高三二轮复习(理数) 第一讲 空间几何体(作业)(Word版,含答案)
高考数学二轮复习学案：第二部分专项二专题四1第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积含答案
27 A. 2 π
27 3 B. 2 π
C．27 3π
D ．27π
【 解析 】 因为三棱锥 P-ABC 中，△ ABC 为等边三角形， PA＝PB
＝PC ＝3，所以 △ PAB≌△ PBC ≌△ PAC .因为 PA⊥ PB，所以 PA⊥PC，
PC⊥ PB.以 PA，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体 (如图所示 )， 则正方体的外接球同时也是三棱锥 P-ABC 的外接球．因为正方体的体
专题四 立体几何与空间向量 第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
年份 2018 2017 2016
卷别 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅱ
卷Ⅲ
考查内容及考题位置 空间几何体的三视图及侧面展 开问题 ·T 7 空间几何体的截面问题 ·T 12 圆锥的侧面积 ·T16 三视图的识别 ·T3 三棱锥的体 积及外接球问题 ·T 10 空间几何体的三视图与直观图、 面积的计算 ·T7 空间几何体的三视图及组合体 体积的计算 ·T4 球的内接圆柱、 圆柱的体积的计 算 ·T 8 有关球的三视图及表面积的计 算 ·T 6 空间几何体的三视图及组合体 表面积的计算 ·T6 空间几何体的三视图及组合体 表面积的计算 ·T9 直三棱柱的体积最值问题· T 10
3
3
6
S＝
4πr 2＝
2
π 3
.故选
C.
【 答案 】 C
求解多面体的内切球的问题， 一般是将多面体分割为以球心为顶点， 面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．
命题角度三 与球有关的最值问题
多面体的各面为底
(2018 ·高考全国卷 Ⅲ )设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ ABC
高中数学必修2第一章《空间几何体》单元练习题(含答案)
高中数学必修2 第一章《空间几何体1》单元练习题一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）B.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125π D．都不对4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）AB2 C．235．在△ABC中，02, 1.5,120AB BC ABC==∠=,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.92π B.72π C.52π D.32π6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A．130 B．140 C．150 D．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，主视图左视图俯视图顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是___________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
人教版高中数学必修2第一章-空间几何体练习题及答案(全)
人教版高中数学必修2第一章-空间几何体练习题及答案(全)第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构一、选择题1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是（）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（）A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。
图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面。
则“祝”“你”“前”分别表示正方体的—————祝你前程似锦一、选择题1、两条相交直线的平行投影是（）A 两条相交直线B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A ②①③B ①②③C ③②④D ④③②。
【金版学案】高考数学文科二轮复习习题：专题立体几何第一讲空间几何体含答案
第一讲空间几何体空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原几何体的面积、体积，常以选择题、填空题的形式考查，预测2016年高考会出现给出几何体的三视图，求原几何体的表面积或体积的选择题或填空题.柱、锥、台、球的概念柱、锥、台、球的结构特征列表如下：几何体几何特征图形多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台(续上表) 旋转体圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱圆锥以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫做圆台球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体1．空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图和俯视图．2．在三视图中，正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽．多面体与旋转体的表面积与体积的计算1．多面体的表面积．多面体的表面积为各个面的面积之和．2．旋转体的表面积．(1)圆柱的表面积S＝2πr(r＋L)；(2)圆锥的表面积S＝πr(r＋L)；(3)圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′L＋rL)；(4)球的表面积S＝4πR2．3．体积公式．(1)柱体的体积V＝Sh．(2)锥体的体积V＝13Sh．(3)台体的体积V＝13(S′＋S′S＋S)h．(4)球的体积V＝43πR3．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°(×)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(×)(5)圆柱的侧面展开图是矩形．(√)(6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．(√)1．(2015·新课标Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(B)A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：设米堆的底面半径为r尺，则π2r＝8，所以r＝16π，所以米堆的体积为V＝14×13π·r2·5＝π12×⎝⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.2．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(C)A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：作出三棱锥的示意图如图，在△ABC 中，作AB 边上的高CD ，连接SD.在三棱锥S-ABC 中，SC ⊥底面ABC ，SC ＝1，底面三角形ABC 是等腰三角形，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝2，AD ＝BD ＝1，斜高SD ＝5，AC ＝BC ＝ 5.∴ S 表＝S △ABC ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △SAB ＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5. 3．(2014·全国大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是(A )A .81π4B ．16πC ．9πD .27π4解析：由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为E ，则OE 垂直棱锥底面，OE ＝4－R ，所以(4－R)2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝81π4. 4．(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(B )A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2解析：根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.故选B.。
高考数学(理)二轮专题练习【专题5】(1)空间几何体(含答案)
第 1 讲空间几何体考情解读 1.以三视图为载体，考察空间几何风光积、体积的计算.2.考察空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2．空间几何体的三视图(1)三视图的正 (主) 视图、侧 (左 )视图、俯视图分别是从物体的正前面、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图摆列规则：俯视图放在正视图的下边，长度与正视图同样；侧视图放在正视图的右边，高度和正视图同样，宽度与俯视图同样．(3)画三视图的基本要求：正俯同样长，俯侧同样宽，正侧同样高．看不到的线画虚线．3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：(1) 原图形中x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、 y′轴的夹角为45°(或 135 °)， z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变成本来的一半．4．空间几何体的两组常用公式(1) 柱体、锥体、台体的侧面积公式：① S 柱侧 ＝ ch(c 为底面周长， h 为高 )；②S 锥侧＝ 1 c h ′(c 为底面周长， h ′为斜高 )；2③S 台侧＝1(c ＋ c ′)h ′(c ， c 分别为上，下底面的周长， h ′为斜高 )； 2④S 球表＝ 4πR 2(R 为球的半径 ) ．(2) 柱体、锥体和球的体积公式：① V 柱体 ＝ Sh(S 为底面面积， h 为高 )；1② V 锥体 ＝3Sh(S 为底面面积， h 为高 ) ；1③ V 台 ＝3( S ＋ SS ′＋ S ′)h(不要求记忆 )；④ V 球 ＝43πR 3.热门一例 1三视图与直观图某空间几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为()8A. 3B ． 832C. 3D ．16(2)(2013 四·川 )一个几何体的三视图如下图，则该几何体的直观图能够是()思想启示(1) 依据三视图确立几何体的直观图；(2)剖析几何体的特点，从俯视图打破．答案(1)B(2)D分析(1) 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：则该几何体的体积V＝12×2×2×4＝ 8.(2)由俯视图易知答案为 D.思想升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上边用平行投影的方法获得的三个平面投影图，所以在剖析空间几何体的三视图问题时，先依据俯视图确立几何体的底面，而后依据正视图或侧视图确立几何体的侧棱与侧面的特点，调整实线和虚线所对应的棱、面的地点，再确立几何体的形状，即可获得结果．(1)(2013·标全国Ⅱ课)一个四周体的极点在空间直角坐标系O－ xyz中的坐标分别是 (1,0,1) ， (1,1,0) ， (0,1,1)， (0,0,0) ，画该四周体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则获得的正视图能够为()(2) 将长方体截去一个四棱锥，获得的几何体如下图，则该几何体的侧视图为()答案(1)A(2)D分析(1) 依据已知条件作出图形：四周体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，能够看出正视图为正方形，如图(2) 所示．应选 A.(2) 如下图，点D1的投影为C1，点 D 的投影为C，点 A 的投影为 B，应选 D.热门二例 2几何体的表面积与体积(1)某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为()A. 2π B ． 2 2ππ2πC.3D. 3(2)如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD － A1B1C1D1中，E，F 分别在 C1D1与 C1B1上，且 C1E＝ 4，C1F ＝3，连结 EF ， FB，DE ，则几何体EFC 1－ DBC 的体积为 ()A ．