辽宁省实验中学2020届高三下五模考试(文数)-含答案

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2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)

在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG

辽宁省实验中学2020届高三5月内测模考文科数学试题

最大值及直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
21.已知函数 f (x) ln x a bx(a,b R) . x
（1）当 b 0 时，讨论函数 f (x) 的单调性；
面 ABCD 是菱形，点 M 为 PC 的中点.
（1）求证：PA∥平面 MDB；（2）求三棱锥 A﹣BDM 的体积.
18.某城市100 户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180 ，180, 200 ，200, 220 ，220, 240 ， 240, 260 ，260, 280 ，280,300分组的频率分布直方图如图．
的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
14.函数 y ln x 的图像在 x 1 处的切线方程是_______． x
15.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为
A ，上顶点为 B
.若点 F
到直线
AB
的距离为
5 14 b ，则该椭圆的离心率为__________． 14
）
A. 3,1
B. 1,3
C. 3, 1
D. 2, 4
y 1
3.已知
x，y
满足约束条件
x
y
4
0
，则
z
x
2
y
的最小值是（
）
x y 0
A. 8
B. 6
C. 3
D. 3
4.设平面向量
a
2,1
,
b
0,
2
，则与
a+2b
垂直的向量可以是（
）
A. 4, 6
B. 4,6

辽宁省2020年部分重点中学协作体高考模拟数学(文科)试卷(含答案)

辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（文科）试卷考试时间： 120 分钟f 考试分数： 150 分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1—12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022≤--=x x x A ，{}0>=x x B ，则A ∩B=（）A ． [-1，2]B ．（1，2]C ．（0，2]D ．（2，+∞）2．已知复数z 满足i i z -=+1)1(，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．i -B ．1-C ．1D ．i3．已知3.0313.02,22log ===-c b a ，，则c b a 、、的大小关系是（）A ． a<b<cB ，a<c<bC ． c<a<bD ． b<c<a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为a x y+=12ˆ，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（） A ．100万元 B ．101 万元 C ．102万元 D ．103万元．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4634a a a +=+，则9S =（）A ．18B ． 24C ．48D ．366．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为dB x f )(，则有12101lg10)(-⨯⨯=x x f ，则dB 90的声音与dB 50的声音强度之比为（） A ．10 B ．100 C ．1000 D ．100007．函数x y 2tan =图象的对称中心坐标为（）A ．Z k k ∈),0,2(πB ．Z k k ∈),0,(πC ．Z k k ∈),0,2(πD ．Z k k ∈),0,4(π 8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中“物不知数”问题叙述如下:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”，即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，设计如图所示的程序框图，则框图中的“◇”处应填入（）A ．Z t ∈-212B ．Z t ∈-152C ．Z t ∈-72D ．Z t ∈-32 9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+-=1,41,82)(2x a x x x ax x x f ，若)(x f 的最小值为)1(f ，则实数a 的值不可能是（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．410．已知三棱锥A —BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（）A ．π34B ．332π C ．π12 D ．364π 11．已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC|=2，|FB|=1，则|AB|=（）A ．3B ．4C ．6D ．612．已知)2(ln 2)(xx x t x e x f x ++-=恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞6]41(e Y ， B ．]61,(-∞ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧6]410[e Y ， D ．]41,(-∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+-0201y y x y x ，则y x -2的最小值是 .14．已知直线l 和m 是两条不同的直线，它们都在平面α外，给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，121+=+n n a S 则n S = .16．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是一个以2PF 为底的等腰三角形，42=PF ，1C 的离心率为73，则2C 的离心率是 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知m =（2cosx ，sinx ），n =（cosx ，32cosx ），且)(x f =m ·n ．（1）求)(x f 在]2,0[π上的值域；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若3)2(=Af ，且a=2， b+c=4，求△ABC的面积.。

2020年4月辽宁省瓦房店市实验高级中学2020届高三下学期综合复习检测数学(文)答案

1
绝密★启用前
辽宁省瓦房店市实验高级中学 2020届高三年级下学期综合复习检测
数学(文)试题参考答案
2020年4月
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

（13）9; （14）(1,＋∞) ; （15）π3 ; （16）25
π4
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）
解：（1）由题意得a 42＝a 2a 8,即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)( a 1＋14),故a 1＝2．
所以{a n }的通项公式a n ＝2n ． ……………（6分）
（2）由（1）得S n ＝12(a 1＋a n )＝n (n ＋1),1S n ＝1 n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1．
于是T n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1
n ＋1
)
＝(1＋12＋13＋…＋1n )－(12＋13＋14＋…＋1
n ＋1)
＝1－1
n ＋1
＝
n
n ＋1． ……………（12分）（18）（本小题满分12分）
解：(1)设某企业购买的6辆新能源汽车,4月份生产的4辆车为1C ,2C ,3C ,4C ；5月份生产的2辆车为1D ,2D ,6辆汽车随机地分配给A
B ，两个部门. B
部门2辆车可能为。

