七年级下册数学课件(湘教版)解决所列方程组中xy系数不为1形式的实际问题
湘教初中数学七年级下册《1.0第1章 二元一次方程组》课堂教学课件
s 50
t
2、 5
s
75
t
2 5
例3.甲、乙二人以不变的速度在环形路 上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每 隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分 钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每 分钟各跑多少圈?
二.图表问题
1.某学校现有甲种材料3５㎏,乙种材 料29㎏,制作A.B两种型号的工艺品,用 料情况如下表:
1.二元一次方程:通过化简后,只有两个未知数, 并且两个未知数的次数都是1,系数都不是0的 整式方程,叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边 的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次 方程的解.
3.二元一次方程组:由两个一次方程组成,共有 两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解:
四、知识应用
• 1.下列各式，属于二元一次方程的是 _______
(1)xy 2x y 7;(2)4x 1 x y;(3) 1 y 5; x
(4)x y;(5)6x 2y(6)x y z 1.
2.二元一次方程2m+3n=11 ( ) A.任何一对有理数都是它的解. B.只有两组解. C.只有两组正整数解. D.有负整数解.
• 3.《一千零一夜》中有这样一段文字： 有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌， 另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子 对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上 来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的； 若从树上飞下去一只，则树上、树下的 鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各 有多少只鸽子吗？
• 4.将若干只鸡放入若干笼中，若每 个笼中放4只，则有一鸡无笼可放； 若每个笼里放5只，则有一笼无鸡 可放，问有多少只鸡，多少个笼？
四.销售问题: 标价×折扣=售价 售价-进价=利润
湘教版七年级数学下册课件 第一章 二元一次方程组 1.3 第1课时 解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题
第1章 二元一次方程组
1.3 二元一次方程组的应用
第1课时 解决所列方程组中含“x+y=”形式 的实际问题
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程 组解决的简单的实际问题.（重点） 2.学会利用二元一次方程组解决行程问题和百分 比问题.（重点、难点）
x 190, 解这个方程组得 y 60.
答：这块合金中含金为190克，银60克.
2. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化， 甲商品降价10％，乙商品提价40％,调价后两种商品的单 价和比原来的单价和提高了20％.求甲、乙两种商品原来 的单价.
解: 设甲商品原来的单价为x 元，乙商品原来的单价 为y 元. x y 100, 根据等量关系得 x(1-0.1) y(1 0.4) 100(1 0.2). x 40, 解这个方程组得 y 60. 答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价 为60元.
胜场 场数 得分 平场 合计
x
3x
y
y
11
27
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得 x_ _ _ _ y __ 11 _ _ _ _ _ 3x y __ 27 _
解得：
8_ _ x _ 3_ _ y _
通过上述两题，总结 用二元一次方程组解 决实际问题的步骤
平均运土300m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖
掘机有多少台？装卸机有多少台？ 解：设挖掘机x台，装卸机y台，
根据题意列出方程组得
x y 21， 750 x 300 y.
湘教版数学七年级下册教学课件PPT1.3 第2课时 用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
x y
= 5, =1.5.
答：这种出租车的起步价是5元，超过3 km后每千米 收费1.5元.
课程讲授
1 列二元一次方程组解决复杂的实际问题
例2 某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局， 其中每包书的数目相等.第一次它们领来这批书的 7 ，
12
结果打了14个包还多35本；第二次他们把剩下的书全部 取出来，连同第一次打包打包剩下的书一起，刚好又打 了11包.那么这批书共有多少本？
x 2,
y
2.
故，承包田地的面积为： x+y=4 （hm2） 人员安排为为：
5x=5×2=10(人）；4y=4×2=8(人）
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2 公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所 有人都有工作且资金正好够用.
随堂练习
5.在长为10 m，宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方形 各边的方向分割出三个相同的小长方形花圃，其示意图如图 所示，则小长方形花圃的长和宽分别是多少?
解：设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨， 根据题意列出方程组得
2x+3y=15.5, 5x+6y=35,
x=4, 解方程组，得
y=2.5. 3辆大车与5辆小车一次可以运货3×4+5×2.5=24.5（吨） 答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
随堂练习
4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地. 根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整， 该种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需 投入的资金如下表：
第1章 二元一次方程组
1.3 二元一次方程组的应用
湘教版七年级下册数学课件 解决所列方程组中xy系数不为1形式的实际问题
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题
意与分析中图示的两个相等关系，得
2x 2 y 4，
0.5x0.5y4.
解方程组，得
x 5，
y
3.
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江东至 南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能 到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的 速度以及长江水的平均流速.
根据题意，可列方程组：
60(10x)60(15 y)
80x 40 y
x 5
解方程组，得
y
10
故 平路距离：60×（10-5）=300（米） 坡路距离：80×5=400（米）
所以，小明家到学校的距离为700米.
典例精析
例1 甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人 0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
4.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到
外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，
下面有这一古诗为证：
解：设有x个人，y两银，
隔壁听到人分银， 不知人数不知银。 每人五两多六两， 每人六两少五两。 多少人数多少银？
由题意得：
5x+6=y
6x-5=y
x=11
解得：
y=61
5.李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五 香味的和10包原味的共花了146元，乙客户购买 了6包五香的和8包原味的共花了88元 （1）现在老师带了200元，能否买到10包五香牛 肉干和20包原味牛肉干？
人数和为22人 螺母总产量是螺钉的2倍
湘教版数学七年级下册教学课件PPT1.3 第1课时 用二元一次方程组解决简单的实际问题
解：设鸡为x 只,兔为y 只.则
x+y=35，
①
2x+4y=94. ②
①×2 ,得 2x+2y=70，③
②-③ ,得 2y=24，
把 y=12 代入①，得=23.
x=23, 原方程组的解是
y=12.
