0,2,,02x x f x x x ππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎤⎪-∈- ⎥⎪⎝⎦⎩，则方程()14f x =的解集为 ．10、若函数()()arcsin 1f x x =-的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函教的图像交于另外两点P 、Q ，O 是坐标原点，则()OP OQ OA +⋅= ．11、已知集合(){}22,1M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(),x y M ∈，均有(),x y M λμ∈，则称(),λμ是集合M 的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是 ．①(){},1λμλμ+=； ②()22,143λμλμ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；③(){}22,2λμλμ-=； ④(){}2,4λμλμ=．12、对任意x ∈R ，函数()f x 满足：()112f x +，()()2n a f n f n =-，数列{}n a 的前15项和3116-，数列{}n c 满足()12019n n n c c f ++=⎡⎤⎣⎦，若数列{}n c 的前n 项和的极限存在，则1c = ． 二、选择题（每题5分，共20分）13、cos cot 0θθ>，则角所在的象限是：（ ）A ．第二或第三象限B ．第一或第四象限C ．第三或第四象限D ．第一或第二象限14、如图，已知三棱锥P A BC -，PA ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定15、已知n ∈N ，x ∈R ，则函数()22lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图像是（ ）16、已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）A C ．98 D ．32三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数()()cos f x A x ωφ=+（0A >，0ω>，2πφ<）部分图像如图所示．（1）求()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()sin 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径．（1）若圆柱1OO 的体积V 为12π，2OA =，120AOP ∠=︒， 求异面直线1A B 与A P 所成的角（用反三角函数值表示结果）； （2）若圆柱1OO 的轴截面是边长为2的正方形，四面体1A A BP 的外接球为球G ，求,A B 两点在球G 上的球面距离．19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形 足球运动场地，如图所示，其中CD 是足球场地边线所在的 直线，球门AB 处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点P ）在运动场上观察球门的角A PB ∠称为视角．（1）当运动员带球沿着边线1DD 奔跑时，设P 到底线的距离 为PD x =码，试求当x 为何值时A PB ∠最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角A PB ∠越大，射门 命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线 的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门 点，以AB 的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求 在球场区域11A DD A 内射门到球门AB 的最佳射门点的轨迹．20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知曲线C()10ax a =->．（1）当12a =时，试确定曲线C 的形状及其焦点坐标； （2）若直线:l y a =-交曲线C 于点M 、N ，线段M N 中点的横坐标为2-，试问此时曲线C 上是否存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称？（3）当a 为大于1的常数时，设()11,P x y 是曲线C 上的一点，过点P作一条斜率为()2111ax y -的直线l ，又设d 为原点到直线l 的距离，12,r r 分别为点P与曲线C d 是一个定值，并求出该定值． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的2,n n *∈N ≥恒成立，n S 为其前n 项的和，且484,36a S ==． （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）数列{}n b 满足()12122321213212n n n k n k n n b a b a b a b a a --+-+++++=--，其中1,2,,,k n n *=∈N ．①证明：数列{}n b 为等比数列；②求集合()3,,,p m m p a a m p m p b b *⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．参考答案一、填空题1、40-2、{}1,3±±3、54、185、26、1- 7、2 8、19339、()11arcsin 44x x k x k k ππ⎧⎫=-=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或 10、2 11、②③ 12、37二、选择题13、D 14、C 15、B 16、D 三、解答题17、（1）()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()g x 在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．18、（1）异面直线1A B 与A P所成的角为 （2）,A B 两点在球G上的球面距离为R A GB ⋅∠=．19、（1）()tan tan 3644tan tan 1tan tan 13644x x DPB DPAA PB DPB DPA x xDPB DPA -∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅2881584158411x x x x ====++当且仅当1584x x=，即x =tan APB ∠，又tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴当tan APB ∠取得最大值时，A PB ∠最大，∴x =，A PB ∠取得最大值； （2）过点P 作PE CD ⊥于E ，设点(),P x y ，其中0x >，440y <≤， ()tan tan 44tan tan 1tan tan 144x xEPB EPA y y A PB EPB EPA x xEPB EPA y y -∠-∠-+∠=∠-∠==+∠⋅∠+⋅-+()222881616xy x y x x ===-+-+， 当且仅当216y x x-=，即x =tan APB ∠，此时轨迹方程为()2210,4401616y x x y -=><≤，其表示焦点为(0,±，实轴长为8的等轴双曲线在0,440x y ><≤的一部分．20、（1）当12a =112x =-，两边平方并化简得22134y x +=，∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，其长半轴长为1，焦点坐标为1,02⎛⎫± ⎪⎝⎭； （2）将:l y a =-代入()2222:110C a x y a -++-=，消去y ， 得()22232420a x a --+-=4=-，即2460a -=，解得a4a =-（舍），此时，:2l y =-22:1C x y -=，设:A B l y m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将A B l 代入22:1C x y -=，得2210x m -++=，则212440m x x ⎧∆=->⎪⎨+=⎪⎩，,A B的中点坐标为),m -在对称轴l上，∴m -，解得m =不满足0∆>，∴曲线C 上不存在不同的两点A 、B 关于直线l 对称；（3）222:11y C x a -=-，两焦点坐标为()1,0F a -、()2,0F a ，2211211y x a -=-，()()211111:ax l y y x x y --=-，即11211y yx x a -=-， ∴d ===，用(),x y--替换()10C ax a ->中的(),x y，可得()10C ax a =+>，∴2212111111r r ax ax a x ⋅=+⋅-=-，d =21、（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列满足44=a ，前8项和836=S 1134878362+=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩a d a d ，解得111=⎧∴⎨=⎩a d 所以数列{}n a 的通项公式为=n a n（2）①设数列{}n b 的前项和为n B ，由（1）及()()()*21212321nn k n k n k b a a n +-=+=-∈∑N 得()()()()212111212132123212(1)(2)nnk n k k n n k n k k b a n b a n n +-=----=⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩∑∑… 上两式相减，得到()()()11212231313213212-------=+++++n n n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n ()()()1232251112222---⎡⎤=++++++++⎣⎦n n n n b a b a b a b a n()1232251122----++++-n n n b a b a b a n()()1212222-=+++++=-++n n n n n b b b b B b b所以()1*32222,-⋅=-+∈N …n n n B b n n 又()1113212-=+b a ，所以11=b ，满足上式 所以()1*2232--+=⋅∈N n n n B b n 当2≥n 时，2112232n n n B b ----+=⋅两式相减，得2132--+=⋅n n n b b ，()()12101122(1)20-----=--==--=n n n n n b b b所以112,2-+==n n n nb b b 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列． ②由3=p m m p a a b b ，得11322--=m p m p ，即320p m p m-=>，∴p m >． 令p m n -=，显然*n ∈N ，此时320p m p m -=>变为332nm n m +=，即323n n m =-， 当1n =时，3m =-，不符题意；当2n =时，6m =，符合题意，此时8p =；当3n =时，95m =，不符题意； 当4n =时，1213m =，不符题意；当5n =时，1529m =，不符题意；下证当6n ≥，*n ∈N 时，方程3123n n<-：∵()()012221122nn n n n C C C n n =+≥++=++∴()()223321216410n n n n n n -+≥--=--≥⨯->∴233n n ->，显然230n ->，从而3123nn<- 当6n ≥，*n ∈N 时，方程323n nm =-没有正整数解． 综上所述：()(){}*3,|,,6,8p m m p a a m p m p b b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ．。

