2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2006浙江高中数学竞赛试题
2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题 1、下列三数16273,log 82,log 1242的大小关系正确的是 （ ） A 、16273log 82log 1242<< B 、27163log 124log 822<<C 、27163log 124log 822<<D 、27163log 124log 822<<2、已知两点A （1,2），B （3,1）到直线LL 共有（ ）A 、1条B 、2条C 、 3条D 、 4条 3、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。
记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则2006(2006)f =（ ）A 、20B 、4C 、42D 、1454、设在xOy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为13，则集合 {}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ⋂所表示的图形面积为（ ）A 、13 B 、23 C 、1 D 、435、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。
A 、2006B 、21003 C 、210031003- D 、210031002- 6、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为（ ）。
A 、2B 、4C 、6D 、8 二、填空题7、手表的表面在一平面上。
整点1,2,,12 这12个数字等间隔地分布在半径为2的圆周上。
从整点i 到整点()1i +的向量记作1i i t t + ，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅＝ 。
2006年全国高中数学联赛一、二试试题及答案[1]
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2006年全国高中数学联赛试题第一试（考试时间：上午8：00—9：20）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈≥-，则△ABC 一定为A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ） 2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2B AC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1C C 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段A C 和A B 上的动点（不包括端点）. 若G D E F ⊥，则线段D F 的长度的取值范围为A. 1⎫⎪⎭B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,⎡⎣D. 【答】 （ ） 5.设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a 的个数为A ．200620061(108)2+ B ．200620061(108)2- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。
2006年温州中学实验班招生考试试卷及参考答案
温州中学2006年自主招生考试数学试卷（本卷满分150分，考试时间：110分钟）班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（每小题6分，共计36分） 1．方程x 2－5｜x ｜＋6＝0实根的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线AXY ，若AX ·AY ＝4，则图中圆环的面积为 （ ）（A ）16π （B ）8π （C ）4π （D ）2π3．已知mn ＜0且1－m ＞1－n ＞0＞n ＋m ＋1，那么n ，m ，n1，n ＋n 1的大小关系是 （ ）（A ）m ＜n 1＜n ＋n1＜n（B ）m ＜n ＋n 1＜n1＜n（C ）n ＋n1＜m ＜n ＜n1 （D ）m ＜n ＋n1＜n ＜n14．设p 1，p 2，p 3，p 4是不等于零的有理数，q 1，q 2，q 3，q 4是无理数，则下列四个数①p 12＋q 12，②(p 2＋q 2)2，③(p 3＋q 3)q 3，④p 4(p 4＋q 4)中必为无理数的有 （ ）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个5．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了５场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了 （ ）（A ）1场（B ）2场（C ）3场（D ）4场6．将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上，然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上不同．．数的个数的最小值和最大值分别是 （ ） （A ）7，9 （B ）6，9 （C ）7，10 （D ）6，10 二、填空题：（共6小题，每题6分，共36分） 7．设A （x 1，x 2），B （x 2，y 2）为函数y ＝xk 12－图象上的两点，且x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则实数k 的取值范围是_____________________．8．已知abc 是一个三位数，且bca ＋cab ＝567，则abc ＝_____________． 9．已知｜x －1｜＋｜x －2｜＋｜x －3｜＋｜x －4｜＝4，则实数x 的取值范围是_______．10．如图，⊙O 外接于边长为2的正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且AP ＝1，则PBPC PA ＋＝__________．11．如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为21，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为___________． 12．如图所示，已知Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，D ，E ，F分别是三边AB ，BC ，AC 上的点，则DE ＋EF ＋FD 的最小值为_______．A BCDPABCEFD三、解答题（共5题，共78分） 13．（本题满分15分）已知四个互不相等的实数x 1，x 2，x 3，x 4，其中x 1＜x 2，x 3＜x 4．①请列举x 1，x 2，x 3，x 4从小到大排列的所有可能情况． ②已知a 为实数，函数y ＝x 2－4x ＋a 与x 轴交于（x 1，0），（x 2，0）两点，函数y ＝x 2－4x ＋a 与x 轴交于（x 3，0），（x 4，0）两点．若这四个交点从左到右依次标为A ，B ，C ，D ，且AB ＝BC ＝CD ，求A 的值．14．（本题满分15分）如图所示，AD ∥BC ，梯形ABCD 的面积是180，E 是AB 的中点，F 是BC边上的点，且AF ∥CD ，AF 分别交ED ，BD 于G ，H 设ADBC ＝m ，m 是整数．①若m ＝2，求△GHD 的面积．②若△△GHD 的面积为整数，求m 的值．15．（本题满分15分，共2小题）n 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：①能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．②能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．③能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．1 5 4 32 1 5 4 9 2 3＋2＋4＝－9 1 5 43 2 1 5 4－3 2 3－2－4＝－3 -2007 2006 1003 0 1 0 2006 206 6 26 60 2 0 1 543219 75316．（本题满分15分）如图所示，在△ABC中，已知D是BC边上的点，O为△ABD的外接圆圆心，△ACD的外接圆与△AOB的外接圆相交于A，E两点．求证：OE⊥EC．17．（本题满分18分，共3小题）已知方程x3－(1＋2·3m)x2＋(5n＋2·3m)x－5n＝0．①若n＝m＝0，求方程的根．②找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．③证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．AB CDEO2006年温州中学自主招生考试数学答卷纸答案7、11x -<< 8、432 9、23x ≤≤ 10、 11、38 12、245三、解答题（共5题，共78分） 13、（本题满分15分，共2小题） 已知四个互不相等的实数1x ，2x ，3x ，4x ，其中12x x <，34x x <. ① 请列举1x ，2x ，3x ，4x 从小到大排列的所有可能情况.②已知a 为实数，函数24y x x a =-+与x 轴交于()1,0x ，()2,0x 两点，函数24y x ax =+-与x 轴交于()3,0x ，()4,0x 两点.若这四个交点从左到右依次标为A ，B ，C ，D ，且A B B C C D ==，求a 的值.解：①1234x x x x <<<，1324x x x x <<<，1342x x x x <<<，3412x xx x <<<，3142x x x x <<<，3124x x x x <<<………………………………………………（6分） ②上述6种情况中第3，6种情况不可能出现．否则，两个函数的对称轴相同，则4a =-，从而13x x =，24x x =，这与题意不符．……………………………………………（9分） 在其他4种情况中，都有2143x x x x -=-…………………………………（12分）因此有=04a =-或（舍去），经检验0a =满足题意……………………………………………………………（15分） 14、（本题满分15分，共2小题）如图5所示，//A D B C ，梯形A B C D 的面积是180， E 是A B 的中点，F 是B C 边上的点，且//A F C D ，A F 分别交,ED BD 于,,G H 设B Cm A D=，m 是整数. ① 若2m =，求G H D ∆的面积. ② 若G H D ∆的面积为整数，求m 的值. 解：① //A F C D ，∴AFCD 四边形为平行四边形，∴12F C A D B C ==，∴F 是B C 的中点，∴H 为B D 中点，又 E 是A B 的中点，故G 为 图5ABD ∆的重心，因此12G H A G =．………………………………………………………（3分）所以有1603A B D A B C D S S ∆==，1302A H D A B D S S ∆∆==，1103G H D A H D S S ∆∆==………（6分）② 作//B K A F 交E D 于K ，则K E B G E A ∆≅∆. 1G H G H H D F C A D A G K B B DB C B C m=====………………………………………………………（9分） 118011A B D A B C D S S m m ∆==++，()11801AH D ABD S S m m m ∆∆==+，()2118011G H D AH D S S m m m ∆∆==++…………………………………………………………（12分）即()21801m m +为整数，所以()21180m +，因为22180235=⨯⨯，所以1m +=2，3或6经验证，1m +=3或6，即m =2或5. ……………………………………………………（15分） 15、（本题满分15分， 共2小题）n 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如：能否通过若干次操作完成图6－1中的变换？