6469和差倍角半角公式的综合应用二
高一数学倍角公式和半角公式知识精讲
高一数学倍角公式和半角公式【本讲主要内容】倍角公式和半角公式（正弦、余弦、正切）【知识掌握】 【知识点精析】1. 倍角公式：二倍角公式sin sin cos ()cos cos sin ()cos sin tan tan tan ()222211222122222222αααααααααααααα==-=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪S C T注意：①公式T 2α只有当αππαππ≠+≠+∈k k k Z 242和()才成立； ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它只要两个角有二倍的关系，如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是32α的二倍等等都可以用二倍角公式。
例如：cos cos sin sin cos sin αααααα3663312622=-=， 12242151153022-=-=sin cos tan tan tan αα，°°°③熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）④注意公式的变形应用与逆用。
特别是公式：cos cos sin 2211222ααα=-=-可变形为cos cos sin cos 22122122αααα=+=-，，两式相除得tan cos cos 21212ααα=-+，这样就得到了降幂公式。
降幂公式sin cos cos cos tan cos cos 2221221221212ααααααα=-=+=-+⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪升幂公式cos cos sin cos sin 221122222ααααα=-=-=-⎧⎨⎪⎩⎪2. 半角公式：()()半角公式，，sin cos cos cos tan cos cos sin cos cos sin ααααααααααππαααπααα212212*********=±-⎛⎝ ⎫⎭⎪=±+⎛⎝ ⎫⎭⎪=±-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+≠+∈=-≠∈⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪S C T k k Z k k Z 注意：①应用半角公式时，要特别注意根号前的符号，它是由α2所在象限的三角函数符号确定。
倍角公式和半角公式
半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。
si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-cosα)/si nα=+或-[1-cosα）/（1+c osα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαco sαt an2α=2t anα/(1-tan^2(α))c os2α=c os^2(α)-si n^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2si n^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：si n(2α)=2sinα·c osαc os(2α)=c os^2(α)-sin^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：si n3α=3sinα-4si n^3(α)c os3α=4c os^3(α)-3c osαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nα·万能公式：si nα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]c osα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：si nα·cosβ=(1/2)[si n(α+β)+sin(α-β)]c osα·si nβ=(1/2)[si n(α+β)-sin(α-β)]c osα·c osβ=(1/2)[c os(α+β)+c os(α-β)]si nα·si nβ=-(1/2)[c os(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：si nα+si nβ=2si n[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]si nα-si nβ=2cos[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]c osα+c osβ=2c os[(α+β)/2]c os[(α-β)/2]c osα-c osβ=-2si n[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]·其他：si nα+si n(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+si n(α+2π*3/n)+……+si n[α+2π*(n-1)/n]=0c osα+c os(α+2π/n)+c os(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及si n^2(α)+si n^2(α-2π/3)+si n^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：si n4A=-4*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1))c os4A=1+(-8*c os A^2+8*c os A^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：si n5A=16si nA^5-20si nA^3+5si nAc os5A=16c os A^5-20c os A^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：si n6A=2*(cosA*si nA*(2*si nA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*si nA^2))c os6A=((-1+2*c os A^2)*(16*c os A^4-16*c os A^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：si n7A=-(sinA*(56*si nA^2-112*si nA^4-7+64*si nA^6))c os7A=(c osA*(56*c osA^2-112*c osA^4+64*c os A^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：si n8A=-8*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1)*(-8*si nA^2+8*sinA^4+1))c os8A=1+(160*c os A^4-256*c os A^6+128*c os A^8-32*c os A^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：si n9A=(sinA*(-3+4*si nA^2)*(64*sinA^6-96*si nA^4+36*si nA^2-3))c os9A=(c osA*(-3+4*cosA^2)*(64*c os A^6-96*cosA^4+36*c os A^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：si n10A=2*(c os A*sinA*(4*sinA^2+2*si nA-1)*(4*sinA^2-2*si nA-1)*(-20*si nA^2+5+16*si nA^4))c os10A=((-1+2*c os A^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*c os A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。
第3讲 和差倍半角公式
第2课时 课时
(
)
化简： 化简 ： )3 15 sin x + 3 5 cos x. 1
2 π 6 π 2) sin( − x) + cos( − x) 4 4 4 4
小结】 关健在于1+3·tan10°， 通过 “ 切化弦 ” 及 “ 【 小结 】 关健在于 ° 通过“ 切化弦” 辅助角公式”使其得到化简． 辅助角公式”使其得到化简． a ⋅ cosα + b⋅ sinα a 一般地， 一般地， + btanα = cosα 而 a ⋅ cosα + b⋅ sinα 又可以化为一个角的一个三角函 形如1± 的式子的化简应熟练掌握. 数. 形如 ±cosα、1±sinα的式子的化简应熟练掌握 、 ± 的式子的化简应熟练掌握
作业： 导与练》P49第 作业：一.《导与练》P49第5、6、7、8、9题
二、1.在△ABC中，若sinA=3/5，cosB=5/13，求cosC 在 中 ， ，
3 2.已知 cos ( + x) + 3 cos ( − x) = ，求cotx的值 的值. 已知 的值 4 4 2
2 2
π
π
自测题： 导与练》 自测题：《导与练》P48第1、2、3、4题 第 、 、 、 题
已知α∈ 例2.已知 ∈(0,π/2), β∈(π/2,π), 已知 ∈
1 5 3 cos α = , sin β = 7 14
的值. 求β-α的值 的值