辽宁省部分重点中学协作体2020届高三模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析

辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（文科）试卷考试时间：120分钟考试分数：150分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1-12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =（）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【解析】【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A. i - B. iC. 1D. 1-【答案】D 【解析】【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b ，0.30221c =>=，所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题.4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12y x a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（）A. 100万元B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【解析】【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解.【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=，所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-，当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（） A. 18 B. 24C. 48D. 36【答案】D 【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（）A. 10B. 100C. 1000D. 10000【答案】D 【解析】【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（） A. (2,0),k k Z π∈B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D.(,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【解析】【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈，所以函数tan 2y x =图象对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质应用，属于基础题.8.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（）A.221a -∈Z B.215a Z -∈ C.27a -∈Z D.23a -∈Z 【答案】A 【解析】由题意可知，该程序框图的功能是使得实数a ，使得3除余2，被5除余3，被七除余2的数值，其中53a n =⨯+表示除5除余3的数，再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入221a -∈Z ，故选A ．9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()444f x x a x a a x x=++≥⋅=+，当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意；当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-，由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥；综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（）A. B.323πC. 12πD.643π【答案】B 【解析】【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、221OA m ⎫=+-⎪⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解. 【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，ABC 是边长为3，2CD =，∴33AG =，13BD =11O G =，设1OO m =，则33HA m =-， ∴222211134OD DO OO m =+=+，22223312OA OH HA m ⎛⎫=+=+-⎪ ⎪⎝⎭，由22OD OA =可得22133314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得32m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径21324R m =+=， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（） A. 3 B. 4C. 6D. 6【答案】B 【解析】【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =，则4AB AF BF =+=. 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x =-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（）A.1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C.1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D. 1(,]4-∞【答案】D【解析】【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+，对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21xx x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，2()2(ln )x e f x t x x x x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe x t +=-在()0,∞+上无解，即()22xt e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，则()()()()()222222102222x x x e x e e x g x x x +-+'==>++， ∴函数()g x 在[)0,+∞单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()104g x g >=， ∴14a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.己知x ，y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值是______．【答案】2- 【解析】【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z =-，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题. 14.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______．【答案】()11312n -+ 【解析】【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______．【答案】3 【解析】【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+，又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知(2cos ,sin ),(cos ,23)m x x n x x ==，且()f x m n =⋅．（1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC 的面积．【答案】（1）[0,3]（2 【解析】【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解；（2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可得2()2cos23sin cosf x m n x x x=⋅=+1cos223sin2cos23sin212sin2126xx x x xπ+⎛⎫=⨯+=++=++⎪⎝⎭0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin2,162xπ⎛⎫⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴()f x的值域为[0,3]；（2）因为32Af⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin136Aπ⎛⎫⎪⎝+⎭+=，sin16Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭因为0Aπ<<，所以3Aπ=，由余弦定理得：2222cosa b c bc A=+-，即224b c bc=+-∴24()3b c bc=+-，由4b c+=可得4bc=，1sin32ABCS bc A∴==△．【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C-中，12AB AA==，D是BC的中点. （1）求证：1//A B平面1ADC；（2）求三棱锥11C A AD-的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ，可证1A B ∥DM ，即可证明；（2）根据等体积法可转化为1111C A AD D AC A V V --=，即可求其体积. 【详解】证明：（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ,如图，则M 是1A C 的中点，DM 是1A BC 的中位线，所以1A B ∥DM ，又因为1A B ⊄平面1ADC ，MD ⊂平面1ADC ，所以1A B ∥平面1ADC（2）过点作DH AC ⊥，垂足为H ，如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A AD ⊥，又∵DH AC ⊥，1A AAD A =∴CH ⊥平面11ACC A ，32DH =∴111111111332233223CA ADD AC A AC A V V SDH --==⨯=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法，三棱锥的体积，属于中档题. 19.环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO 与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题.其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM 2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）(0,50]优；（2）(50,100]良；（3）(100,150]轻度污染；（4）(150,200]中度污染；（5）(200,300]重度污染；（6）(300,)+∞严重污染.辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图如图，经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：①若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；②该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数12 28 11 6 2 1根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：()2≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005P K kk 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】①710②计算及填表见解析；有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关【解析】【分析】(1)利用分层抽样空气质量优的天气被抽取2天,空气良的天气被抽取3天，分别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果；（2）根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格，得出统计结论.【详解】（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为0.004:0.0062:3=按分层抽样从中抽取5天，则空气质量优的天气被抽取2天，记作1A ，2A ，空气良的天气被抽取3天，记作1B ，2B ，3B ，从这5天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ， ()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共10个，记事件A 为“至少有一天空气质量优”，则事件A 所包含的基本事件有：()11,A B ，()12,AB ，()21,A B ，()22,A B ，()13,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共7个，故7()10P A =，即至少有一天空气质量优的概率为710.（2）限行前空气质量为优良的概率为（0.004+0.006）×50=0.5，则限行前空气质量为优良的天数为180×0.5=90，列联表如下：由表中数据可得22240(90204090) 5.035 3.84118060130110K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题,以及古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆，（1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =转化条件得||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ，由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆，则1212220,2x x x x k +==-+，所以||H G ==，点M 到直线l的距离d=，则||AB =，因为AG BH =，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题.21.已知函数()ln f x x =，()xg x e =.（1）若21()()(1)2h x af x x a x =+-+，a R ∈，求函数()h x 的单调区间；（2）不等式1()12()m m g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+⎪⎣⎦⎝⎭对于0x >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）2m e≥ 【解析】【分析】（1）求出函数的导数(1)()()x x a h x x--'=，对a 分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）不等式恒成立可转化为()()2211ln mxmx exx ++，即()()221ln 1ln mx mxe e xx ++，令()(1)ln (0)F x x x x =+>，研究其单调性即可求解. 【详解】（1）21()ln (1)2h x a x x a x =+-+，(0)x > 2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-++--'=+-+==（ⅰ）当1a >时，增区间为(0,1)和(,)a +∞，减区间(1,)a （ⅱ）当1a =时，增区间(0,)+∞，无减区间（ⅲ）当01a <<时，增区间(0,)a 和(1,)+∞，减区间(,1)a （ⅳ）当0a ≤时，增区间(1,)+∞，减区间(0,1)（2）不等式1()12()m m g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()112ln mxm e x x x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭恒成立 ()()2211ln mx mx e x x +≥+，即()()221ln 1ln mx mx e e x x +≥+，设函数()(1)ln (0)x x x x ϕ=+>，1()1ln x x xϕ'=++， 1()1ln U x x x =++，22111()x U x x x x-'=-=，在(0,1)上，()0U x '<，在(1,)+∞上，()0U x '>，()x ϕ'在（(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0x ϕϕ''≥=，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，所以2mx e x ≥两边取自然对数，得ln 2m x x≥在0x >上恒成立. 设ln ()x F x x =，21ln ()xF x x-'=，在(0,)e 上，()0F x '>，()F x 在(,)e +∞上，()0F x '<，()F x 单调递减，所以1()()F x F e e≤=所以12m e ≥，即2m e≥【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所倍，得曲线2C ．（1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值．【答案】（10y -=，224x y +=（2【解析】【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解；（2）写出直线的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PAPB+=即可得解.【详解】（1）直线l的极坐标方程可化为12cos sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭∴直线l0y -=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),Px y 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>，则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴1111A B A B A B A B A B t t t t PA PBt t t t t t +-+=+====⋅⋅.【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-．（1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【解析】【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>，所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-，所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立，又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-，当且仅当1x ≥时，等号成立. 所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。

2020年辽宁省实验中学高考数学内测模考试卷(文科)(5月份) (含答案解析)

