高考数学限时训练(函数及其表示) (2)
高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析
专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（ ）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（ ）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（ ）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（ ）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。
高三数学函数及其表示试题答案及解析
高三数学函数及其表示试题答案及解析1.下了函数中，满足“”的单调递增函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项：由，，得，所以A错误；B选项：由，，得；又函数是定义在上增函数，所以B正确；C选项：由，，得，所以C错误；D选项：函数是定义在上减函数，所以D错误；故选B.【考点】函数求值；函数的单调性.2.在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为()【答案】B【解析】当t∈[－1,0]时，S增速越来越平缓，当t∈[0,1]时，S增速越来越快，选B项．3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.则f(x)＝________.【答案】x2－x＋1【解析】设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.4.设为不小于2的正整数，对任意，若（其中，，且），则记，如，.下列关于该映射的命题中，正确的是.①若，，则②若，，，且，则③若，，，，且，，则④若，，，，且，，则.【答案】②③④【解析】当时，所以，.所以不成立；由即设，所以即即②正确；由设，可得.所以，所以可得即③正确.同理根据的含义，可得④正确.【考点】1.新定义问题.2.整数的余式定理.3.分类的思想.4.建立数式运算解决数学问题.5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．6.设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－或a＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为7.下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号)① f(x)＝x0，g(x)＝；② f(x)＝，g(x)＝；③ f(x)＝x2，g(x)＝()4；④ f(x)＝|x|，g(x)＝【答案】④【解析】两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．8.若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m 函数，现给出下列函数：①；②；③；④其中为m函数的序号是 .（把你认为所有正确的序号都填上）【答案】②③【解析】①若，则由得，即，所以不存在常数使成立，所以①不是m函数。
高考数学复习函数及其表示专题训练(含答案)
高考数学复习函数及其表示专题训练（含答案）函数称号出自数学家李善兰的著作«代数学»，下面是函数及其表示专题训练，请考生及时练习。
一、选择题.以下函数中，与函数y=定义域相反的函数为().A.y=B.y=C.y=xexD.y=解析函数y=的定义域为{x|x0，xR}与函数y=的定义域相反，应选D.答案 D.假定一系列函数的解析式相反，值域相反，但定义域不同，那么称这些函数为同族函数，那么函数解析式为y=x2+1，值域为{1,3}的同族函数有().A.1个B.2个C.3个D.4个解析由x2+1=1，得x=0.由x2+1=3，得x=，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，-}，{0，，-}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个.答案 C.假定函数y=f(x)的定义域为M={x|-22}，值域为N={y|02}，那么函数y=f(x)的图象能够是().解析依据函数的定义，观察得出选项B.答案 B.函数f(x)=假定a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，那么abc的取值范围是().A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)解析 a，b，c互不相等，无妨设ag[f(x)]的x的值是________.解析 g(1)=3，f[g(1)]=f(3)=1，由表格可以发现g(2)=2，f(2)=3，f(g(2))=3，g(f(2))=1.答案 1 2.函数f(x)=那么满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是________.解析由题意有或解得-11时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，此时g(x)min=g(3)=2-3a，g(x)max=g(1)=1-a，所以h(a)=2a-1;当01时，假定x[1,2]，那么g(x)=1-ax，有g(2)g(1);假定x(2,3]，那么g(x)=(1-a)x-1，有g(2)2x+m，即x2-3x+1m，对x[-1,1]恒成立.令g(x)=x2-3x+1，那么效果可转化为g(x)minm，又由于g(x)在[-1,1]上递减，所以g(x)min=g(1)=-1，故m-1.函数及其表示专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优秀的效果。
高三数学函数及其表示试题答案及解析
高三数学函数及其表示试题答案及解析1.已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={}；③M={}；④M={}．其中是“垂直对点集”的序号是；【答案】②④【解析】对于①是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足“垂直对点集”的定义；在另一支上对任意（x1，y 1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以集合M不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x-2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y 2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．【考点】函数的基本性质2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点【答案】D【解析】从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选D．3.设为不小于2的正整数，对任意，若（其中，，且），则记，如，.下列关于该映射的命题中，正确的是.①若，，则②若，，，且，则③若，，，，且，，则④若，，，，且，，则.【答案】②③④【解析】当时，所以，.所以不成立；由即设，所以即即②正确；由设，可得.所以，所以可得即③正确.同理根据的含义，可得④正确.【考点】1.新定义问题.2.整数的余式定理.3.分类的思想.4.建立数式运算解决数学问题.4.设集合={1，2，3，4，5},对任意和正整数，记，其中，表示不大于的最大整数，则=，若，则.【答案】，.【解析】由已知，==；观察可知，当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：==；=；=；当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：=；故，综上知，答案为，.【考点】新定义，取整函数.5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．6.下列说法正确的是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．【答案】①④【解析】②中满足y＝的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．7.求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；(2) 已知f＝x2＋，求f(x)；(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．【答案】（1）f(x)＝2x2－3x＋2（2）f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．【解析】(1) (换元法)设t＝1－x，则x＝1－t，∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，∴ f(x)＝2x2－3x＋2.(2) (配凑法)∵ f＝x2＋＝2＋2，∴ f(x)＝x2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.∵f(f(x))＝4x－1，∴解得或∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.(4) (消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)8.函数图象和方程的曲线有密切的关系，如把抛物线的图象绕远点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象，若把双曲线的图象绕原点逆时针方向旋转一定的角度后，就得到某一函数的图象，则旋转角可以是（ )A．B．C．D．【答案】C【解析】把双曲线的渐进线旋转到与轴重合时，双曲线的图象就变成函数图象，由知，则可得旋转角，故选C.【考点】函数的定义，函数图象的旋转.9.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】（1）【解析】对于①，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1），f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数；对于②不满足（3）；对于③不满足（2）；对于④不满足（1）（2），故答案为①【考点】1.函数的概念及其构成要素．10.若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，下列曲线（1）y=cosx,,(2),(3),(4)有“中位点”的是（）A.(2)(4)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(4) C.(2)(3)D.