考研数学三十六计之四

考研数学三十六计之四 细说差分与差分方程
考研数三大纲是要求考差分与差分方程的。 由于差分方程与微分方程有一些 类似之处，因此，一般高数书都是将微分方程与差分方程放在一起讲的。本讲将 详细介绍差分的定义、性质以及一阶线性差分方程的解法。 1.差分的定义 ① 差分 设函数 y = f (t ) 中的自变量 t 取所有的非负整数，并记其函数值为 yt ，则其函 数值可以排列成一个数列 y0 , y1 , y2 ," , yn ," ，差 yt +1 − yt 称为函数 yt 的差分，也称 为一阶差分，记为 Δyt ，即 Δyt = yt +1 − yt 。 ② 高阶差分 对于导数来说，一阶导数的导数称为二阶导数，与此相似，二阶 差分就是一阶差分的差分，即
Δ 2 yt = Δ(Δyt ) = Δyt +1 − Δyt = ( yt + 2 − yt +1 ) − ( yt +1 − yt ) = yt + 2 − 2 yt +1 + yt ，
同样可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分，二阶及二阶以上的差分统 称为高阶差分。 为了表达上的方便，我们规定
i =0 i =0 t −1 t −1
k 次多项式， C 为常数。我们用数学归纳法来论证这个事实。
事实上，当 k = 0 时，结论是正确的。 假设 k ≤ n ∈ N 时，结论成立，即 ∑ i k a i = Pk (t )a t + C 。当 k = n + 1 时，
i =0 t −1
令
S = ∑ i k a i = ∑ i n +1a i = ∑ i n +1a i
4
因此，
∑ i 2 ai = ∑ i(i − 1)ai +∑ iai =
i =0 i=2 i =1
t −1
t −1
t −1
a t t (t − 1) 2ta t +1 2a 2 (1 − a t ) 1 a a − + + ta t − at + 2 3 2 a −1 (1 − a) (1 − a) a −1 (1 − a) (1 − a ) 2
3
若 a = 1 ，则 yt = ∑ fi 。设 ft 为 t 的 n 次多项式，也就是说 { f t } 为 n 阶等差数
i =0
t −1
列，根据高阶等差数列的知识 yt = ∑ fi 为 t 的 n + 1 次多项式，且形如 tgt ，其中，
i =0
t −1
gt 为 t 的 n 次多项式。
若 a ≠ 1 ，则情况就复杂多了。我们考虑这样一个问题：求 ∑ i k a i 的具体表
⎧ ⎫′ t −1 ′ ⎡ 2a − ta t −1 − a 2 + ta t − a t ⎤′ ⎞ ⎡ 1 − a t ⎤′ ⎪ 2 ⎪ ⎛ a =a ⎢ ⎥ = a ⎨t ⎜ a − 1 ⎟ + ⎢ (1 − a ) 2 ⎥ ⎬ (1 − a ) 2 ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎩ ⎭
2
⎡ (t − 1)a t − 2 (a − 1) − a t −1 ta t −1 2(1 − a t ) ⎤ − + = a 2 ⎢t (a − 1) 2 (1 − a ) 2 (1 − a )3 ⎥ ⎣ ⎦ t t +1 t +1 2 t (t − 1)a (a − 1) − a ta 2a (1 − a ) =t − + 2 2 (a − 1) (1 − a ) (1 − a )3 = a t t (t − 1) 2ta t +1 2a 2 (1 − a t ) − + a −1 (1 − a ) 2 (1 − a )3
⎞′ t (a − 1)a t −1 + 1 − a t = a ⎟ (1 − a) 2 ⎠
也就是 ∑ ia i 形如 (a1t + a0 )a t + C ， a1 , a0 , C 为常数。
i =0
t −1
∑ i 2 ai = ∑ i 2 ai = ∑ i(i − 1)ai +∑ iai = ∑ i(i − 1)ai +∑ iai
n
S=
Q (t ) Q (t ) C C + n +1 a t = + k at 1− a 1− a 1− a 1− a
yt +1 = ayt + f t
若 a = 0 ，则 yt = ft −1 ， t ≥ 2 。若 a ≠ 0 ，则
yt +1 yt ft y ，我们记 gt = tt ，则 = t + t+ t +1 1 a a a a
gt +1 = gt +
