解析几何初步复习(直线与圆)
解析几何中的直线与圆的方程与关系
解析几何中的直线与圆的方程与关系直线与圆是解析几何中最基本的几何图形之一，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
本文将讨论直线与圆的方程及它们之间的关系。
一、直线的方程直线的方程有多种表示方法，其中最常用的是一般式和点斜式。
1. 一般式方程直线的一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A与B不全为零。
这种形式的方程可以描述任意一条直线，但不唯一。
例如，直线L1过点（2，3）和（4，5），我们可以通过以下步骤得到其一般式方程：1) 计算斜率k = (5 - 3) / (4 - 2) = 1；2) 代入其中一点的坐标（2，3），得到 2A + 3B + C = 0；3) 代入另一点的坐标（4，5），得到 4A + 5B + C = 0。
因此，直线L1的一般式方程为2A + 3B + C = 0或4A + 5B + C = 0。
2. 点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y1 = k(x - x1)，其中（x1，y1）为已知点，k为斜率。
这种形式的方程描述了一条直线及其斜率，方便进行几何推导。
例如，直线L2过点（2，3）且斜率为2，我们可以得到其点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
二、圆的方程圆的方程有多种表示方法，最常见的是标准式和一般式。
1. 标准式方程圆的标准式方程表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中（h，k）为圆心坐标，r为半径长度。
标准式方程可以直接表达圆的几何特征。
例如，圆C1的圆心为（2，3），半径为4，它的标准式方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 16。
2. 一般式方程圆的一般式方程表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
这种形式的方程也可用于描述圆。
例如，圆C2的圆心为（-3，4），半径为5，我们可以通过以下步骤得到其一般式方程：1) 将圆心代入方程中，得到(-3)² + 4² + D(-3) + E(4) + F = 0；2) 代入半径的平方值，得到9 + 16 - 3D + 4E + F = 25。
解析几何中的直线和圆
解析几何中的直线和圆引言：解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形与坐标系的关系。
其中，直线和圆是解析几何中最基本的图形，它们在几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
本文将对解析几何中的直线和圆进行深入解析，探讨它们的性质、特点以及应用。
一、直线的性质与表示方法1. 直线的定义直线是两点之间的最短路径，它没有宽度和长度。
在解析几何中，直线可以用一元一次方程表示，即y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
2. 直线的斜率直线的斜率是直线上两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率可以用来描述直线的倾斜方向和程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线水平。
3. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点坐标。
直线与x轴的交点称为x截距，直线与y轴的交点称为y截距。
直线的截距可以通过方程的形式直接读出。
4. 直线的性质直线的性质包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1；两条直线相交的条件是它们的斜率不相等。
二、圆的性质与表示方法1. 圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的方程圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
标准方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
3. 圆的性质圆的性质包括切线、弦、弧等。
切线是与圆相切且与圆的半径垂直的直线；弦是圆上任意两点之间的线段；弧是圆上两点之间的弯曲部分。
圆的切线与半径的夹角是直角。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系包括相离、相切和相交。
当直线与圆没有交点时，它们相离；当直线与圆有且仅有一个交点时，它们相切；当直线与圆有两个交点时，它们相交。
解析几何中的直线与圆
解析几何中的直线与圆解析几何是几何学的分支之一，它将代数工具引入几何问题的研究中，通过坐标系的建立以及运用代数的方法，使几何问题能够用代数的语言来描述和解决。
在解析几何中，直线和圆是两个基本的几何元素，它们之间的关系和性质是解析几何的重要内容之一。
本文将针对直线和圆的关系进行解析几何分析。
一、直线与圆的位置关系在解析几何中，直线与圆的位置关系有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线与圆不相交。
1. 直线与圆相切当一条直线与圆相切时，直线与圆的切点是直线上距离圆心最近的点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，其中(a,b,c,p,q,r为已知常数)，则直线与圆相切的条件是：|ap+bq+c|/√(a^2+b^2) = r。
2. 直线穿过圆当一条直线穿过圆，即直线与圆有两个交点。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2，则直线穿过圆的条件是：(ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2)。
3. 直线与圆不相交当直线与圆不相交时，有两种情况：直线在圆的外部，直线在圆的内部。
设直线的方程为ax+by+c=0，圆的方程为(x - p)^2 + (y - q)^2 =r^2，则当(ap+bq+c)^2 < (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的外部；当 (ap+bq+c)^2 > (a^2+b^2)(p^2+q^2-r^2) 时，直线在圆的内部。
二、直线与圆的运算在解析几何中，直线和圆的运算包括直线与直线的位置关系、直线与直线的交点、直线与圆的交点等。
1. 直线与直线的位置关系两条直线的位置关系可以通过它们的方程来判断。
设直线1的方程为a1x + b1y + c1 = 0，直线2的方程为a2x + b2y + c2 = 0，则直线1与直线2的位置关系有以下几种情况：相交（斜交或垂直交）、平行、重合。
高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用
高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用高一数学重要知识总结：解析几何中的直线与圆的性质与应用解析几何是高中数学中的重要部分，涉及到直线、圆等几何元素的性质与应用。
掌握解析几何的基本概念和方法，将对我们在数学学习中的思维能力和问题解决能力起到很大的提升作用。
本文将重点总结直线与圆的性质以及在解析几何中的应用。
一、直线的性质在解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。
直线可以通过确定两个点来定义，也可以用解析式表示。
下面是直线的主要性质：1. 两点确定一条直线：直线可以通过确定两个不重合的点来确定。
2. 两直线相交于一点或平行：两直线相交于一点时，称其为交点；两直线不相交时，称其为平行。
3. 直线的斜率：直线的斜率用k表示，斜率表示了直线的倾斜程度。
设直线上两点为A（x₁，y₁）和B（x₂， y₂），则直线的斜率k等于∆y/∆x=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
4. 垂直直线的斜率之积为-1：垂直的两条直线斜率之积为-1，即k₁x k₂ = -1。
二、圆的性质圆是解析几何中的另一个重要几何元素。
圆可以通过确定圆心和半径来定义，也可以用解析式表示。
下面是圆的主要性质：1. 圆的标准方程：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 弦和弧：弦是圆上两点间的线段，弧是弦所对应的圆上的一段路径。
弧可以通过角度或弧长来度量。
3. 切线与法线：切线是与圆相切于一点的直线，与圆的切点处切线垂直于半径。
法线是切线的垂直线。
4. 直径与半径：直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径等于半径的两倍。
三、直线与圆的应用直线与圆的性质可以应用于解析几何中的许多问题，例如：1. 确定直线与圆的位置关系：通过判断直线与圆的交点数来确定直线与圆的位置关系。
如果直线与圆相交于两个不同的点，则直线与圆相交；如果直线与圆相交于一个点，则直线与圆相切；如果直线与圆没有交点，则直线与圆相离。
解析几何初步4
第4讲 │ 要点探究
[解答] (1)当 k＝1 时，两圆的方程为 C1：x2＋y2＋2x＝0， C2：x2＋y2＋4y＋3＝0，即 C1：(x＋1)2＋y2＝1，C2：x2＋(y ＋2)2＝1， 圆心分别为 C1(－1,0)， 2(0， C －2)， 半径 r1＝r2＝1， ∵|C1C2|＝ 5，|C1C2|>r1＋r2＝2，∴两圆外离． (2)两圆的标准方程为 C1：(x＋k)2＋y2＝1，C2：x2＋(y ＋k＋1)2＝1， ∴圆心为 C1(－k,0)，C2(0，－k－1)，
[思路] (1)通过半径的和或差与圆心距的大小的比较， 得出两圆的位置关系；(2)将圆心距表示为 k 的函数，求其 最小值； (3)根据∠AC1B＝60° 和两圆半径相等可以得出四边 形 AC1BC2 是菱形，于是可以求得|C1C2|的长，进而求出参 数 k，再将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程．
第4讲 │ 要点探究
2 2 9 x1＋y1＝ ， 3 5 20 即 .从而得方程组 10 2x1－4y1＋3＝0， 解得满足条件的点 P
3 3 坐标为－ ， . 10 5
[点评] 圆的切线问题常用圆心到直线的距离等于半径 解决；求过某点的圆的切线问题，首先确定定点与圆的位 置关系，若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆外，则 过该点的切线有两条，同时求解时应注意斜率不存在的直 线．切线长、半径、点到圆心的距离以及点到切点的距离 构成的图形是易考点，如下面变式题：
第4讲 │ 要点探究
► 探究点2 圆的切线问题
例 2 已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若 C 的切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求 此切线方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为 M， O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的 P 点的坐标．
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。
2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。
3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。
4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。
圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。
2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。
3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。
4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。
5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。