66B．68C． 70D．72思想启示(1) 由三视图确立几何体形状；(2)对几何体进行切割．答案 (1)D (2)A分析 (1) 由三视图知，原几何体是两个同样的圆锥的组合，∴V＝ (1×π×12 ) ×2＝2π. 33(2) 如图，连结 DF ， DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被切割成三棱锥 D －EFC 1 及四棱锥 D － CBFC 1，那么几何体1 1 1 1 ×6×6EFC 1－ DBC 的体积为 V ＝ × ×3×4×6＋× ×(3＋ 6)3 23 2＝ 12＋54＝ 66.故所求几何体 EFC 1 －DBC 的体积为 66.思想升华(1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，重点是确立几何体的有关数据，掌握应用三视图的 “长对正、高平齐、宽相等 ”； (2) 求不规则几何体的体积，常用 “割补 ”的思想．多面体 MN － ABCD 的底面 ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，此中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )16＋ 38＋ 6 3 A.3B.316 20 C. 3D. 3答案 D分析 过 M ， N 分别作两个垂直于底面的截面，将多面体切割成一个三棱柱和两个四棱锥，1由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形， 面积为 S 1＝ 2×2×2＝2，高为 2，所以体积为 V 1＝ 4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为 1 8 8＋4V 1＝ 2××2×1×2＝ ，所以多面体的体积为 V ＝3 3 3＝ 203，选 D.热门三 多面体与球例 3如下图，平面四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ＝ CD ＝1， BD ＝ 2，BD ⊥ CD ，将其沿对角线 BD 折成四周体 ABCD ，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，若四周体 ABCD 的极点在同一个球面上，则该球的体积为 ()32A. 2 π B ． 3π C. 3 π D ． 2π思想启示要求出球的体积就要求出球的半径，需要依据已知数据和空间地点关系确立球心的地点，因为 △BCD 是直角三角形，依据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个极点的距离相等，只需再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B ，C ，D 的距离即可确立球心，从而求出球的半径，依据体积公式求解即可．答案 A分析如图，取 BD 的中点 E， BC 的中点 O，连结AE， OD， EO， AO.由题意，知 AB＝ AD ，所以 AE⊥ BD . 因为平面 ABD ⊥平面 BCD， AE⊥ BD，所以 AE⊥平面 BCD .因为 AB＝ AD＝ CD＝ 1， BD ＝2，2 1所以 AE＝2， EO＝2.3所以OA＝2.1 3在 Rt△ BDC 中， OB＝OC＝ OD＝2BC＝2，所以四周体 ABCD 的外接球的球心为O，半径为所以该球的体积4π(3 3＝3V＝2)2π.应选 A.332.思想升华多面体与球接、切问题求解策略(1) 波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点( 一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转变成平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径 )与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点 P，A，B，C 组成的三条线段 PA，PB，PC 两两相互垂直，且 PA＝ a，PB ＝ b，PC＝ c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝ a2＋ b2＋ c2求解．(1)(2014 ·湖南 )一块石材表示的几何体的三视图如下图．将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于()A ．1B．2C．3D．4(2) 一个几何体的三视图如下图，此中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的全部极点在同一球面上，则球的表面积是 ________．1答案(1)B (2)3π分析(1) 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如下图．由题意知，当打磨成的球的大圆恰巧与三棱柱底面直角三角形的内切圆同样时，该球的半1径最大，故其半径 r ＝×(6＋ 8－ 10)＝ 2.所以选 B.2(2) 由三视图可知，该几何体是四棱锥 P－ ABCD (如图 )，此中底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，11PA⊥底面 ABCD ，且 PA＝1，∴该四棱锥的体积为V＝3×1×1×1＝3.又 PC 为其外接球的直径，∴ 2R＝ PC＝3，则球的表面积为S＝ 4πR2＝ 3π.1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，在外的全部面的面积，在计算时要注意划分是表面积就是全面积，“侧面积仍是表面积是一个空间几何体中“裸露” ”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球以外，都是其侧面积和底面面积之和．2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，所以体积计算中的重点一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特点图”和旋转体中的轴截面．3．一些不规则的几何体，求其体积多采纳切割或补形的方法，从而转变成规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形 )、复原补形 (即还台为锥 )和联系补形 (某些空间几何体固然也是规则几何体，可是几何量不易求解，可依据其所拥有的特点，联系其余常有几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解 )．4．长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2＋ b2＋ c2＝ 2R；(2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝ 2R.真题感悟1．(2014·京北 )在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2,0,0) ，B(2,2,0) ，C(0,2,0) ，D (1,1，2)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则() A ．S1＝ S2＝ S3B．S2＝S1且S2≠S3C ． S 3＝S 1 且 S 3≠S 2D ． S 3＝ S 2 且 S 3≠S 1答案 D分析如下图， △ ABC 为三棱锥在座标平面 xOy 上的正投影，所以1S 1＝2×2×2＝2.三棱锥在座标平面 yOz 上的正投影与 △ DEF (E ， F 分别为 OA ， BC 的中点 )全等，所以 S 2＝12×2× 2＝ 2.三棱锥在座标平面xOz 上的正投影与 △ DGH (G ，H 分别为 AB ， OC 的中点 )全等，1所以 S 3＝2×2× 2＝ 2.所以 S 2＝ S 3 且 S 1≠S 3.应选 D.2．(2014 江·苏 )设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S 1，S 2，体积分别为 V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1＝ 9，则V 1的值是 ________．S 2 4V 2答案32分析设两个圆柱的底面半径和高分别为r ， r 和 h ， h ，由S 1＝ 9，1212S 2 4得 πr 129 ，则 r 13πr 2＝ r 2＝ .2 4 2由圆柱的侧面积相等，得 2πr 1h 1 ＝2πr 2 h 2，即 r 1h 1＝ r 2h 2，则h 1＝ 2，h 2 3 所以V 1 πr 12 h 132 ＝πr 222 ＝ .Vh2押题精练1．把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，连结AC ，获得三棱锥 C － ABD ，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如下图 ) ，则其侧视图的面积为 ( )31 A.2 B. 22C ．1D. 2答案B分析在三棱锥 C－ ABD 中，C 在平面 ABD 上的投影为 BD 的中点 O，∵正方形边长为11. 2，∴ AO＝OC＝ 1，∴侧视图的面积为 S△AOC＝×1×1＝222．在三棱锥 A－ BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ ABC，△ ACD ，△ ABD 的面积分别为2，3，6，则三棱锥 A－ BCD 的外接球体积为 ()222A. 6π B ． 2 6π C． 3 6π D． 4 6π答案A分析如图，以 AB， AC， AD 为棱把该三棱锥扩大成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴ 三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．AB·AC＝2，AB＝ 2，据题意AC·AD ＝3，解得AC＝ 1，AB·AD ＝6，AD＝ 3，∴长方体的体对角线长为AB 2＋ AC2＋ AD 2＝6，6∴三棱锥外接球的半径为 2 .4 6 3∴三棱锥外接球的体积为 V＝π·() ＝ 6π.3 2(介绍时间：50分钟)一、选择题1．已知正三棱锥V－ ABC 的正视图和俯视图如下图，则该三棱锥的侧视图的面积为()A ．2B ． 4C． 6 D ． 8答案C分析如图，作出正三棱锥V－ ABC 的直观图，取BC 边的中点D，连结VD ，AD，作 VO⊥ AD 于 O.联合题意，可知正视图实质上就是△VAD，于是三棱锥的棱长VA＝ 4，从俯视图中能够获得底面边长为23，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为2 3，高为棱锥的高VO.因为 VO＝42－232＝2 3.3×2 3×2于是侧视图的面积为12×2 3×2 3＝ 6，应选 C.2．右图是棱长为 2 的正方体的表面睁开图，则多面体ABCDE 的体积为 ()2A ．2 B. 348C.3D. 3答案D分析多面体 ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝ 4－4＝8，选 D. 333．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为()A ．15＋3 3B ． 93C．30＋6 3D．183答案B分析由三视图知几何体是一个底面为 3 的正方形，高为3的斜四棱柱，所以 V＝ Sh＝ 3×3×3＝9 3.4．已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧 (左 )视图如下图．当正(主 )视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为()A ．8B．8＋8 2C． 82D．4＋8 2答案B分析由题意可知该正四棱锥的直观图如下图，其主视图与左视图相同，设棱锥的高为h ，则 a2＋ h2＝ 4.故其主视图的面积为S＝1·2a·h＝2 a2＋ h2＝2，即当 a＝ h＝2时， S 最大，此时该正四棱锥的表面积ah≤2S 表＝(2a)21＋ 4× ×2a×22＝8＋ 8 2，应选 B.5．某几何体的三视图如下图，此中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆，该几何体的体积为()A.33 π B.36 π C.32πD. 3π答案分析A三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，而后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h＝22－ 12＝ 3.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V 圆锥＝ 13πr2h＝13π×12×3＝33 π故.选A.6． (2014·纲领全国)正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()81π27πA.4B． 16πC． 