答：有鸡23只，兔12只.
课程讲授
1 列二元一次方程组解决简单的实际问题
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
课程讲授
1 列二元一次方程组解决简单的实际问题
解: 设含蛋白质20％的配料需用x kg，含蛋白质12％ 的配料需用ykg.
根据等量关系,得
x
y
100,
x
20%
y
12%100 15%.
解这个方程组,得
x
37.5,
y
62.5.
答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20％的配料
关键：找等量关系
(1)审题：弄清题意和题目中的_数__量__关__系__； (2)设元：用_字__母__表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据_2__个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用_代__入__消__元___法或_加__减__消__元__法__解出未知数的
值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
x y 49, 盖,可得方程组为__2___1_2_x__1_9__y_.
随堂练习
3.机械工厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮 16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一 套,若安排x名工人加工大齿轮,安排y名工人加工小齿轮,为 能讲授
2024年湘教版七年级数学上册3.7 第2课时 解决所列方程中含x,y系数不都为1的实际问题？课件
x
y
10.
放学
x 60
y 40
10
60 80
解方程组，得
于是，上坡路与平路的长度之和为
x 400，
y300.
x + y = 400 + 300 = 700 (m). 因此，小华家离学校 700 m.
方法二（间接设元法） 解：设小华上坡路所花时间为 x min，
下坡路所花时间为 y min.
•
甲追上乙
4 km
乙 2 h 行程
甲 2 h 行程 = 4 km + 乙 2 h 行程
(2) 同时出发， 甲 0.5 h 行程 相遇地 乙 0.5 h 行程
相向而行 甲出• 发点
乙出• 发点
4 km
甲 0.5 h 行程 + 乙 0.5 h 行程 = 4 km
解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据
第3章 一次方程组
3.7 二元一次方程组的应用
第2课时 解决所列方程中含 x，y 系数不都 为1的实际问题
教学目标
1. 进一步积累运用方程模型解决实际问题的经验，培养 良好的数学思维习惯以及分析问题、解决问题的能力.
2. 通过解决实际问题进一步体会方程建模的过程和作用， 培养应用数学的意识.
重点：列出二元一次方程组解决实际问题. 难点：从具体问题情境中找等量关系.
题意与分析中图示的两个相等关系，得
2x－2y＝4， 0.5x＋0.5y＝4
解方程组，得
x＝5， y＝3.
答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h.
方法总结
列二元一次方程组解决实际问题的步骤：
列
解
检
最新湘教版七年级数学下册 1.3 第2课时 解决所列方程组中x、y系数不为1形式的实际问题 (2)
第2课时 解决所列方程组中x ，y 系数不都为1形式的实际问题1．掌握列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题；(重点、难点)2．通过列二元一次方程组解决实际问题，培养学生的数学运用能力以及分析问题和解决问题的能力；(难点)3．通过贴近学生生活的素材，激发学生的学习兴趣，增强自信心．一、情境导入学校组织各班开展“阳光体育”活动，某班体育委员第一次到商店购买了5个毽子和8根跳绳，花费34元，第二次又去购买了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每根跳绳各多少元？二、合作探究探究点：列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题【类型一】 行程问题)雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度．解析：设小汽车的速度为x km/h ，客车的速度为y km/h ，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，列出方程组即可．解：设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时和y 千米/时，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2.5x ＋2.5y ＝420，2.5x －2.5y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝98，y ＝70. 答：小汽车的速度为98km/h ，客车的速度为70km/h.方法总结：此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可．【类型二】 购物问题某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A 、B 两种商品进行打折销售．打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；购买6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？解析：通过打折前的两个等量关系列方程，从而求出打折前的A 、B 商品的单价．进而算出打折前购买商品所花的钱数，再与打折后所花的钱数相比较，就求出了少花的钱数．解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝84，6x ＋3y ＝108，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4.打折前购买50件A 商品和50件B 商品共需16×50＋4×50＝1000(元)．∴打折后少花1000－960＝40(元)．答：打折后少花40元．方法总结：设未知数时可以直接设未知数，当直接设未知数不方便求解或列出的方程组较复杂时，也可以间接设未知数．要注意的是，间接设未知数时求得的解还需继续计算才能得出最后所要求的结果．【类型三】 分段计费问题某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过部分加价收费．已知小亮家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，交水费58.5元，你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过部分的水费每吨多少元吗？解析：本题等量关系为：4月份限定量以内的水费＋超额部分的水费＝46元；5月份限定量以内的水费＋超额部分的水费＝58.5元．根据这两个等量关系列出方程组求出答案．解：设三口之家限定量以内的水费为每吨x 元，超过部分的水费为每吨y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋（24－20）y ＝46，20x ＋（29－20）y ＝58.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.8，y ＝2.5.答：该市对三口之家限定量以内的水费每吨1.8元，超过部分的水费每吨2.5元． 方法总结：一般情况下，分段计费问题的等量关系为：各段内的费用之和为总费用．