请说明理由.图6－1② 能否通过若干次操作完成图6－2中的变换？ 请说明理由.图6－2③ 能否通过若干次操作完成图6－3中的变换？ 请说明理由.图6－394543522113+2+4=9-34543522113-2-4=-315794353211解：①……………………………………………………………………………………………(6分)②不能.()62620620062mod 4≡≡≡≡，因此不管如何操作，变换后的4个数仍然除4余2.不可能出现0. ………………………………………………………………………………(12分)③不能．如果3个奇数2个偶数的圈能变出５个奇数，由于这个操作的过程是可逆的，则５个奇数的圈通过有限次操作后能变成3个奇数2个偶数．但不管如何操作，５个奇数的圈变换后仍然是５个奇数．故要求的变换不能实现……………………………………………………(18分) 16、（本题满分15分）如图６所示，在A B C ∆中，已知D 是B C 边上的点，O 为ABD ∆的外接圆圆心，A C D ∆的外接圆与A O B ∆的外接圆相交于A ，E 两点.求证：O E EC ⊥.图7 证明：如图，在 AB 上取点F ，连接A F ，B F ，A O ，B O ，A D ，A E ，B E则因为A ，D ，B ，F 共圆，A ，D ，E ，C 共圆，因此12A E C A D C F A OB ∠=∠=∠=∠．……(6分)因为A OB =，所以 A O B O =，所以12A E OB E O A E B∠=∠=∠…………(12分) 所以1()22C E O A E C A E O A O B A E B π∠=∠+∠=∠+∠=所以O E EC ⊥．………………………………………………………………………(15分) 17、（本题满分18分，共3小题） 已知方程()()3212352350mnmnx xx -+⋅++⋅-=.① 若0n m ==，求方程的根. ② 找出一组正整数n ，m ，使得方程的三个根均为整数. ③ 证明：只有一组正整数n ，m ，使得方程的三个根均为整数.解：①若0n m ==，则方程化为323310x x x -+-=，即()310x -=.所以1231x x x ===．…………………………………………………………………（3分） ②方程化为()()212350mnx x x --⋅+=……………………………………………（６分）11112011002100210031100210032006-200710032006设方程22350m n x x -⋅+=的两个解为12,.x x则1,22332mmx ⋅±==±当1m n ==时，方程的三个根均为整数.……………………………………………（９分）③设295m nk -=（其中k 为整数） 所以295mnk -=，即()()335m mnkk -+=，不妨设3535m i m j k k ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩（其中i j n +=，i ，j 为非负整数），因此()23551m i j i -⋅=+又因为5不能整除23m，所以0i =，因此有2351m n ⋅=+．……………………（12分） 若1m =，有1n =；当2m ≥时，951n +．又()55mod9≡，()257mod 9≡，()358mod 9≡，()454mod 9≡，()552mod 9≡，()651mod 9≡，()755mod 9≡因此()3mod 6n ≡，设63n r =+（r 为自然数）． 则()216332151511251r r r ++++=+=+又()1251mod 126≡-，()21251mod 126≡，()31251mod 126≡-，所以()211251mod 126k +≡-，所以()211261251k ++，又因为126718=⨯，所以()2171251k ++而7不能整除23m，所以()2351mn⋅≠+故要使三根均为整数，则0m n ==，此时121x x ==，35x = ………………（15分）。
2006年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理)(浙江)
2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
（1）设集合A=|x ｜－1≤x ≤2|，B=|x|0≤x ≤4|，则A ∩B=（A ）．[0，2] （B ）．[1，2] （C ）．[0，4] （D ）．[1，4](2)已知ni i m -=+11，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m+ni= （A ）1+2i（B ）1－2i （C ）2+i （D ）2－I （3）已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则（A ）1＜n ＜m （B ）1＜m ＜n （C ）m ＜n ＜1 （D ）n ＜m ＜1(4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x ，表示的平面区域的面积是（A ）24 （B ）4 （C ）22 （D ）2(5) 双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到的左焦点距离的31，则m= （A ）21 （B ）23 （C ）81 （D ）89 （6）函数R x x x y ∈+=,sin 2sin 212的值域是 （A ）]23,21[- （B ）]21,23[- （C ）[]2122,2122++- （D ）]2122,2122[--- （7）“a ＞b ＞0”是“222b a ab +<”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）若多项式,)1()1(...)1(10109910102+++++++=+x a x a x a a x x 则a 9=（A ）9 （B ）10 （C ）－9（D ）－10 （9）如图，O 是半径为的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）42π （10）函数f ：|1，2，3|→|1，2，3|满足f （f （x ）=f （x ），则这样的函数个数共有（A ）1个 （B ）4个 （C ）8个 （D ）10个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
ZJOI2006 Day2
NOI2006浙江省队选拔赛第二轮试题 竞赛时间四小时 共四题 每题100分 时限1秒第一题 碗的叠放（文件名:bowl )试题描述小H有n个碗需要放进橱柜，她希望将他们叠起来放置。
你知道每个碗都是规则的圆柱体，并且都是上宽下窄，你已经测量出了每个碗的两个半径及高，请你帮小H找出一种叠放顺序，使得叠放出来的碗堆的高度尽量小，比如：输入第一行一个整数n，表示碗的数目。
以下n行，每行三个整数h，r1，r2。
分别表示碗高及两个半径。
其中r1<r2。
输出仅一个数，表示最小的高度。
答案四舍五入取整。
样例bowl.in350 30 8035 25 7040 10 90bowl.out55数据范围：100%数据满足n<=9。
所有输入的数绝对值不超过1000。
第二题 超级麻将（文件名:Mahjong）试题描述很多人都知道玩麻将，当然也有人不知道，呵呵，不要紧，我在这里简要地介绍一下麻将规则：普通麻将有砣、索、万三种类型的牌，每种牌有1~9个数字，其中相同的牌每个有四张，例如1砣~9砣，1索~9索，1万~9万各有4张，所以共36*3=108张牌。
胡牌时每人有14张牌，其中只要某人手里有若干句话（就是同种类型的牌连续三张或同种牌三张），另外再加上一对，即可胡牌。
当然如果全是对，叫七小对，也可以胡牌。
下图是连三张示例。
要判断某人是否胡牌，显然一个弱智的算法就行了，某中学信息学小组超级麻将迷想了想，决定将普通麻将改造成超级麻将。
所谓超级麻将没有了砣、索、万的区分，每种牌上的数字可以是1~100，而每种数字的牌各有100张。
另外特别自由的是，玩牌的人手里想拿多少张牌都可以，好刺激哦！刺激归刺激，但是拿多了怎么胡牌呢？超级麻将规定只要一个人手里拿的牌是若干句话（三个连续数字的牌各一张组成一句话，三张或者四张同样数字的牌也算一句话），再加上一对相同的牌，就算胡了。
作为信息学竞赛选手的你，麻烦你给这位超级麻将迷编个程序，判断能否胡牌。
浙江省温州市2023-2024学年高一上学期数学家摇篮竞赛试题含解析
2023年苍南高一数学家摇篮竞赛（答案在最后）满分：120分考试时间：90分钟一､单选题1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为2y x =-，值域为{}0,1,9--的同族函数共有（）个.A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【详解】1339⨯⨯=.选C.2.“23x <<”是“112x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由分式不等式的解法，求得不等式112x >-的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式112x >-可化为131022x x x --=>--，即302x x -<-，解得23x <<，即不等式的解集为{|23}x x <<，所以“23x <<”是“112x >-”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3.设x R +∈.则y =+的最大值为（）.A.3 B.223C.2D.2【答案】D 【解析】【详解】令1 xt=，于是，1yt==≤+=+211122t t⎫=+=-=+⎪⎪++⎭23222≤=.=，即1t=，亦即1x=时成立.所以，y=+的最大值为2.故答案为D4.已知()f x是定义在()()00-∞∞，，+上的偶函数，对任意的()12,0x x∞∈+，满足()()1212f x f xx x->-且24f=（），则不等式()4f x≥的解集为（）A.[)[)202,-⋃+∞， B.[)(]2002-⋃，，C.][()22-∞-+∞，， D.(](],20,2-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】根据题意判断出()f x在()0+∞，上单调递增，再由函数()f x在()()00-∞∞，，+上为偶函数，得到()4f x≥，将24f=（）代入解题即可.【详解】因为对任意的()12,0x x∞∈+，满足()()1212f x f xx x->-，所以()f x在()0+∞，上单调递增，又()f x是定义在()()00-∞∞，，+上的偶函数，且24f=（），所以()()24f x f≥=，所以2xx⎧≥⎨≠⎩，解得2x≤-或2x≥.故选：C5.已知函数()()221,134,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩的值域与函数y x =的定义域相同，则实数a 的取值范围是（）A.(),1∞- B.(],2∞--C.[]2,3- D.][(),23,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】因为函数y x =的定义域为R ，所以()f x 的值域是R ，当1x ≥时，2347y x =+≥，故当1x <时，()21y a x a =-+的值域为(),m -∞，所以7m ≥，所以21017a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得2a ≤-，所以实数a 的取值范围是(],2∞--.故选：B.6.已知函数()y f x =()x y N +∈、满足：（1）对任意a 、b N +∈，a b ¹，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+；（2）对任意N n +∈，都有()()3f f n n =.