9π D.4答案A分析如图，设球心为O，半径为r ，则 Rt△ AOF 中， (4－ r )2＋ ( 2) 2＝ r 2，解得 r ＝9 4，292 81∴ 该球的表面积为 4πr ＝4π×(4) ＝ 4 π.二、填空题7．有一块多边形的菜地，它的水平搁置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 (如下图 ) ，∠ ABC ＝ 45°， AB ＝ AD ＝ 1 ， DC ⊥ BC ，则这块菜地的面积为________．答案2＋22分析如图，在直观图中，过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为 E ，则在 Rt △ ABE 中， AB ＝ 1， ∠ ABE ＝ 45°， ∴ BE ＝ 22.而四边形 AECD 为矩形， AD ＝ 1，∴ EC ＝ AD ＝ 1， ∴ BC ＝ BE ＋ EC ＝ 22＋ 1.由此可复原原图形如图．在原图形中， A ′D ′＝ 1，A ′B ′＝ 2， B ′C ′＝ 22＋ 1，且 A ′D ′∥B ′C ′， A ′B ′⊥ B ′C ′，1∴ 这块菜地的面积为S ＝ 2(A ′D ′＋ B ′C ′A)′·B ′12 2＝ 2×(1＋ 1＋ 2 ) ×2＝2＋ 2 .8．如图， 侧棱长为 2 3的正三棱锥 V －ABC 中，∠AVB ＝∠ BVC ＝∠ CVA ＝40°，过 A 作截面△AEF ，则截面△AEF 的周长的最小值为____________ ． 答案 6分析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 V － ABC 睁开在一个平面内，如图．则 AA ′即为截面 △ AEF 周长的最小值，且 ∠ AVA ′＝ 3×40°＝ 120°.在 △ VAA ′中，由余弦定理可得 AA ′＝ 6，故答案为 6.9．如图，正方体ABCD － A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，E ， F 分别为线段 AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－ EDF 的体积为 ______．答案 16分析VD 1 EDFV FDD 1E1S D 1DE AB31 1 1＝ × ×1×1×1＝ .3 2610．已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把 △ ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球的表面积等于________．答案16π分析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝ 8，此时2a＋ 2b≥4 ab＝ 8 2，当且仅当a＝b ＝ 2 2时等号建立，此时四边形ABCD为正方形，此中心到四个极点的距离相等，均为2，无论如何折叠，其四个极点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是4π×22＝ 16π.三、解答题11．已知某几何体的俯视图是如下图的矩形，正视图是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，极点在底面的投影是矩形中心的四棱锥 E－ ABCD .1(1) V＝3×(8 ×6) ×4＝64.(2) 四棱锥 E－ ABCD的两个侧面EAD ， EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h1＝42＋82＝4 2；2另两个侧面 EAB， ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高 h2＝42＋62＝ 5.2所以 S＝2×(11×8×5)＝ 40＋ 24 2.×6×4 2＋2212．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝ BC＝ 4，点 E 在线段 AB 上．过点 E 作 EF ∥BC 交 AC 于点 F，将△ AEF 沿 EF 折起到△PEF 的地点 (点 A 与 P 重合 )，使得∠ PEB ＝ 30°.(1)求证： EF⊥ PB；(2)试问：当点 E 在哪处时，四棱锥P— EFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P— EFCB 的体积．(1)证明∵ EF∥ BC且BC⊥ AB，∴EF⊥ AB，即 EF⊥ BE， EF⊥ PE.又 BE∩PE＝ E，∴EF⊥平面 PBE，又 PB? 平面 PBE，∴EF⊥ PB.(2) 解设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.1∴S△PEB＝2BE ·PE·sin∠PEB11x＋ y 2＝ xy≤＝ 1.442当且仅当x＝ y＝ 2 时， S△PEB的面积最大．此时， BE ＝PE＝ 2.由 (1)知 EF⊥平面 PBE，∴平面 PBE ⊥平面 EFCB ，在平面 PBE 中，作 PO⊥ BE 于 O，则 PO⊥平面 EFCB .即 PO 为四棱锥P— EFCB 的高．1又 PO＝ PE·sin 30 ＝°2×＝ 1.21S EFCB＝2×(2＋ 4) ×2＝6.1∴VP—BCFE ＝3×6×1＝2.。
新版高三数学(理)二轮复习：专题十 空间几何体 Word版含解析
新版高三数学（理）二轮复习：专题十空间几何体 Word版含解析1 1 专题十空间几何体(见学生用书P64)(见学生用书P64)1．常见的空间几何体常见的几何体有：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球． 2．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是正视图、侧视图、俯视图． 3．空间几何体的表面积与体积(1)棱柱的体积V＝Sh．其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高，1棱锥的体积V＝3Sh，其中S、h分别表示棱锥的底面积和高．(2)圆柱的表面积S＝2πr(r＋h)、体积V＝πr2・h，其中r、h分别为圆柱底面的半径和高．1(3)圆锥的表面积S＝πr(l＋r)、体积V＝3πr2h，其中r、l、h分别为圆锥底面的半径、母线长、锥高．1(4)圆台的表面积S＝π(r2＋R2＋rl＋Rl)、体积V＝3(S′＋S′S″＋S″)h，其中r、R、l、h分别为圆台上底面的半径、下底面的半径、母线长、圆台的高，S′和S″分别为上、下底面的面积．4(5)球的表面积S＝4πR、体积V＝3πR3，其中R为球的半径．2(见学生用书P64)考点一空间几何体的三视图考点精析1．在描绘三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线画出，即“眼见为实，不见为虚”，在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．2．由空间几何体的三视图画直观图时，注意抓住“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，由三视图画出直观图后要验证其是否正确．例 1－1(20xx・北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B.2 C.3 D．2 考点：由三视图还原实物图．分析：由几何体的三视图画出直观图，并根据直观图的特点判断和计算．解析：将三视图还原成几何体的直观图，如图，由三视图可知，底面ABCD是边长为1的正方形，SB⊥底面ABCD，SB＝AB＝1，由勾股定理可得SA＝SC＝2，SD＝SB2＋DB2＝1＋2＝3，故四棱锥中最长棱的棱长为3，故选C.答案：C点评：本题考查了几何体的三视图，考查了逻辑推理能力、空间想象能力，求解计算能力，是基础题．例 1－2 (20xx・湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 考点：画出三视图．分析：在空间直角坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解析：在空间直角坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②.答案：D规律总结纵观这几年的高考试题，有关三视图的内容已成为高考的一个热点，试题主要以选择、填空题的形式出现，主要考查三视图的识别与判断问题，以及逆向思维能力．变式训练【1－1】 (20xx・江西卷)一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析：该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.答案：B考点二空间几何体的表面积与体积考点精析1．求表面积与体积的关键是分清几何体是多面体还是旋转体，是否能直接利用公式求解，不能用公式直接求解的可采用割补法、等价转化法求解，注意表面积与侧面积的区别．2．常见问题是几何体的表面积与体积的计算公式记忆不准确，导1致错用公式，尤其是锥体体积公式中往往容易漏掉3.例 2－1(20xx・安徽卷)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高考数学二轮复习专题四立体几何第一讲空间几何体能力训练理
第一讲 空间几何体一、选择题1．(2018·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．故选D.答案：D2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1、O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：设圆柱的轴截面的边长为x ，则由x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. 答案：B3．(2018·合肥模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为4π×12＋12×2×π×1×3＋2×12×π×12＋3×2＝8π＋6.故选C. 答案：C4．(2018·沈阳模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D ．83解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P ABCD ，如图所示，其中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且PA ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×(12×2×2＋12×2×22)＝4＋42，故选A.答案：A5．(2018·聊城模拟)在三棱锥P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120˚，PA ＝AB ＝AC ＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．103πB ．18πC ．20πD ．93π解析：该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P ABC ，PA ＝AB ＝AC ＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ＝42＋22＝25⇒R ＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝20π.答案：C6．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M ，N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．ON ＝14×16＝4，OM ＝2，∴|MN |＝OM 2＋ON 2＝22＋42＝2 5. 故选B. 答案：B7．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点M 是BB 1的中点，则三棱锥C 1AMC 的体积为( )A. 3B. 2 C ．2 2D ．2 3解析：取BC 的中点D ，连接AD .在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，所以AD ⊥BC ，又BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ，又BB 1∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，即AD ⊥平面MCC 1，所以点A 到平面MCC 1的距离就是AD .在正三角形ABC 中，AB ＝2，所以AD ＝3，又AA 1＝3，点M 是BB 1的中点，所以S △MCC 1＝12S 矩形BCC 1B 1＝12×2×3＝3，所以VC 1－AMC ＝VA MCC 1＝13×3×3＝ 3.答案：A8．如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N PAC 与三棱锥D PAC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶8C ．1∶6D ．1∶3解析：由NB ＝2PN 可得PN PB ＝13.