【类型四】 方案问题将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分6本，则剩下9本；每个同学分8本，又差了3本，问共有多少本笔记本、多少个同学？解析：本题中2个等量关系为：笔记本的本数－同学的个数×6＝9，同学的个数×8－3＝笔记本的本数．根据这两个等量关系可列出方程组．解：设共有笔记本x 本，同学y 个．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －6y ＝9，8y －3＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝6. 答：共有45本笔记本，6个同学．方法总结：在方案问题中，要抓住其中不变的量找等量关系，列方程组．【类型五】 图表信息题如图所示，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23cm ，小红所搭的小树高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木高y cm ，请求出x 和y 的值．解析：小强搭的积木的高度＝A 的高度×2＋B 的高度×3，小红搭的积木的高度＝A 的高度×3＋B 的高度×2，根据这两个等量关系列出方程组，再求解．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝23，3x ＋2y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5. 方法总结：解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．三、板书设计列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题⎩⎪⎨⎪⎧1.行程问题2.购物问题3.分段计费问题4.方案问题5.图表信息题列方程(组)解应用题是同学们学习中的难点，在教学中注意引导学生如何审题，如何找出解决问题的等量关系．本节课的内容紧密联系实际生活，体现了数学的应用价值，让学生积极参与，提高学习的积极性。
最新湘教版初中数学七年级下册1.3 第2课时 解决所列方程组中x、y系数不为1形式的实际问题导学案
13 二元一次方程组的应用第2课时 解决所列方程组中、y 系数不为1形式的实际问题学习目标：1、会列二元一次方程组解简单的应用题并能检验结果的合理性；2、提高分析问题、解决问题的能力；3、体会数学的应用价值重点：根据实际问题列二元一次方程组 预习导学——不看不讲学一学：阅读教材P 16的内容。
完成下面问题小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路（回家所走的上坡路长即为去学校的下坡路长）根据问题中涉及的路程、速度与时间的数量关系，可得： 走平路的时间+走下坡的时间=____走上坡的时间+走平路的时间=____设小华家到学校平路长，下坡长y ．根据等量关系得： ， ，解这个方程组．得得⎩⎨⎧==.y x 因此，平路长为 ，下坡长为 ，小华家离学校 _学一学：阅读教材P 16-17的内容议一议：列二元一次方程组解简单的应用题的关键是 。
要注意哪些问题：合作探究——不议不讲互动探究一：两在相距280千米，一般顺流航行需14小时，逆流航行需20小时，求船在静水中速度，水流的速度。
互动探究二：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？互动探究三：420个零件由甲、乙两人制造。
甲先做2天后，乙加入合作再做2天完成，乙先做2天，甲加入合作，还需3天完成。
问：甲、乙每天各做多少个零件？【当堂检测】：420个零件由甲、乙两人制造。
甲先做2天后，乙加入合作再做2天完成，乙先做2天，甲加入合作，还需3天完成。
问：甲、乙每天各做多少个零件？附加题：为了丰富同学们的课外活动，某校组织了部分学生到郊外进行钓鱼比赛，下表记录了钓到n条鱼的选手数．在赛事新闻中报道了下列消息：（1）冠军钓了15条鱼；（2）钓到3条或更多条鱼的选手平均每人钓到6条；（3）钓到12条或更少的选手平均每人钓到5条鱼．问：整个比赛中共钓到多少条鱼？通过学习你有什么收获？还有哪些疑惑，与同学们交流一下。
2022年湘教版七下《解决所列方程组中x、y系数不为形式的实际问题》精品教案
第2课时解决所列方程组中x，y系数不都为1形式的实际问题1．掌握列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题；(重点、难点)2．通过列二元一次方程组解决实际问题，培养学生的数学运用能力以及分析问题和解决问题的能力；(难点)3．通过贴近学生生活的素材，激发学生的学习兴趣，增强自信心．一、情境导入学校组织各班开展“阳光体育〞活动，某班体育委员第一次到商店购置了5个毽子和8根跳绳，花费34元，第二次又去购置了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每根跳绳各多少元？二、合作探究探究点：列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题【类型一】行程问题(2021·攀枝花期末)雅西高速公路于2021年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度．解析：设小汽车的速度为x km/h，客车的速度为y km/h，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，列出方程组即可．解：设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，由题意得：错误!解得错误!答：小汽车的速度为98km/h，客车的速度为70km/h.方法总结：此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可．【类型二】购物问题某超市为“开业三周年〞举行了店庆活动．对A、B两种商品进行打折销售．打折前，购置5件A商品和1件B商品需用84元；购置6件A商品和3件B商品需用108元．而店庆期间，购置50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？解析：通过打折前的两个等量关系列方程，从而求出打折前的A 、B 商品的单价．进而算出打折前购置商品所花的钱数，再与打折后所花的钱数相比拟，就求出了少花的钱数．解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝84，6x ＋3y ＝108，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4.打折前购置50件A 商品和50件B 商品共需16×50＋4×50＝1000(元)．∴打折后少花1000－960＝40(元)．答：打折后少花40元．方法总结：设未知数时可以直接设未知数，当直接设未知数不方便求解或列出的方程组较复杂时，也可以间接设未知数．要注意的是，间接设未知数时求得的解还需继续计算才能得出最后所要求的结果． 【类型三】 分段计费问题某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过局部加价收费．小亮家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，，你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过局部的水费每吨多少元吗？解析：此题等量关系为：4月份限定量以内的水费＋超额局部的水费＝46元；5月份限定量以内的水费＋超额局部的水费＝58.5元．根据这两个等量关系列出方程组求出答案．解：设三口之家限定量以内的水费为每吨x 元，超过局部的水费为每吨y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋〔24－20〕y ＝46，20x ＋〔29－20〕y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ＝2.5. 