概率论与数理统计4-2

第二节方差一、随机变量方差的概念及性质1. 概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.OO一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结 1000 xx1000对 r.v X 考虑偏差| X E(X ) |2. 方差的定义设 X 是一个随机变量 , 若E {[ X E ( X )]2 }存在,平方偏差 平方偏差的平均值( X E ( X ))2则称 E {[ X E ( X ) ]2 } 为 X 的方差, 记为 D( X ) 或 Var( X ) , 即 D( X ) = Var( X ) = E {[ X E ( X )]2 }. 称 D( X ) 为标准差或均方差 , 记为 σ ( X ).E ( X E ( X )) 23. 方差的意义方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散 程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量 的代表性好.4. 随机变量方差的计算(1) 利用定义计算 离散型随机变量的方差D( X ) = ∑ [ xk E ( X )]2 pk ,k =1 +∞其中 P { X = xk } = pk , k = 1,2, 是 X 的分布律 .连续型随机变量的方差D( X ) = ∫ [ x E ( X )]2 f ( x ) d x ,∞ +∞其中 f ( x ) 为X的概率密度.1(2) 利用公式计算D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 .5. 方差的性质(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) = 0. 证明 D(C ) = E (C 2 ) [ E (C )]2 = C 2 C 2 = 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有D(CX ) = C 2 D( X ).证明D( X ) = E {[ X E ( X )]2 } = E { X 2 2 XE ( X ) + [ E ( X )]2 } = E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) + [ E ( X )]2 = E ( X ) [ E ( X )]2 2证明 D(CX ) = E {[CX E (CX )]2 }= C 2 E {[ X E ( X )]2 } = C 2 D( X ).= E ( X 2 ) E 2 ( X ).（3） D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2 E{( X E ( X )) (Y E (Y ))} 若X 和 Y 相互独立，则D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y )推广 若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立 , 则有证明D( X1 ± X 2 ±2± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) ++ D( X n ).D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )] } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}(4) D( X ) = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即 P { X = C } = 1.二、重要概率分布的方差1. 两点分布已知随机变量 X 的分布律为2. 二项分布设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n P { X = k } = p k (1 p )n k , ( k = 0,1,2, , n), k 则有 0 < p < 1.E ( X ) = ∑ k P{ X = k }k =0n n = ∑ k p k (1 p )n k k =0 k X10 1 pppn则有 E ( X ) = 1 p + 0 q = p ,D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 = 1 p + 0 (1 p) p = pq .2 2 22=∑nkn! p k (1 p )n k k = 0 k !( n k )!nE ( X 2 ) = E[ X ( X 1) + X ]= E[ X ( X 1)] + E ( X )n k = ∑ k ( k 1) p k (1 p )n k + np n k =0np( n 1)! p k 1 (1 p )( n1)( k 1) =∑ ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! k =1 = np ∑ ( n 1)! p k 1 (1 p )( n1) ( k 1) ( k 1)![( n 1) ( k 1)]! k =1n=∑= np[ p + (1 p )]n1k ( k 1)n! k p (1 p )n k + np k = 0 k !