则()()512f f +的值是.A.17B.21C.25D.29【答案】D 【解析】【详解】对任意的n N +=，由（1）得()()()()()()1111n f n nf n n f n nf n +++>+++，即()()1f n f n +>.故()f x 在N +上为单调增函数.对任意n N +∈，由（2）得()()()()()33f n f f f n f n ==.显然()11f ≠.否则，()()()311ff f ==.矛盾.若()13f ≥，则()()()()()313213f f f f f =≥>>≥，矛盾.所以，()12f =.故()()3316f f ==，()()()63339f ff ==⨯=.由()()()()634569f f f f =<<<=，得()47f =，()58f =.则()()()743412f ff ==⨯=，()()()1273721f f f ==⨯=.故()()51282129f f +=+=.故答案为D二､多选题7.已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）A.()f x 的对称轴为直线2x =-B.()f x 的对称轴为直线2x =C.()()24f f ->D.不等式()()30f x f +>的解集为()3,1-【答案】BD 【解析】【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB ；根据(4)(0)f f =和函数的单调性即可判断C ；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.【详解】A ：因为(2)f x +为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以函数()f x 的对称轴为直线2x =，故A 错误；B ：由选项A 可知，B 正确；C ：因为函数()f x 的对称轴为直线2x =，所以(4)(0)f f =，又函数()f x 在(,2]-∞上单调递增，所以()()02f f >-，则()()42f f >-，故C 错误；D ：因为函数()f x 的对称轴为直线2x =，且()f x 在(,2]-∞上单调递增，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，且(2)(2)f x f x +=-，由(3)(0)f x f +>，得3202x +-<-，即12x +<，解得31x -<<，故D 正确.故选：BD.8.下列说法正确的有（）A.已知1x ≠，则4211y x x =+--的最小值为1+B.若正数x 、y 满足3x y xy ++=，则xy 的最小值为9C.若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D.设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +的最大值为7【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可.【详解】对于A ，因为1x ≠，所以当1x >时，10x ->，()442121114111y x x x x =+-=-++≥=--，当且仅当()4211x x -=-，即1x =当1x <时，10x -<，()10x -->，()4211x x ⎡⎤--+-≥=⎡⎤⎣⎦⎢⎥-⎣⎦当且仅当()4211x x ⎡⎤--=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，即1x =()4211x x -+≤--，所以()4421211111y x x x x =+-=-++≤---，所以函数的值域为(),11⎡-∞-⋃++∞⎣，故A 错误；对于B ，若正数x 、y 满足3x y xy ++=，可得33xy x y =++≥+，当且仅当3x y ==时等号成立，(),0t t =>，则()223,0t t t ≥+>，即()2230,0t t t --≥>，解得3t ≥，即9xy ≥，所以xy 的最小值为9，故B 正确；对于C ，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+，则()1122122552333321x y x y x y y x x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+当且仅当22x y y x=，即1x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为3，故C 正确；对于D ，221239x y xy x y ≥⋅-=⋅+，所以17xy ≤，()()222112395151577x y x y xy xy xy +=+++=+≤+⨯=所以37x y +≤，当且仅当37y x ==时，等号成立，故3x y +的最大值为7，故D 正确.故选：BCD.9.德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列关于狄利克雷函数()D x 的说法错误．．的是（）A.对任意实数x ，()()1D D x =B.()D x 既不是奇函数又不是偶函数C.对于任意的实数x ，y ，()()()D x y D x D y +≤+D.若x ∈R ，则不等式()2430x D x x -+<的解集为{}13x x <<【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断.【详解】若x 是有理数，则()()()11D D x D ==；若x 是无理数，则()()()01D D x D ==，故A 正确；若x 是有理数，则x -也是有理数，此时()()1D x D x =-=；若x 是无理数，则x -也是无理数，此时()()0D x D x =-=；即()D x 为偶函数，故B 错误；若x 是无理数，取y x =-，则y 是无理数，此时()()01D x y D +==，()()0D x D y +-=，即()()()D x y D x D y +>+-，故C 错误；若x 是有理数，则()2243430x D x x x x -+=-+<的解集为{}13x Q x ∈<<；若x 是有理数，()224330x D x x x -+=+<，显然不成立，故D 错误．故选：BCD ．10.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--.若()()20f x f x --≤恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.-1B.12C.13D.1【答案】AC 【解析】【分析】()()20f x f x --≤等价于()()2f x f x ≤+恒成立，当0x ≥时，函数()f x 的解析式进行去绝对值，所以讨论0a ≤和0a >的情况，再根据函数()f x 是奇函数，得到0x <时()f x 的解析式或图像，结合图像得到a 的取值范围.【详解】因为()()20f x f x --≤等价于()()2f x f x ≤+恒成立.当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--.若0a ≤，则当0x ≥时，()()1232f x x a x a a x =-+-+=.因为()f x 是奇函数，所以当0x <时，0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =.综上，()f x x =，此时()f x 为增函数，则()()2f x f x ≤+恒成立.若0a >，当0x a ≤≤时，()()1232f x x a x a a x ⎡⎤=-+---=-⎣⎦；当2a x a <≤时，()()1232f x x a x a a a ⎡⎤=----=-⎣⎦；当2x a >时，()()12332f x x a x a a x a ⎡⎤=-+--=-⎣⎦.即当0x ≥时，函数()f x 的最小值为a -，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，函数()f x 的最大值为a ，作出函数()f x 的图像如图：故函数()f x 的图像不能在函数()2f x +的图像的上方，结合图像可得323a a -≤-，即13a ≤，求得103a <≤.综上，13a ≤.故选：AC.【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像；（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究.三､填空题11.已知不等式20x ax b --<的解集为(2,3)，则不等式210bx ax ++>的解集为______【答案】(,)-116【解析】【分析】根据韦达定理求出,a b ，代入解二次不等式即可.【详解】由不等式20x ax b --<的解集为(2,3)，则2323ab +=⎧⎨⨯=-⎩，则56a b =⎧⎨=-⎩，则210bx ax ++>，即为x x -++>26510，解得：(,)-116.故答案为：(,)-11612.正实数,x y 满足1423x y +=，且不等式24yx m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围__________.【答案】[2,3]-【解析】【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出4yx +的最小值，然后解不等式即可.【详解】因为1423x y +=且x ，y 是正数，所以314343((2(26424242y y y x x x x y x y +=++=++≥+=，当且仅当441423y x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即312x y =⎧⎨=⎩时等号成立，因为不等式24yx m m +≥-恒成立，所以26m m -≤，解得23m -≤≤.故答案为：[]2,3-.13.若函数()f x 在区间[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值区间”．已知定义在R 上的奇函数()g x ，当(],0x ∈-∞时，()22g x x x =+．那么当()0,x ∈+∞时，()g x =______；求函数()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”为______．【答案】①.22x x-+②.11,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数是奇函数求出0x >时，2()2g x x x =-+，再由二次函数的单调性及“倒值区间”的定义，列出方程求解即可.【详解】设0x >，则0x -<，2()2g x x x ∴-=-，由()g x 为奇函数，可得2()()2g x g x x x =--=-+，故当0x >，2()2g x x x =-+，对称轴方程为1x =，所以0x >时，max ()(1)1g x g ==，设[],a b 是()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”，则值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以11a≤，即1a ≥，所以2()2g x x x =-+在[],a b 上单调递减，221()21()2g b b b b g a a a a ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，即22(1)(1)0(1)(1)0a a a b b b ⎧---=⎨---=⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以函数()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”为511,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.