新课标沈阳2013-2014学年度下学期四月月考高一数学试题附答案[好9页]

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辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

辽宁省沈阳市东北育才双语学校2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在ABC ∆中，内角A B 、、C 的对边分别为a b c 、、,︒=135A ,︒=30B ,2=a ,则b 等于( )A.1B.2C. 3D.2 2. 已知a b a <<，则以下不等式中恒成立的是（）A. b a <-B. 0ab >C. 0ab <D. a b <3.在ABC D中，若22sin 53,sin 2C b a ac A =-=，则cos B 的值为( ) A. 13 B. 12 C. 15 D. 144. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4518a a =-，则8S =（） A.72 B. 68C. 54D. 905．若a b 、、c d x y 、、、是正实数，且P Q ==，则( ) A ．P Q = B ．P Q ³ C ．P Q £ D ．P Q >6．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(1,2,3)i a x i -<=都成立的x 的取值范围是( ) A. 11(0,)a B. 12(0,)a C. 31(0,)a D. 32(0,)a 7. 等比数列{}n a 中，若2a 、6a 是方程221180x x ++=的两根，则4a 的值为( ) A.2 B.2±D. 2-8. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 9. 等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2040S S =，则下列结论中正确的是（） A ．30S 是n S 中的最大值 B ．30S 是n S 中的最小值C ．300S =D ．600S =11.若数列{}n a 满足*111(,n nd n N d a a +-= 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”，若正项数列1{}nb 为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b 的最大值是（）A ．10B ．100C ．200D ．40012．已知0,0,x y x a b y >>、、、成等差数列x c d y 、、、、成等比数列，则2()a b cd+的最小的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4第Ⅱ卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.在ABC ∆中，角B 所对的边长6b =，面积为15，外接圆的半径为5，则ABC ∆的周长为14．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且b a c =+2，则B 的取值范围是________．15.数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则=n a .16.定义在(,0)(0,)-? 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，有(){}n a f 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-? 上的如下函数：①()f x =2x ； ②()f x =x2； ③()x x f =； ④()f x =ln |x |，则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*1(1)().4n n S a n N =+∈ （1）求1a 、2a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）令19n n b a =-，问数列{}n b 的前多少项的和最小？最小值是多少？19．解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈.20．关于x 的方程220x ax b ++=的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求21b a --的取值范围．21.如图，公园要把一块边长为2a 的等边三角形ABC 的边角地修成草坪，DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设()AD x x a = ，DE y =，试用x 表示函数y ；(2)如果DE 是灌溉水管，希望它最短，D E 、的位置应该在哪里？22. 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列{}lg(1)n a +为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项积为n T ，即12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求lg n T ；（3）在（2）的条件下，记lg lg(1)nn n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使4026n S >的n 的最小值．答题时间：120分钟满分：150分命题人：高一数学组校对人：高一数学组一．选择题1-5 AADAC 6-10 BDBDD 11-12 BD 二．填空题13. 14. (0，π3] 15. 112 13 1n n n a n +ì=ï=í>ïî16. ①③三．解答题17. 解：(1)由已知得到2sin sin A B B =,且(0,)sin 0sin 2B B A π∈∴≠∴=,且(0,)23A A ππ∈∴=; ……5分(2)由(1)知1cos 2A =,由已知得到222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=所以12823ABCS=⨯⨯=10分 18. 解：（1）由已知条件得：21111(1). 1.4a a a =+∴= 又有22122221(1).-2304a a a a a +=+-=即，解得221()=3a a =-舍或（2）由21(1)4n n S a =+得2-1-112(1)4n n n S a ≥=+时：所以数列{}n a 是公差为2的等差数列。

高一数学月考试题带答案-沈阳二中2013-2014学年高一下学期4月月考数学试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【题文】sin(1560)-的值为（）A12 ； B 12- ； C ； D -2.【题文】如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=（） A 12- ； B 12； C 32- ； D 323.【题文】已知tan100k =，则sin80的值等于（）A； B ； C k ； D k 【答案】B 【解析】4.【题文】若sin cos αα+=，则tan cot αα+的值为（）A 1- ；B 2- ；C 1 ；D 25.【题文】下列四个函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A sin y x = ；B |sin |y x = ；C cos y x = ；D |cos |y x =6.【题文】已知tan1a =，tan 2b =，tan 3c =，则（）A a b c << ；B c b a << ；C b c a << ；D b a c <<7.【题文】给出下列六个命题：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若a b =，则a b =；(3)若AB ＝CD ，则四点A 、B 、C 、D 构成平行四边形；(4)在ABCD 中，一定有AB ＝DC ；(5)若a b =，b c =，则a c =；(6)若//a b ，//b c ，则//a c . 其中不正确的个数是( )A 2 ；B 3 ；C 4 ；D 58.【题文】θ是第二象限角，且满足cossin22θθ-=，那么2θ（）A 是第一象限角；B 是第二象限角；C 是第三象限角；D 可能是第一象限角，也可能是第三象限角【答案】C9.【题文】已知()f x 是以π为周期的偶函数，且[0,]2x π∈时，()1sin f x x =-，则当5[,3]2x ππ∈时，()f x 等于（）A 1sin x + ；B 1sin x - ；C 1sin x -- ；D 1sin x -+10.【题文】已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（）A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【结束】12.【题文】设函数，则在下列区间中函数不．存在零点的是（） A ． B ． C ． D ．()4sin(21)f x x x =+-()f x []4,2--[]2,0-[]0,2[]2,4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.【题文】设函数.1cos )(3+=x x x f 若11)(=a f ，则=-)(a f ．14.【题文】函数的图象如图所示，|)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f则的值等于 .15.【题文】函数[]()sin 2sin,0,2f x x x x π=+∈的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .()()()()=++++2006321f f f f三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【题文】设1e 、2e 是两个不共线向量，已知2121212,3,82e e CD e e CB e e AB -=+=-=. (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若213e k e -=，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．2121214)3()2(e e e e e e CB CD BD -=+--=-=，BD AB e e AB 2,8221=∴-= ;18.【题文】已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈. 求：⑴tan sin cos tan 11tan θθθθθ+--的值；⑵m 的值；⑶方程的两根及此时θ的值.23=∴m .19.【题文】已知函数sin (sin cos )()cos (sin cos )x x x f x xx x ≥⎧=⎨<⎩（1）画出()f x 的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断()f x 是否为周期函数．如果是，求出最小正周期．单调增区间为)(22,452,42,42Z k k k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππππππ，（2）)(x f 为周期函数，π2=T ．考点：三角函数的图像与性质（单调性、最值、周期性）【结束】20.【题文】设312sin ()log 12sin x f x x-=+ （1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）求函数()y f x =的值域．21.【题文】已知函数)(x f 在定义域]4,(-∞上为减函数，且能使)cos 4721()sin (2x m f x m f +-+≤-对于任意的R x ∈成立．求m 的取值范围.22.【题文】某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为2m ，通过金属杆321,,,CA CA CA BC 支撑在地面B 处（BC 垂直于水平面），A 1 、A 2 、A 3是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面10m ，设金属杆321,,CA CA CA 所在直线与园环所在的水平面所成的角（即与半径的夹角）都为 .（圆环与金属杆均不计粗细）（Ⅰ）当θ为何值时，金属杆321,,,CA CA CA BC 的总长最短？（Ⅱ）为美观与安全，在圆环上设置n A A A A ,,,32,1⋅⋅⋅（n ≥4）个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆n CA CA CA CA BC ,,,,,321⋅⋅⋅的总长最短，对比（Ⅰ）中C 点位置，此时C 点将会上移还是下移，请说明理由.又点M 在以原点为圆心的单位圆上, ∴当1sin 3θ=时，即1arcsin 3θ=时，函数有最小值. （Ⅱ）依题意，2102tan cos n y θθ=+-=2(sin )10cos n θθ-+，。

新课标开原2013-2014学年度高一数学下册第三次月考测试题(理科)附答案[编辑8页]

新课标开原2013-2014学年度高一数学下册第三次月考测试题（理科）附答案（时间：120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、函数的周期是（）A、 B、 C、 D、2、若ABCD为正方形，E是CD的中点，且，则等于 ( )A、 B、 C、 D、3、若，且，则下列表示中正确的是（）A、 B、C、 D、4、某客运公司为了了解客车的耗油情况，现采用系统抽样方法按1:10的比例抽取一个样本进行检测，将所有200辆客车依次编号为1，2，…，200，则其中抽取的4辆客车的编号可能是（）A．31，61，87，127 B． 3，23，63，102C．103，133，153，193 D．57，68，98，1086、函数的图象可以看成是将函数的图象（）A 向左平移个单位B 向右平移个单位C 向左平移个单位D 向右平移个单位7、已知直线l：2x+3y+1=0被圆C：所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C截得的弦长同样为d的直线是 ( )A．2x+4y-1=0 B．4x+3y-l=0C．2x-3y-l=0 D．3x+2y=08.已知图是函数的图象上的一段，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、若是直线的倾斜角，且，则斜率为（）A. B. －2 C. 或2 D. 或－210、在四边形ABCD中,=+,=,=,其中,不共线,则四边形ABCD是( )(A)平行四边形 (B)矩形 (C)梯形 (D)菱形11、定义在R上的偶函数满足，当时，，则（）A、 C、B、 D、12、已知在中，O为平面上一定点，P为动点，，则动点P过的（）A、重心B、外心C、垂心D、内心二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、，是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数=14、一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图3所示，则该几何体的侧面积为_______cm15、已知直线：与曲线C：有两个公共点，求实数的取值范围 .16、在下列结论中：①函数（k∈Z）为奇函数；②函数对称；③函数；④函数,若，可得必是的整数倍；⑤函数的单调递增区间可通过解关于的不等式求得.其中正确结论的序号为（把所有正确结论的序号都填上）。

2013-2014学年度下学期高一第二次月考数学试题

高一下学期第二次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是（）。

A ．12)1(3++-=n nn a n nB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a nn D ．12)2()1(++-=n n n a n n2.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（） A ．12 B.13 C.14 D.153.已知{a n }是等比数列，2512,4a a ==,则公比q=（） A.21-B.-2C.2D.21 4．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列5. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（）A ．24B ．27C ．30D ．336. 在正整数100至500之间能被11整除的个数为（） A ．34B ．35C ．36D ．377．数列{}n a 的通项公式是11++=n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为（）A ．11B ．99C ．120D ．1218．不解三角形，下列判断中正确的是（）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=9，c=10，B=600无解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=30，b=25，A=1500有一解 9. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（） A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项10．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )A.10 海里B.5海里C. 56 海里D.53 海里11．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n 的值为（）A ．14B ．15C ．16D ．1712．在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形二：填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13 . 等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。

辽宁省沈阳铁路实验中学2013-2014学年高一下学期期末考试数学试卷Word版含答案

高一下学期期末考试数学试题时间：120分钟满分：150分一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1、设，，且，则锐角为（）A． B． C． D．2、在正方形内任取一点,则该点在正方形的内切圆内的概率为 ( )(A) (B) (C) (D)3、函数的单调递减区间是（）A．B．C． D．4、数列的一个通项公式是（）C、 D、5、执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的值是（）A. B.C. D.6、在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（）A．个B．个C．个D．个7、函数的图象如图所示，则的解析式为（）A. B.C. D.8、在等差数列中，，则等差数列的前13项的和为（）A、24B、39C、52D、1049、将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴为（）A.B.C.D.10、设向量若，则的最小值为（）A、B、1 C、D、12、已知点P 是△ABC 的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，则点P 一定是△ABC 的（） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13、若，且，则向量与的夹角为．14、设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是．15、如图，以摩天轮中心为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，动点初始位于点处，现将其绕原点逆时针旋转120°角到达点处，则此时点的纵坐标为 .（15题）（16题）16、如图所示，要在山坡上、两点处测量与地面垂直的塔楼的高. 如果从、两处测得塔顶的俯角分别为和，的距离是米，斜坡与水平面成角，、、三点共线，则塔楼的高度为 _米.三、解答题17、（本题满分10分）（1）数列满足，求数列的通项公式。

（2）设数列满足，．求数列的通项；18、（本题满分12分）为了解某校2011级学生数学学习状况，现从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：DABC（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率.19、（本题满分12分）已知函数，向量，（）且(Ⅰ)求在区间上的最值； (Ⅱ)求的值.20、（本题满分12分）)sin sin (sin 23sin sin sin 222C B A C B A c b a C B A ABC -+=∆，、、所对的边分别是、、中，角 (1)求角C(2)若c=1,求当时的面积。

2013-2014学年下学期期末高一数学试卷(含答案)

2013-2014学年下学期期末高一数学试卷（含答案）说明：1.满分150，时间120分钟；2.请在答题纸上作答第Ⅰ卷（共80分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1则)cos ,(sin ααQ 所在的象限是（）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．ABC ∆中，三内角A B C 、、成等差数列，则sin sin A C +的最大值为 ( )A ．2 B.3．若平面向量a ＝(1，x)和→b ＝(2x ＋3，－x)互相平行，其中x ∈R ，则|a -b |＝( )A ．2．－2或0 D ．2或104．O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心5．从装有2只红球和2只黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ．至少有1只黑球与都是黑球B ．至少有1只黑球与都是红球C ．至少有1只黑球与至少有1只红球D ．恰有1只黑球与恰有2只黑球6．记,a b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则220x ax b -+=有两不同实根的概率为（）A B C 7．函数b x A x f ++=)sin()(ϕω的图像如图所示，则)(x f 的解析式为A847sin17cos30cos17- （）A9．将函数()()ϕω+=x x f sin 的图像向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于 ( )A ．9 B.6 C.12 D.1810.如果执行图2的框图，运行结果为S=10，那么在判断框中应该填入的条件是（） A.121<i B.121≤i C . 122<i D. 122≤i11.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，012．已知,αβ为锐角且则下列说法正确的是 ( )A ．()f x 在定义域上为递增函数 B.()f x 在定义域上为递减函数 C.()f x 在,0(-∞]上为增函数,在(0,)+∞上为减函数 D.()f x 在,0(-∞]上为减函数,在(0,)+∞上为增函数二、填空题（每题5分，共20分。

新课标盘锦2013-2014学年高一下学期第二次阶段测试数学试题附答案[好9页]

