43多项式方法求特征值问题
多项式特征值问题的数值方法
求解大型复杂结构特征值问题的Lanczos分布式并行算法研究IV图表清单图 1.1自由度弹簧-质点系统 (3)图 3.1单质量弹簧系统 (22)图 3.2 n自由度阻尼的弹簧-质点系统 (25)图 3.3 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (26)图 3.4 GJD和QJD方法的残差范数随迭代次数增加的变化 (27)表 2.1 Case 1的结果和比较12表 2.2 Case 2的结果和比较 (12)表 2.3 Case 3的结果和比较 (13)表 2.4 Case 4的结果和比较 (14)表 3.1 CPUtime比较 (26)表 3.2 CPUtime比较 (28)表 3.3特征值比较 (28)承诺书本人声明所呈交的硕士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
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（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日 期：南京航空航天大学硕士学位论文1第一章 绪论1.1多项式特征值问题的来源我们考虑m 次的矩阵多项式（或λ-矩阵）110(,),m m m m P A A A A λλλ−−=+++L （1.1） 其中,0:n nk A k m ×∈=£。
多项式特征值问题（PEP ）是要找到一个特征值λ和相应的非零特征向量x 满足(,)0.P A x λ=m=1的情况对应于广义特征值问题（GEP ）A xB xλ=并且如果0A I =，我们得到标准特征值问题（SEP ）.A x x λ= （1.2）另一个重要的情况是当m=2时，这时就是二次特征值问题（QEP ）[1]。
特征多项式
特征多项式引言在数学中，特征多项式是一个与矩阵的特征值有关的多项式。
通过特征多项式，我们可以计算矩阵的特征值，从而获得矩阵的某些重要性质。
本文将介绍特征多项式的定义、计算方法以及应用。
定义给定一个n阶矩阵A，特征多项式是一个关于变量λ的多项式，记作π(λ)，定义为：π(λ) = det(A - λI)其中，det表示矩阵的行列式，I是n阶单位矩阵。
计算方法1. 直接计算法特征多项式可以通过直接计算det(A - λI)来得到。
首先，我们需要计算出λI，即把矩阵A的每个元素都减去λ得到的矩阵。
接着，计算矩阵(λI)的行列式，即det(A - λI)。
这个行列式就是特征多项式π(λ)的值。
2. 展开法在计算特征多项式时，我们可以利用行列式的性质进行展开。
通过对(λI)的每一行或每一列展开，可以得到一个关于λ的多项式表达式。
这些多项式可以合并得到特征多项式π(λ)。
3. 代数余子式法代数余子式法是一种计算行列式的方法，可以用来计算特征多项式。
具体步骤如下：1.计算行列式det(A - λI)的n个代数余子式，即将第i行、第j列的元素删除，剩下的矩阵的行列式。
2.将每个代数余子式乘以对应的元素，得到n个项。
3.将这些项相加，得到特征多项式π(λ)。
应用特征多项式在线性代数和微积分中有广泛的应用。
下面介绍几个典型的应用场景：1. 计算特征值特征多项式的根就是矩阵的特征值。
通过解特征多项式的方程π(λ) = 0，可以得到矩阵的特征值。
特征值是矩阵的重要属性，它们可以描述矩阵的各种性质，例如矩阵的变换特性和稳定性。
2. 矩阵的对角化对角化是一种将矩阵表示为对角矩阵的变换。
特征多项式在矩阵的对角化问题中起到了重要作用。
通过计算特征多项式和对应的特征向量，我们可以将一个可对角化的矩阵表示为对角矩阵的形式。
这种表示使得矩阵的计算更加简单和高效。
3. 矩阵的相似性矩阵的相似性是一种与特征多项式密切相关的概念。
两个矩阵A和B是相似的，如果它们有相同的特征多项式。
特征值多项式
特征值多项式
特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。
特征值多项式可以帮助我们理解和描述矩阵的性质和特点。
我们需要了解什么是特征值和特征向量。
特征值是矩阵的一个数值，而特征向量是与该特征值对应的向量。
特征值和特征向量的求解可以通过求解矩阵的特征方程得到。
特征值多项式是一个关于特征值的多项式，它的形式为：f(λ) = |A - λI|，其中A是一个n阶矩阵，λ是一个待定的数值，I是n 阶单位矩阵。
特征值多项式的根就是矩阵A的特征值。
特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值多项式可以用来求解波函数的能量本征值；在工程学中，特征值多项式可以用来研究结构的稳定性和振动特性。
特征值多项式的求解可以通过行列式的方法来进行。
我们可以将特征值多项式展开为一个关于λ的多项式，并求解其根。
通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的所有特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。
特征值多项式在线性代数中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们求解特征值和特征向量，还可以用来研究矩阵的性质和特点。
通过对特征值多项式的研究，我们可以更好地理解和应用线性代数的知
识。
特征值多项式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和特征向量的关系中起着重要的作用。
通过求解特征值多项式，我们可以得到矩阵的特征值，从而了解和描述矩阵的性质和特点。
特征值多项式在实际问题中有着广泛的应用，它帮助我们理解和应用线性代数的知识。
特征多项式 求法
特征多项式求法特征多项式是线性代数中的一个重要概念，它是矩阵理论中的一个基础工具。
特征多项式用来描述矩阵的本征值，本征向量的性质，它在矩阵的求逆、优化问题、微分方程等方面都有应用。
本文将详细介绍特征多项式的定义、性质、计算方法及应用。
一、特征多项式的定义特征多项式是一个矩阵的一个n次多项式，它的系数是由矩阵A的各个阶次的特征值λ1,λ2,...λn得到的。
特征多项式一般写作：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)，其中x为实数或复数，λ1,λ2,...λn为矩阵A的n个特征值。
特征多项式表示的是矩阵与一个实数或复数之间的关系，它是由矩阵的特征向量与特征值得到的。
特征多项式是描述矩阵本征值的一个重要工具。
二、特征多项式的性质1.特征多项式的次数等于矩阵的阶数，系数为1。
2.特征多项式的根为矩阵的特征值。
3.特征多项式与矩阵的特征值的乘积等于该矩阵的行列式。
4.特征多项式与伴随矩阵的特征多项式相同。
5.特征多项式的各项系数与特征矩阵的主对角线元素关系密切。
6.对于实对称矩阵，它的特征多项式一定可以分解成实系数的一次或二次因式。
7.特征多项式是能够反映矩阵的本征值和本征向量的重要工具。
三、特征多项式的计算方法特征多项式的计算方法一般有两种，一种是通过求解矩阵的本征值得到，另一种是通过矩阵的行列式得到。
1.通过求解矩阵的本征值对于给定的n×n矩阵A，首先可以求出它的n个本征值λ1,λ2,…λn，然后将它们代入特征多项式的表达式式子，即：f(x) = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn)。
然后对f(x)进行整理，即可得到特征多项式的表达式。
2.通过矩阵的行列式求值假设矩阵A是一个n阶方阵，其特征多项式的表达式为f(x) = |xI_n−A|，其中I_n表示n阶单位矩阵。
因此，特征多项式也可以通过求解矩阵A的行列式来得到。
需要注意的是，这种方法只适用于较小的矩阵，对于大规模的矩阵计算难度较大。
特征向量计算方式
特征向量计算方式特征向量的计算方式主要有以下步骤：1.计算特征多项式：首先需要计算矩阵的特征多项式，即对于一个给定的矩阵A，需要求解方程f(λ)=0得到特征值λ。
2.求解特征值：将特征多项式方程f(λ)=0解出特征值λ。
3.判断矩阵是否可相似对角化：如果矩阵A有n个相等的特征值，则A可以通过相似变换化为对角矩阵，antaosuanrengonghegongzuo，如果存在两个或两个以上的特征值不相等，则可以通过相似变换化为一个对角矩阵和一个准对角矩阵的乘积。
4.求解特征向量：对于每一个特征值λ，求解方程组(A-λE)x=0，得到特征向量x。
5.验证特征向量：将求得的特征向量代入原方程Ax=λx中，验证是否满足方程。