设三棱锥N PAC 的高为h 1，三棱锥B PAC 的高为h ，则h 1h ＝PN PB ＝13.又四边形ABCD 为平行四边形，所以点B 到平面PAC 的距离与点D 到平面PAC 的距离相等，所以三棱锥N PAC 与三棱锥D PAC 的体积比为V 1V ＝13S △PAC ×h 113S △PAC ×h ＝13.答案：D9．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，∠ASC ＝∠BSC ＝30˚，则棱锥S ABC 的体积最大为( )A ．2B ．83 C ． 3D ．2 3解析：如图，因为球的直径为SC ，且SC ＝4，∠ASC ＝∠BSC ＝30˚，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90˚，AC ＝BC ＝2，SA ＝SB ＝23，所以S △SBC ＝12×2×23＝23，则当点A到平面SBC 的距离最大时，棱锥A SBC 即S ABC 的体积最大，此时平面SAC ⊥平面SBC ，点A 到平面SBC 的距离为23sin 30˚＝3，所以棱锥S ABC 的体积最大为13×23×3＝2，故选A.答案：A 二、填空题10．(2018·洛阳统考)已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝6，AC ＝2 3.若三棱锥D ABC 体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．解析：由题意可得，∠ABC ＝π2，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积最大时，V D ABC ＝13S △ABC ·h (h 为D 到底面ABC 的距离)，即3＝13×12×6×6h ⇒h ＝3，即R ＋R 2－r 2＝3(R 为外接球半径)，解得R ＝2，∴球O 的表面积为4π×22＝16π.答案：16π11．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为4，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知该几何体为一个长方体挖掉半个圆柱，所以其体积为2×4×8－12×π×22×2＝64－4π.答案：64－4π12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为________．解析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE 的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则S △ABC ＝S △ABE ＝12×1×2＝22，S △A D E ＝12，S△ACD＝12×1×5＝52，故面积最大的侧面的面积为52. 答案：5213．(2018·福州四校联考)已知三棱锥A BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90˚，则球O 的体积为________．解析：设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90˚，∴13×12×3×3×h ＝3，∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π3.答案：32π3精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
广东省2016届高三数学二轮专题复习：空间几何体01 含答案
空间几何体1．棱柱、棱锥、棱台(1）棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形．(2)正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形，斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．(3）正棱台的性质侧面是全等的等腰梯形；斜高相等;棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形．(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．圆柱、圆锥、圆台(1）圆柱、圆锥、圆台的概念分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．（2)圆柱、圆锥、圆台的性质轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆．3．球（1)球面与球的概念半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的曲面叫做球面．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心．（2）球的截面性质球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为d ＝错误!。
4．空间几何体的两组常用公式（不要求记忆）（1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；②S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长，h′为斜高);③S台侧＝错误!(c＋c′）h′（c′，c分别为上下底面的周长,h′为斜高）；。
(word版)高中数学必修2第一章空间几何体试题(含答案),文档
高一数学必修2第一章复习题一、选择题：〔每题5分，共50分〕1.以下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的〔〕A B C D2．假设一个几何体的三视图都是等腰三角形，那么这个几何体可能是〔〕A．圆锥 B．正四棱锥 C．正三棱锥 D．正三棱台3.圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，那么V1：V2=〔〕A.1：3B.1：1C. 2：1D.3：14.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三局部的面积之比为〔〕：2：3 ：3：5 ：2：4 ：3：95.棱长都是1的三棱锥的外表积为〔〕A. 3B. 2 3 3 D. 4 36.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的外表积之比为〔〕A.8:27B.2:3C.4:9D.2:97.有一个几何体的三视图及其尺寸如下〔单位cm〕，那么该几何体的外表积及体积为：〔〕56俯视图主视图侧视图πcm2，12πcm3πcm2，12πcm3πcm2，36πcm3 D.以上都不正确8．以下几种说法正确的个数是〔〕①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行-1-④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3D．49．正方体的内切球和外接球的半径之比为〔〕A．3:1B．3:2C．2:3D．3:310．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4.再将它们卷成两个圆锥侧面，那么两圆锥的高之比为〔〕A．3∶4B．9∶16C．27∶64D．都不对请将选择题的答案填入下表：题号12345678910答案二、填空题:〔每题6分，共30分〕11．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。
12．图〔1〕为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图〔2〕中的三视图表示的实物为_____________。
2020-2021学年高考总复习数学(理)二轮复习精选《空间几何体》试题及答案解析
最新高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）空间几何体1、已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是 ( )A.8π+B.283π+C.12π+D.2123π+【答案】A2、在直角坐标系xOy 中，设(2,2),(2,3)A B --，沿y 轴把坐标平面折成120o 的二面角后，AB 的长是（）A.37B. 6C. 35D.53【答案】A【解析】做AC 垂直y 轴于点C,BD 垂直y 轴于点D ，BM 平行于y 轴，且NC 垂直Y 轴，则0=120ACM ∠，又AC=MC=2，所以由余弦定理得AM=23,在ABM ∆，0=9023,537BMA AM BM AB ∠===，，所以.即AB 的长是37.3、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸（单位：cm ）.可得这个几何体的体积是（）A.133cmB.233cmC.433cmD.833cm【答案】C4、已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（） A.243π- B.242π- C.3242π- D.24π-【答案】C 5、如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是等腰直角三角形,则该几何体的体积为()A.163B.8C.16D. 83 【答案】B6、平面四边形ABCD 中,1===CD AD AB ,CD BD BD ⊥=,2,将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -',使平面⊥BD A '平面BCD ,若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )A. π23B. π3C. π32 D. π2 【答案】ABD 所在的圆直径就是BD,BDC 所在的圆直径是BC,由题意两个圆面垂直,且ABD 所在的圆面被BDC 所在的圆平分,所以BDC 所在的圆就是大圆;球的直径就是BC 3,所以正确的选项是A.7、设集合P={直四棱柱}，Q={正四棱柱}，S={长方体}，则（）A ．()S Q P =UB ．()P Q S ⊆IC ．()P S Q ⊆ID ．()P Q S ⊆U【答案】B【解析】底面为正方形的直四棱柱是长方体的一种，所以正确选项为B.8、半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（） 3324R πB 338R πC 3524R πD 358R π设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则2πr=πR ，∴r=2R ∵R 2=r 2+h 2，∴h=32R ，∴V=213()322R R π=3324R π，故选A 。
高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题4第1讲空间几何体 Word版含答案
第1讲空间几何体空间几何体的三视图自主练透夯实双基1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．[题组通关]1．(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()B[解析] 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.2．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于()A ．1B. 2 C ．2D ．2 2C [解析] 依题意得，题中的长方体的侧视图的高等于2，正视图的长是2，因此相应的正视图的面积等于2×2＝2，故选C.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．空间几何体的表面积与体积高频考点多维探明 1．柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆)．由空间几何体的结构特征计算表面积与体积如图，在棱长为6的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，DE ，BD ，则几何体EFC 1DBC 的体积为( )A ．66B ．68C ．70D ．72【解析】如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1DBC 被分割成三棱锥D -EFC 1及四棱锥D -CBFC 1，那么几何体EFC 1DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66. 故所求几何体EFC 1DBC 的体积为66. 【答案】A由三视图求空间几何体的表面积与体积(1)(2016·高考全国卷甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π(2)(2016·高考四川卷)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．