小结】求角，先求其某一个三角函数值， 【小结】求角，先求其某一个三角函数值，再 根据三角函数的值 角的范围得出角 得出角。 根据三角函数的值及角的范围得出角。
高考一轮复习课件：和角,差角,倍半角公式
例4、活页例2、
（二）知值求角
例5、活页例3、
小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题． 小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题．着眼于
和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、 和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、 升降幂、转换为特殊角等技巧． 、升降幂、转换为特殊角等技巧．
2、辅助角公式 、
( a > 0, b > 0 )
2 2
a sin α ± b cos α = a + b sin (α ± ϕ )
b 其中tanϕ = a
3.倍角公式 倍角公式
cos 2α = cos α − sin α = 2 cos α − 1 2 = 1 − 2sin α
π
思维点拨:注意观察角与角之间的关系,
三.公式应用: 公式应用 求值： 和角.差角公式的应用 （一）求值： 1. 和角 差角公式的应用 例1 已知 cos π − α = 3 , sin 3π + β = 5 . 其中 π < α < 3π , 0 < β < π ,
求 sin (α + β )的值.
4 5
4
13
4
4
4
小结：本题是给值求值问题， 小结：本题是给值求值问题，解这类题时应认真
分析已知式子中的角与未知式子中的角的关系 .函数名称和式子结构的 函数名称和式子结构的 再决定如何利用以知条件,采用哪些公式 考虑角的整体运用 再决定如何利用以知条件 采用哪些公式,考虑角的整体运用．常用角的 采用哪些公式 考虑角的整体运用． 变换， 变换，如：
sin 2 α − cos2 α = − cos 2α + sin α cos α
两角和与差、倍角、半角公式
题目 第四章三角函数两角和与差的正弦、余弦、正切高考要求1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式2.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明知识点归纳1．和、差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=．2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-．3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=．4．半角公式 2cos 12sinαα-±=；2cos 12cosαα+±=；sin 1cos tan21cos sin ααααα-===+．5．万能公式22tan2sin 1tan2ααα=+；221tan2cos 1tan2ααα-=+；22tan 2tan 1tan2ααα=-．6．积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=．7．和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-．8.三倍角公式：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43-9.辅助角公式：()sin cos sin a x b x x ϕ+=+sin cos ϕϕ==其中两角和与差的三角函数，二倍角公式是高考的重点内容之一，同时也是三角部分中后继学习的基础，最重要的是多数考生得分的主要阵地之一。
高考数学总复习 4.3和角公式、倍角公式与半角公式配套文档 理 新人教b版
§4.3 和角公式、倍角公式与半角公式1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 半角公式sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ ) (6)当α＋β＝π4时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.( √ ) 2． (2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.3． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.4． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 5． (2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.题型一 三角函数式的化简与给角求值例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．思维启迪 (1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；(2)切化弦、通分．解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0.因此2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2tan C2的值为________．(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32 C.3 D. 2 答案 (1)3 (2)C解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3，所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3. (2)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.题型二 三角函数的给值求值、给值求角例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思维启迪 (1)拆分角：α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解 (1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 思维升华 (1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好．(1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 (1)C (2)C解析 (1)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)，∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223. 又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝cos[π4＋α－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539，故选C. (2)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.题型三 三角变换的简单应用例3 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.思维启迪 (1)可将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式； (2)据已知条件确定β，再代入f (x )求值． (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.12(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)C (2)π解析 (1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3·sin x＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π6)．∴f (x )max ＝1. (2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.高考中的三角变换问题典例：(20分)(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝________.(2)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A.3π4B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32思维启迪 (1)注意和差公式的逆用及变形；(2)可求α＋β的某一三角函数值，结合α＋β的范围求角．(3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系；(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故所求＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.解析 (3)由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. (4)利用两角和的正弦公式化简． 原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 (1)3＋22 (2)C (3)A (4)C温馨提醒 三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，一定要结合角的范围求解．方法与技巧1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 2． