2009届高考数学解答题编拟(5)理科 南村中学 邓华萍
2009年高考四川数学(理科)试题及参考答案
5 xf ( x 1) (1 x ) f ( x) ，则 f ( f ( )) 的值是 2 1 5 A.0 B. C.1 D. 2 2
第Ⅱ卷
考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． 13. (2 x
a 2,c 5
……………………………………12 分
（18） 本小题主要考察相互独立事件、 互斥事件、 随机变量的分布列、 数学期望等概率计算， 考察运用概率只是解决实际问题的能力。
解： （Ⅰ）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡。 设事件 B 为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” ， 事件 A1 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡” ， 事件 A2 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡” 。
球心 O 到平面 ABC 的距离是 A.
3 2 ，则 B、C 两点的球面距离是 2
C.
3
B.
4 3
D. 2
2
9. 已知直线 l1 : 4 x 3 y 6 0 和直线 l2 : x 1 ，抛物线 y 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.
P( B) P( A1 ) P( A2 )
1 2 1 1 1 C9 C21 C9 C6 C21 3 3 C36 C36
9 27 34 170 36 85
所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是
2009年广东省高考数学试卷(理科)含详解-推荐下载
Ａ．①和②
Ｂ．②和③
Ｃ．.③和④
6．一质点受到平面上的三个力 F1, F2 , F3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 F1, F2 成 600 角，
且 F1, F2 的大小分别为２和４，则 F3 的大小为
Ａ．６
Ｂ．２
Ｃ． 2 5
7．2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、
A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面
C．在 t0 时刻，两车的位置相同
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（９～１２题）
９．随机抽取某产品 n 件，测得其长度分别为 a1, a2 ,, an ，则图 3 所
示的程序框图输出的 s
．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
．
12．已知离散型随机变量 X 的分布列如右表．若 EX 0 ， DX 1 ，则
a
，b
．
（二）选做题（13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线
B． t1 时刻后，甲车在乙车后面
D． t0 时刻后，乙车在甲车前面
，s 表示的样本的数字特征是
l1
:
x 1 2t,
参考公式：锥体的体积公式V 1 sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高 3
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
１．巳知全集U R ，集合 M {x 2 x 1 2} 和 N {x x 2k 1, k 1, 2,}的关系的韦恩
2009年全国高考理科数学试题及答案-广东卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．巳知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-= 的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ２．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12xＤ．2x４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >= ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④6．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成060角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3所示的程序框图输出的s = ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） １０．若平面向量,a b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ．11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0E X =，1D X =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且4,45AB AC B =∠=，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin cos θθ和的值；（2）若sin()0102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示．已知7732738123578125,2128,,36573518253651825182591259125==++++==⨯）18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11B C C B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ、Ｇ在平面11D C C D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形F G A E 在平面11D C C D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正统值19．（本小题满分１４分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段A B 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（１）若点Q 是线段A B 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； （２）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与点D 有公共点，试求a 的最小值．20．（本小题满分１４分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=．（１）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Qm 的值； （２）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 21．（本小题满分１４分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ． （１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nx x x x x y -⋅⋅⋅⋅<<。
2009高考数学模拟试题13套数学5
2009年教师命题比赛数学科试题、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分30分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1•满足 M M {a i , a 2, a 3, a 4）且 M Q{ a !耳，a 3）={ a^a ?}的集合 M 的个数是（） A 1B. 2C 3D 42. “Igx .Igy ”是 “ ..x _ y ”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 D既不充分又不必要条件3.若复数Z 满足（2 - i ）Z =2，则Z 所对点所在复平面的象限为 ( ) A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4设{ a n }是公比为正数的等比数列，若a1=1,a 5=16,则数列{ 「a n}前7项的和为A.63B.64C.127D.128—1兰X 兰1,9.已知实数X 、y 满足条件丿 贝U 函数z=3x-y 的最大值是10. 运行下边算法流程，若 x 输入3时，输出y 的值为 __________5.从A 、B 、C 、D 、E 五名短跑运动员中任选 4名，排在标号分别为 1、2、3、4的跑道 上，则不同的排法有 A . 24种B . 48种6•右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 该几何体的表面积是（ A 9 n C 11 n() C . 120种可得7 .已知 b 0 , b =1, y= b ax 的图象只可能是8、在厶ABC 中，已知向量 10n 12n=0,则函数 y= ax+ b 禾口/7^LiAB 与AC 满足（|AB|輕)BC =0且-AB| AC || AB | | AC |△ ABC ^（ ）A.三边均不相等的三角形C.直角三角形B. 等腰非等边三角形 等边三角形二、填空题（本大题共7小题，每小题30分.其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的, 只计算前两题得分..）D . 124种X(XXACAB选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分三、解答题（共6个小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16 （本小题满分12分）设"ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a,b,c ,且A=60 , c=3b.a 1 1求：（I ）—的值；（n ）求 的值.（2008重庆17）c ta nB tanC17（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球， 命中率分别为-2与p ，且乙投球2次均未命中的概率为 -16（I ）求乙投球的命中率 p ；11.已知 f (x) =sin( x 0), f且f （x ）在区间（―，—）有最小值，无最大值, 6 3 贝y 时= _________ . 12. 10.将全体正整数排成一个三角形数阵:1 2 3 6 5 789 15 14 13 4 1012 11按照以上排列的规律，第 2n-1行（n • N 第3个数为|V▼L2y = xy = x +1———13.不等式X+1 +X —2 35的解集为结束14.在直角坐标系xoy 中，已知曲线 c 的参数方程是厂弘厂1 u 是参数），若以o 为X = cosQ极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为15.已知：如图，PT 切O O 于点T ,PA 交O O 于A 、B 两点且与直径 CT 交于点D , CD = 2,AD = 3, BD = 6，贝U PB =开始输入x是 否X :::是x _ 1否，且n 》2）从左向右的输出y(n)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为 •，求的分布列和数学期望18. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC-A i B i C i 中，平面 ABC 丄侧面A I ABB 1. (I)求证：AB 丄BC ;(n)若直线 AC 与平面A 1BC 所成的角为0，二面角A 1-BC-A 的大小为$的大小关系，并 予以证明.19. (本小题满分14分)2设函数 f (x) =2ln (x —1 )-(x —1).(1)求函数f (x)的单调递增区间;(2)若关于x 的方程f x ，x 2-3x-a=0在区间12,4丨内恰有两个相异的实根，求实 数a 的取值范围.20、(14分)已知点 H (— 3, 0),点P 在y 轴上，点 Q 在x 轴的正半轴上，点 M 在直线3——PQ 上，且满足 HP PM =0, PMMQ .2(I)当点P 在y 轴上移动时，求点 M 的轨迹C ； D(m,0)( m 0)作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，E 是D 点关于坐标原点(1)求数列3n ?的通项公式;(n)过定点 O 的对称点，求证: (川)在(n) 定值？若存在求出AED "BED ；中，是否存在垂直于x 轴的直线I 被以AD 为直径的圆截得的弦长恒为「的方程；若不存在，请说明理由21.(本题满分14分)已知数列'a * 中，a 1 = 1,且点P a n ,a n 1 n • N ”在直线x - y ■ 1 = 0上.(2) 若函数 f (n) = —1— - 一1一 - 一1— ■■ ■■ - 一1一 n 三 N ,且n _ 2，求函数 f (n)的 n +a t n +a 2 n +a 3 n +a n 最小值；3 七2 • S 3• S n 」.=0-1 Q n 对于一切不小于 2的自然数n 恒成立？ 若存在，写出g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由. （东莞市2009届高三模拟试 题（二））中山市华侨中学 2009年教师命题比赛数学科答案命题教师:赵善兰年级:高二一、 选择题1. B 2 A 3 D 4C5C5C 6D7C 8 （改编题）B（本题考查基础知识和基本运算）二、 填空题29. 3 ; 10 . 4 ; 11.14/3; 12.（自编题）2n-n-213（—叫 一2® [3,+晌4） p = 2si n 015. 15（本题考查基础知识和基本运算）三、 解答题16、（2008重庆理数17） （12分）本小题主要考查解三角形、三角变形基本知识，考查学生的变换、化归和运算能力。
2009年高考试题——数学理(上海卷)解析版-推荐下载
5．【答案】 arctan 5
【解析】因为 AD∥A1D1，异面直线 BD1 与 AD 所成角就是 BD1 与 A1D1 所在角，即∠A1D1B，
由勾股定理，得 A1B＝2 5 ，tan∠A1D1B＝ 5 ，所以，∠A1D1B＝ arctan 5 。
6．函数 y 2 cos2 x sin 2x 的最小值是_____________________ .
