2.正态分布及抽样误差
正态分布参考值抽样误差
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
f(x)=(fi/n)
0.25
相 对 频 0.20 率
0.15
以频率为纵坐标
0.10
0.05
0.00
3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于
一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中
间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态
分布曲线。
因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
0.14 0.12
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
正态分布参考值抽样误差
x
标准正态分布N(0，1)。在实际工作 中，往往是未知，常用 s X 替代 ，即 X
X
t
Sx
这时，对正态变量 X 采取的不 是u变换而是t变换了，t值的分布 称为t分布。
t分布的特征：
1.单峰分布，以0为中心，左右对称；
2.t 分布是一簇曲线，其形态变化与自由度 s X 与 X 的差别 的大小有关 n-1。越小， 越大，t值越分散，曲线的峰部越矮，尾部越 粗。越大，t分布越接近于标准正态分布。
X u / 2 s X
X 1.96S x
总体均数95%的双侧可信区间为：
总体均数99%的双侧可信区间为：
X 2.58S x
例 某市2000年随机测量了90名19岁健康男大 学生的身高，其均数为172.2cm，标准差为 4.5cm，试估计该市2000年19岁健康男大学生 平均身高的95％可信区间。
f(x)=(fi/n)
0.25
以频率为纵坐标
相 对 频 率
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
3.8
4
4.2 4.4 4.6 4.8
5
12
5.2 5.4 5.6 5.8
红细胞计数（10 /L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于 一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中 间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态 分布曲线。 因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
例如：总体均数的可信区间
即按一定的概率估计未知总体均数的所在范 围。 习惯上用总体均数的95%(或99%)可信 区间，表示该区间包含总体均数的概率为 95%(或99%)，用此范围估计总体平均数， 表示100次抽样中，有 95(99)次包含总体均 数。
概率与统计中的正态分布与抽样误差
概率与统计中的正态分布与抽样误差概率与统计是数学中重要的一个分支，它研究的是数据和随机现象之间的关系。
在概率与统计的研究中，正态分布是一个非常重要的概念。
正态分布是一种连续型的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
在实际应用中，我们经常会遇到抽样误差的问题，而正态分布在抽样误差的分析中扮演着重要的角色。
一、正态分布的概念及性质正态分布，也被称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中常见的连续型概率分布。
它的概率密度函数可以用以下的形式表示：（在这里可以插入正态分布的概率密度函数的公式，但请注意我不能给出具体的数学公式）正态分布的最重要的性质是其均值和标准差决定了它的形状。
均值确定了正态分布的中心位置，而标准差决定了曲线的宽度。
正态分布的曲线呈钟形，对称分布于均值左右。
二、正态分布在统计中的应用正态分布在统计中的应用广泛。
它在实际问题的建模和分析中起着至关重要的作用。
1. 中心极限定理中心极限定理是概率与统计中一个重要的定理，它指出当独立同分布的随机变量的样本容量足够大时，它们的样本平均值将近似地服从正态分布。
这个定理的应用使得我们能够利用样本数据对总体进行推断。
2. 抽样分布在统计推断中，我们需要通过样本数据来对总体进行估计。
抽样分布是指从总体中抽取多个样本，计算每个样本的统计量，然后将这些统计量的分布进行研究。
正态分布在抽样分布的分析中起着关键的作用。
3. 参数估计参数估计是指利用样本数据对总体的参数进行估计。
最常见的估计方法是点估计和区间估计。
在估计过程中，我们通常假设总体服从正态分布，并根据样本数据来计算得到参数的估计值。
4. 假设检验假设检验是统计推断的一个重要方法，用于判断某个假设是否成立。
在假设检验中，我们通常需要构建一个检验统计量，并根据其分布来进行推断。
正态分布在假设检验中经常被用作对总体分布的近似。
三、抽样误差与正态分布抽样误差是指由于从总体中随机抽取样本所引入的误差。
在真实的情况下，我们很难获得总体的所有数据，因此只能从总体中抽取样本来对总体进行研究和推断。
统计学中的抽样误差分布类型