2019年交大附中高三模拟考试数学(理)试题含详解

2019年交大附中高三模拟考试数学(理)试题含详解

交大附中2018～2019学年第二学期高三第五次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}{}2,1x y y B x x A ==>=，则=⋂B A （ ）A ．{}11<<-x xB ．{}1>x xC ．{}10<<x xD ．Ø2．欧拉公式e xi ＝cos x +i sin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩充为复数集，建立了三角函数与指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，复数i e 65π所对应的点在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(),c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(),a b 上有()()0f a f b <，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要 4．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65875．曲线1+=xxe y 在点()1,0处的切线方程是（ ） A ．01=+-y xB ．012=+-y xC ．01=--y xD ．022=+-y x6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是（ ） A ．84-B ．14-C ．14D ．847．已知函数f （x ）＝1cos 22sin 32+-x x ，将f （x ）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝9，则|x 1﹣x 2|的值可能为（ ）A ．3π B ．2π C ．43π D ．45π8．已知△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ．若02=++AC AB OA AB OA =，则CB CA ⋅等于（ ） A ．3B ．32C ．23 D ．39．已知圆()()411:221=--+--b y a x O 与圆0122:222=+--+y x y x O 相内切，则直线1:=+by ax l 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定10．某圆锥的三视图如图所示，其正视图是边长为2的等边三角形．圆锥的表面上一点P 在正视图上对应的点为A ，圆锥表面上的点Q 对应在侧视图上的点为B ，且B 为其母线的中点，则在此圆锥的侧面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．225+B ．225-C ．5D ．1 11．已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B C D ．212．已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为（ ） A ．[)12,6B ．(]12,6C ．[)24,12D ．(]24,12二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“0132,2<-+∈∃x x R x ”的否定是_____________________．14．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为________．15．执行右侧的算法语句，输出的结果是________．()22221,0x y a b a b-=>F l A l B 2BF AB =2323ABC △a b c A B C 113a b b c a b c+=++++ABC △3π()()cos24sin 1f x x a c x =+++s ＝0For i ＝1 To 20 s ＝s +i Next16．如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11-=a ，1,,432+S a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列(){}n na 1-的前n 项和n T ．18.（12分）在三棱锥111C B A ABC -中，侧面⊥C C AA 11底面ABC ，四边形C C AA 11为菱形，ABC ∆是边长为2的等边三角形，601=∠AC A ，点O 为AC 的中点． （1）若平面C B A 11与平面ABC 交于直线l ，求证：AB l //． （2）求二面角11C B A C --的余弦值．19.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆()11:22=+-y x F 外的点P 在y 轴的右侧运动，且P 到圆F 上的点的最小距离等于它到y 轴的距离．记P 得轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）过点F 的直线交E 于B A ,两点，以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ，线段DM 交E 于点N ，证明：AMB ∆的面积是AMN ∆的面积的四倍．21.（12分）若定义在R 上的函数f （x ）＝e x ﹣a （x ﹣1），a ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若x 、y 、m 满足|x ﹣m |≤|y ﹣m |，则称x 比y 更接近m ．当a ≥2且x ≥1时，试比较xe 和a e x +-1哪个更接近x ln ，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是333sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝|x ﹣2m |﹣|x |，m ∈N ，且f （x ）＜4恒成立． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若α∈（0，1），β∈（0，1），f （α）+f （β）＝3，求证：1814≥+βα．交大附中2018～2019学年第二学期高三第五次模拟考试数学（理）答案13.0132,2≥-+∈∀xxRx14. 1 15. 210 16. π3325-12.由的三边分别为，，可得：，，，可知，，，，，，，，，)23sin sin sin sinπsin32a c A C A A A A⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭，，，，可知，，，可知当时，，，则的最大值的取值范围为．ABC△a b c113a b b c a b c+=++++3a b c a b ca b bc+++++=++1c aa b b c∴+=++()()()()c b c a a b a b b c+++=++222ac a c b=+-2221cos22a c bBac+-∴==π3B=2π3πR=R=2sin sin sina b cRA B C∴===a A∴=c C=π6sin6A⎛⎫=+⎪⎝⎭2π3A<<ππ5π666A∴<+<π36sin66A⎛⎫∴<+≤⎪⎝⎭36a c<+≤()()()222sin22f x x a c a c=--++++⎡⎤⎣⎦1sin1x-≤≤sin1x=()()max4f x a c=+()12424a c∴<+≤()()cos24sin1f x x a c x=+++(]12,2417.解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+， 可得2,23n d a n ==-.()()()()()()()()()()⎩⎨⎧-=∴-=--⨯-=-+-++-++-==⨯=+-++-++-=-++-+-=+++++=-=---为奇数，为偶数为奇数时：当为偶数时：当则设n n n n T nn n a a a a a a a T nn a a a a a a T a a a a b b b b b T a b n n n n n n n n nnn n n n n n 2,232221n 22n 1,121-2432114321321132121. 解：（1）f′（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0得x＝lna，令f′（x）＞0，得x＞lna，f（x）单调递增，令f′（x）＜0，得x＜lna，f（x）单调递减；综上，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（﹣∞，lna）．（2）设，∵，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）＝0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0．∵，，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，又q′（1）＝0，∴x∈[1，+∞）时，q′（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）＝a+2＞0．①当1≤x≤e时，，设，则，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a，∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．②当x＞e时，，设n（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a，则，，∴n′（x）在x＞e时为减函数，∴，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）＝2﹣a﹣e e﹣1＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更靠近lnx．综上：在a≥2，x≥1时，比e x﹣1+a更靠近lnx．22.解：（1）解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y2＝1，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．∴|PQ|＝2．23.解：（1）定义在R上的函数f（x）＝|x﹣2m|﹣|x|，m∈N，且f（x）＜4，可得：|x﹣2m|﹣|x|≤|2m|＜4，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．又m∈N，∴m＝1，0证明（2）当m＝0时，f（x）＝0，显然不满足，f（α）+f（β）＝3，当m＝1时，f（x）＝|x﹣2|﹣|x|＝∵α∈（0，1），β∈（0，1），∴f（α）+f（β）＝2﹣2α+2﹣2β＝3，即α+β＝，∴：+＝2（+）（α+β）＝2（5++）≥2（5+2）＝18，当且仅当＝，即α＝，β＝时取等号，故+≥18．。

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(含精品解析)

上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(含精品解析)

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高三数学月考一试卷 2019.3一、填空题。

1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，行列式中第3行第2列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则_____．【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、，是坐标原点，则___．【答案】2【解析】【分析】先画出函数的图象，通过图象分析出点A是P、Q的中点，然后根据向量的运算法则进行运算．【详解】作出函数的图象如图：由图象可知：图象关于点A对称，所以点A是点P与点Q的中点∴2∴•．故答案为2.【点睛】本题考查了反三角函数的图象与性质及向量的运算，解题的关键是通过画图分析出A点是中点．11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题。

上海市上海交通大学附属中学2019届高三数学3月月考试题(含解析)

上海市上海交通大学附属中学2019届高三数学3月月考试题(含解析)

上海市上海交通大学附属中学2019届高三数学3月月考试题（含解析）一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果. 【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P 为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y 的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。

上海市交通大学附属中学2019-2020学年高三上学期开学摸底考试数学试题

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上海市交通大学附属中学2019-2020学年高三上学期开学摸底考试数学试题一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）. 1.若集合,集合，则_________. 2.设常数,函数，若的反函数的图像经过点(3,1),则_____. 3.若复数的实部与虛部相等,则________. 4.若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为________. 5.方程在上的解集是__________.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________.7.，与的夹角为，则在上的投影为________. 8.若关于的二元一次方程至多有一组解，则实数的取值范围是__________.9.从集合A=中随机选取一个数记为,从集合B=中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为_________.10.若是展开式中项的系数，则_________. {}32|＜-=x x A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=03|＞x x x B =B A R a ∈()()a x x f +=2log ()x f =a ()R b b i i ∈+-+2111=b 21sin 2cos =+x x ()，π02==3π+y x 、 ⎝⎛1m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫m m y x m 211m {}211，，-k {}212，，-b b kx y +=n a ()()R x n N n x n ∈≥∈+，，2*22x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++∞→n n a a a 22233220lim11.已知函数,设,若关于的不等式在R 上恒成立,则的取值范围是___________.12.已知，其中为常数,且的最小值是若点是椭圆一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为________.二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是（ ） A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=14．（5分）命题：“若x 2=1，则x=1”的逆否命题为（ ） A ．若x ≠1，则x ≠1或x ≠﹣1 B ．若x=1，则x=1或x=﹣1 C ．若x ≠1，则x ≠1且x ≠﹣1D ．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f （x ）=ax 2+bx+c 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M ﹣m （ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关16．（5分）已知函数y=f （x ）（x ∈R ），给出下列命题： ①若f （x ）既是奇函数又是偶函数，则f （x ）=0；②若f （x ）是奇函数，且f （﹣1）=f （1），则f （x ）至少有三个零点； ③若f （x ）在R 上不是单调函数，则f （x ）不存在反函数；④若f （x ）的最大值和最小值分别为M 、m （m ＜M ），则f （x ）的值域为[m ，M]． 则其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题17．已知U=R ，P={x|＞a}，Q={x|x 2﹣3x ≤10}． （1）若a=1，求（∁U P ）∩Q ；（2）若P ∩Q=P ，求实数a 的取值范围． 18．已知函数f （x ）=+()⎪⎩⎪⎨⎧≥++=1212x x x x x x f ，＜，R a ∈x ()a x x f +≥2a 92=+=+∈+t n smn m R t s n m ，，、、、n m 、t s +，94()n m ，12422=+y x（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=lognx（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．上海市交通大学附属中学2019-2020学年高三上学期开学摸底考试数学试题参考答案与试题解析一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=【分析】求出函数的定义域和值域，逐个进行对比即可．【解答】解：函数y=10lgx的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），对于A，定义域是（﹣∞，+∞），值域是[0，+∞），A错．对于B，定义域是（﹣∞，+∞），值域是（﹣∞，+∞），B错．对于C，定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），C错．对于D，定义域是（0，+∞），值域是（0，+∞），与题干函数定义域和值域相同．故D对．故选：D．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【分析】结合二次函数的图象和性质，设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，则M﹣m=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），即可得到答案【解答】解：设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，∴M=f（x1）=ax12+bx1+c，m=f（x2）=ax22+bx2+c，∴M﹣m=ax12+bx1+c﹣ax22﹣bx2﹣c=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），∴与a，b有关，但与c无关，故选：B．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别根据函数的性质进行判断即可．【解答】解：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则满足f（﹣x）=f（x）且f（﹣x）=﹣f （x），则f（x）=0故①正确；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（﹣1）=f（1）=﹣f（1），即f（1）=0，则f（﹣1）=f（1）=0，且f（0）=0，则f（x）至少有三个零点，0，1，﹣1；故②正确，③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数错误，只要函数f（x）是一对一函数即可，与函数是否单调没有关系；故③错误，④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]，错误．比如函数f（x）=x，（﹣1≤x≤0或1≤x≤2）则函数的值域为[﹣1，0]∪[1，2]，故正确的命题个数为2个，故选：B．三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁UP）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，U=R，P={x|0＜x＜1}，Q={x|﹣2≤x≤5}，由此能求出CU P和（∁UP）∩Q．（2）由P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，得P⊆Q，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，U=R，P={x|＞1}={x|0＜x＜1}，Q={x|x2﹣3x≤10}={x|﹣2≤x≤5}．CUP={x|x≤0或x≥1}，∴（∁UP）∩Q={x|﹣2≤x≤0或1≤x≤5}．（2）∵P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，∴P⊆Q，当x＞0时，P={x|0＜x＜}，由P⊆Q，得a，当x≤0时，P⊆Q不成立．综上，实数a的取值范围是[，+∞）．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．【分析】（1）f（x）为奇函数，运用定义法判断，求得函数的定义域，计算f（﹣x），与f （x）比较即可得到所求奇偶性；（2）由题意可得0＜2x﹣1≤3，运用指数函数的单调性，即可得到所求解集．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．理由：函数f（x）=+，即为f（x）=，定义域为{x|x≠0}，由f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）≥，即为+≥，即有≥，可得0＜2x﹣1≤3，解得1＜2x≤4，解得0＜x≤2，则原不等式的解集为（0，2]．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由消去y，利用△=0，求出m即可；（2）①写出点P的坐标（t，2t2），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程，利用直线方程求出M、N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式即可求出S的最大值．【解答】解：（1）函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣m=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×m=0，解得m=﹣；（2）设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，∴点P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+），其中0＜t＜1；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣；即S的最大值是4﹣．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．（x﹣4），x＞4，【分析】（1）当a＜0时，f（x）=4x+4，即可解得f﹣1（x）=log4（2）设2x=t，则f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，分段求出函数的值域并判断判断区间，（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，g（t）=，分类讨论，求出函数的最值即可．【解答】解：（1）当a＜0时，f（x）=4x﹣a•2x+4+a•2x=4x+4，∴4x=y﹣4，y＞4，（y﹣4），∴x=log4（x﹣4），∴y=log4（x﹣4），x＞4∴f﹣1（x）=log4（2）当a=5时，f（x）=|4x﹣5•2x+4|+5•2x，设2x=t，则4x﹣5•2x+4=t2﹣5t+4，当t2﹣5t+4＜0时，解得0＜t＜4，当t2﹣5t+4≥0时，解得t＞4，∴f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，当t≥4时，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上单调递增，则4＜f（t）≤5或f（t）≥20，当1＜t＜4时，f（t）=﹣t2+10t﹣4=﹣（t﹣5）2+21，∴f（t）在（1，4）上单调递增，∴f（1）＜f（t）＜f（4），∴5＜f（t）＜20，综上所述f（x）的值域为（4，+∞），函数f（x）的单调区间为（﹣∞，+∞），（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，∴g（t）=，当a≤0时，g（t）==t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴g（t）max=max{g（1），g（5）}∵g（1）=5，g（4）=5，∴函数g（t）的最大值为5，即当a≤0时，满足函数g（x）的最大值为5，当a＞0时，由t2﹣at+4≥0，即a≤t+，则由（2）可得y=t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴（t+）min=2+=4，∴当0＜a≤4时，g（t）==t+，故可知满足函数g（x）的最大值为5，当a＞4时，g（t）==﹣（t+）+2a，∵y=﹣（t+），在[1，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴ymax=﹣（2+）+2a=﹣4+2a，此时满足函数g（t）的最大值为5，综上所述当a∈（﹣∞，4]时，函数满足函数g（x）的最大值为521．已知函数f（x）=lognx（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据对数的运算法则进行化简求解即可．（2）根据复合函数单调性的关系进行求解．（3）问题转化为2ymin ＞ymax，然后利用对勾函数的单调性进行分类讨论求解即可．【解答】解：（1）若f（x1x2）=10，则logn x1x2=10，则f（x12）+f（x22）=lognx12+lognx22=lognx12x22=logn（x1x2）2=2lognx1x2=20．（2）g（x）=f（）=logn =logn（）=logn（1+），则y=1+在（1，+∞）上为减函数，∵当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），∴m=1，n＞1，则函数g（x）在（m，n）上为减函数，则g（n）=1，即logn（1+）=1，得1+=n，即=n﹣1，的（n﹣1）2=2，得n﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+=3x+，（m＞0），∵﹣1≤x≤0，∴设t=3x，则≤t≤1，即y=t+，（≤t≤1），由题意得在≤t≤1上恒有2ymin ＞ymax即可．①当0＜m≤时，函数h（x）在[，1]上递增，y max =1+m，ymin=3m+．由2ymin ＞ymax得6m+＞1+m，即5m＞，得m＞．此时＜m≤．②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max =max{3m+.1+m}=1+m，ymax=3m+，ymin=2，由2ymin ＞ymax得4＞1+m，得．此时＜m≤．③当＜m＜1时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max =max{3m+.1+m}=3m+，ymin=2，由2ymin ＞ymax得4＞3m+，得＜m＜．此时＜m＜1④当m≥1时，h（x）在[，1]上递减，y max =3m+，ymin=m+1，由2ymin ＞ymax得2m+2＞3m+，得m＜．此时1≤m＜，综上＜m＜．。