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16答案 C 解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于 ( ) A. 2 B.2＋32 C.3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40° ＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.4． 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210 B.210 C.3210 D.7210答案 A解析 由tan α＋1tan α＝103得sinαcos α＋cos αsin α＝103，∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210.5． 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4答案 A解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3， 又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3. 二、填空题6． 若sin(π2＋θ)＝35，则cos 2θ＝________. 答案 －725解析 ∵sin(π2＋θ)＝cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－725. 7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．答案 2解析 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 45°＝1可得 tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.8. 3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 答案 －4 3解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 三、解答题9． 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解 由cos β＝55，β∈(0，π2)，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4.10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010 D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255. 2． 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于 ( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，选D. 3． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________． 答案 3 解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x ＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.4． 已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解 (1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13. ∵tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－(－13)＝516. (2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143. 5． 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617得⎩⎨⎧ 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎨⎧ sin α＝35，cos β＝817. ∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。
《两角和与差的三角函数》《倍角、半角的三角函数》复习[1]
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两角和与差的三角函数三角函数基本公式总结1．和、差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=±．2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；ααα2122tg tg tg -=．3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=．4．半角公式 2cos 12sinαα-±=；2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg．5．万能公式2122sin 2αααtgtg+=；2121cos 22αααtgtg+-=；21222αααtgtg tg -=．6．积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=．7．和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+；2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-； 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+；2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-．例. 求下列各式的值①sin15°②sin24°cos36°+cos24°cos54°③④tan20°+tan40°+tan20°tan40°分析与解答:①可将15°改写成60°-45°，再利用两角差的正弦公式sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=.②若将式中的cos54°改写为sin36°则恰为两角和的正弦:原式=sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin(24°+36°).③将1+tan15°视为tan45°+tan15°,将1-tan15°视为1-tan45°tan15°，即利用tan45°=1，则式子恰为两角和的正切:原式.④由于20°+40°=60°，又，将其变形tan20°+tan40°(1-tan20°tan40°)tan20°tan40°将移到左边得.[例题选讲]例1．求下列各式的值①tan15°+tan30°+tan15°tan30°②(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan44°)③分析与解答:①解法一:∵,∴tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°∴原式=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=1解法二:原式=tan15°(1+tan30°)+tan30°②∵(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1+tan(1°+44°)(1-tan1°tan44°)+tan1°tan44°=2.∴同理(1+tan2°)(1+tan43°)=(1+tan3°)(1+tan42°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2故原式.③原式例2．解下列各题（1）已知:，求cos(α-β)的值.（2）已知:，，0°<α<90°, 0°<β<90°，求cosβ的值. （3）已知:tanα和tanβ是方程2x2+x-6=0的两个根，求tan(α+β)的值.分析与解答:（1）由已知可求得.当α在第一象限而β在第二象限时，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.当α在第一象限而β在第三象限时，cos(α-β).当α在第二象限而β在第二象限时，cos(α-β).当α在第二象限而β在第三象限时，cos(α-β).（2）∵0°<α<90°, ∴,又∵0°<α<90°,0°<β<90°，∴0°<α+β<180°, ∴,∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.说明:解题中应用了β=(α+β)-α式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有2α=(α+β)+(α-β), 2β=(α+β)-(α-β), 2α+β=(α+β)+α等.（3）由韦达定理，得，，∴.例3．求证下列恒等式①cos(150°-β)=-②③分析与解答:①左边=cos150°·cosβ+sin150°·sinβ∴原式成立.②左边=∴原式成立.③证法一:左式=∴原式成立.证法二:∵(tanα+sinα)(tanα-sinα)=tan2α-tanαsinα+sinαtanα-sin2α =tan2α-sin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2αsin2α=tanα·sinα·tanα·sinα由比例的性质有.证法三:左式右式∴左式=右式.课外练习：1．不查表求下列各式的值.