统计学中的抽样误差分布类型统计学中的抽样误差是指由于选取抽样方法的随机性引起的样本与总体之间的差异。
在统计学中，我们常常利用抽样方法来研究总体的特征。
然而，由于抽样的随机性，样本很可能无法完全准确地反映总体的真实情况。
因此，了解抽样误差的分布类型对于正确解释样本数据的意义至关重要。
在统计学中，有多种类型的抽样误差分布。
本文将介绍其中的三种常见类型：正态分布、均匀分布和偏态分布，并探讨它们对样本数据的影响。
一、正态分布正态分布也被称为高斯分布，是抽样误差最常见的分布类型之一。
正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差决定了曲线的幅度。
在正态分布中，抽样误差呈现出对称的模式分布，均值为零。
这意味着样本数据中的大部分值都接近总体的真实值。
正态分布的特点使得它在许多应用中非常有用。
例如，在对人体身高进行抽样调查时，正态分布可以很好地描述不同个体的身高分布情况。
不过需要注意的是，当样本量较小时，正态分布的逼近效果可能会受到一定的影响。
二、均匀分布均匀分布是另一种常见的抽样误差分布类型。
均匀分布呈矩形形状，表示样本中每个值的概率是相等的。
在均匀分布中，抽样误差的分布是连续而平均的，不会出现严重的偏差。
均匀分布的特点在一些特定场景中非常适用。
例如，在调查抛硬币结果的分布时，当我们进行大量的抛硬币试验时，得到正面和反面的概率应该是接近均匀分布的。
然而需要注意的是，均匀分布并不适用于所有情况，特别是当总体分布是非均匀的时候。
三、偏态分布偏态分布是一种常见的非对称抽样误差分布类型。
在偏态分布中，曲线的形状倾斜向某一侧。
偏态分布可以进一步分为正偏态和负偏态两种类型。
正偏态分布指的是曲线的尾部偏向较大的一侧，而负偏态分布则相反。
偏态分布的特点使得它在某些情况下更适合描述抽样误差。
例如，在研究收入分布时，负偏态分布可能更符合实际情况，因为大多数人的收入可能集中在低收入水平。
然而，需要注意的是，偏态分布会导致样本数据的误差，因此在解释数据时需要谨慎。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
医学统计学正态分布习题及答案
1.96
二、是非题
1．对于偏态分布资料， 1.96
范围内也包含了95%的变量值（ ）
答案：错
2．正态分布在横轴上的位置由均数决定 （）
答案：对
3．任何一个正态分布都可以通过标准化 变换转化为标准正态分布（ ）
答案：对
4．设随机变量的值在(0，+)范围中， 从该变量值的总体中抽样，若样本的标 准差大于样本均数，则可推断不服从正 态分布（ ）
4．在排放的工业废水中规定有害物质含 量不能超过0.005。现从某企业排出的废 水中抽取10份水样，测出有害物质的平 均含量为：0.0053，标准差为：0.0004。
假设某企业排出的废水符合标准，从该 企业排出的废水中抽到的含量为10的样 本是否小概率事件？
5．某医院要求除内科之外的各科室住院 病人的平均住院日均不超过20天。该院 某科对科室全部病人计算出平均住院日 为15天。科主任认为：该科室目前已达 到了医院的要求。这个看法是否正确？
10．某市500名10岁正常男孩中，有95% 的人体重在 18～30kg范围内，由此可知 此500名男孩体重的标准差等于（ ） kg
A 2.000
B 2.326
C 6.122
D 3.061
E 6.000 答案：D
11．对于服从标准正态分布的变量，有 （）
A 的概率是0.10 B 的概率是0.025 C 的概率是0.05 D 的概率是0.01 E 的概率是0.005 答案：B
二、是非判断题
1．对于一个含量为n样本，为了推断该 样本是否取自均数为μ0的总体，需要对 该样本的均数与μ0之间的差别是否是抽 样误差进行假设检验（ ）
2．从均数为μ0的总体中抽取一个含量为 n样本，必须对样本均数与μ0之间的差别 是否是抽样误差进行假设检验（ ）
统计_正态分布_抽样误差
值范围包含了95%的正常人。
31
标准差与标准误的区别与联系
❖ 标准差
意义：描述原始数据 的离散程度。衡量均 数对原始数据的代表 性
与n的关系
应用：
❖ 频数分布估计（医 学参考值范围估计）
❖ 标准误
意义：反映抽样误差大 小，衡量样本均数估计 总体均数的可靠性
❖ 样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量抽样误差的 大小。
❖ 标准误与个体变异 成正比，与样本含量n的平方根成反
比。
❖ 标准误理论值
X
n
18
标准误(standard error，SE)
❖ 实际工作中， 往往是未知的，一般可用样本标准
差s代替
❖ 标准误的估计值
s sX
n
❖ 因为标准差s随样本含量的增加而趋于稳定，故增
❖
相信命运，让自己成长，慢慢的长大 。2020年11月17日星 期二2时 31分45秒Tuesday, November 17, 2020
❖
爱情，亲情，友情，让人无法割舍。20.11.172020年 11月17日星期 二2时31分45秒20.11.17
谢谢大家！
26
区间估计
❖ 按一定的概率或可信度(1- )用一个区间估计总体参 数所在范围，这个范围称作可信度为1- 的可信区 间(confidence interval, CI)，又称置信区间 。这种
估计方法称为区间估计。
27
均数的可信区间