2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题一、单选题1．已知集合，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B正确. 2．在空间直角坐标系中，若点在第Ⅵ卦限，则与点关于轴对称的点在（）A．第Ⅰ卦限B．第Ⅲ卦限C．第Ⅴ卦限D．第Ⅶ卦限【答案】A【解析】根据点P的卦限得坐标x，y，z的符号，再得对称点的坐标的符号，从而可得对称点的卦限．【详解】因为点P（x，y，z）在第Ⅵ卦限，所以x＜0，y＞0，z＜0，点P关于y轴的对称点为（﹣x，y，﹣z），在第Ⅰ卦限．故选：A．【点睛】本题考查了空间向量运算的坐标表示，熟记每个卦限的坐标符号是解决问题的关键，属基础题．3．设，，为实数，则实数“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】D【解析】首先求出方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线的充要条件，然后根据充分条件，必要条件的定义来判断．【详解】∵方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线，∴，∴AB＜0且C≠0；∵ABC＜0推不出AB＜0且C≠0，AB＜0且C≠0推不出ABC＜0；∴实数“ABC＜0”是“方程Ax2+By2＝C表示的曲线为双曲线”的非充分非必要条件．故选：D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，熟记双曲线的方程的特点，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题4．已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，则三个角、、（）A．都是钝角B．至少有两个钝角C．恰有两个钝角D．至多有两个钝角【答案】B【解析】根据，移项得，两边同时点乘，得•0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．【详解】∵λ1λ2λ3，∴，两边同时点乘，得•，即||•||cos∠COA+cos∠BOC＝﹣0，∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．故选：D．【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题二、解答题5．如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.【答案】（1）（2）【解析】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可【详解】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，设圆柱的底面半径为，即，，在△中，，又所以直线与所成角的大小等于.（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，，且平面，，，∴.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．6．（1）已知是定义在上的奇函数，求实数、的值；（2）已知是定义在上的函数，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝lg lgb＝0，解可得b，又由f（x）+f（﹣x）＝0，可得a的值，即可得答案．（2）根据题意，分析可得不等式ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，转化为两个函数y=和y=ax，先求相切的临界情况，再由不等关系，即可得答案．【详解】（1）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝lg lgb＝0，则b，且f（x）+f（﹣x）＝lg（ax）+lg（ax）﹣2lg lg[（x2+2）﹣a2x2]﹣lg2＝lg[（1﹣a2）x2+2）]﹣lg2＝0，即（1﹣a2）x2＝0恒成立；可得：a＝±1；故a＝±1，b；（2）若f（x）＝lg（ax）﹣lgb为定义在R上的函数，则ax＞0在R上恒成立；即ax恒成立，令y=此函数为焦点在y轴上的双曲线的上支，令y=ax,当y=ax与y=相切时，两式联立消去y,得,，故ax恒成立时，﹣1<a<1即a的取值范围为（-1，1）．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，对数函数的运算性质，函数值域，不等式恒成立，数形结合思想，第（2）转化为两个函数交点问题是关键，属于中档题．7．某工厂在生产产品时需要用到长度为的型和长度为的型两种钢管.工厂利用长度为的钢管原材料，裁剪成若干型和型钢管，假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）要使裁剪的废料率小于，共有几种方案剪裁？请写出每种方案中分别被裁剪型钢管和型钢管的根数；（2）假设一根型钢管和一根型钢管能成为一套毛胚，假定只能按（1）中的那些方案裁剪，若工厂需要生产套毛胚，则至少需要采购多少根长度为的钢管原材料？最终的废料率为多少？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管，则，再由废料率小于得故即可设计方案，（2）设用方案一裁剪x根原材料，用方案二裁剪y根原材料，共裁剪得z套毛胚，则z＝2x+4y，由得即可求出答案．【详解】（1）设每根原料可裁剪成根型钢管和型钢管，则即根据题意，废料率为故满足条件的a与b的值为方案一：废料率为；则可裁剪成2根A 型钢管和5根B型钢管.方案二：废料率为.则可裁剪成4根A型钢管和2根B型钢管.（2）设用方案一裁剪根原材料，用方案二裁剪根原材料，共裁剪得套毛坯，则,即，故由题，所以所以至少采购100根长度为4000mm的钢管原材料，其中方案一裁剪40根，方案二裁剪60根，废料率为.【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，准确计算不等式组的解是关键，属于中档题．8．在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.（1）若，，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线：上时，位置向量终点总在抛物线：上，曲线和关于直线对称，问直线与向量满足什么关系？【答案】（1）（2）见证明（3）直线与向量垂直【解析】（1）根据题意，算出7，10，代入的表达式并化简整理，即可得到（，）；（2）设（x'，y'），终点在直线Ax+By+C＝0上，由题中的表达式解出（x，y）满足的关系式，从而得到点（，）在直线Ax+By+C＝0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A﹣3B）y﹣5C＝0，说明向量的终点也在一条直线上；（3）设，则，取，解出关于和t的坐标形式，结合的终点在抛物线x2＝y上且终点在抛物线y2＝x上，建立关于和t的方程，化简整理得到±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y ＝x对称，算出l的方向向量满足•0，从而得到直线l与向量垂直．【详解】（1）根据题意，7，10，∴.（2）设，，则，∴于是故，从而w，由于、不全为零，所以，也不全为零.于是的终点在直线上.（3）设，则，对任意实数，取，则，∵的终点在曲线上，∴.①由于为任意实数，比较①式两边的系数得，，，从而，，∴.对曲线中任意点，可知落在曲线上，反之亦然，故曲线：与曲线：关于直线：对称，的方向向量，∵，∴，即直线与向量垂直.【点睛】本题考查向量的坐标运算，相关点法求轨迹，着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．9．设函数，，，若对任意成立，且数列满足：，.（1）求函数的解析式；（2）求证：；（3）求证：.【答案】（1）；（2）（证明略）；（3）（证明略）【解析】（1）由题令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4，得a=b-4，进而得对任意成立，由判别式整理解得b=2,即可得a=-2,则f(x)可求；（2）由得，进而，累乘得（3）由（2）得，累加得，再由证明数列递增，得则证得；欲证，即证,则需证，由，放缩归纳得，再证明即可【详解】（1）由题对任意成立，令，解x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则f(-1)=-4又，则f(-1)=a-b=-4，即a=b-4所以对任意成立，即,则整理得∴b=2,则a=-2所以（2）由（1）知，，∴, ∴,所以又（3）由（2）知所以所以又,又,为递增数列，所以所以由（2）可知，欲证，即证,则需证∵,∴所以=所以=2因为2018<所以,则>所以证得，即证得所以【点睛】本题主要考查数列综合，不等关系与不等式以及数列求和，放缩法证明不等式，转化化归能力，是难题三、填空题10．方程组的增广矩阵是______．【答案】【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为.【考点】本小题主要考查增广矩阵的定义和应用.点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