新课标盘锦2013-2014学年高一下学期第二次阶段测试数学试题附答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列叙述中正确的是( )A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B.角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C.终边相同的角必相等D.终边在第二象限的角是钝角2.若α、β的终边关于y 对称，则下列等式正确的是( )A.sinα=sinβB.cosα=cosβC.tanα=tanβD.cotα=cotβ3.函数y=2sin2xcos2x 是( )A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数4.已知向量a =(3,2)，b =(x,4),且a ∥b ，则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-D.38 5.下面给出四种说法，其中正确的个数是( )①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m(a-b)=ma-mb ；②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m-n)a=ma-na ； ③若ma=mb(m ∈R)，则a=b ；④若ma=na(a≠0)，则m=n.A.1B.2C.3D.4 6.已知|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°，c =2a +3b ,d =k a -b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( ) A.-6 B.6 C.514-D.5147.函数y=3cos 2x+sinxcosx-23的周期是( ) A.4π B.2πC.πD.2π 8.若α∈(0,2π),且tan α＞cot α＞cos α＞sin α,则α的取值范围是( ) A.(4π,2π) B.(43π, π) C.(45π,23π) D.(47π, 2π)9.已知|p |=22,|q |=3,p 、q 的夹角为4π，如图1，若=5p +2q ,=p -3q ,D 为BC 的中点，则||为( )A.215B.215C.7D.18图1. 10.要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象( ) A.向左平行移动3π个单位 B.向左平行移动6π个单位C.向右平行移动3π个单位D.向右平行移动6π个单位11.使函数y=sin(2x +∮)+3cos(2x+∮)为奇函数，且在［0,4π］上是减函数的∮的一个值为( )A.3πB.35πC.32πD.34πA.2B.2+2C.2+22D.-2-22二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知tanx=6，那么21sin 2x+31cos 2x=________________.14.已知=2e 1+k e 2,=e 1+3e 2,=2e 1-e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k=______________.15.若|a +b |=|a -b |，则a 与b 的夹角为_______________.16.给出下列五种说法：①函数y=-sin(k π+x)(k ∈Z )是奇函数；②函数y=tanx 的图象关于点(k π+2π,0)(k ∈Z )对称；③函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；④设θ为第二象限角，则tan 2θ＞cos 2θ，且sin 2θ＞cos 2θ；⑤函数y=cos 2x+sinx 的最小值为-1.其中正确的是.____________________ 三、解答题17.（本小题满分10分）已知cosα=31，且-2π＜α＜0, 求αααππαtan )cos()2sin()cot(-+∙--的值..18.（本小题满分12分）已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值.19.（本小题满分12分）已知f(x)=sin(2x+6π)+sin(2x-6π)+2cos 2x+a ，当x ∈［-4π,4π］时，f(x)的最小值为-3，求α的值.20.（本小题满分12分）已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1,x ∈R .（1）求它的振幅、周期和初相；（2）用五点法作出它的简图；（3）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？21.（本小题满分12分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα)，α∈(2π,23π). （1）若||=||，求角α的值；（2）若·=-1，求αααtan 12sin sin 22++的值.22.（本小题满分12分）已知OP =(2,1),OA =(1,7),OB =(5,1).设M 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点），当∙取最小值时：（1）求OM ；（2）设∠AMB=θ，求cosθ的值.新课标盘锦2013-2014学年高一下学期第二次阶段测试数学试题参考答案15答案：90°16思路解析：①∵f(x)=-sin(k π+x)=⎩⎨⎧∈+=∈=-.,12,sin ,,2,sin Z n n k x Z n n k x f(-x)=f(x)，∴f(x)是奇函数，①对.②由正切曲线知，点(kπ,0)(kπ+2π,0)是正切函数的对称中心，∴②对.③f(x)=sin|x|不是周期函数，③错. ④∵θ∈(2kπ+2π,2kπ+π),k ∈Z ，∴2θ∈(kπ+4π,kπ+2π).当k=2n+1,k ∈Z 时，sin 2θ＜cos 2θ.∴④错.⑤y=1-sin 2x+sinx=-(sinx-21)2+45，∴当sinx=-1时，y min =1-(-1)2+(-1)=-1.∴⑤对.答案：①②⑤ 17解：∵cosα=31，且-2π＜α＜0， ∴sinα=322-,cotα=42-. ∴原式=42cos sin sin cot tan )cos(sin )cot(=-=-=--ααααααααt18解：（1）已知向量=(3,-4),=(6,-3), =(5-m,-(3+m))，若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线.∵=(3,1)，AC =(2-m,1-m)， ∴3(1-m)≠2-m. ∴实数m≠21时满足条件. （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB ⊥AC ， ∴3(2-m)+(1-m)=0，解得m=47.20解：y=21cos 2x+23sinxcosx+1=41cos2x+43sin2x+45=21sin(2x+6π)+45. （1）y=21cos 2x+23sinxcosx+1的振幅为A=21,周期为T=22π=π，初相为φ=6π.（2）令x 1=2x+6π，则y=21sin(2x+6π)+45=21sinx 1+45，列出下表，并描出图象如下图所示：x -12π 6π 125π 32π 1211π x 1 0 2ππ 23π 2πy=sinx 1 01-1y=21sin(2x+6π)+45 45 47 45 43 45(3)方法一：将函数图象依次作如下变换：函数y=sinx 的图象−−−−−→−个单位向左平移6π函数y=sin(x+6π)的图象 −−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数y=sin(2x+6π)的图象 −−−−−−−−−−→−)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=21sin(2x+6π)的图象−−−−−→−个单位向上平移45函数y=21sin(2x+6π)+45的图象, 即得函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象.方法二：函数y=sinx 的图象−−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数y=sin2x 的图象−−−−−→−个单位向左平移12π函数y=sin(2x+6π)的图象−−−−−→−个单位向上平移25函数y=sin(2x+6π)+25的 −−−−−−−−−−→−)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=21sin(2x+6π)+45的图象, 即得函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象.21解：（1）∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3), ∴||=αααcos 610sin )3(cos 22-=+-，||=αααsin 610)3(sin cos22-=-+.由|AC |=|BC |,得sinα=cosα. 又∵α∈(2π, 23π)，∴α=45π.（2）由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1. ∴sinα+cosα=32.①又αααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++=2sinαcosα.由①式两边平方,得1+2sinαcosα=94, ∴2sinαcosα=95-.∴αααtan 12sin sin 22++=95-.。

辽宁省沈阳市高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)