故答案为：22x x -+；11,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.设0x >，对函数[][]1()111x xf x x x x x +=⎡⎤⎡⎤⋅+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，其值域是_______.【答案】155,264⎧⎫⎡⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭【解析】【分析】【详解】由于()f x 的表达式中，x 与1x对称.且0x >，不妨设1x ≥.（1）当1x =时，11x =，有1(1)2f =.（2）当1x >时，设,01,x n a a n N +=+≤<∈，则1[],0x n x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，故1()1n a n a f x n +++=+.易证函数1()g x x x =+在[)1,x ∞∈+上递增，故11111n a n n n n a n +++<++++≤，则1111(),,(1,2,)11n n n n n f x I n n n ⎡⎫+++⎪⎢+∈==⎪⎢++⎪⎢⎣⎭故()f x 的值域为12n I I I ⋃⋃⋃⋃ .设22211,1(1)n n n a b n n n +==+++，则[),n n n I a b =.又12(1)(2)n n n a a n n n +--=++，当2n >时，2345n a a a a a =<<<<< ，易知n b 单调递减，故[)2223,n a b I I I =⊇⊇⊇⊇ .因为1255101,,,469I I ⎡⎫⎡⎫==⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，所以12125510551,,,46964n I I I I I ⎡⎫⎡⎫⎡⎫⋃⋃⋃⋃=⋃=⋃=⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭ .综上所述，值域为155[,264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：155[,264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.四､解答题15.已知函数()()()2122R m f x m m x m -=--∈为幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增.（1）求m 的值，并写出()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()1f x a a x +>+，其中R a ∈.【答案】（1）3，()2f x x=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；（2）由（1）可得原不等式变形为()()10x x a -->，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.【小问1详解】因为()()()2122R m f x m m x m -=--∈为幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则222110m m m ⎧--=⎨->⎩，解得3m =，所以()2f x x =；【小问2详解】不等式()21x a x a -++>0，即()()10x x a -->当1a =，1x ≠，即不等式解集为{}|1x x ≠，当1a >，1x <或x a >，即不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞，当1a <，x a <或1x >，即不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞.所以，当1a =，不等式解集为{}|1x x ≠，当1a >，不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞，当1a <，不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞.16.中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2） a 至少应达到10.2万件，每件定价30元.【解析】【分析】（1）设每件定价为t 元，由题设有[80.2(25)]258t t --≥⨯，解一元二次不等式求t 范围，即可确定最大值；（2）问题化为>25x 时，151506x a x +≥+有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【小问1详解】设每件定价为t 元，依题意得[80.2(25)]258t t --≥⨯，则2651000(25)(40)0t t t t -+=--≤，解得2540t ≤≤，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元【小问2详解】依题意，>25x 时，不等式21(600)6525850ax x x -≥++⨯+有解，等价于>25x 时，151506x a x +≥+有解，因为1501+6x x ≥（当且仅当30x =时等号成立），所以10.2a ≥，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．17.已知函数()212f x x x=+，定义域为[)(]1,00,1- ．（1）写出函数()f x 的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数()f x 在(]0,1上的单调性；（2）若(]0,1x ∀∈，都有()2f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围；（3）解不等式()()1f t f t ->．【答案】（1）()f x 在定义域[)(]1,00,1- 为偶函数；()212f x x x =+在区间(]0,1上单调递减，证明见解析.（2）()1∞-，（3）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由偶函数和单调性的定义可得；（2）先根据函数的单调性求最小值，根据恒成立即可得1m <；（3）根据函数的定义域，单调性，偶函数，结合()()1f t f t ->列出不等式组即可.【小问1详解】()f x 在定义域为[)(]1,00,1- 因()()()221122x x f x f x x x =-+=+=--，所以()f x 为偶函数；.()212f x x x =+在区间(]0,1上单调递减，证明如下设1201x x <<≤，则()()()22211212122222121211222x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-+()()12121222221212121122x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦因1201x x <<≤，所以120x x -<，21211x x >，21211x x >，所以()()120f x f x ->，所以()212f x x x=+在区间(]0,1上单调递减.【小问2详解】由（1）可知()f x 在区间(]0,1上单调递减，所以，当1x =时，()f x 取得最小值()13f =，又(]0,1x ∀∈，都有()2f x m >+恒成立，所以只需32m >+成立，即1m <，故实数m 的取值范围为()1∞-，.【小问3详解】由（1）知，()f x 在定义域[)(]1,00,1- 为偶函数且在区间(]0,1上单调递减，故由()()1f t f t ->得111101101t t t t t t -≤-≤⎧⎪-≠⎪⎪-≤≤⎨⎪≠⎪-<⎪⎩，即02111012t t t t t ≤≤⎧⎪≠⎪⎪-≤≤⎨≠⎪⎪⎪>⎩，解得112t <<，所以实数m 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭18.设函数2()f x ax bx c =++（a ≠0）满足(0)2f ≤，|(2)|2f ≤，(2)2f -≤，求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值．【答案】52【解析】【详解】解：由题意知()()()0422422c f a b c f a b c f ⎧=⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得()()()()()()022208224c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪⎪--=⎪⎩，从而当[]2,2x ∈-时，()()()()()()()2222022084f f f f f y f x x x f +----==++()()()222224220884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++．.因为[]2,2x ∈-时2222044x x x x +-⋅≤，从而()222222224224442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+222x x =-++．易知当[]0,2x ∈时22522222x x x x -++=-++≤当[]2,0x ∈-时22522222x x x x -++=--+≤得()2225max max 222x x x f x x ≤≤⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭．最后取()2122f x x x =-++，则()()()2202f f f =-==．故该函数满足题设条件且在[]2,2-上能取到最大值52．因此()y f x =的最大值为52．。
2006年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
1 2006 2006 (10 8 ) 。 2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分。 2006*7、设函数 f ( x ) sin x sin x cos x cos x ，则 f ( x ) 的值域为 ◆答案： 0, 8 ★解析： f ( x ) sin x sin x cos x cos x 1
从而有
1 DF 1 。 5
2006*5 、 设 函 数 f ( x ) x log 2 ( x
3
x 2 1) ， 则 对 于 任 意 实 数 a , b ， a b 0 是
f (a ) f (b) 0 的
A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 ◆答案：A
2
0 x 1
3 2 2 x x x 2
,
解得
0 x 1 ；或
x 1 3 2 2 x x x 2
解得
1 x 1 ，所以 x 的取值范围为 x , 且 x 1 . 2
2006*3、已知集合 A x | 5 x a 0， B x | 6 x b 0， a, b N ，且 A B N 2,3,4 ， 则整数对 ( a, b) 的个数为 A. 20 ◆答案：C B. 25 C. 30 D. 42
AF1 AF2
8 84 3
4 2 3 3 1 。
2006*10、底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为
1 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其 2
中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注 水 ◆答案： (
cm 3 1 3 2 ) 2