理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。
解析几何中的直线与圆
解析几何是几何学中的一门重要分支，主要研究点、线、面等几何元素之间的关系以及它们的性质。
在解析几何中，直线和圆是两个基本的几何图形，它们之间的相互关系和性质也是解析几何研究的重点之一。
直线是由无数个点连成的一条线段，而圆则是一个平面上到定点距离相等的点的集合。
直线和圆虽然形状截然不同，但它们在解析几何中的联系却非常密切。
首先，直线和圆可以相交。
当直线与圆相交时，可以产生三种情况：一是直线与圆相切，此时直线只和圆有一个公共点；二是直线与圆相交于两个点，此时直线穿过圆的内部；三是直线与圆没有交点，此时直线与圆相离。
其次，直线和圆之间有着几何量的关系。
例如，直径是连接圆上两个点并通过圆心的线段，在直线上的任意两点所成的线段若与圆相交，则其交点的连线也必然是直径；此外，直线与圆相交时，交点和圆心之间的连线与直线所成的角度等于交点的两个切线所成的角度的一半。
在计算直线和圆的交点时，可以利用坐标系和方程来解决。
将直线和圆的方程代入坐标系中，得到一个联立方程组，通过求解此方程组，可以求得直线和圆的交点坐标。
此外，直线和圆也可以通过几何变换相互关联起来。
例如，通过平移、旋转、镜像等几何变换，可以将直线变换成圆，或者将圆变换成直线。
这些变换不仅改变了几何图形的位置和形态，还保持了直线和圆之间的相对关系。
在实际应用中，直线和圆的相互关系经常被用于问题的求解。
例如，在工程设计中，常常需要确定一个点到给定直线或圆的距离，或者找到与直线或圆相切的直线等。
这些问题的解决需要借助解析几何中直线和圆的相互关系和性质。
总之，解析几何中的直线和圆是两个基本的几何图形，它们之间的相互关系和性质在解析几何的研究中占据了重要地位。
通过对直线和圆的研究和分析，我们可以深入理解几何图形的性质和几何问题的本质，为求解实际问题提供有力的工具和方法。
解析几何专题02直线与圆
解析几何专题02直线与圆学习目标（1）正确理解圆的标准方程与一般方程；能规范地运用“待定系数法”求圆的方程；（2）明确直线与圆的位置关系，并能够熟练地利用几何法判断直线与圆的位置关系；（3）能够根据具体条件选择适当的方法正确求解圆的弦长、切线以及有关最值问题。
知识回顾及应用1．圆的方程(1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程2．直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系的判断(2) 直线与圆相交产生的弦长问题的一般处理思路 (3) 直线与圆相切产生的切线问题的一般处理思路 (4) 直线与圆相离产生的最值问题的一般处理思路 3．应用所学知识解决问题：【题目】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:C x 2＋y 2＝4，直线:l 12x －5y ＋30＝0，则曲线C 与直线l 的位置关系是 相离 。
【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:C x 2＋y 2＝4和直线:l 12x －5y ＋c ＝0有且只有一个公共点，则实数c 的值是________．26±【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:C x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线:l 12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．(－13,13)【变式3】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:C y =点到直线:l 12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[11,13)问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】求圆的方程以及圆的弦长问题例1．根据下列条件，求圆的方程：三个独立条件确定一个圆。
在求圆的方程时，常采用“待定系数法”：根据条件选择适当的圆的方程形式（与圆心有关的问题常常设“圆的标准方程”；三点圆问题常常设“圆的一般方程”），再根据条件列方程（组）并解之。
(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题 意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，(3－x 0)2＋(－2－y 0)2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.练习：(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．则圆C 的方程是 ．(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________．答案：(1) 226210x y x y +--+= (2) (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244【类型二】圆的切线问题过圆上一点作圆的切线有且只有一条，常利用“圆心与切点连线垂直于切线”求切线斜率；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，常利用“圆心到切线距离等于半径”求例2．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．解(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.练习：已知圆C ：222440x y x y +---=.（Ⅰ）设圆C 与x 轴交于A 、B 两个点，求线段AB 的长; (Ⅱ) 过点(4,3)作圆C 的切线，求切线的方程.（Ⅰ）圆C 的标准方程为22(1)(2)9x y -+-=，设D 为AB 的中点，则2CD=,3AC =,则在直角三角形ACD中，AD =则2AB AD == .(Ⅱ)易知点(4,3)在圆的外部，故所求切线有两条，画图可知，过(4,3)作圆C 的切线一条为4x = . 设过(4,3)的圆C 的另一条切线方程为3(4)y k x -=-，根据点到直线距离公式，3=，解得43k =-，整理得切线方程为43250x y +-=．【类型三】圆的最值问题例3已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝3.(1)【方法一】y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，圆的最值问题主要有两种处理方式：（1）三角代换： 如，根据圆的方程222()()(0)x a y b r r -+-=>可设cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数；（2）几何转化：转化为“与圆心有关”的问题。
平面解析几何中的直线与圆的性质
平面解析几何中的直线与圆的性质在平面解析几何中，直线和圆是两个重要的基本图形。
直线具有许多独特的性质，而圆也有其独特的性质。
本文将分别探讨直线和圆的性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、直线的性质直线是平面上最简单的图形之一，具有以下几个重要性质：1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的，其中任意两点可以确定一条唯一的直线。
2. 直线的无限延伸性：直线没有起点和终点，可以无限延伸。
3. 直线的直角：直线可以与其他直线或线段相交，形成直角。
4. 直线的斜率：直线上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其斜率为m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
5. 直线的截距式方程：直线上的一点为(x₁, y₁)，在直线上的任意一点(x, y)，直线的方程可以表示为 y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
二、圆的性质圆是平面上的一条曲线，具有以下几个重要性质：1. 圆的定义：圆是平面上一组到定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。
2. 圆心和半径：圆心是到圆上任意一点距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的直径：圆上任意两点间的线段，经过圆心的线段称为圆的直径，直径是圆半径的2倍。
4. 圆的弦：圆上任意两点间的线段。
5. 圆的切线：与圆相切并且只与圆相切于一个点的线段。
6. 圆的面积和周长：圆的面积公式为A = πr²，周长公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π≈3.14。
综上所述，直线和圆是平面解析几何中的重要概念。
直线具有无限延伸性和直角等性质，可以通过斜率和截距式方程来描述。
而圆则是由到定点距离相等的所有点组成的曲线，具有圆心、半径、直径等重要性质。
对于解析几何中的直线和圆的性质的理解和运用，对于解决许多几何问题具有重要的意义。
希望本文对您的学习和理解有所帮助。
感谢阅读！。
解析几何复习系列之五(直线和圆)
直线和圆【复习要点】1、直线与圆的位置关系：相交、相切、相离判断方法：（1）代数法；把直线方程与圆方程联立方程组，消去一个未知数，转化成关于x （或y ）的二元一次方程，再利用“∆”来判断.0∆>⇔直线与圆相交；0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离. （2）几何法：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小.d r <⇔直线与圆相交；d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离. 2、直线与圆相交时，圆的弦长的求法：常用弦心距d 、弦长的一半2l 、圆的半径r 所构成的直角三角形来解.3、点与圆的位置关系：已知点00(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=（0r >）点M 在圆外⇔22200()()x a y b r -+->；点M 在圆上⇔22200()()x a y b r -+-=；点M 在圆内⇔22200()()x a y b r -+-<4、圆与圆的位置关系的判定，利用两圆的圆心距与两半径的关系5、两圆相交弦所在的直线方程：若圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++=相交，则相交弦所在的直线方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=提醒：研究直线与圆、圆与圆的位置关系的时候，要充分发挥平面几何知识的作用. 【强化训练】1、直线2y kx =+与圆22(2)(3)1x y -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 2、圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为3、已知点00(,)P x y 在圆222x y r +=内且不与圆心重合，则直线200x x y y r +=与圆的位置关系是4、圆2244100x y x y +---=上点到直线140x y +-=的最大距离为5、过点)1,1(-的直线被圆0222=-+x y x 截得的弦长为2，则此直线的方程为6、圆4)2(22=+-y x 与圆122=+y x 的公共弦所在的直线方程是7、圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 个8、过圆054222=--++y x y x 与直线042=++y x 的两个交点，且面积最小的圆的面积是 9、过圆0126422=-+-+y x y x 内一点)2,4(-A 作圆的弦，则这些弦的中点的轨迹方程是10、曲线1y =+(－2≤x ≤2)与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，则实数k 的取值范围是 11、设圆上的点)3,2(-A 关于直线02=+y x 的对称点仍在这个圆上，且与直线01=+-y x 相交的弦长为22，求圆的方程。
解析几何中的直线与圆相关知识
解析几何中的直线与圆相关知识在数学的广袤领域中，解析几何如同一座桥梁，将代数与几何紧密相连，为我们揭示了图形与方程之间的奇妙关系。