2020年辽宁省实验中学高考数学内测模考试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={0,1，2，3，4}，B ={x|(x +2)(x −1)≤0}，则A ∩B =( )A. {0,1，2，3，4}B. {0,1，2，3}C. {0,1，2}D. {0,1}2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足：(1+i )z =1−i ，则z 在复平面内对应点的坐标为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)3. 若变量x,y 满足约束条件{2x −y ⩾0y ⩾x y ⩾−x +2，则z =2x +y 的最小值为( )A. 0B. 3C. 52D. 83 4. 已知平面向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(4,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则向量5a ⃗ −3b ⃗ =( )A. (−7,−16)B. (−7,−34)C. (−7,−4)D. (−7,14)5. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 11=12，则S 13=( )A. 60B. 78C. 156D. 不确定6. 在△ABC 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a >b 是sinA >sinB 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题：①若α//β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m//l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m//l ，则α⊥β．其中正确的命题是( )A. ①④B. ③④C. ①②D. ②③8. 调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确个数为A. 0个B. 1C. 2D. 3个9. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，在[0,+∞)上单调递减，且f(2−a)+f(1−a)<0，则实数a的取值范围是( )A. (32,2]B. (32,+∞)C. [1,32)D. (−∞,32) 10. 若直线ax −2by −2ab =0(a >0,b >0)平分圆(x −2)2+(y +1)2=2的周长，则a +2b 的最小值为( )A. 1B. 3+2√2C. 4√2D. 5 11. 给出下列命题：①曲线y =sin (2x +2π3)的一个对称中心是(π6,0)；②若α，β是第一象限角，且α>β则sin α>sin β；③函数y =sin (2x 3+π2)是偶函数；④函数y =sin (x +π6)的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数y =sin (2x +π3)的图象．其中正确命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个12. 已知函数f(x)={e x , x <04x 3−6x 2+1, x ⩾0则函数g(x)=2[f(x)]2−5f(x)+2的零点个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某运动队对A ，B ，C ，D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C 或D 参加比赛”；乙说：“是B 参加比赛”；丙说：“是A ，D 都未参加比赛”：丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是________．14.(1)曲线y=−5e x+3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线ι的方程为________．15.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2，上顶点为A，离心率为12，点P为第一象限内椭圆上的一点，若SΔPF1A :SΔPF1F2=2:1，则直线PF1的斜率为________．16.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(sinA−sinC)(a+c)b=sinA−sinB，则角C=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．(1)求证：B1C//平面A1BD；(2)若∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，求三棱锥C1−ABD的体积．18.节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,2602)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)估计用电量落在[220,300)中的概率是多少？19.等差数列{a n}中，a 1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b 1=1，公比为q(q≠1)，且a 1+a 2=12−q，S 2=b 2·q．(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{1S n20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．(1)若QF=2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1=λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=x−1x−alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x−5|．(1)若不等式f(x)≥3恒成立，求a的取值范围；(2)当a=2时，求不等式f(x)≥x2−8x+15的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由B中不等式解得：−2≤x≤1，即B=[−2,1]，∵A={0,1，2，3，4}，∴A∩B={0,1}，故选：D．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：本题主要考查复数的四则运算以及几何意义的应用，属于基础题．利用复数的乘法运算求出z，得到z对应的点即可．解：由z(1+i)=1−i得z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i则复数z在复平面内对应的点为(0,−1)故选B．3.答案：D解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结果．解：作出不等式组对应的平面区域如图：联立{y =−x +2y =2x ⇒{x =23y =43 故C 点的坐标为(23,43)，由z =2x +y ，得y =−2x +z ，平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点C(23,43)时，z 取得最小值83．故选D ． 4.答案：A解析：解：∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =4−2m =0，解得m =2，∴5a ⃗ −3b ⃗ =(5,−10)−(12,6)=(−7,−16)．故选A ．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．5.答案：B解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，则S 13=13(a 1+a 13)2=13×122=78．故选：B ．利用等差数列{a n}的性质可得：a3+a11=12=a1+a13，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：C解析：解：在三角形中，若a>b，由正弦定理asinA =bsinB，得sinA>sinB．若sinA>sinB，则正弦定理asinA =bsinB，得a>b，所以，a>b是sinA>sinB的充要条件．故选：C．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．7.答案：A解析：解：对于①，m⊥α，若α//β，则m⊥β，又l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，m⊥α，若α⊥β，则m//β或m⊂β，又l⊂β，则m//l或m与l相交或m与l异面，故②错误；对于③，m⊥α，l⊂β，若m⊥l，则α//β或α与β相交，故③错误；对于④，m⊥α，若m//l，则l⊥α，又l⊂β，则α⊥β，故④正确．∴正确的命题是①④．故选：A．利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系逐一核对四个命题得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的线面关系，是基础题．8.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，是基础题．利用该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图的性质直接求解．解：在①中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故①正确；在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%，故②正确；在③中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．故③错误．故选C．9.答案：D解析：根据函数是奇函数，且在[0,+∞)单调递减，得到函数在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可得到结论．本题重点考查函数的奇偶性、单调性，考查解抽象不等式，解题的关键是利用函数的性质化抽象不等式为具体不等式．解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，∴函数在R上单调递减，若f(2−a)+f(1−a)<0，则f(2−a)<f(a−1)，∴2−a>a−1，解得a<32．故选D．10.答案：B解析：解：因为直线ax−2by−2ab=0(a>0,b>0)平分圆(x−2)2+(y+1)2=2的周长，所以圆心(2,−1)在直线ax−2by−2ab=0上，所以2a+2b=2ab，即1a +1b=1，∴a+2b=(a+2b)(1a +1b)=1+2+(2ba+ab)≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2，(当且仅当a=√2+1，b=1+√22).故选：B．根据题意得圆心在直线上得1a +1b=1，∴a+2b=(a+2b)(1a+1b)=1+2+(2ba+ab)再用基本不等式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式，属中档题．解析：本题考查正弦余弦函数的性质及函数图象变换，同时考查诱导公式，逐一判断求解即可，属于中档题．解：对于①，因为x=π6时，2x+2π3=π，而(π,0)为正弦函数的对称中心，所以①正确;对于②，取α=390°，β=60°都是第一象限角，且α>β，但sinα<sinβ，所以②错误；对于③，函数y=sin(2x3+π2)=cos2x3是偶函数，所以③正确；对于④，由函数图象变换知，函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数的图象，所以④错误．故选B．12.答案：C解析：本题考查复合函数的零点问题，属于中档题．利用导数研究f(x)的单调性，画出函数图像，最后结合二次函数知识判断零点个数．解：依题意，当x≥0时，f′(x)=12x2−12x=12x(x−1)，所以当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，且f(1)=−1，作出函数f(x)的大致图象，如下图：由g(x)=2[f(x)]2−5f(x)+2得f(x)=2，或f(x)=12，由图可知，g(x)共有四个零点．故选C．解析：本题考查了合情推理的问题，注意“这四位教练中只有两位说的话是对”的之一条件．根据题意，依次假设参赛的运动员为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．解：根据题意，A，B，C，D四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，假设参赛的运动员为A，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的运动员为B，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的运动员为C，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的运动员为D，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的运动员是B；故选B．14.答案：(1)5x+y+2=0(2)x−y−1=0解析：(1)本题考查由导数求函数在某点处的切线方程．先求导数，得切线斜率，再由点斜式求切线方程．解：∵y=−5e x+3，∴y′=−5e x，∴在点(0,−2)处的切线的斜率为k=y′|x=0=−5，∴在点(0,−2)处的切线方程为y+2=−5x，即5x+y+2=0．故答案为5x+y+2=0．(2)本题考查导数得几何意义．设切点为(x0,x0lnx0)，由到导数求出切线的斜率，由点斜式得切线方程，再由过点(0,−1)得x0的值，从而得切线方程．解：∵函数f(x)=xln x，∴f′(x)=1+lnx，设切点为(x0,x0lnx0)，∴函数在点(x 0,x 0lnx 0)处的切线方程为y −x 0lnx 0=(1+lnx 0)(x −x 0)， ∵切线ι过点(0,−1)，∴−1−x 0lnx 0=(1+lnx 0)(−x 0)，解得x 0=1，∴切线方程为x −y −1=0．故答案为x −y −1=0．15.答案：√35解析：本题考查椭圆的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．设出直线方程，利用S △PF 1A ：S △PF 1F 2=2：1，可得A 到直线PF 1的距离是F 2到直线PF 1的2倍，利用椭圆的离心率，即可求得直线PF 1的斜率．解：设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的直线方程为y =k(x +c)，即kx −y +kc =0， ∵S △PF 1A ：S △PF 1F 2=2：1，∴A 到直线PF 1的距离是F 2到直线PF 1的2倍， ∴√k 2+1=2×√k 2+1，∴|−b +kc|=4|kc|， ∵离心率为12， ∴c 2a 2=14， ∴b =√3c ， ∴|k −√3|=4|k|， ∴k =−√33或k =√35， ∵点P 为第一象限内椭圆上的一点， ∴k =√35，故答案为√35．16.答案：π3解析：解：△ABC中，∵(sinA−sinC)(a+c)b =sinA−sinB，∴(a−c)(a+c)b=a−b，∴a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =12，∴C=π3，故答案为：π3．由条件利用正弦定理和余弦定理求得cosC=12，可得角C的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．17.答案：证明：(1)连结AB1，交A1B于点O，连结OD，由题知O为AB1中点，又D为AC中点，∴B1C//OD，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C//平面A1BD．解：(2)∵∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，∴AB=√AC2+BC2−2×AC×BC×cos60°=√3，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，∴BC⊥平面AA1B1B，∵∠A1AB=60°，AB=BB1=AA1，∴AA1=√3，∴S△A1AB =12×AB×AA1×sin∠A1AB=3√34，∴三棱锥C1−ABD的体积：V C1−ABD =V A1−ABD=V D−A1AB=12V C−A1AB=12×13×S△A1AB×BC=√38．解析：(1)连结AB1，交A1B于点O，连结OD，推导出B1C//OD，由此能证明B1C//平面A1BD．(2)三棱锥C1−ABD的体积V C1−ABD =V A1−ABD=V D−A1AB=12V C−A1AB，由此能求出三棱锥C1−ABD的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：(1)依题意，20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1，解得x=0.0075．(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，∴众数为220+2402=230．∵[160,220)的频率之和为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45，∴依题意，设中位数为y，∴0.45+(y−220)×0.0125=0.5.解得y=224，∴中位数为224．(3)由频率分布直方图可知，月平均用电量在[220,330)中的概率是p=1−(0.002+0.0095+0.011)×20=0.55．解析：本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数，考查学生的计算能力，属基础题．(1)由直方图的性质可得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1，解方程可得；(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220,240)内，设中位数为a，解方程0.45+(y−220)×0.0125=0.5可得；(3)月平均用电量在[220,330)中的概率是p=1−(0.002+0.0095+0.011)×20，计算即可．19.答案：解：(1)等差数列{a n}的公差为d，a1+a2=12−q，S2=b2⋅q，∴d=6−q，∴12−q=b1⋅q2．整理得：q2+q−12=0，解得：q=3或q=−4(舍去)，∴d=3，a n=3+3(n−1)=3n，∴b n=3n−1(2)数列{a n}前n项和为S n，S n=(3+3n)n2=3n(n+1)2，1S n=23×1n(n+1)=23(1n−1n+1)，数列{1Sn }的前n项和T n，T n=23[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)]=23(1−1n+1)=2n3(n+1)，数列{1S n}的前n 项和T n =2n3(n+1)．解析：本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．(1)等差数列{a n }的公差为d ，a 1+a 2=12−q ，S 2=b 2⋅q ，求出公比和公差，然后求解通项公式． (2)求出数列{a n }前n 项和为S n ，化简通项公式，利用裂项相消法求和即可．20.答案：解：(1)因为a 2=4，b 2=3，所以c =√a 2−b 2=1，所以F 的坐标为(1,0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，y 1>0,y 2<0，直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+6my −9=0，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4，若QF =2FP ，即y 2=−2y 1，代入上式，有 −y 1=−6m3m 2+4,−2y 12=−93m 2+4，即−2·(6m3m 2+4)2=−93m 2+4，解得m 2=45，又y 1=6m 3m 2+4>0，可得m >0，则m =2√55，故直线l 的方程为√5x −2y −√5=0． (2)根据题意，显然k 1，k 2均不为0．由(1)知，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，所以my 1y 2=−9m 4+3m 2=32(y 1+y 2)，由A(−2,0)，B(2,0)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1=my 1+1，x 2=my 2+1，所以k 1k 2=y12+x 1⋅x 2−2y 2=y 1(my 2−1)y 2(my 1+3)=32(y 1+y 2)−y 132(y 1+y 2)+3y 2=13，故存在常数λ=13，使得k 1=13k 2．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由椭圆方程求出a ，b ，c ，可得F 的坐标.设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程，结合韦达定理以及P ，Q 的纵坐标关系，可得m 的方程，解方程可得m ，进而得到直线l 的方程；(2)运用韦达定理可得my 1y 2=32(y 1+y 2).由A(−2,0)，B(2,0)，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1=my 1+1，x 2=my 2+1，运用直线的斜率公式，化简整理计算可得常数λ的值，即可判断存在．21.答案：解：(1)f ′(x)=1+1x 2−ax =x 2−ax+1x(x >0)，若a ≤0，f ′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；若a >0，令g(x)=x 2−ax +1，当△=a 2−4≤0时，即0<a ≤2时，g(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增．当△=a 2−4>0时，即a >2时，g(x)=x 2−ax +1=0的两根为a±√a2−42，且两根均为正，计算可得x ∈(0,a−√a2−42)，f ′(x)>0，即f(x)在(0,a−√a2−42)上单调递增．x ∈(a−√a 2−42,a+√a 2−42)，f ′(x)<0，即f(x)在(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递减，x ∈(a+√a 2−42,+∞)，f ′(x)>0，即f(x)在(a+√a 2−42,+∞)上单调递增．综上所述，当a ≤2时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，当a >2时，f(x)的单调递增区间为(0,a−√a2−42)，(a+√a 2−42,+∞)，单调递减区间是(a−√a2−42,a+√a 2−42)．(2)由上述可知当a ≤2，f(x)在[1,+∞)单调递增，所以当x ≥1时，f(x)≥f(1)=0符合题意；当a >2时，因为g(1)=2−a <0，则a−√a2−42<1<a+√a 2−42，易知当1<x <a+√a2−42时，f ′(x)<0，即f(x)单调递减，所以f(x)<f(1)=0不符合题意．综上所述，a 的取值范围是(−∞,2]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)f′(x)=1+1x 2−ax=x 2−ax+1x (x >0)，对a 分类讨论，即可得出单调性．(2)由上述可知当a ≤2，f(x)在[1,+∞)单调递增，因此当{1<x <22−x +2x −2>2时，f(x)≥f(1)=0符合题意；当a >2时，因为g(1)=2−a <0，可得a−√a2−42<1<a+√a 2−42，进而判断出是否符合题意．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，消去参数得到x 2+y 2−4x +1=0，根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]，所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．23.答案：解：(1)由于f(x)=|x −a|+|x −5|≥|a −5|，所以f(x)≥3⇔|a −5|≥3，解得a ≤2或a ≥8．(2)f(x)=|x −2|+|x −5|={7−2x,x <23,2≤x ≤52x −7,x >5，原不等式等价于{x <27−2x ≥x 2−8x +15，或{2≤x ≤53≥x 2−8x +15，或{x >52x −7≥x 2−8x +15 解得2≤x ≤5+√3，原不等式解集为{x|2≤x≤5+√3}．解析：(1)问题转化为|a−5|≥3，解出即可；(2)将a=2的值代入，问题转化为关于关于x的不等式组，解出即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