答：该市对三口之家限定量以内的水费每吨，超过局部的水费每吨2.5元．方法总结：一般情况下，分段计费问题的等量关系为：各段内的费用之和为总费用．【类型四】 方案问题将一摞笔记本分给假设干个同学，每个同学分6本，那么剩下9本；每个同学分8本，又差了3本，问共有多少本笔记本、多少个同学？解析：此题中2个等量关系为：笔记本的本数－同学的个数×6＝9，同学的个数×8－3＝笔记本的本数．根据这两个等量关系可列出方程组．解：设共有笔记本x 本，同学y 个．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －6y ＝9，8y －3＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝6. 答：共有45本笔记本，6个同学．方法总结：在方案问题中，要抓住其中不变的量找等量关系，列方程组． 【类型五】 图表信息题如下图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23cm ，小红所搭的小树高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木高y cm ，请求出x 和y 的值．解析：小强搭的积木的高度＝A 的高度×2＋B 的高度×3，小红搭的积木的高度＝A 的高度×3＋B 的高度×2，根据这两个等量关系列出方程组，再求解．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝23，3x ＋2y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5. 方法总结：解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．三、板书设计列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题错误!列方程(组)解应用题是同学们学习中的难点，在教学中注意引导学生如何审题，如何找出解决问题的等量关系．本节课的内容紧密联系实际生活，表达了数学的应用价值，让学生积极参与，提高学习的积极性第1课时教学目标【知识与技能】了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.【过程与方法】在探索勾股定理的过程中，开展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性.【情感态度】1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情.2.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神.教学重难点【教学重点】探索和证明勾股定理.【教学难点】用拼图的方法证明勾股定理.课前准备无教学过程一、情境导入，初步认识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会〞.这就是本届大会会徽的图案〔教师出示图片或照片〕.〔1〕你见过这个图案吗？〔2〕你听说过“勾股定理〞吗？【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图〞.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料.二、思考探究，获取新知毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请你也观察一下类似的图案〔教材P22图形〕，你有什么发现？【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征.【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.问题等腰直角三角形三边的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3，运用割补法分别计算正方形A、B、C和正方形A′、B′、C′的面积，看看它们之间有什么关系？【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C′的面积，教师巡视，针对学生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积.一方面，正方形C的面积为：52-4×12×2×3=25-12=13；另一方面也有正方形C的面积为：4×12×2×3+1=13，而这两种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C′的面积为34.通过观察上述问题的探讨，假设将直角三角形的两直角边记为a，b，斜边为c，那么应有a2+b2=c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.上述结论我们都是通过特例而获得的，是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有方法来证明呢？做一做将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图.想一想〔1〕中间小正方形边长是多少？它的面积呢？〔2〕你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗？不妨试试看.【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识.最后师生共同探讨：S大正方形=c2=4×12×a×b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.即a2+b2=c2.有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图〞.三、运用新知，深化理解1.你能利用如下图的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流.2.你能用勾股定理解决下面的问题吗？〔1〕在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，试求斜边AB的长；〔2〕在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，试求直角边AC的长.【教学说明】这两道题先由学生自主完成，然后由教师进行评讲.【答案】1.解：S梯形＝〔a+b〕·〔a+b〕·12＝〔a2+b2+2ab〕·12，又S梯形＝12ab+12ab+12c2=12〔2ab+c2〕，综上a2+b2＝c2.有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.解：〔1〕由勾股定理有：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即AB＝25.〔2〕由勾股定理有：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即AC2＝AB2-BC2，∴AC＝8.四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？你还能想到一些证明勾股定理的方法吗？与同伴交流. 课后作业1.请查阅资料或上网，收集一些证明勾股定理的方法，并与同伴交流.2.完成练习册中本课时练习.教学反思新课程标准对勾股定理这局部的教学要求与旧大纲的要求不同，新课程标准对勾股定理这局部的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题.勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形〞——数与形，能够把形的特征〔三角形中一个角是直角〕转化成数量关系〔三边之间满足a2+b2=c2〕，堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位.另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的根本方法.但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌生.基于以上三点的原因，本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.。