其中，直线与圆作为最基本、也是最常见的几何图形，它们的相关知识在解析几何中占据着重要的地位。
首先，让我们来聊聊直线。
直线是一种最简单、最直观的几何图形，它可以向两端无限延伸。
在平面直角坐标系中，我们可以用多种方式来表示直线。
其中，最常见的是直线的点斜式方程。
如果我们知道直线上的一个点$（x_0, y_0)＄以及直线的斜率$k$，那么直线的点斜式方程就是$yy_0 ＝ k(x x_0)＄。
比如，已知直线经过点$（1, 2)＄，斜率为 3，那么直线方程就是$y 2 ＝ 3(x 1)＄。
直线的斜截式方程也很常用，形如$y ＝kx ＋b$，其中$k$是斜率，＄b$是直线在$y$轴上的截距。
通过这个方程，我们可以很直观地看出直线的斜率和与$y$轴的交点。
另外，还有直线的一般式方程$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$，其中$A$、＄B$不同时为 0 。
这种形式在解决一些综合性问题时非常有用。
接下来，我们说一说圆。
圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
在平面直角坐标系中，如果圆心坐标为$（a, b)＄，半径为$r$，那么圆的标准方程就是$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$。
比如，圆心在原点$（0, 0)＄，半径为 5 的圆，其方程就是$x^2 ＋ y^2 ＝ 25$。
圆的一般方程是$x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$，但需要注意的是，它表示圆的条件是$D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$。
直线与圆的位置关系也是解析几何中的一个重要内容。
我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的大小来判断直线与圆的位置关系。
当$d ＞ r$时，直线与圆相离，也就是说直线与圆没有交点；当$d ＝ r$时，直线与圆相切，此时直线与圆只有一个交点；当$d ＜ r$时，直线与圆相交，直线与圆有两个交点。
直线与圆知识点归纳高三
直线与圆知识点归纳高三直线与圆知识点归纳直线和圆是解析几何中常见的两种几何图形，它们有着丰富的性质和联系。
本文将对直线和圆的相关知识点进行归纳总结，帮助高三学生复习和掌握这一部分内容。
一、直线的定义和性质1. 直线的定义：直线是由无数个点连成的路径，它没有宽度和长度，可以无限延伸。
2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点可以确定一条直线；(2) 任意一条直线可以通过两个点确定；(3) 直线可以延伸到无穷远，也可以延伸到无穷近。
二、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离某一点固定距离的所有点构成的图形。
2. 圆的性质：(1) 圆上任意两点都在圆周上；(2) 圆心到圆周上的任一点的距离都相等，称为半径；(3) 圆的直径是通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，长度为半径的两倍；(4) 圆的周长是圆周的长度，记作C，公式为C = 2πr，其中r 为半径；(5) 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，记作S，公式为S = πr²。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系：(1) 直线可与圆相交，相切或不相交；(2) 如果直线与圆相交，可能有两个交点，一个交点或没有交点；(3) 如果直线与圆相切，有且只有一个切点；(4) 如果直线不与圆相交或切，那么直线与圆之间的距离等于直线到圆心的距离。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) 利用勾股定理：如果直线与圆的距离小于半径，那么直线与圆相交；如果直线与圆的距离等于半径，那么直线与圆相切；如果直线与圆的距离大于半径，那么直线与圆不相交也不相切。
(2) 利用方程求解：已知直线和圆的方程，将直线方程代入圆的方程中，求解得到交点或切点。
四、直线和圆的相关定理1. 直径定理：如果一条直线通过圆的圆心，并且两个端点都在圆上，那么这条直线的长度等于圆的直径。
2. 切线定理：过圆外一点引一条直线与圆相交，那么这条直线与圆的切点到圆心的线段垂直于直线。
3. 弦切角定理：相交弦所夹的圆心角等于它们所对的弧所夹的圆心角的一半。
解析几何中的直线与圆的性质
解析几何中的直线与圆的性质直线和圆是解析几何中两种基本的几何概念，它们在平面上具有各自独特的性质和特点。
本文将深入探讨直线和圆的性质，并详细介绍它们之间的关系。
1. 直线的性质直线是由连续点组成的无限长的几何图形。
在解析几何中，直线具有以下性质：1.1 直线上的任意两点可以确定一条直线。
这是直线的基本定义，直线上的两点之间的线段被认为是直线的一部分。
1.2 任意两条不重合的直线，要么相交于一个点，要么平行于一条直线。
这是直线的平行性质，也是解析几何中的基本定理之一。
2. 圆的性质圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的闭曲线。
在解析几何中，圆具有以下性质：2.1 圆上的任意一点到圆心的距离都相等。
这是圆的基本定义，圆的半径就是从圆心到圆上任意一点的距离。
2.2 圆上的直径是圆上任意两点之间的线段，同时也是通过圆心的直线的长度的两倍。
圆的直径还具有特殊性质，任意两条以圆心为端点的弦的中垂线都通过圆心。
3. 直线与圆的关系在解析几何中，直线与圆的关系有以下几种情况：3.1 直线与圆相切。
当一条直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点，这个交点就是切点。
切线与圆的切点处相切，并且垂直于通过切点的半径。
3.2 直线与圆相交。
当一条直线和圆有两个交点时，这条直线称为圆的割线。
割线与圆相交于两个点，并与通过这两个交点和圆心的半径构成一个三角形。
3.3 直线与圆外切。
当一条直线与圆外切时，直线与圆的切点处相切，并且直线垂直于通过切点的半径。
3.4 直线与圆内切。
当一条直线与圆内切时，直线与圆只有一个交点，这个交点就是切点。
切线与圆的切点处相切，并且直线垂直于通过切点的半径。
从上述性质和关系可以看出，直线和圆在解析几何中有着密切的联系。
通过直线与圆的关系，我们可以推导出许多有关直线和圆的重要结论，并应用于实际问题的解决。
结论：直线和圆是解析几何中的基本概念，它们具有各自的性质和特点。
在解析几何中，直线与圆之间有着密切的关系，包括相切、相交、内切和外切等情况。
解析几何初步第9课时--直线与圆的位置关系
第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程§2.3.1 直线与圆的位置关系【预习导航】1.若设直线与圆的交点个数为n ,则有:0n =⇔直线与圆______；1n =⇔直线与圆______； 2n =⇔直线与圆______.2.若设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,则有:d r <⇔直线与圆______； d r =⇔直线与圆______； d r >⇔直线与圆______. 【基础自测】1.直线3450x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 2.直线3460x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 3.直线3450x y ++=与圆222x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 4.若直线3410x y +=与圆22x y m +=相离,则实数m 的取值范围为( )A.2m >B.4m >C.02m <<D.04m <<【典例剖析】题型1: 直线与圆位置关系的判定 例1 已知直线y x m =+与圆222x y +=,求实数m 的取值范围,直线与圆有两个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点？ [思路分析]判断直线与圆的位置关系,可以利用交点个数判断,也可以利用圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断. [解法一]由方程组222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得:222220x mx m ++-=.令22(2)42(2)4(2)(2)m m m m ∆=-⋅⋅-=--+ 则当0∆>,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当0∆=,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当0∆<,即2m <-或2m >时,直线与圆无公共点. [解法二]由题意可知圆的半径为2r =,且圆心到直线的距离为||2m d =.则当d r <,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当d r =,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当d r >,即2m <-或2m >时,直线与圆无公共点.[规律技巧]直线与圆位置关系的判断可以从代数角度、几何角度分别进行.但具体到某一题目时,往往需要我们选择一种相对简捷的方法,这需要同学们多体会如何选择. [变式训练]若直线2210x y m -+-=与圆225x y +=有公共点,则实数m 的取值范围为________.题型2: 直线与圆相切的问题例2 已知过点(2,3)-且与圆229x y +=相切的直线方程.[思路分析]直线与圆相切意味着直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的两个实数根相等,或者是圆心到直线的距离与圆半径相等.[解法一]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由方程组22(2)39y k x x y =--⎧⎨+=⎩可得:222(1)2(23)(23)90k x k k x k +-+++-=.令222(2(23))4(1)((23)9)k k k k ∆=⋅+-++-224(9(1)(23))k k =+-+ 24(512)k k =-由直线与圆相切得0∆=,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为: 3y =-或125390x y --=.[解法二]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由题意知圆心为(0,0),半径为3,圆心到直线的距离为2|23|1k d k +=+.由直线与圆相切得2|23|31k k +=+,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为:3y =-或125390x y --=.[规律技巧]直线的斜率存在与否,在设直线时一定要注意讨论.另外,直线与圆的相切问题仍需关注代数与几何两个角度的求解思路.[变式训练]圆C :222()()x a y b r-+-=上点00(,)P x y 处的切线方程为________.题型3: 有关弦长的问题例3 求过点(6,4)P -且被圆2220x y +=截得弦长为62的直线方程.[思路分析]设出直线的方程,再根据弦长列方程求解即可.[解]由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(6)4y k x =-+,又由圆的半径为20,弦长为62,故圆心到直线距离为222|64|(20)(32)1k d k +=-=+,整理得:2172470k k ++=,解得:1k =-或717k =-.从而可得直线的方程为: 20x y +-=或717260x y ++=.[规律技巧]在解决直线与圆相交的有关问题时,首先考虑半径、弦长、弦心距之间的关系,然后利用由此得到的等量关系建立方程进行求解,往往可以简化运算.当然,本题也可以利用直线与圆的方程,结合韦达定理和弦长公式建立方程求解.[变式训练]求经过点(5,5)P ,且被圆2225x y +=截得弦长为45的直线方程.题型4: 直线与圆的综合问题例 4 求过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点,且面积最小圆的方程.