需要注意的是，在实际计算中，为了提高计算效率和精度，可能会采用一些数值计算方法和技巧，例如高斯消元法、QR分解、SVD分解等。
同时，不同的编程语言和数学软件也提供了相应的函数和工具包，方便用户进行特征向量的计算。
特征向量计算方法中常用的数值计算技巧包括：1.高斯消元法：用于求解特征多项式方程的根，即特征值。
通过逐步消元的方法将系数矩阵化为上三角矩阵，从而得到特征多项式的根。
2.Q R分解：将原矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，从而可以将特征值和特征向量问题转化为求解上三角矩阵的特征值和特征向量问题。
QR分解是一种常用的数值计算技巧，可以有效地提高计算效率和精度。
3.S VD分解：将原矩阵分解为一个左奇异矩阵、一个对角矩阵和一个右奇异矩阵的乘积。
通过SVD分解，可以将特征值和特征向量问题转化为求解对角矩阵的特征值和特征向量问题，同时也可以用于处理病态问题和噪声干扰等问题。
4.迭代法：对于一些难以直接求解的特征值和特征向量问题，可以采用迭代法进行求解。
例如，使用Jacobi迭代法或Gauss-Seidel迭代法等迭代方法来逼近特征值和特征向量。
5.数值稳定性和误差控制：在特征向量计算中，需要注意数值稳定性和误差控制。
矩阵的特征值求解技巧
矩阵的特征值求解技巧矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，对于解决矩阵的性质和应用问题有着重要的作用。
特征值求解是矩阵特征值问题的核心内容，本文将介绍特征值求解的技巧和方法。
一、特征值和特征向量的定义首先，我们需要理解特征值和特征向量的概念。
给定一个n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量X使得AX=λX，则称λ为矩阵A的一个特征值，X称为对应于特征值λ的特征向量。
二、特征值的求解1. 利用特征多项式对于n阶矩阵A，我们可以定义其特征多项式p(λ)=|A-λI|，其中I是n阶单位矩阵。
求解特征多项式的根即为矩阵的特征值。
2. 利用特征值的性质特征值的性质有助于我们求解特征值。
下面列举一些常见的性质：- 特征值与矩阵的行列式相等。
即det(A-λI)=0。
- 矩阵的特征值个数等于其矩阵的阶数。
- 如果矩阵A是n阶矩阵，那么矩阵A的特征值之和等于A的主对角线元素之和。
- 特征值互不相等，特征向量也互不相等。
即不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 利用特殊矩阵的性质对于特殊的矩阵，我们可以利用其性质来求解特征值。
例如，对于对称矩阵，其特征值一定是实数；对于三角矩阵，其特征值等于主对角线元素。
三、特征向量的求解特征向量的求解是在已知特征值的情况下进行的。
对于给定的特征值λ，我们可以利用矩阵特征方程(A-λI)X=0，利用高斯消元法或其他行列运算方法求解出特征向量。
四、实际问题中的应用特征值和特征向量在实际问题中有着广泛的应用，如：- 在物理学中，特征值和特征向量可以用来描述量子力学中的量子态和量子力学运算符的本征态和本征值。
- 在工程中，特征值和特征向量可以用来描述系统的振动模态和固有频率。
- 在数据分析中，特征值和特征向量可以用来进行降维处理和特征选取。
总结：特征值和特征向量是矩阵的重要性质，通过求解特征值和特征向量，我们可以了解矩阵的本质、性质和应用。
特征值的求解可以利用特征多项式、特征值的性质和特殊矩阵的性质等方法，特征向量的求解可以通过矩阵特征方程进行求解。
矩阵的特征多项式与特征值
矩阵的特征多项式与特征值矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用。
在矩阵理论中，矩阵的特征多项式与特征值是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系。
一、特征多项式在讨论矩阵的特征多项式之前，首先要了解什么是特征向量。
对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为常数，那么X就是A的一个特征向量，k就是该特征向量所对应的特征值。
特征向量反映了矩阵A的某种变化规律，而特征值则表示了这种变化的幅度大小。
根据特征向量的定义，我们可以得到特征方程AX=kX，将特征方程改写为(λI-A)X=0，其中I是单位矩阵，λ是一个特征值。
进一步推导可得到特征多项式的定义：特征多项式是一个关于λ的多项式，它是由矩阵A的特征值所确定的，记作|λI-A|。
特征多项式可以表示为P(λ)=|λI-A|=λ^n+c_1λ^(n-1)+...+c_(n-1)λ+c_n，其中c_1，c_2，...，c_n为常数。
特征多项式的次数为n，与矩阵A的阶数相同。
二、特征值与特征多项式的关系特征值与特征多项式之间存在着紧密的联系。
我们通过特征多项式可以求解矩阵A的特征值，而矩阵A的特征值则是特征多项式的根。
设λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根，即P(λ)=0，则有(λI-A)X=0，其中X为非零向量。
这意味着(λI-A)是一个奇异矩阵，即它的行列式为0，因此得到|λI-A|=0。
所以特征值λ是特征多项式P(λ)=|λI-A|的一个根。
特征值与特征多项式之间的关系在实际问题中起到了重要的作用。
通过求解特征多项式，我们可以得到矩阵A的全部特征值，进而进一步分析矩阵A的性质和特点。
三、应用举例矩阵的特征多项式与特征值在多个领域都有广泛的应用，下面以线性代数和物理学领域为例进行说明。
1. 线性代数中的应用特征多项式和特征值是线性代数中一个重要的概念。
在解线性方程组、矩阵相似问题以及求矩阵的幂等等问题时，特征多项式和特征值的计算都是十分有用的工具。
方阵特征值的求法
方阵特征值的求法一、方阵特征值的定义方阵特征值是指一个方阵在数域内的特殊的数，它们与该方阵对应的线性变换有关。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个n维非零向量v，使得Av=λv，则称λ为A的特征值，v为A 对应于λ的特征向量。
二、求解特征值的方法1. 特征多项式法特征多项式法是求解方阵特征值的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）计算出A的伴随矩阵adj(A)；（2）构造矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵；（3）计算出B的行列式det(B)；（4）令det(B)=0，解得λ即为A的特征值。
2. 幂法幂法是求解最大特征值及其对应特征向量的一种迭代方法。
具体步骤如下：（1）随机选取一个n维非零向量x0作为初始向量；（2）计算Ax0，并将结果归一化得到x1=Ax0/||Ax0||；（3）重复进行步骤2，直到xn+1和xn之间误差小于给定的精度值，此时xn+1即为最大特征值对应的特征向量。
3. Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种求解实对称矩阵特征值和特征向量的方法。
具体步骤如下：（1）将矩阵A分解为A=D-L-U，其中D为A的对角线元素，L为A 的严格下三角部分，U为A的严格上三角部分；（2）选取一个旋转矩阵J，使得J^T(A-λI)J=D1-L1-U1，其中D1为J^TDJ，L1为J^TLJ，U1为J^TUJ；（3）重复进行步骤2，直到D1中所有元素都足够接近λ，则λ即为A的一个特征值。
三、求解特征向量的方法求解特征向量的方法有多种，以下介绍两种常用方法：1. 幂法在使用幂法求解最大特征值时，每次迭代得到的向量都是该特征向量的某个倍数。
因此，在幂法收敛之后，只需要将得到的向量进行归一化即可得到该特征向量。
2. 反迭代法反迭代法是一种求解方阵所有特征值及其对应特征向量的方法。
具体步骤如下：（1）选取一个初始向量x0和一个近似特征值μ；（2）计算矩阵B=(A-μI)^(-1)，并对B进行LU分解，得到B=LU；（3）解出方程组Ly=x0；（4）解出方程组Uz=y，并将z归一化，得到一个新的近似特征向量x1=z/||z||；（5）计算x1与x0之间的误差，如果误差小于给定精度，则停止迭代，否则将x1作为新的初始向量继续迭代。
求特征值的方法
求特征值的方法
特征值是矩阵理论中的重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用，比如在物理学、工程学和计算机科学等领域。
求解特征值是矩阵分析中的一个重要问题，下面我们将介绍几种常用的求特征值的方法。
首先，最常见的求特征值的方法是使用特征方程。