《第2课时 解决所列方程组中x、y系数不为1形式的实际问题》教案 (公开课)2022年湘教版数学
第2课时 解决所列方程组中x ，y 系数不都为1形式的实际问题1．掌握列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题；(重点、难点)2．通过列二元一次方程组解决实际问题，培养学生的数学运用能力以及分析问题和解决问题的能力；(难点)3．通过贴近学生生活的素材，激发学生的学习兴趣，增强自信心．一、情境导入学校组织各班开展“阳光体育〞活动，某班体育委员第一次到商店购置了5个毽子和8根跳绳，花费34元，第二次又去购置了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每根跳绳各多少元？二、合作探究探究点：列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题【类型一】 行程问题(2021·2021年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度．解析：设小汽车的速度为x km/h ，客车的速度为y km/h ，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，列出方程组即可．解：设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时和y 千米/时，由题意得：错误!解得错误! 答：小汽车的速度为98km/h ，客车的速度为70km/h.方法总结：此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可．【类型二】 购物问题某超市为“开业三周年〞举行了店庆活动．对A 、B 两种商品进行打折销售．打折前，购置5件A 商品和1件B 商品需用84元；购置6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购置50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？解析：通过打折前的两个等量关系列方程，从而求出打折前的A 、B 商品的单价．进而算出打折前购置商品所花的钱数，再与打折后所花的钱数相比拟，就求出了少花的钱数．解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝84，6x ＋3y ＝108，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4.打折前购置50件A 商品和50件B 商品共需16×50＋4×50＝1000(元)．∴打折后少花1000－960＝40(元)．答：打折后少花40元．方法总结：设未知数时可以直接设未知数，当直接设未知数不方便求解或列出的方程组较复杂时，也可以间接设未知数．要注意的是，间接设未知数时求得的解还需继续计算才能得出最后所要求的结果．【类型三】 分段计费问题某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过局部加价收费．小亮家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，，你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过局部的水费每吨多少元吗？解析：此题等量关系为：4月份限定量以内的水费＋超额局部的水费＝46元；5月份限定量以内的水费＋超额局部的水费＝58.5元．根据这两个等量关系列出方程组求出答案．解：设三口之家限定量以内的水费为每吨x 元，超过局部的水费为每吨y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋〔24－20〕y ＝46，20x ＋〔29－20〕y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ＝2.5. 答：该市对三口之家限定量以内的水费每吨，超过局部的水费每吨2.5元．方法总结：一般情况下，分段计费问题的等量关系为：各段内的费用之和为总费用．【类型四】 方案问题将一摞笔记本分给假设干个同学，每个同学分6本，那么剩下9本；每个同学分8本，又差了3本，问共有多少本笔记本、多少个同学？解析：此题中2个等量关系为：笔记本的本数－同学的个数×6＝9，同学的个数×8－3＝笔记本的本数．根据这两个等量关系可列出方程组．解：设共有笔记本x 本，同学y 个．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －6y ＝9，8y －3＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝6. 答：共有45本笔记本，6个同学．方法总结：在方案问题中，要抓住其中不变的量找等量关系，列方程组．【类型五】 图表信息题如以下图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23cm ，小红所搭的小树高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木高y cm ，请求出x 和y 的值．解析：小强搭的积木的高度＝A 的高度×2＋B 的高度×3，小红搭的积木的高度＝A 的高度×3＋B 的高度×2，根据这两个等量关系列出方程组，再求解．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝23，3x ＋2y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5. 方法总结：解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．三、板书设计列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题错误!列方程(组)解应用题是同学们学习中的难点，在教学中注意引导学生如何审题，如何找出解决问题的等量关系．本节课的内容紧密联系实际生活，表达了数学的应用价值，让学生积极参与，提高学习的积极性4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
《解决所列方程组中x、y系数不为1形式的实际问题》教案 (公开课)2022年湘教版数学