高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（） A ．第一象限角一定是锐角 B ．终边相同角一定相等 C ．小于90°的角一定是锐角 D ．钝角的终边在第二象限【答案】D【分析】根据象限角和终边相同的角，以及锐角和钝角的定义，判断选项中的命题是否正确即可.【详解】对于A ，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，{}|36036090Z k k k αα︒︒︒⋅<<⋅+∈，故A 错误；对于B ，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B 错误； 360Z k k ︒⋅∈，对于C ，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C 错误；对于D ，钝角是大于90°且小于180°的角，故D 正确；故选：D.2．在半径为5cm 的扇形中，圆心角为2rad ，则扇形面积为（） A ．25cm B ．10cm C ． D ．225cm 210cm 【答案】C【分析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】由扇形面积可得，，22211=2525(cm )22S r α=⨯⨯=故选：C.3．若向量，，若与所成角为锐角，则n 的取值范围是（）)a =(b n = a bA ．B ．且 1n >3n >-1n ≠C ．D ．且3n >-31n -<<0n ≠【答案】B【分析】解不等式即得解.0a b ⋅=+>30n ≠【详解】由题得.0,3a b n ⋅=+>∴>-因为与.a b30,1n n ≠∴≠综合得且.3n >-1n ≠4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）()sin 2,R f x x x =∈()sin(2),R 3g x x x π=+∈A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 3π3πC ．向左平移个单位D ．向右平移个单位6π6π【答案】D【分析】函数图像左右方向平移遵循“左加右减”原则. 【详解】由于把函数的图象向左平移个单位，sin 2y x =6π可得的图象，sin 2(sin(263y x x ππ=+=+故为了得到函数的图象，()sin 2,R f x x x =∈只需把的图象上所有点向右平移个单位长度即可.()sin(2),R 3g x x x π=+∈6π故选：D.5．函数在区间（，）内的图象是( ) tan sin tan sin y x x x x =+--2π32πA ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|= 2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示，故选D ．6．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=a b (6,8)a =- 5b = b bA ．B ．C ．D ．(3,4)--(4,3)(4,3)-(4,3)--【答案】D【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即b可．【详解】设(,)b x y =①， ,0,680,a b a b x y ⊥∴⋅=∴-=，②，5=与向量(1，0)夹角为钝角，，③，b0x ∴<由①②③解得，，43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)b ∴=-- 故选：D ．7．设函数f (x )=cos (x +)，则下列结论错误的是3πA ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=对称 83πC ．f(x+π)的一个零点为x=D ．f(x)在(,π)单调递减6π2π【答案】D【详解】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；f ＝cos ＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； 8π3⎛⎫⎪⎝⎭8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵f (x ＋π)＝cos ＝－cos ，∴f ＝－cos ＝－cos ＝0，故C 正确；ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π由于f ＝cos ＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在上不单调，故D 错误． 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭2ππ33⎛⎫+⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选D.8．在信息传递中多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号（形如，某种“信号净化器”可产生形如的波，只()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()000sin y A x ωϕ=+需要调整参数，就可以产生特定的波（与干扰波波峰相同，方向相反的波）来“对抗”干()000,,A ωϕ扰.现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波（标准正弦函数图象），应将波形净化器的参数分别调整为（）A ．，，B ．，，034A =04ω=06ϕπ=034A =-04ω=06ϕπ=C ．，， D ．，，01A =01ω=00ϕ=01A =-01ω=00ϕ=【答案】B【分析】由题图得，求得，再由函数的最大值求得A ，将代入，2T π=ω3,34π⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin 44y x ϕ=+可解得，由此求出非标准正弦波对应的函数，取A 的相反数即可得答案.6πϕ=【详解】解：设干扰信号对应的函数解析式为.()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭由题图得，（T 为干扰信号的周期），解得，33244T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭2T π=所以. 2242Tππωπ===∵函数的最大值为，∴.将代入，解得，，∵3434A =3,34π⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin 44y x ϕ=+26k πϕπ=+Z k ∈，2πϕ<∴.∴.6πϕ=3sin 446y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以欲消除的波需要选择相反的波，即，3sin 446y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin 446y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以，，，034A =-04ω=06ϕπ=故选：B.二、多选题9．下列例题中正确的是（）A ．已知，且，则0c ≠ a c b c ⋅=⋅ a b =B ．若非零向量，满足，则与的夹角是60°a b a b a b ==- a a b +C ．若点为内一点，满足，则点是的垂心H ABC HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅H ABC D ．向量，满足，且，则的最小值为 a b 1a b == ()0ta tb t > a b ⋅ 12【答案】CD【分析】A.举反例判断该选项；B.求得与的夹角是30°，即可判断该选项；C. 证明a ab +,,得点是的垂心，即可判断该选项；D. 先求出，再利用基HB AC ⊥HA BC ⊥H ABC 144t a b t⋅=+ 本不等式求最值判断该选项.【详解】A. 已知，如果，满足，但是，所以该选项错误；0c ≠,a c b c ⊥⊥ 0a c b c ⋅=⋅=a b≠ B. 由得，所以a b a b ==- 222a b a b ==⋅||a b+== ，设与的夹角为，所以|a = a a b + α()cos ||||a a b a a b α⋅+=+ ==，所以，则与的夹角是30°，所以该选项错误；[0,180]α∈ 30α= a a b +C. ，则,同理,所以点是0,()0,0HAHB HB HC HB HA HC HB CA ⋅-⋅=∴⋅-=∴⋅=HB AC ⊥HA BC ⊥H 的垂心，所以该选项正确；ABC D.把平方化简得，当且仅当时取等.tatb 11442t a b t ⋅=+≥= 1t =所以该选项正确. 故选：CD10．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><（）A ．()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上增函数()f x 23[]π,π-C ．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 ()f x π2D ．，若恒成立，则.ππ,3x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦3()3π32f x a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭a 2【答案】ACD【分析】对A ，由函数图像即可算出函数的周期，由,即可求出，再代入一个最高点即T 2T πω=ω可求出函数的解析式；对B 、C ，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对D ，通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值.a 【详解】对A ，由题意知，，，2,A =6πT =2π16π3ω∴==()2π2f = 2π(2π)2sin()23f ϕ∴=+=，即，（），（），又，，2πsin()13ϕ+=2ππ2π32k ϕ∴+=+Z k ∈π2π6k ϕ∴=-Z k ∈πϕ< π6ϕ∴=-，所以A 正确；()1π2sin 36f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对B ，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，()y f x =231π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，[]ππx ∈- ，2π1ππ3263x ∴-≤-≤在上不单调递增，故B 错误；1π2sin 26y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭[]π,π-对C ，把的图像向左平移个单位，则所得函数为，是奇()y f x =π21ππ2sin 2sin 3263x y x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数，故C 正确；对D ，对，恒成立，即，恒成立，令ππ33x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，3π(3)2f x a f ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭3π(3)2a f f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ππ33x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，，，则，，3π()(3)2g x f f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π()2sin(6g x x =-ππ33x -≤≤ πππ266x ∴-≤-≤，，，1()2g x ≤≤2a ∴≥+，故D 正确.a ∴2故选：ACD.11．已知，，为坐标原点，如图四边形为平行四边形，下列结论正确的是()2,1A ()3,4B -O OACB （）A ．2260OC AB += B ．在上的投影的数量为OC OB 235C ． 112OAB S =△D ．的重心坐标为ABC 210,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据平面向量的坐标运算，表示出，利用坐标运算法则可判断A ；在上投OC ABOC OB 影长度可以利用投影定义和数量积基本公式来计算，进而判断B ；根据向量的运算法则计算出OA，的模长及夹角，结合面积公式计算面积即可判断C ；根据三角形的重心坐标公式可以判断D. OB【详解】设点的坐标为，，， C (,)a b (3,4)BC a b =+-u u u r(2,1)OA =∵四边形为平行四边形，OACB ，OA BC ∴=u u r u u u r，即，，点坐标为， 3241a b +=⎧∴⎨-=⎩1a =-5b =C (1,5)-所以，(5,3)AB =-u u u r，选项A 正确；2212525960OC AB ∴+=+++=u u u r u u u r 设与的夹角为，根据投影定义可知，在上的投影为，选OC OB αOC OB 23||cos 5||OC OB OC OB α⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r 项B 正确；在中，，，OAB ||OA ||5OB =u u u r 642OA OB ⋅=-+=-u u r u u u r设与的夹角为，OC OBβ所以cos ||||OA OB OA OB β⋅===u u r u u u r u u u r u u u r sin AOB ∠=，选项C 正确；1111||||sin 5222OAB S OA OB AOB ∴=∠==V u u r u u u r 根据三角形重心公式可得，的重心坐标为，即，选项D 错误. ABC 231145(,33--++210(,)33-故选：ABC.12．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考故难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l 的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，P Q O O P 的角速度大小为，起点为与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为5rad ／s ，起点为射线2rad/s O与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（） ()0y x =≥O Q P Q A ．B ．2π2πcos ,sin 99⎛⎫ ⎪⎝⎭5π5πcos ,sin 99⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭ππcos ,sin 99⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，由t P Q (cos 2,sin 2)t t ，可用含的式子表示，再根据的取值，代入运算，得解． π522π,Z 3t t k k -=+∈k t k 【详解】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为， t P Q (cos 2,sin 2)t t 由题意可得，，解得， π522π,Z 3t t k k -=+∈π2π,Z 93k t k =+∈当时，，，所以点的坐标均为，故选项A 正确；0k =π9t =2π29t =Q 2π2π(cos ,sin )99当时，，，所以点的坐标均为，故选项1k =7π9t =14π29t =Q 14π14π5π5π(cos,sin )(cos ,sin 9999=--B 正确；当时，，，所以点的坐标均为，故选项2k =13π9t =26π29t =Q 26π26πππ(cos,sin )(cos ,sin )9999=-D 正确，选项C 错误；故选：ABD.三、填空题13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且αx (),1A x -，则的值为______． cos 2xα=x【答案】0或【分析】根据三角函数的定义，列方程，即可求解.【详解】因为角终边上有一点，所以 α(),1A x -r =所以，得，cos 2x α==)20x=解得：或. 0x =x =故答案为：或014．已知函数的定义域为______．()f x =()f x 【答案】 ππ{|ππ+,Z}32x k x k k -<≤∈【分析】即得解.πtan 06x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭【详解】，ππtan 0,tan 66x x ⎛⎫⎛⎫-≥∴-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. πππππππ+,Z ππ+,Z 26332k x k k k x k k -<-≤∈∴-<≤∈所以函数的定义域为. ππ{|ππ+,Z}32x k x k k -<≤∈故答案为： ππ{|ππ+,Z}32x k x k k -<≤∈15．已知中，，，是边的中点，为所在平面内一点，若PAB 2AB =PA PB =C AB Q PAB CPQ是边长为2的等边三角形，则的值为______． AP BQ ⋅或1+1【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求解作答. 【详解】在中，，，是边的中点，有， PAB 2AB =PA PB =C AB PC AB ⊥以点为原点，直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，C AB则，因为等边的边长为2，则点或，(1,0),(1,0),(0,2)A B P -CPQ Q (Q，当时，，则，(1,2)AP =Q 1,1)BQ = 121AP BQ ⋅=+=当时，，则. (Q(1,1)BQ =121AP BQ ⋅=+=+或1116．函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为()ππ2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1112x g x --=[]6,8-______．【答案】5【分析】画出与图象，由与都关于对称，运用图象对称性可得交点的对称()f x ()g x ()f x ()g x 1x =性即可求得结果. 【详解】因为，，解得：，， ππππ442x k +=+Z k ∈14x k =+Z k ∈所以是的一条对称轴， 1x =()f x 又因为，|21|1|1|111(2)()22x x g x g x ------===所以关于对称，()g x 1x =又因为，， 21,1()22,1x x x g x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(1)(1)2f g ==则与图象如图所示，()f x ()g x则与在有5个交点，()f x ()g x [6,8]-设这5个交点从左到右的横坐标分别为，，，，， 1x 2x 3x 4x 5x 则，，， 152x x +=242x x +=31x =所以. 123455x x x x x ++++=故答案为：5.四、解答题17．已知 ()()()()()πsin sin tan π2tan 2πsin π+f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-(1)化简． ()f α(2)若为第三象限角，且，求的值． α3π1cos 25⎛⎫-= ⎪⎝⎭α()f α【答案】(1)()fαcos α=(2)()f α=【分析】（1）利用诱导公式即可化简.()f αcosα=（2）利用诱导公式求得利用诱导公式，再利用同角三角函数的基本关系求得的值.()cos f αα==【详解】（1） ()()()()()πsin sin tan π2tan sin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-+． ()()()cos sin tan tan sin ααααα⋅-⋅-=-⋅-cos α=（2）∵为第三象限角，且， α3π1cos sin 25⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭αα∴，．1sin 5α=-()cos f αα===18．已知. 1sin cos 5αα+=-（1）求的值.sin cos αα⋅（2）若，求的值. 2απ<<π11sin cos αα-【答案】（1）；（2）. 1225-3512【解析】（1）把平方即得解； 1sin cos 5αα+=-（2）求出，即得解.cos sin αα-【详解】解：（1）， 21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+∴. 12sin cos 25αα=-（2）， 11cos sin sin cos sin cos αααααα--=∵， 21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-= ⎪⎝⎭又∵，∴，，， ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α<sin 0α>cos sin 0αα-<∴， 7cos sin 5αα-=-∴原式. 7355121225-==-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断的符号，要结合的范围判断.cos sin αα-α19．已知点A 在平面直角坐标系中的坐标为，平面向量，，且()1,1()1,2a =- ()4,b m = 1,2c n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，． a b⊥ //a c (),AB m n = (1)求实数m ，n 及点B 的坐标；(2)求向量与向量夹角的余弦值．AB a 【答案】(1)，，；(2)． 2m =1n =-()3,0B 45【分析】(1)由，据此可得m 的值，由可得n 的值，结合向量的坐标420a b a b m ⊥⇒⋅=-=//a c 运算确定点B 的坐标即可.根据向量的夹角公式，计算夹角的余弦值即可. ()2cos AB < AB a a AB a⋅>= 【详解】，，()1420a b a b m ⊥⇒⋅=-= 2m ∴=， 1//212a c n ⇒=-⨯=- 所以，因为，()(),2,1AB m n ==- ()1,1A 所以， ()()()1,12,13,0OB OA AB =+=+-= 所以；()3,0B 由可知，． ()2()1cos AB < 45AB a a AB a⋅>===【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量夹角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．已知函数在一个周期的图像上有相邻的最高点()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭和最低点． π,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭7π,312Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求，，的值；A ωϕ(2)设函数当时，总存在两个零点，求实数的取值范围． ()()2g x f x m =--π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)，，； 3A =2ω=π3ϕ=(2). 2,1⎫-⎪⎪⎭【分析】（1）根据函数的最值求出，根据函数的周期求出，再根据函数的图象经过求A ωπ,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭出的值得解；ϕ（2）由题得，等价于，，有两解，数形结合分析得解. π3sin 223m x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin 2m t =-π4[,π]33t ∈【详解】（1）由函数在一个周期的图象上有相邻的最高点和最低点． ()f x π,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭7π,312Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭知，，所以，． 3A =7πππ212122T =-=πT =2ω=∴，∵在函数上， ()()3sin 2f x x ϕ=+π,312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ∴，∴. ππ22π122k ϕ⨯+=+π2πZ 3k k ϕ=+∈，∵，∴，∴，，. π2ϕ<π3ϕ=3A =2ω=π3ϕ=（2）由（1）得 ()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴ ()π3sin 223g x x m ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∴. π3sin 223m x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵，∴ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦设，所以，. ππ42,[,π]333x t t +=∈3sin 2m t =-π4[,π]33t ∈∵时有两解， ∴，∴ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin t ⎫∈⎪⎪⎭2,1m ⎫∈-⎪⎪⎭∴实数m 取值范围为. 2,1⎫⎪⎪⎭21．已知，，函数的最小值为()cos sin ,2a x x a =+- ()cos sin ,1cos b x x x =-+ ()f x a b =⋅ ．()()R g a a ∈(1)求；()g a (2)若，求及此时的最大值． ()12g a =a ()f x 【答案】(1)；()21,2,21,22214, 2.a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩(2)，最大值5．1a =- 【分析】（1）化简得，再对分三种情况讨论，利用二次函数的图22()2(cos )2122a a f x x a =----a 象和性质得解；（2）对分三种情况讨论，求出的值，再利用二次函数的图象求解.a a 【详解】（1）由()()()()cos sin cos sin 21cos f x a b x x x x a x =⋅=+--+ ． 22cos sin 22cos x x a a x =---()22cos 2cos 21x a x a =--+222(cos 2122a a x a =----这里．1cos 1x -≤≤①当即时，； 112a -≤≤22a -≤≤()()2min 212a f x g a a ==---②当即，时，； 12a >2a >cos 1x =()()min 14f x g a a ==-③当即，时，． 12a <-2a <-cos 1x =-()()min 1f x g a ==因此，；()21,2,21,214, 2.a a g a a a a <-⎧⎪⎪=---⎨⎪->⎪⎩22a -≤≤（2）， ()12g a =①若，则有，得，矛盾； 2a >1142a -=18a =②若，则有， 22a -≤≤212122a a ---=即，∴或（舍），2430a a ++=1a =-3a =-∴时，． ()12g a =1a =-③若，，所以此时无解. 2a <-()112g a =≠所以． 1a =-此时，，当时，取得最大值5． ()2112cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos 1x =()f x 22．已知函数的振幅为1，函数在区间单()()πsin 0,,N 2f x A x A ωϕϕω+⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭()f x ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭调，且． π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求图像的一条对称轴；()y f x =(2)若． π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【答案】(1) 7π12x =(2)π3【分析】（1）由振幅为，得，由函数在区间单调，得，且，则11A =()f x ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭2π3T ≥N ω+∈，再由，取其中点值，即可得图像的一条对称轴； 1,2,3ω=π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x（2）结合正弦函数得单调性与周期性，可得，从而知，又3ω≤1,2,3ω=π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭或，，结合函数的一条对称轴方程为，可得ππ2π63k ωϕ+=+π2π2π63k ωϕ+=+Z k ∈()f x 7π12x =，，再分两种情况，即可求解. 7πππ122m ωϕ+=+m ∈Z 【详解】（1）∵振幅为，∴，11A =∵函数在区间单调，则， ()f x ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭πππ2263T ≥-=∴即， 2π3T ≥2π2π3ω≥∴，3ω≤∵，∴N ω+∈1,2,3ω=又∵， π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴的一条对称轴方程为. ()f x 1π2π7π22312x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭（2）由（1）知，， 2π3T ≥1,2,3ω=∵ π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴或，， ππ2π63k ωϕ+=+π2π2π63k ωϕ+=+Z k ∈∵为对称轴，∴，， 7π12x =7πππ122m ωϕ+=+m ∈Z 若 ππ2π637πππ122k m ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩①②得：， ②①-()5ππ2π126m k ω=+-∴，又且，所以没有值使得上式成立； ()212255m k ω=+-2Z m k -∈1,2,3ω=若 π2π2π637πππ122k m ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩③④得：， -④③()5ππ2126m k ωπ=-+-∴，又且， ()212255m k ω=-+-2Z m k -∈1,2,3ω=∴时，，21m k -=2ω=此时，，又， π2π3k ϕ=+π2ϕ<∴，即初相为． π3ϕ=π3。

高一数学月考试题带答案-沈阳市沈阳铁路实验中学2013-2014学年高一下学期第一次月考

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．执行右面的程序框图，若输出的结果是3132，则输入的a 为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是( )A. 19B. 16C. 24D. 364．已知与之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 ˆ0.35ybx =+ ，那么 b 的值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.85．将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数221y ax bx =-+在1(,]2-∞上为减函数的概率是（）A ．14 B ．34C ．16 D ．566．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10 000名学生成绩，并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图所示)，则总成绩在[400,500)内共有( )．是否x yA ．5000人B ．4500人C ．3250人D ．2500人7．某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为（）A ．110B ．100C ．90D ．808．若有一扇形的周长为60 cm ，那么扇形的最大面积为( )A ．500 cm 2B ．60 cm 2C ．225 cm 2D ．30 cm 29（）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos2 10．有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，怎可以中奖，小明希望中奖，则他应该选择的游戏是11．在区间[]1,1-上随机取一个数，使2cos xπ的值介于22到1之间的概率为 ( ) A.31 B. 21 C. π2D. 32 12.若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( ) A ．2或－2 B ．－2或0 C ．2或－2 D ．0或2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．用秦九韶算法计算65432()3562083512f x x x x x x x =+++-++, 当2x =-时,=4v __________.14．某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖.现在向上抛掷半径为的圆碟，圆碟落地后与地砖间的间隙不相交的概率大约是 .15．若α为第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝16．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

辽宁省沈阳二中高一数学下学期4月月考试卷(含解析)

