正态分布及抽样误差
正态分布参考值抽样误差
百分位数法: 适用于偏态分布资料
例如白细胞数的95％参考值范围:因为白细胞数
25
20
15
10
5
0 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
f(x)=(fi/n)
0.25
相 对 频 0.20 率
0.15
以频率为纵坐标
0.10
0.05
0.00
3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
红细胞计数（1012/L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于
一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中
间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态
分布曲线。
因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
0.14 0.12
组中值 3.90 4.10 4.30 4.50 4.70 4.90 5.10 5.30 5.50 5.70 5.90
统计学公式汇总
统计学公式汇总统计学是研究数据收集、分析、解释和预测的一门学科。
在统计学中，有许多重要的公式被广泛应用于数据的处理和分析过程中。
本文将汇总一些常见的统计学公式，并简要介绍其应用场景和使用方法。
1. 均值（Mean）均值是统计学中最常用的概念之一，用于衡量一组数据的集中趋势。
对于一个样本集合，均值可以通过将所有观测值相加，然后除以样本容量来计算。
其数学公式如下：均值= ∑(观测值) / 样本容量2. 方差（Variance）方差是用于衡量一组数据的离散程度的指标。
方差越大，表示数据的离散程度越高；方差越小，表示数据的离散程度越低。
方差的计算公式如下：方差= ∑((观测值-均值)^2) / 样本容量3. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离散程度，并且具有和原始数据相同的单位。
标准差的计算公式如下：标准差 = 方差的平方根4. 相关系数（Correlation Coefficient）相关系数用于衡量两组变量之间的线性关系强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示无相关。
相关系数的计算公式如下：r = Cov(X,Y) / (σX * σY)5. 回归方程（Regression Equation）回归方程用于建立一个或多个自变量与因变量之间的线性关系。
回归方程的一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示模型的误差项。
6. 样本容量和置信水平（Sample Size and Confidence Level）在统计学中，样本容量和置信水平是决定实验或调查结果可靠性的重要因素。
样本容量是指从总体中抽取的样本大小，而置信水平是指对总体参数的估计值的信任程度。
正态分布参考值抽样误差
x
标准正态分布N(0，1)。在实际工作 中，往往是未知，常用 s X 替代 ，即 X
X
t
Sx
这时，对正态变量 X 采取的不 是u变换而是t变换了，t值的分布 称为t分布。
t分布的特征：
1.单峰分布，以0为中心，左右对称；
2.t 分布是一簇曲线，其形态变化与自由度 s X 与 X 的差别 的大小有关 n-1。越小， 越大，t值越分散，曲线的峰部越矮，尾部越 粗。越大，t分布越接近于标准正态分布。
X u / 2 s X
X 1.96S x
总体均数95%的双侧可信区间为：
总体均数99%的双侧可信区间为：
X 2.58S x
例 某市2000年随机测量了90名19岁健康男大 学生的身高，其均数为172.2cm，标准差为 4.5cm，试估计该市2000年19岁健康男大学生 平均身高的95％可信区间。
f(x)=(fi/n)
0.25
以频率为纵坐标
相 对 频 率
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
3.8
4
4.2 4.4 4.6 4.8
5
12
5.2 5.4 5.6 5.8
红细胞计数（10 /L) 140名正常男子红细胞计数直方图
随着组段不断分细和观察人数的增多，直条顶端将逐渐接近于 一条光滑的曲线，如下图。这条曲线称为频率密度曲线，呈中 间高、两边低、左右对称，形状似座钟。类似于数学上的正态 分布曲线。 因为频率的总和等于1，故横轴上曲线下的面积等于1。
例如：总体均数的可信区间
即按一定的概率估计未知总体均数的所在范 围。 习惯上用总体均数的95%(或99%)可信 区间，表示该区间包含总体均数的概率为 95%(或99%)，用此范围估计总体平均数， 表示100次抽样中，有 95(99)次包含总体均 数。
概率与统计中的正态分布与抽样误差
概率与统计中的正态分布与抽样误差概率与统计是数学中重要的一个分支，它研究的是数据和随机现象之间的关系。
在概率与统计的研究中，正态分布是一个非常重要的概念。