(2)(3)(4)【答案】B【解析】若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，此时函数图象上必然有三点共线，函数y=cosx的图象上（0，1），（,0），（π，-1）三点显然共线，函数的图象上（-1，-4），（0,-2），（1，0）三点和函数的图象上（-1，-1），（0,0），（1，1）三点显然共线，均有三点共线，而没有，故选B.【考点】1.数形结合的思想方法；2.新定义的理解11.上的偶函数满足,若时，,则= .【答案】【解析】因为，所以，又因为是上的偶函数，所以有，又，所以.【考点】函数的综合运用.12.若函数为奇函数，且，则；.【答案】；【解析】试题解析：为奇函数，所以，所以，，，，.【考点】1.函数的解析式；2.倒序相加法13.已知，则___________.【答案】2【解析】因为，所以，又因为，所以.【考点】求分段函数的函数值.14.已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解不等式．【答案】(1) ；（2）【解析】（1）显然，所以，代入相应解析式求出；（2）由（1）确定函数解析式，对在不同段上的讨论.试题解析：（1）因为，所以；由，即，． 4分（2）由（1）得，由得， 6分当时，解得； 8分当时，解得. 10分所以的解集为． 12分【考点】1.分段函数；2.不等式.15.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数. 给出下列4个函数：①；②；③；④.其中是一阶格点函数的是（）A．①③B．②③C．③④D．①④【答案】D【解析】由题中所给信息可知：图像过点…不是一阶格点函数；图像过点…不是一阶格点函数，故可排除②③；对于①只过一个整数点（0,0），④也只过一个整数点（3,5），故答案选D.【考点】对新定义的理解16.下列整数中，小于－3的整数是A．－4B．－2C．0D．3【答案】A【解析】－4比－3小，－2、0和3比－3大，所以应该选A。
高三数学函数及其表示试题
高三数学函数及其表示试题1.若f（x+1）=2f（x），则f（x）等于（）A．2x B．2x C．x+2D．log2x【答案】B【解析】若f（x）=2x，则f（x+1）=2x+2，不满足f（x+1）=2f（x），故排除A．若f（x）=2x，则f（x+1）=2x+1=2×2x=2f（x），故满足条件．若f（x）=x+2，则f（x+1）=x+3，不满足f（x+1）=2f（x），故排除C．若f（x）=log2x，则f（x+1）=log2（x+1），不满足f（x+1）=2f（x），故排除D．故选B．2.下列说法正确的是______________．(填序号)①函数是其定义域到值域的映射；②设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；④映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．【答案】①④【解析】②中满足y＝的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．3.函数f(x)=+的定义域是（）A．B．C．D．｛x｜-3≤x<6且x≠5｝【答案】D【解析】且.选D.【考点】函数的定义域及解不等式.4.已知函数，则等式的解集是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】当时，，即时；当时，；故的解集是或.【考点】分段函数5.已知函数，则．【答案】【解析】由知．【考点】分段函数6.已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数在上是增函数可知在上是增函数，在上是减函数，所以在上是减函数，在上是增函数函数，又因为，所以【考点】本小题主要考查函数的单调性、对称性和利用单调性解不等式，考查学生转化问题的能力和预算求解能力.点评：由题意得出的单调性是解决此题的关键.7.下列四组中表示相等函数的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为同一函数要求定义域和对应法则相同即可，那么选项A，C中定义域不同，选项D 中对应法则不同，故选B8.函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：①函数=（x R）是单函数；②若为单函数，③若f：A B为单函数，则对于任意b B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）【答案】②③④【解析】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（-1）=f（1），显然-1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，且x1≠x2，若f（x1）=f（x2），则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④同②；故答案为：②③④．9.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】B【解析】解：因为表示同一函数定义域和对应关系相同的函数因此可知选项,C,D中定义域不同，选项A中对应关系不同，故选B10.（本小题满分14分）已知函数同时满足如下三个条件：①定义域为；②是偶函数；③时，，其中.（Ⅰ）求在上的解析式，并求出函数的最大值；（Ⅱ）当，时，函数，若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数，）.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的图象恒在直线y=e上方【解析】本试题主要是考查了函数定义域和奇偶性的判定以及奇偶性的运用和解析式的求解，以及图像与图像的位置关系的运用。
广东新高考数学理科一轮总复习课时练习2.2函数的表示法(含答案详析)
第2讲 函数的表示法1．已知f (x )＝x ＋1x －1(x ≠±1)，则( )A ．f (x )·f (－x )＝1B ．f (－x )＋f (x )＝0C ．f (x )·f (－x )＝－1D ．f (－x )＋f (x )＝12．(2012年广东广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0.若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012年福建)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)，0 (x ＝0)，－1(x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x 为有理数)，0 (x 为无理数)，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 4．如图K2-2-1(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．若函数y ＝f (x )的图象如图K2-2-1(2)，则△ABC 的面积为( )(1)(2)图K2-2-1A ．10B ．32C ．18D ．165．设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14B.⎝⎛⎦⎤14，12C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤0，38 6．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝log a x ；②y ＝ax ＋b x (其中a ＋b ＝0)；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．(2013年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]8．(2013年安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时．f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.9．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋3，且f (0)＝2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－3,4]上的值域；(3)若函数f (x ＋m )为偶函数，求f [f (m )]的值； (4)求f (x )在[m ，m ＋2]上的最小值．10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)判断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围．第2讲 函数的表示法1．A 2.B 3.B 4.D5．C 解析：观察选项，知：x 0∈A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，f (x 0)＝x 0＋12∈⎣⎡⎭⎫12，1⊂B ，f [f (x 0)]＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝1－2x 0∈A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，有14<x 0<12. 6．D 解析：通过计算f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )，都有f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝0. 7．D 解析：由题意可作出函数y ＝|f (x )|的图象，和函数y ＝ax 的图象(如图D61)，图D61由图象可知：函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间时符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y ＝|f (x )|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2－2x ，求其导数可得y ′＝2x －2，因为x ≤0，故y ′≤－2，故直线l 的斜率为－2， 故只需直线y ＝ax 的斜率a 介于－2与0之间即可，即a ∈[－2,0]．故选D.8．－x (x ＋1)2解析：当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由题意f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)2.9．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c ) ＝2ax ＋a ＋b ＝2x ＋3.