2009届高考数学解答题编拟(5)理科 南村中学 邓华萍

2009届高考数学解答题编拟（理科） 南村中学 邓华萍1.求函数2472sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值。

【解】：2472sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-()227sin 24cos 1cos x x x =-+-227sin 24cos sin x x x =-+27sin 2sin 2x x =-+[0,],2[0,],sin 2[0,1]2x x x ππ∈∴∈∈ 令u = sin2x由于函数221277()24y u u u =-+=-+在[]01，中的最大值为 2max 127(0)24z =-+， 最小值为2min 1127272244z ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故当sin 201x =或时y 取得最大值7，当1sin 22x =时y 取得最小值274命题意图：本题主要考查三角函数式的化简，二次函数基础知识和综合运算能力。

2.已知.51cos sin ,0-=+<<x x x π （1） 求：x x cos sin -的值。

（2） 设)42008()44()42()0(,cos sin )(πππf f f f x x x f +++++= 求的值。

（3） 求xx xx x x cos sin 2cos 2cos 2sin 22sin 322+-的值。

【解】（1）由.51cos sin ,0-=+<<x x x π平方得：.251cos cos sin 2sin 22=++x x x 即：().2549cos sin 21cos sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 另一方面易知：ππ<<x 43。

所以.57cos sin =-x x （2）由)4sin(2cos sin )(π+=+=x x x x f ，所以周期.2π=T1)46(,1)44(,1)42(,1)0(-=-===πππf f f f ，所以0)42008()44()42()0(=++++πππf f f f（3）x x x x x x cos sin 2cos 2cos 2sin 22sin 322+-=1255cos sin )sin (cos 2cos sin 1sin 2sin 22-=+-=+-x x x x x x x x3.已知向量a ＝（cos α，sin α），b ＝（cos β，sin β），|a －b．（Ⅰ）求cos （α－β）的值；（Ⅱ）若０＜α＜2π，－2π＜β＜０，且sin β＝－513，求sin α的值．【解】（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ==，，，，()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，．a b -==． 即 ()422c o s 5αβ--=． ()3cos 5αβ∴-=． （也可以由a b -= 两边平方，得到35a b = 后代入求解．）（Ⅱ）0,00.22ππαβαβπ<<-<<∴<-< ，()3c o s 5αβ-=，()4sin .5αβ∴-= 5sin 13β=- ，12cos .13β∴=()()()s i n s i n s i n c o s c o s si n ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭． 命题意图：本题考查三角函数知识，平面向量基础知识的综合运用，以及计算能力。

4. 根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为122007,,,,,n x x x x和122007,,,,,n y y y y 。

（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式n x ；（Ⅱ）写出1234,,,y y y y ，由此猜想出数列{y n }的一个通项公式y n ，并证明你的结论；（Ⅲ）求).2007,(2211≤*∈+++=n N x y x y x y x z n n n 【解】（Ⅰ）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中，∴数列{}n x 是等差数列，∴)2007,(12)1(21≤*∈-=-+=n N n n n x n （Ⅱ）12342,8,26,80y y y y ====，由此，猜想).2007,(13≤*∈-=n N n y n n 证明：由框图，知数列{y n }中，132n n y y +=+， ∴)1(311+=++n n y y ，∴.3,31111==+++y y y n n∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴11333n n n y -+=⋅= ，∴31n n y =-（2007,≤*∈n N n ）（也可数学归纳法证明） （Ⅲ）1122n n n z x y x y x y =+++21(31)3(31)(21)(31)n n =⨯-+⨯-++-⨯- 21333(21)3[13(21)]n n n =⨯+⨯++-⨯-+++-记21333(21)3n n S n =⨯+⨯++-⨯ ……① 则23131333(21)3n n S n +=⨯+⨯++-⨯ ……② ①－②，得231232(333)(21)3n n n S n +-=++++--⋅13(13)23(21)313n n n +-=⋅---⋅-1136(21)3n n n ++=---⋅12(1)36n n +=-⋅-∴1(1)33n n S n +=-⋅+，又213(21)n n +++-= ∴12*(1)33(,2007)n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤命题意图：本题主要考查程序框图、等差、等比数列的定义和通项公式及数列求和的错位相减法，考查运算能力和推理论证能力．5.已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++na a a a ； (3)设1log 22+=n n ab ,求数列{}n b 的前100项和. 【解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q .则由等比数列的通项公式11n n a a q -=得3131a a q -=,284,2q ∴== 又()0,22n a q >∴=L L 分∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=⨯=分L L .()123231111211111112221222212nn n a a a a ++++-⨯=++++=-L L()11,2n =-6分L L()11,117,2nn ≥∴-<分Q L L ()123111118.na a a a ∴++++<分L L L ()()()(){}()2132log 21219,212112,,n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=⎡⎤⎣⎦∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分L L Q L L ∴数列{}n b 的前100项和是()100100991003210200122S ⨯=⨯+⨯=分L L 命题意图：本题主要考查等差数列的定义，等差、等比数列通项公式及求和公式，考查运算能力和推理论证能力．6. 如图所示，曲线段OMB 是函数x ，BA x x x f ⊥<<=的图象)60()(2轴于A ，曲线段OMB 上一点))(,(t f t M 处的切线PQ 交x 轴于P ，交线段AB 于Q ，（1）试用t 表示切线PQ 的方程；（2）设△QAP 的面积为),()(),(n m t g t g 在若函数是单调递减，试求出m 的最小值；（3）P S QAP试求出点],64,4121[∈∆横坐标的取值范围。

【解】（1）2()2,2(),(06)kf t t y t t x t t '==∴-=-<<（2）令20,;6,12,2ty x x y t t ====-得令 32211()(6)(12)636,2224t t g t AP AQ t t t ∴==--=-+361232'+-=∆t t S QAP ，令0'=∆QAP S 解得（舍去）或124==t t由()0g t '<得412,06,46,()(,)t t t g t m n <<<<∴<<又在上单调递减，故min (,)(4,6),()4m n m ⊆∴=（3）当04,()0,()(0,4)t g t g t '<<>∴在上单调递增，32121121(4)64,(6)54,636(04)444t g g t t t ==>-+=<<解方程得1t =，则ΔQAP 的面积S 121(,64)16,4t ∈⇔≤≤又点的横坐标,2tx =则P 点横坐标的取值范围为1[,3)2.命题意图：本题主要考查导数、函数、直线方程等有关知识，考查知识分析解决问题能力和运算能力。