t −1 t −1 ft fi yt y0 t −1 f i fi ， g = g + ，即 = + = + ， y ∑ ∑ ∑ t 0 0 i +1 t 0 i +1 i +1 t +1 a a a i =0 a i =0 a i =0 a
i =0 t −1
达式。
∑ ai =
i =0 t −1 i =0
t −1
1 − at 1 at = + 1− a 1− a a −1
也就说 ∑ a i 形如 a0 a t + C ， a0 , C 为常数。
t −1 t −1 ⎛ 1 − at ⎛ t −1 i ⎞′ i i −1 i ′ ia = a ia = a a = a a = a ( ) ∑ ∑ ∑ ⎜ ⎜∑ ⎟ i =0 i =1 i =1 ⎝ i =0 ⎠ ⎝ 1− a 1 a a = ta t − at + 2 a −1 (1 − a) (1 − a) 2 t −1
= a + ∑ (−1) n − j Cnj+1C j + Qn (t )a t − (t − 1) n +1 a t
j =0 n t n +1 t t = a + ∑ (−1) n − j Cnj+1C j + ⎡ ⎣Qn (t )a − (t − 1) ⎤ ⎦ a = C + Qn +1a j =0
Δ 0 yt = yt
2.差分的性质 ① 线性性
Δ(ayt + bzt ) = aΔyt + bΔzt
其中， a, b 为常数。 事实上，
Δ(ayt + bzt ) = ayt +1 + bzt +1 − (ayt + bzt ) = a( yt +1 − yt ) + b( zt +1 − zt ) = aΔyt + bΔzt
i =0 i =0 i =1 t −1 t −1 t −1
aS = ∑ i n +1a i +1 =
i =1
t −1
Hale Waihona Puke j =i +1 t
i = j −1
∑ ( j − 1)n+1a j = ∑ (i − 1)n+1ai + (t − 1)n+1 at
j =2 i =2
t −1
因此，
(1 − a ) S = ∑ i n +1a i − ∑ (i − 1) n +1a i − (t − 1) n +1 a t = a + ∑ i n +1a i − ∑ (i − 1) n +1a i − (t − 1) n +1 a t
yt +1 + ayt = gt
的一个特解。 yt2 为一阶线性差分方程
yt +1 + ayt = ht
则 yt = yt1 + yt2 为一阶线性差分方程
yt +1 + ayt = f t
的一个特解。 这称为一阶线性差分方程解的叠加定理。 4.特殊的非齐次项情形 对于一般的非齐次项 ft ，想给出 yt 的具体表达式是不容易的。不过，对于某 些特殊的非齐次项，却可以预先写出含未知参数的解，而后用待定系数法求出未 知参数。这一点，与微分方程有异曲同工之妙。 这里讨论 ft 为 t 的多项式以及多项式与指数函数之积的情形。 (1) 若 ft 为 t 的多项式。
i =0 t −1
非齐次方程 yt +1 = ayt + f (t ) 的一个特解。从这个角度来看，非齐次方程
yt +1 = ayt + f (t ) 的通解是它的一个特解再加上对应齐次方程的通解。这与一阶线
性微分方程是类似的。 ③ 一阶线性差分方程解的叠加定理 设 ft = gt + ht 。若 yt1 为一阶线性差分方程
=
at 2ta 2a 2 (1 − a t ) a a − + − at + 2 3 2 a − 1 (1 − a) (1 − a) (1 − a) (1 − a) 2
t 2
t −1 i =0
t +1
也就是说 ∑ i 2 a i 形如 (a2t 2 + a1t + a0 )a t + C ， a2 , a1 , a0 , C 为常数。 我们归纳出 ∑ i k a i = Pk (t )a t + C ，其中，Pk (t ) 为 t 的 我们来看一般的 ∑ i k a i 的形式。
i =0 i =1 i =1 i =1 i=2 i =1
t −1
t −1
t −1
t −1
t −1
t −1
2 t −2 ′′ t −1 t −1 t −1 ) ⎤′′ i 2 i −2 2 i 2⎛ i⎞ 2 ⎡ a (1 − a ′′ − = − = = = i ( i 1) a a i ( i 1) a a ( a ) a a a ∑ ∑ ∑ ⎢ ⎥ ⎜∑ ⎟ i =2 i=2 i=2 ⎝ i=2 ⎠ ⎣ 1− a ⎦ t −1