与已知条件比较，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 又f (0)＝c ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋2. (2)f (x )＝(x ＋1)2＋1，则f (x )min ＝f (－1)＝1，f (x )max ＝f (4)＝26. ∴f (x )在[－3,4]上的值域为[1,26]． (3)若函数f (x ＋m )为偶函数，则f (x ＋m )＝(x ＋m ＋1)2＋1为偶函数， ∴m ＝－1.f [f (m )]＝f [f (－1)]＝f (1)＝5. (4)f (x )＝(x ＋1)2＋1，①当m ＋2<－1，即m <－3时，f (x )在[m ，m ＋2]上单调递减．f (x )min ＝f (m ＋2)＝m 2＋6m ＋10.②当m >－1时，f (x )在[m ，m ＋2]上单调递增， f (x )min ＝f (m )＝m 2＋2m ＋2.③当m ≤－1≤m ＋2，即－3≤m ≤－1时，f (x )min ＝f (－1)＝1.10．解：(1)由定义可知，关于x 的方程－x 2＋4x ＝f (9)－f (0)9－0在(0,9)内有实数根时，函数f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数．而－x 2＋4x ＝f (9)－f (0)9－0，即x 2－4x －5＝0.解得x 1＝5或x 2＝－1.又x 1＝5∈(0,9)[x 2＝－1∉(0,9)，故舍去]，∴f (x )＝－x 2＋4x 是[0,9]上的平均值函数，5是它的均值点． (2)∵f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，∴关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝f (1)－f (－1)1－(－1)在(－1,1)内有实数根．由－x 2＋mx ＋1＝f (1)－f (－1)1－(－1)，得x 2－mx ＋m －1＝0.解得x 1＝m －1或x 2＝1. 又x 2＝1∉(－1,1)，∴x 1＝m －1必为均值点，即－1<m －1<1. ∴所求实数m 的取值范围是0<m <2.。
高三数学专题复习-函数概念及其表示专题练习带答案
04 函数概念及其表示1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 【答案】D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，12)．2.已知集合A={x|x 2-2x ≤0},B={y|y=log 2(x+2),x ∈A },则A ∩B 为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]【答案】D由题意,集合A={x|x 2-2x ≤0}=[0,2], 因为x ∈A ,则x+2∈[2,4],所以B={y|y=log 2(x+2),x ∈A }=[1,2], 所以A ∩B=[1,2].故选D .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f （x ＋5），x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2【答案】B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1.4.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=【答案】Dy=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).A 项中,y=x 的定义域和值域均为R;B 项中,y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R;C 项中,y=2x 的定义域为R,值域为(0,+∞);D 项中,y=的定义域与值域均为(0,+∞).故选D . 5．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1【答案】B.解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t ，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.6.若函数y=f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]【答案】C∵1≤f (x )≤3,∴1≤f (x+3)≤3,-3≤-f (x+3)≤-1,∴-2≤1-f (x+3)≤0.故F (x )的值域为[-2,0].7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ， x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34 D ．12【答案】D.f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ， 当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12；当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜32，舍去． 综上，b ＝12，故选D.8. 若任意都有，则函数的图象的对称轴方程为A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A令，代入则联立方程得解方程得=所以对称轴方程为解得所以选A 。
2021年高考数学 课时作业 函数的概念及其表示(含答案解析)
高考数学 课时作业 函数的概念及其表示一、选择题1．设函数y=9－x 2的定义域为A ，函数y=ln(3－x)的定义域为B ，则A ∩∁R B=( ) A ．(－∞，3) B ．(－∞，－3) C ．{3} D ．[－3,3)2．下列图象中可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域，以N={y|0≤y ≤1}为值域的函数的是( )A B C D3．若二次函数g(x)满足g(1)=1，g(－1)=5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( ) A ．g(x)=2x 2－3x B ．g(x)=3x 2－2x C ．g(x)=3x 2＋2x D ．g(x)=－3x 2－2x4．已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x>0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．－25．已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f( 2 018)=( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 0186．若函数f(x)=x －2a ＋ln(b －x)的定义域为[2,4)，则a ＋b=( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ＋a ，x>0，4x －2－1，x ≤0，若f(a)=3，则f(a －2)=( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或38．设函数f(x)=lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9) 二、填空题9．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________． 10．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y=fx ＋1－x 2－3x ＋4的定义域是________．11．设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x<1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56=4，则b=________.12．已知函数f(x)对任意的x ∈R ，有f(x ＋1 001)=2f x ＋1.若f(15)=1，则f(2 017)=________. 三、解答题13．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)=－2f(x ＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)=x 2.(1)求f(－1)和f(1.5)的值；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．高考数学 课时作业 函数的概念及其表示一、选择题1．设函数y=9－x 2的定义域为A ，函数y=ln(3－x)的定义域为B ，则A ∩∁R B=( ) A ．(－∞，3) B ．(－∞，－3) C ．{3} D ．[－3,3) 【答案】C【解析】由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A=[－3,3]，由3－x>0解得x<3，可得B=(－∞，3)，因此∁R B=[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B)=[－3,3]∩[3，＋∞)={3}．故选C.2．下列图象中可以表示以M={x|0≤x ≤1}为定义域，以N={y|0≤y ≤1}为值域的函数的是( )A B C D【答案】C【解析】A 选项中的值域不符合，B 选项中的定义域不符合，D 选项不是函数的图象，则选项C 正确．3．若二次函数g(x)满足g(1)=1，g(－1)=5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )A ．g(x)=2x 2－3xB ．g(x)=3x 2－2xC ．g(x)=3x 2＋2xD ．g(x)=－3x 2－2x 【答案】B【解析】设g(x)=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，∵g(1)=1，g(－1)=5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g(x)=3x 2－2x.4．已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x>0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．－2 【答案】C【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43=－cos 4π3=cos π3=12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2=－cos 2π3＋2=12＋2=52. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43=12＋52=3.5．已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f( 2 018)=( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018【答案】A【解析】由442=1 936，452=2 025可得1，2，3，…， 2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f( 2 018)=44. 