传递闭包

传递闭包、即在数学中，在集合X上的二元关系R的传递闭包是包含R的X上的最小的传递关系。

例如，如果X是(生或死)人的集合而R是关系“为父子”，则R 的传递闭包是关系“x是y的祖先”。

再比如，如果X是空港的集合而关系xRy为“从空港x到空港y有直航”，则R的传递闭包是“可能经一次或多次航行从x飞到y”。

存在性和描述
对于任何关系R，R 的传递闭包总是存在的。

传递关系的任何家族的交集也是传递的。

进一步的，至少存在一个包含R 的传递关系，也就是平凡的: X × X。

R 传递闭包给出自包含R 的所有传递关系的交集。

我们可以用更具体术语来描述R 的传递闭包如下。

定义在X 上的一个关系T，称xTy 当且仅当存在有限的元素(xi)序列，使得x = x0 并且
x0Rx1, x1Rx2, …, xn−1Rxn 和xnRy
形式上写为
容易检查出关系T 是传递的并且包含R。

进一步的，任何包含R 的传递关系也包含T，所以T 是R 的传递闭包。

证实T 是包含R 的最小传递关系
设A 是任何元素的集合。

假定: GA 传递关系RAGA TAGA。

所以(a,b)GA(a,b)TA. 所以，特定的(a,b)RA。

现在通过T 的定义，我们知道了n (a,b)RnA。

接着，i, in eiA。

所以，有从a 到b 路径如下: aRAe1RA...RAe(n-1)RAb。

但是，通过GA 在RA 上的传递性，i, in (a,ei)GA，所以，(a,e(n-1))GA (e(n-1),b)GA，所以通过GA 的传递性，我们得到了(a,b)GA。

矛盾于(a,b)GA。

因此，(a,b)AA, (a,b)TA (a,b)GA。

这意味着TG，对于任何包含R 的传递的G。

所以，T 是包含R 的最小传递闭包。

推论
如果R 是传递的，则R = T。

用途
注意两个传递关系的并集不必须是传递的。

为了保持传递性，必须采用传递闭包。

例如，这出现在取两个等价关系或预序的并的时候。

为了获得新的等价关系或预序，必须选用传递闭包(自反性和对称性—在等价关系的情况下—是自动的)。

有向无环图(DAG)的传递闭包是DAG 的可到达性关系和一个严格偏序。

与复杂性的关系
在计算复杂性理论中，复杂度类NL 严格对应于可使用一阶逻辑和传递闭包表达的逻辑句子的集合。

这是因为传递闭包性质有密切关系于NL-完全问题STCON，找到在一个图中的有向路径。

类似的，类L 是一阶逻辑带有交换传递闭包。

在向二阶逻辑增加了传递闭包的时候，我们得到PSPACE。

有关概念
关系R 的传递简约是有R 作为它的传递闭包的最小关系。

一般的说它不是唯一的。

1、问题引入
一个有n个顶点的有向图的传递闭包为：有向图中的初始路径可达情况可以参见其邻接矩阵A，邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达，若直接可达，则A[i,j]记为1，否则记为0；两个有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点（或者不经过其他点）能够到达j点，如果i到j有路径，则将T[i,j]设置为1，否则设置为0；有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发，求的所有节点间的路径可达情况，该矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。

例如：
有向图为：
由该有向图可以得到初始的邻接矩阵为：
那么warshall传递闭包算法的目的就是由邻接矩阵出发，进行探索求出最终的传递闭包：
2、动态规划求解思路
动态规划将问题分段，本例warshall算法是通过一系列n阶矩阵r（k）来构造最终阶段n阶传递闭包矩阵r（n）
R(k) 由它的前趋R(k-1) 计算得到（分级推进计算）。

R(0) ——该矩阵不允许它的路径中包含任何中间顶点，即从该矩阵的任意顶点出发的路径不含有中间顶点，此即邻接矩阵。

R(1) ——允许路径中包含第1个顶点（本例编号1）作为中间顶点。

R(2) ——允许路径中包含前2个顶点（本例编号1 2）作为中间顶点。

R(k) ——允许路径中包含前k个顶点作为中间顶点。

R(n) ——允许路径中包含全部n 个顶点作为中间顶点。

每个后继矩阵R(k) 对其前趋R(k-1) 来说，在路径上允许增加一个顶点，因此有可能包含更多的1（增加前为1的在增加后依然为1）。

3、具体的算法描述
1 warshall（A[1...n,1...n]
2 r(0)<-A;
3for(k=1;k<=n;k++)
4for(i=1;i<=n;i++)
5for(j=1;j<=n;j++)
6r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or(r(k-1)[i,k] and r(k-1)[k,j]);
7return r(n);
4、具体实现代码如下
说明：（1）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵存储在2.txt中（具体如下图），其中4表示有向图中有4 个顶点，其他表示初始邻接矩阵。

（2）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵个数可以随意更改，，，，
具体代码：
1 #include<stdio.h>
2 #include<stdlib.h>
3void Warshall(int,int**);
4void main()
5{
6int i,j,num;
7FILE*p;
8p=fopen("2.txt","r");
9if(p==NULL)
10{
11printf("cannot open 2.txt");
12exit(-1);
13}
14fscanf(p,"%d",&num);
15int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
16for(i=0;i<num+1;i++)
17r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
18for(i=1;i<num+1;i++)
19for(j=1;j<num+1;j++)
20fscanf(p,"%d",&r[i][j]);
21printf("顶点个数为：%d\n",num);
22printf("邻接矩阵为：\n");
23for(i=1;i<num+1;i++)
24{
25for(j=1;j<num+1;j++)
26printf(" %d ",r[i][j]);
27printf("\n");
28}
29Warshall(num,r);
30printf("最终的传递闭包为\n");
31for(i=1;i<num+1;i++)
32{
33for(j=1;j<num+1;j++)
34printf(" %d ",r[i][j]);
35printf("\n");
36}
37
38}
39//三重循环实现的warshall算法
40//r为邻接矩阵，中间存储初试的可达与非可达路径情况，1表示可达，0表示不可达41void Warshall(int num,int**r)
42{
43int i,j,k;
44int **temp=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
45for(i=0;i<num+1;i++)
46temp[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
47for(k=1;k<=num;k++)//依次取得的可以作为中间点的顶点
48{
49for(i=1;i<=num;i++)
50{
51for(j=1;j<=num;j++)
52{
53temp[i][j]=(r[i][j])||(r[i][k]&r[k][j]);
54}
55}
56for(i=1;i<=num;i++)
57for(j=1;j<=num;j++)
58r[i][j]=temp[i][j];
59}
60
61 }
5、结果如下：。