事件的独立性

概率与统计课程教案
授课题目（教学章、节或主题）：第一章第四节事件的独立性
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算的方法
教学重点及难点：
应用事件独立性进行概率计算
课时安排：2课时
授课方式：讲授
教学基本内容：
一、事件的独立性(Independence of events)
设A，B是两个事件，一般而言)
P
A
A
P≠，这表示事件B的发生对事件A的
|
(
)
(B
发生的概率有影响，只有当)
P
A
P=时才可以认为B的发生与否对A的发生毫无影
A
(
(B
)
|
响，这是就称两事件是独立的。

这时，由条件概率可知，
B
P
P
P
A
B
A
B
=
P
P=
AB
P
P
A
=
(
(
)
(
(B
)
)
)
)
(
)
(
(
|
)
由此，我们引出下面的定义。

定义若两事件A，B满足)
P
A
P=,则称A，B相互独立(Mutual
P
AB
)
(
(
)
(B
independence)。

定理若四对事件}
B
A
A
{B
B
,
A中有一对是相互独立的，则另外三
A
B
},
},
{
,
{
,
,
},
{
对也是相互独立的.
在实际问题中，我们一般不用定义来判断两事件A，B是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联，是否独立？如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。

例1两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率？
解设A={甲炮击中敌机}，B={乙炮击中敌机}，那么{敌机被击中}=B
A ；因为A与B相互独立，所以，有
=+-=+-=
()()()()()()()()
P A B P A P B P AB P A P B P A P B
9.0=
-
+
8.0
⨯
98
.0
8.0
9.0
Note：事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。

定义设C
,是三个事件，如果满足：
B
A,
)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===
则称这三个事件C B A ,,是两两独立的。

定义 设C B A ,,是三个事件，如果满足：
)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===,
)()()()(C P B P A P ABC P =
则称这三个事件C B A ,,是相互独立的。

(
三个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立未必是相互独立。

例2 一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率分别为2%、3%、5%、3%，各道工序独立完成，求该产品的次品率？
解 设A={该产品是次品}，i A ={第i 道工序生产出次品}，I=1,2,3,4,则
12341234()1()1()1()()()()P A P A P A A A A P A P A P A P A =-=-=-=
1(10,02)(10.03)(10.05)(10.03)0.124-----=
事件的相互独立性概念可推广到多个事件的情形：
练习1 某电台有若干台发射机， 每台发射机都独立地运行，正常工作的概率都是0.8. 问电台至少需要几台发射机才能保证正常工作的概率达到99％以上.
根据所设，所求为 P (A )>0.99. 至少有一台发射机正常工作，则电台才能正常工作，故是一个和事件的概率，用摩根律可以将和事件转化成积事件，利用事件的独立性，就可以求得结果. 只要有一台发射机正常工作，则电台就能正常工作.
设有n 台发射机，A ＝{电台正常工作}，又设A k ＝{第k 台发射机正常工
作},k =1,2,…,n . 根据事件的和之定义，A 1+A 2+…+A n 表示至少有一台发射机正常工作，则A 发生，故P (A )= P (A 1+A 2+…+A n ).
2. 加工某种零件需要经过4道工序. 假设第1，2，3，4道工序出不合格品的概率分别是2%,4%,5%,3%. 假设各道工序是互不影响的，求加工的零件是合格品的概率.
3. 一个工人看管三台机床，在一小时内不需要工人照管的概率： 第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，求在一小时内，
(1) 三台机床都不需要工人照管的概率；
(2)三台机床中至多有一台需要工人照管的概率.
4. 甲、乙二人独立地射击同一个目标，命中的概率分别为0.9和0.8. 现在每人射击一次，求下列事件的概率：
(1) 二人都命中；
(2) 甲命中而乙未命中；
(3) 目标被击中；
(4) 只有一人命中.
参考书目：
1．吴赣昌，大学数学立体化教材：概率论与数理统计（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月。

2．盛骤，谢式千等，概率论与数理统计（第三版），高等教育出版社，2003年2月。

作业和思考题：
作业：P23 21-27
思考题：若事件A与B满足AB＝ ，那么事件A与B独立吗？
一般不对立. AB＝ ，表明事件A与B互不相容. 一般地，互不相容的两事件不会独立.
(1) 当A ，B 时，A与B独立，有P(AB)＝P(A)P(B)，
不可能得到AB＝ . 反之，若A ，B 时，AB＝ ，则有P(AB)=0，那么就不可能有P(AB)=P(A)P(B).
(2) 必然事件U与任何事件独立，因为任意事件A，有P(UA)=P(U)P(A).
(3) 不可能事件 与任何事件独立，因为任意事件A，有P(
A)=P( )P(A).
课后小结：。