6．若函数f(x)=x －2a ＋ln(b －x)的定义域为[2,4)，则a ＋b=( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ≥0，b －x>0，解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2a ，x<b.∵函数f(x)=x －2a ＋ln(b －x)的定义域为[2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b=1＋4=5.故选B.7．已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ＋a ，x>0，4x －2－1，x ≤0，若f(a)=3，则f(a －2)=( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3【答案】A【解析】若a>0，则f(a)=log 2a ＋a=3，解得a=2，则f(a －2)=f(0)=4－2－1=－1516；若a ≤0，则4a －2－1=3，解得a=3，不合题意．综上f(a －2)=－1516.故选A.8．设函数f(x)=lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( ) A ．(－9,0)∪(0,9) B ．(－9，－1)∪(1,9) C ．(－3，－1)∪(1,3) D ．(－9，－3)∪(3,9) 【答案】B【解析】因为函数f(x)=lg 3＋x 3－x ，所以3＋x3－x >0，解得－3<x<3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3<x3<3，－3<3x <3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－9<x<9，x>1或x<－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为(－9，－1)∪(1,9)．故选B.二、填空题9．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 【解析】∵函数f(x)的定义域为(－1,0)，∴由－1＜2x ＋1＜0，解得－1<x<－12.10．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y=f x ＋1－x 2－3x ＋4的定义域是________． 【答案】(－1,1)【解析】∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，－4<x<1，即－1＜x ＜1， ∴所求函数的定义域是(－1,1)．11．设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x<1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56=4，则b=________.【答案】12【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56=3×56－b=52－b.若52－b<1，即b>32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b=152－4b=4， 解得b=78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b=4，解得b=12，满足题意．12．已知函数f(x)对任意的x ∈R ，有f(x ＋1 001)=2f x ＋1.若f(15)=1，则f(2 017)=________. 【答案】1【解析】根据题意， f(2 017)=f(1 016＋1 001)=2f 1 016＋1，f(1 016)=f(15＋1 001)=2f 15＋1，而f(15)=1，所以f(1 016)=21＋1=1，则f(2 017)=2f1 016＋1=21＋1=1.三、解答题13．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)=－2f(x ＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)=x 2.(1)求f(－1)和f(1.5)的值；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．【解】(1)由题意知f(－1)=－2f(－1＋1)=－2f(0)=0，f(1.5)=f(1＋0.5)=－12f(0.5)=－12×14=－18.(2)当x ∈[0,1]时， f(x)=x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1], f(x)=－12f(x －1)=－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1), f(x)=－2f(x ＋1)=－2(x ＋1)2； 当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0),f(x)=－2f(x ＋1)=－2×[－2(x ＋1＋1)2]=4(x ＋2)2.所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋22，x ∈[－2，－1，－2x ＋12，x ∈[－1，0，x 2，x ∈[0，1]，－12x －12，x ∈1，2].。
高三数学函数及其表示试题答案及解析
高三数学函数及其表示试题答案及解析1.设常数，函数，若，则.【答案】3【解析】由题意，则，所以.【考点】函数的定义.2.设函数则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知,∴当时，由得,,解得或.当，由得,,解得.综上所述：不等式的解集是.选A.3.设为不小于2的正整数，对任意，若（其中，，且），则记，如，.下列关于该映射的命题中，正确的是.①若，，则②若，，，且，则③若，，，，且，，则④若，，，，且，，则.【答案】②③④【解析】当时，所以，.所以不成立；由即设，所以即即②正确；由设，可得.所以，所以可得即③正确.同理根据的含义，可得④正确.【考点】1.新定义问题.2.整数的余式定理.3.分类的思想.4.建立数式运算解决数学问题.4.设集合={1，2，3，4，5},对任意和正整数，记，其中，表示不大于的最大整数，则=，若，则.【答案】，.【解析】由已知，==；观察可知，当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：==；=；=；当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：=；故，综上知，答案为，.【考点】新定义，取整函数.5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．6.已知函数，对任意都有，且是增函数，则【答案】6【解析】本题看起来很难，好像没处下手，事实上，我们只要紧紧抓住函数的定义，从的初始值开始，如，首先，否则不合题意，其次若，则与是增函数矛盾，当然更不可能(理由同上)，因此，，．【考点】函数的定义与性质．7.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】（1）【解析】对于①，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1），f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数；对于②不满足（3）；对于③不满足（2）；对于④不满足（1）（2），故答案为①【考点】1.函数的概念及其构成要素．8.已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）, 又∵由h（x）+g（x）=2x， h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2-x，∴h（x）=(2x+2−x)，g（x）=(2x−2−x), 不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为:a(2x−2−x)+(22x+2−2x)≥0，x∈[1，2], ∵1≤x≤2∴2x-2-x＞0,令t=2-x-2x，整理得：，由t=2-x-2x得在上单调递增，故意当时，即实数a的取值范围为.【考点】1.函数不等式的恒成立问题；2.换元法；3.基本不等式9.函数的两个零点分别位于区间A．和内B．和内C．和内D．和内【答案】A【解析】根据解析式，得故，则函数的零点分别位于和内.【考点】函数的零点定理.10.已知，其中、为常数，且，若为常数，则的值为 .【答案】.【解析】，，则，则有，即，则有，且，由得到，所以有，因式分解得，因为，所以，.【考点】函数的概念11.若函数为奇函数，且，则；.【答案】；【解析】试题解析：为奇函数，所以，所以，，，，.【考点】1.函数的解析式；2.倒序相加法12.，求=【答案】-3【解析】因为==－1，所以==－3.【考点】函数的性质和计算能力.13.已知A、B、C是直线上的不同三点，O是外一点，向量满足，记；（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）；（2）单调增区间为．【解析】（1）利用平面向量基本定理求解；（2）由（1）得解析式，然后利用导数求解单调增区间.试题解析：（1）∵，且A、B、C是直线上的不同三点，∴，∴；（2）∵，∴，∵的定义域为，而在上恒正，∴在上为增函数，即的单调增区间为．【考点】1.平面向量基本定理；2.利用导数求函数单调区间.14.已知，则的值等于．【答案】2014【解析】令，则所以，，故【考点】指数式与对数式的互化.15.已知函数．（1）若，解不等式；（2）若，，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题.试题解析：（1）当时，，而，解得或. 5分（2）令，则，所以当时，有最小值，只需，解得，所以实数的取值范围为. 10分【考点】1.绝对值不等式的解法；2.恒成立问题；3.分段函数的最值.16.式子满足，则称为轮换对称式．给出如下三个式子：①；②；③是的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,，所以，即为轮换对称式；，，，所以，即不是轮换对称式；同理可得,所以是轮换对称式.考点:1.新定义题型；2.三角化简.17.规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。
14年高考 数学 限时训练 2.1 函数及其表示 [含答案解析] (2)