❖ 总体均数的(1- )可信区间定义为
X
- t ,
s X
,
X
+ t ,
卫生统计学简答题
三、简答题（20分）1、描述集中趋势的指标有哪些？其适用范围有何异同？（5分）均数：正态或近似正态分布几何均数：等比数列或对数正态分布资料中位数：资料是偏态分布的；分布不规则；一端或两端有不确定数据（开口资料）时。
2、何谓假设检验？可以举例说明。
（5分）首先建立检验假设，然后在该假设下进行随机抽样，计算得到该统计量及其极端情形的概率，如果概率较小，则拒绝该假设，如果概率不是小概率，则接受该假设，这个过程称为假设检验。
3、请你谈谈对假设检验结论的认识。
（5分）由于假设检验的结论是依据小概率事件一次试验实际不可能发生的原理进行的，因此当拒绝检验假设时可能犯I型错误，当接受检验假设时可能犯II型错误。
4、请你谈谈标准差和标准误的异同点。
（5分）四、简答题 15分1. 抽样研究中如何才能控制或减小抽样误差？答：合理的抽样设计，增大样本含量。
2、何谓抽样误差？为什么说抽样误差在抽样研究中是不可避免的？答：由抽样造成的样本统计量与样本统计量，样本统计量与总体参数间的差异因为个体差异是客观存在的，研究对象又是总体的一部分，因此这部分的结果与总体的结果存在差异彩是不可避免的3. 能否说假设检验的p值越小，比较的两个总体指标间差异越大？为什么？答：不能，因为P值的大小与总体指标间差异大小不完全等同。
P值的大小除与总体差异大小有关，更与抽样误差大小有关，同样的总体差异，抽样误差大小不同，所得的P也会不一样，抽样误差大小实际工作中主要反映在样本量大小上。
四、简答题 20分2 某医生用某药治疗10例小儿支气管哮喘，治愈8例，结论为“该药对小儿支气管哮喘的治愈率为80%，值得推广”。
答：一是没有对照组，二是样本例数太少，抽样误差大，可信区间宽。
3．某地１岁婴儿平均血红蛋白95％可信区间为116.2~130.1(g/L)，表示什么意义？该地1岁正常婴儿血红蛋白95％的参考值范围为111.2~135.1(g/L)，又说明了什么含义？答：表示该地１岁婴儿血红蛋白总体平均数在116.2~130.1(g/L)，估计正确的概率为95%表示该地有95％1岁正常婴儿的血红蛋白值在111.2~135.1(g/L)4．对同一组资料，如果相关分析算出的r越大，则回归分析算出的b也越大。
第三章 正态分布与抽样分布
图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住： 关于正态分布，有几个概率应记住： 一般正态分布： 一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝ ）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝ ）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝ ）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝ ）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝ ）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用 与样本均数配合使用， 以说明所考察性状或指标的优良性与稳 定性。对于小样本资料， 定性。对于小样本资料，常将样本标准 误 SX 与样本均数 X 配合使用，记 配合使用， 为 X ± S ，用以表示所考察性状或指 标的优良性与抽样误差的大小。 标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明 总体的两个参数与x总体的两 总体的两个参数与x 个参数有如下关系： 个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系 的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小 标准误大， 的大小。 的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均 间差异程度大；反之，亦然。 数 X 间差异程度大；反之，亦然。 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估 S 于是， 计σ 。于是，以 估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。 称作样本标准误或均数标准误。 是均数抽样 SX 误差的估计值。 误差的估计值。
统计学中的抽样分布和抽样误差
统计学中的抽样分布和抽样误差统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，而在进行统计分析时，抽样是一项重要的技术。
抽样分布和抽样误差是统计学中关键的概念，本文将具体介绍它们的定义、特点和应用。
一、抽样分布在统计学中，抽样分布指的是从总体中抽取样本的过程中得到的样本统计量的概率分布。
样本统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布是由大量不同的样本所形成的，它们具有一定的数学特性。