11、【答案】k≤1
【解析】作出
y1
sin x kx 成立，由图可知须 k≤1。 2
12．已知函数
f
(x)
sin
sin
x 2
x
与
y2
tan
x
，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有
），B（1,0），三角形 AOB 的面
kx 的图象，要使不等式
.项数为
d 0 .若 f (a1 ) f (a2 ) f (a27 ) 0 ，则当 k =____________是， f (ak ) 0 .
6．【答案】1 2 【解析】 f (x) cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x ) 1 ，所以最小值为：1 2
4 7．某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示
选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E ____________（结果用最简分数表示）.
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7．【答案】
7
【解析】
P（
＝2）＝
可取
C
C
0，1，2，因此
2 2
2 7
2009年高考数学试卷中的问题解决型应用题问题
万方数据
万方数据
万方数据
2009年高考数学试卷中的问题解决型应用题问题
作者：李光辉
作者单位：天津师范大学数学科学学院,300387
刊名：
数学通报
英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS
年，卷(期)：2010，49(4)
被引用次数：0次
1.姜启源数学模型 1993
2.波利亚.周育苏怎样解题 1982
3.中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准 2004
4.郑毓信数学方法论 2003
5.张马彪对数学实验的探讨 2002
6.厉小康解应用问题的障碍分析及对策研究 2002
7.方俊.吴方浅谈中学数学教学中"数学建模"思想的渗透 2006(8)
本文链接：/Periodical_sxtb201004019.aspx
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2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．257．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F 为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选A2．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4） C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选B．3．（5分）（2009•黑龙江）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA 的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选D．4．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选B．5．（5分）（2009•黑龙江）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos ∠A1BE的大小．【解答】解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，设AB=1，则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．由余弦定理可知：cos∠A1BE=．故选C．6．（5分）（2009•黑龙江）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．7．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A8．（5分）（2009•黑龙江）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan （ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．9．（5分）（2009•黑龙江）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN ⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D10．（5分）（2009•黑龙江）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种 B．12种C．24种D．30种【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故只恰好有1门相同的选法有36﹣6﹣6=24种．11．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD ⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选A．12．（5分）（2009•黑龙江）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•黑龙江）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y 的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．14．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为915．（5分）（2009•黑龙江）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于8π．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，16．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•黑龙江）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．18．（12分）（2009•黑龙江）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E 分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．19．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n=4a n+2，①+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）20．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，故Eξ==．21．（12分）（2009•黑龙江）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当22．（12分）（2009•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴故．。
2009年高考数学试题分类汇编——新课标选考内容
2009年高考数学试题分类汇编——新课标选考内容1．(2009年广东卷文)（坐标系与参数方程选做题）若直线1223x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .【答案】6-【解析】将1223x t y t=-⎧⎨=+⎩化为普通方程为3722y x =-+,斜率132k =-, 当0k ≠时,直线41x ky +=的斜率24k k =-,由123412k k k ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6k =-; 当0k =时,直线3722y x =-+与直线41x =不垂直. 综上可知,6k =-. 2.(2009年广东卷文)(几何证明选讲选做题)如图3，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，30ACB ∠=o ，则圆O 的面积等于 .图3【答案】16π【解析】连结AO,OB,因为 30ACB ∠=o ,所以60AOB ∠=o,AOB ∆为等边三角形,故圆O 的半径4r OA AB ===,圆O 的面积216S r ππ==. 3．（2009广东卷理）（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩⎨⎧+=-=.2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 【解析】1)2(2-=-⨯-k ，得1-=k .4．（2009广东卷理）（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ． 【解析】112x x +≥+2302)2()1(022122-≤⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔⎩⎨⎧≠++≥+⇔x x x x x x x 且2-≠x . 5．（2009广东卷理）（几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=， 则圆O 的面积等于 ．【解析】解法一：连结OA 、OB ，则090=∠AOB ，∵4=AB ，OB OA =，∴22=OA ，则ππ8)22(2=⨯=圆S ；解法二：222445sin 420=⇒==R R ，则ππ8)22(2=⨯=圆S . （2009江苏卷）数学Ⅱ（附加题） 参考公式：2222(1)(21)123.6n n n n ++++++= 5.（2009江苏卷）[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分。
2009年全国高考试题(理科数学)(广东卷)
D.
x2
【解析】 f (x) = log a x ，代入 (
a , a) ，解得 a
=
1 2
，所以
f
(x)
=
log 1
2
x
，选
B.
4.已知等比数列 {an} 满足 an > 0, n = 1, 2,L ，且 a5 ⋅ a2n−5 = 22n (n ≥ 3) ，则当 n ≥ 1时，
log a + log a +L + log a = 2 1
的是
A. 在 t1 时刻，甲车在乙车前面
w.w.w.k.s .5.u.c.o.m
B. t1 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在 t0 时刻，两车的位置相同
D. t0 时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线 v甲 比 v乙 在 0～ t0 、0～ t1 与 x 轴所围成图形面积大，则在 t0 、 t1
=
1 3 S DE1FG1
⋅ EE1
=
2
.