辽宁省2020届高三(5月份)高考数学(文科)押题试卷及答案解析

辽宁省2020届高三（5月份）高考数学（文科）押题试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若复数i z x y =+（x ， R y ∈）满足()1i 3i z +=-，则x y +的值为（） A. 3- B. 4- C. 5- D. 6-2.若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为（）A. 718 B. √23 C. 4−√26 D. 4+√263.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率e ⎤∈⎦时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（） A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π+2，则它的表面积是（）A. (3√132+3)π+√22+2 B. (3√134+32)π+√22+2C.√132π+√22 D.√134π+√225.函数y =sinx +ln |x |在区间[−3,3]的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知函数()()1312,2,2{2,2R,0,2x x x f x a x a a x +-+≤=->∈≠-若()()()635ff f =-，则a 为（） A. 1C.7.执行下图的程序框图，若输入的0x =， 1y =， 1n =，则输出的p 的值为（）A. 81B.812 C. 814 D. 8188.已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a1b 1+a2b 2+a3b 3+⋯+a nb n =12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为（）A. -442B. -446C. -450D. -4549.若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,+∞内单调递增，则实数m 的取值范围为（）A. []0,8B. (]0,8C. ][(),08,-∞⋃+∞ D. ()(),08,-∞⋃+∞ 10.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f′(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是（）A. 函数g(x)图象的对称轴方程为x =kπ−π12(k ∈Z)B. 函数g(x)的最大值为2√2C. 函数g(x)的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y =3x −1平行D. 方程g(x)=2的两个不同的解分别为x 1，x 2，则|x 1−x 2|最小值为π2第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11.向量,a m n =， ()1,2b =-，若向量a ， b 共线，且2a b =，则mn 的值为_________．12.已知点()1,0A -， ()1,0B ，若圆2286250x y x y m +--+-=上存在点P 使0PA PB ⋅=，则m 的最小值为__________．13.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒， 90B ∠=︒， 120C ∠=︒， 90E ∠=︒，3AB =， 3AE =，当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，则BC 的取值范围为三、解答题（题型注释）， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且222cos cos sin sin B C A A B -=. （1）求角C ；（2）若6A π∠=， ABC 的面积为 M 为AB 的中点，求CM 的长.15.如图所示的几何体P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ＝a ，PB ⊥AB ，平面ABCD ⊥平面P AB ，AC ∩BD ＝O ，E 为PD 的中点，G 为平面P AB 内任一点．(1)在平面P AB 内，过G 点是否存在直线l 使OE ∥l ？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A ，C ，E 三点的平面将几何体P —ABCD 截去三棱锥D —AEC ，求剩余几何体AECBP 的体积．16.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..17.已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点2P ⎛ ⎝⎭，动直线l ： y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ， B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.18.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ， 2x （12x x <），证明122x x a +>. 19.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ： 3,{2x cost y sintαα=+=+（t 为参数， 0a >），在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ： 4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ， B 两点，求AB . 20.选修4-5：不等式选讲. 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.参考答案1.C【解析】1.由题意可得： ()()113x yi i y x i i ++=-++=-，则：3{11y x -=+=-，解得： 2{3x y =-=-，则5x y +=-.本题选择C 选项. 2.C【解析】2.分析：利用同角三角函数的基本关系式sin(π4+α)的值，再利用两角差的正弦函数公式即可求解sin[(π4+α)−π4]的值.详解：因为cos(π4+α)=13,0<α<π2，则0<π4+α<π2，且sin(π4+α)=√1−cos 2(π4+α)=2√23，则sin[(π4+α)−π4]=sin(π4+α)cos π4−cos(π4+α)sin π4=2√23×√22−13⋅√22=4−√26，故选C. 3.D【解析】3.由题意可得： [][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ，设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ ，双曲线的渐近线为b y x a =± ，则,46ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择D 选项.4.A【解析】4.由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：V 圆锥=34×13×πa 2×3=34πa 2,V 三棱锥=12a 2×3×13=12a 2 由题意：34πa 2+12a 2=3π+2,∴a =2 ，据此可知：S 底=2aπ×34+12×2×2=3π+2 ，S 圆锥侧=34π×√13×2=3√132π ，S 棱锥侧=12×2√2×√11=√22 ，它的表面积是 (3√132+3)π+√22+2.本题选择A 选项.5.A【解析】5.分析：判断f (x )的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算f (1)的值，结合选项即可得出答案. 详解：设f (x )=sinx +ln |x |，当x >0 时，f (x )=sinx +lnx ⇒f ′(x )=cosx +1x，当x∈(0,1)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上为单调递增函数，排除B ；由当x=1时，f (1)=sin1>0，排除D ；因为f (−x )=sin(−x)+ln |−x |=f (x )=−sinx +ln |x |≠±f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，排除C ，故选A. 6.D【解析】6.由题意可得：()()()()()()()32199463211,314,322255f f f f f f f f a ⎛⎫=-===+===-=- ⎪⎝⎭，解得： a =本题选择D 选项. 7.C【解析】7.依据流程图运行程序，首先初始化数值， 0,1,1x y n === ，进入循环体：1,12y y nx n y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行12n n =+= ，进入第二次循环， 32,22y y n x n y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行13n n =+= ，进入第三次循环，99,24y y n x n y +====，时不满足条件2y x ≥ ，输出814p xy == .本题选择C 选项.8.C【解析】8.{a n }的通项公式为a n =2n −1，由a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=12n 可得{a n b n}的通项进而求出b n 后可得S 5．因为{a n }为等差数列且a 1=1,d =2，故a n =2n −1．又a nb n={12,n =112n−12n−1,n ≥2，也就是a nb n={12,n =1−12n ,n ≥2，所以b n ={2,n =1−(2n −1)2n,n ≥2， S 5=2−12−40−112−288=−450，故选C ．9.A【解析】9.很明显0m ≥，且()'20mf x x m x=+-≥恒成立，即： min2,2m m m x m x x x ⎛⎫≤+∴≤+ ⎪⎝⎭由均值不等式的结论： 2mx x+≥，据此有： 28m m ≤，解得： 08m ≤≤. 本题选择A 选项. 10.C【解析】10.根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的图象知，A ＝2，T 4=2π3−π6=π2，∴T ＝2π，ω=2πT=1；根据五点法画图知，当x =π6时，ωx +φ=π6+φ=π2，∴φ=π3，∴f （x ）＝2sin （x +π3）； ∴f ′（x ）＝2cos （x +π3），∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）＝2sin （x +π3）+2cos （x +π3）＝2√2sin （x +π3+π4）＝2√2sin （x +7π12）；令x +7π12=π2+k π，k ∈Z，解得x =−π12+k π，k ∈Z，∴函数g （x ）的对称轴方程为x =−π12+k π，k ∈Z，A 正确；当x +7π12=π2+2k π，k ∈Z 时，函数g （x ）取得最大值2√2，B 正确；g ′（x ）＝2√2cos （x +7π12），假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x ﹣1平行，则k ＝g ′（x 0）＝2√2cos （x 0+7π12）＝3，解得cos （x 0+7π12）=2√21，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g （x ）＝2，则2√2sin （x +7π12）＝2，∴sin（x +7π12）=√22，∴x +7π12=π4+2k π或x +7π12=3π4+2k π，k ∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x 1，x 2时， |x 1﹣x 2|的最小值为π2，D 正确．故选：C ． 11.-8【解析】11.由题意可得： ()22,4a b ==- 或()22,4a b =-=- ，则： ()248mn =-⨯=- 或()248mn =⨯-=- . 12.16【解析】12.圆的方程即： ()()2243x y m -+-=，设圆上的点P 的坐标为()2cos ,3sin P m m θθ++，则：()()5cos ,3sin ,3,3PA m m PB θθθθ=----=----，计算可得： ()()240PA PB m θϕ⋅=+++=，()sinθϕ+= 11-≤≤，求解关于实数m 的不等式可得： 1636m ≤≤，则m 的最小值为16.13. 【解析】13.由题意可设：BC DE a== ，则：()211189222244ABCDE S a a a a ⎡=⨯⨯+⨯⨯=-∈⎣ ，则：当a = 时，面积由最大值；当a =时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得： BC 的取值范围为.14.（1）6C π∠=.（2）CM =.【解析】14.试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得cos C =.则6C π∠=.(2)利用题意首先求得4a =，然后结合余弦定理可得CM =.试题解析：（1）由22cos cos B C -= 2sin sin A A B ，得22sin sin C B -= 2sin sin A A B .由正弦定理，得222c b a -=-，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-= == 因为0C π<∠<，所以6C π∠=.（2）因为6A C π∠=∠=，所以ABC 为等腰三角形，且顶角23B π∠=.故21sin 2ABCSa B ==2=，所以4a =. 在MBC 中，由余弦定理，得222CM MB BC =+- 2cos MB BC B ⋅= 4162++⨯ 124282⨯⨯=.解得CM =.15.（1）过G 点存在直线l 使OE ∥l ，详见解析（2）38a 3【解析】15.（1）先根据三角形中位线性质得OE ∥PB ，再在平面P AB 内，过G 点作PB 平行线即可，注意讨论点G 在直线PB 上情况，（2）先根据面面垂直性质定理得PB ⊥平面ABCD 以及OE ⊥平面ACD ，再根据锥体体积公式得V 四棱锥P —ABCD 以及V 三棱锥D —AEC ，相减可得结果. (1)过G 点存在直线l 使OE ∥l ，理由如下：由题意知O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以在△PBD 中，OE ∥PB .若点G 在直线PB 上，则直线PB 即为所求的直线l ，所以有OE ∥l ；若点G 不在直线PB 上，在平面P AB 内，过点G 作直线l ，使l ∥PB ，又OE ∥PB ，所以OE ∥l ，即过G 点存在直线l 使OE ∥l .(2)连接EA ，EC ，则平面ACE 将几何体分成两部分：三棱锥D —AEC 与几何体AECBP (如图所示)．因为平面ABCD ⊥平面P AB ，且交线为AB ，又PB ⊥AB ，PB ⊂平面P AB ，所以PB ⊥平面ABCD .故PB 为几何体P —ABCD 的高．又四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ，所以S 四边形ABCD ＝22，所以V 四棱锥P —ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PB ＝132＝12a 3.又OE ∥12PB 且OE =12PB ，所以OE ⊥平面ACD ，所以V 三棱锥D —AEC ＝V 三棱锥E —ACD ＝13S △ACD ·EO ＝14V 四棱锥P —ABCD ＝18a 3，所以几何体AECBP 的体积V ＝V 四棱锥P —ABCD －V 三棱锥D —EAC ＝12a 3－18a 3＝38a 3.16.（1）448.（2）见解析;（3）12P =.【解析】16.试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为B 的概率，然后求解人数约为448人； (2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为12. 试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=，则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=（分），因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ， 3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ， 2ab ， 3ab ， 12b b ， 13b b ， 23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ， 2ab ， 3ab ，共3种情况，故所求概率12P =.17.（1）2212x y +=；（2）22322m k -=.【解析】17.试题分析：(1)由题意求得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. (2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得22322m k -=为定值.试题解析：（1）由题意可知2c a =，所以()222222a c a b ==-，即222a b =，①又点P ⎝⎭在椭圆上，所以有2223144a b +=，② 由①②联立，解得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=.联立方程组22,{1,2y kx m x y =++=消去y 化简整理得()222124220k x kmx m +++-=，由()()22221681120k m m k ∆=--+>，得2212km +>，所以122412kmx x k +=-+，21222212m x x k-=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，整理为()()22121210k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得()22222224101212m km kkm m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 18.（1）见解析;（2）见解析.【解析】18.试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若0a >，则当()0,x a ∈时，数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时， f 函数()f x 单调递增；②若0a =，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增.(2)原问题即证明122x x a +>，构造新函数()()g x f x ='=- 22a x a x +-，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析：（1）由()22ln f x a x x ax=-+-，可知()2'2a f x x a x=-+-=()()2222x a x a x ax a x x+---=.因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以，①若0a >，则当()0,x a ∈时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =，则当()'20f x x =>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0f x >，函数()f x 单调递增. （2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()g x f x ='=- 22a x a x+-，因为()2220a g x x+'=>，所以()()g x f x ='为单调递增函数.所以只需证()1202x x f f a +⎛⎫>='⎪⎭'⎝，即证2121220a x x a x x -++->+，只需证122x x -++ ()12210x x a a+->.（*）又22111ln a x x ax m -+-=， 22222ln a x x ax m -+-=，所以两式相减，并整理，得1212ln ln x x x x --+- ()12210x x a a+-=.把()1221x x a a+-= 1212ln ln x x x x --代入（*）式，得只需证121212ln ln 20x x x x x x --+>+-，可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+<+. 令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t --+<+. 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-++（01t <<），则()()2411t t t ϕ+'=-+ ()()22101t t t -=>+，所以()t ϕ在其定义域上为增函数，所以()()10t ϕϕ<=. 综上得原不等式成立.19.（1）1C ， ()()22232x y a -+-=， 2C ： ()2224x y +-=； []1,5；（2.【解析】19.试题分析：(1)由题意计算可得曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程为()()22232x y a -+-=， ()2224x y +-=； a 的取值范围是[]1,5；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得AB =. 试题解析：（1）曲线1C ： 3,{2,x cost y sint αα=+=+消去参数t 可得普通方程为()()22232x y a -+-=.曲线2C ： 4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为()2224x y +-=.把()2224y x -=-代入曲线1C 的普通方程得： ()22234136a x x x =-+-=-，而对2C 有()22224x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[]1,5.（2）当3a =时，曲线1C ： ()()22329x y -+-=，两曲线交点A ， B 所在直线方程为23x =. 曲线()2224x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以3AB ==.20.（1）[1,1-；图见解析（2）见解析.【解析】20.试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[]1,1-.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件. 试题解析：（1）因为()211f x x x =-++= 3,1,1{2,1,213,.2x x x x x x -<--+-≤≤> 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[]1,1-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=，从而221411a b +=++ ()()22222141171a b a a b ⎛⎫⎡⎤++++= ⎪⎣⎦++⎝⎭()222241215711a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪++≥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦218577⎡⎢+=⎢⎣. 当且仅当()222241111a b a b ++=++时，等号成立，即216a =， 243b =时，有最小值，所以221418117a b+≥++得证.。