抽样分布的特点有：1. 抽样分布的中心趋向于总体参数。
当样本容量足够大时，抽样分布的中心会接近总体参数的真值。
2. 抽样分布的形状可能与总体分布相同，也可能近似于正态分布。
中心极限定理是解释抽样分布接近正态分布的重要定理。
3. 样本容量越大，抽样分布的方差越小。
样本容量增大，抽样误差减小。
抽样分布在实际应用中具有重要价值。
通过了解抽样分布的性质，我们可以进行假设检验、构建置信区间以及进行参数估计等统计推断。
二、抽样误差抽样误差是指由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异。
它是统计推断中常见的误差来源，也是统计分析中需要控制的重要因素。
抽样误差的大小受到多个因素的影响，包括样本容量、总体变异性以及抽样方法等。
通常情况下，样本容量越大，抽样误差越小，因为更大的样本容量能够更好地代表总体。
为了降低抽样误差，我们可以采取以下策略：1. 增加样本容量。
增大样本容量可以减小抽样误差，提高估计值的准确性。
2. 采用随机抽样方法。
随机抽样可以降低抽样误差，确保样本的代表性。
3. 控制变异性。
尽量减少总体的变异性，可以减小抽样误差。
抽样误差的存在对于统计推断的可靠性有着重要的影响。
在进行数据分析和解释时，我们需要正确理解抽样误差的概念，并将其考虑在内。
总结：统计学中的抽样分布和抽样误差是进行统计推断不可或缺的概念。
抽样分布是样本统计量的概率分布，具有一定的数学特性，可以用于进行假设检验和置信区间估计。
抽样误差是由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异，它的大小受到多个因素的影响。
抽样理论抽样误差与样本量的计算公式
抽样理论抽样误差与样本量的计算公式在统计学中，抽样是我们用来从整体中获取样本数据的一种方法。
然而，由于我们无法对整体进行完全调查，所以我们需要根据一部分样本数据来推断总体特征。
抽样误差是指由于样本抽取的随机性所引起的对总体特征的估计误差。
本文将介绍抽样理论中常用的抽样误差公式，并说明样本量的计算方法。
1. 抽样误差公式抽样误差是统计推断中的重要概念，它用来衡量样本数据对总体数据的估计精度。
抽样误差可以通过以下公式计算：抽样误差 = 抽样估计值 - 真实值抽样估计值是根据样本数据计算得出的统计量，例如均值、比例等。
真实值是指总体数据的真实数值。
在实际应用中，常用的抽样误差公式有标准误差公式和置信区间公式。
1.1 标准误差公式标准误差是样本统计量的抽样分布标准差。
如果我们假设样本数据满足正态分布，那么标准误差可以通过以下公式计算：标准误差 = 样本统计量的标准差 / 样本容量的平方根其中，样本统计量的标准差是指该统计量在抽样分布中的标准差，样本容量是指样本的大小。
例如，我们要估计某商品在全国范围内的销售量，并从中抽取了100个销售点的销售数据。
我们计算得出样本均值为2000，样本均值的标准差为100。
那么根据标准误差公式，我们可以计算出标准误差为：标准误差= 100 / √100 = 10这意味着我们对总体销售量的估计值平均偏差不超过10个单位。
1.2 置信区间公式置信区间是对总体特征的估计范围。
当我们进行统计推断时，我们通常希望给出一个置信水平，表示我们对估计值的信心程度。
置信区间可以通过以下公式计算：置信区间 = 抽样估计值 ±临界值 ×标准误差其中，临界值是根据所选置信水平和样本容量在统计表中查找得出的。
举例来说，我们希望估计某政党在全国范围内的支持率，并从中抽取了1000个选民的调查数据。
我们计算得出样本支持率为0.6，临界值为1.96（置信水平为95%）。
假设样本比例的标准误差为0.02，那么根据置信区间公式，我们可以计算出置信区间为：置信区间 = 0.6 ± 1.96 × 0.02 = 0.56 ~ 0.64这意味着我们以95%的置信水平估计，该政党的支持率在0.56到0.64之间。
高中数学概率与统计中的正态分布与抽样误差解析
高中数学概率与统计中的正态分布与抽样误差解析概率与统计是高中数学中的重要内容之一，其中正态分布和抽样误差是常见的考点。
本文将通过具体的题目举例，分析这两个概念的含义、应用以及解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用这些知识。
一、正态分布正态分布是概率与统计中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，左右对称，均值和标准差完全决定了曲线的形状。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述各种随机变量的分布情况，例如身高、考试成绩等。
我们以一个具体的题目来说明正态分布的应用。
假设某班级的学生数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为5分。
现在我们想要计算在这个班级中成绩在90分以上的学生所占的比例。
解题思路如下：1. 根据正态分布的性质，我们知道平均分左右对称，即成绩在90分以上的学生所占的比例等于成绩在70分以下的学生所占的比例。
2. 根据标准差的定义，我们知道约68%的学生成绩在平均分的一个标准差范围内，约95%的学生成绩在平均分的两个标准差范围内，约99.7%的学生成绩在平均分的三个标准差范围内。