3
（2）以 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别作 x 轴， y 轴， z 轴，得 E1(0,2,1) 、
G1 (0,0,1) ，又 G(2,0,1) ， F (0,1,2) ， E(1,2,1) ，则 FG1 = (0,−1,−1) ， FE = (1,1,−1) ，
5
5
2
sin θ = 2 5 , cosθ = 5 .
5
5
（ 2 ） ∵ 0<ϕ <π 2
， 0<θ < π 2
cos(θ − ϕ) = 1 − sin 2 (θ − ϕ) = 3 10 10
2009高考数学全国卷及答案理
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB ，则集合[()u A B I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴=故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知1iZ ＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
(3) 不等式11X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈（C ）{}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈解：验x=-1即可。
2009届高考录取情况
421 385 418 434 400 412 399 387 396 428 445 395 428 403 419 300 398 463 387 405 415 446 414 377 416 407 423 428 386 373 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 艺术 232.8 299.6 240 242.6 258.4 252.8 166.4 221 299.4 311 263 221 210.6 319.8 303.2
322 324 342 309 398 393 286 337 337 362 356 306 385 384 403 376 441 343 351 401 415 391 441 321 387 390 389 428 350 308 343 378 439 463 404 303 441 444 408 380 305 359 363 377 361 362 403
化学 化学 政治 政治 政治 政治 政治 政治 政治 政治 政治 政治 政治 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 地理 地理 地理 地理 地理 地理 化学 地理 化学 政治 政治 政治 政治 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史 历史
323 291 313 329 299 267 312 316 306 277 291 288 322 299 334 305 319 316 311 243 205 308 351 289 309 310 340 300 294 315 304 315 257 334 223 292 279 284 259 213 281 239 281 244 318 276 236
17 18 19 21 23 24 25 27 28 31 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 26 27 28 29 30 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13
2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案
2009年高考数学山东理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共12小题，共0分）1．（2009山东理1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B ⋃=,则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.4 【答案】D 【解题关键点】因为{}0,1,2,4,16A B ⋃=.所以4a =,选D.【结束】2．（2009山东理2）复数31ii --等于（ ）A.i 21+B.12i -C.2i +D.2i -【答案】C 【解题关键点】因为i ii i i i i i +=+=+-+-=--2224)1)(1()1)(3(13，故选C.【结束】3．（2009山东理3）将函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（ ）4．A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =【答案】B 【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为)22s i n (21)4(2s i n 21ππ++=++=x x y ，x x 2cos 22cos 21=+=，选B.【结束】4．（2009山东理4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.223π+B.423π+C.2323π+D.2343π+【答案】C【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为π2，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体积33212222312=-⨯⨯⨯,为故选C. 【结束】5．（2009山东理5）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解题关键点】由m 为平面α内的一条直线且β⊥m 得出βα⊥；但是，反过来，若βα⊥且m为平面α内的一条直线，则不一定有β⊥m ，还可能有m 与平面β相交但不垂直、β//m 、β⊂m .故选B. 【结束】6．（2009山东理6）函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解题关键点】排除法：因为当0=x 时，函数x xxx e e e e y ---+=无意义，故排除D C B ,,,故选A. 【结束】7．（2009山东理7）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，BP BA BC 2=+，则（ ）A. 0=+PB PAB. 0=+PA PCC.0=+PC PB D. 0=++PC PB PA【答案】B【解题关键点】因为BP BA BC 2=+，所以点P 为AC 的中点，.即有0=+PA PC ，故选B. 【结束】8．（2009山东理8）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（ ）A.90B.75C.60D.45 【答案】A【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为1201.005.0236=+⨯）（，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为902125.0215.021..0120=⨯+⨯+⨯⨯）（，故选A.【结束】9．（2009山东理9）设双曲线 1222=-b y a x x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A.45B.5C.25D.5【答案】D【解题关键点】由题意知：双曲线1222=-b y a x x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==12x y x ab y 消去y ，得12=+-x a bx 有唯一解，所以04)(2=-=∆a b ，所以5)(1,2222=+=+===a ba b a a c e a b ，故选D.【结束】10．（2009山东理10）定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则)2009(f 的值为（ ）A.1-B.0C.1D.2 【答案】C【解题关键点】由已知得1)1()0()1(,0)0(,12log )1(2-=--====-f f f f f,0)1(1)1()2()3(,1)0()1()2(=---=-=-=-=f f f f f f,1)1(0)2()3()4(=--=-=f f f ,0)4()5()6(,1)3()4()5(=-==-=f f f f f f所以函数)(x f 的值以6为周期重复性出现，所以1)5()2009(==f f ，故选C【结束】11．（2009山东理11）在区间[1-，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为（ ）A.31B.π2C.21D.32【答案】A【解题关键点】当212cos0<<xπ时，在区间[]1,1-上，只有322πππ-<<-x 或223πππ<<x ，即)1,32()32,1( --∍x ，根据几何概型的计算方法，这个概率值是31. 【结束】12．（2009山东理12）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则其的最小值为（ ）A.625B.38C.311D.4【答案】A【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：当直线)0,0(>>+=b a by ax z 过直线02=+-y x 与直线063=--y x 的交点()6,4时，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z取最大值12，即1264=+b a ，即632=+b a ，而6252613)(613632)32(32=+≥++=++=+b a a b b a b a ba ，当且仅 当b a =时取等号，故选A . 【结束】二、填空题（本大题共4小题，共0分）13．（2009山东理13）不等式|21||2|0x x ---<的解集为 .【答案】），（11-【解题关键点】原不等式等价于212-<-x x ，两边平方并整理得：332<x ，解得11<<-x . 【结束】14．（2009山东理14）若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是.【答案】），（∞+ 1【解题关键点】 函数)(xf=x a x a--(0a>且1a≠)有两个零点， 方程0=--axa x有两个不相等的实数根，即两个函数xay=与axy+=的图像有两个不同的交点，当10<<a时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当1>a时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【结束】15．（2009山东理15）执行右边的程序框图，输入的T= .【答案】30【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.【结束】16．