正态分布是一种连续型的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。
在实际应用中，我们经常会遇到抽样误差的问题，而正态分布在抽样误差的分析中扮演着重要的角色。
一、正态分布的概念及性质正态分布，也被称为高斯分布，是一种在统计学和概率论中常见的连续型概率分布。
它的概率密度函数可以用以下的形式表示：（在这里可以插入正态分布的概率密度函数的公式，但请注意我不能给出具体的数学公式）正态分布的最重要的性质是其均值和标准差决定了它的形状。
均值确定了正态分布的中心位置，而标准差决定了曲线的宽度。
正态分布的曲线呈钟形，对称分布于均值左右。
二、正态分布在统计中的应用正态分布在统计中的应用广泛。
它在实际问题的建模和分析中起着至关重要的作用。
1. 中心极限定理中心极限定理是概率与统计中一个重要的定理，它指出当独立同分布的随机变量的样本容量足够大时，它们的样本平均值将近似地服从正态分布。
这个定理的应用使得我们能够利用样本数据对总体进行推断。
2. 抽样分布在统计推断中，我们需要通过样本数据来对总体进行估计。
抽样分布是指从总体中抽取多个样本，计算每个样本的统计量，然后将这些统计量的分布进行研究。
正态分布在抽样分布的分析中起着关键的作用。
3. 参数估计参数估计是指利用样本数据对总体的参数进行估计。
最常见的估计方法是点估计和区间估计。
在估计过程中，我们通常假设总体服从正态分布，并根据样本数据来计算得到参数的估计值。
4. 假设检验假设检验是统计推断的一个重要方法，用于判断某个假设是否成立。
在假设检验中，我们通常需要构建一个检验统计量，并根据其分布来进行推断。
正态分布在假设检验中经常被用作对总体分布的近似。
三、抽样误差与正态分布抽样误差是指由于从总体中随机抽取样本所引入的误差。
在真实的情况下，我们很难获得总体的所有数据，因此只能从总体中抽取样本来对总体进行研究和推断。
统计学中的抽样误差分布类型
统计学中的抽样误差分布类型统计学中的抽样误差是指由于选取抽样方法的随机性引起的样本与总体之间的差异。
在统计学中，我们常常利用抽样方法来研究总体的特征。
然而，由于抽样的随机性，样本很可能无法完全准确地反映总体的真实情况。
因此，了解抽样误差的分布类型对于正确解释样本数据的意义至关重要。
在统计学中，有多种类型的抽样误差分布。
本文将介绍其中的三种常见类型：正态分布、均匀分布和偏态分布，并探讨它们对样本数据的影响。
一、正态分布正态分布也被称为高斯分布，是抽样误差最常见的分布类型之一。
正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差决定了曲线的幅度。
在正态分布中，抽样误差呈现出对称的模式分布，均值为零。
这意味着样本数据中的大部分值都接近总体的真实值。
正态分布的特点使得它在许多应用中非常有用。
例如，在对人体身高进行抽样调查时，正态分布可以很好地描述不同个体的身高分布情况。
不过需要注意的是，当样本量较小时，正态分布的逼近效果可能会受到一定的影响。
二、均匀分布均匀分布是另一种常见的抽样误差分布类型。
均匀分布呈矩形形状，表示样本中每个值的概率是相等的。
在均匀分布中，抽样误差的分布是连续而平均的，不会出现严重的偏差。
均匀分布的特点在一些特定场景中非常适用。
例如，在调查抛硬币结果的分布时，当我们进行大量的抛硬币试验时，得到正面和反面的概率应该是接近均匀分布的。
然而需要注意的是，均匀分布并不适用于所有情况，特别是当总体分布是非均匀的时候。
三、偏态分布偏态分布是一种常见的非对称抽样误差分布类型。
在偏态分布中，曲线的形状倾斜向某一侧。
偏态分布可以进一步分为正偏态和负偏态两种类型。
正偏态分布指的是曲线的尾部偏向较大的一侧，而负偏态分布则相反。
偏态分布的特点使得它在某些情况下更适合描述抽样误差。
例如，在研究收入分布时，负偏态分布可能更符合实际情况，因为大多数人的收入可能集中在低收入水平。
然而，需要注意的是，偏态分布会导致样本数据的误差，因此在解释数据时需要谨慎。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
正态总体的常用抽样分布
特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面 积，即其尾部比正态分布更重。随着 自由度n的增加，卡方分布趋近于正 态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值 和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估 计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区 间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随 着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。 样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。 