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双基限时练巩固双基,提升能力一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(2x 3) 23C ．y ＝lg10xD ．y ＝2 log 2x解析：y ＝x 2x＝x (x ≠0)；y ＝(x 23) 23＝x (x ≥0)；y ＝lg10x ＝x (x ∈R )；y ＝2 log 2x ＝x (x ＞0)． 答案：C2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 解析：依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2， ∵2x ＞0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3，所以选A. 答案：A3．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：令1－2x ＝12，∴x ＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.答案：C4．(2013·安徽名校联考)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 4xx ＞0，3xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝( )A ．9B.19 C ．－9D ．－19解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝log 4116＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (－2)＝3－2＝19，选B.答案：B5．若f (x )对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：∵2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，①用－x 代替x ，得2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，② ①×2＋②，得3f (x )＝3x ＋3，∴f (x )＝x ＋1. 答案：B6．(2012·中山三模)定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎨⎧aa ≥b ，ba ＜b ，已知函数f (x )＝2x ⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图像是( )A.B.C.D.解析：f (x )＝2x⊗(3－x )＝⎩⎨⎧3－x x ＜1，2xx ≥1，作出f (x )的图像，再将其向左平移一个单位即为f (x ＋1)的图像，应选B.答案：B 二、填空题7．(2013·济宁月考)已知f (2x ＋1)＝3x －2，且f (a )＝4，则a 的值是__________．解析：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12，∴f (t )＝3t －32－2，即f (x )＝32x －72，又32a －72＝4，∴a ＝5. 答案：58．设函数f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x lg x ＋1，则f (10)的值为__________．解析：分别令x ＝10，110，得⎩⎪⎨⎪⎧f 10＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－f 10＋1，两式相加，得f (10)＝1.答案：19．已知定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫11－x ＝12f (x )＋1，则f (3)＝__________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫11－x ＝12f (x )＋1， 令11－x ＝3，得x ＝23，∴f (3)＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋1.① 令11－x ＝23，则x ＝－12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1.② 令11－x ＝－12，得x ＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12f (3)＋1.③由①②③联立可得f (3)＝2. 答案：2 三、解答题10．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．解析：(1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1.∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， 得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， 故有⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1⇒a ＝b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出函数y ＝f (x )的解析式．解析：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎨⎧ b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎨⎧k 1＝115，b 1＝0，∴y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎨⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎨⎧k 2＝110，b 2＝－2.∴y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ， x ∈[0，30]，2， x ∈30，40，110x －2， x ∈[40，60].12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧ x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值； (2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式． 解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎨⎧ x 2－2x ， x ＞0，x 2－4x ＋3， x ＜0.当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＜0， 故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎨⎧ x 2－2，x ＞1或x ＜－1，3－x 2，－1＜x ＜1.。
2021高三数学北师大版(理)课后限时集训：函数及其表示含解析
故f ＝－f(x)，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]
1．设f(x)＝ 若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝( )
A．2B．4
C．6D．8
C[当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝ ，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴ ＝2a，
解得a＝ 或a＝0(舍去)．
4．(20xx·平顶山模拟)已知具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－ ；②f(x)＝x＋ ；
③f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
①③[对于①，f(x)＝x－ ，f ＝ －x＝－f(x)，满足题意；对于②，f ＝ ＋x＝f(x)，不满足题意；对于③，f ＝
(1)判断函数f(x)＝x2－ x，g(x)＝sinπx是否是Ω函数(只需写出结论)；
(2)已知f(x)＝x＋ ，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明．
[解](1)f(x)＝x2－ x是Ω函数，g(x)＝sin πx不是Ω函数．
(2)法一：取k＝1，a＝ ∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝ ＝ ，此时f ＝f ＝f(1)，
三、解答题
9．设函数f(x)＝ 且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图像．
[解](1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，
得
解得 所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图像如图所示．
10．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝ ＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．
高考数学训练含答案解析——函数及其表示
课时作业A组——基础对点练1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案：D2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x解析：在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．答案：C3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()解析：A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y 值与之对应，故选B.答案：B4．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 答案：A5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1B ．78 C.34D ．12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，＝4，解得b ＝12.故选D.答案：D7．已知函数f (x )＝{ 2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0， ∴a ＝－3. 答案：A8．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝－x解析：对于A ，f (x )＝x ＋1，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )＝2x ＋2，A 不满足；对于B ，f (x )＝x －|x |，f (2x )＝2x －|2x |＝2f (x )，B 满足；对于C ，f (x )＝|x |，f (2x )＝2|x |＝2f (x )，C 满足；对于D ，f (x )＝－x ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，D 满足．