上海市交大附中高考数学一模试卷解析版.doc

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2019年上海市交大附中高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知定义域为R的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有（）A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】解：当x=0时，f（x）=-，此时（0，-）关于原点对称的点（0，）此时与f（x）没有交点，函数y=x-关于原点对称的函数为-y=-x-，即y=x+，x＞0，若函数图象上关于原点对称的点，等价为当x＞0时，f（x）=3与y=x+，x＞0的交点个数即可，作出函数f（x）在x＞0时的图象如图，由图象知，函数分别关于x=1，x=3，x=5，x=7，x=9对称，且函数的最大值为f（2k-1）=3，当y=x+=3时，得x=，即x=7，故当x＞0时，f（x）=3与y=x+，x＞0的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．求出函数y=x-关于原点对称的函数为y=x+，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）=3与y=x+，x＞0的交点个数即可本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合是解决本题的关键．2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗．故选：B．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．3.已知f（x）=x2+3x，若|x-a|≤1，则下列不等式一定成立的是（）A. |f（x）-f（a）|≤3|a|+3B. |f（x）-f（a）|≤2|a|+4C. |f（x）-f（a）|≤|a|+5D. |f（x）-f（a）|≤2（|a|+1）2【答案】B【解析】解：∵|x-a|≤1，∴a-1≤x≤a+1，∵f（x）是二次函数，∴f（x）在区间[a-1，a+1]上单调时，|f（x）-f（a）|取得最大值为|f（a+1）-f（a）|或|f （a-1）-f（a）|，而|f（a+1）-f（a）|=|（a+1）2+3（a+1）-a2-3a）|=|2a+4|≤2|a|+4，|f（a-1）-f（a）|=|（a-1）2+3（a-1）-a2-3a|=|-2a-2|=|2a+2|≤2|a|+2．∴|f（x）-f（a）|≤2|a|+4，故选：B．结合二次函数的图象可知，当f（x）在区间[a-1，a+1]单调时，|f（x）-f（a）|的最大值为|f（a+1）-f（a）|或|f（a-1）-f（a）|，从而得出结论．本题考查了二次函数的性质，利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．4.若，且，，则的取值范围是（）A. B. [0，2]C. D.【答案】D【解析】解：∵，且，，∴•-•-•+||2≤0，∴4≥-•+•+•，∴2=||2+||2+||2+2•-2•-2•≤4+4+4-8=4，∴≤2，又由，得：=2，故≥-=2-2，故的取值范围是，故选：D．由，得：=2，故≥-=2-2，结合，得≤2，进而得到答案．本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模，难度中档．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|-1＜x＜2}，则A∪B=______．【答案】{x|-1＜x≤2}【解析】解：∵集合A={x|0＜x≤2}，集合B={x|-1＜x＜2}，∴A∪B={x|-1＜x≤2}．故答案为：{x|-1＜x≤2}．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．6.若复数z=4+3i，其中i是虚数单位，则|z2|=______．【答案】25【解析】解：由z=4+3i，得z2=（4+3i）2=16+24i+9i2=7+24i，则|z2|=|7+24i|=．故答案为：25．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．7.函数，则f[f（-1）]=______．【答案】0【解析】解：f（-1）=f（2）=f（5）=5-4=1所以f[f（-1）]=f（1）=f（4）=0故答案为0先根据函数的解析式求出f（-1）的值，再求出f[f（-1）]=f（1）=f（4）=0．求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．8.已知sin（α-）=，则cos（α-）=______．【答案】±【解析】解：∵sin（α-）=，∴cos（α-）=±=±．故答案为：±根据sin（α-）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α-）的值即可．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=______．【答案】2n+1（n∈N*）【解析】解：当n≥2，且n∈N*时，a n=S n-S n-1=（n2+2n）-[（n-1）2+2（n-1）]=n2+2n-（n2-2n+1+2n-2）=2n+1，又S1=a1=12+2=3，满足此通项公式，则数列{a n}的通项公式a n=2n+1（n∈N*）．故答案为：2n+1（n∈N*）由数列的前n项和公式S n=n2+2n，表示出当n大于等于2时，前n-1项和S n-1，利用a n=S n-S n-1得出n大于等于2时的通项公式，把n=1代入此通项公式检验也满足，故得到数列的通项公式．此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式a n=S n-S n-1是解本题的关键，同时注意要把首项代入通项公式进行验证．10.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+y的取值范围为______．【答案】[1，6]【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，0），联立，解得B（0，1）．化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，由图可知，当直线y=-3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1，当直线y=-3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为6．∴目标函数z=3x+y的取值范围为[1，6]．故答案为：[1，6]．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.已知函数f（x）=a sin2x+b cos2x（a，b∈R，ab≠0），若其图象关于直线对称，则直线ax+by+2=0的倾斜角α=______．【答案】【解析】解：∵函数y=a sin2x+b cos2x（a，b不全为0）的图象关于直线x=对称，设sinθ=，cosθ=，∴y=a sin2x+b cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+θ），当x=时，2x+θ=+θ=+kπ，（k∈Z），∴θ=-++kπ=+kπ，（k∈Z），不妨取k=0时，得θ=；∴sinθ==，cosθ==，解得a=，b=1；∴直线l：ax+by+c=0可化为：x+y+c=0，它的斜率为k=-，∴倾斜角是；故答案为：．化简函数y=a sin2x+b cos2x为一个角的一个角的函数形式，利用x=是函数y=a sin2x+b cos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角．本题考查了三角函数与向量知识的综合应用问题，是综合题目．12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为______．（容器壁的厚度忽略不计）【答案】41π【解析】解：由题意，该球形容器的半径的最小值为=，∴该球形容器的表面积的最小值为=41π．故答案为41π由题意，该球形容器的半径的最小值为=，即可求出该球形容器的表面积的最小值．本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知，且a0+a1+a2+…+a n=126，那么展开式中的常数项为______．【答案】20【解析】解：∵已知，且a0+a1+a2+…+a n=126，∴令x=1，可得a0+a1+a2+…+a n=2+22+…+2n==2n+1-2=126，∴n=6，那么=的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x3-r，令3-r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为=20，故答案为：20．由题意令x=1，可得n=4，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为______．【答案】55【解析】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知等边△ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式=λ的点P有两个，则实数λ的取值范围是______．【答案】（-，0]【解析】解：设PA=x（0≤x≤2），则PC=2-x．∴=+=-+，又=2×2×cos60°=2，∴λ==-（-+）=-=x2-x=（x-）2-．令f（x）=（x-）2-，则f（x）在[0，]上单调递减，在（，2]上单调递增，且f（0）=0，f（）=-，f（2）=2．∵满足等式=λ的点P有两个，∴关于x的方程f（x）=λ在[0，2]上有两解，∴．故答案为：（-，0]．设PA=x，得出式关于x的函数，根据函数的单调性得出λ的范围．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16.过直线l：x+y=2上任意点P向圆C：x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为______．【答案】[，）【解析】解：∵点P为直线l：x+y=2上的任意一点，∴可设P（t，2-t），则过O、A、P、B的圆的方程为（x-）2+（y-）2=[t2+（2-t）2]，化简可得x2-tx+y2-（2-t）y=0，与已知圆的方程相减可得AB的方程为tx+（2-t）y=1，由直线OP的方程为（2-t）x-ty=0，联立两直线方程可解得x=，y=，故线段AB的中点Q（，），∴点Q到直线l的距离d==|2-|，∵t2-2t+2=（t-1）2+1≥1，∴0＜≤1，∴-1≤-＜0，∴1≤2-＜2，∴≤|2-|＜，即d∈[，）故答案为：[，）设P（t，2-t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知cos2A-3cos（B+C）=1．（1）求角A的值；（2）若a=2，求△ABC周长的取值范围．【答案】解：（1）△ABC中，cos2A-3cos（B+C）=1，（2cos2A-1）-3•（-cos A）=1，2cos2A+3cos A-2=0，解得cos A=或cos A=-2（不合题意，舍去），∴cos A=，A=；（2）a=2，A=，由正弦定理可得====；∴b=sin B，c=sin C，∴a+b+c=2+（sin B+sin C）=2+[sin（-C）+sin C]=2+（cos C+sin C）=2+4sin（C+），∵0＜C＜，∴＜C+＜，∴＜sin（C+）≤1，2＜4sin（C+）≤4，则4＜2+4sin（C+）≤6，即4＜a+b+c≤6，∴△ABC的周长的取值范围是（4，6]．【解析】（1）根据二倍角公式化简求解即可求出角A的大小；（2）由正弦定理求得b、c的值，再利用三角恒等变换计算a+b+c的取值范围．本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．18.在如图所示的组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点．（Ⅰ）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧AB的中点时，求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．【答案】解：（Ⅰ）如图，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∴∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，设正方形的边长为2，则△AOD中，OD=A1C=，AO=，AD=，∴cos∠AOD==∴∠AOD=；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，，，，∴．【解析】（Ⅰ）取BC的中点D，连接OD，AD，则OD∥A1C，∠AOD（或其补角）为异面直线A1C与AB1的所成角，利用余弦定理，可求异面直线A1C与AB1的所成角的大小；（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积，求出三棱锥A1-ABC的体积为，从而求出四棱锥A1-BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．本小题主要考查直线与直线的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP=θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．【答案】解：（1）在△AOM中，|AO|2=|AM|2+|OM|2-2|AM|•|OM|cos∠AMO，∴，化简得：|AM|2+2|AM|-3=0，∵|AM|＞0，∴|AM|=1，则|ON|=|MN|-|AM|=2-1=1，3×1=3，答：小路ON段的建造费用为3万元．（2）由正弦定理得：，则，，∴，设小路AO段与ON段的建造总费用为f（θ），则，，∴，若θ0满足，且，列表如下：θ（，θ0）θ0（θ0，）f'（θ）-0+f（θ）↘↗则当θ=θ0时，f（θ）有极小值，此时也是f（θ）的最小值，∴，答：当cosθ=，小路AO段与ON段的建造总费用最小．【解析】（1）根据余弦定理求出|AM|，即可求出|ON|=|MN|-|AM|=2-1=1，即可求出小路ON段的建造费用；（2）由正弦定理可得则，，，即可表示出，根据导数和函数最值得关系即可求出小路AO段与ON段的建造总费用最小．本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出函数解析式和运用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．20.过抛物线C：y2=2px（其中p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点的纵坐标之积为-16．（1）求抛物线C的方程；（2）当|AF|≠|BF|时，求的值；（3）对于x轴上给定的点D（n，0）（其中n＞2），若过点D和B两点的直线交抛物线C的准线P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【答案】解：（1）过抛物线C：y2=2px（其中p＞0）的焦点F（，0）的直线为x=my+，代入抛物线方程，可得y2-2pmy-p2=0，可设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1y2=-p2=-16，解得p=4，可得抛物线的方程为y2=8x；（2）由直线AB过抛物线的焦点F，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），由ρ=，可得+=+==，可得=•=1；（3）证明：设A（，y1），B（，y2），P（-2，s），由D（n，0），B，D，P三点共线可得=，可得s=，①设AP交x轴上的点为（t，0），即有=，代入①，结合y1y2=-16，可得=，即有8ny12-64nt=8ny12-（y1y2）2=8ny12-256，可得t=．即有直线AP与x轴交于一定点（，0）．【解析】（1）设直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得p=4，即有抛物线方程；（2）推得+=，即可得到所求值；（3）设A（，y1），B（，y2），P（-2，s），运用三点共线的条件：斜率相等，可得s，设AP交x轴上的点为（t，0），运用韦达定理，化简整理可得所求定点．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于难题．21.已知数列{a n}为等比数列，a1=1，公比为q，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若a3+a5=20，求；（2）若调换a5、a6、a7的顺序后能构成一个等差数列，求q的所有可能值；（3）是否存在正常数c、q，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）因为数列{a n}为等比数列，a1=1，公比为q，且q≠1，a3+a5=20，所以q2+q4=20，解得q2=4（-5舍去），则==1+q4=1+16=17；（2）若调换a5，a6，a7的顺序后能构成一个等差数列，即若调换q4，q5，q6的顺序后能构成一个等差数列，由等差数列的性质可得1+q=2q2或1+q2=2q或q+q2=2，解得q=1或-或-2；（3）假设存在正常数c，q，使得对任意正整数n，不等式总成立．由，即为＜0，等价为c＜S n＜2c，若q=1，可得c＜n＜2c，不成立；由a1=1，a n＞0，S n≥1，可得c＜1，当q＞1时，S2＞2＞2c不可能成立；当＜q＜1时，＞2可得q n＜2q-1，即n＞log q（2q-1），由＜q＜1，可得log q（2q-1）＞1，即当n＞log q（2q-1），S2＞2，所以S n＜2c不可能成立；当q=时，＜2c，即1-（）n＜c，可得（）n＞1-c，即当n＞log（1-c）时，S n＜2c不成立；当0＜q＜时，S n=＜，所以当＜c＜1时，c＜S n＜2c恒成立，综上可得，存在正常数c，q，使得对任意正整数n，不等式＞2总成立，且q的取值范围是（0，）．【解析】（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，求和公式计算即可得到所求值；（2）由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程即可得到所求值；（3）假设存在正常数c，q，使得对任意正整数n，不等式总成立．由不等式，即为＜0，等价为c＜S n＜2c，讨论公比q，结合题意，推得存在，求得q的范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查存在性问题的解法，以及分类讨论思想方法，化简整理和推理能力，属于难题．。