在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正 态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都 需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准 确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳 定性有显著影响。随着样本量增加， 抽样分布的形状逐渐接近正态分布， 且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估 计的参数值越接近真实值。因此，在 制定抽样计划时，应充分考虑样本量 的大小，以确保估计的精度满足要求。
抽样误差措施
抽样误差措施1. 引言在研究和调查中，抽样是一种常用的数据收集方法。
尽管抽样方法具有高效、经济的优势，但由于抽样过程中的各种因素，导致样本与总体之间存在一定的差异，即抽样误差。
为了确保抽样结果的可靠性和准确性，需要采取一些措施来衡量并减少抽样误差。
本文将介绍常见的抽样误差措施及其应用，以帮助研究人员和调查员在实际工作中更好地处理抽样误差问题。
2. 抽样误差的定义与分类抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
按照造成抽样误差的原因，可以将抽样误差分为以下两类：1.随机误差：由于抽样过程中的随机因素引起的误差，例如抽样误差是正态分布的随机误差。
2.系统误差：由于抽样方法本身的偏差或操作失误引起的误差，例如选择偏差、测量误差等。
3. 抽样误差的度量方法为了衡量抽样误差的大小以及研究样本的可靠性，可以采用以下度量方法：3.1 抽样误差率抽样误差率是指样本估计值与总体参数之间的差异在样本容量中占比的度量。
抽样误差率 = (样本估计值 - 总体参数值) / 总体参数值抽样误差率越小，说明样本估计值与总体参数值越接近，抽样误差越小，样本的可靠性越高。
3.2 标准误差标准误差是衡量样本统计量的抽样变异程度的度量。
它表示样本的离散程度，即抽样误差的大小。
标准误差越小，说明样本统计量的抽样误差越小，样本的可靠性越高。
3.3 置信区间置信区间是指样本估计值上下限的范围，用于表示总体参数的估计范围。
置信区间的宽度反映了样本估计值的不确定性。
置信区间越窄，说明样本估计值越接近总体参数值，抽样误差越小。
4. 抽样误差控制措施为了减少抽样误差，提高样本的可靠性，可以采取以下措施：4.1 增加样本容量增加样本容量可以减小抽样误差，尤其是对于较大的总体。
当样本容量增加时，随机误差相对减小，样本的统计特征更接近总体参数。
4.2 采用简单随机抽样简单随机抽样是一种消除选择偏差的有效方法。
通过随机选择样本，能够代表总体，使得样本的特征与总体参数更接近。
第三章 正态分布与抽样分布
图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住： 关于正态分布，有几个概率应记住： 一般正态分布： 一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝ ）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝ ）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝ ）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝ ）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝ ）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用 与样本均数配合使用， 以说明所考察性状或指标的优良性与稳 定性。对于小样本资料， 定性。对于小样本资料，常将样本标准 误 SX 与样本均数 X 配合使用，记 配合使用， 为 X ± S ，用以表示所考察性状或指 标的优良性与抽样误差的大小。 标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明 总体的两个参数与x总体的两 总体的两个参数与x 个参数有如下关系： 个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系 的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小 标准误大， 的大小。 的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均 间差异程度大；反之，亦然。 数 X 间差异程度大；反之，亦然。 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估 S 于是， 计σ 。于是，以 估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。 称作样本标准误或均数标准误。 是均数抽样 SX 误差的估计值。 误差的估计值。