【解析】(1)该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋（23）2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C.(2)根据三视图可知该三棱锥的底面积S ＝12×23×1＝3，高为1，所以该三棱锥的体积V ＝13×3×1＝33.【答案】 (1)C (2)33(1)求解几何体的表面积及体积的技巧①求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．②求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状． 第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． 第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解． [题组通关]1．(2016·河南省八市重点高中质量检测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A ．36cm 3B ．48cm 3C ．60cm 3D ．72cm 3B [解析] 由三视图可知，该几何体的上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，梯形的上、下、底分别为2、6，高为2.长方体的体积为4×2×2＝16.四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48(cm 3)，选B.2．(2016·昆明市两区七校调研)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积和剩余部分体积的比值为( )A.15B.16C.17D.18A [解析] 依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC -A 1B 1C 1(其底面边长是2)中截去三棱锥E -A 1B 1C 1(其中E 是侧棱BB 1的中点)，因此三棱锥E -A 1B 1C 1的体积为VE A 1B 1C 1＝13×34×22×1＝33，剩余部分的体积为V ＝VABC A 1B 1C 1－VE A 1B 1C 1＝34×22×2－33＝533，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为15，选A. 3．(2016·山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是________．[解析] 分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，CD ＝y2，AB ＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，所以BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y 2＝32≥2xy ，则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37.多面体与球的切接问题共研典例类题通法与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．(2016·高考全国卷丙)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2C ．6πD.32π3【解析】由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.【答案】B多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[题组通关]1．(2016·河北省“五校联盟”质量检测)已知球O 的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________．[解析] 设球的半径为R ，则4πR 2＝25π，所以R ＝52，所以球的直径为2R ＝5，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的表面积S ＝2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝50.2．(2016·重庆第一次适应性测试)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，PC 为球O 的直径，该三棱锥的体积为26，则球O 的表面积为________．[解析]依题意，设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是PC 的中点得，点P 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V P ABC ＝2V O ABC ＝2×13S △ABC ×d ＝23×34×12×d ＝26，解得d ＝23，又R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫332＝1，所以球O 的表面积等于4πR 2＝4π. [答案]4π课时作业1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )D [解析] 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确，故选D.2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为( )A ．长方形B ．直角三角形C ．圆D ．椭圆C [解析] 当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时正视图和侧视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，故选C.3．(2016·贵阳市监测考试)甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V 甲，乙的体积为V 乙，则( )A ．V 甲＜V 乙B ．V 甲＝V 乙C ．V 甲＞V 乙D ．V 甲、V 乙大小不能确定C [解析] 由三视图知，甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角，即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V 甲＞V 乙，故选C.4．(2016·云南省第一次统一检测)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)，则被削掉的那部分的体积为( )A.π＋23B.5π－23C.5π3－2 D ．2π－23B [解析] 由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，其体积V ＝13×12×π×12×2＋13×12×2×1×2＝π3＋23，所以被削掉的那部分的体积为π×12×2－⎝⎛⎭⎫π3＋23＝5π－23. 5．(2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π C [解析] 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V 1＝13×12×1＝13.设半球的半径为R ，则2R ＝2，即R ＝22，所以半球的体积V 2＝12×4π3R 3＝12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＝26π.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝13＋26π.故选C.6.(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28πA [解析] 由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A. 7．(2016·长春市质量检测(二))某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323B ．16－2π3C.403 D ．16－8π3C [解析] 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，所以其体积为2×2×4－13×2×2×2＝403.故选C.8．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺B [解析] 设圆柱底面圆的半径为r ，若以尺为单位，则2000×1.62＝3r 2⎝⎛⎭⎫10＋3＋13，解得r ＝9(尺)，所以底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，故选B.9．(2016·兰州市诊断考试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )A.34B.41 C ．5 2D ．215C [解析] 由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，所以最长的棱长为SB ＝5 2.10．(2016·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是线段CD 的中点，则三棱锥P -A 1B 1A 的侧视图为( )D [解析] 如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P -A 1B 1A ，B (C )点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.11．(2016·兰州市实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C ．3πD ．3A [解析] 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，故选A.12．(2016·广州市综合测试(一))一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3C ．5πD.55π6D [解析] 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，所以球半径为R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫h 22＝1＋14＝54，所以该球的体积V ＝43πR 3＝43×5454π＝55π6. 13．(2016·唐山市统一考试)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3 B ．4π C ．8πD ．20πC [解析] 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以P A 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C.14．(2016·福建省毕业班质量检测)在空间直角坐标系O -xyz 中，A (0，0，2)，B (0，2，0)，C (2，2，2)，则三棱锥O -ABC 外接球的表面积为( )A ．3πB ．43πC ．12πD ．48πC [解析] 设三棱锥O -ABC 的外接球的半径为R ，画出空间直角坐标系O -xyz 与点A ，B ，C 的位置，易知三棱锥O -ABC 的四个顶点均落在棱长为2的正方体的顶点上，所以该正方体的体对角线长即为三棱锥O -ABC 的外接球的直径，所以R ＝1222＋22＋22＝3，所以三棱锥O -ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选C.15．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB ＝AC ，四边形BCDE 为矩形)，则该组合体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上)．[解析]几何体由四棱锥与四棱柱组成时，得①正确；几何体由四棱锥与圆柱组成时，得②正确；几何体由圆锥与圆柱组成时，得③正确；几何体由圆锥与四棱柱组成时，得④正确．[答案]①②③④16．(2016·高考北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．[解析]通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S ＝（1＋2）×12＝32，通过侧(左)视图可知四棱柱的高h ＝1，所以该四棱柱的体积V ＝Sh ＝32. [答案]3217．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．[解析]设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.[答案]3218．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF 的体积为________．[解析]因为B 1C ∥平面ADD 1A 1，所以F 到平面ADD 1A 1的距离d 为定值1，△D 1DE 的面积为12D 1D ·AD ＝12，所以VD 1EDF ＝VF D 1DE ＝13S △D 1DE ·d ＝13×12×1＝16.