关于镜像法与电轴法静电场课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱 导体面上分布电荷，从而求得电场的方法， 称为电轴法。
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
2b22 0d2 π0(lnbln2)
P122π 0ln 1 22π 0ln((x x b b))2 2 y y2 2
若p2 0ln ( 1 2)2 0ln (K )常 数 则
(x (x
b)2 b)2
y2 y2
K2
等位线方程为：
(xK21b)2y2( 2b K)2
K21
K21
圆心坐标(h,0) h K2 1b
q”是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。
q''qq'q1 2 2 1q2221q
求图示1与2
区域的电场强 度，确定镜像 电荷的个数、 大小与位置。
例3-1 离河面高度为h处，有一输电线经过，导 线单位长度的电荷量为τ，且导线半径远小于h。 设河水的介电常数为80ε0，求水中的电场强度。
解：由于导线半径远小于h，所以可将导线表面电荷视
h1
d2
a
2 1
2d
a
2 2
h2
d2
a
2 2
2d
a
2 1
b
(
d
2
a
2 1
2d
a
2 2
)2
a
2 1
试确定图示偏心电缆的电轴位置
h12
h
2 2
a
2 1
a
2 2
b2 b2
Fra Baidu bibliotek
h
2
h1
d
h1
a
2 2
a
2 1
2d
d2
h2
a
2 2
a
2 1
2d
d2
b
(
a
2 2
a
2 1
2d
qh(h2
1
x2)1/20
q
设有一点电荷q置于相互直角的两个接地的半无限大 导电平板附近，试求解这一电场。
夹角为α=π/3的两相联无限大导电平面的镜象
导体球面镜像：设在点电荷附近有一接地导体球， 求导体球外空间的电位及电场分布。
2
r
0
球外空间（除q点外）
0
导球面 0
设置-q’放置在球内（无效区），使 其等效球壳上的感应电荷，对照两 种情况下的边值问题，关键问题是 确定等效电荷的量值大小和位置。
关于镜像法与电轴法静电场
镜像法基本思路
首先把原来具有边界的场域空间 看成是一个无限大的均匀空间，然后 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界 面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、 大小与位置使场的解答满足唯一性定 理。虚设电荷一般位于镜像位置，故 称镜像法。
接地导体平面上电荷的场边值问题
2 0
0
两根输电线表面的电位为：
当h>>a，b ≈h时：1220lnb b ((h h a a))
1
20
ln
2h a
201
ln2h
,p
1 ln2 ln2h 1
a
a
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体,试决定电轴位置。
b2
b
2
h
2 1
h
2 2
a
2 1
a
2 2
d
h1
h2
为集中到几何轴线上的线电荷，镜像电荷为：
22 160 12 81
E
22r
er
22r
(
x r
ex
y
r
h
ey
)
160 162 800
x (r2
ex
y r2
h
ey
)
810
(
x2
x (y
h)2
ex
x2
y (y
h
h)2
ey
)
电轴法工程背景
两根等量异号线电荷的电场
以原点o1为参b 1考2点0 ，d 则2π 0(lnbln1)
p 0
点电荷对接地球的镜像
p4πq0r14πq0 'r2 0
r1 d2 R2 2Rdcos r2 b2 R2 2Rbcos
[ q 2 ( b 2 R 2 ) q '2 ( d 2 R 2 ) 2 ]R ( q '2 d q 2 b )co 0 s
q2(b2R2)q'2(d2R2)0 q'2dq2b0
K2 1
圆半径 a
2bK K 2 1
a、h、b三者之间的关系满足
a2b2(2bK )2b2(K21b)2h2
K21
K21
＝0
负电位区域
正电位区域
等位线与电力线分布图
电轴法基本思路
若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳， 是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？若 在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
点电荷之外区域 平面导体和无穷远
接地导体平面上电荷的场
上半区域场边值问题
点电荷的镜像
2 0
点电荷之外区域
q
4 0 r
q
4 0 r
0
导体平面 和无穷远
注意： 1、有效区域：用镜像求得的解答只对上半空 间才是正确的，因为它符合唯一性定理的要求。 2、镜像法特点：将计算场域不均匀空间转化 为均匀空间，降低了问题求解难度。
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
E2t D2
n
4q1r2cos4q1'r2cos 4q2''r2cos 4qr2sin4qr'2sin 4qr''2sin
q q
' '
'
1 1
2
2
2 2
q q
1 2
1中的电场是由q与q’共同产生，其有效区在上
半空间，q’是等效替代极化电荷的影响。
2中的电场是q”由决定，其有效区在下半空间，
求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布情况
解: 设点电荷q离地面高度为h，则
EEE （方向指向地面）
E 24 πq 0r2co sey2 π0(h q 2h x2)3/2ey
pD0Ey2π(h2q hx2)3/2
整个地面上感应电荷的总量为
地面引起的感应电荷的分布
SpdS02π(h2 qx2 h)3/22πxdx
b
R2 d
q
'
bq Rq dd
计算不接地金属球附近放置点电荷时的电场分布
2 0
r
0
除 q 点外 球外空间
球面s
常数
0
p
r2
r
+q'
r1
q
R
o b-q'
d
点电荷对不接地金属球的镜像
感应电荷分布及球对称性， 在球内有两个等效电荷。
正负镜像电荷绝对值相等； 正镜像电荷只能位于球心。
p
r2
r
+q'
r1
q
R
o b-q'
d
任一点电位及电场强度为：
1 (q q q) 4π0 r r1 r2
q (1 R R )
4π0 r dr1 dr2
q1 R R
E4π0(r2erd12rer1d22 rer2)
