一元二次不等式的解法

一、知识梳理：知识点一：比较两个实数大小的法则 设a ，b ∈R ，则2．不等式的基本性质 知识点二：不等式的基本性质（1） （对称性） （2） （传递性） （3） （可加性）（4）； （可乘性） （5）（同向不等式的可乘性）（6） （可乘方性、可开方性） 知识点三：不等式的一些常用性质(1)倒数性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②;110ba b a <⇒<< ③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<a b b a <⇔>,c a c b b a >⇒>>,c b c a b a +>+⇒>,,0a b c ac bc >>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<bd ac d c b a >⇒>>>>0,0n n n n b a b a n N n b a >>⇒>∈>>,1,,0拓展点：两实数（式子）比较大小的常用方法 1. 作差法 设,R b a ∈、则： （1）;0b a b a >⇔>- （2）;0b a b a =⇔=- （3）.0b a b a <⇔<- 2. 作商法（1）,R b a ∈、且.0,0>>b a 若,1>ba则;b a > 若,1=ba则;b a = 若,1<ba则.b a <（2）,R b a ∈、且.0,0<<b a 若,1>ba则;b a < 若,1=ba则;b a = 若,1<ba则.b a > 3. 利用（函数）单调性比较大小，通常要先构造一个函数，再利用其单调性【例题讲解】题型一:应用不等式表示不等关系例1：用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件实事中提炼出一个不等式组是________．变式．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．题型二:比较大小类型一：作差比较大小例2：比较下列两代数式的大小。

（1）3)(5)a a +-（与2)(4)a a +-（（2）256x x ++与2259x x ++变式：在以下各题的横线处适当的不等号：（1）2 6+（2）2 21)； （3）251-；（4）当0a b >>时，12log a 12log b 。

变式：比较下列两代数式的大小： （1）(5)(9)x x ++与2(7)x +（2）22222a b ab +-与223a b +-变式：已知a b >(0ab ≠)， 试比较1a 和1b的大小。

变式：已知a 0,b>0a b >≠且，比较22a b a b b a++与的大小。

类型二：作商比较大小例2：已知：a 、b R +∈， 且a b ≠，比较a b b a a b a b 与的大小。

变式：已知a b c 、、为互不相等的正数，求证：2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c .+++>题型三：不等式性质的应用例3：对于实数a ，b ，c 判断以下命题的真假（1）若a>b ，则ac<bc ； （2）若ac 2>bc 2，则a>b ；（3）若a<b<0， 则a 2>ab>b 2； （4）若a<b<0，则|a|>|b|；（5）若a>b ， a 1>b1，则a>0， b<0。

变式：已知a 、b 、c 满足c<b<a 且0<ac ，那么下列选项中一定成立的（ ）A. ac ab >B. 0)(<-a b cC. 22ab cb <D. 0)(>-c a ac变式：若a<b<0，则下列结论正确的是（ ）A. 1111a b |a ||b |>>和均不成立 B. 1111a-b a |a ||b |>>和均不成立 C.221111a )(b )a b a b a >+>+-和(均不成立 D. 221111(a )(b+)|a ||b |b a >+>和均不成立题型四 运用不等式性质求范围例1：设[x ]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组⎩⎨⎧+-=+=5]3[413][3x y x y ，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是 ( )A ．(35,39)B ．(49,51)C ．(71,75)D ．(93,94)． 例2:已知0＜α－β＜π2，π2＜α＋2β＜3π2，求α＋β的取值范围．变式:如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及的取值范围. 变式:已知，求的取值范围。

yx22πβαπ≤<≤-2,2βαβα-+知识点一：一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

形如： 知识点二：三个二次之间的关系：（1）一元二次方程()20,0ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线()2,0y ax bx c a =++≠与轴的交点的横坐标；（2）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<的解集可以联系二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.设一元二次方程()20,0ax bx c a ++=≠的两根为且，，则相二次函数（）的图象知识点三：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程，计算判别式；①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根122b x x a==-；③时，方程无解（3）根据不等式，写出解集. 拓展点一：不等式的同解原理使不等式成立的未知数的值的集合叫做不等式的解集。

不等式组中，各个不等式的解集的交集叫做不等式组的解集。

如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。

一个不等式（组）变形为另一个不等式（组）时，如果这两个不等式（组）是 同解不等式（组），那么这种变形就叫做不等式（组）的同解变形。

不等式的同解原理：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式式同解不等式;(2)不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式与远不登时式同解不等式；（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式式同解不等式。

拓展点二：高次不等式的解法设一元高次不等式为f （x ）>0 (或f （x ）<0),如果f （x ）在实数范围内能分解成若干个一次因式或不可分的二次因式的积的形式，则采用列表法或数轴表根法（也叫零点分区间法）求解较简便。

用数轴表根法解高次不等式时，应注意以下几点： （1）必须将f （x ）的最高次项的系数化为正数。

（2） 出现重根时，偶次重根切不可标在数轴上，但要检验是否为不等 式的解，奇次重根作单根处理。

（3） 在解含“≤”或“≥”号的不等式时，要注意使等号成立的条件。

拓展点三：分式不等式的解法 解分式不等式一般步骤是：（1）将分式不等式转化为[f （x ）/g(x)]>0或[f （x ）/g(x)]<0的标准形式。

（2）把标准形式转化为与它同解的整式不等式（组）。

同解原理是：[f （x ）/g(x)]>0（或<0）⇔ 0)()(>⋅x g x f （或<0)[f （x ）/g(x)] ≥0(或≤0)⇔⎩⎨⎧≤≥⋅≠)0(0)()(0)(或x g x f x g拓展点四：含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必需弄清楚，它的解集与哪些因素有关。

一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c>0为例）常与以下因素有关（1）a ；（2）Δ；（3）两根x1,x2的大小。

其中系数a 影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏。

题型一 解一元二次不等式 例1：解下列不等式(1)x 2－7x+12>0 (2)－x 2－2x+3≥0(3)x 2－2x+1<0 (4)x 2－2x+2<0 （5）x 2－2x>0 变式：1. 函数_____________2. 函数y=lg(2x 2+3x-1)的定义域为_____________３. 函数y=lg(-x 2+5x+24)的值小于１，则x 的取值范围为_____________４．设k ∈R , x 1 , x 2是方程x 2－2kx+1－k 2=0的两个实数根, 则x 21+x 22的最小值为（ ） A. —2 B. 0 C. 1 D. 2 高次不等式的解法 (选讲) 解下列不等式：（1）22(23)(6)0x x x x +-++<（2）22411372x x x x -+³-+题型二 根据不等式解集确定参数取值1．不等式x 2+2x+m 2>0恒成立，则m 取值范围为 2．方程x 2+(m-3)x+m=0的解集为 ，则m 取值范围为例2：已知不等式x 2+ax+b<0的解集为{x|－1<x<2}, 求不等式bx 2－ax+1<0的解集。

变式：已知不等式b x 2－ax+１ <0的解集为{x| x < －12或x>1}, 求不等式x 2+ax+b<0的解集．注：1。