故选A. 答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)． 答案：B10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1] C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1， 由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________． 解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1. 答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________.解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是__________．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：10916．(2018·广州市测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1－log 2x ，x ＞0，若|f (a )|≥2，则实数a的取值范围是__________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1,21－a ≥2，所以|f (a )|≥2成立；当a ＞0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得0＜a ≤12或a ≥8.综上，实数a 的取值范围是(－∞，12]∪[8，＋∞)． 答案：(－∞，12]∪[8，＋∞)B 组——能力提升练1．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x ＜x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x ＜1时，f (x )＝2e x －1＜2，所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1，即2e x －1＜1，解得x ＜1－ln 2，所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B2．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：B3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( ) A.21＋x B ．21＋x 2C.1－x 21＋x 2 D ．1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A. 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －4)，xe x ，－2≤x ≤f (－x )，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( ) A.115 B ．53 C ．15D ．23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 315＝115，故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－12 D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D. 答案：D10．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( ) A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34D ．32或－34解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 答案：B11．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12，∴①正确．②∵3－12＜3.4≤3＋12，∴{3,4}＝3， ∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4， ∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14， ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴④错误．故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋1≥－1或⎩⎨⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]． 答案：[－4,2]13．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎨⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎨⎧lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－814．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：∀a ，b ∈R ，都有3f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )，且f (1)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________. 解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3.取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3.由f (1)＝1，f (4)＝7得⎩⎨⎧k ＋m ＝4k ＋m ＝7，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2 017－1＝4 033. 答案：4 033。
高考数学统考一轮复习课后限时集训8函数及其表示理含解析新人教
学习资料课后限时集训(八) 函数及其表示建议用时:25分钟一、选择题1．函数f （x ）＝log 2（1－2x ）＋错误!的定义域为（ ）A ．错误!B ．错误!C ．(－1，0)∪错误!D ．(－∞,－1)∪错误!D ［由1－2x ＞0,且x ＋1≠0，得x ＜错误!且x ≠－1，所以函数f （x )＝log 2(1－2x )＋错误!的定义域为（－∞，－1）∪错误!.］2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f （x )＝e ln x ，g （x )＝xB ．f （x ）＝错误!,g （x ）＝x －2C ．f (x )＝错误!，g （x )＝sin xD ．f (x )＝｜x |，g (x ）＝x 2D ［对于A ，∵f (x )＝e ln x ＝x （x ＞0)．∴f （x ）和g (x )定义域不同，不是同一函数；对于B ，∵f （x )的定义域为｛x |x ≠－2}，∴f (x ）和g （x )不是同一函数；对于C ，∵f （x ）的定义域为{x ｜cos x ≠0}，∴f (x ）和g （x ）不是同一函数；对于D,∵g （x )＝错误!＝｜x |，∴f (x ）和g (x ）是同一函数，故选D ．］3．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )］＝x ＋2，则f (x )＝（ )A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A ［设f （x )＝kx ＋b (k ≠0)，则由f [f (x ）］＝x ＋2,可得k (kx ＋b ）＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2,∴k 2＝1，kb ＋b ＝2。
解得k ＝－1时，b 无解，k ＝1时，b ＝1，所以f （x )＝x ＋1。
故选A ．］4．已知函数f （x ）＝错误!且f (x 0）＝1，则x 0＝（ )A ．0B ．4C ．0或4D ．1或3C ［当x 0≤1时，由f (x 0)＝2x 0＝1,得x 0＝0（满足x 0≤1）；当x 0＞1时，由f (x 0）＝log 3（x 0－1)＝1，得x 0－1＝3，则x 0＝4(满足x 0＞1）,故选C ．]5．已知f 错误!＝2x －5，且f （a )＝6，则a 等于( ）A ．－74B ．错误!C ．错误!D ．－错误! B [法一：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t ）＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f （a )＝4a －1＝6，即a ＝错误!,故选B ．法二：令2x－5＝6得x＝错误!，则a＝错误!×错误!－1＝错误!，故选B．]6．(2020·潍坊模拟）设函数f（x)＝错误!若f错误!＝4，则b＝(）A．1 B．错误!C．错误!D．错误!D［f错误!＝3×错误!－b＝错误!－b,若错误!－b＜1，即b＞错误!时，则f错误!＝f错误!＝3错误!－b＝4，解得b＝错误!，不符合题意舍去．若错误!－b≥1，即b≤错误!，则2错误!－b＝4,解得b＝错误!，符合题意．故选D．］二、填空题7．已知函数f（x)，g（x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为________；满足f［g(x）]＞g[f(x）］的x的值是________．12[∵g（1)＝3，∴f[g（1）］＝f（3）＝1。
2024届新高考数学高频考点专项练习专题：函数及其表示