上海市上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题 Word版含解析

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交大附中高三月考数学试卷一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果. 【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P 为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y 的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。

精品解析：上海市上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(解析版)

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交大附中高三月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ 中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果.【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x 的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。

2019届上海市上海交通大学附属中学高三上学期期末数学试题(解析版)

2019届上海市上海交通大学附属中学高三上学期期末数学试题(解析版)

2019届上海市上海交通大学附属中学高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知函数()33xxf x -=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【解析】由已知得f x f x -=-（）（），即函数f x （）为奇函数，由函数3xy =为增函数，1()3x y =为减函数，结合“增”-“减”=“增”可得答案．【详解】()33xxf x -=-,∴ ()33()xx f x f x ---=-=-，即函数()f x 为奇函数，又由函数3xy = 为增函数，1()3xy =为减函数，故函数()33xxf x -=-为增函数.故选：B. 【点睛】本题考查奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题.2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.3．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A ．(0,1])⋃+∞B ． (0,1][3,)⋃+∞C ． )⋃+∞D ． [3,)⋃+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形。

上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题

上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题

2019年上海市交大附中高考数学一模试卷一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1. 已知定义域为R的函数*(22,2],()21,055x k k k N f x x x ⎧∈-∈⎪=⎨-≤⎪⎩，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对 【答案】B【解析】解：当0x =时，1(5)f x =-，此时1(0,)5-关于原点对称的点1(0,)5此时与()f x 没有交点， 函数2155y x =-关于原点对称的函数为2155y x -=--，即2155y x =+，0x >， 若函数图象上关于原点对称的点，等价为当0x >时，()f x =2155y x =+，0x >的交点个数即可， 作出函数()f x 在0x >时的图象如图，由图象知，函数分别关于1,3,5,7,9x x x x x =====对称，且函数的最大值为3(2)1f k -=， 当21355x y +==时，得21455x =，即7x =， 故当0x >时，()f x =2155y x =+，0x >的交点个数有8个， 即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B ． 求出函数2155y x =-关于原点对称的函数为2155y x =+，0x >，利用数形结合判断当0x >时，()f x =2155y x =+，0x >的交点个数即可 本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合是解决本题的关键．2. 某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶 【答案】B【解析】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗．故选：B ．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．3. 已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A.33()()f x f a a -≤+ B. 24()()f x f a a -≤+ C. ()()5f x f a a -≤+ D. 2|()()2|(1)f x f a a -≤+ 【答案】B【解析】解：∵1x a -≤，∴11a x a -≤≤+，∵()f x 是二次函数，∴()f x 在区间1,1[]a a -+上单调时，()()f x f a -取得最大值为|()(|1)f a f a +-或|()(|1)f a f a --， 而22()()()11313242())4f a f a a a a a a a +-+++--=+≤+=， 22|()()||()(11313||22||22|2|)2|f a f a a a a a a a a ---+---=--=+≤+=． ∴24()()f x f a a -≤+，故选：B ．结合二次函数的图象可知，当()f x 在区间1,1[]a a -+单调时，|()()|f x f a -的最大值为|()(|1)f a f a +-或|()(|1)f a f a --，从而得出结论．本题考查了二次函数的性质，利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．4. 若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( )A. [0,2]B. [0,2]C. 2,2]D. 2,2] 【答案】D【解析】解：∵2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，∴20a b a c b c c ⋅-⋅-⋅+≤，∴4a b a c b c ≥-⋅+⋅+⋅，∴222222244484a b c a b c a b a c b c +-=+++⋅-⋅-⋅≤++-=， ∴2a b c +-≤，又由0a b ⋅=，得：22a b +=， 故222a b c a b c +-≥+-=-，故a b c +-的取值范围是2,2]，故选：D ．由0a b ⋅=，得：22a b +=，故222a b c a b c +-≥+-=-，结合()()0a c b c -⋅-≤，得2a b c +-≤，进而得到答案．本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模，难度中档．二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5. 已知集合02{|}A x x =<≤，集合12{|}B x x =-<<，则A B =______．【答案】{x|-1<x ≤2}【解析】解：∵集合02{|}A x x =<≤ }，集合12{|}B x x =-<<，∴1|}2{A B x x =-<≤．故答案为：2{|}1x x -<≤．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．6. 若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =______．【答案】25【解析】解：由43z i =+，得222431624972()4z i i i i =+=++=+，则272425z i =+==．故答案为：25．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．7. 函数4,(4)()(3)(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则[()]1f f -=______． 【答案】0【解析】解：12()())541(5f f f -===-=所以[()]()1140()f f f f -===故答案为0先根据函数的解析式求出1()f -的值，再求出[()]()1140()f f f f -===．求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．8. 已知)in(1s 43πα-=，则)os(c 4πα-=______．【答案】【解析】解：∵)in(1s 43πα-=，∴cos 4(3)πα-==±．故答案为：3± 根据in 4(s )πα-的值，利用同角三角函数间的基本关系求出os 4(c )πα-的值即可． 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9. 已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】*2)1(n n N +∈【解析】解：当2n ≥，且*n N ∈时，221()[()(2121)]n n n a S S n n n n -=-=+--+-22222)2(1n n n n n =+--++-21n =+，又211123S a ==+=，满足此通项公式，则数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈． 故答案为：*2)1(n n N +∈由数列的前n 项和公式22n S n n =+，表示出当n 大于等于2时，前1n -项和1n S -，利用1n n n a S S -=-得出n 大于等于2时的通项公式，把1n =代入此通项公式检验也满足，故得到数列的通项公式． 此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式1n n n a S S -=-是解本题的关键，同时注意要把首项代入通项公式进行验证．10. 已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______．【答案】[1,6]【解析】解：由约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩作出可行域如图，联立2224x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()2,0A ， 联立2241x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得()0,1B ． 化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为6．∴目标函数3z x y =+的取值范围为[1,6]．故答案为：[1,6]．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11. 已知函数sin 2cos ()(2,,0)f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图象关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______． 【答案】23π【解析】解：∵函数 sin 2cos 2y a x b x =+(,a b 不全为0)的图象关于直线6x π=对称， 设sin θ=，cos θ=，∴sin 2cos 222)y a x b x x x =+=+(n 2)x θ=+， 当6x π=时，2,32()x k k Z ππθθπ+=+=+∈， ∴,32()6k k k Z πππθππ=-++=+∈，不妨取0k =时，得6θπ=；∴1sin 2θ==，cos θ==，解得a =1b =；∴直线l ：0ax by c ++=可化为：0y c ++=，它的斜率为k =∴倾斜角是23π； 故答案为：23π． 化简函数sin 2cos 2y a x b x =+为一个角的一个角的函数形式，利用6x π=是函数sin 2cos 2y a x b x=+图象的一条对称轴，求出,a b 的值，然后求直线l 的斜率与倾斜角．本题考查了三角函数与向量知识的综合应用问题，是综合题目．12. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90︒榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为______．(容器壁的厚度忽略不计)【答案】41π2=， ∴该球形容器的表面积的最小值为414414ππ⋅=． 故答案为41π2，即可求出该球形容器的表面积的最小值． 本题考查正棱柱的外接球，考查学生的计算能力，属于中档题．13. 已知232*012(1)(1)(1)(1)()n n n x x x x a a x a x a x n N ++++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n 展开式中的常数项为______． 【答案】20 【解析】解：∵已知232*012(1)(1)(1)(1)()n n n x x x x a a x a x a x n N ++++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得210122(12)2222212612n nn n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n=的展开式的通项公式为316(1)r r r r T C x -+=⋅-⋅，令30r -=，求得3r =， 可得展开式中的常数项为3620C =，故答案为：20．由题意令1x =，可得4n =，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 已知正实数,x y 满足2342xy x y ++=，则54xy x y ++的最小值为______．【答案】55【解析】解：∵正实数,x y 满足2342xy x y ++=，∴42203x y x-=>+，0x >，解得021x <<． 