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2006年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准说 明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点.【证明】 因为12-=nx y 与x y =的交点为002n x y ±==.显然有001x n x +=。
…（5分）若),(00mmy x 为抛物线12-=kx y 与直线x y =的一个交点，则001mmk x x =+. …（10分） 记001mm mk x x =+，则 101101()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1） 由于1k n =是整数，22220020011()22k x x n x x =+=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，001mm m k x x =+是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m mk x x =+，使得12-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . ………………… （20分）14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1） 当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2） 进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.【解】 （1） 首先这样的S 的值是有界集，故必存在最大值与最小值。
历年温州市摇篮杯数学竞赛
历年温州市摇篮杯数学竞赛温州市摇篮杯数学竞赛训练题2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1、设$A$到$B$的映射$f:x\rightarrow y=(x-1)^2$，若集合$A=\{1,2\}$，则集合$B$不可能是（）A、$\{1\}$B、$\{1,2\}$C、$\{-1,2\}$D、$\{1,-1\}$2、若命题$P:(\frac{1}{2}x-1)<4$；$Q:log_4(x-1)<0$，则命题$\neg P$是$\neg Q$成立的（）A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要3、设$sin(\pi-2)=a$，则$tan(\frac{\pi}{2}-2)$的值为（）A、$\frac{1-a^2}{1+a^2}$B、$-a$C、$a$D、$\frac{2a}{1-a^2}$4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（）A、1:1B、$\pi:4$C、$4:\pi$D、$2:\pi$5、设正整数集$N$，已知集合$A=\{x|x=3m,m\in N^*\}$，$B=\{x|x=3m-1,m\in N\}$，$C=\{x|x=3m-2,m\in N^*\}$，若$a\in A,b\in B,c\in C$，则下列结论中可能成立的是（）A、$2006=a+b+c$B、$2006=abc$C、$2006=a+bc$D、$2006=a(b+c)$6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J，Q，K，则在“十四进制”中的三位数JQK化成“二进制”数时应为（）位数。
A、13B、12C、11D、107、设函数$f(x)=\begin{cases}1,&x\text{为有理数}\\0,&x\text{为无理数}\end{cases}$，若$xf(x)≤g(x)$对于一切$x\in R$都成立，则函数$g(x)$可以是（）A、$g(x)=sinx$B、$g(x)=x$C、$g(x)=x^2$D、$g(x)=x$8、如图，请观察杨辉三角（___是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前$n$项和为$S_n$，则$S_{2004}-2S_{2005}+S_{2006}$等于（）二、填空题：1.A*B={x|x∈A,但x∉B}2.B={-6.-3.0.3.6}3.n=124.空缺，题目中未给出选项5.2.3.46.π/6 或 -11π/6三、解答题：15.1) 当a>1时，f(x)单调递增的区间为(-∞。
2006年全国高中数学联赛试题及解答
2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1． 答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．2． 答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⇒ ⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1．所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．3 答C ．解：5x －a ≤0⇒x ≤a 5；6x －b ＞0⇒x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 4．答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．5．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 6． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k 以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k (－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(－82006)． 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．8. 填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2⇔(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤4⇔2a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． ⇔－25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． ⇔25|a |≤3－5a 2⇒|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 9．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．10． 填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(含解析)新人教A版
2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2006年4月16日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合2,1,0=A ，则集合B 不可．．能．是（▲） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0- 2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（▲）条件Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（▲）A 、21a a -B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）A 、1:1B 、4:πC 、π:4D 、π:25、设正整数集N *，已知集合{}*∈==N m m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（▲） A 、c b a ++=2006 B 、abc =2006 C 、bc a +=2006 D 、)(2006c b a +=6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（▲）位数。
A 、13B 、12C 、11D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（▲）A 、x x g sin )(=B 、x x g =)(C 、2)(x x g =D 、xx g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（▲） A 、502501 B 、520502 C 、502503 D 、以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题与答案
第7题图第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有12022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题个正确答案．） 1．设集合N ==+∈A x x n n 21,}{，N ==+∈B x x n n 41,}{，则=B A（ ▲ ）A ．N =+∈x x n n 41,}{B ．N =+∈x x n n 42,}{C ．N =+∈x x n n 43,}{D ．∅2．已知复数=-+z 22i 13（其中i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则下列说法错误．．的是（ ▲ ） A ．=z z 2B ．=z z ()2C ．=z 13D ．=-z ()133．C 地发生地震时，相距d km 的A B ,两地都能感受到，已知C 地位于A 地的正东方向上，C 地位于B 地的东偏南30方向上，且C 地距离A B ,两地分别为100km 和200km ，则d 的值是（ ▲ ） A ．-100523B ．1003C ．1007D ．+1005234．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i 个盒子中取出的卡片的号码为=x i i (1,2,3)，则++x x x 123为奇数的概率是（ ▲ ）A ．10529B ．10553C ．10557D ．215．设=⨯a 2021202020222，=⨯b 2022202120232，=⨯c 2023202220242，则（ ▲ ） A ．<<a b c B ．<<a c b C ．<<c a b D ．<<c b a6．已知p x y +>:0，q x x y y +++++>:lg(1)lg(1)022，则p 是q 的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知矩形ABCD 中，AB =2,AD =4．E ,F 分别在边AD ,BC 上,且AE =1,BF =3．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成EFB A 11，在翻折过程中，二面角--CD E B 1的大小为θ，则θtan 的最大值是（ ▲ ）A ．532B ．533C ．432D ．4338．已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点，则PA PB PC PD PE ++++的最大值是（ ▲ ） A ．2cos 361B ．2sin 361C ．2cos 365D ．2sin 365二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2006浙江大学生高数竞赛真题(附答案)
即 A + 3( B − C ) ( y − z ) − C = 0 ， 因此 A = B = C ≠ 0 ， 直， 因此 AFx + BFy + CFz = 0 ，
2
于是，过点 (1, 2,3) 且与曲面 z = x + ( y − z ) 的所有切面都垂直的平面方程为
3
x − 1 + y − 2 + z − 3 = 0 ，即 x + y + z − 6 = 0 .