2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）4月月考数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．的值等于（）A．B．C．D．2．已知向量与的夹角为120°，，则等于（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 13．设，则arccos（cosα）的值是（）A．B．C．D．4．如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则•的值是（）A．B． 3 C．﹣D．﹣35．函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C． a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜27．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是（）A．B．C．D．8．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．已知函数，若且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=x3，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．C．（﹣∞，0）D．（0，1）11．x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，6）C．D．12．在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在三棱锥ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为．14．已知在函数f（x）=sin 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为．15．若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是．16．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（，﹣1），=（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量=+（sinα﹣3）•，=﹣k+（sinα），且⊥，试求实数k的取值范围．18．f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R，a≠0），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（﹣x）﹣mf（x）+1，若g（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数m的范围；（3）设h（x）=log2[n﹣f（x）]，若此函数不存在零点，求n的范围．19．已知sinx+siny=，求sinx﹣cos2y的最大值和最小值．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），最大值为2，函数与直线y=1的交点中，距离最近两点间的距离为，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且，求f（x）的单调递增区间．21．已知定义在R上的偶函数f（x）=a•3x+3﹣x，a为常数，（1）求a的值；（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；（3）若关于x的方程f（b）=f（|2x﹣1|）（b为常数）在R上有且只有一个实根，求实数b 的取值范围．22．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．的值等于（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=故选A．点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．2．已知向量与的夹角为120°，，则等于（）A． 5 B． 4 C． 3 D． 1考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．分析：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．解答：解：∵向量与的夹角为120°，，∴，∵，∴，∴=﹣1（舍去）或=4，故选B．点评：两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．3．设，则arccos（cosα）的值是（）A．B．C．D．考点：反三角函数的运用．专题：计算题；压轴题．分析：先求cosα的值，再利用反三角函数运算法则直接求解即可．解答：解：因为cos=﹣所以：arccos（）=故选C．点评：本题考查反三角函数的运用，三角函数求值，是基础题．4．如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则•的值是（）A．B． 3 C．﹣D．﹣3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．由E为DC的中点，可得．因此．再利用数量积的坐标运算即可得出．解答：解：如图所示，B（0，0，0），E，D（3，3）．∴=（3，3），=．∴=﹣．∵E为DC的中点，∴．∴．∴•===﹣．故选：C．点评：本题考查了向量的共线定理、数量积的坐标运算，属于基础题．5．函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：函数的定义域是实数，推出分母不为0，对a分类a=0和a≠0讨论利用△＜0，求解即可得到结果．解答：解：函数的定义域为R，只需分母不为0即可，所以a=0时，分母变为4x+3，则当x=时，分母为0，定义域不是R，故a≠0，要使定义域为R，△＜0，16﹣12a＜0，∴a，故选：D．点评：本题主要考查函数定义域的应用，本类问题主要转化为函数在已知定义域上恒成立问题解决．6．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C． a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：计算题；转化思想．分析：根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．解答：解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．点评：把转化为f（1）＜1，依据就是函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，体现了转化的数学思想，好题．属中档题．7．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（|x|）|的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：作图题．分析：先根据图象的平移规律得到y=2x﹣2的图象；再根据偶函数的性质得到y=f（|x|）的图象，最后再对y=f（|x|）中函数值大于0的图象不动，函数值小于0的沿x轴对折即可得到y=|f（|x|）|的图象．解答：解：y=2x的图象如图①；把其向下平移2个单位得到f（x）=y=2x﹣2的图象，如图②；因为y=f（|x|）是偶函数，把②的图象y轴右边的部分不动，左边的与右边的关于轴对称即可，即为图③；把③中函数值大于0的图象不动，函数值小于0的沿x轴对折即可得到y=|f（|x|）|的图象，如图④．故选A．点评：本题主要考查指数运算以函数图象的平移规律，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．8．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．9．已知函数，若且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω的值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，直线x==为f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的一条对称轴，且ω•+=2kπ﹣（k∈Z），由ω＞0，即可求得答案．解答：解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），且f（）=f（），在区间（，）上有最小值，无最大值，∴直线x==为f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的一条对称轴，∴ω•+=2kπ﹣（k∈Z），∴ω=4（2k﹣）（k∈Z），又ω＞0，∴当k=1时，ω=．故选：C．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，求得ω•+=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于中档题．10．设函数f（x）=x3，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m 的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．C．（﹣∞，0）D．（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：由于f（x）=x3，0≤θ≤利用导数可判断f（x）为奇函数，增函数，可得f（mcosθ）＞f（m﹣1），从而得出mcosθ＞m﹣1，根据cosθ∈[0，1]，即可求解．解答：解：由函数f（x）=x3，可知f（x）为奇函数，f′（x）=3x2≥0恒成立∴f（x）=x3是增函数；且f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）是奇函数∵f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m﹣1）恒成立，∴mcosθ＞m﹣1，令g（m）=（cosθ﹣1）m+1，则g（m）=（cosθ﹣1）m+1＞0恒成立．∵0≤θ≤∴cosθ∈[0，1]，∴cosθ﹣1≤0，∴∴m＜1．故选A点评：本题考查了函数恒成立的问题，解题的关键在于对函数f（x）=x3单调性、奇偶性的判断，考查转化思想与构造函数的方法，属于中档试题．11．x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，6）C．D．考点：函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，可转化成f （x）=1+2x+（a﹣a2）4X＞0在（﹣∞，1]上恒成立，然后将a分离出来，在利用二次函数在给定区间上求出不等式另一侧的最值，从而求出a的取值范围．解答：解：∵x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X的图象在x轴的上方，∴f（x）=1+2x+（a﹣a2）4X＞0在（﹣∞，1]上恒成立，即a2﹣a＜=在（﹣∞，1]上恒成立，令g（x）=，x∈（﹣∞，1]，再令t=，则t≥，g（x）=t2+t≥，∴a2﹣a＜，解得﹣＜a＜，∴实数a的取值范围是﹣＜a＜．故选D．点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及函数恒成立问题，常常利用参变量分离的方法，同时考查了转化的思想，属于中档题．12．在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．解答：解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在三棱锥ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为43π．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）DE==4，DF=3，EF==，∴GF=，球半径DG==，∴外接球的表面积为4π×DG2=43π，故答案为：43π．点评：本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力．14．已知在函数f（x）=sin 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2+y2=R2上，则f（x）的最小正周期为 4 ．考点：正弦函数的图象；圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由正弦函数的周期公式可求得其周期T=2R，依题意，（R，）与（﹣，﹣）在x2+y2=R2上，可求得R，从而可求得f（x）的最小正周期．解答：解：∵f（x）=sin ，∴其周期T==2R，又（R，）与（﹣，﹣）为函数f（x）=sin 图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点，由题意得：（R，）与（﹣，﹣）为x2+y2=R2上的点，∴+3=R2，∴R2=4，∴R=2．∴f（x）的最小正周期为4．故答案为：4．点评：本题考查正弦函数的周期性与最值，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．15．若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是[，] ．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：不妨设||=1，则||=||=λ．令=，=，以OA、OB为临边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，与的夹角等于π﹣θ，且0＜θ＜．△OAC中，由余弦定理求得cos2θ的范围，从而求得θ的范围，即可得到与的夹角的取值范围．解答：解：∵，不妨设||=1，则||=||=λ．令=，=，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，且0＜θ＜．而由题意可得，与的夹角，即与的夹角，等于π﹣θ．△OAC中，由余弦定理可得 OC2=1=OA2+AC2﹣2OA•AC•cos2θ=λ2+λ2﹣2•λ•λcos2θ，解得 cos2θ=1﹣．再由≤λ≤1，可得≤≤，∴﹣≤cos2θ≤，∴≤2θ≤，∴≤θ≤，故≤π﹣θ≤，即与的夹角π﹣θ的取值范围是[，]，故答案为：[，]．点评：本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，余弦定理以及不等式的性质的应用，属于中档题．16．已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x﹣）是奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）是偶函数；④函数f（x）在R上是单调函数．在上述四个命题中，正确命题的序号是①②③（写出所有正确命题的序号）考点：奇函数；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性．专题：压轴题；存在型．分析：题目中条件：f（x+）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．解答：解：对于①：∵f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3．①对对于②：∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称又∵函数f（x）的图象是由y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到．∴函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故②对．对于③：由②知，对于任意的x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（x），用换x，可得：f（﹣﹣x）+f（x）=0∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立．令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，③对．对于④：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，④不对．故答案为：①②③．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（，﹣1），=（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量=+（sinα﹣3）•，=﹣k+（sinα），且⊥，试求实数k的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，先求出，，的值，由=0得到4k=（sinx﹣）2﹣，利用二次函数的性质求得4k的最值，即可得到实数k的值域．解答：解：=4，=1，=0，由题意得：=﹣k+sinα﹣k（sinα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=﹣4k+0+0+sinα（sinα﹣3）=0，∴4k=（sinα﹣），当sinα=1时，4k有最小值为﹣2，当sinx=﹣1时，4k有最大值为4，故k最小值为﹣，K的最大值为1，综上，实数k的取值范围为[﹣，1]点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，以及二次函数的最值的求法．18．f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R，a≠0），f（﹣2）=f（0）=0，f（x）的最小值为﹣1，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（﹣x）﹣mf（x）+1，若g（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数m的范围；（3）设h（x）=log2[n﹣f（x）]，若此函数不存在零点，求n的范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据已知条件有，这样便可解出a=1，b=2，c=0，从而f（x）=x2+2x；（2）求g（x）=（1﹣m）x2﹣2（1+m）x+1，根据g（x）是否为二次函数，讨论m：m=1时，容易判断出符合条件，m＜1，m＞1时，g（x）都为二次函数，根据二次函数的单调区间和对称轴的关系即可求出m的范围，并上m=1即可得出m的范围；（3）求出h（x）=，该函数无零点，从而有﹣x2﹣2x+n＞0，且﹣x2﹣2x+n≠1，由判别式的取值即可得出n的范围．解答：解：（1）由条件；解得a=1，b=2，c=0；∴f（x）=x2+2x；（2）g（x）=（1﹣m）x2﹣2（1+m）x+1；①若m=1，则g（x）=﹣4x+1满足在[﹣1，1]上为减函数；②若m＜1，1﹣m＞0，g（x）的对称轴为x=；g（x）在[﹣1，1]上为减函数；∴；解得0≤m＜1；③若m＞1，1﹣m＜0；∴；解得m＞1；∴综上得实数m的范围为[0，+∞）；（3）h（x）=则﹣x2﹣2x+n＞0，且﹣x2﹣2x+n≠1；﹣x2﹣2x+n＞0；∴△=4+4n＞0；∴n＞﹣1；﹣x2﹣2x+n≠1；∴﹣x2﹣2x+n﹣1≠0；∴△=4+4（n﹣1）＜0；∴n＜0；∴﹣1＜n＜0；∴n的范围为（﹣1，0）．点评：考查求二次函数最值的公式，已知函数解析式求值，二次函数单调性和其对称轴的关系，以及解分式不等式，函数零点的定义，一元二次方程是否有解与判别式取值的关系，要熟悉二次函数的图象．19．已知sinx+siny=，求sinx﹣cos2y的最大值和最小值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由已知等式变形表示出sinx，根据sinx的值域确定出siny的范围，把表示出sinx 代入原式，并利用同角三角函数间基本关系变形，利用二次函数性质求出最大值与最小值即可．解答：解：由sinx+siny=，得sinx=﹣siny，∵﹣1≤sinx≤1，∴﹣≤siny≤1，∵sinx﹣cos2y=sin2y﹣siny﹣=（siny﹣）2﹣，∴当siny=时，最小值为﹣；当siny=﹣时，最大值为．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），最大值为2，函数与直线y=1的交点中，距离最近两点间的距离为，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且，求f（x）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且，求出φ的值，可得函数的解析式；再利用正弦函数的单调性，求出f（x）的增区间．解答：解：因为函数的最大值为2，所以A=2，因为由2sin（ωx+ϕ）=1，可得或者，则或，所以距离最短为．若对x∈R恒成立，则，所以，．由，（k∈Z），可知sin（π+φ）＞sin（2π+φ），即sinφ＜0，所以，代入f（x）=sin（2x+φ），得．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ﹣，所以单调递增区间为．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，正弦函数的单调性，属于基础题．21．已知定义在R上的偶函数f（x）=a•3x+3﹣x，a为常数，（1）求a的值；（2）用单调性定义证明f（x）在[0，+∞）上是增函数；（3）若关于x的方程f（b）=f（|2x﹣1|）（b为常数）在R上有且只有一个实根，求实数b 的取值范围．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；证明题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）运用偶函数的定义，即可得到a=1；（2）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论等步骤；（3）由偶函数和f（x）在[0，+∞）上是增函数，得到b=|2x﹣1|和﹣b=|2x﹣1|，通过函数y=±b和y=|2x﹣1|的图象即可得到所求范围．解答：解：（1）由f（﹣x）=f（x）得a•3﹣x+3x=a•3x+3﹣x，所以（a﹣1）（3x﹣3﹣x）=0对x∈R恒成立，所以a=1；（2）证明：由（1）得f（x）=3x+3﹣x，任取m，n∈[0，+∞），且m＜n，则f（m）﹣f（n）=3m+3﹣m﹣3n﹣3﹣n=，由0≤m＜n，得3m﹣3n＜0，3m+n＞0，3m+n﹣1＞0则f（m）﹣f（n）＜0即有f（m）＜f（n），所以f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（3）因为偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，又f（b）=f（|2x﹣1|），①当b≥0时，得b=|2x﹣1|在R上有且只有一个实根，所以函数y=b与y=|2x﹣1|的图象有且只有一个交点，由图象得b≥1或b=0；②当b＜0时，得﹣b=|2x﹣1|在R上有且只有一个实根，所以函数y=﹣b与y=|2x﹣1|的图象有且只有一个交点，由图象得b≤﹣1综上所述：b≤﹣1或b=0或b≥1．点评：本题考查函数的奇偶性及运用，考查函数的单调性的判断及运用，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．22．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．专题：应用题．分析：要求的夹角θ取何值时的值最大，我们有两种思路：法一：是将向量根据向量加减法的三角形法则，进行分析，分解成用向量表示的形式，然后根据，即=0，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出的最大值；法二：是以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．求出各顶点的坐标后，进而给出向量的坐标，然后利用平面向量的数量值运算公式，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出的最大值．解答：解：如下图所示：解法一：∵，∴．∵，∴===﹣=﹣a2+a2cosθ．故当cosθ=1，即θ=0（与方向相同）时，最大．其最大值为0．解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB|=c|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|=2a，|BC|=a．设点P的坐标为（x，y），则Q（﹣x，﹣y）．∴，．∴=﹣（x2+y2）+cx﹣by．∵cosθ=．∴cx﹣by=a2cosθ．∴．故当cosθ=1，即θ=0（与方向相同）时，最大，其最大值为0．点评：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力．。