则42216543423423[(3)]3133x xy x y x y x x x x -++=++=++=+++++33155≥⨯=，当且仅当1,10x y ==时取等号． ∴54xy x y ++的最小值为55．故答案为：55．正实数,x y 满足2342xy x y ++=，可得42203x y x-=>+，解得021x <<．则 42216543423423[(3)]3133x xy x y x y x x x x-++=++=++=+++++，再利用基本不等式的性质即可 得出．本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 已知等边ABC △的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ⋅=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是______． 【答案】1(,0]4-【解析】解：设02()PA x x =≤≤，则2PC x =-． ∴2x PB PA AB AC AB =+=-+， 又22cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=， ∴222211()224224()x x x x PA PB AC AC AB AC AB AC x x x λ=⋅=--+=-⋅=-=--． 令2(11(4))2f x x =--，则()f x 在1[0,]2上单调递减，在1(,2]2上单调递增， 且0(0)f =，()1124f =-，2(2)f =． ∵满足等式PA PB λ⋅=的点P 有两个，∴关于x 的方程()f x λ=在[0,2]上有两解，∴104λ-<≤． 故答案为：1(,0]4-． 设PA x =，得出式PA PB ⋅关于x 的函数，根据函数的单调性得出λ的范围．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．16. 过直线2l x y +=:上任意点P 向圆221C x y +=:作两条切线，切点分别为,A B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为______．【答案】[,2【解析】解：∵点P 为直线2l x y +=:上的任意一点，∴可设2(),P t t -，则过O A P B 、、、的圆的方程为222221()()[22()]24tt x y t t --+-=+-， 化简可得22()20x tx y t y -+--=，与已知圆的方程相减可得AB 的方程为21()tx t y +-=，由直线OP 的方程为(20)t x ty --=， 联立两直线方程可解得2244t x t t =-+，22244t y t t -=-+， 故线段AB 的中点222(,)244244t t Q t t t t --+-+， ∴点Q 到直线l的距离2122d t t ==--+， ∵222211)1(t t t -+=-+≥，∴210122t t <≤-+， ∴211022t t -≤-<-+，∴2112222t t ≤-<-+，∴21222t t ≤-<-+[,2d ∈故答案为：[,2设2(),P t t -，可得过O A P B 、、、的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB 的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q 的坐标，由点Q 到直线的距离公式和不等式的性质可得．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17. 在ABC △中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，已知cos 23co 1)s(A B C -+=．(1)求角A 的值；(2)若2a =，求ABC △周长的取值范围．【答案】解：(1)ABC △中，cos 23co 1)s(A B C -+=，22cos 13()(co )s 1A A --⋅-=，22cos 3cos 20A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 2A =- (不合题意，舍去)， ∴1cos 2A =，3A π=； (2) 2a =，3A π=，由正弦定理可得sin sin sin b c a B C A ====；∴b B =，c C =，∴2s n sin )i a b c B C ++=+22sin()sin 3(]C C π=+-+32)s sin 2C C =++24sin 6()C π=++， ∵203C π<<， ∴5666C πππ<+<， ∴1si 1n 6(2)C π+≤<， 24sin 6()4C π+≤<， 则(4664sin )2C π<+≤+，即46a b c <++≤，∴ABC △的周长的取值范围是(4,6]．【解析】(1)根据二倍角公式化简求解即可求出角A 的大小；(2)由正弦定理求得b c 、的值，再利用三角恒等变换计算a b c ++的取值范围．本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．18. 在如图所示的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A B 、重合的一个点．(Ⅰ)若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1AC 与1AB 的所成角的大小；(Ⅱ)当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．【答案】解：(Ⅰ)如图，取BC 的中点D ，连接,OD AD ，则1OD AC ∕∕，∴AOD ∠ (或其补角)为异面直线1AC 与1AB 的所成角，设正方形的边长为2，则A O D △中，112OD AC ==，AO AD =，∴352cos AOD+-∠==∴AOD∠=；(Ⅱ)设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，AB BC==，111212))33A BCC BV h r h-=⋅⋅⋅=，2V r hπ=圆柱，∴111:2:3A BCC BVVπ-=圆柱．【解析】(Ⅰ)取BC的中点D，连接,OD AD，则1OD AC∕∕，AOD∠(或其补角)为异面直线1AC与1AB的所成角，利用余弦定理，可求异面直线1AC与1AB的所成角的大小；(II)设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧弧AB的中点时，求出三棱柱111ABC A B C-的体积，求出三棱锥1A ABC-的体积为，从而求出四棱锥111A BCC B-的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥111A BCC B-与圆柱的体积比．本小题主要考查直线与直线的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19. 一个创业青年租用一块边长为4百米的等边ABC△田地(如图)养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路,MN AP，其中,M N分别为,AC BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O(O与M N、不重合)处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，,A N为出入口(小路的宽度不计)．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．(1)若拟修的小路AOON段的建造费用；(2)设BAPθ∠=，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．【答案】解：(1)在AOM △中，2222cos AO AMOM AM OM AMO =+-⋅∠，∴222222cos 3AMAM π=+-， 化简得：2230AM AM +-=， ∵0AM >，∴1AM =，则211ON MN AM =-=-=，313⨯=，答：小路ON 段的建造费用为3万元．(2)由正弦定理得：sin sin sin()33AM AO OM θθ==-，则AO =OM =，∴sin sin 2sin sin ON MN AM θθθθθθ-=-=-=， 设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ，则9sin ()43sin f AO ON θθθθ-+=+=，63ππθ<<，∴2'()sin f θθθ=， 若0θ满足03cosθ=，且0ππθ<<，列表如下： 则当0θθ=时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值，∴03cos cos 4θθ==， 答：当3cos 4θ=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．【解析】(1)根据余弦定理求出AM ，即可求出211ON MN AM =-=-=，即可求出小路ON 段的建造费用；(2)由正弦定理可得则AO =OM =，sin sin 2sin sin ON MN AM θθθθθθ-=-=-=，即可表示出9sin ()43sin f AO ON θθθθ-+=+=，根据导数和函数最值得关系即可求出小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出函数解析式和运用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．20. 过抛物线22C y px =:(其中0p >)的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，且A B 、两点的纵坐标之积为16-．(1)求抛物线C 的方程；(2)当AF BF ≠时，求OF OFAF BF +的值；(3)对于x 轴上给定的点0(),D n (其中2n >)，若过点D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．【答案】解：(1)过抛物线22C y px =:(其中0p >)的焦点(,0)2P F 的直线 为2x P my =+，代入抛物线方程，可得2220y pmy p --=， 可设1122,,()(),A x y B x y ，即有21216y y p =-=-，解得4p =，可得抛物线的方程为28y x =；(2)由直线AB 过抛物线的焦点F ，可设12, ,,()()A B ρθρπθ+， 由1cos p ρθ=-，可得111cos 1cos 212AF BF p p p θθ-++=+==， 可得212OF OFp AF BF p+=⋅=； (3)证明：设121()8,A y y ，222()8,y B y ，,()2P s -， 由,0 ,(),,D n B D P 三点共线可得22228s n n y y =---，可得2228(2)8n s ny y --=-，① 设AP 交x 轴上的点为(),0t ， 即有211112288s y y y t y -=---， 代入①，结合1216y y =-，可得1222118(8)8y n n y y y t =--， 即有222211121()86488256ny nt ny y y ny -=-=-， 可得4t n=． 即有直线AP 与x 轴交于一定点4(,0)n ．【解析】(1)设直线AB 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得4p =，即有抛物线方程；(2)推得112AF BF p+=，即可得到所求值； (3) 设121()8,A y y ，222()8,y B y ，,()2P s -，运用三点共线的条件：斜率相等，可得s ，设AP 交x 轴上的点为(),0t ，运用韦达定理，化简整理可得所求定点．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于难题．21. 已知数列{}n a 为等比数列，11a =，公比为,n q S 为数列{}n a 的前n 项和．(1)若3520a a +=，求84S S ； (2)若调换567a a a 、、的顺序后能构成一个等差数列，求q 的所有可能值；(3)是否存在正常数c q 、，使得对任意正整数n ，不等式2n n S S c>-总成立？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)因为数列{}n a 为等比数列，11a =，公比为q ，且351,20q a a ≠+=，所以2420q q +=，解得24q = (5-舍去)， 则8484411111617S q qq S =+=+-=-=； (2)若调换567,,a a a 的顺序后能构成一个等差数列，即若调换456,,q q q 的顺序后能构成一个等差数列，由等差数列的性质可得212q q +=或212q q +=或22q q +=，解得1q =或12-或2-； (3)假设存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ， 不等式2n n S S c>-总成立． 由2n n S S c >-，即为20n n S S c c-<-，等价为2n c S c <<，若1q =，可得2c n c <<，不成立；由11,0,1n n a a S =>≥，可得1c <，当1q >时，222S c >>不可能成立； 当112q <<时，121nq q->-可得21n q q <-， 即(log 21)q n q >-， 由112q <<，可得(og 1)l 21q q ->， 即当2(log 21,)2q n q S >->，所以2n S c <不可能成立； 当12q =时，11()22112nc -<-， 即11()2n c -<，可得1()12n c >-， 即当12(l g )o 1n c >-时，2nS c <不成立； 当102q <<时，1111n n q S q q-=<--， 所以当112(1)c q <<-时，2n c S c <<恒成立， 综上可得，存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ， 不等式2n n S S c>-总成立， 且q 的取值范围是(10,2)． 【解析】(1)运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，求和公式计算即可得到所求值；(2)由等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程即可得到所求值；(3)假设存在正常数,c q ，使得对任意正整数n ，不等式2n n S S c>-总成立．由不等式2n n S S c >-，即为20n n S S c c-<-，等价为2n c S c <<，讨论公比q ，结合题意，推得存在，求得q 的范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查存在性问题的解法，以及分类讨论思想方法，化简整理和推理能力，属于难题．。

上海交大附中高三(上)摸底数学试卷(解析版)

上海交大附中高三(上)摸底数学试卷(解析版)

