圆的有关概念和性质总结

圆的有关概念和性质

知识考点：

1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；

2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念；

3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。

圆的形成性描述：在一个平面内，线段OA绕它固定的O一端旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O为圆心的圆记作“”

1.圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径

4、同圆或等圆的半径相等

5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

7、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

8、不在通一条直线上的三点确定一个圆

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等

13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

圆心角定义：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角

圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

推论：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：

同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。

定理证明

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：

∠BOC=2∠BAC.

证明：

情况1：

如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

图1

∵OA、OC是半径

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

∵OA、OB、OC是半径

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）

∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情况3：

如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

图3

连接AO，并延长AO交⊙O于D

解：∵OA、OB、OC、是半径

∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

定理推论：

1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。

5.90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角

一、点和圆的位置关系

1、如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．

(1)d＞r点在圆外；

(2)d=r点在圆上；

(3)d＜r点在圆内．

2、确定圆的条件

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3、三角形的外接圆

（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

(2)三角形外心的性质：

①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．

锐角三角形的外心在三角形内

直角三角形的外心在斜边的中点

钝角三角形的外心在三角形外

4、三角形的内切圆与三角形的内心

①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．

②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．