2024届新高考数学高频考点专项练习专题：函数及其表示1.已知函数(),01,0x x f x x x >=+≤⎪⎩，则()()3f f −=（ ） 3 B.1 C.222.下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A.293x y x −=−与3y x =+B.21y x =与1y x =−C.0(0)y x x =≠与()10y x =≠D.21y x x Z =+∈，与21y x x Z =−∈，3.已知函数()y f x =的定义域为[2,3]−，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为( )A.3[,1]2−B.3[,1)(1,1]2−−⋃−C.[3,7]−D.[3,1)(1,7]−−⋃−4.设22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤−⎧⎪=−<<⎨⎪≥⎩.若()3f x =，则x 的值为（ ）A.13 C.3− D.325.已知函数()31f x ax bx =++，若()13f −=，则()1f =（ ） A.4B.1−C.2−D.3−6.已知定义在区间()()3,12,−+∞上的函数21()1x f x x +=−，其值域为（ ） A.()(),22,−∞+∞B.()5,22,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.()5,2,54⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭D.()5,22,54⎛⎫⎪⎝⎭7.已知函数()f x 满足112()f x xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则(3)f =( )A.3B.299C.239 D.138.定义:x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，例如：[]3.64−=−，[]5.65=，已知函数()23311x x f x −⋅=+，则()y f x =⎡⎤⎣⎦的值域是( )A.{}0,1B.{}1,1−C.{}1,0,1−D.{}1,0,1,2−9.（多选）设函数()f x 是一次函数，且满足 (())2512f f x x =+，则函数()f x 的解析式为( ) A.()52f x x =+B.()52f x x =−C.()53f x x =−+D.()53f x x =−−10.（多选）函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[][]3.54,2.12−=−=.则对任意实数,x y ，下列式子不成立的是（ ） A.[][]x x −=− B.[][][]x y x y −≤− C.[][]22x x =D.[][][]x y x y +≤+11.已知函数31()1f x x x =++，若()3f a =，则()f a −=__________.12.函数()2212x x f x x x −+=−+的值域是______________.13.已知函数21(21)4f x x x −=−+，则()f x =________. 14.已知函数3,0,()(1),0,mx x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩2()g x ax x =+，331022f f ⎛⎫⎛⎫+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，((2))30g f −=，则a 的值为____________. 15.已知223,(,0),()21,[0,).x x f x x x +∈−∞⎧=⎨+∈+∞⎩（1）求(0),((1))f f f −的值； （2）若()2f x =，求x 的值； （3）试画出函数()y f x =的图像.答案以及解析1.答案：D解析：∵函数(),01,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩， ∴()()()322f f f −= 故选：D. 2.答案：C解析：对于A ，函数293x y x −=−的定义域为{}3x x ≠，而3y x =+的定义域为R ，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，所以A 错误，对于B ，两函数的定义域均为R ，而211y x x ==−，则两函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，所以B 错误，对于C ，两函数的定义域均为{}0x x ≠，而01y x ==，所以两函数是同一个函数，所以C 正确，对于D ，两函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，所以D 错误， 故选：C 3.答案：B解析：由题意得2213x −≤+≤，解得312x −≤≤，由10x +≠，解得1x ≠−， 故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫−−−⎪⎢⎣⎭，故选B ． 4.答案：B解析：22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤−⎧⎪=−<<⎨⎪≥⎩，当1x ≤−时，23x +=，无解； 当12x −<<时，23x =，解得3x = 当2x ≥时，23x =，无解； 故x 3故选：B. 5.答案：B解析：由已知可得()()()()11112f f a b a b +−=+++−−+=，又因为()13f −=，故()11f =−.故选：B. 6.答案：C解析：()213213()2111x x f x x x x −++===+−−−， 当31x −<<时，410x −<−<，1114x <−−，所以3314x <−−， 所以35()214f x x =+<−， 当2x >时，11x −>，所以1011x <<−，所以3031x <<−， 所以32()251f x x <=+<−， 所以21()1x f x x +=−在区间()()3,12,−+∞上的值域为()5,2,54⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，故选：C. 7.答案：B解析：在112()f x xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，分别令3x =和13x =，得112(3)333f f⎛⎫=+ ⎪⎝⎭①，112(3)333f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②， 对变量进行赋值，构成方程（组），通过解方程（组）得到问题的解. 联立①②消去13f ⎛⎫⎪⎝⎭，解得29(3)9f =.故选B.8.答案：C 解析：3()2(1,2)31x f x =−∈−+∴函数[()]y f x =的值域是{}1,0,1−. 9.答案：AD解析：因为函数()f x 是一次函数，所以设()(0)f x ax b a =+≠，因为(())2512f f x x =+，所以2(())()()2512f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=+，所以225,12,a ab b ⎧=⎨+=⎩解得5,2a b =⎧⎨=⎩或5,3.a b =−⎧⎨=−⎩所以()52f x x =+或()53f x x =−−.故选AD. 10.答案：ACD解析：对于A 选项：设 1.8x =−，[][]1.81x ∴−==，[][]1.28x −−=−=，[][]x x ∴−≠−，故A 选项不成立；对于C 选项：设 1.4x =−，[][]2.238x =−∴=−，[][]2 1.442x =−=−，[][]22x x ∴≠，故C选项不成立；对于D 选项：设 1.8x y ==，[][]3.36x y ∴==+，[][]2x y +=，[][][]x y x y ∴+>+，故D 选项不成立；对于B 选项：设x M a =+，y N b =+，其中,M Z N Z ∈∈，[)[)0,1,0,1a b ∈∈，[][],,x M N y ∴==[][],x N y M ∴−=−[)[)0,1,0,1a b ∈∈，()1,1a b ∴−∈−，当()0,1a b −∈时，[]()()[][]=M a N b x y M N x M N a b y +−+−∴−==−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+−； 当()1,0a b −∈−时，[]()()[][][]1M a N b M N a b M x y M N N y x ∴−===−<−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣−⎦+−+−+−；故[][][]x y x y −≤−成立， 故B 选项成立； 故答案为：ACD 11.答案：1−解析：由()3f a =可求出312a a +=，而31()1f a a a−=−−+，整体代入即可解出.3311()132f a a a a a=++=⇒+=，则31()1211f a a a −=−−+=−+=−.故答案为-1. 12.答案：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：()2212x x f x x x −+=−+， 因为22172024x x x ⎛⎫−+=−+> ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的定义域为x ∈R令2212x x y x x −+=−+，整理得方程：()()211210y x y x y −+−+−=当1y =时，方程无解；当1y ≠时，()()()2141210y y y ∆=−−⨯−−≥ 不等式整理得：271030y y −+≤ 解得：3,17y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以函数()2212x x f x x x −+=−+的值域为3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.答案：24x解析：令21t x =−，则12t x +=，所以22111()2244t t tf t ++⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以2()4x f x =. 14.答案：1解析：33322f m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3113222f f m ⎛⎫⎛⎫−==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以33313326102222f f m m m ⎛⎫⎛⎫+−=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =，所以23,0,()(1),0,x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩(2)(1)5f f −==，所以((2))(5)25530g f g a −==+=，解得1a =. 15.答案：（1）(0)2011f =⨯+=. (1)231f −=−+=Q ， ((1))(1)21 3.f f f ∴−==+=（2）若0x <，则232x +=，可得12x =−；若0x ≥，则2212x +=，可得2x 或2x =（舍去）. 综上所述，x 的值为12−2.（3）函数()y f x =的图像如图所示.结束。