点电荷位于不接地 导体球附近的场图
介质分界面的镜像
21 0 22 0
E1t D1n
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
2b22 0d2 π0(lnbln2)
P122π 0ln 1 22π 0ln((x x b b))2 2 y y2 2
若p2 0ln ( 1 2)2 0ln (K )常 数 则
(x (x
b)2 b)2
y2 y2
K2
等位线方程为：
(xK21b)2y2( 2b K)2
K21
K21
圆心坐标(h,0) h K2 1b
q”是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。
q''qq'q1 2 2 1q2221q
求图示1与2
区域的电场强 度，确定镜像 电荷的个数、 大小与位置。
例3-1 离河面高度为h处，有一输电线经过，导 线单位长度的电荷量为τ，且导线半径远小于h。 设河水的介电常数为80ε0，求水中的电场强度。
解：由于导线半径远小于h，所以可将导线表面电荷视
h1
d2
a
2 1
2d
a
2 2
h2
d2
a
2 2
2d
a
2 1
b
(
d
2
a
2 1
2d
a
2 2
)2
a
2 1
试确定图示偏心电缆的电轴位置
h12
h
2 2
a
2 1
a
2 2
b2 b2
Fra Baidu bibliotek
h
2
h1
d
h1
a
2 2
a
2 1
2d
d2
h2
a
2 2
a
2 1
2d
d2
b
(
a
2 2
a
2 1
2d
qh(h2
1
x2)1/20
q
设有一点电荷q置于相互直角的两个接地的半无限大 导电平板附近，试求解这一电场。
夹角为α=π/3的两相联无限大导电平面的镜象
导体球面镜像：设在点电荷附近有一接地导体球， 求导体球外空间的电位及电场分布。
2
r
0
球外空间（除q点外）
0
导球面 0
设置-q’放置在球内（无效区），使 其等效球壳上的感应电荷，对照两 种情况下的边值问题，关键问题是 确定等效电荷的量值大小和位置。
关于镜像法与电轴法静电场
镜像法基本思路
首先把原来具有边界的场域空间 看成是一个无限大的均匀空间，然后 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界 面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、 大小与位置使场的解答满足唯一性定 理。虚设电荷一般位于镜像位置，故 称镜像法。
接地导体平面上电荷的场边值问题
2 0
0
两根输电线表面的电位为：
当h>>a，b ≈h时：1220lnb b ((h h a a))
1
20
ln
2h a
201
ln2h
,p
1 ln2 ln2h 1
a
a
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体,试决定电轴位置。
b2
b
2
h
2 1
h
2 2
a
2 1
a
2 2
d
h1
h2
为集中到几何轴线上的线电荷，镜像电荷为：
22 160 12 81
E
22r
er
22r
(
x r
ex
y
r
h
ey
)
160 162 800
x (r2
ex
y r2
h
ey
)
810
(
x2
x (y
h)2
ex
x2
y (y
h
h)2
ey
)
电轴法工程背景
两根等量异号线电荷的电场
以原点o1为参b 1考2点0 ，d 则2π 0(lnbln1)
p 0
点电荷对接地球的镜像
p4πq0r14πq0 'r2 0
r1 d2 R2 2Rdcos r2 b2 R2 2Rbcos
[ q 2 ( b 2 R 2 ) q '2 ( d 2 R 2 ) 2 ]R ( q '2 d q 2 b )co 0 s
q2(b2R2)q'2(d2R2)0 q'2dq2b0
K2 1
圆半径 a
2bK K 2 1
a、h、b三者之间的关系满足
a2b2(2bK )2b2(K21b)2h2
K21
K21
＝0
负电位区域
正电位区域
等位线与电力线分布图
电轴法基本思路
若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳， 是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？若 在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
点电荷之外区域 平面导体和无穷远
接地导体平面上电荷的场
上半区域场边值问题
点电荷的镜像
2 0
点电荷之外区域
q
4 0 r
q
4 0 r
0
导体平面 和无穷远
注意： 1、有效区域：用镜像求得的解答只对上半空 间才是正确的，因为它符合唯一性定理的要求。 2、镜像法特点：将计算场域不均匀空间转化 为均匀空间，降低了问题求解难度。
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
E2t D2
n
4q1r2cos4q1'r2cos 4q2''r2cos 4qr2sin4qr'2sin 4qr''2sin
q q
' '
'
1 1
2
2
2 2
q q
1 2
1中的电场是由q与q’共同产生，其有效区在上
半空间，q’是等效替代极化电荷的影响。
2中的电场是q”由决定，其有效区在下半空间，
求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布情况
解: 设点电荷q离地面高度为h，则
EEE （方向指向地面）
E 24 πq 0r2co sey2 π0(h q 2h x2)3/2ey
pD0Ey2π(h2q hx2)3/2
整个地面上感应电荷的总量为
地面引起的感应电荷的分布
SpdS02π(h2 qx2 h)3/22πxdx
b
R2 d
q
'
bq Rq dd
计算不接地金属球附近放置点电荷时的电场分布
2 0
r
0
除 q 点外 球外空间
球面s
常数
0
p
r2
r
+q'
r1
q
R
o b-q'
d
点电荷对不接地金属球的镜像
感应电荷分布及球对称性， 在球内有两个等效电荷。
正负镜像电荷绝对值相等； 正镜像电荷只能位于球心。
p
r2
r
+q'
r1
q
R
o b-q'
d
任一点电位及电场强度为：
1 (q q q) 4π0 r r1 r2
q (1 R R )
4π0 r dr1 dr2
q1 R R
E4π0(r2erd12rer1d22 rer2)
点电荷位于不接地 导体球附近的场图
介质分界面的镜像
21 0 22 0
E1t D1n