①cos(33°-x)cos(27°+x)-sin(33°-x)sin(27°+x)②cos(80°+2α)cos(35°+2α)+sin(80°+2α)cos(55°-2α)③sin68°·sin22°+cos112°·sin428°④cos275°-sin275°⑤csc60°·2．设，则cosαcosβ=（）.A、B、C、D、3．已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=, 且β为第三象限角，则cosβ等于（）.A、B、C、D、[参考答案]1．①原式=cos[(33°-x)+(27°+x)]=cos60°=.②原式=sin[(80°+2α)+(55°-2α)]=sin135°=.③原式=sin68°·sin22°-cos68°·cos22°=-cos(68°+22°)=-cos90°=0.④原式=cos(75°+75°)=cos150°=⑤原式=2. ∴，∴.选B.3．由已知,∴,∵β为第三象限角，∴cosβ<0，,选B.倍角、半角的三角函数二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:，，这组公式叫做“万能”公式.教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.例1．推导三倍角的正弦、余弦公式解:sin3α=sin(2α+α)cos3α=cos(2α+α)例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.解:∵sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°∵cos18°≠0∴2sin18°=4cos218°-3∴2sin18°=4-4sin218°-3∴4sin218°+2sin18°-1=0∴. 本题还可根据二倍角公式推出cos36°.即.例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°解:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°例5．已知:.求: cos4θ+sin4θ的值.解:∵,∴, 即，即，∴cos4θ+sin4θ例6．求cos36°·cos72°的值.解:cos36°·cos72°例7．求:的值.解:例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴∴或，∴,∴,∴或=2.方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,∴,∴或,∴或=2.例9．已知:，求:tanα的值.解:∵，∴，∵0≤α≤π,∴,∴(1)当时,，则有,∴，∴，∴，∴.(2)当，则有，∴，∴，∴.注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.证明:∵，∴∴4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.课后练习:1．若，则（）.A、P QB、P QC、P=QD、P∩Q=2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.A、B、C、D、3．若，则sin2θ=（）.A、B、C、D、4．若，则sinθ=（）.A、B、C、D、-5．若，则=（）.A、B、C、1D、-16．若，则cosα=________.7. 若θ为第二象限角，且，则=_____. 8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.参考答案:1.C2.B3.C4.C5.B6.7. 6。
倍角公式和半角公式] · [提高] · [知识点+典型例题]
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倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式sin2α=cos 2α=1cos sin tan2sin 1cos ααααα-===+ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2）升次功能 ： 3）降次功能： 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=±2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017•南充模拟）函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．2．（2017春•韶关期末）设α是第二象限角，且，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=1﹣cos2α=．又∵α是第二象限角，得sinα＞0，∴sinα=，由此可得tanα=﹣，因此tan2α==．故选：D．3．（2016春•天台县月考）若f（cosx）=cos2x，则f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，令cosx=1，得到f（1）=2﹣1=1；故选：A．4．（2016•诸暨市模拟）已知θ为钝角，且sinθ+cosθ=，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：法一：∵sinθ+cosθ=①，θ为钝角，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：2sinθcosθ=﹣，∵由θ∈（，π），得到sinθ﹣cosθ＞0，可得：sinθ﹣cosθ===，②∴由①+②可得：sinθ=，由①﹣②可得：cosθ=﹣，∴tanθ==﹣，∴tan2θ==．法二：∵θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，又sinθ+cosθ=＞0，可得：θ∈（，），可得：2θ∈（π，），可得：tan2θ＞0，再由sinθ+cosθ=，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：sin2θ=﹣，∴tan2θ=．故选：B．5．（2015秋•潮州期末）已知，则=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵，∴=．故选：C．6．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．7．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．8．（2012春•锦州期末）已知sinα=，＜α＜π，则tan的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵已知sinα=，＜α＜π，∴＜＜，且cosα=﹣．再由二倍角公式可得2﹣1=﹣，求得cos=，∴sin=，则tan==2，故选：C．二．填空题（共8小题）9．（2018春•杨浦区校级月考）已知cos（α+）=，≤α≤，则cos（2α+）=﹣．【解答】解：∵≤α≤，cos（α+）=＞0，∴＜α+≤，∴sin（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）﹣cos（α+）=﹣，cosα=﹣=﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，sin2α=2sinαcosα=，则cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=﹣．故答案为：﹣10．（2018春•小店区校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，，，则f （x）的单调递增区间为，（或，）．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∵，，可得：2x+∈（，），∴当2x+∈（，]或∈（，）时，即x∈，或，时，f（x）单调递增．∴f（x）的单调递增区间为，（或，）．故答案为：，（或，）．11．（2018春•福田区校级期中）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．故答案为：﹣．12．（2018春•海州区校级月考）求cos cos cos cos cos=．【解答】解：cos cos cos cos cos=﹣cos cos cos cos cos=====，故答案为：．13．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴＜＜，∴1＞＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．14．（2016春•陕县校级月考）已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin=．【解答】解：∵α∈（π，），∴∈（，），∴sin＞0．∵cosα=1﹣2sin2=﹣，∴sin=．故答案是：．15．（2016春•浦东新区校级期中）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．16．（2014•新余二模）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵tanα+=，∴=，∴，∴sin2α=，∵α∈（，），∴cos2α=﹣，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2018春•沙市区校级期中）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，，，求sinθ．【解答】解：（1）由题可得，tanα+tanβ=﹣p，tanα•tanβ=p+1，∴．因为α+β∈（0，π），所以．