∞ ∞ 1 1 ′ = = ， 则 f ( x) = ∑ x n ， f x nx n −1 ， ( ) ∑ 2 1− x (1 − x) n =0 n =1
3
解 考虑 −1 < x < 1 ， 记 f ( x) =
∞ ∞ 2 x n−2 ′′ = = − f x n n x ，而 xn = ， ( ) ∑ ( 1) ∑ 3 1− x (1 − x) n=2 n =1
1 x7 1 1 1 d(1 − x8 ) 4 =∫ dx+∫ dx = ∫ 4 d( x ) − ∫ 1 − x8 4 x (1 − x 4 ) 8 1 − x8 x (1 − x 4 ) = 1 1 1 d(1 − x8 ) 4 x d( ) − 4 ∫ x 4 (1 − x 4 ) 8 ∫ 1 − x8
x3 x3 x 这表明 f ( x ) = e − 在 ( 0, +∞ ) 上没有零点，显然 f ( x ) = e − 在 ( −∞, 0] 上也没 6 6
x
有零点，于是 f ( x ) = e x −
x3 没有零点，即 f ( x ) = 0 没有实根. 6
2
三 (20 分)求
⎛ ∞ n⎞ 20 ⎜ ∑ x ⎟ 的 x 的系数. ⎝ n =1 ⎠
2006年高中一年级数学竞赛试题及解析
2006年高中一年级数学竞赛试题及解析（总分：150分，时量：120分钟）第一卷 选择题、填空题一、选择题（第小题7分）1、已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1(x)，则函数y= f -1(1-x)的图象是（C ）解析：由已知可得，x x f2)(1=-，)1(1122)1(----==-x xx f ，xx g -=2)(与x x f2)(1=-关于y 轴对称（或)1(1122)1(----==-x x x f 为减函数），排出A 、B ， 又)1(1122)1(----==-x x x f 相当于x x g -=2)(向右平移了1个单位而得（或)1(1122)1(----==-x x x f 不过原点，排出D ），故选C. 2、在（0，2π），使sinx>cosx 成立的x 的取值范围为（ C ）A 、45,()2,4(ππππ B 、),4(ππ C 、45,4(ππ D 、)23,45(),4(ππππ 解法一：运用特殊值法； 解法二：利用三角函数的图象； 解法三：画单位圆3、方程2sin xx =解的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4解析：先构造函数x y sin 1=和22x y =， 再画出它们的图象，即可得交点个数.选C.4、在直角坐标系中，已知两点A （cos80°,sin80°），B （cos20°,sin20°），则|AB|的值是（ D ）A 、21B 、22C 、23 D 、1解法一：运用两点间的距离公式；解法二：作单位圆，则A 、B 是单位圆上位于第一象限的两点，∠AOB=80°-20°=60°，所以△AOB 是边长为1的等边三角形.故选D.5、已知二次函数f(x) =（x-a ）（x-b ）-2，m 、n 是方程f(x) =0的两根，则a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（ A ） A 、m<a<b<n B 、a<m<n<b C 、a<m<b<n D 、m<a<n<b解法一：特殊值法；解法二：设g(x)=（x-a ）（x-b ），则a 、b 就是g(x)与x 轴的两个交点的横坐标，f(x) = g(x)-2的图象，相当于g(x)的图象向下平移了2个单位，则m 、n 就是f(x)与x 轴的两个交点的横坐标，由函数图象即可得xyoABy出结果.选A.6、设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是 ( C )A ．3B ．2C ．3D ．2-3解法一： 因y sin x +cos x =2，故2)sin(12=ϕ++x y ．由1)sin(≤ϕ+x ，得212≥+y ，于是32≥y ．因0＜x ＜π，故y ＞0．又当3=y 时，)6sin(2cos sin 3π+=+x x x ．若x =3π,有2)6sin(2=π+x ， 故y m in =3，选C ．解法二： 设tan 2x t =，则22212121tt t y t --+=+13t 2t 2=+≥=当且仅当13t 2t 2=，即t =332tan =x ，亦即x =3π时，取“=”，故y m in =3，选C ．解法三： 如图，单位圆中，∠MOt =),0(π∈x ，P (2,0)， M (cos x ，sin x )为圆上的任意一点，)0,[cos 2sin 0PA PM k xxk ∈--=，即为圆上一点M 与P 点的连线的斜率，当MP 与圆相切时，斜率最大. 因AP OA OP OA ⊥==,2,1，故∠AOP =3π，∠APt =65π，33tan -=∠=APt k PA ， 因x x y sin cos 2-=PM k 1-=， 故y m in = (- 1k PM )min = - 1k P A3，选C ．二、填空题（每小题7分）1、若直线y=2a ，与函数y=|a x —1|（a >0，且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 （0，21） 解析：若a >1，画出y=|a x —1|的图象，因为a >1，2a >2，所以y=2a 与y=|a x —1|只有一个交点.若0<a <1，画出y=|ax —1|的图象，若0<a <2，2a <1，所以y=2a 与y=|a x —1|有二个交点. 故a 的取值范围是（0，21）. 2、计算89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=____44.5________解析：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.53、函数)2(x f 的定义域是[-1，1]，则)(log 2x f 的定义域是______42≤≤x ______解析：42)(log 2log 222)(22211)2(22212121≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇒≤≤----x 是的定义x f x x 是的定义x f x 是的定义f x x 域域域4、函数312)(-+=x x x f 的值域是______y ≠2________ 解析：，x x x f x x x f 213)(312)(1-+=⇒-+=- 所以312)(-+=x x x f 的值域是y ≠2的实数5、设)(x f 是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当x ，x ，f x =≤≤)(10时则)5.7(f = -0.5 解析：由题意可知， )2(x f +=)(x f)5.7(f ∴＝)5.08(-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－０.５6、设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)<0的解集是 (－2,0)∪(2,5] .解析：因为f(x)为奇函数，所以其图象关于 原点对称，画出其图象后，即可得f(x)<0的解集 为(－2,0)∪(2,5].第二卷 解答题1、已知0132=--x x ，求198757623+-+x x x 的值.解：198757623+-+x x x =（132--x x ）（2x+3）+1990=19902、已知：61=+x x 求30122-+x x 的值. 解：⇒=+226)1(x x 362122=++x x 34122=+⇒x x 430122=-+⇒xx3、已知函数)34lg(2++-=m mx mx y 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.解：函数)34lg(2++-=m mx mx y 的定义域为R ，即0342>++-m mx mx 恒成立，当0>m 时,100)3(4)4(△2<<⇒<+--=m m m m 时，0342>++-m mx mx 恒成立，当0=m 时，0342>++-m mx mx 恒成立，所以m 的取值范围是10<≤m .4、北京和上海分别有多余的精密仪器10台和4台，调配到武汉和广州，武汉要6台，广州要8台.预计每台运费为：北京到武汉400元，北京到广州800元，上海到武汉200元，上海到广州500元，问怎样调配可使运费最少？并求出最少的运费.解析：设从北京调往武汉x 台，则从北京调往广州（10-x ）台，设从上海调往武汉（6-x ）台，设从上海调往广州[8-（10-x ）]台，设总运费为y ，由题意可得：y=400x+800（10-x ）+200（6-x ）+500[8-（10-x ）]=400x+8000-800x+1200-200x-1000+500x=8200-100x 因为0≤x ≤10，0≤6-x ≤6， 0≤[8-（10-x ）]≤8，所以0≤x ≤6由此可得，当x=6时，（100x ）最大=600，y 最小=8200-600=7600答：设从北京调往武汉6台，则从北京调往广州4台，设从上海调往武汉0台，设从上海调往广州4台，最少的运费7600元。
浙江省2006年全国竞复赛
2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2． 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（ ）（A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1x kkx y -+=，当1≤x ≤2时的最大值是（ ）（A ）k （B ）k k 12- （C ）k 1 （D ）kk 1+4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（ ）（A ）10个 （B ）14个 （C ）15个 （D ）30个5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1212-+=x x y 的图象上整点的个数是 （ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个ADBC（第2题）6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（ ） （A ）15种 （B ）23种 （C ）28种 （D ）33种二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x = ．8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是 ．9．函数1422-+=x x y 的最小值是 ．10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，点P 是BD 上的一动点，则PE +PC 的最小值是 ．11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有 张．12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5．已知x 1+3x 2，4x 2，x 3+2x 4,，5x 4，6x 4+x 5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是 ．DE（第10题）三、解答题（共4小题，满分54分）某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？14．