[答案]1619．已知棱长均为a 的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为216的球面上，则a 的值为________．[解析]设O 是球心，D 是等边三角形A 1B 1C 1的中心，则OA 1＝216，因为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，所以A 1D ＝32a ×23＝33a ，OD ＝a 2，故A 1D 2＋OD 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝⎝⎛⎭⎫2162，得712a 2＝2136，即a 2＝1，得a ＝1.[答案]120．(2016·东北四市联考(二))已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为________．[解析]如图，设球心为O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，底面正三角形的边长为a ，则AO 1＝23×32a ＝33a .由已知得O 1O 2⊥底面，在Rt △OAO 1中，由勾股定理得OO 1＝12－⎝⎛⎭⎫33a 2＝3·3－a 23，所以V 三棱柱＝34a 2×2×3·3－a 23＝3a 4－a 62， 令f (a )＝3a 4－a 6(0＜a ＜2)，则f ′(a )＝12a 3－6a 5＝－6a 3(a 2－2)，令f ′(a )＝0，解得a ＝ 2. 因为当a ∈(0，2)时，f ′(a )＞0；当a ∈(2，2)时，f ′(a )＜0，所以函数f (a )在(0，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减．所以f (a )在a ＝2处取得极大值．因为函数f (a )在区间(0，2)上有唯一的极值点， 所以a ＝2也是最大值点．所以(V 三棱柱)max ＝3×4－82＝1. [答案]1。
浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题四 1 第1讲 空间几何体 含解析
专题强化训练1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A．4B．8C．12D．16解析：选D.如图，以AA1为底面矩形一边的四边形有AA1C1C、AA1B1B、AA1D1D、AA1E1E 这4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D.2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()解析：选C.过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A ．8 cm 3B ．12 cm 3C ．323cm 3D ．403cm 3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．4．(2019·台州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )A ．34B ．41C ．52D ．215解析：选C.由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，所以最长的棱长为SB ＝5 2.5．(2019·金华十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．15π2B ．8π C.17π2D ．9π解析：选B.依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分的底面半径为1，最短母线长为3、最长母线长为5，将这两个截后所得的部分拼接恰好形成一个底面半径为1，母线长为5＋3＝8的圆柱，因此题中的几何体的体积为π×12×8＝8π，选B.6.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为123，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为( )A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π解析：选C.设圆柱的底面半径为R ，则三棱柱的底面边长为3R ，由34(3R )2·2R ＝123，得R ＝2，S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝16π.故选C.7．(2019·石家庄市第一次模拟)某几何体的三视图如图所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．54C ．64D ．60解析：选D.根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.8．在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析：选B.由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，该球的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.9．(2019·温州八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22 D.32解析：选C.依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－（a 2a）2＝22，选C.10.已知圆柱OO 1的底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则y ＝f (θ)的图象大致为( )解析：选A.将圆柱的侧面沿轴截面ABCD 展平，则曲线Γ是展开图形(即矩形)的对角线，根据题意，将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0＜θ≤π)后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为f (θ)，则f (θ)应当是一次函数的一段，故选A.11．(2019·浙江省重点中学高三12月期末热身联考)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________；表面积是________．解析：根据三视图可得，该几何体是长方体中的四棱锥C -BB 1D 1D ，由三视图可得：AB ＝2，BC ＝2，BB 1＝4，VC BB 1D 1D ＝23×12×2×2×4＝163，S C BB 1D 1D ＝12×2×2＋22×4＋12×2×4＋12×2×4＋12×22×18＝16＋8 2.答案：16316＋8 212.(2019·宁波市余姚中学期中检测)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为________ cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉14后得到的几何体．所以该几何体的体积＝34×12×43×π×13＝π2cm 3.表面积＝34×12×4π×12＋12×π×12＋34×π×12＝11π4cm2.答案：π211π413．(2019·河北省“五校联盟”质量检测)已知球O的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于________．解析：设球的半径为R，则4πR2＝25π，所以R＝52，所以球的直径为2R＝5，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则长方体的表面积S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50.答案：5014．(2019·浙江省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是____________．解析：分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD，CD＝y2，AB＝y，AC＝5，CP＝7，BP＝x，所以BP2＝BC2＋CP2，即x2＝25－y2＋7，x2＋y2＝32≥2xy，则xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V＝13×2＋42×3×7＝37.答案：3715．(2019·杭州市高考数学二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于________，若正方体棱长为1，则四面体B-EB1D1的体积为________．解析：取CC1中点F，连接D1F，B1F，则BE綊D1F，所以∠B1D1F为异面直线BE与B1D1所成的角．设正方体棱长为1，则B1D1＝2，B1F＝D1F＝1＋14＝52.所以cos∠B1D1F＝12B1D1D1F＝2252＝105. V B EB 1D 1＝V D 1BB 1E ＝13S △BB 1E ·A 1D 1＝13×12×1×1×1＝16.答案：105 1616．已知棱长均为a 的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为216的球面上，则a 的值为________．解析：设O 是球心，D 是等边三角形A 1B 1C 1的中心，则OA 1＝216，因为正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，所以A 1D ＝32a ×23＝33a ，OD ＝a 2，故A 1D 2＋OD 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝⎝⎛⎭⎫2162，得712a 2＝2136，即a 2＝1，得a ＝1.答案：117．(2019·瑞安四校联考)已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为________．解析：如图，设球心为O ，三棱柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，底面正三角形的边长为a ，则AO 1＝23×32a ＝33a .由已知得O 1O 2⊥底面， 在Rt △OAO 1中，由勾股定理得OO 1＝12－⎝⎛⎭⎫33a 2＝3·3－a 23，所以V 三棱柱＝34a 2×2×3·3－a 23＝3a 4－a 62， 令f (a )＝3a 4－a 6(0＜a ＜2)， 则f ′(a )＝12a 3－6a 5＝－6a 3(a 2－2)，令f ′(a )＝0，解得a ＝ 2.因为当a ∈(0，2)时，f ′(a )＞0；当a ∈(2，2)时，f ′(a )＜0，所以函数f (a )在(0，2)上单调递增，在(2，2)上单调递减．所以f (a )在a ＝ 2 处取得极大值．因为函数f (a )在区间(0，2)上有唯一的极值点，所以a ＝ 2 也是最大值点．所以(V 三棱柱)max ＝3×4－82＝1. 答案：118.如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD , ∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积．解：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ， 则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3. 所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×2×（2＋4）2×23＝4 3.19.如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D .现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′PBCD 的体积最大时，求P A 的长； (2)若P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE . 解：(1)设P A ＝x ，则P A ′＝x ，所以V A ′PBCD ＝13P A ′·S 底面PBCD ＝13x ⎝⎛⎭⎫2－x 22.令f (x )＝13x ⎝⎛⎭⎫2－x 22＝2x 3－x 36(0<x <2)，则f ′(x )＝23－x 22.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎫0，233233 ⎝⎛⎭⎫233，2 f ′(x )0 f (x )单调递增极大值单调递减由上表易知，当P A ＝x ＝23时，V A ′PBCD 取最大值．(2)证明：取A ′B 的中点F ，连接EF ，FP . 由已知，得EF 綊12BC 綊PD .所以四边形EFPD 是平行四边形， 所以ED ∥FP .因为△A ′PB 为等腰直角三角形， 所以A ′B ⊥PF .所以A ′B ⊥DE .。
高考数学二轮复习：第1讲 空间几何体
(2)题型及难易度:选择题、填空题,中、低档.