（2）由题意可得，，，，，，得，∴sinθ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（θ﹣）sin=•+•=．18．（2018•临川区校级模拟）已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=，∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ﹣（k∈Z），∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（﹣）=．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，]，∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．19．（2017秋•湛江月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1+0=1．（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=﹣，∴cos2α=±．∵α∈（0，π），sin2α=﹣，∴2α∈（π，π），∴cos2α＜0，故cos2α=﹣．20．（2017春•如东县校级期中）由倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为仅含cosx的二次多项式．（1）类比cos2x公式的推导方法，试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；（2）已知3×18°=90°﹣2×18°，试结合第（1）问的结论，求出sin18°的值．【解答】解：（1）cos2x═cos（2x+x）=cos2xcosx﹣sin2xsinx=（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx=2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx=4cos3x﹣3cosx，（2）因为cos（3×18°）=cos（90°﹣2×18°），所以4cos318°﹣3cos18°=2sin18°cos18°，所以4cos218°﹣3=2sin18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=（舍去）．21．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f（x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．22．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或23．（2010春•闸北区期末）已知，，，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．【解答】解：由题意，…（3分）…（3分）…（3分）用万能公式求对同样给分．24．（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2）因为，又，则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=。
高中数学3.2倍角公式和半角公式同步训练新人教B版必修4(2021学年)
高中数学3．２倍角公式和半角公式同步训练新人教B版必修４编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学 3.２倍角公式和半角公式同步训练新人教B版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
2 倍角公式和半角公式知识点一：倍角公式1.错误!·错误!等于A．tａｎα Ｂ．tan2α C.1 Ｄ.错误!2．log2（sin１５°cos１5°)的值为A．-1 Ｂ .错误!Ｃ．2 D.-23．(2010全国高考Ⅱ,文3)已知sinα＝＼f(２,3),则ｃoｓ(π-2α）等于A．-错误! B．－错误!C。
错误!Ｄ。
错误!４.若错误!＝－错误!，则coｓα+sinα=__＿___＿___.５.错误!＝_____＿___＿。
6．（２0１0全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角,siｎα=错误!,则tａn２α=_________＿。
7.已知函数ｆ(x)=2sin(π－ｘ)ｃosx。
（1)求f(x）的最小正周期；(2)求ｆ(x）在区间［－π６,错误!]上的最大值和最小值.知识点二:半角公式８．已知cosθ＝-15,错误!<θ<３π，那么ｓｉn错误!等于A.错误!Ｂ．－错误!C。
错误!Ｄ．－错误!9．已知θ为第二象限角，sｉn(π－θ)=错误!,则cos错误!的值为Ａ。
＼ｆ（3，35) B。
4５Ｃ．±错误! D.±错误!１0．已知sinθ=错误!,错误!〈θ〈３π,那么taｎ错误!+ｃｏs错误!的值为＿____＿_＿__.１１.（2０１0全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，ｔan(π+2α）＝－4３，则taｎα=____＿___.1２.已知sinα=＼f（１2,13）,sｉn（α+β)＝错误!，α,β均为锐角，求cｏs错误!的值.能力点一:利用倍角、半角公式求值、化简1３.若3siｎα+coｓα=0,则＼f(1，ｃoｓ2α＋ｓｉn2α）的值为A。
考研数学备考：两角和差公式
考研数学备考：两角和差公式考研复习的路上总会遇上许多复习问题，今天小编就帮助各位考研党整理一下比较常见的复习问题，下面由小编为你精心准备了“考研数学备考：两角和差公式”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！考研数学备考：两角和差公式1、两角和与差的三角函数公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)2、二倍角公式：二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]3、半角公式：半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)4、万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]万能公式推导：附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......* (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。
上海市高三数学专题教案：半角公式与万能公式(2)新人教版
上海市2010届高三数学专题教案：半角公式与万能公式（2）[知识梳理] （一） 主要知识： 1.半角公式：cos 2α=sin2α=tan 2α=2.万能置换公式：22tan2tan 1tan 2ααα=- 22tan2sin 1tan 2ααα=+221tan 2cos 1tan 2ααα-=+ [例题举隅]例1．1.已知)0,2(πα-∈，54cos =α，求2αtg 。
2.已知)0,2(πα-∈，532cos =α，求αtg 。
3.．已知πθπ23<<，54cos -=θ，则=2cos θ_________________。
4．在△ABC 中，已知53cos -=A ，则=2sin A______________。
例2：1．已知)0,2(πα-∈，54cos =α，则=α2tg _________________。
2．若121=+-θθtg tg ，则θθ2sin 12cos +的值为3. 已知54cos =α，若α是第四象限角， （1）问α2是第几象限角？ （2）求αtg 的值。
例3：1．已知α为锐角，且21=αtg ，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值2．已知21)4(=+απtg ．（1）求αtg 的值；（2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值．3．已知21)4(-=-απtg ，则α2cos 的值是（ ）(A) 54- (B) 257 (C) 257- (D) 54 [巩固练习]1. 已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值2.已知34παπ<<，10tan cot 3αα+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值3.已知α为第二象限的角，3sin 5α=，β为第一象限的角，5cos 13β=． 求tan(2)αβ-的值．4.已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，02πβα<<<，(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β. 5.已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 6.已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A += 7.已知tan 32α=，则cos α=.A 54 .B 45-.C 154.D 35- 8.已知4cos 5θ=，(),2θππ∈，则sin2θ=.A 10.B 10-.C 10±.D 5±9. 1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
第1部分 第三章 § 3 第二课时 半角公式及其应用
3．化简： 12－12 12＋12cos 2α(α∈(32π，2π))．
解：∵α∈(
3π 2
，2π)，∴cos
α>0，则由半角公式得
12＋12cos 2α＝cos α，∴原式＝ 12－12cos α.又α2∈
(34π，π)，∴sin α2>0，从而 即原式＝sinα2.