上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．已知全集U=R，集合A={x|x≤﹣2，x∈R}，B={x|x＜1，x∈R}，则（∁U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤﹣2}，∴∁U A={x|x＞﹣2}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【考点】集合的相等．【专题】集合．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．3．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=60．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，由S10=10，S20=30，得2×20=10+S30﹣30，∴S30=60．故答案为：60．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，关键是对性质的理解与运用，是中档题．5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=2b2，则=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理代入进行化简即可．【解答】解：∵c（acosB﹣bcosA）=2b2，∴由余弦定理可得ac•﹣bc•=2b2，即a2+c2﹣b2﹣b2﹣c2+a2=4b2，即a2=3b2，则a=b，∴=．再利用正弦定理可得=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，比较基础．要求熟练掌握相应的公式．6．若点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，则y0的取值范围是（3，+∞）．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】由不等式与平面区域的关系可得y0的不等式，解不等式可得．【解答】解：∵点A（2，3）与点B（1，y0）位于直线l：x﹣2y+5=0的两侧，∴（2﹣2×3+5）（1﹣2y0+5）＜0，解得y0＞3故答案为：（3，+∞）【点评】本题考查不等式与平面区域，属基础题．7．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，利用独立重复试验的概率公式写出结果．【解答】解：由题意知掷一枚硬币，正面向上的概率是，将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，相当于做了三次独立重复试验，∴恰好出现一次正面的概率是故答案为：【点评】本题考查独立重复试验的概率公式，解题的关键是看出试验符合什么条件，注意应用概率的公式，本题是一个基础题．8．已知b∈R，若（1+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】通过化简可知（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i，利用纯虚数的定义计算即可．【解答】解：∵（1+bi）（2﹣i）=（2+b）+（2b﹣1）i为纯虚数，∴，解得b=﹣2，∴|1+bi|===，故答案为：．【点评】本题考查复数求模，弄清纯虚数的概念是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．9．已知，且x+2y=1，则的最小值是．【考点】两向量的和或差的模的最值．【专题】计算题．【分析】根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果．【解答】解：∵x+2y=1∴•===84y2﹣72y+16∴当y=时，原式=，故答案为：，【点评】本题考查向量的模长的最值，本题解题的关键是表示出向量的模长，再用函数求最值的方法来求解，这是这一类题目共同的特征．10．已知一圆锥的底面是半径为1cm的圆，若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积是cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中，圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的3倍，分析圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式即可获得问题的解答．【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1cm，侧面积是底面积的3倍，∴圆锥的母线长l=3cm，故圆锥的高h==2cm，故圆锥的体积V=Sh=πr2•h==cm3，故答案为：．【点评】本题考查的是圆锥的体积求解问题．在解答的过程当中充分体现了圆锥体积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．11．抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线与该抛物线相交于A，B两点，直线AF，BF 分别交抛物线于点C，D．若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则=．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∴AF的方程是y=（x﹣1）设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，利用韦达定理x3x1=1∴x3=，∴y3=k0（x3﹣1）=﹣即C（，﹣）同理D（，﹣）∴k2==2k1，∴=．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b]，则a+b=5．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为定义域和值域都是[a，b]，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b＜2时，函数在区间[a，b]上递减，又∵值域也是[a，b]，∴得方程组即，两式相减得（a+b）（a﹣b）﹣3（a﹣b）=b﹣a，又∵a≠b，∴a+b=，由，得3a2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f（2）=1≠，故舍去．②当a＜2＜b时，得f（2）=1=a，又∵f（1）=＜2，∴f（b）=b，得，∴b=（舍）或b=4，∴a+b=5③当a＞2时，函数在区间[a，b]上递增，又∵值域是[a，b]，∴得方程组，即a，b是方程x2﹣3x+4=x的两根，即a，b是方程3x2﹣16x+16=0的两根，∴，但a＞2，故应舍去．故答案为：5【点评】本题考查了二次函数的单调区间以及最值问题，属于基础题．13．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列说法（1）y=f（x）的最大值为；（2）y=f（x）是以π为最小正周期的函数；（3）y=f（x）在区间（，）上单调递减；（4）将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是（1）（2）（3）．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），由三角函数的性质逐个选项验证可得．【解答】解：化简可得f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）=cos（2x+﹣）+cos（2x+）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x++）=sin（2x+）∴函数f（x）的最大值为，（1）正确；函数的周期T==π，（2）正确；由2kπ+＜2x+＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，当k=0时可得函数y=f（x）在区间（，）上单调递减，（3）正确；（4）y=cos2x的图象向左平移个单位后，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）≠sin（2x+），错误；综上可知（1）（2）（3）正确，故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及两角和与差的三角函数公式和诱导公式，属中档题．14．定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A、B为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下四个命题：①对于给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；③g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；④为函数f（x）=x2的一个承托函数．其中正确的命题有①③．【考点】函数最值的应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点）①举例可以说明，如f（x）=cosx，则g（x）=B （B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，反例如y=tanx或y=lgx就没有承托函数；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③要说明g（x）=2x为函数f（x）=|3x|的一个承托函数；即证明F（x）=e x﹣2x 的图象恒在x轴上方；④举反例即可．【解答】解：①如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx．y=lgx就没有承托函数，∴命题①正确；②f（x）=2x+3的定义域和值域都是R，存在一个承托函数y=2x+1，故命题②不正确；③令F（x）═|3x|﹣2x=，可见在x≥0时，函数F（x）单调递增，最小值F（0）=0，在x＜0时，函数F（x）单调递减，最小值大于F（0）=0，∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定义∴命题③正确；④x=1时，g（1）=，f（1）=1，显然g（1）＜f（1），当x=时，g（）=，f（）=，显然g（）＞f（），命题④不正确．故答案为：①③【点评】本题是新定义题，考查对题意的理解和转化的能力，要说明一个命题是正确的，必须给出证明，如③，对于存在性命题的探讨，只需举例说明即可，如①，对于不正确的命题，举反例即可，如②③，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15．在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3项的系数为（）A．210 B．120 C．80 D．60【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求得（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项，可得含x4y3项的系数．【解答】解：在（1+x）6（2+y）4的展开式中，含x4y3 的项为•x3••2•y3=120x4y3，故含x4y3项的系数为120，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足=0，则△ABC一定是（）A．等腰非等边三角形 B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】高阶矩阵．【专题】选作题；矩阵和变换．【分析】方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，配方可得结论．【解答】解：方程化为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca=0，所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，所以a=b=c，故选：B．【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．17．甲乙两人进行相棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是（）A．0.6 B．0.8 C．0.2 D．0.4【考点】概率的基本性质．【专题】计算题．【分析】欲求甲不输的概率，利用等量关系：甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，把相关数值代入即可求解．【解答】解，根据题意，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2所以甲不输的概率为0.4+0.2=0.6．故选A．【点评】本题考查了等可能事件的概率，解答本题的关键是要判断出“甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1”．18．圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心坐标是（）A．（1，）B．（，）C．（，）D．（2，）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用化为直角坐标方程，进而得出．【解答】解：圆ρ=（cosθ+sinθ）即（cosθ+sinθ），∴，化为．∴圆心坐标是，∴=1，θ=arctan1=．极坐标为．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，属于基础题．三．解答题（本大题共五题，满分74分，12+14+14+16+18=74）19．已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值．（2）求式•的值．【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．【解答】解：（1）∵|OP|=，∴点P在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα=﹣（2）原式==..由余弦的定义可知，cosα=即所求式的值为【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题．20．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）=|x﹣a|﹣|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（﹣）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求点B到平面AB1C1的距离；（3）求二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【专题】综合题．【分析】（1）以C点为坐标原点，CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，分别求出AB1与BC1的方向向量，代入数量积公式，得到其数量积为0，即可得到AB1⊥BC1；（2）求出平面AB1C1的一个法向量，则AB的方向向量，代入到公式，即可求出点B到平面AB1C1的距离；（3）结合（2）的结合，再求出平面AB1A1的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣AB1﹣A1的大小．【解答】证明：（1）如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，题意A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）．∵，∴∴AB1⊥BC1解：（2）设的一个法向量，由得令∵，∴点B到平面AB1C1的距离．（3）解设是平面A1AB1的一个法向量由∴令∵，∴二面角C1﹣AB﹣A1的大小为60°．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到面的距离，异面直线的夹角，其中建立适当的空间坐标系，将问题转化为向量夹角及向量长度问题是解答本题的关键．22．已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点P（1，）为其上一点，且有|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过F1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S ABCD的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）设椭圆E的标准方程为，由已知|PF1|+|PF2|=4，，由此能求出椭圆E的标准方程．（II）由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，S△ABCD=4S△OAB，设直线AB的方程为x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用弦长公式能求出S△BCD的最大值．【解答】解：（I ）设椭圆E 的标准方程为，由已知|PF 1|+|PF 2|=4，得2a=4，∴a=2，…又点P （1，）在椭圆上，∴，∴b=， 椭圆E 的标准方程为=1．…（II ）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形，∴S ▱ABCD =4S △OAB ，设直线AB 的方程为x=my ﹣1，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0， ∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣，… S △OAB =+=|OF 1||y 1﹣y 2|= ==6，…令m 2+1=t ，则t ≥1，S △OAB =6=6，…又∵g （t ）=9t+在[1，+∞）上单调递增 ∴g （t ）≥g （1）=10，∴S △OAB 的最大值为．∴S ▱ABCD 的最大值为6．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．23．给定数列{c n }，如果存在常数p 、q 使得c n+1=pc n +q 对任意n ∈N *都成立，则称{c n }为“M 类数列”． （1）若{a n }是公差为d 的等差数列，判断{a n }是否为“M 类数列”，并说明理由；（2）若{a n }是“M 类数列”且满足：a 1=2，a n +a n+1=3•2n ．①求a 2、a 3的值及{a n }的通项公式；②设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，且集合M={n|≥λ，n ∈N *}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围．【考点】数列的应用．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过a n+1=a n +d 与c n+1=pc n +q 比较可知p=1、q=d ，进而可得结论；（2）①通过a 1=2、a n +a n+1=3•2n 计算出a 2、a 3的值，进而利用数列{a n }是“M 类数列”代入计算可知数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，利用2b n =（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）计算可知b n =2n ﹣1，从而M={n|≥λ，n ∈N *}，分别计算出当n=1、2、3时λ的值，进而可得结论．【解答】（1）结论：公差为d 的等差数列是“M 类数列”．理由如下：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴a n+1=a n +d ，此时p=1、q=d ，即公差为d 的等差数列是“M 类数列”；（2）①∵a 1=2，a n +a n+1=3•2n ，∴a 2=3•2﹣a 1=4， =8，又∵数列{a n }是“M 类数列”，∴，即，解得：p=2，q=0，即a n+1=2a n ， 又∵a 1=2，∴数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ②由①可知a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，即2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣4n ﹣6，∴2b n ﹣1+22b n ﹣2+23b n ﹣3+…+2n ﹣1b 1=3•2n ﹣4（n ﹣1）﹣6=3•2n ﹣4n ﹣2，∴22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1=3•2n+1﹣8n ﹣4，∴2b n =（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）=（3•2n+1﹣4n ﹣6）﹣（3•2n+1﹣8n ﹣4）=4n ﹣2，即b n =2n ﹣1，∴集合M={n|≥λ，n ∈N *}={n|≥λ，n ∈N *}，当n=1时，λ≤=；当n=2时，λ≤=；当n=3时，λ≤=；当n ≥4时，λ≤=；又∵集合M={n|≥λ，n ∈N *}中有且仅有3个元素，∴＜λ≤，故实数λ的取值范围是（，]．【点评】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．。

