第3章静态优化模型_简单的优化模型3_8

问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件 元。 件 准备费 日需求 元 贮存费每日每件1元 • 每天生产一次，每次 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费 件 无贮存费，准备费5000元。 元
每天费用5000元 元 每天费用
• 10天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次1000件，贮存费 件 贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计 元，准备费 元 总计9500元。 元
2c1r Q = rT = c2
不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？
允许缺货的存贮模型
当贮存量降到零时仍有需求r, 当贮存量降到零时仍有需求 出现缺货， 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时 件 原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货 或立即到货) 立即生产出来 或立即到货
问题 分析
记队员人数x, 失火时刻 开始救火时刻t 记队员人数 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻t 时刻t森林烧毁面积 森林烧毁面积B(t). 灭火时刻 2, 时刻 森林烧毁面积
• 损失费 1(x)是x的减函数 由烧毁面积 2)决定 损失费f 的减函数, 决定. 是 的减函数 由烧毁面积B(t 决定 • 救援费 2(x)是x的增函数 由队员人数和救火时间决定 救援费f 的增函数, 是 的增函数 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x， 存在恰当的 ，使f1(x), f2(x)之和最小 之和最小
3.2 生猪的出售时机
饲养场每天投入4元资金 用于饲料、人力、 元资金， 问 饲养场每天投入 元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使 千克重的生猪体重增加 公斤。 估计可使 千克重的生猪体重增加2公斤 可使80千克重的生猪体重增加 公斤。 市场价格目前为每千克8元 但是预测每天会降 市场价格目前为每千克 元，但是预测每天会降 预测 低 0.1元，问生猪应何时出售。 元 问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。 估计 有误差 投入资金使生猪体重随时间增加， 分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大 时间减少，故存在最佳出售时机，
问题
3.1
存贮模型
配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 ），每次产量多少 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要建立生产周期、 要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
Q = rT
一周期贮存费为
0
T
t
2
c2 ∫0 q (t ) dt = c2 A
T
Q rT 一周期 ~ C = c1 + c2 T = c1 + c2 总费用 2 2
~ C c1 c 2 rT C (T ) = = + T T 2
每天总费用平均 目标函数） 值（目标函数）
模型求解
dC =0 dT
c1 c2 rT → Min 求 T 使C (T ) = + T 2
平均每天费用950元 元 平均每天费用
• 50天生产一次，每次 天生产一次， 天生产一次 每次5000件，贮存费 件 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费 元 准备费5000元，总计 元 总计127500元。 元
平均每天费用2550元 元 平均每天费用 10天生产一次平均每天费用最小吗? 10天生产一次平均每天费用最小吗? 天生产一次平均每天费用最小吗
用于订货、供应、 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， ， 每天每件贮存费 T天订货一次 周期 每次订货 件，当贮存量降到 天订货一次(周期 每次订货Q件 天订货一次 周期), 零时， 件立即到货 件立即到货。 零时，Q件立即到货。
T =
2 c1 rc 2
问题 分析
• 关键是对 关键是对B(t)作出合理的简化假设 作出合理的简化假设. 作出合理的简化假设 失火时刻t=0, 开始救火时刻 1, 灭火时刻 2, 开始救火时刻t 灭火时刻t 失火时刻 森林烧毁面积B(t)的大致图形 画出时刻 t 森林烧毁面积 的大致图形
3 S (t , g ) = − = −3 3 − 20 g
10
0 0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加 ，出售时间提前3%。 生猪价格每天的降低量 增加1%，出售时间提前 增加 。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt →w = w(t) p=8-gt → p =p(t)
q Q′ ′ r R 0 T1 T t
2c1r c3 Q′ = c 2 c 2 + c3
注意： 注意：缺货需补足 Q′~每周期初的存贮量 ′ 每周期初的存贮量 每周期的生产量 R = rT ′ = R （或订货量） 或订货量）
2c1r c2 + c3 c2 c3
R = µ Q > Q Q~不允许缺货时的产量 或订货量 不允许缺货时的产量(或订货量 不允许缺货时的产量 或订货量)
一周期总费用
1 1 C = c1 + c2QT + c3r(T −T1 )2 1 2 2
每天总费用 C c1 c2 Q 2 c3 (rT − Q ) 2 C (T , Q ) = = + + 平均值 T T 2rT 2rT 目标函数） （目标函数） 求 T ,Q 使 C (T , Q ) → Min
q Q r
A
Q = rT1
T1 B T t
0
Hale Waihona Puke 现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 现假设：允许缺货
周期T, 周期 t=T1贮存量降到零 一周期 贮存费 一周期 缺货费
c2 ∫0 q (t )dt = c2 A
T1
一周期总费用
c3 ∫T q(t ) dt = c3 B
T
1
QT r(T −T1)2 C = c1 + c2 1 +c3 2 2
T = 2 c1 rc 2
2c1r Q = rT = c2
模型分析
c1 ↑⇒ T,Q↑
模型应用
• 回答问题
c2 ↑ ⇒ T, Q ↓
r ↑ ⇒T ↓, Q ↑
c1=5000, c2=1，r=100 ， T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 天 件 元
• 经济批量订货公式（EOQ公式） 经济批量订货公式（ 公式） 公式
∂C ∂C = 0, =0 ∂T ∂Q
为与不允许缺货的存贮模型 为与不允许缺货的存贮模型 相比， 记作 记作T 记作Q 相比，T记作 ’, Q记作 ’ 记作
2c1 c2 + c3 T′ = rc2 c3
2c1r c3 Q′ = c2 c2 + c3
允许 2c1 c2 + c3 T '= rc2 c3 缺货 模型 2c1r c3 Q' = c 2 c 2 + c3 记
建模目的
已知， 使每天总费用的平均值最小。 设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
模型建立
离散问题连续化
q
贮存量表示为时间的函数 q(t) t=0生产 件，q(0)=Q, q(t)以 生产Q件 生产 以 需求速率r递减 递减， 需求速率 递减，q(T)=0.
Q r
A=QT/2
敏感性分析
4r − 40 g − 2 t= rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计 ， g=0.1 变化时对模型结果的影响 估计r=2， 3 − 20 g • 设r=2不变 不变 t= , 0 ≤ g ≤ 0.15 g t 对g的（相对）敏感度 的 相对）
30
t
20
∆ t /t dt g S (t , g ) = ≈ ∆ g / g dg t
Q (t ) = p (t ) w(t ) − 4t
Q ′( t ) = 0
p ′( t ) w ( t ) + p ( t ) w ′( t ) = 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由 S(t,r)=3 若 1.8 ≤ w′ ≤ 2.2(10%), 则 7 ≤ t ≤ 13 30%） （ ） 建议过一周后(t=7)重新估计 p , p ′, w , w ′ , 再作计算。 重新估计 再作计算。 建议过一周后
第三章 简单的优化模型
3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型 生猪的出售时机 森林救火 最优价格
3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输
静 态 优 化 模 型
• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题指最优解是数 不是函数 静态优化问题指最优解是数(不是函数 不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法