12－12cos α＝sin α2，
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解：设∠ABD＝α，则∠CAE＝α，AB＝sihn2α， AC＝coshα1 ， ∴S△ABC＝12AB·AC＝shin1h22α.∵0＜α＜π2， ∴当2α＝π2，即α＝π4时，S△ABC的最小值为h1h2.
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三角恒等变换常用的方法： (1)常值代换： 用某些三角函数值或三角函数式来代替某些常 数，使得代换后能运用相关公式进行变形．这种代换 称之为常值代换．如1＝sin2α＋cos2α，1＝tanπ4等．
11－ ＋ccoossππ66＝
1－ 1＋
3 23＝2－ 2
3.
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π
1
法二：tan1π2＝1＋sinco6sπ6＝1＋2
3＝2－ 2
3.
法三：∵1π2＝π3－π4，
∴tan1π2＝tan(π3－π4)．
＝1t＋antπ3a－nπ3ttaannπ4π4＝1＋3－3×1 1＝2－ 3.
答案：2－ 3
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＝ －
21＋cossα2in＋αsinα2＋
1－sin α 2sinα2－cosα2
＝－c2oscα2o＋sα2s＋inα2sin2α2＋
sinα2－cosα22 2sinα2－cosα2
＝－
α 2cos2.
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[一点通] 利用半角公式进行化简时，应正确选用 升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂 公式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂 公式减少运算量，开方运算时要注意角的范围．
半角公式 积化和差 和差化积
半角公式 积化和差 和差化积【本讲的主要内容】半角公式，积化和差，和差化积二、学习目标1、了解半角公式及积化和差、和差化积公式的推导过程，能应用公式进行三角函数求值、化简、证明，能初步运用公式进行和、积互化.2、通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。
3、培养用联系的观点看问题。
三、知识要点1、半角的正弦，余弦和正切cos 2α=sin 2α= tan 2α=说明：（1）公式用cos α表示出cos 2αsin 2αtan 2α的三角函数，公式前的符号取决于2α所在的象限（2）用根式求值时一般处理办法如下①如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号②如果给出α的具体范围时，则先求出2α所在范围，然后再根据2α所在范围选用符号（3）公式可以用来化简，证明，求值 2、积化和差公式：cos cos αβ=12[cos()αβ++cos()αβ-]；sin sin αβ=12-[cos()αβ+-cos()αβ-]；sin cos αβ=12[sin()αβ++sin αβ（－）];cos sin αβ=12[sin()αβ+-sin αβ（－）].3、和差化积公式：sin sin x y +＝2sincos ;22x y x y+-sin sin x y -＝2cos sin22x y x y +-；cos cos x y +=2cos cos22x y x y +-；cos cos x y -=2sin sin22x y x y +--说明： （1）运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用这些公式解决一些求值、化简和证明问题；（2）把一个式子化为积的形式是一类重要题型，尤其要注意其最后结果的形式是否符合要求；（3）在公式的推导过程中我们用到了换元法，要注意该方法在解题中的应用.4、技巧与方法：①要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法④求最值问题，常用配方法、换元法来解决【典型例题】例1、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高知识依托：熟知三角公式并能灵活应用 错解分析：公式不熟，计算易出错技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一：sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=21（1－cos40°）+21（1+cos160°）+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos （60°+20°）=1－21cos40°+21（cos120°cos40°－sin120°sin40°）+3sin20°（cos60°cos20°－sin60°sin20°）=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43（1－cos40°）= 41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41例2、已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求： （I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调递增区间．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++ πππ))2442x x x=++=+=．（I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．例3、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2BB C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值 解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°设α=2CA -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α，1111cos cos cos(60)cos(60)A C αα+=+︒+︒-所以=222cos cos ,133cos sin cos 444ααααα==--依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα.2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0（2cos α－2）（22cos α+3）=0， ∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0从而得cos 222=-C A 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-C A①， 把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A CA C A -++-=-+ ③，将cos 2CA +=cos60°=21，cos （A +C ）=－21代入③式得 )cos(2222cosC A C A --=-④将cos （A －C ）=2cos 2（2CA -）－1代入 ④42cos 2（2C A -）+2cos 2CA -－32=0，（*），(2cos3)0,22A C A C---+= 22cos 30,2cos 0,22A C A C--+=∴= :cos 2A C -=从而得例4、已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α．解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫+⎪⎝⎭=21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=．本讲涉及的主要数学思想方法1、重视新旧知识的联系，新知识在旧知识基础上形成并得到引申和发展，形成新知识的同时提升了能力。