3. 根据以上信息，我们可以计算出成绩在70分以下的学生所占的比例为68%+95%=163%。
4. 因此，成绩在90分以上的学生所占的比例为100% - 163% = 37%。
通过这个例子，我们可以看到正态分布在解决实际问题中的应用。
同时，我们也需要注意正态分布的性质，例如对称性和标准差的定义，以便更好地理解和应用这个概念。
二、抽样误差在实际调查和统计中，我们通常无法对整个总体进行全面调查，而是通过抽样来获取一部分样本数据，并通过这些样本数据来推断总体的特征。
然而，由于抽样的随机性和样本容量的限制，样本数据与总体数据之间存在误差，这就是抽样误差。
下面我们以一个实际问题来说明抽样误差的概念。
假设我们想要调查某市的居民对某项政策的满意度，总共有100万名居民。
由于时间和资源的限制，我们只能随机抽取1000名居民进行调查。
正态分布及抽样误差
样本统计量与总体参数之间存在一定的关系，通常 是通过抽样分布来描述。
样本统计量的性质
样本统计量是随机变量，其取值依赖于样本数据。
样本统计量具有可加性、可乘性和线性变换等性质，这些性质有助于简化 计算和推导。
样本统计量的分布通常服从正态分布或t分布等，这些分布具有一些重要 的数学性质，例如中心极限定理和独立同分布定理。
直观解释
虽然数学证明比较复杂，但我们可以 通过直观的方式来理解中心极限定理。 当样本量足够大时，每个样本点对样 本均值的影响较小，样本均值的变化 趋近于正态分布。
Part
05
大样本近似
大样本近似的概念
定义
大样本近似是指当样本量足够大时， 样本统计量（如样本均值、样本比例
等）的分布接近于正态分布。
样本统计量与总体参数的估计
01
样本统计量可以作为总体参数的估计量，通过样本数
据来估计总体参数的数值。
02
估计量的准确性取决于样本的代表性、样本量的大小
和抽样方法等因素。
03
常用的估计量包括样本均值、样本方差、样本比例等
，这些估计量在统计学中有广泛的应用。
Paห้องสมุดไป่ตู้t
04
中心极限定理
中心极限定理的表述
抽样误差的来源
随机抽样
由于每个样本都是随机抽 取的，因此每个样本都有 可能产生不同的统计量。
样本量大小
样本量越大，抽样误差越 小；样本量越小，抽样误 差越大。
总体变异程度
总体变异程度越高，抽样 误差越大；总体变异程度 越低，抽样误差越小。
抽样误差的控制
STEP 02
STEP 03
多次重复抽样
通过多次重复抽样可以计 算出抽样误差的估计值， 从而更好地了解样本的代 表性。
社会统计学试题及答案
社会统计学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 社会统计学是研究社会现象数量特征和数量关系的科学，其主要研究方法不包括以下哪一项？A. 描述性统计B. 推断性统计C. 定性分析D. 指数分析2. 以下哪一项不是社会统计学中常用的数据类型？A. 计数数据B. 顺序数据C. 比率数据D. 定性数据3. 在社会统计学中，中位数是衡量数据集中趋势的一种方法，以下关于中位数的描述不正确的是？A. 中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数值B. 中位数不受极端值的影响C. 中位数是数据的平均值D. 中位数适用于任何类型的数据4. 标准差是衡量数据离散程度的指标，以下关于标准差的描述不正确的是？A. 标准差越大，数据越集中B. 标准差是方差的平方根C. 标准差可以为负数D. 标准差反映了数据的波动大小5. 以下哪个统计量可以用来衡量变量之间的线性相关程度？A. 相关系数B. 方差C. 标准差D. 均值...（此处省略剩余选择题）二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述描述性统计和推断性统计的区别。
2. 解释什么是正态分布，并说明其在社会统计学中的应用。
3. 什么是抽样误差？它是如何影响统计推断的？三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一组数据：10, 12, 14, 16, 18, 20。
计算这组数据的均值、中位数和标准差。
2. 如果一个样本的均值为50，标准差为10，样本量为100，求95%置信区间。
四、案例分析题（每题20分，共20分）某社会调查机构对1000名居民进行了收入调查，调查结果显示，平均收入为5000元，标准差为1500元。
请根据这些信息，分析可能存在的收入分布情况，并讨论如果样本量减少到500，对统计推断的影响。
答案一、选择题1. C2. C3. C4. A, C, D5. A二、简答题1. 描述性统计主要关注数据的收集、组织、描述和呈现，目的是对数据进行总结和解释，而推断性统计则是基于样本数据对总体进行推断，目的是做出关于总体的结论。
抽样误差与抽样分布
抽样误差与抽样分布引言在统计学中，抽样误差和抽样分布是两个重要的概念。
理解这两个概念对于正确分析和解释统计数据非常关键。
本文将介绍抽样误差和抽样分布的根本概念，以及它们在统计学中的应用。
抽样误差抽样误差是指由于抽样过程所引入的误差。
在统计学中，我们通常无法对整个人群〔总体〕进行调查，而是通过从总体中抽取一局部样本来进行调查。
因为样本是总体的一个子集，所以样本的特征和总体的特征是有差异的。