对于一个n阶矩阵A，其特征值满足特征方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵，λ为特征值。
我们可以通过解特征方程来求解特征值，进而得到矩阵A的特征值。
其次，雅可比迭代法也是一种常用的求特征值的方法。
雅可比迭代法是通过矩阵的相似变换来逐步逼近特征值的方法。
通过不断迭代，可以得到矩阵的特征值和对应的特征向量。
另外，幂法也是一种常用的求特征值的方法。
幂法是通过不断迭代矩阵的幂次来逼近矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂法的收敛速度较快，适用于大规模矩阵的特征值求解。
除了上述方法外，拉盖尔法和QR方法也是常用的求特征值的方法。
拉盖尔法是通过将矩阵转化为特定的三对角矩阵，再通过求解三对角矩阵的特征值来求解原矩阵的特征值。
而QR方法则是通过矩阵的相似变换和正交相似变换来逼近矩阵的特征值和特征向量。
总结一下，求解特征值是矩阵分析中的一个重要问题，有很多种方法可以用来求解特征值。
常见的方法包括特征方程、雅可比迭代法、幂法、拉盖尔法和QR方法等。
不同的方法适用于不同类型的矩阵，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法来求解特征值。
希望本文介绍的方法对您有所帮助。
矩阵的特征值与特征向量的求法
摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题.关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving.Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix淮阴师范学院毕业论文(设计)目录1 前言 (4)2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4)2.1 矩阵的初等变换法 (4)2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6)3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7)3.1 矩阵之间的关系 (7)3.1.1 矩阵的相似 (7)3.1.2 矩阵的合同 (7)3.2 逆矩阵的求解 (8)3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8)3.4 矩阵的求解 (9)3.5 矩阵特征值的简单应用 (10)结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)030 1 前言矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值.2 特征值和特征向量的求解方法求n 阶矩阵A 的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根,然后对每个特征根 ()n i i ,,2,1 =λ求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ的一个基础解系,即为A 的属于特征根i λ的线性无关的特征向量.现再此基础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法.2.1 矩阵的初等变换法这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量.定理[]11设齐次线性方程组0m n A X ⨯=的系数矩阵A 的秩数n r <,000rE PAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭的非奇异矩阵n n Q ⨯ 的后n r - 列便构成线性方程组的一个基础解系.在运用传统方法求解矩阵A 的特征值时,我们求()A E f -=λλ的全部特征根时是通过将矩阵()A E -λ经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变换成下三角矩阵()λG .由定理1知,当矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E A E λ经过一系列的初等列变换变换成()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G 时,求 ()0=λG 得的i λ就是矩阵A 的特征值,然后将i λ代入()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλQ G ,()i G λ中的0列所对应的列就是所对应i λ的特征向量()i Q λ.例1 已知矩阵211031213A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,求矩阵A 的特征值和特征向量.淮阴师范学院毕业论文(设计)05解2221120103102121324310010001001000101100110022112254433454100001010010211112E A E λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪-+-----+→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭()()21001203468001011113.G Q λλλλλλλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪---+→ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭由()()2240λλ--=知A 的特征根122λλ==,43=λ.当122λλ==时,()()1010021202001011111G Q -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,特征向量1111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 当34λ=时,()()10012041004001011111G Q -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,特征向量3111ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.0 2.2 矩阵的行列互逆变换法定理[]22 对于任意的矩阵A ,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛E A 都能经过一系列的行列互逆变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P J T .其中()()(){}()()()r i P P P P P J J J J Ti i i i r r k k k ik r ,,2,1,,,,,,,,,,,,21212121 ====βββλλλ.因为若尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全部根（重根按重数计算）.因此在求解矩阵A 的特征值时我们又可以通过将矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 进行行列互逆变换,从而得到A 特征值i λ,以及它对应的特征向量ik i i βξ=.例2 求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.解.111110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131111100010001312130112333223211213312122121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-r c r r c c r r c c r r cc E A淮阴师范学院毕业论文(设计)07所以特征值4,2321===λλλ,对应特征值43=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113ξ,对应的特征值221==λλ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111ξ.3 矩阵特征值的一些性质及应用3.1 矩阵之间的关系 3.1.1 矩阵的相似性质1 如果存在n 阶可逆矩阵X ,使得n 阶矩阵A 和B 满足AX X B 1-=,即矩阵A与矩阵B 相似,i λ为矩阵A 的特征值,i ξ为i λ所对应的特征向量,则i λ也为矩阵B 的特征值,且B 对应于i λ的特征向量为i X ξ1-.