11、微专题：半角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册
【学生版】微专题：半角公式及其应用半角公式半角公式 正弦1cos sin22αα-=±余弦1cos cos 22αα+=±正切1cos tan21cos a αα-=±+；sin tan 21cos a αα=+；1cos tan 2sin a αα-=； 【注意】（1）重视得到结果的过程，从思考α与2α之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考cos α与2sin 2α之间的关系；（2）使用公式时要深刻体会α与2α的含义，如2α与α，αβ+与2αβ+等都可看成倍半关系. （3）半角公式根号前符号的确定①当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号α 2α sin2αcos2αtan2α第一象限 第一、三象限 ,+- ,+- + 第二象限 第一、三象限 ,+- ,+- +第三象限 第二、四象限 ,+- ,-+ -第四象限第二、四象限,+-,-+-②当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求2α的范围，再根据2α的范围来确定各函数值的符号； ③若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号； 【典例】题型1、利用半角公式求值 例1、已知cos α＝33，α为第四象限的角，求：tan α2的值； 【提示】； 【答案】；【解析】解法1、解法2、解法3、 【说明】题型2：利用半角公式化简 例2、设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【提示】； 【答案】 【解析】 【说明】题型3、利用半角公式证明 例3、求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α；题型4、利用半角求值，注意角的范围 例4、已知角α为钝角,β为锐角,且4sin 5α=,12sin 13β=,求cos 2αβ-与tan 2αβ-的值 【归纳】 1、半角公式：1cos sin22αα-=；1cos cos 22αα+=1cos tan 21cos a αα-=+； 2、半角公式的推导3、对半角公式的理解 ①；②；③；④；⑤； 【即时练习】 1、设α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α22、化简4cos 2α÷(1tan α2－tan α2)的结果为( )A ．－12cos αsin α B ．sin 2α C ．－sin 2α D ．2sin 2α3、已知sin 2θ＝1213，θ∈(0，π4)，则tan θ等于4、已知tan α2＝3，则cos α为5、化简：sin 2x 2cos x (1＋tan x tan x2)= ．6、在△ABC 中，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝32，则tan A2＝7、在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值为________．8、已知sin α2－cos α2＝－55，若450°<α<540°，则tan α2＝________．9、已知sin α＝－45，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2的值．10、求证：sin 2α4－1＝－cos α2＋12.【教师版】微专题：半角公式及其应用半角公式半角公式 正弦1cos sin22αα-=±余弦1cos cos 22αα+=±正切1cos tan21cos a αα-=±+；sin tan 21cos a αα=+；1cos tan 2sin a αα-=； 【注意】（1）重视得到结果的过程，从思考α与2α之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考cos α与2sin 2α之间的关系；（2）使用公式时要深刻体会α与2α的含义，如2α与α，αβ+与2αβ+等都可看成倍半关系. （3）半角公式根号前符号的确定①当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号α 2α sin2αcos2αtan2α第一象限 第一、三象限 ,+- ,+- + 第二象限 第一、三象限 ,+- ,+- +第三象限 第二、四象限 ,+- ,-+ -第四象限第二、四象限,+-,-+-②当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求2α的范围，再根据2α的范围来确定各函数值的符号； ③若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号； 【典例】题型1、利用半角公式求值 例1、已知cos α＝33，α为第四象限的角，求：tan α2的值； 【提示】注意：角“α2”、“α”呈二倍关系；注意：二倍角、半角公式的特征；【答案】2－62； 【解析】解法1、(用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理)．因为，α为第四象限的角，所以，α2是第二或第四象限的角，所以，tan α2<0.则，根据公式tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33＝－ 2－3＝－128－43＝－12（6－2）2＝2－62. 解法2、(用tan α2＝1－cos αsin α来处理)因为，α为第四象限的角，所以，sin α<0，所以，sin α＝－ 1－cos 2α＝－1－13＝－63； 则，tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.解法3、(用tan α2＝sin α1＋cos α来处理)因为，α为第四象限的角，所以，sin α<0，所以，sin α＝－ 1－cos 2α＝－1－13＝－63； 则tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62；【说明】本题根据“α2”与“α”成二倍关系；结合公式特点，用了3种解法；在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题．尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值；请同学们在比较中寻找适合自己的解法； 题型2：利用半角公式化简 例2、设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【提示】注意：根据题设，在保证有意义前提下，出现“平方再开方”形式；【答案】 cos α2；【解析】因为，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以，cos α>0，cos α2<0. 