二轮·数学
热点透析
热点一 空间几何体的三视图
典例剖析 方法迁移
【例1】 (1)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 直观图可以是( )
二轮·数学
(2)(高考新课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标 系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
答案:(1)D (2)①②③⑤
二轮·数学
热点二 空间几何体的表面积与体积
【例2】 (1)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,动点
E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=1,
DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥P-EFQ的体积( (A)与x,y都有关 (B)与x,y都无关 (C)与x有关,与y无关 )
二轮·数学
专题四
第1讲
立体几何
空间几何体
二轮·数学
高考导航 热点透析
思想方法
二轮·数学
高考导航
高考体验
演习真题
明确备考
1.(高考新课标全国卷Ⅰ,文8)如图,网格纸的各小格都是正 方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( )B (B)三棱柱
(A)三棱锥
(C)四棱锥
பைடு நூலகம்
(D)四棱柱
二轮·数学
图所示,则相应的侧视图可以为( )
二轮·数学
(2)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列
几何体中的 ①三棱锥 ②四棱锥 (填入所有可能的几何体前的编号). ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥
⑥圆柱
解析:(1)由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体的底面为半 圆和等腰三角形,其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的
高三数学二轮专题复习第1讲 空间几何体
第1讲空间几何体[考情考向分析] 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．热点一三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．例1(1)(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[答案] A[解析]由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．[答案]2＋2 2[解析]如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图所示．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．跟踪演练1(1)(2018·衡水调研)某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则其侧(左)视图可以为()[答案] B[解析]由俯视图与正(主)视图可知，该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧(左)视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项B符合题意，故选B. (2)(2018·合肥质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为()[答案] C[解析]取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线．延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线．同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线．所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为选项C所示．热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2(1)(2018·百校联盟联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．8＋42＋8 5 B．24＋4 2C．8＋20 2 D．28[答案] A[解析]由三视图可知，该几何体的下底面是长为4，宽为2的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为22的三角形，前后两个侧面是底边为4，高为5的平行四边形，所以该几何体的表面积为S＝4×2＋2×12×2×22＋2×4×5＝8＋42＋8 5.(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．[答案]143π6＋(6＋13)π[解析]由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V＝14×43π×23＋12×13π×22×3＝143π， 表面积为S ＝14×4π×22＋12×π×22＋12×4×3＋12×12×2π×2×32＋22＝6＋()6＋13π.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪演练2 (1)(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6立方寸，则图中的x 为( )A ．1.6B ．1.8C ．2.0D ．2.4 [答案] A[解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成． 由题意得，(5.4－x )×3×1＋πx ⎝⎛⎭⎫122＝12.6， 解得x ＝1.6.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．11 B．9 C．7 D．5[答案] D[解析]由三视图知，该几何体如图，它可分成一个三棱锥E－ABD和一个四棱锥B－CDEF，则V＝13×12×3×3×2＋13×1×2×3＝5.热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图． 例3 (1)(2018·武汉调研)已知正三棱锥S －ABC 的顶点均在球O 的球面上，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为23，则球O 的表面积为( )A ．16πB ．18πC ．24πD ．32π[答案] A[解析] 设正三棱锥的底面边长为a ，外接球的半径为R ， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a ， 则AD ＝32a ，则AO ＝23AD ＝33a ， 所以33a ＝R ，即a ＝3R ， 又因为三棱锥的体积为23，所以13×34a 2R ＝13×34×()3R 2×R ＝23，解得R ＝2，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝16π.(2)(2018·衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A.25π4B.25π16C.1 125π4D.1 125π16[答案] D[解析] 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 三棱锥B －KLJ 即为所求的三棱锥，其中KC 1＝9，C 1L ＝LB 1＝12，B 1B ＝16， ∴KC 1C 1L ＝LB 1B 1B，则△KC 1L ∽△LB 1B ，∠KLB ＝90°， 故可求得三棱锥各面面积分别为S △BKL ＝150，S △JKL ＝150，S △JKB ＝250，S △JLB ＝250， 故表面积为S 表＝800.三棱锥体积V ＝13S △BKL ·JK ＝1 000，设内切球半径为r ，则r ＝3V S 表＝154，故三棱锥内切球体积V 球＝43πr 3＝1 125π16.思维升华 三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A ，B ，C 可作为下底面的三个顶点． (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3 (1)(2018·咸阳模拟)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若AB ＝2，BC ＝3，P A ＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．13π B ．20π C ．25π D ．29π[答案] D[解析] 把三棱锥P －ABC 放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为22＋32＋42＝29，所以三棱锥外接球的半径为292， 所以外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2922＝29π. (2)(2018·四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8 [答案] C [解析] 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形， 设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径， 则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14.真题体验1．(2018·全国Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正(主)视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧(左)视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为________．[答案] 2 5[解析] 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径． ON ＝14×16＝4，OM ＝2，∴MN ＝OM 2＋ON 2＝22＋42＝2 5.2．(2017·北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．[答案]2 3[解析]在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知，正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.3．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[答案]9 2π[解析]设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝92π.4．(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S —ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． [答案] 36π[解析] 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径知，OA ⊥SC ，OB ⊥SC . 由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， ∴OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， ∴三棱锥S －ABC 的体积 V ＝13×12×SC ×OB ×OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴球O 的表面积S ＝4πr 2＝36π.押题预测1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A．16 B．82＋8C．22＋26＋8 D．42＋46＋8押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积．[答案] D[解析]由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD＝2的四棱锥P －ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BC⊥PC，BA⊥P A，又PC＝PD2＋CD2＝22＋(22)2＝23，所以S△PCD＝S△P AD＝12×2×22＝22，S△P AB＝S△PBC＝12×22×23＝2 6.所以几何体的表面积为46＋42＋8.2．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为()A．6πB．12πC．32πD．36π押题依据灵活运用正三棱锥中线与棱之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点．[答案] B[解析]因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.3．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注．[答案]42 3[解析]如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为 S ＝2πr ×21－r 2＝4πr1－r 2≤4π×r 2＋(1－r 2)2＝2π⎝⎛⎭⎫当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号.所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝⎛⎭⎫222×2＝423.A 组 专题通关1．(2018·济南模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的正投影可能是()A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④[答案] B[解析] P 点在上下底面投影落在AC 或A 1C 1上，所以△P AC 在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.2．(2018·百校联盟联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.212＋3＋4 2 B ．10＋32＋4 2 C.212＋4 2 D.21＋32＋4 2[答案] D[解析] 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱削掉一个三棱锥所得，所以其表面积为22×2＋12×22×2＋22×2＋34×(2)2－12×12×3＝21＋32＋4 2.3．