第2课时 解决所列方程组中x ，y 系数不都为1形式的实际问题1．掌握列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题；(重点、难点)2．通过列二元一次方程组解决实际问题，培养学生的数学运用能力以及分析问题和解决问题的能力；(难点)3．通过贴近学生生活的素材，激发学生的学习兴趣，增强自信心．一、情境导入学校组织各班开展“阳光体育〞活动，某班体育委员第一次到商店购置了5个毽子和8根跳绳，花费34元，第二次又去购置了3个毽子和4根跳绳，花费18元，求每个毽子和每根跳绳各多少元？二、合作探究探究点：列二元一次方程组解决较复杂问题的应用题 【类型一】 行程问题(2021·攀枝花期末)雅西高速公路于2021年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，求出小汽车和客车的平均速度．解析：设小汽车的速度为x km/h ，客车的速度为y km/h ，根据客车与小汽车的路程之和等于总路程，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，列出方程组即可．解：设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时和y 千米/时，由题意得：错误!解得错误! 答：小汽车的速度为98km/h ，客车的速度为70km/h.方法总结：此题考查了二元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程组解答即可．【类型二】 购物问题某超市为“开业三周年〞举行了店庆活动．对A 、B 两种商品进行打折销售．打折前，购置5件A 商品和1件B 商品需用84元；购置6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购置50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？解析：通过打折前的两个等量关系列方程，从而求出打折前的A 、B 商品的单价．进而算出打折前购置商品所花的钱数，再与打折后所花的钱数相比较，就求出了少花的钱数．解：设打折前A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝84，6x ＋3y ＝108，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4.打折前购置50件A 商品和50件B 商品共需16×50＋4×50＝1000(元)．∴打折后少花1000－960＝40(元)．答：打折后少花40元．方法总结：设未知数时可以直接设未知数，当直接设未知数不方便求解或列出的方程组较复杂时，也可以间接设未知数．要注意的是，间接设未知数时求得的解还需继续计算才能得出最后所要求的结果． 【类型三】 分段计费问题某市为提倡居民节约用水，规定每三口之家每月用水量不得超过20吨，超过局部加价收费．小亮家有三口人，今年4月份用水24吨，交水费46元；5月份用水29吨，，你能知道该市在限定量以内的水费每吨多少元，超过局部的水费每吨多少元吗？解析：此题等量关系为：4月份限定量以内的水费＋超额局部的水费＝46元；5月份限定量以内的水费＋超额局部的水费＝58.5元．根据这两个等量关系列出方程组求出答案．解：设三口之家限定量以内的水费为每吨x 元，超过局部的水费为每吨y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋〔24－20〕y ＝46，20x ＋〔29－20〕y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ＝2.5. 答：该市对三口之家限定量以内的水费每吨，超过局部的水费每吨2.5元．方法总结：一般情况下，分段计费问题的等量关系为：各段内的费用之和为总费用．【类型四】 方案问题将一摞笔记本分给假设干个同学，每个同学分6本，那么剩下9本；每个同学分8本，又差了3本，问共有多少本笔记本、多少个同学？解析：此题中2个等量关系为：笔记本的本数－同学的个数×6＝9，同学的个数×8－3＝笔记本的本数．根据这两个等量关系可列出方程组．解：设共有笔记本x 本，同学y 个．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －6y ＝9，8y －3＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝6. 答：共有45本笔记本，6个同学．方法总结：在方案问题中，要抓住其中不变的量找等量关系，列方程组．【类型五】 图表信息题如下列图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的小塔高度为23cm ，小红所搭的小树高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木高y cm ，请求出x 和y 的值．解析：小强搭的积木的高度＝A 的高度×2＋B 的高度×3，小红搭的积木的高度＝A 的高度×3＋B 的高度×2，根据这两个等量关系列出方程组，再求解．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝23，3x ＋2y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5.方法总结：解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．三、板书设计列二元一次方程组解决错误!较复杂问题的应用题列方程(组)解应用题是同学们学习中的难点，在教学中注意引导学生如何审题，如何找出解决问题的等量关系．本节课的内容紧密联系实际生活，表达了数学的应用价值，让学生积极参与，提高学习的积极性第二课时用坐标表示平移1．掌握用坐标表示点的平移的规律；(重点)2．了解并掌握用坐标表示图形平移的规律与方法．(难点)一、情境导入如图是小丽利用平移设计的一幅作品，说一说平移的特点．你能在坐标系中快速画出这一组图案吗？二、合作探究探究点一：点在坐标系中的平移平面直角坐标系中，将点A(－3，－5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，那么点B的坐标为()A．(1，－8) B．(1，－2)C．(－6，－1) D．(0，－1)解析：利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解．点A的坐标为(－3，－5)，将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，点B的横坐标是－3－3＝－6，纵坐标为－5＋4＝－1，即(－6，－1)．应选C.方法总结：此题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．探究点二：图形在坐标系中的平移【类型一】根据平移求对应点的坐标如图，把△ABC经过一定的平移变换得到△A′B′C′，如果△ABC边上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A ．(a ＋6，b －2)B ．(a ＋6，b ＋2)C ．(－a ＋6，－b )D ．(－a ＋6，b ＋2)解析：根据三对对应点的坐标，得出变换规律，再让点P 的坐标也做相应变化．∵A (－3，－2)，B (－2，0)，C (－1，－3)，A ′(3，0)，B ′(4，2)，C ′(5，－1)，∴△ABC 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到△A ′B ′C ′.∵△ABC 边上点P 的坐标为(a ，b )，∴点P 变换后的对应点P ′的坐标为(a ＋6，b ＋2)．应选B.方法总结：坐标系中图形上所有点的平移变化规律是一致的，解决此类问题的关键是根据对应点找到各对应点之间的平移变化规律． 【类型二】 平移作图如图，在平面直角坐标系中，P (a ，b )是△ABC 的边AC 上一点，△ABC 经平移后点P 的对应点为P 1(a ＋6，b ＋2)．(1)请画出上述平移后的△A 1B 1C 1，并写出点A 、C 、A 1、C 1的坐标；(2)求出以A 、C 、A 1、C 1为顶点的四边形的面积．解析：(1)横坐标加6，纵坐标加2，说明向右移动了6个单位，向上平移了2个单位；(2)以A 、C 、A 1、C 1为顶点的四边形的面积可分割为以AC 1为底的2个三角形的面积．解：(1)△A 1B 1C 1如下列图，各点的坐标分别为A (－3，2)、C (－2，0)、A 1(3，4)、C 1(4，2)；(2)如图，连接AA 1、CC 1.S △AC 1A 1＝12×7×2＝7，S △AC 1C ＝12×7×2＝7，故S 四边形ACC 1A 1＝S △AC 1A 1＋S △AC 1C ＝7＋7＝14.