故原式＝12＋12cos 2α＝12＋12cos α＝cos 2α2＝|cos α2|＝－cos α2；【说明】利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1)去根号； 当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2)降低次数以减少运算量， 注意隐含条件中角的范围； 题型3、利用半角公式证明 例3、求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α；【提示】注意：二倍角公式、半角公式在“升幂、降幂”中的作用；【证明】左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝12cos 2αsin αcos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝ 右边；所以，等式成立；【说明】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证；常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法；证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法；题型4、利用半角求值，注意角的范围 例4、已知角α为钝角,β为锐角,且4sin 5α=,12sin 13β=,求cos 2αβ-与tan 2αβ-的值 【提示】注意：已知角与所求角之间的关系；【解析】因为角α为钝角,β为锐角,且4sin 5α=,12sin 13β=,所以3cos 5α=-,5cos 13β=. 所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+35412513513⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3365=.又因为2παπ<<,且02πβ<<,所以0αβπ<-<,即022αβπ-<<.所以()1cos cos22αβαβ+--=33176565265+==； 方法1、由022αβπ-<<,得2sin1cos 22αβαβ--=-46565=，所以tan 2αβ-sin2cos2αβαβ-=-47=；方法2、由330,cos()65αβπαβ<-<-=，得256sin()1cos ()65αβαβ-=--=. 所以56sin()465tan .3321cos()7165αβαβαβ--===+-+【说明】对于含有半角的求值问题，一定要判断角的取值范围，以免产生增根； 【归纳】 1、半角公式：1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±；1cos tan 21cos a αα-=±+； 2、半角公式的推导（1）2cos212sin αα=-2αααα−−−−→代替2代替21cos cos 12sin sin222αααα-=-→=±； （2）222cos 22cos 1αααααα=-−−−−→代替代替21cos cos 2cos 1cos222αααα+=-→=±； （3）sin1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==±+.3、对半角公式的理解①半角公式中的正弦、余弦公式实际上是由二倍角的余弦公式变形得到的；②半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应的α的条件，sin α2，cos α2，tan α2便可求出； ③对“半角”的理解应是广义的，不能仅限于α2是α的一半，其他如α是2α的一半，α4是α2的一半，3α2是3α的一半等，这里面蕴含着换元思想，半角是相对而言的，描述的是两个角之间的数量关系；④由tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α的推导过程可知，tan α2的符号与sin α的符号相同，且由于该式中不含被开方数，故不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但要注意该公式成立的条件，由1＋cos α≠0⇒α≠(2k ＋1)π，k ∈Z ，由sin α≠0⇒α≠k π，k ∈Z.⑤解答涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2；【即时练习】 1、设α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2【答案】D ；【解析】因为，α∈(π，2π)，所以，π2<α2<π，所以，cos α2<0，所以，原式＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 2、化简4cos 2α÷(1tan α2－tan α2)的结果为( )A ．－12cos αsin α B ．sin 2α C ．－sin 2α D ．2sin 2α【答案】B ；【解析】原式＝4cos 2αtanα21－tan 2α2＝2cos 2αtan α＝2cos 2αsin αcos α＝2sin αcos α＝sin 2α.3、已知sin 2θ＝1213，θ∈(0，π4)，则tan θ等于【答案】23；【解析】因为，0<θ<π4，0<2θ<π2，所以，cos 2θ＝1－sin 22θ＝1－（1213）2＝513.则tan θ＝1－cos 2θsin 2θ＝1－5131213＝23.4、已知tan α2＝3，则cos α为【答案】－45；【解析】方法1、cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45.方法2、因为，tan α2＝3，所以，1－cos α1＋cos α＝9，即1－cos α＝9＋9cos α，解得cos α＝－45.5、化简：sin 2x 2cos x (1＋tan x tan x2)= ．【答案】tan x ；【解析】原式＝2sin x cos x 2cos x (1＋sin x cos x ·1－cos x sin x )＝sin x (1＋1－cos x cos x )＝sin x 1cos x ＝tan x ；6、在△ABC 中，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝32，则tan A2＝ 【答案】2－3；【解析】因为在△ABC 中，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝32，所以cos A ＝32，且A 为锐角，所以tan A 2＝1－cos A1＋cos A＝2－3；7、在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值为________．【答案】－19【解析】因为，cos A ＝13，所以，原式＝cos 2A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝1＋132＋2×(13)2－1＝－19.8、已知sin α2－cos α2＝－55，若450°<α<540°，则tan α2＝________．【答案】2；【解析】由条件知1－2sin α2cos α2＝15，所以，2sin α2cos α2＝45，即sin α＝45又450°<α<540°，c os α<0，所以，cos α＝－35；则tan α2＝1－cos αsin α＝1＋3545＝2.9、已知sin α＝－45，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2的值．【解析】因为，180°<α<270°，所以，90°<α2<135°；又因为，sin α＝－45，所以，cos α＝－35；所以，sin α2＝1－cos α2＝ 1－（－35）2＝255. cos α2＝－ 1＋cos α2＝ 1＋（－35）2＝－55. tan α2＝sinα2cosα2＝－2；10、求证：sin 2α4－1＝－cos α2＋12.【证明】由sin α2＝±1－cos α2，知sin α4＝± 1－cos α22，所以，sin 2α4＝1－cosα22，则sin 2α4－1＝1－cos α22－1＝－cos α2＋12，原等式得证；。