20132014学年下学期期末高一数学参考答案do

2013－2014学年下学期期末调研考试试卷高一数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．B 2．C 3．A. 4. D 5. Ｂ 6．Ａ7．B 8．B 9．Ａ 10．C 11．C 12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、2； 14、4.05.0+=x y ；15、54-；16、①③.三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）秦九韶算法中对公式⎩⎨⎧⋅⋅⋅=+==--),,2,1(,10n k a x v v a v k n k k n 要反复执行，写出算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次项的系数n a 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1-n第三步，输入i 次项的系数i a .第四步，1,-=+=i i a vx v i .第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v .请在答题卷已经画出的程序框图内填上相应的内容，每个图框1分．解：开始；输入n ，n a ，x 的值；n a v =；1-=n i ；1-=i i ；i a vx v +=；输入i a ；?0≥i ；输出v ；结束．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,2tan ,54cos ==B A 求)22tan(B A +的值．解法一：在ABC ∆中，由,0,54cos π<<=A A 得 .53541cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ……………3分所以,434553cos sin tan =⨯==A A A ……………5分 .724431432tan 1tan 22tan 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-=A A A ……………8分又,2tan =B 所以.34tan 1tan 22tan 2-=-=BB B ……………10分于是().117442tan 2tan 12tan 2tan 22tan =-+=+B A B A B A ……………12分解法二：在ABC ∆中，由,0,54cos π<<=A A 得 .53541cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ……………3分所以.434553cos sin tan =⨯==A A A ……………6分又,2tan =B 所以().211tan tan 1tan tan tan -=-+=+B A B A B A ……………9分于是()()[].11744)(tan 1)tan(22tan 22tan 2=+-+=+=+B A B A B A B A ……………12分19．(本小题满分12分)已知→a =(1,0),→b =(0,1),若向量→c =(,)m n 满足0)()(=-⋅-→→→→c b c a ,试求点(,)m n 到直线10x y ++=的距离的最小值.解:将c =(,)m n ,代入()()-⋅-=a c b c 0得(1)(1)0m m n n ----=,……………4分 ∴22111()()222m n -+-=,它表示以11(,)22为圆心,2为半径的圆. ……………8分 ∵圆心11(,)22到直线10x y ++=的距离d ==……………10分点(,)m n 到直线10x y ++=的距离的最小值为d r -==………12分20．（本小题满分12分）某小学六三班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高，并求该组数据的中位数；（2）若要从分数在[]100,80之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[]100,90之间的概率.解：（1）设该班共有N 个学生，所以成绩落在[)50,60的频率为2/N,由频率分布直方图可知成绩落在[)50,60的频率为0.008*10=0.08即2/N=0.08，所以N=25--------------------2分由茎叶图可知成绩落在[)80,90的频数为4，频率为4/50=0.16, 所以频率分布直方图中[)80,90 间的矩形的高为0.016， ----------4分中位数为73.- ------------------6分（2）记“在抽取的试卷中，至少有一份分数在[]90,100之间”为事件A. ------7分设在[)80,90的成绩分别为d c b a ,,,，易知分数在[]100,90的为95，98.所以分数在[]100,80之间的分数共6个，从这6个中任取2个的所有情况为：(),,b a (),,c a (),,d a (),95,a (),98,a (),,c b (),,d b (),95,b (),98,b (),,d c (),95,c (),98,c (),95,d (),98,d ()98,95，共15种不同情况. ------10分其中事件A 包含的情况有(),95,a (),98,a (),95,b (),98,b (),95,c (),98,c (),95,d (),98,d ()98,95共9种，所以在抽取的试卷中，至少有一份分数在[]90,100之间的概率为53159)(==A P .--------12分21．（本小题满分12分）已知向量)21cos ,cos 3(),1,(sin 2-==→→x x n x m .（1）若→→⊥n m ，求x ；（2）设函数→→∙=n m x f )(，将函数)(x f y =的图象上各点向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 的单调递减区间.22．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，28这28个整数中等可能随机产生．（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率)3,2,1(=i P i ；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为)3,2,1(=i i 的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）当2100=n 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为)3,2,1(=i i 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大？解：（Ⅰ）变量x 是在1,2,3，…，28这28个整数中随机产生的一个数，共有28种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23，25，27这14个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； ------------2分当x 从2,4,8,10,14,16,20,22，26，28这10个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝145； -------------4分当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝142.----6分（Ⅱ）当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：乙分)。

2014--高一数学试题答案及评分标准

高一数学试题参考答案及评分标准第1页（共4页）2014年沈阳市高中一年级教学质量监测数学试题参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共60分)1.A2.B3.C4.A5.B6.A7.B8.B9. D 10.C 11.B 12.C 二、填空题(每小题5分，共20分)13. 16 14.1 15.50π 16.230x y +-= 三、解答题(共6小题，共70分)17. 解：由已知，得,{|0}A y y =＞, …………………………………………………… 3分{}|01B x x =≤≤， ………………………………………………………………… 6分（1）A B ={}|01x x ＜≤；………………………………………………………… 8分（2）{}0A B x x = ≥.……………………………………………………………… 10分 18. 证明：（1）因为平面PAD ⊥底面ABCD,平面PAD 底面AB C D =AD ，又PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD. (5)分（以上五条，每缺一条就扣一分）（2）因为,2,AB CD CD AB E =∥为CD 的中点，所以AB DE ∥，且AB DE =.所以四边形ABED 为平行四边形, 所以.BE AD ∥ ………………………………… 8分又因为BE ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , ……………………………………… 10分所以BE ∥平面PAD .……………………………………………………………… 12分 19. (方法一) 直线l 方程为40-+=mx y ，到圆心C ()0,0的距离241=+d m .又圆C 的半径2=r . ………………………………………………………………… 3分（1）若直线l 与圆C 相切，则=d r ，即2421=+m .…………………………… 5分解得23=m ，所以3=±m .……………………………………………………… 7分高一数学试题参考答案及评分标准第2页（共4页）所以直线l 方程为340-+=x y 或340+-=x y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则d r ＞，即2421m +＞. ………………………… 10分解得23m ＜，所以33m -＜＜,即m 的取值范围是()3,3-. …………… 12分(方法二)把直线:4=+l y mx 方程带入圆22:4+=C x y ，得()2218120+++=mx mx ， ……………………………………………………… 3分其判别式()()2284121∆=-⨯⨯+m m . ………………………………………… 5分（1）若直线l 与圆C 相切，则0∆=，解得23=m ，所以3=±m . ………… 7分所以直线l 方程为340-+=x y 或340+-=x y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则0∆<. ………………………………………… 10分解得23m ＜，所以33m -＜＜,即m 的取值范围是()3,3-. …………… 12分20. 证明：（1）（方法一）若0=B ，则0≠A ，所以两条直线变为：12=-=-C C x x A A，，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 2分若0≠B ，则两直线方程化为11:=--C A l y x B B；22:=--C A l y x BB.所以111=-=-C A k b B B，；222=-=-C A k b BB，.又12≠C C ，所以12=k k 且12≠b b ，即两直线的斜率相等且在y 轴上的截距不等，所以1l ∥2l . ………………………………………………………………………… 6分 (方法二)因为0-=AB BA ，所以1l ∥2l 或重合. 又因为()2121.-=-BC BC B C C当0≠B 时，因为12≠C C ，所以210-≠BC BC ，因此1l ∥2l ；………………… 2分当0=B 时，0≠A ，所以两条直线变为：12,=-=-C C x x A A ，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 6分高一数学试题参考答案及评分标准第3页（共4页）（2）在1l 上任取一点()11,P x y ，则111+=-Ax By C .所以1l 与2l 之间的距离等于点P 到2l 的距离， …………………………………… 9分 112212222++-==++Ax By C C C d A BA B. …………………………………………… 12分21. 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高3=h ，……………………………………………… 2分（1）底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积12332=⨯⨯=s ，所求体积33==V sh . …………………… 4分（2）连接1A B ，且11= A B AB O ，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点O 是1A B 的中点， ………… 5分（方法一）若11,BC AB D ∥平面连接DO ，111111,,BC A BC AB D A BC DO ⊂⋂=平面平面平面, 所以∥1,BC D O 所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以D 为11A C 的中点.即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法二）若D 为棱11A C 的中点. 连接DO ，所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以1,BC DO ∥又⊂DO 1AB D 平面，11BC AB D ⊄平面，所以11BC AB D ∥平面. 即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法三）在11∆A BC 中，过O 作OD BC ∥1，交11A C 与D ，所以OD 为11∆A BC 的中位线，所以11D A C 为的中点，又1DO AB D ⊂平面， 11,BC AB D ⊄平面所以11.C B AB D ∥平面即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（3）（方法一）在正三棱柱111111ABC -A B C A B C 中，三角形为正三角形，所以⊥111B D AC ，又由三棱柱性质知11111,A B C ACC A ⊥平面平面且1111111,A B C ACC A A C = 平面平面 1⊂BD 平面111A B C ，所以11,B D AA D ⊥平面 ……………………………… 10分 11,B D AB D ⊂又平面所以⊥11平面平面AB D AA D . ………………………… 12分高一数学试题参考答案及评分标准第4页（共4页）（方法二）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D ⊥A 1C 1，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥B 1D. AA 1 A 1C 1=A 1，AA 1⊂平面A A 1D ，A1C1⊂平面A A1D ，所以B1D ⊥平面A A1D ，………………………………………… 10分又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D. (12)分22. 解：（1）由已知，函数()y =f x 的定义域为{}-|11＜＜x x ，因为()()aa x xf x f x x x1-1+-=l og =-l og =-1+1-, 所以()=y f x 为奇函数，…………………………………………………………… 2分设12,x x 是()1,1-上的任意两个实数，且21Δ=-0＞x x x ，则()()11221211log 11log x x x x x f x f y aa-+--+=-=∆.因为()()21212121112()01111x x x x x x x x ++--=----＞,所以当a ＞1时，()y f x =在()-1,1上是增函数；当0＜a ＜1时，()y f x =在()-1,1上是减函数. …………………………………… 4分所以原不等式可化为()()212f t t f t ---＜.当a ＞1时，由22122111t t t t t t ----<---⎧⎪⎨⎪⎩＞＜，得13t ＜＜；…………………………………… 6分当0＜a ＜1时，由22122111t t t t t t -------⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＜，得32t ＜＜. ………………………………… 8分(如果函数的奇偶性和单调性没有证明，但不等式解对扣2分.)（2）当a ＞1时，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则由(0)0f =，112f =⎛⎫⎪⎝⎭，得a=3. ……………………………………………………………………………… 10分当0＜a＜1时，()f x在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时(0)1f=无解.综上可知，a=3. ……………………………………………………………………12分高一数学试题参考答案及评分标准第5页（共4页）。