抽样误差正是由于样本与总体之间的这种差异而产生的。
抽样误差是所有因素对样本的影响造成的误差的综合。
它可以是由于抽样方法的不完善导致的有意或无意的偏斜，也可以是由于抽样过程中的随机性所导致的随机误差。
抽样误差可以通过屡次重复抽样来估计。
通过对不同的样本进行调查，我们可以了解抽样误差的变化范围。
通常，我们使用置信区间来度量抽样误差的大小。
置信区间表示一个范围，样本统计量〔如均值或比例〕有一定的概率落在这个范围内。
抽样分布抽样分布是指样本统计量的分布。
统计量可以是样本均值、样本比例、样本标准差等。
抽样分布描述了样本统计量在所有可能的样本中的分布情况。
抽样分布是重点研究的对象，因为它提供了对总体参数的估计和推断的根底。
通过抽样分布，我们可以计算样本统计量的期望值、方差和置信区间等。
抽样分布可以通过重复抽样和统计推断方法来估计。
通过从总体中抽取多个样本，并计算每个样本统计量的值，我们可以建立抽样分布。
我们还可以使用中心极限定理来近似抽样分布。
中心极限定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
抽样误差与抽样分布的关系抽样误差与抽样分布是密切相关的。
抽样误差反映了样本与总体之间的差异，而抽样分布描述了样本统计量的分布。
当我们从总体中抽取一个样本时，样本统计量的值就是在这次抽样所得到的估计值。
通过屡次重复抽样，我们可以得到一系列样本统计量的值，这个系列就是抽样分布。
抽样误差是由于抽样过程中的随机性导致的，从而影响了样本统计量的值。
正态分布 标准偏差
正态分布标准偏差正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，它具有许多重要的特性和应用。
在正态分布中，标准偏差是一个关键的概念，它对于理解和分析正态分布具有重要意义。
本文将重点介绍正态分布和标准偏差的相关知识，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
正态分布是一种连续概率分布，其曲线呈钟形，两侧尾部逐渐减小，中间最高。
正态分布的曲线呈对称分布，均值、中位数和众数重合，且均值处为曲线的中心。
在正态分布中，68%的数据落在均值加减一个标准偏差范围内，95%的数据落在均值加减两个标准偏差范围内，99.7%的数据落在均值加减三个标准偏差范围内。
这些特性使得正态分布在实际应用中具有广泛的适用性，特别是在自然科学、社会科学和工程技术等领域。
标准偏差是衡量一组数据离散程度的重要指标，它表示数据偏离均值的程度。
标准偏差越大，说明数据的离散程度越高；标准偏差越小，说明数据的离散程度越低。
在正态分布中，标准偏差的大小直接影响着曲线的宽窄，标准偏差越大，曲线越宽；标准偏差越小，曲线越窄。
因此，标准偏差不仅可以帮助我们理解数据的分布情况，还可以帮助我们比较不同数据集的离散程度。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算正态分布和标准偏差的情况。
例如，在质量控制中，我们可以利用正态分布来分析产品的质量状况，通过计算标准偏差来衡量产品质量的稳定程度；在市场营销中，我们可以利用正态分布来分析消费者的购买行为，通过计算标准偏差来评估市场需求的波动程度。
因此，对于正态分布和标准偏差的理解和应用，不仅可以帮助我们更好地理解数据，还可以帮助我们做出更准确的决策。
总之，正态分布和标准偏差是统计学中非常重要的概念，它们在各个领域都具有广泛的应用价值。
通过深入理解正态分布和标准偏差的特性和应用，我们可以更好地分析和解释数据，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用正态分布和标准偏差的知识，为他们的学习和工作带来帮助。
统计学中的抽样误差与样本容量计算
统计学中的抽样误差与样本容量计算统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而抽样误差和样本容量计算是统计学中非常重要的概念。
在进行统计研究时，我们常常需要从总体中选取一部分样本进行分析，以了解总体的特征。
然而，由于样本的随机性，我们所得到的样本结果与总体真实情况之间会存在一定的差异，这就是抽样误差。
抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
它是由于我们无法对整个总体进行调查，而只能通过样本来推断总体情况所导致的。
抽样误差的大小与样本容量有关，通常情况下，样本容量越大，抽样误差越小。
那么，如何计算样本容量呢？在确定样本容量时，我们需要考虑以下几个因素：1. 总体大小：总体是指我们要研究的对象的全体，比如全国人口数量。
总体大小对样本容量的要求有一定影响，当总体较大时，相对较小的样本容量就可以得到较为准确的结果。
2. 抽样误差：我们可以根据需要设定一个允许的抽样误差范围，比如允许的最大误差为5%。
根据这个设定，我们可以计算出所需的样本容量。
3. 置信水平：置信水平是指我们对样本结果的信心程度，通常使用95%或99%。
置信水平越高，样本容量要求越大。
4. 方差：方差是指样本观测值与样本均值之间的差异程度。
方差越大，样本容量要求越大。
在实际计算样本容量时，我们可以使用统计学中的公式或者在线样本容量计算器来进行计算。