2020届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期高考模拟考试数学(文)试题 PDF版

（1）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的 12 月份共 60 天的空气质量进行统计，其结果如下表:
-4-
根据限行前 6 年 180 天与限行后 60 天的数据，计算并填写 2X2 列联表，并回答是否有 95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
参考数据：
参考公式 K 2
）
A． 1
B．2
C．3
D．4
10．已知三棱锥 A—BCD 中，侧面 ABC⊥底面 BCD，△ABC 是边长为 3 的正三角形，△BCD 是直角三角
形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于（）
A． 4 3
B． 32 3
C．12
D． 64 3
11．已知过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长线交抛物线
为底的等腰三角形，
PF2
4
，
C1
的离心率为
3 7
，则 C2 的离心率是
.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答，
（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12 分）
已知 m=（2cosx，sinx），n=（cosx， 2 3 cosx），且 f (x) =m·n．
D．36
6．人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，30~40 分贝是较理想的安静环境，超过
50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝以上的嗓声环境，会严重影响

辽宁省2020届高三高考文科数学模拟试卷(五) Wrod版含答案

数学试卷(文科)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A=，B=，则A B=A.[1，2]B.[1，2)C.(1，2]D.(1，2)2.已知复数z满足z(1+i)=2i，则复数z的虚部是A.1B.一1C.iD.i3.已知向量a=(4，一3) ，b=(一1，2) ，a，b的夹角为θ，则sin θ=A. B. C. D.4.若各项均为正数的等比数列满足a3=3a12a2，则公比q=A.1B.2C.3D.45.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%6.已知a=，b=，c=则A.a b cB.c b aC.b c aD.c a b7.若x，y满足约束条件则z=4x十y的最大值为A. 5B. 1C.5D.68.已知函数f(x) =—asin3x十a十b(a0，x R) 的值域为[一5，3] ，函数g(x) =b cos ax，则g(x)的图象的对称中心为A. B.9.过双曲线C：=1(a0，b0)的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且=0，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为A. B. C.2 D.10.在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，AB=2，AC=3，BAC=120°，D为线段BC上的动点。

若PC与底面ABC所成角为30°，则PD与底面ABC所成角的正切值的最大值为A. B. C. D.11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(一x)，且在[0，十)上是增函数，不等式f(ax+2)f(一1)对于x[1，2]恒成立，则a的取值范围是A.[，]B. [，]C. [，0]D. [0，1]12.已知函数f(x)=恰有一个极值点为1，则实数t的取值范围是A.(]B. (]C. (]D. (]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年辽宁省部分重点中学协作体高考(文科)数学(5月份)模拟试卷 (解析版)