（2009山东理16）已知定义在R上的奇函数()f x满足(4)()f x f x-=-，且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=mmxf在区间[]8,8-上有四个不同的根，则1234_________.x x x x +++=【答案】8 -【解题关键点】因为定义在R上的奇函数，满足)()4(xfxf-=-，所以)()4(xfxf-=-，所以，由)(xf为奇函数，所以函数图像关于直线2=x对称且0)0(=f，由)()4(xfxf-=-知)()8(xfxf=-，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(xf在区间[]20，上是增函数，所以)(x f 在区间[]02，-上也是增函数，如下图所示，那么方程)0()(>=m m x f 在区间[]88，-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，不妨设4321x x x x <<<，由对称性知，12)4()4(421-=-+-+-=+x x ，443=+x x ，所以84321-=+++x x x x .【结束】三、解答题（本大题共6小题，共0分）17．（2009山东理17）设函数xx f 2sin )32cos()(++=ππ.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期；（2）设A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ， 41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin .【答案】（I ）)2cos 1(212sin 232cos 21sin )32cos()(2x x x x x x f -+-=++=π212sin 23+-=x ，∴当12sin -=x 时，函数)(x f 的最大值为132+，最小正周期为π.（II ）)2(C f =13sin 22C -=－41，得到3sin 2C =，又C 为锐角，故3C π=， 322sin 31cos =⇒=B B故6322322213123)32sin(sin +=⨯+⨯=-=B A π.【解题关键点】 【结束】18．（2009山东理18）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰三角形，AB平行CD ，AB =4, BC =CD =2,1AA =2, E ,1E ，F 分别为棱AD ，1AA ，AB 的中点.（1）证明：直线//1EE 平面1FCC ；（2）求二面角C FC B --1的余弦值.【答案】解法一：（I ）在在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，取11B A 的中点1F ，连结1FF ，11F C 由于111////CC BB FF ，所以∈1F 平面1FCC ，因此平面1FCC 即为平面11CFF C ，连结D A 1，1CF ，由于CD C //11//11D F CDA ==，所以四边形CD F A 11为平行四边形，因此D A CF 11//，又因为E 、1E 分别是棱AD 、1AA 的中点，所以D A EE 11//，所以11//C EEF ，又因为⊄1EE 平面1FCC ，⊂1CF 平面1FCC ，所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点，所以BDF CF BC BF ∆==,为正三角形，取CF 的中点O ，则CF OB ⊥，又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中，1CC 平面ABCD ，所以BO CC ⊥1，所以F CC OB 1平面⊥，过O 在平面1FCC 内作F C OP 1⊥，垂足为P ，连接BP ，则为OPB ∠二面角C FC B --1的一个平面角，在BCF ∆为正三角形中，3=OB ，在F CC Rt 1∆中，OPF ∆～F CC 1∆，∵11OP OFCC C F =∴22122222OP =⨯=+，在O P F Rt ∆中，22114322BP OP OB =+=+=，272cos 7142OP OPB BP ∠===，所以二面角C -1FC -B 的余弦值为77.解法二:（I ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点 所以BDF CF BC BF ∆==,，为正三角形，因为ABCD 为 等腰梯形,所以︒==∠60ABC BAC ,取AF 的中点M ,连接DM ,则AB DM ⊥,所以CD DM ⊥，以DM 为x 轴, DC 为y 轴,1DD 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示,则D （0,0,0），A ），，（013-，F ），，（013，C ），，（020，1C ），，（220，E），，（02123-，1E ），，（113-，所以131(,,1)22EE =- ,(3,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC = 1(3,1,2)FC =- 设平面F CC 1的法向量为(,,)n x y z = 则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以300x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取(1,3,0)n = ,则1311310022n EE ⋅=⨯-⨯+⨯= ,所以1n EE ⊥ ,所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）(0,2,0)FB =,设平面1BFC 的法向量为1111(,,)n x y z = ,则11100n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以11110320y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取1(2,0,3)n = ，则 12130032n n ⋅=⨯-⨯+⨯=，2||1(3)2n =+= ,221||20(3)7n =++= ，所以11127cos ,7||||27n n n n n n ⋅〈〉===⨯,由图可知二面角C -1FC -B 为锐角,所以二面角C -1FC -B 的余弦值为77.【解题关键点】 【结束】19．（2009山东理19）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处没投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求2q 的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ;(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小. 【答案】（I ）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互独立,25.0)(=A P ,()0.75P A =, 2)(q B P =,2()1P B q =-.根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=,8.02=q .（II ）当ξ=2时,1P =)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=75.0=，2q ( 21q -)5.12=⨯，2q ( 21q -)24.0=当ξ=3时, 2P =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-01.0=；当ξ=4时, 3P =22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==48.0=； 当ξ=5时,4P =()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+24.0=所以随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（III ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；该同学选择（I ）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率. 【解题关键点】 【结束】20．（2009山东理20）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(01,,)xy b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上. （Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当2=b 时，记 22(l o g 1)()nn b a n N +=+∈证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111 (1)n nb b b n b b b +++>+成立【答案】（I ）由题意知：nnS b r =+.当2n ≥时，1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，由于0>b 且1≠b ，所以当2n ≥时，{n a }是以b 为公比的等比数列，又11a S b r ==+)1(2-=b b a b a a =12，，即br b b b =+-)1(，解得1r =-.（II ） 12-=n n S ∴当2n ≥时，1112)12()12(---=---=-=n n n n n n S S a ，又当1n =时，112111=-==S a ，适合上式，∴12-=n n a ，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= ∴121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅ ， 下面有数学归纳法来证明不等式：121211135721·······12462n n b b b n n b b b n ++++=⋅⋅>+证明：（1）当1n =时，左边=>==24923右边，不等式成立.（2）假设当*)(N k k n ∈=时，不等式成立，即121211135721·······12462k k b b b k k b b b k++++=⋅⋅>+ ，当1n k =+时，左边11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ ，2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)k k k k k k k k k k k ++++++>+⋅===+++>++++++所以当1n k =+时,不等式也成立.由（1）、（2）可得当n N +∈时，不等式1321212753+>⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⨯n n n n）（恒成立，所以对任意的n N +∈，不等式1212111 (1)n n b b b n b b b +++>+成立.【解题关键点】 【结束】21．（2009山东理21）两县城A 和B 相聚km 20，现计划在两县城外以A B为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对称A 和城B 的总影响度为0.0065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由.