[思路分析]利用相交圆系的知识,求半径的最小值；求直线与圆的交点,用直径式写出圆的方程.[解法1]设过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:22241(24)0x y x y x y λ++-++++=整理得222(1)(4)140x y y λλλ+++--++= 要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(1)(4)4(14)2r λλλ=++--+ 21516162λλ=-+218165()255λ=-+ 11625255≥=. ∴圆的方程是222612370555x y x y ++-+=． [规律技巧]本题中涉及到了两个重要知识点.(1)若圆的一条直径的两个端点坐标分别为111(,)P x y ,222(,)P x y ,则圆的方程为：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.(2)过圆221110x y D x E y F ++++=和直线0Ax By C ++=的交点的圆的方程为: 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.[变式训练]求过圆2260x y x ++=和直线240x y ++=交点,且面积最小圆的方程.【课时作业】 一、选择题1.若2222()c a b =+,则直线0ax by c ++=与圆224x y +=的位置关系是( ) A.相离 B.相交且过圆心 C.相切 D.相交但不过圆心 2.过点(2,0)-,且与圆221x y +=相切的直线的斜率为( )A.1±B.12± C.33± D.3±3.过坐标原点,且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=截得的弦长为( )A.23B.6C.2D.3 4.过点(1,3)-,且与圆2210x y +=相切的直线的方程为( )A.3100x y -+=B.360x y -+=C.380x y +-=D.30x y +=二、填空题5.以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是为______．6.圆22(1)(1)9x y -++=与直线3412x y +=的位置关系是______.7.过坐标系第一象限内的定点(,)M a b ,且与两坐标轴均相切的圆的个数为______. 8.若直线l 的斜率是1,被圆224x y +=截得的弦长是2,则l 的方程为______．三、解答题9．已知圆C :22(12)(5)169x y -+-=和圆内一点(13,6)P ,过点P 作直线l ,设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若AP PB =,求直线l 的方程.10.自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在的直线方程.第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程§2.3.1 直线与圆的位置关系【预习导航】1.若设直线与圆的交点个数为n ,则有:0n =⇔直线与圆______；1n =⇔直线与圆______； 2n =⇔直线与圆______.2.若设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,则有:d r <⇔直线与圆______； d r =⇔直线与圆______； d r >⇔直线与圆______.参考答案:1.相离,相切,相交. 2.相交,相切,相离.【基础自测】1.直线3450x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 2.直线3460x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 3.直线3450x y ++=与圆222x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能4.若直线3410x y +=与圆22x y m +=相离,则实数m 的取值范围为( ) A.2m > B.4m > C.02m << D.04m << 参考答案: 1.B 2.C 3.A 4.D【典例剖析】题型1: 直线与圆位置关系的判定 例1 已知直线y x m =+与圆222x y +=,求实数m 的取值范围,直线与圆有两个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点？ [思路分析]判断直线与圆的位置关系,可以利用交点个数判断,也可以利用圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断. [解法一]由方程组222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得:222220x mx m ++-=.令22(2)42(2)4(2)(2)m m m m ∆=-⋅⋅-=--+ 则当0∆>,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当0∆=,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当0∆<,即2m <-或2m >时,直线与圆没有公共点.[解法二]由题意可知圆的半径为2r =,且圆心到直线的距离为||2m d =.则当d r <,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当d r =,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当d r >,即2m <-或2m >时,直线与圆没有公共点.[规律技巧]直线与圆位置关系的判断可以从代数角度、几何角度分别进行.但具体到某一题目时,往往需要我们选择一种相对简捷的方法,这需要同学们多体会如何选择. [变式训练]若直线2210x y m -+-=与圆225x y +=有公共点,则实数m 的取值范围为________. 解:由方程组2222105x y m x y -+-=⎧⎨+=⎩得:2254(21)(21)50y m y m --+--=.令22(4(21))20((21)5)m m ∆=----24(25(21))m =--由于直线与圆有两个公共点,故0∆≥,从而可求得:23m -≤≤. 题型2: 直线与圆相切的问题例2 已知过点(2,3)-且与圆229x y +=相切的直线方程.[思路分析]直线与圆相切意味着直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的两个实数根相等,或者是圆心到直线的距离与圆半径相等.[解法一]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由方程组22(2)39y k x x y =--⎧⎨+=⎩可得:222(1)2(23)(23)90k x k k x k +-+++-=.令222(2(23))4(1)((23)9)k k k k ∆=⋅+-++-224(9(1)(23))k k =+-+ 24(512)k k =-由直线与圆相切得0∆=,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为: 3y =-或125390x y --=.[解法二]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由题意知圆心为(0,0),半径为3,圆心到直线的距离为2|23|1k d k +=+.由直线与圆相切得2|23|31k k +=+,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为:3y =-或125390x y --=.[规律技巧]直线的斜率存在与否,在设直线时一定要注意讨论.另外,直线与圆的相切问题仍需关注代数与几何两个角度的求解思路.[变式训练]圆C :222()()x a y b r-+-=上点00(,)P x y 处的切线方程为________. 解:当0x a =时,切线的斜率必为0,此时切线方程为y b r =-或y b r =+； 当0y b =时,切线的斜率不存在,此时切线方程为x a r =-或x a r =+； 当0x a ≠,且0y b ≠时,00CP y bk x a-=-,故切线斜率为00x ay b---,由点斜式可得切线方程为0000()x ay y x x y b--=---,整理可得0000()()()()0x a x x y b y y --+--=.又由于00()()x x x a x a -=---,00()()y y y b y b -=---, 22200()()x a y b r -+-=,故切线方程为:200()()()()x a x a y b y b r --+--=.题型3: 有关弦长的问题例3 求过点(6,4)P -且被圆2220x y +=截得弦长为62的直线方程.[思路分析]设出直线的方程,再根据弦长列方程求解即可.[解]由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(6)4y k x =-+,又由于圆的半径为20,弦长为62,因此圆心到直线的距离为222|64|(20)(32)1k d k +=-=+,整理得:2172470k k ++=, 解得:1k =-或717k =-. 从而可得直线的方程为:20x y +-=或717260x y ++=.[规律技巧]在解决直线与圆相交的有关问题时,首先考虑半径、弦长、弦心距之间的关系,然后利用由此得到的等量关系建立方程进行求解,往往可以简化运算.当然,本题也可以利用直线与圆的方程,结合韦达定理和弦长公式建立方程求解.[变式训练]求经过点(5,5)P ,且被圆2225x y +=截得弦长为45的直线方程.解:由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(5)5y k x =--,又由于圆的半径为5,弦长为45,因此圆心到直线的距离为222|55|(5)(25)1k d k -=-=+,解得:2k =或12k =. 从而可得直线的方程为:250x y -+=或250x y --=.题型4: 直线与圆的综合问题例 4 求经过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=的交点,且面积最小的圆的方程.[思路分析]利用相交圆系的知识,求半径的最小值；求直线与圆的交点,用直径式写出圆的方程.[解法1]设过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:22241(24)0x y x y x y λ++-++++=整理得:222(1)(4)140x y y λλλ+++--++=要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(1)(4)4(14)2r λλλ=++--+ 21516162λλ=-+ 218165()255λ=-+11625255≥=. ∴当85λ=时,半径r 最小,这时圆的方程是222612370555x y x y ++-+=． [解法2]由22240,2410.x y x y x y ++=⎧⎨++-+=⎩解得交点112(,)55A -,(3,2)B -. 因为经过A ,B 两点,且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆,所以圆的方程是: 112()(3)()(2)055x x y y +⋅++-⋅-= 即,222612370555x y x y ++-+=． [规律技巧]本题中涉及到了两个重要知识点.(1)若圆的一条直径的两个端点坐标分别为111(,)P x y ,222(,)P x y ,则圆的方程为：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.(2)过圆221110x y D x E y F ++++=和直线0Ax By C ++=的交点的圆的方程为: 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.[变式训练]求经过圆2260x y x ++=和 直线240x y ++=的交点,且面积最小的 圆的方程.解:由题意可设经过圆2260x y x ++=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:226(24)0x y x x y λ+++++=整理得:222(3)40x y x y λλλ+++++=要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(3)162r λλλ=++- 2154362λλ=-+ 2121765()255λ=-+1176411255≥=. 