2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．（1，2]C．（0，2]D．（2，+∞）2．已知复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣13．已知a=log0.32，b=2−13，c=20.3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如表：月份1112123广告投入（x万元）8.27.887.98.1利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为y=12x+a，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（）A．100万元B．101 万元C．102万元D．103万元5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．366．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，30～40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有f（x）＝10×lgx1×10−12，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为（）A．10B．100C．1000D．10000 7．函数y＝tan2x图象的对称中心坐标为（）A．（2kπ，0），k∈Z B．（kπ，0），k∈ZC．(kπ2，0)，k∈Z D．(kπ4，0)，k∈Z8．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A．a−221∈Z B．a−215∈Z C．a−27∈Z D．a−23∈Z9．已知函数f（x）={x2−2ax+8，x≤1x+4x+a，x＞1，若f（x）的最小值为f（1），则实数a的值不可能是（）A．1B．2C．3D．410．已知三棱锥A﹣BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，△ABC是边长为3的正三角形，△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，CD＝2，则此三棱锥外接球的体积等于（）A．4√3πB．32π3C．12πD．64π311．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的延长线交抛物线的准线l于点C，若|BC|＝2，|FB|＝1，则|AB|＝（）A．3B．4C．6D．612．已知f（x）=e xx−2t(lnx+x+2x)恰有一个极值点为1，则t的取值范围是（）A．(−∞，14]∪{e6}B．(−∞，16]C．[0，14]∪{e6}D．(−∞，14]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤2y≥0，则2x﹣y的最小值是．14．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，2S n＝a n+1+1，则S n＝．16．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，△PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形，|PF1|＝4，C1的离心率为37，则C2的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分17．已知m→=（2cos x，sin x），n→=（cos x，2√3cos x），且f（x）=m→•n→．（1）求f（x）在[0，π2]上的值域；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(A2)=3，且a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求三棱锥C1﹣A1AD的体积．19．环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题．其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）（0，50]优；（2）（50，100]良；（3）（100，150]轻度污染；（4）（150，200]中度污染；（5）（200，300]重度污染；（6）（300，+∞）严重污染．辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图（如图），经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：（1）若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；（1）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数122811621根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 20．已知椭圆C ：y 2a +x 2b =1（a ＞b ＞0）过点P(√22，1)，F 1（0，﹣1），F 2（0，1）是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为r （r ＞0）的圆，（1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG →=BH →，求圆M 半径r 的取值范围． 21．已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝e x ．（1）若h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ，a ∈R ，求函数h （x ）的单调区间；（2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x)f(x)对于x ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 216+y 22=1，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=√3．若将曲线C 1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的√2倍，得曲线C 2．（1）写出直线l 和曲线C 2的直角坐标方程；（2）设点P （1，0），直线l 与曲线C 2的两个交点分别为A ，B ，求1|PA|+1|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝ln （|x ﹣1|﹣|x +2|﹣m ）．（1）当m ＝2时，求函数y ＝f （x ）的定义域；（2）已知函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．（1，2]C．（0，2]D．（2，+∞）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，∴A∩B＝（0，2]．故选：C．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝1﹣i，得z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i．∴z的虚部为﹣1．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知a=log0.32，b=2−13，c=20.3，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】可以得出log0.32＜0，20.3＞2−13＞0，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵log0.32＜log0.31＝0，20.3＞2−13＞0，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．4．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如表：月份1112123广告投入（x万元）8.27.887.98.1利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为y=12x+a，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（）A．100万元B．101 万元C．102万元D．103万元【分析】先通过表格中的数据算出样本中心点(x，y)，再将其代入回归方程求出a的值，从而得到回归直线方程，然后把x＝9代入，求出y的值即可得解．解：由表格中的数据可知，x=8.2+7.8+8+7.9+8.15=8，y=92+89+89+87+935=90，∵（8，90）在回归方程上，∴90＝12×8+a，解得a＝﹣6，∴回归方程为y=12x−6，把x＝9代入回归方程得，y=12×9−6=102．故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的性质，考查学生的运算能力，属于基础题．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6＝4+a4，则S9＝（）A．18B．24C．48D．36【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4找出首项a1与公差d的关系式求出a5，再代入前n项和的关系式求出S9．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3+a6＝4+a4可得a1+2d+a1+5d＝4+a1+3d，整理得：a1+4d＝4＝a5，所以S9=9(a1+a9)2=9a5＝36．故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题．6．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，30～40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为f （x ）dB ，则有f （x ）＝10×lg x 1×10−12，则90dB 的声音与50dB的声音强度之比为（） A ．10B ．100C ．1000D ．10000【分析】本题根据题干中给出的表达式分别计算出90dB 的声音与50dB 的声音对应的声音强度，然后相比即可计算出结果，得到正确选项．解：由题意，可知当声音强度的等级为90dB 时，有10×lg x 1×10=90，即lg x 1×10−12=9，则x 1×10−12=109，此时对应的强度x ＝109×10﹣12＝10﹣3，当声音强度的等级为50dB 时，有10×lg x 1×10−12=50，即lg x 1×10=5，则x 1×10=105，此时对应的强度x ＝105×10﹣12＝10﹣7， ∴90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为10−310−7=10﹣3﹣（﹣7）＝104＝10000．故选：D ．【点评】本题主要考查已知函数值求对应的x 的值，函数在实际生活的应用，以及指数、对数的运算，考查了转化思想，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 7．函数y ＝tan2x 图象的对称中心坐标为（） A ．（2k π，0），k ∈Z B ．（k π，0），k ∈ZC ．(kπ2，0)，k ∈ZD ．(kπ4，0)，k ∈Z 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用求出结果．解：由于函数y ＝tan X 的对称中心为（kπ2，0）（k ∈Z ），令2x =kπ2，解得x =kπ4，故函数y ＝tan2x 的对称中心为（kπ4，0）（k ∈Z ），故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正切函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A ．a−221∈Z B ．a−215∈Z C ．a−27∈Z D ．a−23∈Z【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，根据输出的a 的条件可得答案．解：由题意，判断框内应该判断a 的值是否同时能被三除余二，被七除余二，即判断a−221是否为整数．故选：A ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．已知函数f （x ）={x 2−2ax +8，x ≤1x +4x +a ，x ＞1，若f （x ）的最小值为f （1），则实数a 的值不可能是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据题意，直接将a ＝1代入，计算函数的最小值为f （2），不合题意，由此即可得出正确选项．解：当a ＝1时，f(x)={x 2−2x +8，x ≤1x +4x+1，x ＞1，则当x ≤1时，f （x ）＝（x ﹣1）2+7≥7＝f （1）；当x ＞1时，f(x)=x +4x +1≥2√4+1=5，当x ＝2时取等号；综上，函数的最小值为f （2），不合题意；结合单项选择的特征可知，实数a 的值不可能为1．故选：A ．【点评】本题考查分段函数最值的求法，作为选择题，采用代值判断的方法能够快速解决问题，是考试中的一项有效方法，应合理运用，本题属于基础题．10．已知三棱锥A ﹣BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD ＝90°，CD ＝2，则此三棱锥外接球的体积等于（） A ．4√3πB ．32π3 C ．12π D ．64π3【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．解：三棱锥A ﹣BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且AM =√32AB =3√32；设三棱锥外接球的球心为O ，则AG =23AM =23×3√32=√3，OG =12CD ＝1，所以三棱锥外接球的半径为R ＝OA =√OG 2+AG 2=√12+(√3)2=2，所以三棱锥外接球的体积为V =4πR 33=4π⋅233=32π3．故选：B ．【点评】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题．11．已知过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC |＝2，|FB |＝1，则|AB |＝（） A ．3B ．4C ．6D ．6【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为M 、N ，通过三角形相似，求解AF ，即可求解．解：设A 、B 在准线上的射影分别为为M 、N ，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若|BC |＝2，|FB |＝1，△BNC ∽△AMC ，可得：BN BC=AM AM+FB+BC=12，可得AF ＝AM ＝3，∴AB ＝AF +FB ＝4，故选：B ．【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，平面几何知识，转化化归的思想方法，属中档题． 12．已知f （x ）=e x x −2t(lnx +x +2x )恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（） A ．(−∞，14]∪{e6}B ．(−∞，16]C ．[0，14]∪{e6}D ．(−∞，14]【分析】先求导数，验证x ＝1是极值点，然后从导函数中分离出x ﹣1，再说明剩余的部分没有变号根即可．解：由已知得f′(x)=e x (1x−1x 2)−2t(1x +1−2x 2)=x−1x 2[e x −2t(x +2)]．显然x ＝1是f ′（x ）的变号零点，即为原函数的极值点，所以只需e x ﹣2t （x +2）≥0在（0，+∞）上恒成立即可．即2t ≤e xx+2（x ＞0）恒成立．令g （x ）=e x x+2（x ＞0），∵g′(x)=e x (x+1)(x+2)2＞0，故g （x ）是增函数，又因为当x →0时，e xx+2→12，所以g （x ）＞12，所以2t ≤12，即t ≤14即为所求．故选：D ．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，最值，以及解决不等式恒成立问题．同时考查学生利用函数思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤2y ≥0，则2x ﹣y 的最小值是 ﹣2 ．