抽样理论抽样误差与样本量的计算公式
抽样理论抽样误差与样本量的计算公式在统计学中，抽样是我们用来从整体中获取样本数据的一种方法。
然而，由于我们无法对整体进行完全调查，所以我们需要根据一部分样本数据来推断总体特征。
抽样误差是指由于样本抽取的随机性所引起的对总体特征的估计误差。
本文将介绍抽样理论中常用的抽样误差公式，并说明样本量的计算方法。
1. 抽样误差公式抽样误差是统计推断中的重要概念，它用来衡量样本数据对总体数据的估计精度。
抽样误差可以通过以下公式计算：抽样误差 = 抽样估计值 - 真实值抽样估计值是根据样本数据计算得出的统计量，例如均值、比例等。
真实值是指总体数据的真实数值。
在实际应用中，常用的抽样误差公式有标准误差公式和置信区间公式。
1.1 标准误差公式标准误差是样本统计量的抽样分布标准差。
如果我们假设样本数据满足正态分布，那么标准误差可以通过以下公式计算：标准误差 = 样本统计量的标准差 / 样本容量的平方根其中，样本统计量的标准差是指该统计量在抽样分布中的标准差，样本容量是指样本的大小。
例如，我们要估计某商品在全国范围内的销售量，并从中抽取了100个销售点的销售数据。
我们计算得出样本均值为2000，样本均值的标准差为100。
那么根据标准误差公式，我们可以计算出标准误差为：标准误差= 100 / √100 = 10这意味着我们对总体销售量的估计值平均偏差不超过10个单位。
1.2 置信区间公式置信区间是对总体特征的估计范围。
当我们进行统计推断时，我们通常希望给出一个置信水平，表示我们对估计值的信心程度。
置信区间可以通过以下公式计算：置信区间 = 抽样估计值 ±临界值 ×标准误差其中，临界值是根据所选置信水平和样本容量在统计表中查找得出的。
举例来说，我们希望估计某政党在全国范围内的支持率，并从中抽取了1000个选民的调查数据。
我们计算得出样本支持率为0.6，临界值为1.96（置信水平为95%）。
假设样本比例的标准误差为0.02，那么根据置信区间公式，我们可以计算出置信区间为：置信区间 = 0.6 ± 1.96 × 0.02 = 0.56 ~ 0.64这意味着我们以95%的置信水平估计，该政党的支持率在0.56到0.64之间。
不符合正态分布,平均值+3乘标准差_解释说明以及概述
不符合正态分布,平均值+3乘标准差解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文将讨论不符合正态分布时，使用平均值加上三倍标准差进行解释和说明。
在统计学中，正态分布是一种常见的连续概率分布，它具有对称的钟形曲线。
然而，在现实生活中，很多数据并不服从正态分布，其分布形态可能存在偏离和异常值。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章的内容和目的。
其次，我们将介绍不符合正态分布的情况，包括正态分布简介和特征、异常分布形态以及原因和影响因素。
接下来，我们将详细解释平均值加上三倍标准差的规则，并通过举例来讲解其意义和应用。
然后，我们将探讨不符合正态分布与平均值加上三倍标准差之间的关系，包括如何影响计算结果以及如何在非正态分布情况下使用该规则。
最后，在结论与展望部分总结文章的主要观点，并提出未来研究方向建议。
1.3 目的本文旨在帮助读者理解当数据不符合正态分布时，如何使用平均值加上三倍标准差进行分析和解释。
通过深入探讨不符合正态分布的情况和其与平均值加上三倍标准差之间的关系，读者将能够更好地理解数据的分布特征，并能够在实际应用中灵活运用相关知识。
此外，本文还将为读者提供一些实际案例和经验总结，以帮助他们更好地应对非正态分布数据并做出准确的分析判断。
2. 不符合正态分布的情况2.1 正态分布简介和特征正态分布，又称为高斯分布，是统计学中常见的一种连续概率分布。
它以钟形曲线呈现，均值位于曲线中心，标准差决定了曲线的宽窄。
正态分布具有以下特征：对称性、单峰性、总体均值等于中位数和众数。
2.2 异常分布形态不符合正态分布的情况下，数据呈现出不同于正态分布的形态。
这可能是由于各种原因引起的异常情况。
在实际应用中常见的异常分布形态包括：偏斜分布：数据在某一方向上有明显偏移，即左偏或右偏。
双峰分布：数据存在两个明显的峰值，表示存在两个主要模式。
多峰分布：数据呈现出多个明显的峰值，表示存在多个主要模式。
高中数学概率与统计中的正态分布与抽样误差解析
高中数学概率与统计中的正态分布与抽样误差解析概率与统计是高中数学中的重要内容之一，其中正态分布和抽样误差是常见的考点。
本文将通过具体的题目举例，分析这两个概念的含义、应用以及解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用这些知识。
一、正态分布正态分布是概率与统计中最重要的分布之一，也称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，左右对称，均值和标准差完全决定了曲线的形状。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述各种随机变量的分布情况，例如身高、考试成绩等。
我们以一个具体的题目来说明正态分布的应用。