上海市交大附中2019届高三数学一模试题(含解析)

上海市交大附中2019届高三数学一模试题(含解析)

上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A. 7对B. 8对C. 9对D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】求出函数y x关于原点对称的函数为y x，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）＝3与y x，x＞0的交点个数即可【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，若函数图象上存在关于原点对称的点，等价为当时，与，的交点个数即可，作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，当时，得，即，故当时，与，的交点个数有8个，即函数图象上关于原点对称的点有8对，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合，是中档题2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )A. 8桶B. 9桶C. 10桶D. 11桶【答案】B【解析】【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。

故选【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。

3.已知，若，则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立=≤≤=≤≤故选：B．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．4.若，且，，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离。

2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

2019届上海市交大附中高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

中，
，又
所以直线 与 所成角的大小等于
.
（2）设圆柱的底面半径为 ，母线长度为 ，
当点 是弧 的中点时，
，且
平面
，
，
，
∴
.
【点睛】 本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运 算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
6．（1）已知
是定义在 上的奇函数，求实数 、 的值；
，放缩归纳得
，再证明
对任意 成立， ，解 x=-1,所以-4≤f(-1)≤-4,则 f(-1)=-4 ，则 f(-1)=a-b=-4，即 a=b-4
对任意 成立，即
,则 ∴b=2,则 a=-2
整理得
即可
所以
（2）由（1）知
，
,所以
又
（3）由（2）知 所以
，∴
,∴
所以
又 增数列，所以 由（2）可知 证 ∵ 所以
12．
_______．
【答案】 【解析】利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即 可． 【详解】
由二项式定理系数的性质可得
，
．
故答案为： ． 【点睛】 本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基 础题
13．已知数列 ______．
的前 项的和
（2）已知
是定义在 上的函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）＝lg lgb＝0，解可得 b ，
又由 f（x）+f（﹣x）＝0，可得 a 的值，即可得答案．（2）根据题意，分析可得不等

上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

上海市交大附中2019届高三上9月开学摸底考试数学试题(解析版)

上海市交大附中高三 9月份开学考试、填空题.1方程组#笃定七的增广矩阵是 _____________________ .【答案】「 【解析】试题分析：根据增广矩阵的定义可知为 I . ■.:.考点：本小题主要考查增广矩阵的定义和应用点评：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

2•若直线 的参数方程为:二一则直线 的倾斜角是 _____________________________________.【答案】:■ 【解析】 【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程为丫+2 = ■岛(x - 3),求出其斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系可得tan 0，结合B 的范围，分析可得答案.则其普通方程为 y+2二.■■■ (x - 3), 其斜率k =:,则有 tan 0 二•::,且 0°w 0 v 180°, 则 0 = 120°; 故答案为：120°【点睛】本题考查直线的参数方程，关键是将直线的参数方程变形为普通方程 【答案】' 【解析】 【分析】【详解】根据题意，直线I 的参数方程为,熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题利用二项式定理系数的性质，求解分子，然后利用数列极限的运算法则求解即可. 【详解】由二项式定理系数的性质可得：： ■ ："7……X ■-C 2n +2 X 4Um ------------------------- — nm2 一 4"— 4n【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力，是基础题4•已知数列■的前 项的和.，则当••为正偶数时，'■-【答案】 厶亠；【解析】 【分析】 由已知求得，当n 》2且n 为正偶数时，a n = S n - S-1= 2 - [2 ( n - 1) - 1] = 2 - 2n+3,验证a 2 = 3适合， 由此可得当n 为正偶数时的a n . 【详解】由当n 》2且n 为正偶数时，a n = S n - S n -1 = 2 - [2 ( n - 1) - 1] = 2 - 2n+3.验证「= 3适合上式， •••当n 为正偶数时故答案为：2n - 2n+3.【答案】 I【解析】2 2x - axX + ax，再根据f (X )为奇函数，可得出3-4n 【点睛】本题考查数列通项公式，考查利用数列的前n 项和求数列的通项公式，是中档题.是奇函数，那么【分析】 求 f (— X )(一工+ 1)。

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故选【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。

3.已知，若，则下列不等式一定成立的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立=≤≤=≤≤故选：B．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．4.若，且，，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离。

的最大值是，最小值为.故选：D二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5.已知集合，集合，则_____．【答案】【解析】6.若复数，其中是虚数单位，则______．【答案】25【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的公式计算得答案．【详解】由，得，则．故答案为：25．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数模的求法，是基础题．7.函数，则______．【答案】0【解析】【分析】先根据函数的解析式求出f（﹣1）的值，再求出f[f（﹣1）]即可【详解】所以故答案为0【点睛】本题考查求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．8.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系式，求得的值.【详解】根据同角三角函数关系式得.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题，要注意有两个解.9.已知数列的前项和为，则数列的通项公式______．【答案】【解析】【分析】由，当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，即可得出．【详解】当，且时，，又，满足此通项公式，则数列的通项公式．故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．10.已知实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为_____．【答案】【解析】先作可行域，如图三角形ABC及其内部，则直线过点A(2,0)取最大值6，过点B(0,1)取最小值1，所以取值范围为点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11.已知函数，若其图象关于直线对称，则直线的倾斜角______．【答案】【解析】【分析】化简函数y＝a sin2x+b cos2x为一个角的函数形式，利用x是函数y＝a sin2x+b cos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角．【详解】∵函数(不全为0)的图象关于直线对称，设，，∴，当时，，∴，不妨取时，得；∴，，解得，；∴直线：可化为：，它的斜率为，∴倾斜角是；故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数性质，两角和的正弦公式，直线倾斜角，熟记三角函数性质及公式是关键，是综合题目．12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为，所以表面积最小值为点睛：本题主要考察空间几何体，而柱体的外接球球心即为体对角线的中点位置13.已知，且，那么展开式中的常数项为______．【答案】-20【解析】【分析】由题意令x＝1，可得n＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【详解】∵已知，且，∴令，可得，∴，那么的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：﹣20．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．14.已知正实数满足，则的最小值为______．【答案】55【解析】【分析】由题可得y0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y＝3x+y+42＝3x42＝331，再利用基本不等式的性质即可得出．【详解】∵正实数满足，∴，，解得．则，当且仅当时取等号．∴的最小值为55．故答案为：55．【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，AC：由得，16.过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】设P（t，2﹣t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，，故线段的中点，∴点到直线的距离，∵，∴，∴，∴，∴，即故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17.在中，分别为角的对边，已知（I）求角的值；（II）若，求得取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由，得，解得，得到结果；（2）由余弦定理易得：，即，又，从而得到又因为，求得结果.试题解析：（I）由，得，即，解得.因为，所以.（II），，又因为，所以点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.在如图所示的组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与重合的一个点．(Ⅰ)若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成角的大小；(Ⅱ)当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可【详解】（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，设圆柱的底面半径为，即，，在△中，，又所以直线与所成角的大小等于.（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，，且平面，，，∴.【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．19.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在CN上，规划在小路MN与AP 的交点O(O与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米4万元．（Ⅰ）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；（Ⅱ）设, 求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ），小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元. 【解析】【分析】（Ⅰ）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用. （Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令，将其变形为，利用辅助角公式可得，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.【详解】（Ⅰ）在中，，即，故或（舎去），故，所以段的建筑费用为万元.（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，故，，设小路和段的建造总费用为，则，令，且，，即.由，得，故，即或（舍去）.当时，，故，其中，故由，符合题意.答：，小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.【点睛】把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.求形如的函数最值，可将该函数转化为形如的方程，利用得到的取值范围，验证等号能成立后可得函数的最值.20.过抛物线(其中)的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．(1)求抛物线的方程；(2)当时，求的值；(3)对于轴上给定的点(其中)，若过点和两点的直线交抛物线的准线点，求证：直线与轴交于一定点．【答案】（1）；（2）1；（3）见解析.【解析】【分析】（1）设直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得p＝4，即得抛物线方程；（2）推理证明=，整理即可得到所求值；（3）设A（，y1），B（，y2），P（﹣2，s），运用三点共线的条件：斜率相等，可得s，设AP交x轴上的点为（t，0），运用韦达定理，化简整理可得所求定点．【详解】(1)过抛物线(其中)的焦点的直线为，代入抛物线方程，可得，可设，即有，解得，可得抛物线的方程为；(2)由直线过抛物线的焦点，由（1）可得，将代入可得；(3)证明：设，，，由三点共线可得，可得，①设交轴上的点为，即有，代入①，结合，可得，即有，可得．即有直线与轴交于一定点．【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线定义，韦达定理的应用，考查化简运算能力，属于难题．21.已知数列{a n}为等比数列，公比为为数列{a n}的前n项和.（1）若求;（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；（3）是否存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）17（2）（3）【解析】试题分析：（1）先根据条件求公比，再利用等比数列求和公式求比值（2）分类讨论三个数成等差情况，依次求出对应公比（3）化简不等式得，代入n=1得，代入n=2得，再由，得试题解析：解：（1）因为所以，所以或（舍去）．所以（2）若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若或成等差数列，则，解得或1（舍去）；若成等差数列，则，解得（舍去）.综上，（3）由，可得，故等价于恒成立. 因为所以得到当时，不可能成立. 当时，另，得，解得因为，所以即当时，，所以不可能成立.当时，由，即，所以即当时，不成立.当时，所以当时，恒成立. 综上，存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立,的取值范围为.。

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