【答案】（I ）如右图,由题意知BC AC ⊥,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<-当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到A 、B 的距离都相等，且为km 210，所以有22)210()210(4065.0k +=，解得9=k ，∴2249(020)400y x x x =+<<-（II ）2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=-- 令'0y >，得012800064024>-+x x ，解得1602≥x ，即104≥x ，又因为200<<x ，所以函数2249400y x x =+-在），（1040∈x 上是减函数，在），（20104∈x 上是增函数，当410x =时，y 取得最小值，所以在弧上存在一点，且此点到城市A 的距离为km 104，使建在此处的垃圾处理厂对城市A 、B 的总影响度最小. 【解题关键点】 【结束】22．（2009山东理22）设椭圆E :22221x y a b +=)0,(>b a 过M （2，2），N (6,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OB OA ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（I ） 椭圆E :22221x y a b +=)0,(>b a 过M （2，2），N (6,1)两点， ∴2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得4,822==b a ，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（II ）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为)4(222<=+r r y x ，则当直线AB 的斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则=∆222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+> 12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即263m ≥或263m ≤-，因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为21m r k =+,222228381318m m r m k===-++,263r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥或263m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为263x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33-±满足OA OB ⊥ , ()2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)k m AB x x y y k x x k k -+=-+-=+-=++42242423245132[1]34413441k k k k k k k ++=⋅=+++++，当0k =时,46||3AB =，当0k ≠时22321||[1]1344AB k k =+++，因为221448k k ++≥所以221101844k k <≤++,故321289364==≤AB当AB 的斜率不存在时,36431148142=-=-≤m AB . 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B 且AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,364. 【解题关键点】【结束】。
2009年广东高考数学理科卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集U R =，集合{}212M x x =--和{}21,1,2N x x k k ==-=的关系的韦恩（V enn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )第1题图A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 【测量目标】集合的表示方法（描述法），集合的并集.【考查方式】给出2个集合，通过并集运算求出集合的元素共有几个. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由{}212M x x =--得{|13}M x x =-，{1,3,5,}N =则{1,3}M N =，有2个，选B.2.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()i a = ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】给出相关信息，求解出满足i 1n=最小正整数n 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()i i 1na ==，则最小正整数n 为4，选C.3.若函数()y f x =是函数(0,xy aa =>且)1a ≠的反函数，其图象经过点),,a a 则()f x = （ ）A.2log xB. 12log x C.12x D. 2x 【测量目标】反函数.【考查方式】给出反函数的原函数的方程和其图象经过点(),a a ，求解出反函数的方程.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()log ,a f x x =代入(),,a a 解得1,2a =所以()12log ,f x x =选B.4.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=且()252523,n n a a n -=则当1n 时，2123221log log log n a a a -+++= （ ）A.()21n n -B. ()21n + C. 2n D.()21n - 【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出相关信息，先求出通项n a ，再利用对数函数化简，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由()252523nn a a n -=得222,0,n nn a a =>（步骤1） 则2,nn a = ()22123221log log log 1321,n a a a n n -+++=+++-=选C.（步骤2）5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④ 【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】给出4个命题，通过直线与直线、面，面与面之间的位置关系判断其真假. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C,选D.6.一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60角，且12,F F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 （ ）A. 6B. 2C. 25D. 27【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出物理学相关信息，通过余弦定理求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()222312122cos 1806028,F F F F F =+--=所以327F =，选D.7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( )A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种 【测量目标】排列组合及其应用..【考查方式】给出相关信息，考查了排列组合的公式. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法113223C C A 24,=若小张、小赵都入选，则有选法2223A A 12,=共有选法36种，选A.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是 （ ）第8题图A.在1t 时刻，甲车在乙车前面B.1t 时刻后，甲车在乙车后面C.在0t 时刻，两车的位置相同D.0t 时刻后，乙车在甲车前面 【测量目标】函数图象的应用. 【考查方式】给出相关图象，再求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0100t t ～、～与x 轴所围成图形面积大，则在01t t 、时刻，甲车均在乙车前面，选A.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 12题）9.随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,,n a a a 则如图所示的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）第9题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出算法流程图，阅读框图，运行程序，得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】12na a a n+++ 平均数【试题解析】第一次当i =1时,1;s a =第二次当i =2时,12;2a a s +=最后输出12+;na a a s n++=s =平均数.10.若平面向量,a b 满足1,+=+a b a b 平行于x 轴，()2,1,=-b 则=a .【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】考查向量的基本概念及向量的坐标运算. 【难易程度】中等【参考答案】()1,1-或()3,1-【试题解析】设(,)x y =a ，则(2,1)x y +=+-a b ，依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++011)1()2(22y y x ，（步骤1）解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=13y x ，所以(1,1)=-a 或(3,1)=-a .（步骤2） 11.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ． 【测量目标】椭圆的标准方程.【考查方式】给出相关信息，通过离心率公式，长短轴间的关系，求解出标准方程. 【难易程度】中等【参考答案】221369x y += 【试题解析】3,212,6,3,2e a a b ====则所求椭圆方程为22 1.369x y += 12.已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0,1,EX DX ==则a = ，b = ．第12题图【测量目标】离散型随机变量的分布列.