( n k )!n= np .= n( n 1) p 2 ∑ + np( n 2)! p k 2 (1 p )( n 2 )( k 2 ) ( n k )!( k 2)! k =2n设 X ~ b ( n, p ), 求 D ( X ) .另解 因为二项分布来自 n 重伯努利试验,故有 重伯努利试验,其中X = X1 + X 2 + + X n 1, 第 i 次伯努利试验事件 A 发生 (i = 1, 2, , n ) Xi = 0, 第 i 次伯努利试验事件 A 发生 且 X1 , X 2 , , X n 独立同分布,其分布律为 独立同分布, P{ X = 1} = p , P{ X = 0} = 1 p ∴ E ( X ) = E ( X1 ) + E ( X 2 ) + + E ( X n ) = nE ( X 1 ) = np D ( X ) = D ( X1 ) + D ( X 2 ) + + D ( X n ) = nD ( X 1 )= n[(1 p ) 2 p + (0 p ) 2 (1 p )] = np (1 p )= n( n 1) p 2 [ p + (1 p )]n2 + np= ( n 2 n) p 2 + np.D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2= np(1 p ) ).3. 泊松分布设 X ~ π(λ ), 且分布律为E ( X 2 ) = E[ X ( X 1) + X ]= E[ X ( X 1)] + E ( X ), λ > 0.P{ X = k } =λkk!e λ , k = 0,1,2,∞= ∑ k ( k 1) k =0+∞λkk!eλ + λ则有E( X ) = ∑ k k =0 ∞λkk!λeλ=eλ∑ (k 1)! λ k =1λ k 1= λ2 e λ ∑ k =2+∞λk 2( k 2)!+ λ = λ2 e λ e λ + λ = λ2 + λ .所以 D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2= λ2 + λ λ2 = λ .泊松分布的期望和方差 都等于参数 λ .= λeλe = λ.34. 均匀分布设 X ~ U ( a , b ) , 其概率密度为 1 , f ( x) = b a 0, ∞结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 = ∫ x2a ba < x < b,其他 .b1 a + b dx ba 2 2则有 E ( X ) = ∫ ∞ xf ( x ) d x = ∫a1 = ( a + b ). 21 xd x ba=(b a )2 . 125. 指数分布设随机变量 X 服从指数分布 , 其概率密度为 1 x θ e , f ( x ) = θ 0, x > 0, x ≤ 0.+∞D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 =∫+∞ 0其中 θ > 0.1 x 2 e x θ d x θ 2 θ= 2θ 2 θ 2则有E ( X ) = ∫ xf ( x ) d x = ∫∞ +∞01 x e x θ d x θ= θ2 .= xe x θ 0 + ∫+∞+∞0e x θ d x = θ.指数分布的期望和方差 分别为 θ 和 θ 2 .6. 正态分布设 X ~ N ( , σ ), 其概率密度为2所以1 E( X ) = ∫ x e ∞ 2πσ+∞( x )2 2σ 2dxf ( x) = 1 e σ 2π( x )2 2σ 2, σ > 0, ∞ < x < +∞ . 1 +∞ = ( + σt)e 2 d t 2π ∫∞t2则有E ( X ) = ∫ xf ( x ) d x∞+∞= ∫ x∞+∞1 e 2 πσ( x ) 2σ 22=d x.= .σ +∞ 2 1 +∞ 2 e dt + te d t 2 π ∫ ∞ 2 π ∫ ∞t2t2x 令 = t x = + σ t, σ奇函数 奇函数4D( X ) = ∫ ( x )2 f ( x ) d x∞+∞= 0+( x )2 2σ 2= ∫ ( x )2 ∞+∞1 e 2 πσσ2 2π = σ 2 . 2πd x.正态分布的期望和方差 分别为两个参数 和 σ 2 .x = t,得 σ t2 σ 2 +∞ 2 2 D( X ) = t e dt 2 π ∫ ∞令=t2 σ2 te 2 2π +∞+∫ e∞ ∞+∞ t2 2 dt 分布参数0< p<1 n ≥ 1, 0< p<1 λ>0 a<bθ>0 , σ > 0数学期望p方差p(1 p )三、例题讲解例1 设随机变量 X 具有概率密度1 + x , 1 ≤ x < 0, f ( x ) = 1 x , 0 ≤ x < 1, 0, 其他 . 求 D( X ). E ( X ) = ∫ x (1 + x ) d x + ∫ x (1 x ) d x1两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布npnp(1 p )λθλθ2σ2(a + b ) 2 (b a )2 12解010= 0,E ( X ) = ∫ x (1 + x ) d x + ∫ x (1 x ) d x2 2 2101例2 设活塞的直径 (以 cm 计 ) X ~ N ( 22.40,0.032 ),气缸的直径 Y ~ N ( 22.50, 0.042 ), X , Y 相互独立 . 