（本题满分12分）如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F，（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．BAC MNPEF15．（本题满分15分）设,,,321x x x …2006,x 是整数，且满足下列条件： ① -1≤n x ≤2，n =1，2，3，…，2006； ②+++321x x x …2002006=+x ；③+++232221x x x (20062)2006=+x ．求 +++333231x x x (3)2006x + 的最小值和最大值．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（１）（3,5）；（２）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 3=17．当这5个自然数中最大一个x 5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x 1=0，x 2=1，x 4=18，此时x 5=24． 2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x ，y ，则3 x = 4 y ，y x 34=． ∴334=⋅y y ．23=y ，x =2．∴ 长方形ABCD 的周长为19． 3．答案：A 解：k x k k y 1)1(+-=，∵ 0＜k ＜1，∴ kk k k k )1)(1(1-+=-＜0，该一次函数的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，最大值为k kk k =+-11．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形． 5．答案：C解：将函数表达式变形，得122+=-x y xy ，24224=--x y xy ，25)12)(12(=--x y ．∵ x ，y 都是整数，∴ )12(),12(--x y 也是整数．∴ ⎩⎨⎧=-=-2512,112x y 或⎩⎨⎧-=--=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧=-=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧=-=-512,512x y 或⎩⎨⎧-=--=-.512,512x y 解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）． 6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克， 28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克； （7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：15解： 1421=+x x ，1731=+x x ，3332=+x x ， ∴ 32321=++x x x ，152=x ．8．答案：a 7解：连结OC ，OP ，则∠OCP =90°，∠COP =60°，OC = a∴ PC =a 3，PB =PC =a 3，P A =a 7． 9．答案：1-解：y =3)1(22-+x =⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+.0,3)1(2,0,3)1(222x x x x其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y 最小为 -1．10．答案：26解：连结AP ，则PE +PC =PE +P A ，当点P 在AE 上时，其值最小，最小值为26102422=+．11．答案：20解：设A 、B 、C 三种贺卡售出的张数分别为x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧=++=++.1805.25.0,150z y x z y x消去y 得，305.15.0-=z x ．由0305.1≥-z ，得20≥z ．12．答案：right ，evght解：由题意得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=+=+.9266,9265,20262,6264,152635544434322121k x x k x k x x k x k x x （54321,,,,k k k k k 为非负整数）．（第9题）由0≤54321,,,,x x x x x ≤25，可分析得出，123454,17,8,216,7,19.x x x x x =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩或或，三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由条件得，在B 站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人． ……………2分 （2）在E 站有2人下车，即在D —E 途中有2个浙江人，5个上海人， ……………2分 从而C —D 途中至少有2位浙江人，在D 站至少有2人下车， ……………2分 ∴ C 站后车厢里至少有9个人． ∵ 火车离开B 站时车厢里有12人，离开D 站时有7人， ∴ 在C 站至少有3人下车，即经过C 站后车厢里至多9人，故经过C 站后车厢里有9人，即在C 站有3人下车． ……………2分 ∴ B —C 途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人． ……………2分 在D 站有2人下车，C —D 途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN ，则PN ∥AB ，且 AB PN 21=． ……………………2分∴ △ABF ∽△NPF ，2===PNABFN AF FP BF ． ∴ BF =2FP ． ……………………2分 （2）如图2，取AF 的中点G ，连结MG ，则 MG ∥EF ，AG =GF =FN ． ……………………2分∴ S △NEF =41S △MNG ……………………2分 =41×32S △AMN ……………………2分 =41×32×41S △ABC =241S ． ……………2分 BACM N PE F（图1） BA CM N PE F（图2）G15．(15分)解：设,,,321x x x …2006,x 中有r 个－1、s 个1、t 个2，则⎩⎨⎧=++=++-.20064,2002t s r t s r ………………5分 两式相加，得s ＋3t ＝1103，故0367t ≤≤． ………………2分∵ +++333231x x x …t s r x 832006++-=+ ………………2分=2006+t ． ………………2分∴ 200≤+++333231x x x (3)2006x +≤6×367+200=2402．当0,1103,903t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最小值200，………2分当367,2,536t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最大值2402．………2分16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）． ………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）． ………………3分 从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分 （2）不能到达点（12，60）和（200，5）． ………………2分 理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数=a 和2b 的公共奇约数=2a 和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a ＞b ，a 和b 的最大公约数=（a －b ）和b 的最大公约数， 如果a ＜b ，a 和b 的最大公约数=（b －a ）和b 的最大公约数， ∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分 ∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．。
2006年7月温州第七届青少年数学国际城市邀请赛团体赛试题与解答(繁体)
2006 Wenzhou Invitational World Youth MathematicsIntercity Competition2006青少年數學國際城市邀請賽隊際賽試題 2006/7/12 溫州市隊名：___________________得分：__________________1. 老師說：「要在一個三邊長為2，2，2x 的三角形內部放置一個盡可能大的圓，則正實數x的值該是多少？」學生A 說：「我想x ＝1。
」學生B 說：「我認為x =學生C 說：「你們回答都不對！」他們三人誰的回答是正確的？為什麼？解答：一方面三角形的面積＝(2)r x +，所以三角形面積=2r x=+。
當1x =時，11.7r =<；當x =11.7r =<。
取43x =，則16127 1.7r ==>>，所以43x =是一個更好的選擇。
所以學生C 的回答正確。
註：當1x =時，可取到r)521。
2. 一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內角為36˚，求原三角形最大內角的所有可能值。
解答：（1）若剖分線不過點B 。
不妨設剖分線為AD ，此時△BAD 是(36,36,108)或者(36,72,72)的三角形。
若△BAD 是(36,36,108)的三角形，則△CAD 或者是(144,18,18)第一個圖，或者是(72,54,54)第二個圖，或者(36,72,72)第三、四個圖.（2） 若剖分線過點B 。
不妨設為BE ，則△CBE 必定是(132,24,24)，△ABE 是(144,12,12)的三角形。
所以原三角形的最大內角可能是72,90,108,126,132︒︒。
3. 四個單位正方形以邊對邊相連接而成，可以拼成如圖五種不同的形狀。
用一片“L”形(圖中第一個)分別與其餘四個中的一片拼成軸對稱圖形，請繪出所有可能之組合。
解答：4.一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連接而成，在每個正方形內標記上數字1、2、3、4或5，所以我們共可得標號為11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌。
2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
