第24课时——函数与方程(1)——教师版

2.5.1 二次函数与一元二次方程【学习导航】 知识网络1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．【课堂互动】自学评价1.二次函数的零点的概念一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点．2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；（2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ；（3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）没有零点． 3. 推广⑴函数的零点的概念一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =()x D ∈的零点．⑵函数的零点与对应方程的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【精典范例】例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 【解】证法1∵∆=()23427650-⨯⨯-=>∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．证法2 设2()237f x x x =+-， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =⨯+⨯-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程2370x x +-=有两个不相等的实数根．点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证．例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系．【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =．听课随笔（2）由（1）可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -= ∴1a =∴()(3)(1)f x x x =-+-．即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+． （3）∵(4)5f -=-，(1)4f -=，(0)3f =，(2)5f =-， ∴(4)(1)200f f --=-<，(0)(2)150f f =-<．点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想．例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：（1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）． 【解】⑴ 设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <，即24270a a -+-<，∴ 13a -<<．⑵ 当0a =时，0x =满足题意．当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++. 若要方程两根都小于1，只要2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或 304a ⇒<≤综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤⑶ 设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]- 上等价于：222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩ ∴01a ≤≤．（4）设22()7(13)2f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于22220(0)0(1)0280(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或21a -<<- 或34a <<．（5）设2()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，则有2801223(1)0a a a aa a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒≤<若方程的两个根一个大于1-，另一个小于-1，则有(1)30f a -=-<, ∴3a >． 若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--， ∴3a =．综上程至少有一实根小于1-时，a ≥点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．追踪训练一1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则 （ D ）听课随笔A ．01a ≤≤B ．02a ≤≤C ．20a -≤≤D ．10a -≤≤2. 设2()f x x bx c =-+，(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-，则 （ B ） A ． ()()x x f b f c ≥ B ． ()()x x f b f c ≤ C ．()()x x f b f c > D ． ()()x xf b f c < 3. 若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内，则m ∈__1223m <<___．4.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f 的取值范围是_______[)7,+∞__________．【选修延伸】一、二次函数与一元二次方程根的关系例4:已知m ，n 是方程22(2)x k x k +-++350k +=(k R ∈)的两个实根，求22m n+的最大值和最小值．分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求22m n +的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式．【解】因为方程22(2)350x k x k k +-+++=(k R ∈)有两个实根，所以22(2)4(35)k k k ∆=--++2316160k k =---≥，解得443k -≤≤-又(2)m n k +=--，235m n k k ⋅=++，所以222()2m n m n mn +=+- 22(2)2(35)k k k =--++22106(5)19k k k =---=-++．而()()2451943f k k k ⎛⎫=-++-≤≤- ⎪⎝⎭是减函数，因此当4k =-时，22m n +取最大值18，当43k =-时，22m n +取最小值509． 点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定k 的取值范围，否则无法确定函数()f k 的单调性．二、已知二次函数的某些特征,求二次函数的解析式 例5：已知二次函数2()f x ax bx =+ (a ,b 是常数且0a ≠) 满足条件(5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x =有等根．⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 是否存在实数m ,n (m n <)，使()f x 的定义域和值域分别为[,]m n 和[3,3]m n ，如果存在，求出m ,n 的值，如果不存在，说明理由．【解】 ⑴ 2ax bx x +=，即20ax b x x +-=有等根，故有2(1)0b ∆=-=，∴1b =． 由(5)(3)f x f x -+=-知，()f x 图象关于直线1x =对称， ∴12ba-=，∵ 1b =，∴12a =-，∴()212f x x x =-+．（2）∵()()22111112222f x x x x =-+=--+≤．由()f x 值域为[3,3]m n ， ∴132n ≤，即16n ≤． 抛物线212y x x =-+对称轴为1x =，且开口向下，由16n ≤知定义域[,]m n在对称轴左侧， ∴ ()f x 在[,]m n 上为增函数，设存在实数m ,n 使2213()32()3132m m mf m m f n n n n n⎧-+=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩ 0404m m n n ==-⎧⇒⎨==-⎩或或， ∵16m n <≤，∴4m =-，0n =．即存在4m =-，0n =使定义域为[4,0]-，值域为[12,0]-．思维点拔：一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根的分布问题，既可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，听课随笔由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路．追踪训练二1． 若方程2210ax x --=在()0,1内恰有 一解，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a <- B ．1a > C ．11a -<< D ．01a ≤<2．已知()()()2f x x a x b =---()a b <，并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ A ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<3．不等式223222x kx kx x >＋＋＋＋对一切实数x 都立，则k 的取值范围是210k <<. 4． 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围．答案：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >,0c <．由2y ax bx cy ax b⎧⎨⎩＝＋＋＝＋ 得2()0ax b a x c b +-+-=，因为2()40b a ac ∆=+->．所以两函数()f x 、()g x 的图象必交于不同的两点；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211||A B =2212()(2)4cx x a-=--．∵0a b c ++=，a b c >>，∴122c a -<<-． ∴11||A B ∈（23，32）．听课随笔。