(2017·全国Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16[答案] B[解析]观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这两个梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.4．某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如图(2)所示，其中O′A′＝O′B′＝2，O′C′＝3，则该几何体的表面积为()A．36＋12 3 B．24＋8 3C．24＋12 3 D．36＋8 3[答案] C[解析]由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为23的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥P－ABC，且S△P AB＝S△PBC＝12×4×6＝12，S△ABC＝12×4×23＝43，△P AC是腰长为52，底面边长为4的等腰三角形，S△P AC＝8 3.综上可知，该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.故选C.5．(2018·张掖市质量诊断)已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．36π[答案] C[解析]如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点O′.△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选C.6．(2018·衡水金卷信息卷)已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为()A.124π3B.625π81C.500π81D.256π9[答案] C[解析] 如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O ′，正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心为O ，∵底面正方形的边长为2， ∴O ′D ＝1，∵正四棱锥的体积为2，∴V P －ABCD ＝13×(2)2×PO ′＝2，解得PO ′＝3，∴OO ′＝|PO ′－PO |＝|3－R |，在Rt △OO ′D 中，由勾股定理可得OO ′2＋O ′D 2＝OD 2， 即(3－R )2＋12＝R 2，解得R ＝53，∴V 球＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫533＝500π81.7．在三棱锥S －ABC 中，侧棱SA ⊥底面ABC ，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°，SA ＝25，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.643π B.2563π C.4363π D.2 048327π[答案] B[解析] 由题意知，AB ＝5，BC ＝8，∠ABC ＝60°， 则根据余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2×AB ×BC ×cos ∠ABC ， 解得AC ＝7，设△ABC 的外接圆半径为r ，则△ABC 的外接圆直径2r ＝AC sin B ＝732，∴r ＝73，又∵侧棱SA ⊥底面ABC ，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离d ＝12SA ＝5，则外接球的半径R ＝⎝⎛⎭⎫732＋()52＝643，则该三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝2563π. 8．(2018·北京海淀区模拟)某几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧(左)视图的图形是________．(写出所有可能的序号)[答案]①②③[解析]如图a三棱锥C－ABD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为①；如图b四棱锥P－ABCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为②；如图c三棱锥P－BCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为③.9．(2018·安徽省“皖南八校”联考)如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，现测得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EF－ABCD的体积为________cm3.[答案] 3 500[解析] 在EF 上，取两点M ，N (图略)，分别满足EM ＝NF ＝5，连接DM ，AM ，BN ，CN ，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V ＝12×20×15×20＋2×13×12×20×15×5＝3 500.10．(2018·全国Ⅲ改编)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为________． [答案] 18 3[解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93， 所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.11．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． [答案] 402π[解析] 如图，∵SA 与底面所成角为45°， ∴△SAO 为等腰直角三角形． 设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12(2r )2·158＝515， 解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πr ·l ＝π×210×45＝402π.12．(2018·华大新高考联盟质检)已知二面角α－l －β的大小为π3，点P ∈α，点P 在β 内的正投影为点A ，过点A 作AB ⊥l ，垂足为点B ，点C ∈l ，BC ＝22，P A ＝23，点D ∈β，且四边形ABCD 满足∠BCD ＋∠DAB ＝π.若四面体P ACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________． [答案] 86π[解析] ∵∠BCD ＋∠DAB ＝π，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，直径为AC . ∵P A ⊥平面β，AB ⊥l ， ∴由三垂线定理得PB ⊥l ，即∠PBA 为二面角α－l －β的平面角， 即∠PBA ＝π3，∵P A ＝23，∴BA ＝2， ∵BC ＝22，∴AC ＝2 3. 设球的半径为R ，则23－R 2－()32＝R 2－()32，∴R ＝6，V ＝4π3(6)3＝86π.B 组 能力提高13．若四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.81π5B.81π20C.101π5D.101π20 [答案] C[解析] 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P －ABCD ，如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，由于△P AD 为等腰三角形，P A ＝PD ＝3，AD ＝4，四边形ABCD 为矩形，CD ＝2，过△P AD 的外心F 作平面P AD 的垂线，过矩形ABCD 的中心H 作平面ABCD 的垂线，两条垂线交于一点O ，则O 为四棱锥外接球的球心，在△P AD 中，cos ∠APD ＝32＋32－422×3×3＝19，则sin ∠APD＝459， 2PF ＝AD sin ∠APD ＝4459＝955，PF ＝9510，PE ＝9－4＝5，OH ＝EF ＝5－9510＝510，BH ＝1216＋4＝5， OB ＝OH 2＋BH 2＝5100＋5＝50510， 所以S ＝4π×505100＝101π5.14．(2018·龙岩质检)如图所示，正方形ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(0,2]D ．(0,2)[答案] D[解析] 设四棱锥一个侧面为△APQ ，∠APQ ＝x ，过点A 作AH ⊥PQ ，则AH ＝12PQ ×tan x ＝AC －PQ 2＝22－PQ 2＝2－12PQ ，∴PQ ＝221＋tan x ，AH ＝2tan x1＋tan x，∴S ＝4×12×PQ ×AH ＝2×PQ ×AH＝2×221＋tan x ×2tan x 1＋tan x ＝8tan x (1＋tan x )2，x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2， ∵S ＝8tan x (1＋tan x )2＝8tan x1＋tan 2x ＋2tan x ＝81tan x＋tan x ＋2≤82＋2＝2，⎝⎛⎭⎫当且仅当tan x ＝1，即x ＝π4时取等号，而tan x >0，故S >0，∵S ＝2时，△APQ 是等腰直角三角形，顶角∠P AQ ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A 与O 重合，构不成棱锥， ∴S 的取值范围为(0,2)，故选D.15．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体积为________．[答案] 4＋3＋152053π [解析] 由三视图得几何体的直观图如图所示，∴S 表＝2×12×2×2＋12×23×5＋12×23×1＝4＋15＋ 3.以D 为原点，DB 所在直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (－1，3，0)， 设球心坐标为(x ，y ，z )， ∵(x －2)2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2，① x 2＋y 2＋(z －2)2＝x 2＋y 2＋z 2，② (x ＋1)2＋(y －3)2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2，③ ∴x ＝1，y ＝3，z ＝1， ∴球心坐标是(1，3，1)， ∴球的半径是12＋()32＋12＝ 5.∴球的体积是43π×()53＝2053π.16.如图所示，三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DE ∩PB ＝E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC ＝120°，P A ＝32，PB ＝332，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________．[答案] 13π[解析] 在三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，设△ABC 的外心为O 1，外接圆的半径O 1A ＝32sin 60°＝3，在△P AB 中，P A ＝32，PB ＝332，AB ＝3，满足P A 2＋PB 2＝AB 2，所以△P AB 为直角三角形，△P AB 的外接圆的圆心为D ，由于CD ⊥AB ，ED ⊥AB ，∠EDC ＝120°为二面角P －AB －C 的平面角，分别过两个三角形的外心O 1，D 作两个半平面的垂线交于点O ，则O 为三棱锥P －ABC 的外接球的球心， 在Rt △OO 1D 中，∠ODO 1＝30°，DO 1＝32， 则cos 30°＝O 1D OD ＝32OD ，OD ＝1，连接OA ，设OA ＝R ，则R 2＝AD 2＋OD 2＝⎝⎛⎭⎫322＋12＝134， S 球＝4πR 2＝4π×134＝13π.。
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限时规范训练
A组——高考热点强化练
一、选择题
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂
直的半径．若该几何体的体积是28π
3，则它的表面积是()
A．17πB．18πC．20π D．28π
解析：由三视图知该几何体为球去掉了1
8所剩的几何体(如图)，设球的半径为R，则
7
8×
4
3πR
3
＝28π
3，故R＝2，从而它的表面积S＝
7
8×4πR
2＋
3
4×πR
2＝17π.故选A.
答案：A
2．(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()
解析：由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．
该几何体的侧视图为选项B.故选B. 答案：B
3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8－π
4 B ．8－π
2 C ．8－π
D ．8－2π
解析：由三视图可知，该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积，即V ＝2×2×2－1
2×π×12×2＝8－π.故选C. 答案：C
4．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132
D ．310
解析：由题意知，该三棱柱可以看作是长方体的一部分，且长方体同一顶点处的三条棱长分别为3、4、12，又∵三棱柱的外接球即为长方体的外接球，(2R )2＝32＋42＋122，∴R ＝13
2.故选C. 答案：C
5．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝ 90°，则AB ＝ 10.要使该石材加工成的球的半径最大，只需球与直三棱柱的三个侧面都相切，则半径r 等于直角三角形ABC 的内切圆半径，即r ＝6＋8－10
2
＝2，故能得到的最大球的半径为2，故选B.
答案：B
6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A ．45，8
B ．45，8
3 C ．4(5＋1)，8
3
D ．8,8
解析：由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三角形的高为 5.所以该四棱锥的侧面积为4×12×2×5＝45，体积为13×22×2＝8
3，故答案B. 答案：B
7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )
A ．4
B ．5
C ．3 2
D ．3 3
答案：D
8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12
B ．6
C ．4
D ．2
解析：该几何体为四棱锥P -ABCD ，其中P A ⊥平面ABCD ，如图， 则该几何体的体积为V ＝13×2×1
2×(2＋1)×2＝2.
答案：D
9．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )
A ．34＋6 5
B ．6＋65＋4 3
C ．6＋65＋413
D ．17＋6 5。