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可．解：画出约束条件的可行域如图：由{x −y +1=0y =0解得A （﹣1，0），约束区域的端点的坐标A （﹣1，0），z ＝2x ﹣y 经过可行域的A 时，截距最大，表达式的值最小，代入可知当x ＝﹣1，y ＝0时z 的最小值为﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若l⊥α，l ⊥m ，则m ∥α ．【分析】由l ，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．解：由l ，m 是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．故答案为：若l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α．【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，2S n ＝a n +1+1，则S n ＝12（3n ﹣1+1）．【分析】通过数列的递推关系式，转化求解数列是等比数列，然后求解即可．解：数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，2S n ＝a n +1+1，2S n ﹣1＝a n +1，（n ≥2）所以2a n ＝a n +1﹣a n ，即3a n ＝a n +1，（n ≥2）所以数列{a n }是从第二项起，以1为首项，3为公比的等比数列．2S 1＝a 2+1，可得a 2＝1， n ≥2时：S n =1(1−3n−1)1−3+1=12（3n ﹣1+1）S n ={1，n =112(3n−1+1)，n ≥2，所以S n =12（3n ﹣1+1）．故答案为：12（3n ﹣1+1）．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题，易错题．16．已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的焦点F 1、F 2，点P 是C 1与C 2的一个公共点，△PF 1F 2是一个以PF 1为底的等腰三角形，|PF 1|＝4，C 1的离心率为37，则C 2的离心率为 3 ．【分析】利用离心率的定义，及C 1的离心率e 1=37，|PF 1|＝4，|F 1F 2|＝|PF 2|，可求得|PF 2|＝3，再利用双曲线的离心率e 2=|F 1F 2||PF 1|−|PF 2|，可得结论．解：由题意知C 1的离心率e 1=c 1a 1=2c12a 1=|F 1F 2||PF 1|+|PF2|=37，又|PF 1|＝4，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴|PF2|＝3∴双曲线的离心率e2=|F1F2||PF1|−|PF2|=3故答案为：3【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分17．已知m→=（2cos x，sin x），n→=（cos x，2√3cos x），且f（x）=m→•n→．（1）求f（x）在[0，π2]上的值域；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(A2)=3，且a＝2，b+c＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，根据正弦函数的单调性即可求解．（2）结合（1）可得f（A2）＝1+2sin（A+π6）＝3，进而可得A，由余弦定理可得bc＝4，代入三角形面积公式计算可得答案．解：（1）∵m→=（2cos x，sin x），n→=（cos x，2√3cos x），∴f（x）=m→•n→=2cos2x+2√3sin x cos x＝cos2x+√3sin2x+1＝2sin（2x+π6）+1，∵x∈[0，π2]，2x+π6∈[π6，7π6]，∴sin（2x+π6）∈[−12，1]，∴f（x）＝2sin（2x+π6）+1∈[0，3]．（2）由（1）可知f（x）＝1+2sin（2x+π6），故f（A2）＝1+2sin（A+π6）＝3，解得sin（A+π6）＝1，因为A∈（0，π），A+π6∈（π6，7π6），故可得A+π6=π2，解得A=π3，由余弦定理可得22＝b2+c2﹣2bc cos A，化简可得4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣3bc，解得bc＝4，故△ABC的面积S=12bc sin A=12×4×√32=√3．【点评】本题考查三角函数的性质和余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，涉及平面向量数量积的运算，考查了函数思想和转化思想，属于基础题．18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求三棱锥C1﹣A1AD的体积．【分析】（1）连接A1C，设A1C∩AC1＝M，再连接DM，可得A1B∥DM，由直线与平面平行的判定可得A1B∥平面ADC1；（2）过点D作DH⊥AC，垂足为H，证明DH⊥平面ACC1A1，求出DH=√32．再由等体积法求三棱锥C1﹣A1AD的体积．【解答】（1）证明：连接A1C，设A1C∩AC1＝M，则M是A1C的中点，再连接DM，则DM是三角形A1BC的中位线，∴A1B∥DM，又∵A1B⊄平面ADC1，MD⊂平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；（2）解：过点D作DH⊥AC，垂足为H，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥DH，又DH⊥AC，A1A∩AC＝A，∴DH⊥平面ACC1A1，且DH=√32．∴V C1−A1AD =V D−A1C1A=13S△A1C1A×DH=13×12×2×2×√32=√33．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19．环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机物污染问题．其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数，后者是空气质量等级）：（1）（0，50]优；（2）（50，100]良；（3）（100，150]轻度污染；（4）（150，200]中度污染；（5）（200，300]重度污染；（6）（300，+∞）严重污染．辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从2012年开始考察了连续六年12月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图（如图），经过分析研究，决定从2018年12月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段材料回答以下两个问题：（1）若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是优的概率；（1）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的12月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数122811621根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）利用分层抽样空气质量优的天气被抽取2天，空气良的天气被抽取3天，分别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为：0.004：0.006＝2：3，按分层抽样从中抽取5天，则空气质量优的天气被抽取2天，记作：A1，A2，空气良的天气被抽取3天，记作：B1，B2，B3，从这5天中随机抽取2天，所包含的基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10个，记事件A为“至少有一天空气质量优”，则事件A所包含的基本事件有：：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）共7个，故P（A）=710，即至少有一天空气质量优的概率为710；（2）列联表如下：空气质量优、良空气质量污染总计限行前 90 90 180 限行后 40 20 60 总计130110240由表中数据可得：K 2=240×(90×20−40×90)2180×60×130×110≈5.035＞3.841，所以有95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及古典概型的概率公式，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点P(√22，1)，F 1（0，﹣1），F 2（0，1）是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为r （r ＞0）的圆，（1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG →=BH →，求圆M 半径r 的取值范围．【分析】（1）由椭圆过的点的坐标，及焦点坐标和a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|GH |，由勾股定理求出直线与圆M 的弦长|AB |，由AG →=BH →可得|AG |＝|BH |，即|AB |＝|GH |，可得r 的表达式，再由单调性可得r 的取值范围，当斜率不存在时，求出r 的值，综上所述可得r 的取值范围．解：（1）由题意可得c ＝1且1a 2+12b 2=1，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：y 22+x 2＝1；（2）当直线斜率不存在时，圆M 过原点，符合题意，r =√2，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程{y =kxy 22+x 2=1，整理可得（2+k 2）x 2﹣2＝0，x 1+x 2＝0，x 1x 2=−22+k 2，所以弦长|GH |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√−4x1x 2=√8(1+k 2)2+k2，点M （0，√2）到直线l 的距离d =√2√1+k，所以|AB |＝2√r 2−21+k2，因为AG →=BH →，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上，只需|AG |＝|BH |，即|AB |＝|GH |，所以8(1+k 2)2+k 2=4（r 2−21+k2），所以r 2=2k 4+6k 2+6k 4+3k 2+2=2+2k 4+3k 2+2，因为k 4+3k 2+2≥2，所以0＜2k 4+3k 2+2≤1，所以r 2∈（2，3]，即r ∈（2，√3]．综上所述：圆M 半径r 的取值范围∈[√2，√3]．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查向量线段转化为线段相等，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝e x ．（1）若h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ，a ∈一、选择题，求函数h （x ）的单调区间；（2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x)f(x)对于x ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ＝alnx +12x 2−（a +1）x ，a ∈R ，x ∈（0，+∞）．h ′（x ）=ax +x ﹣（a +1）=(x−a)(x−1)x．对a 分类讨论即可得出单调性．（2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x )f(x)对于x ＞0恒成立，即m （e mx +1）≥2（x +1x ）lnx ，mx （e mx +1）≥（x 2+1）lnx 2，即（e mx +1）lne mx ≥（x 2+1）lnx 2．令F （x ）＝（x +1）lnx （x ＞0），研究其单调性进而可得结论．解：（1）h （x ）＝af （x ）+12x 2−（a +1）x ＝alnx +12x 2−（a +1）x ，a ∈R ，x ∈（0，+∞）．h ′（x ）=ax +x ﹣（a +1）=(x−a)(x−1)x．（i ）a ＞1时，可得函数f （x ）的增区间为（0，1），（a ，+∞），减区间为（1，a ）．（ii ）a ＝1时，可得函数f （x ）的增区间为（0，+∞）．（iii ）0＜a ＜1时，可得函数f （x ）的增区间为（0，a ），（1，+∞），减区间为（a ，1）．（iv ）a ≤0时，可得函数f （x ）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．（2）不等式m[g m (x)+1]≥2(x +1x)f(x)对于x ＞0恒成立，即m （e mx +1）≥2（x +1x）lnx ，mx （e mx +1）≥（x 2+1）lnx 2，即（e mx +1）lne mx ≥（x 2+1）lnx 2．令F （x ）＝（x +1）lnx （x ＞0），F ′（x ）＝1+lnx +1x．令G （x ）＝1+lnx +1x，G ′（x ）=1x −1x 2=x−1x 2，可得：x ＝1时，函数G （x ）取得极小值，G （1）＝2＞0． ∴F ′（x ）＞0，∴F （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴e mx ≥x 2．两边取对数可得：mx ≥lnx 2，即m 2≥lnx x．令H （x ）=lnxx．x ∈（0，+∞）． H ′（x ）=1−lnxx 2，可得x ＝e 时，函数H （x ）取得极大值即最大值． ∴H （x ）≤F （e ）=1e． ∴m 2≥1e．即m ≥2e ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x216+y22=1，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=√3．若将曲线C1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的√2倍，得曲线C2．（1）写出直线l和曲线C2的直角坐标方程；（2）设点P（1，0），直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求1|PA|+1|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）直线l的极坐标方程为2ρcos(θ+π6)=√3．整理得√32ρcosθ−12ρsinθ=√32，转换为直角坐标方程为√3x−y−√3=0．将曲线C1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的√2倍，即{x′=12xy′=√2y 代入曲线C1的方程为x216+y22=1，得到x2+y2＝4．（2）直线l经过点P（1，0）且直线的倾斜角为60°，则直线的参数方程为{x=1+12ty=√32t （t为参数），代入x2+y2＝4，整理得t2+t﹣3＝0，所以t1+t2=−1，．故：1|PA|+1|PB|=|t1−t2t1t2|=|√(t1+t2)2−4t1t2t1t2|=√133．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝ln（|x﹣1|﹣|x+2|﹣m）．（1）当m＝2时，求函数y＝f（x）的定义域；（2）已知函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据真数大于零，分类讨论去绝对值，解含绝对值的不等式即可；（2）函数f（x）的定义域为R，转化为m＜|x+2|﹣|x﹣1|在x∈（﹣∞，+∞）上恒成立；只要m＜[|x+2|﹣|x﹣1|]min即可．解：（1）当m＝2时，解|x﹣1|﹣|x+2|＞2，当x＜﹣2时，得1﹣x﹣（﹣x﹣2）＞2，即3＞2恒成立；∴x＜﹣2；当﹣2≤x＜1时，得1﹣x﹣（x+2）＞2，即x＜−32；∴﹣2≤x＜−32；当x≥1时，得x﹣1﹣（x+2）＞2，即﹣3＞2不成立；综上可得，x＜−3 2；∴定义域为{x|x＜−3 2}．（2）由已知|x﹣1|﹣|x+2|﹣m＞0，即m＜|x+2|﹣|x﹣1|在x∈（﹣∞，+∞）上恒成立；又因为|x+2|﹣|x﹣1|＝﹣（|x﹣1|﹣|x+2|）≥﹣|（x﹣1）﹣（x+2）|＝﹣3；∴m＜﹣3．【点评】本题考查了函数定义域求法和恒成立问题，以及解含绝对值的不等式，属于基础题．。