任取一只活塞 , 任取一只气缸 , 求活塞能装入气缸 的概率 .01 = , 6于是D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2解 因为 X ~ N ( 22.40,0.032 ), Y ~ N ( 22.50, 0.042 ),所以 X Y ~ N ( 0.10,0.0025),=1 1 02 = . 6 6故有 P { X < Y } = P{ X Y < 0}( X Y ) ( 0.10) 0 ( 0.10) = P < = Φ ( 2) = 0.9772. 0.0025 0.0025 5例3 设连续型随机变量 X 的概率密度为π cos x , 0 ≤ x ≤ f ( x) = 2, 其他 . 0, 求随机变量 Y = X 2 的方差 D(Y ).=π4 3π 2 + 24, 16因为 D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 ,解 E ( X ) = ∫ ∞ x f ( x ) d x2 2+∞所以 D( X 2 ) = E ( X 4 ) [ E ( X 2 )]2= π2 π4 3π 2 + 24 2 4 16 2= ∫ 2 x 2 cos x d x =0ππ2 2, 4π0E( X 4 ) = ∫+∞∞x 4 f ( x ) d x = ∫ 2 x 4 cos x d x= 20 2π 2 . 2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 21 3 3 1 1 , 求 D( 2 X + 5). 12 12 1 1 1 1 [ E ( X 3 )]2 = ( 2)3 × + 03 × + 13 × + 33 × 3 2 12 12 2解D ( 2 X 3 + 5 ) = D( 2 X 3 ) + D( 5 )1 = , 9= 4 D( X 3 )= 4[ E ( X 6 ) ( E ( X 3 ))2 ] 1 1 1 1 493 E ( X 6 ) = ( 2)6 × + 06 × + 16 × + 36 × = , 3 2 12 12 6故 D( 2 X 3 + 5) = 4[ E ( X 6 ) ( E ( X 3 ))2 ]= 2954 . 9正态r.v的值几乎都落在 ( 3σ , + 3σ ) 内 正态r.v的值几乎都落在 即 X ~ N ( , σ 2 ), 则P{ | X | < +3σ } = 0.9974 P{ | X | ≥ +3σ } = 0.0026四、小结1. 方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散 程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程 度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示 X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变 量的代表性好. 2. 方差的计算公式 D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2 ,D( X ) = ∑ [ xk E ( X )]2 pk , D( X ) = ∫ [ x E ( X )]2 f ( x ) d x .∞k =1 +∞只证连续型情形. 改写为 只证连续型情形. σ2 P{ | X x ε } ≥ 设 r.v X 的密度函数为 f| (< ), 则 1 ε 2 + 3σ , |3σ 分别取 ε = 3σ ,{4|σX 则有≥ ε } = ∫ f ( x ) dx P 99.74% P{ | X < 3σ |x ≥| 1ε 1 = 88.90% } ≥ 对一般的 r.v| X 如何估计概率| 2 9 ≤ ∫ | x f ( x ) dx P{ | X x |≥≥ ε } ≤2 P{ | X | < 4σ |}≥|1ε 1 ε= 93.75% 其中 = E ( X ), ε > 0 是任意实数. ∞ |16 | 2 是任意实数. ≤ 12 ∫∞ x f ( x ) dx ε (切比雪夫Chebyshev不等式) Chebyshev不等式 1 D( X ) ≤ 2 设 E ( X ) = , D ( X ) = σ 2 都存在,则 ε > 0, 有 都存在, εP{ | X ≤ σ ≥ ε } ≤ σ 2 |22+∞2εε63. 方差的性质1o D(C ) = 0; 2o D(CX ) = C 2 D ( X ); 3o D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2 E{( X E ( X )) (Y E (Y ))} 若X 和 Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D( X ) + D (Y ).契比雪夫资料Pafnuty ChebyshevBorn: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894, in St. Petersburg, Russia4. 契比雪夫不等式P{ X ≥ ε} ≤ σ2 σ2 2 P{ X < ε } ≥ 1 2 . ε ε7。