北大力学ppt课程刚体部分

质点系的动量
质点系中各质点 mi 相对质心的运动
v ri v rC
v ri ′
C
v v (ri ′, vi′)
v v O 质点系的动量等于质心的动量 p = pc v v 质点系相对质心的动量总是为零 p′ = ∑ mi vi′ = 0
i
8
质点系的动能
1 2 1 v v Ek = ∑ mi vi = ∑ mi vi ⋅ vi i 2 i 2
质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和 柯尼希(König)定理 定理 柯尼希
9
核反应中的资用能
10
质点系的角动量
其中
v v v L = ∑ ri × mi vi
i
mi
v v v v v v ri = rc + ri ′, vi = vc + vi′
v ri v rC
v ri ′
i i i
v zi
v ri
y
Lz = ∑ Ri mi (ωRi ) = Iω
i
Lz = Iω
x
刚体的定轴转动与质点的直线运动相似
θ ← x, I ← m → →
都是一维运动
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例 质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位
于一端，求细杆的转动惯量。 (a) 转轴位于质心
O
v v v vi = vc + vi′
1 v v 1 v v v v Ek = ∑ mi vc ⋅ vc + ∑ mi vc ⋅ vi′ + ∑ mi vi′ ⋅ vi′ i 2 i i 2 1 2 v 1 v2 v = mvc + vc ⋅ ∑ mi vi′ + ∑ mi vi′ 2 i i 2 1 2 1 v2 ′ ′ Ek = Ekc + Ek , Ekc = mvc , 资用能Ek = ∑ mi vi′ 2 i 2
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和 同一参考点 质心为参考点
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5.1.3 质心参考系
质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力
v − mi ac
质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用 质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力 平移惯性力与重力相似 大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小 方向沿着质心加速度的反向 质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。 在质心系中 质点系的动能定理和角动量定理
2
质点系的质心 (center of mass)
v rc =
质心速度
v ∑miri
i
m
质心加速度
v v drc vc = dt
v v dvc ac = dt
质心动量等于质点系的总动量
v v mvc = ∑ mi vi
i
1 2 质心动能 Ekc = mvc 2 v v v 质心角动量 Lc = rc × mvc
v zi
v ri
y
ai心 = ω 2 Ri vi = ωRi , ai切 = β Ri
x
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5.2.2 动力学量 转动惯量
动量——刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。 动能
1 1 2 2 Ek = ∑ mi vi = ∑ mi (ωRi ) i 2 i 2 1 2 Ek = Iω , I = ∑ mi Ri2 2 i
第五章 质心 刚体
1
5.1 质心
5.1.1 质心 质心运动定理
质点系的运动
每个质点的质量、位矢和受力： 质点系的总质量 质点系所受合力
v v mi , ri , Fi
m = ∑ mi
i
v 2 2 ∑ mi ri v v d i v d v F = ∑ Fi = ∑ mi ai = 2 ∑ mi ri = m 2 dt i dt m i i
v rc =
v ∑miri
i
m
v v v mArA + mBrB + mCrC +L = m
5
例 由两个质点构成的质点系的质心
m1
l
l1 l2
m2
质心位置满足杠杆关系
m1l1 = m2l2 , l1 + l2 = l
m2 m1 µ µ l1 = l = l , l2 = l= l m1 + m2 m1 m1 + m2 m2
m
v F
v⊥
v// v T θ
v F
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在质心系中，只有力 F 作功 在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功
利用动能定理
1 2 Fl = 2× mv⊥ 2
Fl v⊥ = m
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例 线性引力
假设质点间的万有引力是线性的： F = G * m1m2 r 其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。 质心系是惯性系，以质心为坐标原点。 第 i 个质点
A
在质心系中，B端相对质心速度不变 B端的速度 vB = gl 质心速度

l/2
1 vC = gl 4
l/4
7 质心离A点的位置 rA = l 16 1 B端相对质心的距离 rBC = l 16 7 l 绳子伸直所用时间 t = 12 g
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力学期中考试
时间：4月24日上午10：10 - 12：00 地点：理教113 考试时间：1：50
I MN
v d
Q N v v v v v v v v = ∑ mi Ri ⋅ Ri = ∑ mi Ri (C ) ⋅ Ri (C ) + 2∑ mi Ri (C ) ⋅ d + ∑ mi d ⋅ d
i 2 i i i i
v v = ∑ mi R (C ) + 2∑ mi Ri (C ) ⋅ d + md 2 i i
j ≠i j
v v = G * mi ∑ m j rj − G * mi ∑ m j ri j j v v = G * mi mrC − G * mi mri
v v && = −G * mri ri
方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。 方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。
3
质心运动定理
v v F合外 = mac
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。 牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
4
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
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质心系中质点系动能定理
质心系中质点系动能定理的微分形式
dW内 + dW外 + dW惯 = dEk
v v v v v v dW惯 = ∑ (− mi ac ⋅ dr )i = − ac ⋅ d ∑ (mi ri ) = − ac ⋅ d (mrc ) = 0
i i
质心系中质心位置矢量为常量
v drc = 0
v v 选质心为参考点 rc = 0 ⇒ M 惯 = 0
质心系中质点系角动量定理
v v dL M外 = dt
与惯性系完全相同
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小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和 质心的运动 代表了质点系整体的运动 质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理 相对质心的运动 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系角动量定理
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{A，B}系统的质心加速度
qE ac = 2m
在tk时间内质心位移
1 2 s c = ac t k 2
A球的位移
1 s A = sc + l 2
W = (qE ) s A = (2k 2 − 2k + 1)qEl
电场力对A所做的功
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例
质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在 光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰 前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？
平行轴定理
I MN = I C + md
2
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
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对于平板刚体
z
2 i 2
x + y = ri
2 i
xi
x
ri
yi
mi
y
I x + I y = ∑ mi yi2 + ∑ mi xi2 = ∑ mi ri 2
i i i
垂直轴定理
Ix + Iy = Iz
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第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面 第 i 个质点只能在此平面内运动 动力学方程可分解为：
&&i = −G * mxi , &&i = −G * myi x y
ω = G*m
每个方程的解都是简谐运动，角频率都是
合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为
2π T= G*m
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例 长l、质量线密度为λ的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂 在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端 下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳 子完全伸直？（提示：可在质心系中分析）
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例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l
的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对 小球A所做的功。 m, q>0 m B A 分析碰撞过程 第一次碰撞用时