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A 级 课时对点练(时间：40分钟 满分：70分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序，如表达式 3×(x －2)＋7，其运算为：3，x,2，－， *,7，＋.若计算机运算：(3－x )，x,2，－，*，lg ，那么使表达式有意义的x 的取值 范围为________．解析：由题意知计算机运算的表达式为lg(3－x )(x －2)∴(3－x )(x －2)>0故2<x <3.答案：(2,3)2．(2009·江西改编)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0⇒－1<x <1. 答案：(－1,1)3．(2010·陕西改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x <1，x 2＋ax ， x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵f (0)＝2≥1，∴f [f (0)]＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：24．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 23x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是______．解析：易知f (a )>a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 23a －1>a a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1a >a a <0解之即得不等式的解集为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)5．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查(一))某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设乘客每次乘坐需付费用为f (x )元，由题意可得：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋1，x ∈(0，3]，9＋(x －3)×2.15，x ∈(3，8]，9＋5×2.15＋(x －8)×2.85，x ∈(8，＋∞)，令f (x )＝22.6，解得x ＝9.答案：96.f:x →－sin x 是集合A ⊆[0,2π]到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12的一个映射，则集合A 中元素个数 最多是__________．解析：∵A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0，得x ＝0，π，2π；由 －sin x ＝12，得x ＝7π6，11π6. ∴A 中最多有5个元素．答案：57．已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________.解析：令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x >1)． 答案：lg 2x －1(x >1) V ，a ∈V ，记a 的象为f (a )．若映射f ：V →V ，a ∈V ，记a 的象为f (a )．若映射f ：V →V 满足：对所有a 、b ∈V 及任意实数λ、μ都有f (λa ＋μb )＝λf (a )＋μf (b )，则f 称为平面M 的线性变换．现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a 、b ∈V ，则f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) ②若e 是平面M 上的单位向量，对a ∈V ，设f (a )＝a ＋e ，则f 是平面M 上的线性变换 ③对a ∈V ，设f (a )＝－a ，则f 是平面M 上的线性变换 ④设f 是平面M 上的线性变换，a ∈V ，则对任意实数k 均有f (k a )＝kf (a )．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)解析：①令λ＝μ＝1，则f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，故①是真命题．同理，④：令λ＝k ，μ＝0，则f (k a )＝kf (a )，故④是真命题．③：∵f (a )＝－a ，则有f (b )＝－b ，f (λa ＋μb )＝－(λa ＋μb )＝λ·(－a )＋μ·(－b )＝λf (a )＋μf (b )是线性变换，故③是真命题． ②：由f (a )＝a ＋e ，则有f (b )＝b ＋e ，f (λa ＋μb )＝(λa ＋μb )＋e ＝λ·(a ＋e )＋μ·(b ＋e )．∴e ＝(λ＋μ)e ，只有λ＋μ＝1成立，但对任意实数λ，μ，λ＋μ不一定为1，故②是假命题．答案：①③④二、解答题(共30分)9．(本小题满分14分)(2010·淮安模拟)已知定义域为{}x |x ∈R ，且x ≠1的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫11－x ＝12f (x )＋1求f (3)． 解：∵f ⎝⎛⎭⎫－12＝12f (3)＋1，f ⎝⎛⎭⎫23＝12f ⎝⎛⎭⎫－12＋1， f (3)＝12f ⎝⎛⎭⎫23＋1，∴2[2f (3)－2]－2＝12f (3)＋1，∴f (3)＝2. 10．(本小题满分16分)求下列函数的定义域．(1)y ＝1x ln(x 2－3x ＋2＋4－3x －x 2)； (2)y ＝25－x 2＋lg cos x .解：依据真数大于零，分母非零，偶次被开方因式非负进行求解．1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2＋4－3x －x 2＞0，⇒－4≤x ＜0，或0＜x <1，x 2－3x ＋2≥0，4－3x －x 2≥0∴函数定义域为[－4,0)∪(0,1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 25－x 2≥0，cos x ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤x ≤5，2k π－π2＜x ＜2k π＋π2(k ∈Z ).借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.B 级 素能提升练(时间：30分钟 满分：50分)一、填空题(每小题5分，共20分)1．(2010·无锡一中模拟)已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋ 2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中存在不同的两个原象(若A 中的元素a 与B 中的元素b 对应，则b 叫a 的象，a 叫b 的原象)，则k 的取值范围是__________．解析：由k ＝－x 2＋2x ，x 2－2x ＋k ＝0有两个不等实根，得Δ＝4－4k >0，∴k <1. 答案：k <12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是__________． 解析：y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)>f (a )⇒2－a 2>a ⇒a 2＋a －2<0⇒－2<a <1.答案：(－2,1)3．已知函数f (x )＝bx 2－3x，若方程f (x )＝－2x 有两个相等的实根，则函数解析式为_ _________．解析：bx 2－3x＝－2x ，bx ＝6x 2－4x ，∴方程－6x 2＋(b ＋4)x ＝0. ∵方程有两个相等的实根，故b ＝－4.∴f (x )＝－4x2－3x ＝4x 3x －2. 答案：f (x )＝4x 3x －2 4．(2010·课标全国改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等， 且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．解析：a 、b 、c 互不相等，不妨设a <b <c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图象可知0<a <1,1<b <10,10<c <12.∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1b， ∴ab ＝1,10<abc ＝c <12.答案：(10,12)二、解答题(共30分)5．(本小题满分14分)(2010·江苏常州)已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)求实数a 的取值范围，使得函数f (x )满足：当定义域为[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成 立．解：(1)由4－a x ≥0，即a x ≤4，当0<a <1时，x ≥log a 4，当a >1时，x ≤log a 4，故f (x )的定义域为：当a >1时，为(－∞，log a 4]，当0<a <1时，为[log a 4，＋∞)．令t ＝4－a x ，则t ∈[0,2)，∴y ＝4－t 2－2t －1＝4－(t ＋1)2.当t ∈[0,2)时，y ＝4－(t ＋1)2是减函数，∴函数的值域为(－5,3]．(2)由(1)知，若a >1，f (x )是增函数，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥f (1)＝a －24－a －1， 由于f (x )≥0恒成立，∴a －24－a －1≥0，解得3≤a ≤4.若0<a <1，f (x )在[1，＋∞)上是减函数，f (x )max ＝a －1－24－a <0，即f (x )≥0不成立．综上知，当3≤a ≤4时，在[1，＋∞)上f (x )≥0恒成立．6．(本小题满分16分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆， 出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产 品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价 相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价一投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：(1)依题意，本年度每辆摩托车的成本为1＋x (万元)．而出厂价为1.2×(1＋ 0.75x )(万元)．销售量为1 000×(1＋0.6x )(辆)．故利润y ＝[1.2×(1＋0.75x )－(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )．整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度利润比上一年有所增加．则y －(1.2－1)×1 000>0.即－60x 2＋20x ＋200－200>0.即3x 2－x <0.解得0<x <13，适合0<x <1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0<x <13. 所以，(1)函数关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)投入成本增加的比例x 的范围是⎝⎛⎭⎫0，13。