【考查方式】给出离散型随机变量的分布列，通过公式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】51,124【试题解析】由题知2221111,0,1121,12612a b c a c a c ++=-++=⨯+⨯+⨯= 解得51,124a b ==. （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:2,x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线2,:12,x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ． 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出两条直线的参数方程，且两条直线垂直，求解. 【难易程度】较难 【参考答案】1-【试题解析】直线112,:2,x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程是)1(22--=-x ky ，该直线的斜率为2k-，（步骤1）直线2,:12,x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）化为普通方程是12+-=x y ，该直线的斜率为2-，（步骤2）则由两直线垂直的充要条件，得()212k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 1.k =-（步骤3） 14．（不等式选讲选做题）不等式112x x ++的实数解为 ．【测量目标】解一元二次不等式【考查方式】给出不等式方程，先求定义域，再把它换成整数不等式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】{x |32x-且2-≠x }【试题解析】112xx++1220x xx⎧++⎪⇔⎨+≠⎪⎩22(1)(2)2x xx⎧++⇔⎨≠-⎩2302xx+⎧⇔⎨≠-⎩解得32x-且2-≠x.所以原不等式的解集为{x|32x-且2-≠x}. 15．（几何证明选讲选做题）如图，点,,A B C是圆O上的点，且4,45AB ACB=∠=，则圆O的面积等于．第15题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出圆上线段长，角度大小，求解圆的面积.【难易程度】容易【参考答案】8π【试题解析】解法一：连结,,OA OB则902,AOB ACB∠==∠（步骤1）所以AOB△为等腰直角三角形，又4AB=，（步骤2）所以，圆O的半径22R=O的面积等于22ππ(22)8πR=⨯=（步骤3）解法二：设圆O的半径为R，在ABC△中，由正弦定理，得42sin45R=，解得22R=（步骤1）所以，圆O的面积等于22ππ(22)8πR=⨯=.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分）已知向量(sin,2)θ=-a与(1,cos)θ=b互相垂直，其中π(0,)2θ∈．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若10πsin()102θϕϕ-=<<，求cosϕ的值．【测量目标】余弦定理.【考查方式】利用两向量垂直公式、诱导公式、余弦定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵向量()sin,2θ=-a与()1cosθ，b=互相垂直，∴ sin 2cos 0θθ=-=a b ，即θθcos 2sin =①，（步骤1）又 1cos sin 22=+θθ ② ① 代入②，整理，得51cos 2=θ，（步骤2） 由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0cos >θ， ∴55cos =θ，（步骤3）代入①得552sin =θ. 故55cos =θ， 552sin =θ.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222ϕθθϕ<<<<∴-<-<（步骤5）则()()2310cos 1sin ,10θϕθϕ-=--=（步骤6）()()()2cos cos cos cos sin sin .2ϕθθϕθθϕθθϕ∴=--=-+-=⎡⎤⎣⎦（步骤7） 17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API0~50 51~100 101~150 151~200 201~250 251~300 >300 级别 I II 1III2III1IV2IVV状况 优 良轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染xy67 xy68xy69xy70xy71对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. （结果用分数表示．已知77578125,2128,==32738123,18253651825182591259125++++=365735=⨯)第17题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出直方图，阅读，从图中找到相关信息，利用公式定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得327385011825365182518259125x ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭（步骤1）又 9125123912581825318257365218253=++++ 所以 182501199125123501=-=x .（步骤2） （2）一年中空气质量为良的天数为 1195018250119365=⨯⨯（天）；（步骤3） 一年中空气质量为轻微污染的天数为 100503652365=⨯⨯（天）；（步骤4） （3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是21933655P ==，（步骤5） 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为ξ，则ξ~B （7，53） 7733()C 155kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（k =0,1,2,…,7）（步骤6）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A ，则)1()0(1)(=-=-=ξξP P A P =-1070733C 155⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭161733C 155⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6752537521⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-=78125766537812513441281522121767=+-=⨯+-.（步骤7） 18．（本小题满分14分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F G 、分别是棱111,C D AA 的中点．设点1,1E G 分别是点,E G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线1FG ⊥平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.第18题图【测量目标】锥的体积、空间直角坐标系.【考查方式】考查了锥的体积、线面垂直的判定、异面直线所成的角，建立空间直角坐标系求解【难易程度】较难【试题解析】（1）依题得所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为111111Rt Rt E FG DG E DE FG S S S =+△△四边形221212221=⨯⨯+⨯⨯=，（步骤1） 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴111111233E DE FG DE FG V S EE -==四边形.（步骤2）（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E ,)1,0,0(1G ，又因为)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=FE ，)1,1,0(1-=FE ，（步骤3） ∴10(1)10FG FE =+-+=，110(1)10FG FE =+-+=， 即FE FG ⊥1，11FE FG ⊥，（步骤4） 又1FE FE F =，∴⊥1FG 平面1FEE .（步骤5）第18(2)题图（3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--=EA ， 则111111cos ,6E G EA E G EA E G EA<>==（步骤6） 设异面直线11E G EA 与所成角为θ，则33321sin =-=θ.（步骤7）19.（本小题满分14分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题. 【考查方式】给出了抛物线方程与直线方程，利用公式、定理求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线C 与直线l 的联立方程组⎩⎨⎧=+-=022y x x y ,得⎩⎨⎧=-=1111y x ,⎩⎨⎧==4222y x ,（步骤1）又A B x x <，所以点,A B 的坐标分别为)4,2(),1,1(B A -（步骤2） ∵点Q 是线段AB 的中点∴点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛25,21Q （步骤3）∵点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．∴2s t = ，即),(2s s P ，且21<<-s （步骤4） 设线段PQ 的中点为(),M x y ,则点M 的轨迹的参数方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=2252212s y s x （s 为参数，且21<<-s ）；消去s 整理，得454122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-4541x所以，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是454122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-4541x ；（步骤5）（２)曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=可化为()()222572⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-y a x ， 它是以(),2G a 为圆心，以57为半径的圆，（步骤6）设直线:20l x y -+=与y 轴相交于点E ，则E 点的坐标为()0,2E ； 自点A 做直线:20l x y -+=的垂线，交直线2y =于点F ，在Rt △EAF 中，45,AEF ∠=2=AE ，所以2=AF ，∵257<， ∴当0<a 且圆G 与直线l 相切时，圆心G 必定在线段FE 上，且切点必定在线段AE 上，（步骤7） 于是，此时的a 的值就是所求的最小值. 当圆G 与直线:20l x y -+=相切时 571122=++-a ， 解得527-=a ，或者527=a （舍去） 所以，使曲线G 与平面区域D 有公共点的a 的最小值是527-．