注 反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似.性质2 矩阵A 与B 都是n 阶矩阵,乘积矩阵BA 与AB 不一定相似,但却有相同的特征值.证明 若0是AB 的特征值,则0,0≠⋅=ξξξAB 故AB 不可逆,于是A 与B 中至少有一个不可逆,从而BA 不可逆,故有非零向量ξ使0=ξBA ,即0是BA 的特征值. 设()0≠λλ是AB 的特征值,即存在()0≠ξξ使得λξξ=AB .令ξηB =,则0≠==λξξηAB A ,因此0≠η于是ληξλλξξη==⋅==B B BAB BA ,即η是属于BA 的特征向量,λ是BA 的特征值,同理可证BA 的任何特征值也是AB 的特征值.例如矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A 和矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ,BA 与AB 不相似却有相同的特征值1=λ. 例3 设n 阶矩阵B A ,,则矩阵A BA +与A AB +,B BA +与B AB +分别都有相同的特征值.证明 由于()()E B A A AB A E B A BA +=++=+,,由性质2知B AB A BA ++,有相同的特征值,同理B AB B BA ++,也有相同的特征值.得证.3.1.2 矩阵的合同性质3 n 阶对称矩阵A 与B 合同,即存在n 阶可逆矩阵C ,使得AC C B T =,其充要条0件是A 与B 的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等.这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径.例4 判断矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A 与矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004B 是否合同. 解 因为矩阵A 是实对称矩阵,可以求得()()34det λλλ--=-E A ,即A 的特征值为0321===λλλ,44=λ,矩阵B 的特征值为41=λ,0432===λλλ,由性质知矩阵A 和矩阵B 合同.3.2 逆矩阵的求解性质[]34对于n 阶矩阵A ,由哈密顿―凯莱定理可以知道()0=A f ,即00111=++++--E a A a A a A a n n n n .所以()E Ea A a a A n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⋅-1101,从而()E a A a a An n 11011++-=-- . 故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到1-A .例5 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101001321b b b A ,的特征多项式是()()31-=λλf ,求1-A . 解 因为()()1331233++-=-=λλλλλf ,所以E A A A 3321+-=-, 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-10100130003000333303300312201200132311321331211b b b b b b b b b b b b b A . 由本例可见,任何一个可逆矩阵A 的逆矩阵必是A 的一个多项式,这样又多了一种求逆矩阵的方法.3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件性质[]35 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值0λ在A E -λ中的重数等于A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数. 由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵.淮阴师范学院毕业论文(设计)09例6 矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100100λλλA 能否与对角矩阵相似?为什么? 解 不能.因为0λ是()030=-=-λλλA E 的三重根,且秩()2=-A E λ,于是A 的属于0λ的线性无关向量的个数为123=-,由性质8知,A 不能相似于对角矩阵.3.4矩阵的求解我们知道如果设1λ和2λ是2阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值,1ξ和2ξ是对应于它们的特征向量,则1ξ和2ξ正交.且设()n i i ,,2,1 =λ是n 阶实对称矩阵A 的互不相同的特征值,()n i i ,,2,1 =ξ是对应于特征值的特征向量,则()n i i ,,2,1 =ξ两两正交.这样,如果对于n 阶实对称矩阵A ,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应的特征向量,也能求解出矩阵A .例7 设3阶对称矩阵A 的特征多项式是()()215+-λλ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111ξ是对应于5=λ的特征向量,求矩阵A .解 由上面的性质我们知道1-=λ对应的特征向量和1ξ正交,因此设1-=λ所对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,对应于1-=λ的两个线性无关的向量可取0321=++x x x 的基础解系,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012ξ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ,将正交向量组321,,ξξξ单位化得到正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0213121031212131Q ,正交矩阵Q 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=100010005AQ Q T ,0所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=456546663TQ Q A .补充:同时还能求出kA () ,2,1=k 的值,()T k T T T kT k Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q A Λ=ΛΛ⨯Λ=Λ= )(.3.5 矩阵特征值的简单应用性质[]46 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.性质[]57 n 阶矩阵A 与其转置矩阵TA 有相同的特征值.性质8 已知n 阶矩阵A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则n A λλλ 21⋅=. 例8 设n 阶矩阵A 有n 个特征值n ,,2,1 ,且矩阵B 与A 相似,求B E +的值. 解 因为A 的特征值为n ,,2,1 ,矩阵B 与A 相似. 所以B 的特征值也为n ,,2,1 ,令()1+=λλf ,则()B f 的n 个特征值为()()()1,,32,21+===n n f f f , 因为!21n n A =⋅⋅⋅= ,所以()()()()!121+=⋅⋅⋅=+n n f f f B E .淮阴师范学院毕业论文(设计)011总结矩阵是线性代数中的一个重要部分，特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分。
a-λe求特征值计算技巧
a-λe求特征值计算技巧
特征值计算的技巧可以根据不同的情况采取不同的方法，以下是一些常用的技巧：
1. 使用特征多项式：对于一个n阶矩阵A，可以通过求解其特征多项式来计算特征值。
特征多项式的定义为：det(A-λI)，其中I是n阶单位矩阵。