2013高一数学试题答案

高一数学试题参考答案及评分标准第1页（共6页）2013年沈阳市高中一年级教学质量监测数学试题参考答案和评分标准一、选择题(每小题5分，共60分)1.A2.B3.D4.B5.A6.B7.A8.D9.D 10.C 11.D 12.B 二、填空题(每小题5分，共20分) 13.10-2；14.332cm 3π(不写单位扣2分)；15 .⎛⎫ ⎪⎝⎭30,0,2；16.±3.三、解答题(共6小题，共70分)17. ∵B 点在直线y=2上，∴可以设B (),2a . ………………………………………… (2分)∵AB 边上中线所在直线方程为x-y+1=0， ∴AB 中点D ⎛⎫⎪⎝⎭+15,22a 在直线x-y+1=0上， ∴+15-+1=022a ，∴a=2，B ()2,2. ……………………………………………… (4分)∵AB 边上中线CD 所在直线方程为x-y+1=0，∴可以设C ()m ,m +1. ……………………………………………………………… (6分) ∵AC 的中点⎛⎫⎪⎝⎭+1+4,22m m E 在直线y=2上， ∴+4=22m ，∴m=0，∴C ()0,1. ………………………………………………… (8分)AB ：x+y-4=0，AC ：2x-y+1=0，BC ：x-2y+2=0. ……………………………… (10高一数学试题参考答案及评分标准第2页（共6页）分)18. （1）∵函数()f x a x+b =x +221是定义在()-1,1上的奇函数，∴()f 0 =0，∴()f 0 =0+1b =b=0，∴()f x =a x x 22+1. …………………… (2分)∵⎛⎫ ⎪⎝⎭12=25f ，∴=⎛⎫ ⎪⎝⎭af 21122=125+14，∴a 2=1，a=±1. ………………… (4分) （2）证明：设x 1，x 2是()-1,1内的任意两个实数，且x 1＜x 2.()()()()()()222x x +-x x +x x f x -f x =-=x x x +x +22121112222121211+1+111()()()()()x x x -x +x -x x x +x -x x -x ==x +x +x +x +22122112121122222212121111()()()()12122212-1-=+1+1x x x x x x . ……………………………………………………… (6分)∵()()＞x x 2212+1+10，＜＞x -x x x 12120,1-0，∴()()＜f x -f x 120，函数()f x 在()-1,1上是增函数. ……………… (8分) （3）∵()()＜f x-+f x 10，∴()()＜f x -f x -1，∴()()＜f x f -x -1，……………………………………………………… (10分)∴⎧⎪⎨⎪⎩＜＜＜＜＜-1-11-11-1-x x x x，∴⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜＜＜＜02-1112x x x ，∴0＜＜x 12. ………………………… (12分)高一数学试题参考答案及评分标准第3页（共6页）19. （1）在三棱锥S-ABC 中，由M ，D 分别为SB ，AB 的中点知MD ∥SA ，∵SA ⊂面SAC ，⊄M D SAC 面，∴MD ∥面SAC. ……………………… (4分) （2）∵△AMB 为正三角形，MD 为AB 边上的中线，∴MD ⊥AB ，MD ∥SA ，∴SA ⊥AB.∵SA ⊥AC ，AB ∩AC=A ，∴SA ⊥面ABC ，∴SA ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，AC ∩BC=C ，∴BC ⊥面SAC.又∵BC ⊂面SBC ，∴面SBC ⊥面SAC. …………………………………… (8分) （3）∵由已知易求AC=221，MD=53，∴D -M BC M -D BC V =V S ⋅⋅D BC ABC M D M D S =111==107332△△. …………… (12分) 20. （1）∵每厘米隔热层建造成本为6万元，能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系()()≤≤k C x =x x+01035，不建隔热层，每年的能源消耗量为8万元， ∴()()8×=≤≤kC =x +0010305，k=40，………………………………… (2分)∴()()⨯≤≤f x x x x x x 40800=20+6=+60103+53+5. ……………………… (4分) （2）令t=3x+5，则⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭400400=2+-5=2+-10y t t tt ，[]∈5,35t .∵函数ag x =x+a >,x >x()(00)在(⎤⎦0,a 上为减函数，在),⎡+∞⎣a 为增函数， ∴⎛⎫⎪⎝⎭y t t 400=2+-10，[]∈t 5,35在[]5,20上为减函数，在[]20,35为增函数. (7分) ∵=3+5t x 为增函数，高一数学试题参考答案及评分标准第4页（共6页）∴函数()f x 的单调递减区间为[]0,5，递增区间为[]5,10.……………… (9分) ∴x=5(cm)时， ⎛⎫ ⎪⎝⎭m i n 400=220+-10=7020y (万元). ……………………………………… (11分)答：隔热层厚度为5cm 时，总费用()f x 达到最小，最小值70万元. … (12分)21．（1）∵圆C ：222(+1)+(-2)=6-x y a ，∴20＞a 6-，∴＜＜-66a . …………………………………………… (2分) 又∵过A 作圆C 的切线有两条，∴点A 在圆C 外，∴＞222(1+1)+(2-2)6-a ，∴＞2a 或＜-a 2. ……………………… (4分)∴--＜＜a 62或＜＜a 26. ………………………………………… (6分) (说明：如果缺少构成圆的条件，即没有求出＜＜-66a ，那么要扣除2分) （2）∵过A 的两条切线互相垂直，∴AC =R 2.⋅∴2=2=26-AC a ，∴±=2a . ……………………………………… (8分)设过A 的切线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0， ∵圆心C(-1,2)，∴2-2==2+1k d k ，∴2=1k ，∴k=±1. …………… (10分)∴过A 的切线方程为+1=0x-y 和x+y -3=0. ………………………… (12分) 22. 解：（1）方程||f x =g x ()()，即||||x =a x 2-1-1，高一数学试题参考答案及评分标准第5页（共6页）变形得||||x x -a =-1(+1)0，显然，=1x 已是该方程的根，…………… (1分) 欲原方程只有一解，即要求方程||x+=a 1，有且仅有一个等于1的解或无解，＜0a . ………………………………………………………………………… (3分)（2）不等式()()f x g x ≥对∈R x 恒成立，即()||x a x 2-1-1≥（*）对∈R x 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时∈a R ；……………………………… (4分) ②当1≠x 时，（*）可变形为a ≤||x x 2-1-1，令()||ϕ⎧⎨⎩x x x x x x x 2+1,(>1),-1==-(+1),(<1).-1 ………………………………………… (5分)∵当>1x 时，()2ϕ>x ，当1x <时，()2ϕ>-x ，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是a ≤-2. …………………………… (7分) （3）∵()()()||||||h x =f x +g x =x +a x 2-1-1=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤＜＜x +ax-a -,x ,-x -ax+a +,-x ,x -ax+a -,-x -.2221(12)1(11)1(21) …………………………………………… (8分)①当2a＞1，即a ＞2时，结合图形可知h ()x 在[]-2,1上递减，在[]1,2上递增，且()()a h a h -2=3+3,2=+3，且()()h h a a a ＞-2-2=3+3--3=20，此时()h x 在[]-2,2上的最大值为3a+3. ……………………………… (9分)高一数学试题参考答案及评分标准第6页（共6页）②当0≤2a ≤1，即0≤a ≤2时，结合图形可知()h x 在[]-2,-1，[-2a,1]上递减，在1,--⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 2，[]1,2上递增，且h ()-2=3a+3,h ()2=a+3，h(-a 2)=a 24+a+1，∵()()＞h h a a a -2-2=3+3--3=20，()22331220244--=+---=-++⎛⎫⎪⎝⎭＞a a a h h a a a -2，∴h(x)在[]-2,2上的最大值为3a+3. ……………………………………… (10分)③当-1≤2a ＜0，即-2≤a ＜0时，结合图形可知h(x)在[]-2,-1，,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 2上递减，在1,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦a 2，[1,2]上递增，且()()h a h a -2=3+3,2=+3，⎛⎫ ⎪⎝⎭a ah a 2-=++124，∵()()＞h h a a a 2--2=+3-3-3=-20， ()223120244--=+---=-+⎛⎫⎪⎝⎭≥a a a h h a a 2，∴h(x)在[]2,2-上的最大值为h ()2=a+3. ……………………………… (11分)综上，当a ≥0时，h ()x 在[]2,2-上的最大值为33a +；当-2≤a ＜0时，h ()x 在[]2,2-上的最大值为a+3. …………………… (12分)。

辽宁省实验中学分校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题Word版含答案

数学学科高一年级命题：高一备课组一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．1337与382的最大公约数是( )．A．3 B．382 C．191 D．2012．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为( )．A．k＞4 B．k＞5C．k＞6 D．k＞73．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x4＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( )．A．4×4＝16 B．4×4×4×4×4×4＝4096C．7×4+6＝34 D．7×4＋0＝284. 设有一个直线回归方程为,则变量x 增加一个单位A．y平均增加 1.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位C．y 平均减少 1.5 个单位 D．y 平均减少 2 个单位5．运行以下程序：j＝1；while j*j＜100j＝j＋1；endj＝j－1；print(%io(2)，j)；得到的结果是( )．A．j－1 B．j C．10 D．96. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, ,840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．147.在第三象限，则所在象限是A 一、三B 一、二、三C 一、三、四D 二、三、四8.的值是A 正数B负数 C 零 D 无法确定9.如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为A． B．C． D．10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ( )．11. 总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

辽宁省沈阳市2013-2014学年高一上学期教学质量监测数学试题 Word版含答案

2014年沈阳市高中一年级教学质量监测数学命题：沈阳市第四中学吴哲东北育才双语学校胡滨审题：沈阳市教育研究院周善富本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到4页. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．垂直于同一个平面的两条直线（） A ．平行 B ．垂直C ．相交D ．异面2．图中阴影部分可以表示为（）A ． M NB ．()() 痧U U M NC ．()() 痧U U M ND ． M N3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）A B C D 4．圆C 1: (x -1)2+y 2=1与圆C 2: x 2+(y -2)2=4的位置关系是（） A ．相交 B ．相离C ．外切D ．内切5．下列各图中,以x 为自变量的函数的图象是（）A B C D6．过点(1，0)与直线x -2y -2=0平行的直线的方程是（）A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 220x y +-=D.210x y +-=7．已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且满足()()112f g -+=,()()114f g +-=,则()1g =（） A ．4B ．3C ．2D ．18．已知直线l ：0x y -=和点()0,2M ，则点M 关于直线l 的对称点'M 的坐标是（） A ．()2,2 B ．()2,0 C ．()0,2- D ．()1,19．圆222210x y x y +--+=的圆心为点C ，下列函数图象经过点C 的是（）A.yB.1y x =-C.21x y =+D. ()2log 2y x = 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），那么此几何体的表面积．．．（单位：cm 2）是（） A ．102 B ．128 C ．144 D ．18411．已知集合,,A B C ,{A =直线}，{B =平面}，,C A B = 若,,,a A b B c C ∈∈∈给出下列命题：①a b a c c b ⇒⎧⎨⎩∥∥∥；②a b a c c b ⊥⇒⊥⎧⎨⎩∥；③a b a c c b⊥⇒⊥⎧⎨⎩∥.其中正确的命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．312．给出下列命题：①函数()1212,,1y x y x y x -===-，3y x =中，有三个函数在区间()0,+∞上单调递增；②若log 3log 30,m n <<则01n m <<<；③已知函数()()233,2,log 1,2x x f x x x -=-⎧⎪⎨⎪⎩≤＞那么方程()12f x =有两个实数根. 其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：将试题答案用黑色笔答在答题卡上,答在试卷上无效.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上） 13．已知()342log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，则x = .14．直线210ax y ++=与直线()220x a y a +-+=垂直，则a = .15．若长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5(单位：cm)，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积(单位：cm 2)是 .16．若函数()()log 11a f x x =--(0a ＞且1)a ≠的图象过定点A ，直线()()11m x m y ++--20m =过定点B ，则经过,A B 的直线方程为 .三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分)已知集合{}|2xA y y ==，集合{|B x y ==.求:（1）A B ；（2）A B .18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中,∥AB CD ,2=CD AB ,平面⊥PAD 底面ABCD ， ⊥PA AD ,E 是CD 的中点,求证:（1）⊥PA 底面ABCD ；（2）∥BE 平面PAD .19．(本小题满分12分)已知直线:4l y mx =+，圆22:4C x y +=.（1）若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值和直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相离，求实数m 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知两条直线221122:0,:0,(0l Ax By C l Ax By C A B ++=++=+≠且12)C C ≠.求证：（1）12l l ∥；（2）1l 与2l之间的距离是d =.21．(本小题满分12分)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形.（1）求出该几何体的体积；（2）D 是棱11AC 上的一点，若使直线11BC AB D ∥平面,试确定点D 的位置，并证明你的结论；（3）在（2）成立的条件下，求证:平面11AB D AA D ⊥平面.22．(本小题满分12分)已知函数()()1log 011a xf x a a x+=≠-＞且.（1）若()()2120f t t f t --+-＜，求实数t 的取值范围；（2）若10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域是[]0,1，求实数a 的值.2014年沈阳市高中一年级教学质量监测数学试题参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共60分)1.A2.B3.C4.A5.B6.A7.B8.B9. D 10.C 11.B 12.C 二、填空题(每小题5分，共20分)13. 16 14.1 15.50π 16.230x y +-= 三、解答题(共6小题，共70分)17. 解：由已知，得,{|0}A y y =＞, …………………………………………………… 3分{}|01B x x =≤≤， ………………………………………………………………… 6分（1）A B ={}|01x x ＜≤；………………………………………………………… 8分（2）{}0A B x x = ≥.……………………………………………………………… 10分18. 证明：（1）因为平面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 底面A B C D =A D ，又PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD . ………………… 5分（以上五条，每缺一条就扣一分）（2）因为,2,AB CD CD AB E =∥为CD 的中点，所以AB DE ∥，且AB DE =.所以四边形ABED 为平行四边形, 所以.BE AD ∥ ………………………………… 8分又因为BE ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , ……………………………………… 10分所以BE ∥平面PAD .……………………………………………………………… 12分19. (方法一) 直线l 方程为40-+=mx y ，到圆心C ()0,0的距离=d 又圆C 的半径2=r . ………………………………………………………………… 3分（1）若直线l 与圆C 相切，则=d r 2=.…………………………… 5分解得23=m ，所以=m .……………………………………………………… 7分所以直线l 方程为40-+=y 或40+-=y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则d r ＞2. ………………………… 10分解得23m ＜，所以m 即m 的取值范围是(. …………… 12分 (方法二)把直线:4=+l y mx 方程带入圆22:4+=C x y ，得()2218120+++=mx mx ， ……………………………………………………… 3分其判别式()()2284121∆=-⨯⨯+m m . ………………………………………… 5分（1）若直线l 与圆C 相切，则0∆=，解得23=m ，所以=m . ………… 7分所以直线l 40-+=y 40+-=y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则0∆<. ………………………………………… 10分解得23m ＜，所以m 即m 的取值范围是(. …………… 12分 20. 证明：（1）（方法一）若0=B ，则0≠A ，所以两条直线变为：12=-=-C Cx x A A，，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 2分若0≠B ，则两直线方程化为11:=--C A l y x B B；22:=--C A l y x BB.所以111=-=-C A k b B B，；222=-=-C A k b BB，.又12≠C C ，所以12=k k 且12≠b b ，即两直线的斜率相等且在y 轴上的截距不等，所以1l ∥2l . ………………………………………………………………………… 6分 (方法二)因为0-=AB BA ，所以1l ∥2l 或重合. 又因为()2121.-=-BC BC B C C当0≠B 时，因为12≠C C ，所以210-≠BC BC ，因此1l ∥2l ；………………… 2分当0=B 时，0≠A ，所以两条直线变为：12,=-=-C C x x A A，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 6分（2）在1l 上任取一点()11,P x y ，则111+=-Ax By C .所以1l 与2l 之间的距离等于点P 到2l 的距离， …………………………………… 9分==d . …………………………………………… 12分21. 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高3=h ，……………………………………………… 2分（12，所以底面面积122=⨯=s所求体积==V sh . …………………… 4分（2）连接1A B ，且11= A B AB O ，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点O 是1A B 的中点， ………… 5分（方法一）若11,BC AB D ∥平面连接DO ，111111,,BC A BC AB D A BC DO ⊂⋂=平面平面平面, 所以∥1,BC D O 所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以D 为11A C 的中点.即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法二）若D 为棱11A C 的中点. 连接DO ，所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以1,BC DO ∥又⊂DO 1AB D 平面，11BC AB D ⊄平面，所以11BC AB D ∥平面. 即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法三）在11∆A BC 中，过O 作OD BC ∥1，交11A C 与D ，所以OD 为11∆A BC 的中位线，所以11D AC 为的中点，又1DO AB D ⊂平面，11,BC AB D ⊄平面所以11.C B AB D ∥平面即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（3）（方法一）在正三棱柱111111ABC -A B C A B C 中，三角形为正三角形，所以⊥111B D AC ，又由三棱柱性质知11111,A B C ACC A ⊥平面平面且1111111,A B C ACC A AC = 平面平面1⊂B D 平面111A B C ，所以11,B D AA D ⊥平面 ……………………………… 10分 11,B D AB D ⊂又平面所以⊥11平面平面AB D AA D . ………………………… 12分（方法二）在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D ⊥A 1C 1，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥B 1D. AA 1 A 1C 1=A 1，AA 1⊂平面AA 1D ，A 1 C 1⊂平面AA 1D ，所以B 1D ⊥平面AA 1D ，………………………………………… 10分又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D. ………………………… 12分22. 解：（1）由已知，函数()y =f x 的定义域为{}-|11＜＜x x ，因为()()aa x x f x f x x x1-1+-=l og =-l og =-1+1-, 所以()=y fx 为奇函数，…………………………………………………………… 2分设12,x x 是()1,1-上的任意两个实数，且21Δ=-0＞x x x ，则()()11221211log 11log x x x x x f x f y aa-+--+=-=∆.因为()()21212121112()01111x x x x x x x x ++--=----＞,所以当a ＞1时，()y f x =在()-1,1上是增函数；当0＜a ＜1时，()y f x =在()-1,1上是减函数. …………………………………… 4分所以原不等式可化为()()212f t t f t ---＜.当a ＞1时，由22122111t t t t t t ----<---⎧⎪⎨⎪⎩＞＜，得1t ＜；…………………………………… 6分当0＜a ＜1时，由22122111t t t t t t -------⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＜，得2t . ………………………………… 8分(如果函数的奇偶性和单调性没有证明，但不等式解对扣2分.)（2）当a ＞1时，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则由(0)0f =，112f =⎛⎫⎪⎝⎭，得a =3. ……………………………………………………………………………… 10分当0＜a ＜1时，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时(0)1f =无解.综上可知，a =3. …………………………………………………………………… 12分。