以下是常用的两个样本容量计算公式：1. 对于一个总体比例的估计：n = (Z^2 * p * (1-p)) / E^2其中，n为样本容量，Z为置信水平对应的Z值，p为总体比例的估计值，E 为允许的抽样误差。
2. 对于一个总体均值的估计：n = (Z^2 * σ^2) / E^2其中，n为样本容量，Z为置信水平对应的Z值，σ为总体标准差的估计值，E为允许的抽样误差。
通过以上公式，我们可以计算出所需的样本容量。
需要注意的是，这些公式是基于一些假设条件的，比如总体服从正态分布等。
在实际应用中，我们还需要根据具体问题来进行适当的修正。
52样本频率的抽样分布与抽样误差
52样本频率的抽样分布与抽样误差第五章参数估计基础⼆、样本频率的抽样分布与抽样误差内容1.样本均值抽样分布和抽样误差回顾2.样本频率抽样分布和抽样误差1.样本均值抽样分布和抽样误差（1）正态分布总体样本均数抽样分布特点（2）⾮正态分布总体样本均数抽样分布规律（3）均值标准误的含义和计算（1）正态分布总体样本均数抽样分布特点n样本均数等于总体均数的情况极其罕见； n样本均数之间存在差异；n样本均数围绕总体均数，呈近似正态分布； n样本均数标准误⼩于原始变量的标准差。
（2）⾮正态分布总体样本均数抽样分布规律n虽然原分布是偏态分布，但当抽取样本量n⾜够⼤时(如 n＞30) 样本均数也近似正态分布，且样本均数的均数等于原分布的均数。
（3）均值标准误的含义和计算2.样本频率的抽样分布与抽样误差电脑摸球实验，表 % 20 = p 时的随机抽样结果( 50 = i n )⿊球⽐例(%) 样本频数样本频率(%)8 2 2.0010 4 4.0012 8 8.0014 7 7.0016 11 11.00 18 13 13.0020 19 19.0022 11 11.0024 11 11.0026 6 6.0028 3 3.0030 4 4.0032 1 1.00合计100 100.00n样本频率抽样误差n从同⼀总体中随机抽出观察单位相等的多个样本，样本率与总体率及各样本率之间都存在差异，称为频率的抽样误差。
n样本频率的标准误n表⽰样本频率抽样误差⼤⼩的指标即为频率的标准误。
⼩结1.样本均值抽样分布和抽样误差知识回顾2.样本频率抽样分布和抽样误差n样本频率分布规律n频率标准误含义和计算。
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正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
估计频数分布
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其 均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作 为低体重儿，试估计低体重儿的比例。 首先计算标准离差： 2500 3150 u 1.86 350
从已知总体中抽样
μ =0 σ =1
x =0.3747
S= 1.2473
x =0.0681
S =0.7245
样本含量n =10 抽样次数m =10000
x =-0.1703
S = 0.9248
Sampling distribution for means
X Population A Population B X Population C X Population D X
抽样误差及其规律性
Sampling variability and its attributes
了解抽样误差规律的重要性
总体
同质个体、个体变异
随机 抽样
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知
统计 推断
样本统计量已
知
风 险
抽样误差(sampling error)
由抽样引起的样本统计量与总体参数间 的差别。 原因：个体变异＋抽样 表现： 样本统计量与总体参数间的差别 不同样本统计量间的差别 抽样误差是有规律的！
均数标准误的计算
例：某市16岁女中学生的身高均数(μ)为 155.4cm，标准差(σ)为5.3cm n=10
X 5.3 / 10 1.68(cm)
与样本含量的关系
n 越大，均数的均数就越接近总体均数； n 越大，变异越小，分布越窄； 对称分布接近正态分布的速度，大于非 对称分布。分布越偏，接近正态分布所 需样本含量就越大。
M+3SD
M+2SD
M
M-2SD
M-3SD
1
2
3
4
5
6
7
8 9 测量
10 11 12 13 14 15
27
参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围： 是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。 确定参考值范围的意义： 用于判断正常与异常。 “正常人”的定义： 排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素 的同质的人群。
均数的抽样误差之特点
各样本均数未必等于总体均数； 样本均数间存在差异； 样本均数的分布很有规律，围绕总体均 数，中间多两边少，左右基本对称； 样本均数的变异范围较之原变量的变异 范围大大缩小； 随着样本含量的增加，样本均数的变异 范围逐渐缩小。
中心极限定理(central limit theorem)