通过求解特征多项式的根，即可得到特征值。
2. 利用矩阵的性质：对于一些特殊的矩阵，可以利用其特定的性质来计算特征值。
例如，对于对称矩阵，其特征值一定是实数；对于三角矩阵，其特征值可以直接读取对角线上的元素。
3. 使用特征向量：特征值和特征向量是一一对应的，可以通过求解特征向量来获得特征值。
对于一个特定的特征值λ，可以通过求解(A-λI)x=0来得到特征向量x，其中A是待求矩阵，I是单位矩阵。
特征向量的计算可以使用高斯消元法等线性代数的方法。
4. 利用特征值的性质：特征值具有一些性质，例如特征值之和等于矩阵的迹，特征值之积等于矩阵的行列式。
可以利用这些性质来简化特征值的计算。
总结起来，特征值的计算可以通过特征多项式、矩阵的性质、特征向量和特征值的性质等多种方法来进行。
具体的选择和使用方法需要根据具体的矩阵和计算需求来确定。
特征多项式相等特征值相等证明
特征多项式相等特征值相等证明1. 特征值和特征向量的背景知识特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
对于一个n阶矩阵A，如果存在数λ和非零向量X，使得AX=λX成立，则称λ是A的特征值，X是对应于特征值λ的特征向量。
2. 特征多项式的定义对于n阶矩阵A，其特征多项式定义为p(λ)=|A-λI|，其中I是n阶单位矩阵，|A-λI|表示A的特征多项式的行列式形式。
特征多项式的根即为矩阵A的特征值。
3. 特征多项式相等特征值相等的证明矩阵A,B的特征多项式相等，意味着两者的特征值相同。
下面进行证明。
步骤一：给定矩阵A,B的特征多项式相等，即pA(λ)=pB(λ)。
证明：根据特征多项式的定义，pA(λ)=|A-λI|，pB(λ)=|B-λI|。
根据特征多项式相等的条件，可得到|A-λI|=|B-λI|。
步骤二：证明A,B的特征值相等。
证明：由于pA(λ)=|A-λI|，pB(λ)=|B-λI|，根据步骤一可得|A-λI|=|B-λI|，即A-λI与B-λI的行列式相等。
由线性代数知识可知，行列式相等意味着两个矩阵的特征值相等。
步骤三：得出结论由步骤二可知，A,B的特征值相等。
特征多项式相等，特征值也相等成立。
4. 结论通过以上证明过程，我们可以得出结论：如果两个矩阵的特征多项式相等，那么它们的特征值也相等。
这一结论在矩阵分析和线性代数领域具有重要意义，为进一步研究矩阵的特征值和特征向量提供了重要的理论基础。
5. 总结本文通过介绍特征值和特征向量的定义，特征多项式的概念，以及特征多项式相等特征值相等的证明过程，阐述了矩阵论中的重要定理。
特征多项式相等可以推断出特征值相等，这一结论为矩阵分析理论和实际应用提供了重要的指导意义。
希望本文的介绍对读者有所帮助，引发更多关于特征值和特征向量的深入思考。
特征值和特征向量在矩阵论中起着至关重要的作用，它们不仅是理论研究的重要基础，也是在实际问题中求解矩阵特征问题的重要工具。
特征值问题与本征函数的求解
特征值问题与本征函数的求解特征值问题和本征函数的求解在数学和科学领域中具有广泛的应用。
特征值问题是求解矩阵或者线性变换的特征值和对应的特征向量，而本征函数是描述线性微分方程的解。
本文将从基本概念、求解方法以及应用方面详细介绍特征值问题与本征函数的求解。
一、特征值问题的概念特征值问题涉及到矩阵的特征值和特征向量的求解。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ被称为矩阵A的特征值，x是对应的特征向量。
特征值问题的目标就是求解出矩阵A的所有特征值和对应的特征向量。
二、特征值问题的求解方法特征值问题的求解可以通过代数方法和几何方法来实现。
1. 代数方法代数方法是通过求解矩阵的特征多项式来得到特征值。
特征多项式定义为det(A-λI)，其中det表示矩阵的行列式，λ是一个标量，I是单位矩阵。
通过求解特征多项式的根，即可得到矩阵的特征值。
然后，将特征值代入(A-λI)x=0，解方程组可以得到对应的特征向量。
2. 几何方法几何方法是通过观察矩阵的几何特性来求解特征值和特征向量。
根据特征向量的定义，特征向量在矩阵的线性变换下只发生标量倍数的变化，因此特征向量是线性变换的不变子空间。
利用这个性质，可以通过观察矩阵的不变子空间的维度和结构来得到特征值和特征向量。
三、本征函数的概念与求解本征函数是描述线性微分方程的解。
给定一个线性微分方程L[u]=λu，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，λ是一个标量，那么u被称为本征函数，λ是对应的本征值。
本征函数的求解在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
本征函数的求解可以通过代数方法和变换方法来实现。
1. 代数方法代数方法是通过求解线性微分方程的特征方程来得到本征值。
特征方程定义为L[u]-λu=0，其中L[u]表示线性微分算子作用在函数u上，λ是一个标量。
通过求解特征方程的根，即可得到本征值。
然后，将本征值代入L[u]-λu=0，解微分方程可以得到对应的本征函数。
矩阵的特征多项式怎么求
矩阵的特征多项式怎么求用特征多项式求一个矩阵的特征值，应该是每个人都应该掌握的基本功。
但是我相信很多同学发现，很多答案的分析都是列出特征多项式，直接给出因式分解，然后给出特征值。
但是从特征多项式到因式分解的过程有时候就像雾里看花，让很多人很头疼！常用的方法有“抵消法”、展开三阶多项式猜想分组分离法和待定系数法！•“抵消法”：考研范围内的矩阵求特征值，普遍是三阶矩阵，针对三阶实对称矩阵，一般是使用“抵消为0”先凑因式的方法求解，这种方法如果运气不佳，可能要尝试6次，最为致命的是，针对叠加情况，会失效，这种试错率太高，不适合考场使用，（但是如果你第一眼就看出来了，就用吧，因为确实简单！）——具体请查看李永乐老师的视频讲解！•分组分离法：需要首先猜想出来一个特征值，一般来说，有经验的同学可以尝试特征值为 \pm1，\pm2，\pm3，\pm\sqrt{2} 等等，如果恰好猜对了一个特征值，剩下的两个特征值迎刃而解；其弊端有很多，1.含参展开计算量大，2.猜想需要足够经验，如果猜不出来，浪费时间太多，3.不适用于两位数的三阶矩阵！•待定系数法:这是对二元线性方程的叉乘的类比。
众所周知，这种方法很考验数学感觉，尤其是三阶多项式。
如果你能看到，那就很简单了。
看不出来就是浪费时间，看不出来！如果，你在考试的时候，借助以上方法求不出结果，遭遇“绝境”的话，那么，就请尝试以下方法——代10猜想法！鉴于考研数学是以三阶矩阵为基础的，本文用三阶矩阵来分析10猜的例子！下面举三个例子来说明这种方法的具体用法！1. A=\left[\begin{array}{} 2&-2&0\\ -2&1&-2\\ 0&-2&0\\ \end{array}\right] ，求 A 的特征值。
2.B=\left[\begin{array}{} 1&2&-3\\ -1&4&-3\\ 1&-3&5\\ \end{array}\right] ，求 B 的特征值。
求特征向量的化简技巧
求特征向量的化简技巧
求特征值的化简技巧：第一步：计算的特征多项式。
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值。
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。
特征值是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广
泛的应用。
例如将特征值的值域扩展到复数领域，则一个广义特征值存有如下形式：aν=λbν。
其中a和b为矩阵。
其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程（a-λb）
ν=0，得到det（a-λb）=0（其中det即行列式）构成形如a-λb的矩阵的集合。
当b为非对称矩阵（无法展开连分数）时，广义特征值问题必须以其完整定义去解。
如果a和b就是虚等距矩阵，则特征值为实数。
这在上面的第二种等价关系式定义中并不
显著，因为a矩阵未必就是等距的。
特征多项式求解技巧示例
特征多项式求解技巧示例特征多项式求解是线性代数中一个重要的概念，它在许多应用中都有着广泛的应用，如矩阵对角化、矩阵的谱分解等。
在本文中，我们将介绍特征多项式求解的技巧，并通过一些示例来帮助读者更好地理解。
在开始介绍特征多项式求解技巧之前，我们先来回顾一下特征多项式的定义。
给定n阶矩阵A，特征多项式是一个关于λ的n次多项式，定义为：det(A - λI) = 0其中，det(A - λI)表示矩阵A - λI的行列式，I是单位矩阵。
特征多项式的根称为矩阵的特征值，可以通过求解特征多项式来得到。