方法总结：坐标系中图形平移的坐标变化规律为：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．求四边形的面积通常转化为求几个三角形的面积的和．探究点三：平面坐标系中点及图形平移的规律探究如图，一个动点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第1秒钟，它从原点运动到(1，0)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)→…，且每秒移动一个单位，那么第2021秒时动点所在位置的坐标是________．解析：方法一：动点运动的规律：(0，0)，动点运动了0秒；(1，1)，动点运动了1×2＝2(秒)，接着向左运动；(2，2)，动点运动了2×3＝6(秒)，接着向下运动；(3，3)，动点运动了3×4＝12(秒)，接着向左运动；(4，4)，动点运动了4×5＝20(秒)，接着向下运动；…于是会出现：(44，44)，动点运动了44×45＝1980(秒)，接着动点向下运动，而2021－1980＝31，故动点的位置为(44，44－31)，即(44，13)．方法二：由题目可以知道，动点运动的速度是每秒钟运动一个单位长度，(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(0，2)用4秒，到(2，2)用6秒，到(2，0)用8秒，到(3，0)用9秒，到(3，3)用12秒，到(0，4)用16秒，依次类推，到(5，5)用30秒．由上面的结论，我们可以得到的第一象限角平分线上的点从(0，0)到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，那么由(n，n)到(n＋1，n＋1)所用时间增加(2n ＋2)秒，这样可以先确定第2021秒时动点所在的正方形，然后就可以进一步推得点的坐标是(44，13)．方法三：该动点每一次从一个轴走到另一个轴所走的步数要比上一次多走一横步，多走一竖步，共多走两步．从(0，0)点走到(0，1)点共要3步，从(0，1)点走到(2，0)点共5步……当n为偶数时，从(0，n－1)点到(n，0)点共走(2n＋1)步；当n为奇数时，从(n－1，0)点到(0，n)点共走(2n ＋1)步，这里n＝1，2，3，4，….∵3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)＝(n＋1)2－1，∴当n＝44时，n(n＋2)＝(n＋1)2－1＝452－1＝2024，离2021最近，此时n为偶数，即该过程是从(0，43)到(44，0－2021＝13，即从(44，0)向上“退〞13步即可．当到2021秒时动点所在的位置为(44，13)．故答案为(44，13)．方法总结：此类归纳探索猜想型问题的解题关键是总结规律，由特殊到一般的归纳思想来确定点所在的大致位置，进而确定该点的坐标．三、板书设计用坐标表示平移：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．通过本课时的学习，学生经历图形坐标变化与图形平移之间的关系的探索过程，掌握空间与图形的根底知识和根本作图技巧，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，培养形象思维能力，激发数学学习的好奇心与求知欲．教学过程中让学生能积极参与数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动的乐趣。
《解决所列方程组中x、y系数不为1形式的实际问题》导学案 湘教版
1.3 二元一次方程组的应用第2课时 解决所列方程组中x 、y 系数不为1形式的实际问题 学习目标：1、会列二元一次方程组解简单的应用题并能检验结果的合理性；2、提高分析问题、解决问题的能力；3、体会数学的应用价值.重点：根据实际问题列二元一次方程组.预习导学——不看不讲学一学：阅读教材P 16的内容。
完成下面问题小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路（回家所走的上坡路长即为去学校的下坡路长）根据问题中涉及的路程、速度与时间的数量关系，可得： 走平路的时间+走下坡的时间=____走上坡的时间+走平路的时间=____设小华家到学校平路长x m ，下坡长ym ．根据等量关系得： ，，解这个方程组．得得⎩⎨⎧==.y x 因此，平路长为 m ，下坡长为 m ，小华家离学校 _m学一学：阅读教材P 16-17的内容议一议：列二元一次方程组解简单的应用题的关键是 。
要注意哪些问题：合作探究——不议不讲互动探究一：两在相距280千米，一般顺流航行需14小时，逆流航行需20小时，求船在静水中速度，水流的速度。
互动探究二：某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？互动探究三：420个零件由甲、乙两人制造。
甲先做2天后，乙加入合作再做2天完成，乙先做2天，甲加入合作，还需3天完成。
问：甲、乙每天各做多少个零件？【当堂检测】：420个零件由甲、乙两人制造。
甲先做2天后，乙加入合作再做2天完成，乙先做2天，甲加入合作，还需3天完成。
问：甲、乙每天各做多少个零件？附加题：为了丰富同学们的课外活动，某校组织了部分学生到郊外进行钓鱼比赛，下表记（1）冠军钓了15条鱼；（2）钓到3条或更多条鱼的选手平均每人钓到6条；（3）钓到12条或更少的选手平均每人钓到5条鱼．问：整个比赛中共钓到多少条鱼？通过学习你有什么收获？还有哪些疑惑，与同学们交流一下。
初中数学湘教版初中七年级下册1.3第1课时解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题课件 (2)(精品).ppt
你觉得该如何答题 比较完整呢？
解得 x=120 y=80
02 横着画，把宽分成两段，则长不变
D
200m
ห้องสมุดไป่ตู้
C 解：过点E作EF⊥AD，交
BC于点F.
x
甲种作物 200x 100m
设DE＝xm，AE＝ym.
E y
F
乙种作物 200y
根据题意列方程组为
x+y=100
A
B
200x:400y=3:4
解得 x=60 y=40
x y 42， 120x 280y. （以下部分由同学们完成）
课堂小结
一般步骤： 审、设、列、解、验、答
列方程组解 决问题
关键：找等量关系
A
B
把一个长方形分成两个小 长方形有哪些分割方式？ 这里研究的实际上是 长方形什的么面积分割 问题. 我们可以画出示意图来帮助分析 01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
02 横着画，把宽分成两段，则长不变
试着画一画
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
D
FC
等量关系式有几个？
A
E
B
1.大长方形的长=200m
解： 设自行车路段的长度为x m，长跑路段的长
度为ym.
x
y
5000,
根据等量关系，得
1x0
y 10
1560.
3
解这个方程组，得
x y
3000, 2000.
因此自行车路段的长度为3000m，
长跑路段的长度为2000m．
例3 某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100kg，现 在有含蛋白质分别为20％，12％的甲乙两种配料．用 这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的 话，它们各需多少千克？
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重庆
北京 上海
400
800
300
500
运费表
单位：（元 / 台）
起点
终点
北京 上海
武汉
400 300
重庆 800 500
解:设从北京运往武汉x台，运往重庆(10-x)台，
设从上海运往武汉y台，运往重庆(4-y)台，
x+ y=6，
400x+ 300y+800(10-x)+ 500(4-y)=8000.