故当25λ=时,半径r 最小,这时圆的方程是2234280555x y x y ++++=． 【课时作业】 一、选择题1.若2222()c a b =+,则直线0ax by c ++=与圆224x y +=的位置关系是( ) A.相离 B.相交且过圆心 C.相切 D.相交但不过圆心 答案:D 由题意可知圆心到直线的距离为22||22c d a b==<+,又由题意知0c ≠,故直线与圆相交,但不过圆心.2.过点(2,0)-,且与圆221x y +=相切的直线的斜率为( )A.1±B.12± C.33± D.3±答案:C 由题意设切线方程为(2)y k x =+,联立直线与圆的方程,消去y 可得一元二次方程2222(1)4410k x k x k +++-=,再由判别式为0可求得33k =±.另,本题也可以利用平面几何知识求解.3.过坐标原点,且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=截得的弦长为( )A.23B.6C.2D.3 答案:A 由题意知直线方程为3y x =,从而圆心(0,2)到直线的距离为2113d ==+,又由于圆的半径为2r =,因此截得的弦长为2222123-=.4.过点(1,3)-,且与圆2210x y +=相切的直线的方程为( )A.3100x y -+=B.360x y -+=C.380x y +-=D.30x y += 答案:A 由于点(1,3)-在圆2210x y +=上,切线方程为1310x y -⋅+=,整理即得解.二、填空题5.以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是为______． 答案:22235(2)()()22x y ++-= 直线的两截距为(4,0)-,(0,3),据圆的直径式方程整理得22235(2)()()22x y ++-=.6.圆22(1)(1)9x y -++=与直线3412x y +=的位置关系是______.答案:相交 由题意可知圆心到直线的距离|314(1)12|13355⋅+⋅--=<,故相交.7.过坐标系第一象限内的定点(,)M a b ,且与两坐标轴均相切的圆的个数为______. 答案:2 由题意可设圆的方程为:222()()x t y t t -+-=,将点(,)M a b 入方程可得2222()0t a b t a b -+++=,再由,a b 均为正实数知2224()4()80a b a b ab ∆=+-+=>,从而得解.8.若直线l 的斜率是1,被圆224x y +=截得的弦长是2,则l 的方程为______． 答案:6y x =±. 由题意可设直线l 的方程为y x m =+,则有2224d =-,其弦心距3d =,从而22|00|311m -+=+,||6m =.故直线l 的方程为6y x =±.三、解答题9．已知圆C :22(12)(5)169x y -+-=和圆内一点(13,6)P ,过点P 作直线l ,设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若AP PB =,求直线l 的方程.解:根据圆的垂径定理知6511312PC k -=-=,所以直线l 的斜率1k =-,从而直线l 的方程为190x y +-=.10.自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在的直线方程.解: 将圆224470x y x y +--+=,配方可得22(2)(2)1x y -+-=,该圆关于x 轴对称的方程是22(2)(2)1x y -++=.设直线l 的方程为:(3)3y k x =++,即330kx y k -++=与圆相切,从而有:2|2233|11k k k ⋅+++=+,即22450240k k ++=,解得43k =-,或34k =-,带入得直线方程为:4330,3430x y x y ++=+-=或. 所以直线l 所在的直线方程为4330,3430x y x y ++=+-=或.。
直线与圆(含答案)
解析几何(1)—直线与圆典例分析例1.(1)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________.(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.例2.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求 yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.例3.已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.例4．已知点A （﹣3，0），B （3，0），动点P 满足|PA |=2|PB |． （1）若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）若点Q 在直线l 1：x +y +3=0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ， 当|QM |取最小值时，求直线QM 的方程．例5．已知圆,4)4()3(:22=-+-y x C 直线1l 过定点)0,1(A . (1)若1l 与圆相切，求直线1l 的方程；(2) 若1l 与圆相交于Q P ,两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与022:2=++y x l 的交点为 N ，判断||||AN AM ⋅是否为定值，若是，求出其定值，若不是，请说明理由课后作业1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是 ( ) A.(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.(－2，0) D.⎝⎛⎭⎫－2，23 2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ( ) A.2x ＋y －5＝0B.2x ＋y －7＝0C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝03.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是 ( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有 ( ) A.1个B.2个C.3个D.4个5.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线 所在直线的斜率为 ( ) A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－346.直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A.(3，2)B.(3，3)C.⎝⎛⎭⎫33，233D.⎝⎛⎭⎫1，2337.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为 ( ) A.1B.5C.4 2D.3＋2 28.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是______；最长弦所在直线的方程为______.9.若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________.10.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.11过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的 长为________. 12．已知直线1l ：210x y -+=，直线2l ：420x y a -+=，圆C ：2220x y x +-=.若C 上任意一点P 到两直线1l ，2l 的距离之和为定值a =_______.13．已知圆22:4C x y +=，直线:0l y x t +-=，P 为直线l 上一动点，O 为坐标原点. （1）若直线l 交圆C 于,A B 两点，且23AOB π∠=，求实数t 的值； （2）若4t =，过点P 做圆的切线，切点为T ，求⋅的最小值．.14.已知直线l :4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方. (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解析几何(1)—直线与圆答案典例分析例1.(1)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________. x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(x －2)2＋y 2＝9例2.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求 yx 的最大值和最小值； 最大值为3，最小值为－ 3(2)求y －x 的最大值和最小值； 最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6 (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3例3.已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ).由题设知CM→·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， 所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.例4．已知点A （﹣3，0），B （3，0），动点P 满足|PA |=2|PB |． （1）若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）若点Q 在直线l 1：x +y +3=0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ， 当|QM |取最小值时，求直线QM 的方程．解：（1）设P 点的坐标为（x ，y ），…因为两定点A （﹣3，0），B （3，0），动点P 满足|PA |=2|PB |， 所以（x +3）2+y 2=4[（x ﹣3）2+y 2]，… 即（x ﹣5）2+y 2=16．所以此曲线的方程为（x ﹣5）2+y 2=16．…（2）因为（x ﹣5）2+y 2=16的圆心坐标为C （5，0），半径为4，则圆心M 到直线l 1的距离为，…因为点Q 在直线l 1：x +y +3=0上，过点Q 的直线l 2与曲线C ：（x ﹣5）2+y 2=16只有一个公共点M ，所以QM |的最小值为．…直线CQ 的方程为x ﹣y ﹣5=0，联立直线l 1：x +y +3=0，可得Q （1，﹣4），… 设切线方程为y +4=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k ﹣4=0，…故圆心到直线的距离，得k=0，切线方程为y=﹣4；…当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，… 因此直线QM 的方程x=1或y=﹣4．…例5．已知圆,4)4()3(:22=-+-y x C 直线1l 过定点)0,1(A . (1)若1l 与圆相切，求直线1l 的方程；(2) 若1l 与圆相交于Q P ,两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与022:2=++y x l 的交点为 N ，判断||||AN AM ⋅是否为定值，若是，求出其定值，若不是，请说明理由 (1)3x-4y-3=0或x=1(2)1|12|2||,|12|13||),123,1222(22++=++=+-+-k k AM k k AN k k k k N , ||||AN AM ⋅=6.课后作业1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是 ( D ) A.(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.(－2，0) D.⎝⎛⎭⎫－2，23 2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 ( B ) A.2x ＋y －5＝0B .2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0 D.x －2y －7＝03.