傅里叶变换基本内容

• 2D 锥形函数
[x,y] = meshgrid(linspace(-4,4,251)); r = sqrt(x.*x+y.*y); z = tri(r/3); imwrite(z, 'cone.jpg'); mysurf(x,y,z);
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几种常见的函数
[x] = linspace(-4,4,81); z = tripuls(x,3) plot(x,z);
linspace(x0,x1,n) 其中n代表的是点的数目， 即分成n-1等分。 步长应当是(x1-x0)/(n-1)
注意两者的区别：底部宽度
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现代光学信息处理技术0
0
x0
function z=step(x) %STEP step function. % % step(x) = 0 if x < 0 % = 1/2 if x == 0 % = 1 if x > 0 z = (x>0).*1.0; z(find(x==0)) = 0.5; 为什么会有1/2?， 阶跃函数作用：相当于在某一时刻或某一个点之后打开该函数，又称门函数
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富里叶变换理论
几种常见函数
• MatLab meshgrid函数
» x=-3:3; % choose x-axisd values » y=1:5; % y-axis values » [X,Y]=meshgrid(x,y) X = -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Y=1111111 2222222 3333333 4444444 5555555
富里叶变换理论
几种常见的函数
• sinc函数与 sin c 2 函数对比
x na n 1, 2,3,

• • •
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用于描述1D狭缝的夫琅和费衍射的照度分布 同三角形函数之间存在傅里叶变换关系 两者的面积是相等的，均为a
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几种常见的函数
)
注意当a＝1时 其面积为1
z=ones(size(x)); i=find(x);%返回一个x中包含非零元素的下标的向量 z(i)=sin(pi*x(i))./(pi*x(i)); %现在不是这样，感觉现在的不好，$Date:2004/08/10
[x] = linspace(-4,4,21); • i=find(x==0) %目前版本定义 • x(i)= 1 % • z= sin(pi*x)./(pi*x) %不会出现警告 z(i) = 1 %按上是0，实际是1，所以要再赋值 2014/3/1 现代光学信息处理技术 上述定义可以保证零点出现的的位置 出现在x0na处 sinc函数同矩形函数互为傅里叶变换 面积为a
x [ y [
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Lx
2
: x : : y :
Lx
2
x ] y ]
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Ly
2
Ly
2
函数的离散化
• 函数取样与画图的例子
% function sampling example – Chapter 1 %fun_sample w=0.055; %rectangle half-width (m) L=2; %vector side length (m) M=200; %number of samples dx=L/M; %sample interval (m) x=-L/2:dx:L/2-dx; %coordinate vector f=rect(x/(2*w)); %signal vector figure(1) plot(x,f); %plot f vs x axis([-0.2 0.2 0 1.5]); xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)' );
相关的定义及性质
– – – – 定义 物理意义 性质 卷积的MATLAB实现
• 空间频率 • FT定义及其存在条件
– – – – – – – – 定义及存在条件 广义傅里叶变换 虚、实、奇、偶函数FT的性质 可分离函数的FT FT-BESSAL变换 周期函数的变换 几种常用函数的傅里叶变换 几种常见图形的FT
• 高斯函数
x x 2 gaus( ) exp ( ) a a
function y=gaus(x) % GAUS exp(-pi*x.*x) function. % By default, the GAUS d is 1. y=exp(-pi*x.*x);
高斯函数面积计算代码 x=-4:8/200:4;!linspace(-2.2,2.2,200) gauss=exp(-3.14159*x.^2) est=trapz(x,gauss) % = trapz(X,Y) 注意当a＝1时其面积为1
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函数的离散化
g(x ,y ) g(mx ,my )
m M
2 , ,
M
2
1，n
N
2
, ,
N
2
1 (M N个取样点）
注意M，N在本门课中一律偶数
Lx M x ,Lx N y ,为函数的宽度
D x Lx ,D y Ly(D x ,D y 为函数的有效数据区）
x0 和b一定要具有相同的单位或量纲，这个条件隐含在本课程的 所有定义同图形中
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几种常用的函数
• 阶跃函数
1, 1 step( x ) , 2 0, x0 x0 x0
1
x x0 step ( ) 1
1/2
step(
1
x x0 ) 1
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地址:教三 331 电子邮件:moip.zju@
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1、傅里叶变换基本内容
• 1 函数的离散化 • 几种常用函数及其 MATLAB实现
– – – – – – – 阶跃函数 符号函数 矩形函数 三角形函数 sinc函数 高斯函数 园域函数 2 •
机中的快门，矩形透光孔，图像 处理中感兴趣块的抽取
a a x rect step x step x 2 2 a
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几种常用的函数
• 三角形函数
x x tri( ) 1 a , x a a 其它 0,
y = (x>0).*1.0; Y=(x<0).*(-1.0) y(find(x==0)) = 0;
sign( x) 2 * step( x) 1
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几种常用的函数
• 矩形函数
a 1 , x 2 x rect( ) a a 0.5 x 2 0, 其它
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几种常用的函数
• 符号函数
1, x 0 sign( x) 0, x 0 1, x 0
1
sgn(
x x0 ) b
1
sgn(
x x0 ) 1
x0
0 0
x0
function y=sign(x) %SIGN Signum function. % For each element of X, SIGN(X) returns 1 if the element % is greater than zero, 0 if it equals zero and -1 if it is % less than zero. For the nonzero elements of complex X, % SIGN(X) = X ./ ABS(X). ？？？？ % Copyright 1984-2002 The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.8 $ $Date: 2002/04/08 20:11:24 $ % Built-in function.
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几种常用的函数
• 数学函数记号意义
x x0 y f( ) b
x0：是一个实常数，往往决定函数沿x轴的位置，可以是负数， 0，正数 b：是一个定标因子，它调节函数关于x-x0的宽度同取向 但宽度对阶跃函数、符号函数不成立 各种函数的面积刚好==|b|（一个不一定满足的因子）
function z = rect(x) %rect Sampled aperiodic rectangle generator. % rect(t) generates samples of a continuous, aperiodic, % unity-height rectangle at the points specified in array t, centered % about t=0. By default, the rectangle has width 1. % rect(t) generates a rectangle of width 1. 注意: 其宽度为1，高度为1，面积也为1 % Returns unity in interval [-1/2,+1/2) a的意义： x= abs(x); 0.5的意义 z = (x<1/2)*1.0 ; 应用：电子电路中的闸门，照相 z(find(x==1/2)) = 0.5;