镜像法和电轴法

考虑如图b，在导体平面下方h处放点电荷-q，
(图b)
并撤去导体，整个空间充满介质的情况
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q
h
(图a)
结论：
P
P 4qr4 qr
qr P
h
r’ 单一介质！
h
-q
(图b)
1. 图a中电介质中的电场分布可用图b计算；
2. -q 为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值 感应电荷的作用；
3. 用镜像法要注意有效范围：
y
E0
2 1
a
2 1
0
x
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§1-7 镜像法和电轴法
(解决静电场边值问题的间接方法)
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1.7.1 镜像法
一、平面镜像：(导体）
问题引入：无限大导体平板(接地)上方h处有点电荷q，周围
介电常数为，求解导体平板上方的电场。
q
q
h
h
h
(图a)
-q
解： ▽ 2=0 除点电荷处
|(导体平面)= 0
|(无穷远处)= 0
q (图b)
q
(图c)
q’’
(图a) 1 1 d
1 d r
E1t
2 d r
E2t
2 2
1 d P
2
q’
解： ▽ 21=0
E1t= E2t
除点电荷处
D1n= D2n
▽ 22=0
介质分界面
P
在镜像电荷系统中：
E1t=
qcos 4 1r2
qcos 4 1r2
E2t=
q cos 4 2 r 2
qsin qsin D1n = 4r2 4r2
1 (-E0 +B1 a-2 )= 2 A1
n1： An=0 Bn=0
B1 = (2 -1 )/(2 +1 ) a2E0
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1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法
例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。
求圆柱体放入后场中的电位分布。
解：1( 2(
, ,
)= )=
E (10c22o s 11)E2 20 c1 1oa2scos
1 1 2 2 2 Q d d d d R R 2d d 2 2Q 0
同乘以 2/RQ：
R ddd dRQ 1ddQ 22 0
R ddddRQ 1ddQ 22 =
得两个常微分方程：
R d d d dR R 2d d 2R 2R d dR
2=0 除点电荷处
|(导体球面)= 0 |(无穷远处)= 0
考虑如图b，镜像电荷的位置、大小？
P 4qr4qr= 0 r2=R2+d2-2Rd cos
q R d
q
R2
r’2=R2+b2-2Rb cos
b 21 d
R
0
d
q
(图a)
单一介质！
R 0 -q’ b
d
q
(图b)
结论：
1. 图a中电介质中的电场分布可用图b计算； 2. -q’ 为镜像电荷，它是分布在导电球上的负值感应电荷的等效； 3. q’ = qR/d ( |q’|<q )； R2=bd； 4. 用镜像法要注意有效范围：
思考：如何求导体表 面的电荷密度分布？
4. 镜像电荷必须放在有效范围之外。
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推广1. 点电荷q线电荷
h
(图a)
（结论类似）
推广 2. 平面两个平面
h 单一介质！
h
- (图b)
q
=/n (可除尽) (n=1,2,3…)
有(2n –1)个镜像
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对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布.
解： ▽
2
2
x 2
2
y2
=0
金属槽内
|(x=0,0<y<b) =0
|(y=0,0<x<a)= 0
|(y=b,0<x<a)= 0
|(x=a,0<y<b) = V0
由方程： (x,y) = ( A0x+B0 ) (C0y+D0 )
设X(x)、Y(y)均不为0：
1 dX2 1 dY2
X dx2
Y
dy2
0
1 X
dX2 dx2
1 Y
dY2 dy2
=
得两个常微分方程：
dX2 dx2
X
0
dY 2 dy2
Y
0
3
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
一、推导：
常微分方程:
dX2 dx2
X
0
dY 2 dy2
Y
0
3. 解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数
R2 b
d
d
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1.图 示 点 电 荷 Q 与 无 限 大 接 地 导 体 平 板 的 静
电 场 问 题 中， 为 了 应 用 镜 像 法 求 解 区 域 A 中
当m 0时：常微分方程的解为：
R()= Amm+Bm - m
Q()=Cm cos(m) + Dm sin( m)
要满足周期性： Q()= Q(+2) Q(m)= Q(m+2m)
m =整数= n
( , ) = R( )Q( ) =(A0 ln + B0 ) (C0 +D0) (A nn B n n )C (nco n sD nsin n ) n 1
Bn n1 shknxCn0
由边界条件3
：
0
=
A0x0C0b0n1
BnshnkxDns
0 in knb
kn =n/b
n1
n
n
(x,y) = n1Bnshb xDnsinb y
5
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布.
解：
▽
2
2
x 2
b. 若= - m2 ：不满足周期性，舍去。
8
1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法
例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。
求圆柱体放入后场中的电位分布。
y
解：▽
211 12
2 2
=0
圆柱体外
▽
221 12
2 2
=0
圆柱体内
E0
2 1
a
2 1
0
x
1 |( =a) = 2 |( =a)
1
1
)
(C0y+D0
)
(A n cn h x B k n sh n x )C k ( n ck o n y sD n sk in y n )
n 1
b. 若= - kn2：
(x,y) = X(x)Y(y)=( A0x+B0 ) (C0y+D0 ) (A n ck o n x sB n si k n n x )C (n ch n y D k n sh n y 4 )k n 1
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问题2:半径为R的导体球(不接地)外d处有点电荷q,周围
介电常数为, 求解导体球外的电场。
(图b)
R
0
d
q
R q’ 0 -q’
q
b
(图a)
d
解：
▽ 2=0 除点电荷处 |(导体球面)= c |(无穷远处)= 0
考虑如图b，镜像电荷的位置、大小？
两个镜像电荷q’ 、-q’，
q’ 位于球心
q R q
当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。
为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如， 夹角为 的导电π 劈需引入 5 个镜像电荷。
3
q /3
q
/3
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原 理得知，同样可以应用镜像法求解。
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推广 3、两种介质1 、2的分界面为无限大平面，在介质 1中距离分界面d处有点电荷q。求两种介质中的电场。
3. 镜像电荷q’ 是分布在分界面上的极化电荷的等效； 4. 镜像电荷q’’是极化电荷和自由电荷的等效； 5. 注意图b图c的有效范围：
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二、球面镜像：
问题1:半径为R的导体球(接地)外d处有点电荷q，周
围介电常数为，求解导体球外的电场。
R
0
d
q
P
R
0
r’
b-q’
r
q
(图a)
d
(图b)
解：▽
a. 若=kn2：
当kn=0时：常微分方程的解为：X(x)=A0x+B0
当kn 0时：常微分方程的解为：
Y(y)=C0y+D0
X(x)=Anch(knx)+Bn sh( knx) Y(y)=Cncos(kny)+Dn sin( kny)
得电位函数的一般解：
(x,y)
=
X(x)Y(y)=(
A0x+B0
D2n =
q sin 4r 2
q 1 2 q 1 2
q 22 q 1 219
q
(图a) 1 1 d 2 2
结论：
(图b)
1 1
q
(图c)
dr
E1t
2
d P
2
q’
q’’
dr
E2t
P
1. 图a介质1中的电场分布可用图b计算，q' =q(1- 2) /(1+ 2) ； 2. 图a介质2中的电场分布可用图c计算，q'' =2q2 / (1+ 2) ；