假设某班级的学生数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为5分。
现在我们想要计算在这个班级中成绩在90分以上的学生所占的比例。
解题思路如下：1. 根据正态分布的性质，我们知道平均分左右对称，即成绩在90分以上的学生所占的比例等于成绩在70分以下的学生所占的比例。
2. 根据标准差的定义，我们知道约68%的学生成绩在平均分的一个标准差范围内，约95%的学生成绩在平均分的两个标准差范围内，约99.7%的学生成绩在平均分的三个标准差范围内。
3. 根据以上信息，我们可以计算出成绩在70分以下的学生所占的比例为68%+95%=163%。
4. 因此，成绩在90分以上的学生所占的比例为100% - 163% = 37%。
通过这个例子，我们可以看到正态分布在解决实际问题中的应用。
同时，我们也需要注意正态分布的性质，例如对称性和标准差的定义，以便更好地理解和应用这个概念。
二、抽样误差在实际调查和统计中，我们通常无法对整个总体进行全面调查，而是通过抽样来获取一部分样本数据，并通过这些样本数据来推断总体的特征。
然而，由于抽样的随机性和样本容量的限制，样本数据与总体数据之间存在误差，这就是抽样误差。
下面我们以一个实际问题来说明抽样误差的概念。
假设我们想要调查某市的居民对某项政策的满意度，总共有100万名居民。
由于时间和资源的限制，我们只能随机抽取1000名居民进行调查。
正态分布及抽样误差
样本统计量与总体参数之间存在一定的关系，通常 是通过抽样分布来描述。
样本统计量的性质
样本统计量是随机变量，其取值依赖于样本数据。
样本统计量具有可加性、可乘性和线性变换等性质，这些性质有助于简化 计算和推导。
样本统计量的分布通常服从正态分布或t分布等，这些分布具有一些重要 的数学性质，例如中心极限定理和独立同分布定理。
直观解释
虽然数学证明比较复杂，但我们可以 通过直观的方式来理解中心极限定理。 当样本量足够大时，每个样本点对样 本均值的影响较小，样本均值的变化 趋近于正态分布。
Part
05
大样本近似
大样本近似的概念
定义
大样本近似是指当样本量足够大时， 样本统计量（如样本均值、样本比例
等）的分布接近于正态分布。
样本统计量与总体参数的估计
01
样本统计量可以作为总体参数的估计量，通过样本数
据来估计总体参数的数值。
02
估计量的准确性取决于样本的代表性、样本量的大小
和抽样方法等因素。
03
常用的估计量包括样本均值、样本方差、样本比例等
，这些估计量在统计学中有广泛的应用。
Paห้องสมุดไป่ตู้t
04
中心极限定理
中心极限定理的表述
抽样误差的来源
随机抽样
由于每个样本都是随机抽 取的，因此每个样本都有 可能产生不同的统计量。
样本量大小
样本量越大，抽样误差越 小；样本量越小，抽样误 差越大。
总体变异程度
总体变异程度越高，抽样 误差越大；总体变异程度 越低，抽样误差越小。
抽样误差的控制
STEP 02
STEP 03
多次重复抽样
通过多次重复抽样可以计 算出抽样误差的估计值， 从而更好地了解样本的代 表性。
常用的三种抽样分布
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
三、 F 分布
令 2 (1) 和 2 ( 2 ) 分别为服从自由度为 1 和 2 的
独立变量的卡方分布，则称 F 2 (1) 1 服从分子自由度
• （1）随机变量、概率分布、抽样分布 是统计学推断的基础。
• （2） 二项分布描述二项分类变量两种 观察结果的出现规律。泊松分布是二项 分布的特例，常用于事件发生率很小， 样本含量很大的情况。
• （3）正态分布是其他分布的极限分布， 许多统计方法的理论基础。不少医学 现象也服从正态分布或近似服从正态 分布。
分布，且其均数为μ，标准差为 s
n
• 不论总体的分布形式如何，只要样本含
量n足够大时，样本均数的分布就近似正
态分布 ，此称为中心极限定理。 （下章通过抽样实验证实）
常用的三种抽样分布
• 一、 2 分布
• 二、t分布 • 三、F 分布
均为连续型随
机变量分布，分布 只与自由度，即样 本含量有关
2 0.05(1)
常用的抽样分布
如果总体服从正态分布N（m，s2），
则从该正态总体中抽取样本，得到的
样本均数也服从正态分布，但该分布
为N（m，s2/n ），此时的方差是总 体的1/n倍，即有
mx m,
sx
s
n
中心极限定理
• 如果总体不是正态总体，但其均数和标
准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断
增大时，样本均数的分布也趋近于正态
自由度：n-1
f(t)
正态分布_t分布
µ+ 1.96ơ范围内的面积占正态曲线下总面积的95.00%， 即有95.00%的变量值分布在此范围内；
µ+ 2.58ơ范围内的面积占正态曲线下总面积99.00%，即 有99.00%的变量值分布在此范围内
标准误是样本均数的标准差，即描述样本均数 的抽样误差。凡同性质的资料，标准误大说明 抽样误x 差大，用样本均数估计总体均数的可靠 性小；而标准误小，说明抽样误差小，用样本 均数估计总体均数的可靠性大。
标准误与标准差的区别
µ
x3
x1 s x2
xs
µ