辽宁省沈阳市高一下学期4月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则点P 所在象限为（） ()sin1,cos 2P A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据角所在象限确定点横、纵坐标的正负，即可得解. 【详解】因为1（rad ）是第一象限角，2（rad ）是第二象限角，所以， sin10,cos 20><所以点P 所在象限为第四象限. 故选：D.2．已知，则（） π3sin 65a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2πcos 3α⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】A【分析】由角的变换，根据诱导公式化简求值.【详解】，ππ3sin sin 665a α⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，π3sin 65α⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭.2ππππ3cos cos sin 32665ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.3．已知向量，，，则（） a b c +=- 3a = 2b c == a b b c c a ⋅+⋅+⋅=A ．B ．C ．D ． 172152172-152-【答案】C【分析】根据题意结合数量积的运算律分析运算.【详解】因为，则，a b c +=-()22a bc += 可得，即，整理得，2222a a b b c +×+=9244a b +×+=92⋅=- a b 所以 ()()()2a b b c c a a b a b c a b a b ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-=⋅-+r r r r r r r r r r r r r r r .()229179422a a b b ⎛⎫=-+⋅+=--+=- ⎪⎝⎭r r r r 故选：C.4．在中，若，则点H 是的（）ABC A HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ABC AA ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心【答案】A【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为，则， HA HB HB HC ⋅=⋅()0HB HA HC HB CA ⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r 所以，即点H 在边的高线所在直线上，HB CA ⊥u u u r u u rCA 同理可得：，,HA CB HC AB ⊥⊥u u u r u u r u u u r u u u r所以点H 为的三条高线的交点，即点H 是的垂心. ABC A ABC A 故选：A.5．已知在中，（） ABC A sin cos A A +=sin cos A A -=A ．BCD ． 35-【答案】B【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号.【详解】因为sin cos A A +=，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 5A A A A A A A A +=++=+=可得， 2sin cos 05A A =-<又，则，()0,πA ∈π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即，可得，sin 0,cos 0A A ><sin cos 0A A ->又因为， ()2229sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 5A A A A A A A A -=-+=-=所以sin cos A A -=故选：B.6．函数的部分图象如图所示，则的值为（）()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(2f πA ．B ．C ．D ．1-【答案】A【分析】由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．()f x ()f x 2f π⎛⎫⎪⎝⎭【详解】解：由函数，，的部分图象知，()sin()(0f x A x A ωϕ=+>0ω>)2πϕ<，解得， A =2744123T πππω==-2ω=再由五点法作图可得，解得；23πϕπ⨯+=3πϕ=，())3f x x π∴=+．22233f ππππ⎛⎫⎛⎫∴⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A ．7．已知，则的一个可能值是．（）π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭sin cos αα+A ．B ． CD ．12325π【答案】B【分析】利用辅助角公式化简，根据定义域求值域即可判断选项.【详解】,πsin cos 4ααα+=+因为，所以，π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，πsin cos )4αα=α+∈+因为，，322π5∈所以的一个可能值是，sin cos αα+2π5故选：B8．若把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重sin(3y x ωπ=+3π合，则ω的一个可能取值是（） A ． B ．C ．D ．2123223【答案】A【分析】由三角函数图像平移规则，可得到平移后图像的解析式，利用诱导公式可以得到关于的ω关系式，解之即可解决.【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到 sin(3y x ωπ=+3πsin()33y x ωπωπ=++由可得，即 sin(cos 33x x ωπωωπ++=2332k ωππππ+=+16Z 2k k ω=+∈当时，. 0k =12ω=故选：A二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π12()y g x =A ．在上是减函数()y f x =ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．由可得是的整数倍 ()()1212f x f x ==12x x -πC ．是奇函数()y g x =D ．函数在区间上有个零点 ()f x ()0,8π8【答案】AC【分析】对于A ，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B ，举反例即可π26x -判断；对于C ，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于()y g x =D ，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断. 【详解】由题意知，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A.当时，，ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ5π,626x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递减，sin y x =π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以在上是减函数，A 正确()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦;对于B.当，时，，但不是的整数倍，B 错误1π6x =2π2x =()()1212f x f x ==12π3x x -=-π;对于C.由题意，得，故是奇函数，C 正确()ππsin 2sin2126g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()y g x =;对于D.由，可得.()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππ2T ==当时，，()0,πx ∈ππ11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭令或，则或，26π0x -=ππ12x =7π12因此在上有两个零点，而含有个周期，()f x ()0,π()0,8π8因此在区间上有个零点，D 错误. ()f x ()0,8π16故选：AC.10．已知函数，则（） ()tan sin tan sin f x x x x x =++-A ．的最小正周期为 B ．在上单调递减()f x π()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭C ．的图象关于原点中心对称D ．的值域为()f x ()f x ()2,-+∞【答案】BD【分析】化简函数，画出的图象，从而利用图象可一一判断各选项. ()f x ()f x 【详解】因为tan sin tan (1cos )x x x x -=-当为第一或第三象限角时，，又，可得， x tan 0x >1cos 0x ->tan x -sin 0x >所以；()2tan f x x =当为第二或第四象限角时，，又，可得， x tan 0x <1cos 0x ->tan sin 0x x -<所以； ()f x =2sin x 当时，.π,x k k =∈Z ()0f x =综上，，π3π2tan ,2π,2ππ2π,2π()22()π3π2sin ,2π,π2π2π,2π2π()22x x k k k k k f x x x k k k k k ⎧⎡⎫⎡⎫∈+⋃++∈⎪⎪⎪⎢⎢⎪⎣⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎪∈++⋃++∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ZZ 作出的部分图象如图所示.()f x对于A ，结合图象可得的最小正周期为，A 错误； ()f x 2π对于B ，在上单调递减，B 正确；()f x π,π2⎛⎫⎪⎝⎭对于C ，的图象不关于原点中心对称，错误； ()f x C 对于D ，的值域为，D 正确. ()f x (2,)-+∞故选：BD11．已知平面向量，是两个夹角为的单位向量，且与垂1e 2e π3()123e 1e a λ=+- ()1221e 2e b λ=-- 直，则下列说法正确的是（）A ．若，则与方向相同的单位向量是0λ>a1e B ．若，则在上的投影向量是0λ>b2e23e 2C ．若，则与0λ<a D ．若，则与0λ<a 2e 【答案】AC【分析】先由向量垂直化简可得或，分结合投影向量判断AB ，时由夹角公1λ=72λ=-0λ>0λ<式判断CD.【详解】由题意得， ()()()21212353e 1e 21e 2e 632122a b λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⋅=+-⋅--=---+--⎣⎦⎣⎦ ，解得或．257022λλ=+-=1λ=72λ=-A ，B 选项：若，则，此时，，与方向相同的单位向量是，在0λ>1λ=13a e = 12e 2e b =- a1e b 2e 上的投影向量是，（注意投影向量的概念）故A 正确，B 错误．22222e e 3e 2e e b ⋅⋅=-C ，D 选项：若，则，此时，因此与0λ<72λ=-1293e e 2a =- a且与C 正确，D 错误． a 2e 故选：AC12．已知函数在上单调，且，则（） ()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭π03f ⎛⎫< ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于原点对称π6x f ω-⎛⎫⎪⎝⎭B ．的图象向左平移个单位长度后可能得到的图象()f x π12()πsin 3g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．的值不可能是整数ωD ．在上仅有两个零点()f x ()0,π【答案】ACD【分析】根据条件求出的范围，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.ω【详解】因为为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，A 正确；πsin 66x x f ω-⎛⎫= ⎪⎝⎭π6x f ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭因为在（，）上单调，所以≥=，即≥，所以， ()f x π6π22T π2π6-π32πω2π303ω<≤因为，又<ω+≤，得ω+>π，所以，0ππi 33πs n 6f ω⎛⎫⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6π3π67π6π3π6532ω<≤因为f （x ）在（，）上单调，所以函数在（ω+，ω+）上单调，π6π2sin y t =t ∈π6π6π2π6因为<ω+≤，<ω+≤，所以ω+≤，即，7π12π6π62π317π12π2π65π3π2π63π283ω≤综上，，C 正确. 5823ω<≤将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象， ()f x π12πππsin 12126f x x ωω⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若，则，即， ππsin 123f x x ω⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()πππ2πZ 1263k k ω+=+∈()224Z k k ω=+∈又，所以不存在ω，使得的图象向左平移个单位长度后得到5823ω<≤()f x π12()πsin 3g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，B 错误. 由，得ωx+∈（，πω+），因为，得<πω+≤，()0,πx ∈π6π6π65823ω<≤8π3π617π6由，可得πω+=π或πω+=2π，即f （x ）在上仅有两个零点，D 正确 ()0f x =π6π6()0,π故选：ACD三、填空题13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为___cm. 【答案】6π＋40【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即310πα=l 可求解扇形的周长，得到答案.【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角， 35410πα==∴由扇形的弧长公式，可得弧长， 6l r απ=⋅=∴扇形的周长为.(640)cm π+【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．在△ABC 中，，，M 为AC 的中点，P 在线段AB 上，则的最小值2C π∠=2AC BC ==MP CP ⋅为________ 【答案】78【分析】以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为轴，线段AB 的垂直平分线为轴建x y 立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.【详解】如图：以线段AB 的中点为坐标原点，线段AB 所在直线为轴，线段AB 的垂直平分线为x 轴建立平面直角坐标系，y则，设，， (,M C (),0P x x ≤≤则， (2,11MP CP x x x x x ⎛⎛⋅=⋅=+=+ ⎝⎝当 x =()2min718MP CP⋅=+= 故答案为：. 78四、双空题15．已知函数，若，使得，且π())0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭12,x x ∃∈R ()()122f x f x ⋅=-的最小值为，则的值为_________；若将的图象向右平移个单位长度后所得函数12x x -π2ω()f x π6图象关于直线对称，则在区间上的最小值为_________． 7π12x =()f x ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】2【分析】根据题意可得最小正周期满足，再由，求出，再根据三角函数的平T π22T =2πT ω=2ω=移变换可得，由对称轴可得，，进而求出，再根据三π()23g x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭5ππ6k ϕ=-+Z k ∈ϕ角函数的性质即可求解.【详解】因为， ())f x x ωϕ=+又，所以，中一个为最大值，一个为最小值， ()()122f x f x =-()1f x ()2f x 因为的最小值为，所以的最小正周期满足，21x x -π2()f x T π22T =所以，故. πT =2π2Tω==将的图象向右平移个单位长度后， ())f x x ϕ=+π6所得图象对应的函数为，π()23g x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由题意可知，直线是图象的一条对称轴， 7π12x =()g x 所以，，所以，，5ππ6k ϕ+=Z k ∈5ππ6k ϕ=-+Z k ∈又，令，则，所以.π2ϕ<1k =π6ϕ=π()6os 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以，ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以在区间上为减函数，()f x ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦故最小值为π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：2；五、填空题16．已知函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点π()tan()0,0||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭π,06A ⎛⎫⎪⎝⎭，，则方程，所有解的和为_________．2π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]0,πx ∈【答案】5π6【分析】先由题意求出和，从而确定解析式，进而确定方程，然后找出满足题意的情况，ωϕ()f x 解出即可得解.【详解】由题意知函数的周期，所以，， ()f x 2ππππ362T ω=-==2ω=()tan(2)f x x ϕ=+把点坐标代入得，结合解得，π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭πtan 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0||2ϕ<<π3ϕ=-所以，则方程，π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即为，即为，， ππtan 2sin 233x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π3sin 2π3cos 23x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭[]0,πx ∈因为，所以，[]0,πx ∈ππ5π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当或时满足题意，πsin 203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 213πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以或，解得，，故. π203x -=π2π3x -=1π6x =22π3x =12π2π5π636x x +=+=故答案为：. 5π6六、解答题17．已知角的终边经过点． θ()()4,30P a a a <(1)求、的值；sin θcos θ(2)求的值．()()2212sin πcos 2023ππ5πsin cos 22θθθθ++-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)，3sin 5θ=-4cos 5θ=-(2) 7【分析】（1）由三角函数的定义可求得、的值；sin θcos θ（2）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.tan θ【详解】（1）解：因为角的终边经过点， θ()()4,30P a a a <由三角函数定义可得，33sin 55a a θ===--. 44cos 55a a θ===--（2）解：由三角函数的定义可得， 33tan 44a a θ==原式 ()()()22222cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ+++==-+-. 31cos sin 1tan 473cos sin 1tan 14θθθθθθ+++====---18．已知函数的部分图象如图所示.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求的解析式；()f x (2)若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围()0f x m -=40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()123123,,x x x x x x <<m 和的值. ()123tan 2x x x ++【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)见解析【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得2A =T π=2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭()f x ，即可求得函数的解析式；.3πϕ=()f x （2）将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以及对称性()f x y m =40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦求解即可.【详解】（1）解：由函数的图象可得，且，解得， ()f x 2A =43124T πππ=-=T π=所以，即， 22Tπω==()2sin(2)f x x ϕ=+将点代入的解析式，可得，,212π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈解得，2,3k k Z πϕπ=+∈因为，可得，所以.||2ϕπ<3πϕ=()2sin(2)3f x x π=+（2）方程在上恰有三个不相等的实数根，()0f x m -=40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则函数与的图象在上有三个不同的交点，()f x y m =40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设交点的横坐标分别为. ()123123,,x x x x x x <<函数在上的图象如下图所示：()f x 40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图可知，0m ≤<由对称性可知，. 1231223713102()()2212132x x x x x x x πππ++=+++=⨯+⨯=故12210tan(2)tantan 33x x x ππ++===19．设两个向量满足，,a b()12,0,2a b ⎛== ⎝ (1)求方向的单位向量；a b +(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．27ta b +a tb + 【答案】(1)(2)17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎝⎭【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解； ()12,0,2a b ⎛== ⎝ a b +（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与27ta b + a tb + ()()270ta b a tb ++< 27ta b +向量反向共线求解.a tb +【详解】（1）由已知，()152,022a b ⎛⎛+=+= ⎝⎝ 所以a +=所以，a b +=即方向的单位向量为；a b +（2）由已知，，1a b ⋅=2,1a b == 所以， ()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ 因为向量与向量的夹角为钝角，27ta b +a tb + 所以，且向量不与向量反向共线，()()270ta b a tb ++< 27ta b +a tb + 设，则，解得，()()270ta b k a tb k +=+< 27tk kt=⎧⎨=⎩t =从而， 221570t t t ⎧++<⎪⎨≠⎪⎩解得. 17,2t ⎛⎛⎫∈-⋃- ⎪ ⎪⎝⎝⎭20．如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间（单位：）与位移t s y （单位：）之间的对应数据如表所示，其变化规律可以用mm 来刻画．()ππsin 0,0,,22y A t A ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>>∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭t 0.000.100.20 0.30 0.40 0.500.60y20.0- 10.1-10.3 20.0 10.3 10.1-20.0-(1)试确定位移关于时间的函数关系式；y t (2)在理想状态下，经过10秒，该弹簧振子的位移和路程分别是多少？（精确到0.1）【答案】(1) 10ππsin 3220y t ⎛=⎫-⎪⎝⎭(2)弹簧振子的位移是，路程为10mm 1310mm【分析】（1）根据最值确定，由周期求，代入一个最高点或最低点坐标求出；A ωϕ（2）经过秒，该弹簧振子的位移即为时的函数值，而计算该弹簧振子经过的路程则要先1010x =计算周期，再乘以一个周期弹簧振子经过的路程. 【详解】（1）由数据表可知，． 20A =振子的周期为0.60s ，所以，解得． 2π0.6T ω==10π3ω=所以，因为时，． 10π20sin 3y t ϕ⎛=+⎫⎪⎝⎭0=t 20.0y =-所以，，，sin 1ϕ=-π2π2k ϕ=-+k ∈Z 因为，所以．ππ,22ϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2ϕ=-所以位移y 关于时间t 的函数解析式为． 10ππsin 3220y t ⎛=⎫-⎪⎝⎭（2）当时，10t =，100ππ100πππ20sin 20cos 20cos 33π20cos 1032333y ⎛⎫⎛⎫=-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以该弹簧振子的位移是10mm ．因为10秒内，该弹簧振子经过了个周期， 10500.63=所以该弹簧振子经过的路程为． ()400020416+10201310mm 3⨯⨯--==21．已知函数，.()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>(1)若，，求的对称中心；()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=()f x (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个05ω<<()f x π6()g x π3x =()g x 零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值.()g x [],m n ,R m n ∈m n <n m -【答案】(1)；ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2).139π【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求()f x πω得解析式，然后可求出其对称中心；()f x （2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据是的一()ππ2sin 2163g x x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭3x π=()g x个零点和可求出，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正05ω<<ω()g x ()g x 弦函数的零点和周期性可求得结果.【详解】（1）因为，， ()()12()f x f x f x ≤≤12min π2x x -=所以的最小正周期为，()f x π因为，的最小正周期为，()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()0ω>2π2ω所以，得， 22ππω=1ω=所以，()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得，2,Z 6x k k ππ+=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以的对称中心为；()f x ππ,1(Z)122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）由函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，可得 ()f x π6()g x ，()2sin 2()12sin 216663g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫=-++=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是的一个零点，π3x =()g x 所以，ππππ2sin 2103363g ωω⎛⎫⎛⎫=⋅+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，或， ππ7π2π,Z 366k k ω+=+∈ππ11π2π,Z 366k k ω+=+∈解得或， 36,Z k k ω=+∈56,Z k k ω=+∈因为，所以，05ω<<3ω=所以，()5π2sin 616g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期为， ()g x 263ππ=令，则，()52sin 6106g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭51sin 662x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得，或， 115ππ62π,Z 66x k k -=-+∈115π5π62π,Z 66x k k -=-+∈所以，或， 11ππ,Z 39k x k =+∈11π,Z 3k x k =∈因为函数在（且）上恰好有10个零点， ()g x [],m n ,R m n ∈m n <且要使最小，必须使恰好为的零点，前两个零点相距， n m -,m n ()g x π9所以的最小值为. n m -ππ13π4399⨯+=22．，且. ()()13πsin 2π242f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭π16f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)方程在有且仅有一个解，求的取值范围．()21f x k =+π02,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k (2)设，对，总，使成立，求的范围．()22sin 4sin g x x t x =+1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀2ππ,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≥t (3)若与的图象关于对称，求不等式的解集． ()h x ()f x π12x =-()sin h x h ≥【答案】(1)931,84⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦ (2),⎛-∞ ⎝(3)()πππ,π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】（1）由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，分析可知函数与函数ϕ()f x 21y k =+在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦k （2）求出函数在上的最小值，可得出，令，()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2215sin 28sin t x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭2sin p x ⎤=∈⎥⎦求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；1528y p p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎤⎥⎦t （3）利用函数的对称性可得出函数的解析式，由结合余弦函数的图象可得()h x ()sin h x h ≥出，结合正弦函数基本性质可解此不等式. )πsin πk x k k ≤≤∈Z 【详解】（1）解：因为，()()13πsin 2π242f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭则，可得，π1π3sin 16234f ϕ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 32ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为，则，所以，，可得，ππ2ϕ<<5ππ4π633ϕ<+<π7π36ϕ+=5π6ϕ=所以，，()15π3sin 2264f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当时，，π02x ≤≤5π5π11π2666x ≤+≤作出函数与函数在上的图象如下图所示：21y k =+()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图可知当或时，即当时，5214k +=-11212k -<+≤-931,84k ⎧⎫⎛⎤∈---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦ 函数与函数在上的图象只有一个公共点，21y k =+()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，实数的取值范围是.k 931,84⎧⎫⎛⎤---⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦ （2）解：因为，()22sin 4sin g x x t x =+由题意，对，总，使，则，1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦∀2ππ,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≥()()12min min f x g x >当时，，则，π02x ≤≤5π5π11π2666x ≤+≤()min 13π35sin 2244f x =-=-所以，，使得，2ππ,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()222252sin 4sin 4g x x t x =+≤-所以，， 222222252sin 15154sin sin 4sin 216sin 28sin x t x x x x x --⎛⎫≤=--=-+ ⎪⎝⎭因为，2ππ,32x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 1x ≤≤令，函数在上单调递减，2sin p x⎤=∈⎥⎦1528y p p ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎤⎥⎦所以，，max12y ⎫=-=⎝t ≤因此，实数的取值范围是. t ,⎛-∞ ⎝（3）解：因为与的图象关于对称， ()h x ()f x π12x =-则()π15ππ31π3sin 2sin 262664224h x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 13cos 224x =-因为，令，()sin h x h ≥sin m x =则，即 ()1313cos 22424h m m h =-≥=cos 2m ≥作出函数的图象如下图所示：cos y x =由， cos 2m ≥)2π22πk m k k ≤≤∈Z即， )πsin πk x k k ≤≤∈Z因为，故，可得， 1sin 1x -≤≤0k =sin x ≤≤解得或， ()ππ2π2π33n x n n -≤≤+∈Z ()2π4π2π2π33n x n n +≤≤+∈Z 即， ()ππππ33k x k k -≤≤+∈Z 因此，原不等式的解集为.()πππ,π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，.()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，则；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min max f x g x <（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。