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是 ( B ) A.相切B .相交 C.相离D.不确定4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有 ( C ) A.1个B.2个C .3个D.4个5.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线 所在直线的斜率为 ( D ) A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D .－43或－346.直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( D ) A.(3，2)B.(3，3)C.⎝⎛⎭⎫33，233D .⎝⎛⎭⎫1，2337.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为 ( D ) A.1B.5C.4 2D .3＋2 28.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是______；最长弦所在直线的方程为______. x ＋y －1＝0 x －y －1＝09.若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________.(1，2) x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝010.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.7411过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的 长为________.4 12．已知直线1l ：210x y -+=，直线2l ：420x y a -+=，圆C ：2220x y x +-=.若C 上任意一点P 到两直线1l ，2l 的距离之和为定值a =_______. 18- 13．已知圆22:4C x y +=，直线:0l y x t +-=，P 为直线l 上一动点，O 为坐标原点. （1）若直线l 交圆C 于,A B 两点，且23AOB π∠=，求实数t 的值； （2）若4t =，过点P 做圆的切线，切点为T ，求PT PO ⋅的最小值．.解：（Ⅰ）∵23AOB π∠=，∴圆心到直线l 的距离为1，∴t =． （Ⅱ）∵22cos 4PO PT PO PT PT PO θ⋅=⋅⋅==-uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，∴求PO PT ⋅uu u v uu u v 的最小值相当于求PO uuu v的最小值d ．d ==∴PO PT ⋅uu u v uu u v 的最小值为244-=．14.已知直线l :4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方. (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立.。
解析几何(一)
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；
第 3 页 共 3 页
2．在椭圆的两种标准方程中，都有 (a b 0) 和 c 2 a 2 b 2 ； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在 x 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (c,0) ， (c,0) ； 当焦点在 y 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (0, c) ， (0,c) 知识点三：椭圆的简单几何性质 x2 y2 以椭圆（以 2 2 1（ a b 0 ）为例） ：①范围： a x a, b y b ；②焦 a b 点：两个焦点 (c, 0) ；③对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶 点 ( a, 0), (0, b) ，其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ；④准线：
2
B
C D (a,b)
三、椭圆及其标准方程
知识点一： 1.椭圆的第一定义：平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数
( PF1 PF2 2a F1 F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两
焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：若 ( PF1 PF2 F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ；
x1 x2 y y 2 ,y 1 1 1 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤ ＜180°） 、斜率: k tan
P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
x
4. 过两点 P k 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 )的直线的斜率公式： 当 x1
直线与圆的方程复习
圆幂定理
相交两圆的连心线段垂直平分 两圆交点连线，并且等于两圆 幂之差。
圆的几何性质的应用
在几何证明、作图和计算中经 常使用。
03
直线与圆的交点
直线与圆的位置关系
相交
直线与圆有两个交点，即 直线与圆相交。
相切
直线与圆有一个交点，即 直线与圆相切。
相离
直线与圆没有交点，即直 线与圆相离。
直线与圆交点的求解方法
通过直线与圆方程，研究几何图形的性质，如对称性、中心、顶点 等。
直线与圆在实际问题中的应用
交通路线规划
利用直线与圆方程，规划交通路线，确保路线最短、时间最省。
地理信息系统
在地理信息系统中，利用直线与圆方程，进行地图绘制和地理信 息分析。
机器视觉
在机器视觉中，利用直线与圆方程，进行图像处理和识别。
直线与圆在数学竞赛中的应用
数学竞赛中的几何证明
01
利用直线与圆方程，证明几何定理和性质。
数学竞赛中的最值问题
02
利用直线与圆方程，求解最值问题，如最大面积、最小周长等。
数学竞赛中的组合问题
03
利用直线与圆方程，解决组合问题，如排列、组合、概率等。
THANKS
感谢观看
（常数）。
斜率为零的直线，方程 为$y = b$（常数）。
方程为$y = x + b$（常 数）。
圆心在原点、半径为1的 圆，方程为$x^2 + y^2
= 1$。
02
圆的方程复习
圆的标准方程
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$是圆心，$r$是半径。
专题七 解析几何 第一讲 直线与圆—2023届高考数学二轮复习重点练(含解析)
专题七 解析几何 第一讲 直线与圆1.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A.5B.5C.5D.52.下列说法中不正确的是( )A.平面上任一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示B.当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)表示的直线过原点C.当0,0,0A B C =≠≠时,方程0Ax By C ++=表示的直线与 x 轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化3.已知设点M 是圆224690C x y x y +--+=上的动点，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值为( )2 2- 2+ 2 4.已知直线1l ，2l 分别过点(1,3)P -，(2,1)Q -，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,)+∞D.5.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.D.6.已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,过点()1,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A.1B.2C.4D.87.已知点(2,0),(1,1)A B --，射线AP 与x 轴的正方向所成的角为π4，点Q 满足||1QB =，则||PQ 的最小值为( )1 B.1 C.1 18.（多选）已知直线12:210,:20l ax y a l x ay a --+=+--=,圆22:4240E x y x y +-+-=,则以下命题正确的是( )A.直线12,l l 均与圆E 不一定相交B.直线1l 被圆E 截得的弦长的最小值C.直线2l 被圆E 截得的弦长的最大值6D.若直线1l 与圆E 交于2,,A C l 与圆E 交于,B D ,则四边形ABCD 面积最大值为14 9. （多选）已知圆221:()1C x a y ++=，圆2222:()(2)2C x a y a a -+-=，下列说法正确的是( )A.若12C OC △（O 为坐标原点）的面积为2，则圆2C 的面积为2πB.若a ，则圆1C 与圆2C 外离C.若a ，则y x =1C 与圆2C 的一条公切线D.若a 1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为610. （多选）已知直线11:0l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a ∈R ，则下列结论中正确的是( )A.不论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直B.当a 变化时，1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C.不论a 为何值，1l ，2l 都关于直线0x y +=对称D.若1l ，2l 相交于点M ，则MO11.过两直线10x +=0y +的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________________.12.圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=的交点为A ，B ，则弦AB 的长为_____.13.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若存在圆C 的弦AB ，使得AB =，且其中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是___________.14.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以20,5E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.15.已知半圆224(0)x y y +=≥，动圆与此半圆相切（内切或外切，如图），且与x 轴相切.（1）求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹.（2）是否存在斜率为13的直线l ，它与（1）中所得的轨迹由左至右顺次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足||2||AD BC =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：B解析：设圆心为()00,P x y ，半径为r ，圆与x 轴，y 轴都相切，00x y r ∴==，又圆经过点(2,1)，00x y r ∴==且()()2220021x y r -+-=，222(2)(1)r r r ∴-+-=，解得1r =或5r =.①1r =时，圆心(1,1)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==②5r =时，圆心(5,5)P ，则圆心到直线230x y --=的距离d ==故选B. 2.