x1
s x3 x
x2
x sx
(二)样本均数的正态分布（中心极限定理）
填空
1、正态分布曲线下µ+ 1.96ơ范围内的面积占正
态曲线下总面积的
，即有
的变量
值分布在此范围内；
2、正态分布曲线下
范围内的面积占正态
曲线下总面积99.00%，即有99.00%的变量值分布
在此范围内
3、均数µ是正态分布曲线的 参数， 标准差ơ 是正态分布曲线的 参数。
填空
4、对于任何一个均数为µ ，标准差为ơ的正态分
A、大于 B、小于 C、等于 D、无关
单项选择题
t 5、 0.05,9(单侧)
t 0.05,9(双侧)
A、大于 B、小于 C、等于 D、无关
限的t值叫 t0.01, 界值为P=0.01的t界值。
t值与自由度的关系
一般情况下，t分布曲线较标准正态分 布曲线低平，因此 t0.05, 1.96 ，t0.01, 2.58 自
统计推断抽样误差大小评估及控制方法
统计推断抽样误差大小评估及控制方法一、引言统计推断是基于样本数据对总体进行推断的一种方法。
在进行统计推断时，我们常常需要评估抽样误差的大小，以确定推断的准确性和可靠性。
本文将介绍统计推断中抽样误差的概念、评估方法以及控制方法。
二、抽样误差的概念抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
由于我们无法对整个总体进行调查，只能通过抽样得到样本数据，因此样本统计量与总体参数之间必然存在差异。
这种差异即为抽样误差，是统计推断中不可避免的一种误差。
三、抽样误差的评估方法评估抽样误差的大小对于统计推断的结果具有重要意义。
下面介绍几种常见的评估方法：1. 标准误差（Standard Error）：标准误差是评估样本统计量与总体参数之间差异的一种方法。
它表示样本统计量的变异程度，标准误差越小，则样本统计量与总体参数越接近。
2. 置信区间（Confidence Interval）：置信区间是估计总体参数的一种方法，它能够提供总体参数的一个范围。
置信区间的宽度反映了抽样误差的大小，置信区间越窄，则抽样误差越小。
3. 抽样分布（Sampling Distribution）：抽样分布是样本统计量的分布情况。
通过研究抽样分布的形态和性质，可以评估抽样误差的大小。
常用的抽样分布包括正态分布、t分布等。
四、控制抽样误差的方法为了控制抽样误差，提高统计推断的准确性和可靠性，可以采取以下方法：1. 增加样本容量：样本容量是评估抽样误差的重要因素。
当样本容量增大时，抽样误差会减小，从而提高推断的准确性。
因此，在设计样本调查时，应该尽量增加样本容量。
2. 优化抽样方法：合理选择抽样方法可以减小抽样误差。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等，根据具体情况选择最适合的抽样方法。
3. 控制实验条件：在实验和调查中，控制好实验条件可以减小误差的来源，从而控制抽样误差。
例如，在实验设计上做好随机分组、随机化处理等措施，可以减小实验结果的误差。
概率与统计中的正态分布
概率与统计中的正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是统计学中最为重要的一种概率分布。
它常用于研究连续型随机变量，具有广泛的应用。
正态分布的形态呈钟形曲线，对称分布在均值两侧。
在本文中，我们将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、正态分布的定义与性质正态分布的形式化定义如下：对于一个连续型随机变量X，如果其概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差，则X服从正态分布，记为X~N(μ, σ^2)。
正态分布的性质如下：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等，称为位置参数。
2. 正态分布的曲线关于均值对称。
3. 正态分布的标准差描述曲线的宽度，标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越高瘦。
4. 正态分布的概率密度总和为1。
5. 正态分布的标准差决定了曲线在均值附近的陡峭程度。
二、正态分布的标准化与标准正态分布由于正态分布无法直接计算概率，因此引入了标准化的概念，即将正态分布转化为标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的方法为：Z = (X - μ) / σ，其中Z表示标准正态随机变量，X是原始随机变量，μ和σ分别是原始随机变量的均值和标准差。
标准正态分布的概率可以查表得到，或者使用计算工具进行计算。
三、正态分布的应用正态分布在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 身高和体重身高和体重往往符合正态分布。
通过对一定人群的测量，我们可以得到人群身高和体重的分布情况，从而能够更好地了解人群的整体特征。
2. 产品质量控制大多数产品的质量参数符合正态分布。
通过对产品进行抽样检测，可以根据正态分布的性质来判断产品的合格率，并进行质量控制。