下面，我们将介绍两种常用的特征多项式求解技巧：特征值分解和特征向量展开。
1. 特征值分解（Eigenvalue Decomposition）特征值分解是一种常见的特征多项式求解技巧，它的思想是将矩阵A分解成特征向量构成的矩阵乘以特征值的对角矩阵，即：A = PDP^-1其中，P是由A的线性无关的特征向量组成的矩阵，D 是对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
特征值分解使得求解特征多项式的问题简化成了求解特征向量和特征值的问题。
具体求解特征值分解的步骤如下：（1）求解特征多项式的根，即A - λI = 0的解。
这可以通过求解特征多项式的根来完成，求解过程中可能需要使用到一些求根的数值方法。
（2）对于每个特征值λ，解出(A - λI)x = 0，得到对应的特征向量x。
注意，对于重复的特征值，可能存在多个线性无关的特征向量。
特征值分解的优点是求解过程相对简单，并且可以得到所有的特征向量。
但它的局限性在于，不是所有的矩阵都可以进行特征值分解。
只有满足一定条件的方阵才能进行特征值分解。
2. 特征向量展开（Eigenvector Expansion）特征向量展开是另一种常用的特征多项式求解技巧，它的思想是将矩阵A表示成特征向量和特征值的线性组合，即：A = XΛX^-1其中，X是由A的线性无关的特征向量组成的矩阵，Λ是对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
求解特征值技巧
求解特征值技巧特征值技巧是线性代数中一个重要的概念，它能够帮助我们简化矩阵运算和解决许多实际问题。
在这篇文章中，我将介绍特征值的定义、性质以及应用技巧，以帮助读者更好地理解和应用特征值。
特征值定义在矩阵代数中，特征值是指矩阵A的某个标量λ，满足以下条件：Ax = λx其中A是一个n*n矩阵，x是一个n维列向量。
特征值的存在与否取决于矩阵A的性质。
特征值的计算计算矩阵的特征值需要解特征方程Det(A-λI)=0，其中Det表示矩阵的行列式，I表示单位矩阵。
通过解特征方程，我们可以得到矩阵的特征值。
举例来说，对于一个2*2的矩阵A，特征方程可以写成：Det(A-λI) = (a-λ)*(d-λ) - b*c = 0解这个二次方程可以得到两个特征值。
特征向量的计算特征向量是指满足特征方程的向量x。
我们可以根据特征值，通过解(A-λI)x=0来计算特征向量。
特征向量对应于特征值所定义的特征子空间。
特征值的性质特征值具有以下几个基本性质：1. 特征值的和等于矩阵的迹（tr(A)）。
迹是矩阵对角线上元素的和，代表了矩阵的主要特征。
特征值的和等于矩阵的迹，即λ1+λ2+...+λn = tr(A)。
2. 特征值的乘积等于矩阵的行列式（|A|）。
行列式是矩阵的一个重要性质，代表了矩阵的面积、体积或n维体积。
特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ1*λ2*...*λn = |A|。
3. 特征值的个数等于矩阵的秩（rank(A)）。
秩是矩阵的一个重要性质，代表了矩阵的线性相关性。
特征值的个数等于矩阵的秩，即矩阵A的秩为r，则矩阵A 有r个特征值。
特征值的应用技巧特征值在许多科学和工程领域中有着广泛的应用。
以下是一些特征值的应用技巧：1. 矩阵相似性变换特征值可以帮助我们进行矩阵的相似性变换。
如果两个矩阵A和B具有相同的特征值，则它们是相似的，可以通过相似性变换转化为对角矩阵。
2. 矩阵的对角化如果一个矩阵A具有n个线性无关的特征向量，则可以将矩阵A对角化为对角矩阵D，其中对角线上的元素是矩阵的特征值。
43多项式方法求特征值问题
4．3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1） 的根。
)(λϕ称为A 的特征多项式。
上式展开为n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。
从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。
对于低阶矩阵，这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。
由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3）利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 113121332211===== （4.3.4）可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。
用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。
相应特征方程为：0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为)(1111I p B p A n n n ----=(4.3.6)例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A的特征值与1-A .解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B所以A 的特征方程为0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有I p B n n = (4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r<n). 当矩阵A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n 个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为λλλ------142235224=0 展开后为 0)5)(2)(1(=---λλλ 故特征值分别为5,2,1321===λλλ下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+004202250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-004202230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0525205451600545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14121 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11=λ的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B 为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=52545452516516B (4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k 行中的最大主元素,其中k 是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=412101B (4.3.13) 此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵I A λ-的阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13-=x ,由方程组(4.3.11)知道,其他两个分量的值正好能从含3x 的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B 最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T)1,41,21(---. 在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有k 重根λ时,矩阵I A λ-的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于λ的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A 其特征方程为032422423=---λλλ展开后得 0)8()1(2=-+λλ 所以特征值为8,1321=-==λλλ为了决定1-=λ的特征向量,将1-=λ代入方程组(I A λ-)x=0,得0424212424321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得01002/100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002/100B (4.3.16) 因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1-=λ有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由（4.3.15）式可看出,一般总是选择0,132=-=x x 求一个特征向量;选择1,032-==x x 求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012/1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B 中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法