答案：D解析：对于选项A,在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当90α≠︒时,直线的斜率k 存在,其方程可写成y kx b =+,它可变形为0kx y b -+=,与0Ax By C ++=比较,可得,1,A k B C b ==-=；当90α=︒时,直线的斜率不存在,其方程可写成1x x =,与0Ax B C ++=比较,可得11,0,A B C x ===-,显然,A B 不同时为0,所以此说法是正确的.对于选项B,当0C =时,方程0Ax By C ++=(,A B 不同时为0),即0Ax By +=,显然有000A B ⨯+⨯=,即直线过原点()0,0,故此说法正确.对于选项C,因为当0A =,0,0B C ≠≠时,方程0Ax By C ++=可化为Cy B=-,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.D 说法显然错误. 3.答案：B解析：由题意可知圆心(2,3)C ，半径2r =，则点M 到直线240x y ++=距离的最小值min22d =-=-，故选B. 4.答案：A解析：易知两直线之间的最大距离为P ，Q 两点间的距离，由两点间的距离公式得||5PQ .故1l ，2l 之间的距离d 的取值范围为(0,5].5.答案：A解析：由圆22(2)2x y -+=可得圆心坐标为()2,0，半径r ABP △的面积记为S ，点P 到直线AB 的距离记为d ，则有1||2S AB d =⋅.易知||AB =max d ==，min d =26S ≤≤，故选A.6.答案：C解析：已知直线:10l x ay +-=是圆22:6210C x y x y +--+=的对称轴,圆心()3,1C ,半径3r =,所以直线l 过圆心()3,1C ,故310a +-=,故2a =-.所以点()1,2A --,||5AC =,||4AB ==.故选C.7.答案：A解析：因为||1QB =，所以点Q 在以点B 为圆心，1为半径的圆上， 显然当射线AP 在x 轴的下方时||PQ 取得最小值，此时直线:20AP x y ++=，点B 到AP 的距离d ==所以||PQ 1，故选A. 8.答案：BCD解析：由题意,直线1:210l ax y a --+=,即(2)10a x y --+=.令20x -=,得2,1x y ==,即直线1l 过定点()2,1;直线2:20l x ay a +--=,即2(1)0x a y -+-=,令10y -=,得2,1x y ==,即直线2l 过定点()2,1,所以直线12,l l 过同一个定点()2,1,记为点M .圆22:4240E x y x y +-+-=可化为22(2)(1)9x y -++=,而点()2,1M 在圆E 内部,所以直线12,l l 均与圆E 相交,所以A 选项错误;对于直线1l ,当0a =时,直线1l 被圆E 截得的弦长最小,且最小值为所以B 选项正确;对于直线2l ,当0a =时,直线2l 被圆E 截得的弦长最大,且最大值恰好为圆E 的直径6,所以C 选项正确;又当0a ≠时,直线1l 的斜率为a ,直线2l 的斜率为1a-,即直线12l l ⊥.设圆心E 到直线12,l l 的距离分别为12,d d ,则12d d ==又22212||4d d EM +==,即22||||99444AC BD -+-=,所以22||||56AC BD +=,所以2211||||||||14222ABCDAC BD S AC BD +=⋅≤⨯=四边形,当且仅当||||AC BD ==,等号成立,故四边形ABCD 面积最大值为14,所以D 选项正确,故选BCD. 9.答案：BC解析：本题考查圆与圆的位置关系.依题意1(,0)C a -，2(,2)C a a ，圆1C 半径11r =，圆2C 半径2|r a =.对于选项A ，1221|||2|22C OC S a a a =-⋅==△，则a =2|2r a ==，则圆2C 的面积为22π4πr =，选项A 错误；对于选项B，12|C C a，121|r r a +=+，若圆1C 与圆2C 外离，则1212C C r r >+，即|1|a a >，得2a >或2a <，选项B 正确；对于选项C ，当a =时，1C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎝，121r r ==，1212|2C C a r r ===+，所以圆1C 与圆2C 外切，且121C C k =，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为0x y b -+=1=，解得2b =-或2b =，则一条切线方程为0x y -=，即y x =，选项C 正确；对于选项D，当a =1(C，2C ，11r =，22r =，12|4C C a ==，圆1C 与圆2C 上两点间距离的最大值为1247r r ++=，选项D 错误.故选BC.10.答案：ABD解析：因为110a a ⨯-⨯=，所以无论a 为何值，1l ，2l 都互相垂直，故A 正确；1l ，2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -，故B 正确；1:10l ax y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为10ay x -++=，不是2:10l x ay ++=，故C 错误；由10,10,ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩解得221,11,1a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO =≤MO的最大值是D 正确.故选ABD.11.答案：12x =或10x +=解析：联立10,0,x y ⎧+=⎪+解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即两直线的交点为12⎛ ⎝⎭.当直线的斜率不存在时，12x =，到原点的距离等于12，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k -+=.因为直线与原点的最短距离为12，所以12=，解得k =，所以所求直线的方程为10x +=，所以所求直线的方程为12x =或10x +=. 12.答案：解析：圆221:2120C x y x ++-=与圆222:440C x y x y ++-=联立可得： 公共弦的方程为260x y -+=，222:440C x y x y ++-=变形为()()222:228C x y ++=-，故222:440C x y x y ++-=的圆心为()22,2C -，半径为， 而()22,2C -满足260x y -+=，故弦AB 的长为圆2C 的直径， 故弦AB的长为.故答案为：. 13.答案：k 解析：圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，圆心(1,2)C -，半径2r =，由于弦AB满足||AB =M，则||1CM ， 因此M 点在以(1,2)C -为圆心，1为半径的圆上， 又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆22(1)(2)1x y ++-=1≤，解得k ≤14.答案：（1）见解析（2）当0t =时，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 解析：（1）证明：依题意，可设:AB y kx b =+，1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠.联立2,2,x y y kx b ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得2220x kx b --=. 2480k b ∆=+>，122x x k +=，122x x b =-.又直线DA 与抛物线相切，则2111122x x x t+=-， 所以211210x tx --=，同理222210x tx --=. 所以1222k x x t =+=，1221b x x -=⋅=-， 所以k t =，12b =，则直线1:2AB y tx =+，必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）解法一：由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,22y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得2210x tx --=. 于是122x x t +=，()21212121y y t x x t +=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 解法二：设M 为线段AB 的中点，由（1）可知212,M t t ⎛+⎫ ⎪⎝⎭.所以()2,2EM t t =-，()2,FM t t =，又EM FM ⊥，则()2220t t t t ⋅+-⋅=， 解得0t =或1t =或1t =-.当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； 当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 15.答案：（1）见解析（2）不存在满足题意的直线l .理由见解析解析：（1）设动圆圆心(,)M x y ，作MN x ⊥轴于点N . ①若动圆与半圆外切，则||2||MO MN =+，2y +， 两边平方得22244x y y y +=++，化简得211(0)4y x y =->. ②若动圆与半圆内切，则||2||MO MN =-，2y =-， 两边平方得22244x y y y +=-+，化简得211(0)4y x y =-+>.综上，当动圆与半圆外切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =->； 当动圆与半圆内切时，动圆圆心的轨迹方程为211(0)4y x y =-+>. 动圆圆心的轨迹如图所示.（2）假设满足题意的直线l 存在，可设l 的方程为13y x b =+.依题意，可得直线l 与曲线211(0)4y x y =->交于A ，D 两点，与曲线211(0)4y x y =-+>交于B ，C 两点.由21,3114y x b y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩与21,311,4y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 整理可得23412120x x b ---=①与23412120x x b ++-=②. 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，(),D D D x y ，则43A D x x +=，12123A D b x x --=，43B C x x +=-，12123B C b x x -=.又||A D AD x =-，||B C BC x -，且||2||AD BC =，2A D B C x x x x ∴-=-，即()()22444A D A D B C B C x x x x x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦， 整理得2244(1212)44(1212)43333b b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得23b =.将23b =代入方程①，得2A x =-，103D x =. 函数211(0)4y x y =->的定义域为(,2)(2,)-∞-+∞，∴假设不成立，即不存在满足题意的直线l .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 D． 3
2、若直线 x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直， 则a=（ ） A
A．
2 3
B．
2 3
3 C． 2
3 D． 2
返回
两直线相交相关练习
1、光线自右上方沿直线y=2x-1射到x轴上一点M， 被x轴反射，则反射光线所在直线的方程是 y=-2x+1 ________________ ． 2、△ABC的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2, 0),直线:x=a将△ABC分割成面积相等的两部分, 则a的值是＿＿＿ 3
（1）直线PA、PB的方程； （2）求过P点⊙C切线的长；
y
2 A 1B - O 1 2 P 1 1
C
x
解：
则
（ 1 ）由题知切线斜率存在 设方程为： y 1 k ( x 2)
即 kx y 2k 1 0.