3. 股票收益率股票收益率往往符合正态分布。
通过分析股票的历史数据，可以了解股票价格的波动情况，并进行风险评估。
4. 考试成绩大多数考试成绩符合正态分布。
统计_正态分布_抽样误差
值范围包含了95%的正常人。
31
标准差与标准误的区别与联系
❖ 标准差
意义：描述原始数据 的离散程度。衡量均 数对原始数据的代表 性
与n的关系
应用：
❖ 频数分布估计（医 学参考值范围估计）
❖ 标准误
意义：反映抽样误差大 小，衡量样本均数估计 总体均数的可靠性
❖ 样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量抽样误差的 大小。
❖ 标准误与个体变异 成正比，与样本含量n的平方根成反
比。
❖ 标准误理论值
X
n
18
标准误(standard error，SE)
❖ 实际工作中， 往往是未知的，一般可用样本标准
差s代替
❖ 标准误的估计值
s sX
n
❖ 因为标准差s随样本含量的增加而趋于稳定，故增
❖
相信命运，让自己成长，慢慢的长大 。2020年11月17日星 期二2时 31分45秒Tuesday, November 17, 2020
❖
爱情，亲情，友情，让人无法割舍。20.11.172020年 11月17日星期 二2时31分45秒20.11.17
谢谢大家！
26
区间估计
❖ 按一定的概率或可信度(1- )用一个区间估计总体参 数所在范围，这个范围称作可信度为1- 的可信区 间(confidence interval, CI)，又称置信区间 。这种
估计方法称为区间估计。
27
均数的可信区间
❖ 总体均数的(1- )可信区间定义为
X
- t ,
s X
,
X
+ t ,
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
正态分布规律
正态分布规律正态分布规律表明，当n的值为整数时，并不是随机事件每次都落在一条横坐标轴上，而是落在各个位置上的可能性相等。
只有当n 的取值为奇数时，才是每次落在同一条横坐标轴上。
若样本中出现的频率都小于或等于1，则样本平均数就接近于正态分布曲线的横坐标，这个随机变量就服从正态分布。
从这个角度看，它们又可称为正态随机变量。
在抽样调查中，我们经常要用到这个概念。
正态分布曲线上有5个区间：两头小中间大，即≤95％、 95％－ 99％、≥100％、≥100％＋95％、 100％＋95％。
-正态分布是在正态总体内，用样本统计量来估计总体参数，所以需要将总体分成许多互不相等的部分，对每一个小部分，依据总体分布形态建立适当的样本统计量，以样本统计量估计总体参数，然后根据样本统计量对总体参数进行估计。
---抽样误差正态分布的基本概念，除了与样本数据有关外，还和抽样方法有密切联系，所以我们应该了解一下常用的抽样方法：随机抽样，是从研究总体n个单位中随机抽取n个单位，根据随机原则来安排样本，使得样本具有代表性。
（一）等距抽样也称机械抽样，它的特点是对每个单位在相邻的样本单位之间保持固定的间隔，抽取任意大小的样本单位。
（二）系统抽样它是先把总体按照一定的标志分类，然后再抽取各类中的一部分，组成样本，使总体中各类别单位数目相等，构成样本空间，故又称为类型样本。
---什么是抽样误差抽样误差：是指总体的平均数与其算术平均数之差。
(1)离散型误差：是指实际的抽样平均数与样本算术平均数之差；(2)连续型误差：是指实际的抽样平均数与总体算术平均数之差。
---样本的容量sample size：是指从研究的总体中随机抽取容量为n的样本所需要的全部观察单位的数目。
容量为n的样本：由n个观察单位组成的容量为n的样本；如果在样本中，每个观察单位的个数恰好等于总体的个数N，那么就称这种样本为等概率样本，记作SS=N(N)。
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标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0，标 准差为1的正态分布。
记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
( X ) 1 eu2 2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
u X ~ N (0,1)
参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。
确定参考值范围的意义：
用于判断正常与异常。
“正常人”的定义：
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质 的人群。
-3 -2 - + +2 +3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
正态曲线下的面积规律
2.5%
95%
2.5%
-1.96
+1.96
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64
+1.64
正态曲线下的面积规律
0.5%
-2.58
99%
0.5%
+2.58
思考
S(-1.96, +1.64)=?