+1.64
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
0.5%
-2.58
+2.58
思考
S(-1.96, +1.64)=?
92.5%
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； -1.64～ +1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。 小于-3的面积为 0.13%; 小于-2的面积为 2.28%; 小于- 的面积为15.87%。
参考值范围的估计方法
方法 正态分布法 双侧 单侧下限 单侧上限
X u / 2 s
X u s
X u s
例
20 ～ 29岁正常成年男子尿酸浓度
x 350.24( mol / L), s 32.97
求双侧95%的参考值范围： 下限
x 1.96 s 350.24 32.97 285.62( mol / L) x 1.96s 350.24 32.97 414.86( mol / L)
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0， 标准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
(X )
1 2
e
u2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987 S(-, )=1
S(-, -1)=0.1587
S(-, -0)=0.5
S(-1,
)=0.3413
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96
+1.96
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64
参考值范围确定的原则
选定同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围 单、双侧问题
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！ 双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 …… 下限: 肺活量，IQ，
正态分布及其应用
Normal distribution
and its applications
统计学中最重要的理论分布之一
正态分布(Normal distribution)
法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution
2
正态分布的背景－一个街头赌博游戏
样本均数的均数为 μ;
样本均数的标准差为 x
n
。
标准误(standard error)
样本统计量的标准差称为标准误。
样本均数的标准差称为均数的标准误。 均数的标准误表示样本均数的变异度。
x
sx
s
n
n
当总体标准差未知时，用样本方差代替，
前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。
3
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 1
3
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位 置参数(均数)和形态参数(标准差)。 高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
u
X
~ N (0,1)
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
X
n=2
X
n=4
X
n=10
X
n=25
Sampling Distribution of sample means Sampling Distribution of sample means Sampling Distribution of sample means Sampling Distribution of sample means
1-S(- , +)=0.3174
-3 -2 - + +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3)=0.0013
S(-, -2)=0.0228
S(-3, -2)=0.0215
S(-2, -1)=0.1359
标准误与标准差（1）
联系：
都表示变异的大小；
SX S / n
样本含量一定时，标准差越大，标准误越 大。
标准误与标准差（2）
标准差 含义： 一组变量值离散程度； 标准差越小，均数的代表性越好； 应用： 估计参考值范围； 与n的关系：样本含量越大，标准差越稳定，n 很 大时，标准差趋向于总体标准差。
+ +2 +3
S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228
S(-, -3)=0.0013
-3 -2 -
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
1-S(-3 , +3)=0.0026
1-S(-2 , +2)=0.0456