k 3 1 k
2
2
k 6k 7 0
解： | PA |2 | PC |2 | AC |2 | PC |2 1
y
C
当 | PC | 最小时， | PA | 也最小
| PC |min | 2 11| 2 2 11
A
O
x
| PA |min 7
此时lPC : x y 1 0
P(0,1)
P
例4. 已知圆满足：（ 1 ）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段 圆弧，其弧长的比为3 ∶ 1；（3）圆心到直线l：x 2 y 0的距离为 求该圆的方程。 5 ， 5
2 [ , ) ( ,3] 3
返回
基本要素注意点
1、倾斜角为90°的直线没有斜率。 2、斜率与倾斜角之间的变化关系， 参照正切函 数单调性。 3、注意倾斜角取值范围。
返回
直线方程的形式：
形式 条件 方程 应用范围
点斜式
过点( x0,y0), 斜率为k
y y0 k ( x x0 )
1.平行
直线l1与l2的平行充要条件是 k1=k2 且b1＝b2.
2.垂直
即l1 l2 k1 k2 1
注意：特殊情况
直线中有斜率不存 在—解决方案：画图 解决
4.交点
A1 x B1 y C1 0 若方程组 有唯一解( x0 , y0 ) A2 x B2 y C2 0
4、点到直线的距离
练习
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A 1x B 1 y 1和 l2 : A 2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P 1( A 1, B 1 ), P 2(A 2 , B2 )的直线 2x+3y=1 方程为 ＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
2
l2
过圆O 作O C l1于C，则C为弦AB
4b 3 5
， O A r
解由①②组成的方程组 得：b 3 ，r 5
圆O 的方程为x2 ( y 3)2 25 .
例1、求经过A(2,1), 和直线x y 1相切，且圆心 在直线y 2 x上的圆的方程。
返回
y
一般地，二元一次不等式：Ax+By+C>0
y kx b
o x
y kx b(或y kx b)
解决线性规划问题的图解法的一般步骤： 1.根据题意列表； 2.找出x,y满足的不等式组； 3.由线性约束条件画出可行域；
y kx b
4.令z＝0，再利用平移法找到最优解所对应的点； 5.求出最优解所对应点的坐标，代入z中，即得目标函数的最 大值和最小值.
直线l1与l2相交于点 ( x0 , y0 )
5.点到直线的距离
d Ax0 By 0 C A2 B 2
平行直线间距离
d C1 C2 A2 B 2
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0 平行，则a=（ B ）
A．－3 B．－6 C．
3 2
2
解得 k 7 或 k 1.
故所求切线方程为： y 1 7( x 2) 或 y 1 ( x 2)
即 7x y 15 0 或 x y 1 0 .
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线，切 点为A、B。 （2）求过P点⊙C切线的长；
题1解：直线方程为3x+2y－7＝0或4x+y－6＝0 题2解：直线方程为x-7y+19=0或7x+y-17=0
题3解：直线l的方程为x+2y-4=0，此时S最小为4.
概念题
如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正 方向平移一个单位后，又回到原来位置，那么直 1 线l的斜率为＿＿＿。 3 已知P1(x1,y1)、P2(x2,y2)分别是直线l上和直线l外 的点，若直线l的方程是f(x,y)=0,则方程f(x,y)f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,表示（ C） A。与l重合的直线 B。过P1且与l垂直的直线 C。过P2且与l平行的直线 D。不过P2但与l平行的直线
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴x x
2 2
1
1
若直线l的斜率存在， 则方向向量为(1, k )
直线法向量 n (k ,1)
基本要素练习
1、A（－2,1），B（2,2），直线 mx＋y－m＋1＝0与线段AB相交， 则m的取值范围___________.
例题
1、经过点P(1,2)，引一条直线使它与两点（2,3）， （4,-5）距离相等，求这条直线方程. 2、已知一直线l过点（2,3），被两平行线3x+4y-7＝ 0与3x+4y+8=0所截得的线段长为3 2 。求直线方程。
3、过点P(2,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正 半轴于点A、B，当△AOB（O为原点）的面积S最小时， 求直线l的方程，并求出S的最小值．
一、知识框架
直线与直线方程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程 两直线的位置关系
直 线 与 圆 的 方 程
线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆与圆方程 圆的一般方程 圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线的倾斜角 倾斜角的取值范围是
0 180 .
2、直线的斜率
k tan , ( 90 )
圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2 2
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
圆的参数方程
x a r cos y b r sin
例 1. 已知⊙ C ： (x-1)2+(y-2) 2=2 ， P(2,-1) ， 过P作⊙C的切线，切点为A、B。
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
A．2x-y+5=0 B．2x-y+3=0 C．3x-y+5=0 D．x+2y-5=0
4、已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1 ，则 2 1 a等于 ＿＿＿ 返回
返回
方程注意点
1、特殊形式的方程都有一定的限制条件。
2、解题时应根据实际情况选用合适的形 式以利解题。 3、当我们决定选用某一特殊形式的方程 时，而又不知道其是否满足限制条件， 应加以讨论，或用特殊形式的变式。
返回
点与直线
1、点与直线的位置关系
2、点关于直线对称的点坐标
3、直线关于点对称的直线方程
y
解：设圆的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r 2
圆心在直线 y 2 x上
b 2a (1)
O
C
A
x
又经过点A(2,1) (2 a)2 (1 b)2 r 2 (2)
因为圆与直线 x y 1相切 | a b 1 | r (3) 2
k存在 k存在
k存在 且k 0
k存在且 0 且不过原点
斜截式 在y轴上的截距为b, 斜率为k 两点式 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式 在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a 一般式
x y 1. a b
由(1)(2)(3)得：a 1, b 2, r 2
k AC
b 1 1 a2
1 a b r (3) 2
所求圆的方程是 ( x 1)2 ( y 2)2 2
例3、求经过A(2,1), 和直线x y 1相切，且圆心 在直线y 2 x上的圆的方程。
2 a 1 b 2a a 2 b 2 b r 2 1 1 1 又b 2a
解得：a 1, b 2, r 2
所求圆的方程是 ( x 1)2 ( y 2)2 2
练习：圆的方程是( x 2) 2 ( y 1) 2 1, P是 直线x y 1 0上任意点，经过P作圆的切线， 求切线长的最小值以及相应P点坐标。
y
解：设圆的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r 2
以A为切点的圆的切线方程 是：
(2 a)(x a) (1 b)( y b) r
2
O
C