第7题图2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2022.9第Ⅰ卷选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有1个正确答案．）1．设集合{}21,A x x n n ==+∈N ，{}41,B x x n n ==+∈N ，则A B =ð（▲）A ．{}41,x x n n =+∈NB ．{}42,x x n n =+∈N C ．{}43,x x n n =+∈N D ．∅2．已知复数13i 22z =-+（其中i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则下列说法错误．．的是（▲）A ．2z z=B ．2(z z=C ．31z =D ．3(1z =-3．C 地发生地震时，相距d km 的,A B 两地都能感受到，已知C 地位于A 地的正东方向上，C 地位于B 地的东偏南30方向上，且C 地距离,A B 两地分别为100km 和200km ，则d 的值是（▲）A ．523-B ．3C ．1007D ．523+4．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i 个盒子中取出的卡片的号码为(1,2,3)i x i =，则123x x x ++为奇数的概率是（▲）A ．29105B ．53105C ．57105D ．125．设2202020222021a ⨯=，2202120232022b ⨯=，2202220242023c ⨯=，则（▲）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<6．已知:0+>p x y ，22:lg(1)lg(1)0++++>q x x y y ，则p 是q 的（▲）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知矩形ABCD 中，2=AB ,4=AD ．E ,F 分别在边AD ,BC 上,且1=AE ,3=BF ．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成11A EFB ，在翻折过程中，二面角1B CD E --的大小为θ，则tan θ的最大值是（▲）A ．325B ．335C ．324D ．3348．已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点，则++++PA PB PC PD PE 的最大值是（▲）A ．12cos36B ．12sin 36C ．52cos36D ．52sin 36二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2006年4月16日本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1、设Ａ到Ｂ的映射f ：x →y=(x －1)2,若集合2,1,0=A ，则集合B 不可能．．．是（▲） A 、{}1,0 B 、{}2,1,0 C 、{}2,1,0- D 、{}1,1,0-2、若命题Ｐ：4)21(1<-x ；Ｑ：04log )1(<-x ，则命题⌝Ｐ是⌝Ｑ成立的（▲）条件 Ａ、充分不必要 Ｂ、必要不充分 Ｃ、充要 Ｄ、既不充分也不必要 3、设a =-)2sin(π，则)22tan(-π的值为（▲）A 、21a a- B 、21aa-- C 、a a 21- D 、a a 21--4、将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（▲）A 、1:1B 、4:πC 、π:4D 、π:2 5、设正整数集N *，已知集合{}*∈==Nm m x x A ,3|，{}*∈-==N m m x x B ,13|，{}*∈-==N m m x x C ,23|，若,,B b A a ∈∈C c ∈，则下列结论中可能成立的是（▲）A 、c b a ++=2006B 、abc =2006C 、bc a +=2006D 、)(2006c b a +=6、用“十四进制”表示数时，满十四进前一位。
若在“十四进制”中，把十四个数码从小到大依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J ，Q ，K ；则在“十四进制”中的三位数JQK 化成“二进制”数时应为（▲）位数。
A 、13B 、12C 、11D 、107、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，若)()(x g x xf ≤对于一切R x ∈都成立，则函数)(x g 可以是（▲）A 、x x g sin )(=B 、x x g =)(C 、2)(x x g = D 、xx g =)(8、如图，请观察杨辉三角（杨辉是我国南宋时期的数学家）中各数排列的特征,其中沿箭头所示的数依次组成一个锯齿形数列：1、1、2、3、3、6、4、10、5、……，设此数列的前n 项和为n S ,则2006200520042S S S +-等于（▲） A 、502501 B 、520502 C 、502503 D 、以上都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。
9、现定义{}Bx ,|∉∈=*但A x x B A ，若{}5,4,3,2,1=A ，{}3,2,1=*B A ，则集合B 可以是___________（写出一个即可）.10、在等差数列{}n a 中，若240301849===-n n S a S ,,，则正整数n 的值为_________________.11、某安全部门为了保证信息安全传输，采用一种密钥密码系统，其加密、解密原理如下图： 明文 密文 密文 明文现设解密密钥为：)1,0(≠>=→a a a y x x，如上所示，若密文“3”通过解密后得到明文“8”，则当输入方输入明文为“4”时，接受方所得密文应为“ ”． 12、设][a 表示不超过a 的最大整数，则对函数)]([R x x x y ∈-=在定义域内有以下判断：（1）存在最大值与最小值；（2）是周期函数；（3）是增函数；（4）是偶函数。
其中正确的有___________（填上相应的序号即可）。
11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 … … … … … … …解密密钥密码 加密密钥密码 发送数θ的最小正值为_________________。
14、若不等式102<++<c bx ax 的解集为)1,0(，则实数a 的取值范围是_________。
三、解答题：本大题共3小题，共54分。
15、（本题满分16分）已知函数)1,0(),3||(log )(2≠>+-=a a x a x x f a . (1)若4=a ，写出它的单调递增区间； (2)若对于21121-≤<≤-x x 的任意实数21,x x 都有0)()(21<-x f x f 成立，试求实数a 的范围.16、（本题满分18分）如图，已知ABC ∆，BC=9cm ，现有两个质点甲、乙同时从C 点出发，甲沿路线A B C →→以每秒2cm 的速度匀速向前移动，乙沿路线A C →以每秒1cm 的速度匀速向前移动，当甲到达B 点时，乙到达D 点，并满足83=CA CD ，最后它们同时到达A 点。
（1）试判断ABC ∆的形状；（2）设在t 时刻，甲、乙分别到达E 、F 处，试确定∆CEF 的面积S 与t 的关系，并求出S 的最大值。
17、（本题满分20分）已知函数R a xa ax x f ∈--+=,1)(。
利用函数)(x f y =构造一个数列{}n x ，方法如下：对于定义域中给定的1x ，令))((,),(),(12312*-∈===N n x f x x f x x f x n n ，…如果取定义域中任一值作为1x ，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{}n x 。
（1）求实数a 的值；（2）若11=x ，求)1()1)(1(21+++n x x x 的值；（3）设))(1()1)(1(21*∈+++=N n x x x T n n ,试问：是否存在n使得200620061=+++++n n n T T T 成立，若存在，试确定n 及相应的1x 的值;若不存在，请说明理由？2006年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准９、{}5,4或{}6,5,4等 10、15 11、2 12、（2） 13、125π14、)4,4(- 三、解答题（共5４分）15、解(1)所求函数的单调递增区间为]0,1(-与),3(+∞ —————6分 (2)易知已知函数为偶函数，则当]1,21[∈x 时为减函数。
对于]1,21[∈x 时, )1,0(),3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a —————8分设3)(2+-=ax x x g ,由题意得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤>0)1(211g aa , 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<<0)21(21210g a a —————14分则42<≤a 或10<<a —————16分 16、解（1）如图，由题意可得：29=CD ，则AC=12，从而可得AB=15，则∆ABC 是以AB 为斜边的直角三角形。
—————6分（2）当甲在B C →的过程中时，∆CEF 是直角三角形，则它的面积为)290(22121≤<=⋅⋅=t t t t S ， —————10分 当甲在A B →的过程中时，易知EF//BD ，可知2arctan =∠=∠ADB CFE ，令)1229(<<=t t CF ，故∆CEF 的面积5108)6(53sin 2122+--=∠⋅⋅=t CFE FC FE S ， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+--≤<=1229,5108)6(53290,22t t t t S ————16分易知当29=t 时有最大值481；当6=t 时有最大值4815108>，故∆CEF 的面积的最大值为5108。
——18分17、（1）求证：（1）解：根据题意可知，),3,2,1( =≠i a x i ，则a x ≠，且方程a xa ax =--+1无解, ——2分即当a x ≠时方程1)1(2-+=+a a x a 无解 由于a x =不是方程1)1(2-+=+a a x a 的解所以对于任意1)1(,2-+=+∈a a x a R x 无解。
则01=+a ，且 012≠-+a a ，故1-=a 。
—————6分 （2）当1-=a 时，对于11-≠x ，有12)(1112++-==x x x f x ，1222312)(x x x x f x =++-== 同理得n n x x =+2对一切*∈N n 都成立，即数列{}n x 是一个以2为周期的周期数列。
——10分则23,1212-==-n n x x ， 故)(4,114,224,134,2)1()1)(1(21*∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--==+++N k kn k n k n k n x x x n —————12分解法二：由上可知，12)(1++-==+n n n n x x x f x ，则1)1)(1(1-=+++n n x x ，从而可得出结果。
（3）由（2）易知：)(4,114),1(24,134,111*∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+--=--=+=N k kn k n x k n k n x T n —————14分 则)(0321*+++∈=+++N k T T T T k k k k ,若200620061=+++++n n n T T T ， 则)(200621*++∈=++N n T T T n n n ,又)(14,124),1(34,14,11121*++∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+--=-=+=++N k k n k n x k n k n x T T T n n n —————18分 故当k n 4=，20051=x 或24-=k n ，20071-=x 时200620061=+++++n n n T T T —20分。