4.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到
外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，
下面有这一古诗为证：
解：设有x个人，y两银，
隔壁听到人分银， 不知人数不知银。 每人五两多六两， 每人六两少五两。 多少人数多少银？
由题意得：
5x+6=y
6x-5=y
x=11
解得：
y=61
5.李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五 香味的和10包原味的共花了146元，乙客户购买 了6包五香的和8包原味的共花了88元 （1）现在老师带了200元，能否买到10包五香牛 肉干和20包原味牛肉干？
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题
意与分析中图示的两个相等关系，得
2x 2 y 4，
0.5x0.5y4.
解方程组，得
x 5，
y
3.
答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江东至 南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能 到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的 速度以及长江水的平均流速.
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示 题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
（1） 同时出发，同向而行
甲2h行程
甲出发点
乙出发点
甲追上乙
4km
乙2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
（2） 同时出发，相向而行
甲0.5h
行程
相遇地 乙0.5h
行程
甲出发点
乙出发点
4km
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
甲种货车的车辆数（辆） 乙种货车的车辆数（辆） 累计运货吨数（吨）
第一次 2 3
15.5
第二次 5 6 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次 刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你 能算出货主应付运费多少元吗？
第一次 第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
5
解：设蔬菜种植x hm2,荞麦种植y hm2
根据题意可列出方程组：
5x 4y 18; 1.5x y 5.
x 2; 解方程组，得： y 2.
故，承包田地的面积为： x+y=4 hm2
人员安排为为： 5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和 荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞 麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用.
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡的时间=____1_0___， 走上坡的时间+走平路的时间= ___1_5___．
方法一（直接设元法） 解：设小华家到学校平路长x m，下坡长y m.
平路 坡路 时间 时间
总 时 间
上学
x 60
x 放学 60
y
80 10
y 40 15
根据题意，可列方程组：
解：设购买的彩色地砖数为x块，购买的单色地砖数
为y块.
根据等量关系得224xx-1512yy. 2220 ,
解这个方程组得
x y
50 , 85.
答：购买彩色地砖数为50块，购买单色地砖数为85块.
3. 某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，
其中每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的172 ， 结果打了14个包还多35本；第二次他们把剩下的书全
解：设刚好买五香味x包，原味y包. 8x 5y 200元
x 200 8y 40 1.6y 5
因为x，y为非负整数
x 32, x 24, x 16, x 8, x 0,
y
Байду номын сангаас
5；
y
10；y
15； y
20； y
25；
知识拓展 6. 汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从
,
解这个方程组得
x y
15 5.
,
答：颐和园门票为15元，园明园门票为5元.
2.王先生家厨房需更换地面瓷砖，他采用两种颜色的砖 搭配使用，其中彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块， 购买的单色地砖数比彩色地砖数的2倍少15块，买两种 地砖共花去2220元.求购买的彩色地砖数和单色地砖数.
甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从
甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（只列方程组）
分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙
15.5
35
解:设甲、乙两种货车每次分别运货x吨、y吨，
2x+ 3y=15.5， 解得
5x+ 6y=35.
x=4， y=2.5.
总运费为：
30×(3x+ 5y)=30×(3×4+ 5×2.5)=735.
例4. 某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低 产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种 进行调整，该种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所 需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种 蔬菜 荞麦
每公顷所需人数 5 4
每公顷投入资金/万元 1.5 1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安 排终止才能使所有人都有工资,且资金正好够用？
将题中出现的量在表格中呈现
作物品种 种植面积/hm2 需要人数 投入资金/万元
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
-----
18
第1章 二元一次方程组 1.3 二元一次方程组的应用
第2课时
学习目标
1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问 题；（重点、难点） 2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.
情景引入
生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和 凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举 出生活中配套问题的例子吗？
97 200
价值 （元）
8 000x
1 000y
解:根据图表，列出方程组 1.5 × 20x+ 1.5×10y=15 000， 1.2 × 110x+ 1.2×120y=97 200.
x=300，
解方程组得 y=400.
8 000x-1 000y-15 000-97 200
=8000×300-1 000×400-15 000-97 200 =1 887 800（元）
一 列方程解决行程问题
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走 80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需 10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路， 一段为下坡路. 平路：60 m/min
1. 某星期日，七年级与八年级分别有20，30人去颐和 园参观，有30，15人去圆明园参观.七年级买门票花 去450元，八年级买门票花去525元.试问：颐和园和 圆明园的门票各多少元？
解：设颐和园门票为x元，园明园门票为y元，
根据等量关系得
20x 30x
30y 450 15y 525.
部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了
11包. 那么这批书共有多少本？
解: 设这批书共有x本，每包书有y本.
7
x 14y 35,
根据等量关系得
12
1-172
x 35 11y.
解这个方程组得
x
1500,
y
60.
答：这批书共有1500本.
x 60
y 80
10
x
y
15.
60 40
解方程组，得
x300 y400
所以，小明家到学校的距离为700米.
方法二（间接设元法） 解：设小华下坡路所花时间为xmin,
上坡路所花时间为ymin.
平路 坡路 距离 距离
上学 60(10 x) 80x
放学 60(15 y) 40 y
解：设五香味每包x元，原味每包y元.
依题意，可列方程组： x 8,
12x 10y 146,
6x 8y 88.
解方程组，得
y
5.
10x 20y 108 205 180元
所以老师带200元能买到所需牛肉干.
（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想 出哪些牛肉干的包数组合形式？
A 铁路120千米
公路10千米
B
· 铁路110千米 长青化
工厂
公路20千米
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关. 设制成x吨产品，购买y吨原料.根据题意填写下表：
产品x吨 原料y吨 合 计