多项式特征值的迭代解法是一种通过迭代计算逼近多项式的特征值的方法。
该方法的基本思想是先猜测一个特征值的近似值，然后通过迭代计算逐渐逼近真实的特征值。
具体的迭代算法如下：
1. 随机选择一个初始特征值的近似值x0。
2. 对于每一次迭代k，计算下一个近似值xk+1 = f(xk)，其中f(x)是多项式的特征方程。
可以使用多项式的特征方程展开为多项式后，对xk进行代入计算得到xk+1。
3. 如果xk+1与xk之间的差值小于一定的阈值，那么停止迭代，xk+1即为多项式的特征值的近似值；否则，返回第2步。
需要注意的是，迭代解法并不能保证得到多项式的所有特征值，只能得到其中的一个或几个。
此外，迭代解法的收敛性和速度也取决于初始特征值的选择和多项式的特征方程的性质。
迭代解法的优点是简单易实现，适用于一些特殊的多项式特征值计算问题。
但对于一般的多项式特征值计算问题，其他的方法如QR 算法、幂迭代法等可能更为有效。
求特征值的化简技巧
求特征值的化简技巧
求特征值的化简技巧：第一步：计算的特征多项式。
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值。
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。
扩展资料：
特征值是线性代数中的一个重要概念，在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：
Aν=λBν。
其中A和B为矩阵。
其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程（A-λB）ν=0，得到det（A-λB）=0（其中det即行列式）构成形如A-λB 的矩阵的集合。
当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。
这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为A矩阵未必是对称的。
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43多项式方法求特征值问题4．3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程0||)(=-=I A λλϕ （4.3.1）的根。
)(λϕ称为A 的特征多项式。
上式展开为n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλϕ （4.3.2）其中n p p p ,...,21为多项式)(λϕ的系数。
从理论上讲，求A 的特征值可分为两步：第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λϕ；第二步 求代数方程0)(=x ϕ的根，即特征值。
对于低阶矩阵，这种方法是可行的。
但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。
这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λϕ的系数。
由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λϕ，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。
记矩阵A=n n ij a ⨯)(的对角线元素之和为nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3）利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB kp trB p trB p trB p 113121332211===== （4.3.4）可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λϕ的各系数。
用（4.3.4）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。
相应特征方程为：0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5）而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----=(4.3.6) 例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A的特征值与1-A .解 用F-L 方法求得 831800080008)(152111242824211)(63242024233322322112111==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==trB p I p B A B trB p I p B A B trB p A B 所以A 的特征方程为0)8156()1(233=----λλλ 此方程的根,即特征值为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-=-==-214121418741214121)(11,1,82231321I p B p A λλλ 从例1中的计算结果可知.33I p B =Faddeev 曾经证明: 对n 阶矩阵A,按(4.3.4)式计算出的n B 总有I p B nn = (4.3.7)4.3.2 特征向量求法当矩阵A 的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(I A λ-)x=0中,由于系数矩阵I A λ-的秩小于矩阵I A λ-的阶数n,因此虽然有n 个方程n 个未知数,但实际上是解有n 个未知数的相互独立的r 个方程(r<n). 当矩阵A 的所有特征值互不相同时,这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程,其中含有n 个特征向量分量,因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值,才能求出其他特征分量.在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-若当消去法,以便把一组n 个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是独立的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以避免主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和避免零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置.