（步骤8）第19(2)题图20．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图象与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点()0,2Q 2，求m 的值； （2）()k k ∈R 如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】利用导数求函数的极值、两点间距离公式、函数零点的判断等求解. 【难易程度】较难【试题解析】设二次函数()y g x =的解析式为)0()(2≠++=a c bx ax x g则它的导函数为)0(2)(≠+='a b ax x g ，（步骤1）∵函数)0(2)(≠+='a b ax x g 的图象与直线x y 2=平行， ∴22a = ，解得1a =,所以c bx x x g ++=2)(，b x x g +='2)(（步骤2）∵()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠∴⎩⎨⎧-=-=-'1)1(0)1(m g g ，即⎩⎨⎧-=+-=+-1102m c b b ，解得⎩⎨⎧==mc b 2.所以m x x x g ++=2)(2，()()g x f x x ==2++xm x （0≠x ）（步骤3）（1）设点P ⎪⎭⎫⎝⎛++2,x m x x （0≠x ，0≠m ）为曲线()y f x =上的任意一点则点P 到点(0,2)Q 的距离为m x m x x m x x PQ 2222222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=（步骤4）22m当且仅当222m x =时，等号成立，此时min PQ =m m 222+（步骤5）又已知点P 到点(0,2)Q 2222=+m m两边平方整理， 得12=+m m当0>m 时，12=+m m ，解得12-=m当0<m 时，12=+-m m ，解得12--=m 所以m 的值为12-或者12--；（步骤6）（2）函数令kx x f x h -=)()(=2)1(2++-=-++xmx k kx x m x （0≠x ）令0)(=x h ，即02)1(=++-xmx k （0≠x ），整理，得02)1(2=++-m x x k （0≠x ），①（步骤7）函数kx x f x h -=)()(存在零点，等价于方程①有非零实数根，由0≠m 可知，方程①不可能有零根，当1k =时，方程①变为02=+m x ，解得02≠=mx ，方程①有唯一实数根， 此时， 函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =；（步骤8）当1k ≠时，方程①根的判别式为)1(44k m --=∆，0≠m令)1(44k m --=∆=0，解得mk 11-=，方程①有两个相等的实数根m x x -==21，（步骤9）此时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=； 令44(1)0m k ∆=-->，得()11m k -<,当0m >时，解得mk 11->，当0m <时，解得mk 11-<， 以上两种情况下，方程①都有两个不相等的实数根kk m x ---+-=1)1(111，k k m x -----=1)1(112此时， 函数kx x f x h -=)()(存在两个零点k k m x ---+-=1)1(111，kk m x -----=1)1(112（步骤10）综上所述，函数()y f x kx =-存在零点的情况可概括为当1k =时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点2mx =；当mk 11-=时，函数kx x f x h -=)()(存在唯一的零点m x -=； 当0m >且m k 11->，或者0m <且mk 11-<时，函数kx x f x h -=)()(存在两个零点 k k m x ---+-=1)1(111，kk m x -----=1)1(112.（步骤11）21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==,从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -<< 【测量目标】数列的实际应用，间接证明.【考查方式】利用圆锥曲线性质求通项公式，放缩法等求解. 【难易程度】较难【试题解析】曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==可化为222)(n y n x =+-，所以，它表示以)0,(n C n 为圆心，以n 为半径的圆， 切线n l 的方程为)1(+=x k y n ，联立⎩⎨⎧=+-+=02)1(22y nx x x k y n ，消去y 整理，得 0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，①（步骤1）222222)12(44)1(4)22(n n n n k n n k k n k +-=+--=∆，0>n k 令0=∆，解得1222+=n n k n， 12+=n n k n （步骤2）此时，方程①化为012)2122()121(2222=++-++++n n x n n n x n n整理，得[]0)1(2=-+n x n ，解得1+=n n x x ，（步骤3） 所以121)11(12++=+++=n n n n n n ny n∴数列}{n x 的通项公式为1+=n nx x数列}{n y 的通项公式为121++=n n ny n .（步骤4）（２）证明：∵121111111+=+++-=+-n n n n n x x n n ，212n n -=<=135211352113521246235721n n n x x x x n n ---∴=⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯+ =121+n =nn x x +-11（步骤5）∵121+=n y x nn=n n x x +-11，又因为π043<< 令x y x n n =，则π04x <<， 要证明n n n n y x y x sin 2<，只需证明当π04x <<时，x x sin 2<恒成立即可. （步骤6）设函数x x x f sin 2)(-=，π04x <<则x x f cos 21)(-='，π04x <<（步骤7）∵在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上x x f cos 21)(-='为增函数，∴当π04x <<时，π()1104f x x '=<=，（步骤8）∴x x x f sin 2)(-=在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递减函数，∴ x x x f sin 2)(-=0)0(=<f 对于一切π04x <<恒成立，（步骤9）∴x x sin 2<，即n n x x +-11=n n nny x y x sin 2< 综上，得13521n n nxx x x x y -<<（步骤10）。
马心同-广州市番禺区南村中学高考模拟试题
广州市番禺区南村中学高考物理模拟试题出题人：电话：邮箱：2009年广州市番禺区南村中学高考模拟试题物理本试卷分选择题和非选择题两部分，共12页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上．用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题 （共 48 分）一、本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得 4 分，选不全的得 2 分，有错选或不答的得 0 分。
1．（自编）下列说法中正确的是A ．奥斯特发现了电流的磁效应，法拉第发现了电磁感应现象B ．爱因斯坦提出了量子理论，普朗克提出了光子说C ．汤姆孙提出原子的核式结构模型，后来卢瑟福用α粒子散射实验给予了验证D ．牛顿发现了万有引力，并总结得出了万有引力定律，卡文迪许用实验测出了引力常量 2．（东莞调研改编）如图所示，在一次空地演习中，离地H 高处的飞机以水平速度v 1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P,反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v 2竖直向上发射炮弹拦截，设拦截系统与飞机的水平距离为s ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1 、v 2 的关系应满足A ．v 1=v 2B ．v 1= Hs v 2C ．21v sH v =D ．v 1= s H v 2 3．（湛师附中 改编）某交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间的关系如图所示.如果此线圈和一个R ＝100Ω的电阻构成闭合电路,不计电路的其它电阻，下列说法中正确的是 A. 交变电流的有效值为1A B. 交变电流的最大值为1A C. 交变电流的周期为0.04sD. 电阻R 两端的最大电压是1002V4．（来源不清）我国自主研制的“神七”载人飞船于2008年9月25日21时10分04秒，在酒泉卫星发射中心成功发射。
2009年全国高考理科数学试题及答案-天津卷
2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位.52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i 【考点定位】本小考查复数的运算.基础题。
解析：i i i i i 215)2(525+-=+=-.故选择D 。
（2）设变量x.y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为（A ）6 （在点B )1,2(.所以734min =+=z .故选择B 。
（3）命题“存在0x ∈R.02x ≤0”的否定是（A ）不存在0x ∈R, 02x>0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x>0 【考点定位】本小考查四种命题的改写.基础题。
解析：由题否定即“不存在R x ∈0.使020≤x ”.故选择D 。
（4）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =A 、在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 、在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。
C 、在区间1(,1)e 内有零点.在区间(1,)e 内无零点。
D 、在区间1(,1)e内无零点.在区间(1,)e 内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用.基础题。
解析：由题得xx x x f 33131)`(-=-=.令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x .故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数.在区间),3(+∞为增函数.在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f .故选择D 。
南海中学2009-2010学年度高三11月月考数学试卷