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新课标沈阳2013-2014学年度下学期四月月考高一数学试题附答案考试时间:120分钟总分:150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本小题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若{}{}2|228,||log |1xA x ZB x R x =∈≤≤=∈>,则R AC B ⋂的元素个数为( ).A 0 .B 1 .C 2 .D 32.已知变量x 、y 满足约束条件x y y x x y x 则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-,07,1,02的取值范围是（） A ．]6,59[B ．[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛∞-,659, C ．(][)+∞∞-,63, D ．[3，6]3. 已知点(1,1)--在直线20(0,0)ax by a b ++=>>上,则11a b+的最小值为( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 44.已知角α的终边经过点P(3,4a a -)(0a≠)，则2sin cos αα+的值为（）A ．25或25- B ．25或1 C ．1或-1 D ．1 5．已知81cos sin =αα，且2345παπ<<，则cos sin αα-的值为（）A ．23-B ．23C ．43-D ．43 6.给出下列命题：①存在实数x 使得sin cos 1x x =成立②对任意实数x 都有2sin 1sin ≥+xx ③对任意1(0,),tan 22tan x x xπ∈+≥ ④存在实数x ，使2cos sin =+x x其中真命题为（）A.③B.③④C.②③④D.①②③④7. 设,20πα<≤若ααcos 3sin >,则α的取值范围是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ B.),3(ππ C.)34,3(ππ D.()23,3(ππ8．已知43cos ,2tan ,31sin ),2,0(,,===∈γβαπγβα且，则（）A ．βγα<<B ．γβα<<C ．γαβ<<D ．βαγ<<9.关于函数()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，以下说法正确是（）： A ．由12()()0f x f x ==，可得12x x -必是π的整数倍； B.函数()y f x =-的单调递增区间可由不等式)Z k (2k 23x 22k 2∈π+π≤π+-≤π-π 求得．C ．函数()y f x =的图像关于6π-=x 对称；D ．函数()y f x =在区间]0,6[π-上是增函数;10.已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数. 令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则（） A ．c a b<< B ． a b c << C ．a c b << D ．c b a <<11、下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y B ．⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y C ．⎪⎭⎫⎝⎛-=34cos πx y D ．⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx y12．定义在R 上的周期函数()f x ，其周期2T =，直线2x =是它的图象的一条对称轴，且()[]3,2f x --在上是减函数．如果,A B 是锐角三角形的两个内角，则（）A ．()()cos cos fB f A > B ．()()cos sin f B f A >C ．()()sin sin f A f B >D ． ()()sin cos f A f B >第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分 13.将函数)32sin(2)(π+=x x f 图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍,所得图象所对应的函数解析式为 ;若将)(x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(0>m ),所得函数的图象关于y 轴对称,则m 的最小值为 .14.已知x ，y 都是实数，且0)1()2(22=++-y x ，则)415tan()325cos(ππ-+-y x 的值为_________。

15、给出下列命题：（1）函数)23sin(x y +=π是偶函数（2）8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程（3）若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >（4）在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >；反之若sin sin A B >，则A B >其中正确命题的序号是________________________________16、已知对任意(0,)x ∈+∞，不等式022>+-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 __________ 三、解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数.|2||1|)(a x x x f -+++=（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围。

18.（本小题满分12分）二中组织南北两校学生，利用周日时间去希望小学参加献爱心活动，南北两校均有同学参加。

已知南校区的每位同学往返车费是3元，每人可为5名小学生服务；北校区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位小学生服务。

如果要求北校区参加活动的同学比南校区的同学多，且两校区同学去希望小学的往返总车费不超过37元。

怎样安排南北两校参与活动同学的人数，才能使受到服务的小学生最多?受到服务的小学生最多是多少？19. （本小题满分12分）已知函数f(x))32sin(π+=x（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）画出函数()y f x =在区间[]0π，上的图像.20．（本小题满分12分）已知βαcos 2sin =，βαcot 3tan =，且22παπ<<-，0<β<π，求角α，β.21.（本小题满分12分）解关于x 的不等式()2110ax a x -++<22. （本小题满分12分）已知函数2()2cos cos f x a x x a b =-++的定义域为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π , 而且函数()f x 的最大值为1,最小值为-5, 求b a ,.新课标沈阳2013-2014学年度下学期四月月考高一数学试题参考答案一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A BCBBCADADD二、填空题13. )3sin(2π+=x y 12π14. 0 15. （1）（2）（4） 16. 22<a三、解答题17.（1）由题设知：0521≥-+++x x ，在同一坐标系中作出函数21+++=x x y 和5y =的图象, 3分知定义域为(][)+∞-∞-,14, ． 5分（2）由题设知，当x R ∈时，恒有021≥-+++a x x ，即a x x ≥+++21 7分又由（1）121≥+++x x ，∴ 1≤a 10分18. 解：设南北两校参加活动的人数分别为,x y ，受到服务的小学生的人数为z 则53z x y =+应满足的约束条件是351,y x x y x x y N-≥⎧⎪+⎪⎨≥⎪⎪∈⎩作出可行域如图解13537x y x y -=-⎧⎨+=⎩得：()max 4,535M z ∴=人。

19.解（1）由223222πππππ+≤+≤-k x k 得12125ππππ+≤≤-k x k ∴单调增区间为)](12,125[z k k k ∈+-ππππ（6分）（2）)32sin(π+=x y 列表如下：)32sin(π+=x y 图象如下：20.．解：由已知得2,0πβα==符合题意（２分）当时且20πβα≠≠ ∵βαcos 2sin =，且22παπ<<-，∴βαα22cos 21sin 1cos -=-=又∵βαcot 3tan = ∴ββββsin cos 3cos 21cos 22=-∴ββ22sin 3cos 212=-即（６分） βββ222cos 22sin 2cos 63-==-∴41cos 2=β,∴21cos ±=β (８分) 3π65π当21cos =β时，22sin =α 当21cos -=β时，22sin -=α 又∵22παπ<<-，0<β<π∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==34πβπα或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=324πβπα 或⎪⎩⎪⎨⎧==20πβα (12分)21.解：原不等式可化为()()110ax x --<，当0a =时，原不等式的解集为（1，＋∞） ……2分当0a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭当11a<时，原不等式的解集为1(,1)a ……5分当11a>时，原不等式的解集为1(1,)a ……8分当0a <时，原不等式可化为1()(1)0x x a-->， ∴原不等式的解集为1{|1}x x x a<>或 ……10分综上：当0a=时，原不等式的解集为（1，＋∞）当1a =时，原不等式的解集为∅ 当1a >时，原不等式的解集为1(,1)a当01a <<时，原不等式的解集为1(1,)a当0a <时，原不等式的解集为1{|1}x x x a<>或 ……12分 22．解⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1b 6a 56或b a (每组解6分)。