正态曲线下的面积规律
Sampling Distribution
of sample means 53
与样本含量的关系
n 越大，均数的均数就越接近总体均数； n 越大，变异越小，分布越窄；
对称分布接近正态分布的速度，大于非对称分 布。分布越偏，接近正态分布所需样本含量 就越大。
54
抽样误差的规律性(1)
均数的抽样误差规律：
X 117.78cm s=3.98cm
X 120.81cm s=4.33cm
X 119.87m s=5.15cm
40
导致总体均数与样本均数、样本均数之间有差 别的可能原因是？
41
抽样误差的定义
五次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同
每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-, -X)
S( +X,)＝S(-, -X)
X
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013
42
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本均数和 总体均数间 的差别 X i
样本均数和 样本均数间 的差别 Xi X j
43
抽样误差★★★★★ Nhomakorabea定义：由于个体变异的存在,由抽样引起的样本统计量与总体 参数间的差别。
原因：个体变异＋抽样
表现：
不同样本统计量间的差别
样本统计量与总体参数间的差别
首先计算标准离差：
u 2500 3150 1.86 350
查标准正态分布表: (-1.86)=0.0314
结果：估计低体重儿的比例为3.14%.
质量控制
质量控制的意义
监控日常工作、科研过程、生产过程中 误 差的变化，分析变化的趋势是否出现异常， 从而引起警觉和注意，以便分析原因，并 及时采取措施。
样本均数的均数为 μ; 样本均数的标准差为
x
。n
46
中心极限定理(central limit theorem)
Case 2:
从非正态分布总体(均数为μ，方差为σ)中随 机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个 样本，每个样本计算样本均数，则只要抽样 次数足够大(n>50),样本均数也近似服从正态 分布。
0.20
0.10
0
124
132
140
148
156
164
图 某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布
6
极差=160.9-125.9=35
分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取 4
下界 124 ，上界164
组段 频数
频率
124～ 1 128～ 2 132～ 10 136～ 22 140～ 37 144～ 26 148～ 15 152～ 4 156～ 2 160～164 1
标准差趋向于总体标准差。
标准误与标准差（3）
标准误 含义：
样本统计量的离散程度； 标准误越小，用样本均数来反映总体均数越可靠；
应用： 计算可信区间； 与n的关系：
样本含量越大，均数的标准误越小，n很大时，标准误 趋向于0。
样本均数的抽样分布
n=2 n=4 n=10
X Population C
n=25
为什么如此摆放奖品？ 平时，我们很少有人会去关心小球下 落位置的规律性，人们可能不相信它是 有规律的。
高尔顿钉板试验
4
正态分布的背景－高尔顿钉板试验
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 8
这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。 5
频 0.40 率
0.30
-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810
0
0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
u0
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
估计频数分布
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均 数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低 体重儿，试估计低体重儿的比例。
Sampling Distribution of sample means
X Population B
Population A
X
X
Population D
X
X X
X
Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution of sample means
需要掌握的内容
正态分布的性质 正态曲线下面积的分布规律 参考值范围确定的原则和方法
抽样误差及其规律性
Sampling variability and its attributes
从一个例子来谈抽样误差
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为 119.41cm。研究者从所有符合要求的七岁男 童中每次抽取100人，共计抽取了五次。
38
μ=119.4cm σ = 4.38cm
119.4 u
122.7 121.0 118.1 108.3 124.5 121.1 115.8 120.9 117.9 ……
x = 118.4cm
S =4.41cm
39
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 118.21cm s=4.45cm
X 120.18cm s=4.90cm
S(-, +1)=0.8413
S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987
S(-, )=1
-3 -2 - + +2 +3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
样本均数的均数为 μ; 样本均数的标准差为
x
。
n
47
标准误(standard error)
样本统计量的标准差称为标准误。
样本均数的标准差称为均数的标准误。
均数的标准误表示样本均数的变异度。
x
n
sx
s n
这个公式是怎 么来的？
前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。
48
已知变量x的方差V(x)=S2，则2x的方差为？ 已知变量x1的方差V(x1)=S12，变量x2的方差
在样本含量足够大时，无论总体分布如何，其均数 的分布趋于正态分布
55
如果样本含量较小时均数的抽样分布
f(t)
(标准正态曲线)
0.3
=3
？
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
正态分布及其应用
Normal distribution and its applications
统计学中最重要的理论分布之一
正态分布(Normal distribution)
法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution
2
3
正态分布的背景－一个街头赌博游戏
参考值范围确定的原则
选定同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围 单、双侧问题
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 ……
下限: 肺活量，IQ，
参考值范围的估计方法
抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！
44
均数的抽样误差之特点
各样本均数未必等于总体均数； 样本均数间存在差异； 样本均数的分布很有规律；
45
中心极限定理(central limit theorem)