例如,假设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=142235224A 其特征方程为λλλ------142235224=0展开后为0)5)(2)(1(=---λλλ 故特征值分别为5,2,1321===λλλ下面求特征向量，将1λ代入方程组0)(=-x I A λ中，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=-+004202250223321321321x x x x x x x x x （4.3.8）以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=++-004202230225321321321x x x x x x x x x (4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的1x ,并把主元素所在行调到最后,得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=-+=-+0525205451600545160321321321x x x x x x x x x (4.3.10)再以16/5为主元素,消去它所在列中的2x ,并把主元素所在的行调到最后,得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++041002100000321321321x x x x x x x x x (4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个独立的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,则其它两个值就可以通过两个独立方程解出.比如,令13-=x ,则得到矩阵A 的对应于11=λ的一个特征向量为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14121 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11=λ的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-若当消去法的公式,方程组(4.3.9)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B 为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=52545452516516B (4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选择,然后再进行必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k 行中的最大主元素,其中k 是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则得到列矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=412101B (4.3.13)此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵I A λ-的阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数,两个独立方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令13-=x ,由方程组(4.3.11)知道,其他两个分量的值正好能从含3x 的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令1B 最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量T )1,41,21(---.在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一个特征方程有k 重根λ时,矩阵I A λ-的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于λ的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=324202423A 其特征方程为032422423=---λλλ展开后得0)8()1(2=-+λλ 所以特征值为8,1321=-==λλλ 为了决定1-=λ的特征向量,将1-=λ代入方程组(I A λ-)x=0,得 0424212424321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.14)应用一次高斯-若当消去法,得01002/100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002/100B (4.3.16)因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1-=λ有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由（4.3.15）式可看出,一般总是选择0,132=-=x x 求一个特征向量;选择1,032-==x x 求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012/1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的B 中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。
对应于1-=λ的全部特征向量为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101012/121k k 其中1k 与2k 是任意常数，且不同时为零。
为了说明列交换的必要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A 为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1004411282A 其特征方程为0)1()2(=--λλλ 特征值为1,0,2321===λλλ 对应于2=λ的特征向量可由解下列方程组而求得01004211284321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.17)用一次高斯-若当消去法，得0321100100321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-x x x (4.3.18)若不进行列交换，则下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对(4.3.17)式进行列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进行消去过程.对(4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为00011244812123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----x x x (4.3.19)其中未知数列矩阵中1x 与3x 也进行了交换，这样才能保证(4.3.17)式与(4.3.19)式等价，对(4.3.19)式进行一次高斯-若当消去法，得 03/13/213/13/203/13/20123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--x x x(4.3.20)再进行一次消去过程，得02/110001000123=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x (4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/100B (4.3.22)将(4.3.22)式中的列矩阵B 中第一个0元素用-1代替，并随即调到最下面一行，便得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12/10 （4.3.23）这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算机程序中应把原来进行列交换的列号次序记住，重新把(4.3.23)式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于2=λ的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11 对应于的全部的特征向量为k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02/11其中k 为不等于零的任意常数.。