事件的独立性
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概率与统计课程教案
授课题目(教学章、节或主题):第一章第四节事件的独立性
教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次):
理解事件独立性的概念,掌握应用事件独立性进行概率计算的方法
教学重点及难点:
应用事件独立性进行概率计算
课时安排:2课时
授课方式:讲授
教学基本内容:
一、事件的独立性(Independence of events)
设A,B是两个事件,一般而言)
P
A
A
P≠,这表示事件B的发生对事件A的
|
(
)
(B
发生的概率有影响,只有当)
P
A
P=时才可以认为B的发生与否对A的发生毫无影
A
(
(B
)
|
响,这是就称两事件是独立的。这时,由条件概率可知,
B
P
P
P
A
B
A
B
=
P
P=
AB
P
P
A
=
(
(
)
(
(B
)
)
)
)
(
)
(
(
|
)
由此,我们引出下面的定义。
定义若两事件A,B满足)
P
A
P=,则称A,B相互独立(Mutual
P
AB
)
(
(
)
(B
independence)。
定理若四对事件}
B
A
A
{B
B
,
A中有一对是相互独立的,则另外三
A
B
},
},
{
,
{
,
,
},
{
对也是相互独立的.
在实际问题中,我们一般不用定义来判断两事件A,B是否相互独立,而是相反,从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联,是否独立?如果独立,就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。
例1两门高射炮彼此独立的射击一架敌机,设甲炮击中敌机的概率为0.9,乙炮击中敌机的概率为0.8,求敌机被击中的概率?
解设A={甲炮击中敌机},B={乙炮击中敌机},那么{敌机被击中}=B
A ;因为A与B相互独立,所以,有
=+-=+-=
()()()()()()()()
P A B P A P B P AB P A P B P A P B
9.0=
-
+
8.0
⨯
98
.0
8.0
9.0
Note:事件的独立性与互斥是两码事,互斥性表示两个事件不能同时发生,而独立性则表示他们彼此不影响。
定义设C
,是三个事件,如果满足:
B
A,
)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===
则称这三个事件C B A ,,是两两独立的。
定义 设C B A ,,是三个事件,如果满足:
)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===,
)()()()(C P B P A P ABC P =
则称这三个事件C B A ,,是相互独立的。(
三个事件相互独立一定是两两独立的,但两两独立未必是相互独立。
例2 一产品的生产分4道工序完成,第一、二、三、四道工序生产的次品率分别为2%、3%、5%、3%,各道工序独立完成,求该产品的次品率?
解 设A={该产品是次品},i A ={第i 道工序生产出次品},I=1,2,3,4,则
12341234()1()1()1()()()()P A P A P A A A A P A P A P A P A =-=-=-=
1(10,02)(10.03)(10.05)(10.03)0.124-----=
事件的相互独立性概念可推广到多个事件的情形:
练习1 某电台有若干台发射机, 每台发射机都独立地运行,正常工作的概率都是0.8. 问电台至少需要几台发射机才能保证正常工作的概率达到99%以上.
根据所设,所求为 P (A )>0.99. 至少有一台发射机正常工作,则电台才能正常工作,故是一个和事件的概率,用摩根律可以将和事件转化成积事件,利用事件的独立性,就可以求得结果. 只要有一台发射机正常工作,则电台就能正常工作.
设有n 台发射机,A ={电台正常工作},又设A k ={第k 台发射机正常工
作},k =1,2,…,n . 根据事件的和之定义,A 1+A 2+…+A n 表示至少有一台发射机正常工作,则A 发生,故P (A )= P (A 1+A 2+…+A n ).
2. 加工某种零件需要经过4道工序. 假设第1,2,3,4道工序出不合格品的概率分别是2%,4%,5%,3%. 假设各道工序是互不影响的,求加工的零件是合格品的概率.
3. 一个工人看管三台机床,在一小时内不需要工人照管的概率: 第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.7,求在一小时内,
(1) 三台机床都不需要工人照管的概率;