南海中学2009－2010学年度高三级11月月考试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:1、第Ⅰ卷的答案写在答题卷上，第Ⅱ卷的答案或解答过程用钢笔或圆珠笔在答题纸内指定区域作答，写在试卷上的无效。
2、答题前，考生务必将自己的“班级”、“考号”、“姓名”填涂在答题卡和答题纸上。
3、考试结束后，只交答题卡和答题纸，试卷自己保管。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，满分40分） 1、已知复数1z i =+，则2z=（ ） A ． i 2-B ．i 2C ． i -1D ． i +12、(21)(4)0x y x y ++-+≥表示的平面区域为（ ）A B C D3、若n m l ,,是互不相同的空间直线，βα,是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若n l n l //,,//，则βαβα⊂⊂ B ．若βαβα⊥⊥，则//,l lC ．若m l n m n l //,，则⊥⊥D ．若βαβα⊥⊂⊥l l ，则,4、函数)(x f y =是偶函数，当0≥x 时，x x x f -=3)(，点P （a ，f （a ））是f （x ）的图象在x轴上方任意一点，则实数a 的范围是（ ）A ． ),1()1,(+∞--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),2()2,(+∞--∞ 5、下列四个条件中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．23:;5:≠≠≠+y x q y x p 或B ．n p :为正偶数；Z q nn ∈-++)13()13(:C ．c by ax q ab p =->22:;0:方程表示双曲线（a 、b 、c 为常数）D ．Q P p ∨:为假：Q P q ∧:为假6、已知yx y x yx311,2lg 8lg 2lg ,0,0+=+>>则的最小值是 （ ）A ．2B ．4C ． 22D ．237、已知椭圆22221(0)22x y a b a b +=>>与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A.2 B. 12C. 6D. 68、设关于x 的不等式0242≤-+a x x 和032≤++-a ax x 的解集分别是A 、B 。
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2009届高考数学解答题编拟（理科） 南村中学 邓华萍1.求函数2472sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值。
【解】：2472sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-()227sin 24cos 1cos x x x =-+-227sin 24cos sin x x x =-+27sin 2sin 2x x =-+[0,],2[0,],sin 2[0,1]2x x x ππ∈∴∈∈ 令u = sin2x由于函数221277()24y u u u =-+=-+在[]01，中的最大值为 2max 127(0)24z =-+， 最小值为2min 1127272244z ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故当sin 201x =或时y 取得最大值7，当1sin 22x =时y 取得最小值274命题意图：本题主要考查三角函数式的化简，二次函数基础知识和综合运算能力。
2.已知.51cos sin ,0-=+<<x x x π （1） 求：x x cos sin -的值。
（2） 设)42008()44()42()0(,cos sin )(πππf f f f x x x f +++++= 求的值。
（3） 求xx xx x x cos sin 2cos 2cos 2sin 22sin 322+-的值。
【解】（1）由.51cos sin ,0-=+<<x x x π平方得：.251cos cos sin 2sin 22=++x x x 即：().2549cos sin 21cos sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 另一方面易知：ππ<<x 43。
所以.57cos sin =-x x （2）由)4sin(2cos sin )(π+=+=x x x x f ，所以周期.2π=T1)46(,1)44(,1)42(,1)0(-=-===πππf f f f ，所以0)42008()44()42()0(=++++πππf f f f（3）x x x x x x cos sin 2cos 2cos 2sin 22sin 322+-=1255cos sin )sin (cos 2cos sin 1sin 2sin 22-=+-=+-x x x x x x x x3.已知向量a ＝（cos α，sin α），b ＝（cos β，sin β），|a －b．（Ⅰ）求cos （α－β）的值；（Ⅱ）若０＜α＜2π，－2π＜β＜０，且sin β＝－513，求sin α的值．【解】（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ==，，，，()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，．a b -==． 即 ()422c o s 5αβ--=． ()3cos 5αβ∴-=． （也可以由a b -= 两边平方，得到35a b = 后代入求解．）（Ⅱ）0,00.22ππαβαβπ<<-<<∴<-< ，()3c o s 5αβ-=，()4sin .5αβ∴-= 5sin 13β=- ，12cos .13β∴=()()()s i n s i n s i n c o s c o s si n ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭． 命题意图：本题考查三角函数知识，平面向量基础知识的综合运用，以及计算能力。
4. 根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为122007,,,,,n x x x x和122007,,,,,n y y y y 。
（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式n x ；（Ⅱ）写出1234,,,y y y y ，由此猜想出数列{y n }的一个通项公式y n ，并证明你的结论；（Ⅲ）求).2007,(2211≤*∈+++=n N x y x y x y x z n n n 【解】（Ⅰ）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中，∴数列{}n x 是等差数列，∴)2007,(12)1(21≤*∈-=-+=n N n n n x n （Ⅱ）12342,8,26,80y y y y ====，由此，猜想).2007,(13≤*∈-=n N n y n n 证明：由框图，知数列{y n }中，132n n y y +=+， ∴)1(311+=++n n y y ，∴.3,31111==+++y y y n n∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
∴11333n n n y -+=⋅= ，∴31n n y =-（2007,≤*∈n N n ）（也可数学归纳法证明） （Ⅲ）1122n n n z x y x y x y =+++21(31)3(31)(21)(31)n n =⨯-+⨯-++-⨯- 21333(21)3[13(21)]n n n =⨯+⨯++-⨯-+++-记21333(21)3n n S n =⨯+⨯++-⨯ ……① 则23131333(21)3n n S n +=⨯+⨯++-⨯ ……② ①－②，得231232(333)(21)3n n n S n +-=++++--⋅13(13)23(21)313n n n +-=⋅---⋅-1136(21)3n n n ++=---⋅12(1)36n n +=-⋅-∴1(1)33n n S n +=-⋅+，又213(21)n n +++-= ∴12*(1)33(,2007)n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤命题意图：本题主要考查程序框图、等差、等比数列的定义和通项公式及数列求和的错位相减法，考查运算能力和推理论证能力．5.已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++na a a a ； (3)设1log 22+=n n ab ,求数列{}n b 的前100项和. 【解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q .则由等比数列的通项公式11n n a a q -=得3131a a q -=,284,2q ∴== 又()0,22n a q >∴=L L 分∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=⨯=分L L .()123231111211111112221222212nn n a a a a ++++-⨯=++++=-L L()11,2n =-6分L L()11,117,2nn ≥∴-<分Q L L ()123111118.na a a a ∴++++<分L L L ()()()(){}()2132log 21219,212112,,n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=⎡⎤⎣⎦∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分L L Q L L ∴数列{}n b 的前100项和是()100100991003210200122S ⨯=⨯+⨯=分L L 命题意图：本题主要考查等差数列的定义，等差、等比数列通项公式及求和公式，考查运算能力和推理论证能力．6. 如图所示，曲线段OMB 是函数x ，BA x x x f ⊥<<=的图象)60()(2轴于A ，曲线段OMB 上一点))(,(t f t M 处的切线PQ 交x 轴于P ，交线段AB 于Q ，（1）试用t 表示切线PQ 的方程；（2）设△QAP 的面积为),()(),(n m t g t g 在若函数是单调递减，试求出m 的最小值；（3）P S QAP试求出点],64,4121[∈∆横坐标的取值范围。
【解】（1）2()2,2(),(06)kf t t y t t x t t '==∴-=-<<（2）令20,;6,12,2ty x x y t t ====-得令 32211()(6)(12)636,2224t t g t AP AQ t t t ∴==--=-+361232'+-=∆t t S QAP ，令0'=∆QAP S 解得（舍去）或124==t t由()0g t '<得412,06,46,()(,)t t t g t m n <<<<∴<<又在上单调递减，故min (,)(4,6),()4m n m ⊆∴=（3）当04,()0,()(0,4)t g t g t '<<>∴在上单调递增，32121121(4)64,(6)54,636(04)444t g g t t t ==>-+=<<解方程得1t =，则ΔQAP 的面积S 121(,64)16,4t ∈⇔≤≤又点的横坐标,2tx =则P 点横坐标的取值范围为1[,3)2.命题意图：本题主要考查导数、函数、直线方程等有关知识，考查知识分析解决问题能力和运算能力。