【精准解析】辽宁省渤大附中、育明高中2020届高三第五次模拟考试数学(文)试题

（）
-3-
A. 6 3
【答案】D
【解析】
B. 2 6 5
C. 15 5
D. 10 5
试题分析：以 D 点为坐标原点，以 DA、DC、 DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直
角坐标系则 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， C1 （0，2，1）
∴ BC1 =（-2，0，1）， AC =（-2，2，0）， AC 且为平面 BB1D1D 的一个法向量．
2
cos
3 2
sin
2
cos
2
sin
sin
2
sin cos 2 sin cos cos 1 2 .
sin sin
sin tan 3
故选：B.
【点睛】本题考查了指数函数过定点，三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力
和综合应用能力.
6.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为
【答案】A 【解析】【分析】
根据循环结构程序框图的运算，求得 k=7 及 k=8 时 s 的值，判断框填入的条件是 s a ，即可得 a 的取值范围.
-4-
【详解】 k 1， s 0 ， ①条件不满足， s 1 ， k 2 ；②条件不满足， s 3 ， k 3 ； ③条件不满足， s 6 ， k 4 ；④条件不满足， s 10 ， k 5 ； ⑤条件不满足， s 15 ， k 6 ；⑥条件不满足， s 21， k 7 ； ⑦条件不满足， s 28 ， k = 8 ；满足条件，退出循环. 21 a 28 .
∴ cosBC1, AC
4 5 8

2020年辽宁省沈阳二中高考数学五模试卷(文科)

2020年辽宁省沈阳二中高考数学五模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 双曲线x 22−y 22=1的左焦点坐标为( ) A. (−2,0) B. (−√2,0)C. (−1,0)D. (−4,0) 2. 设角θ的终边过点(1,2)，则tan(θ−π4)=( )A. 13B. 32C. −23D. −13 3. 已知命题“∃x ∈R ，2x 2+(a −1)x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,3)C. (−3,+∞)D. (−3,1)4. 已知向量a ⃗ =(−12,√32),b ⃗ =(√32,−12)，则下列关系正确的是( )A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗B. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗C. (a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )D. (a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ )5. 在△ABC 中，a =7，c =3，∠A =60°，则△ABC 的面积为( )A. 152√3 B. 154√3 C. 12√3 D. 6√3 6. 函数f(x)=ln(x +1)−2x 的零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (3,4)7. 已知x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0，则y x 的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 在等比数列{a n }中，“a 2>a 1”是“{a n }为递增数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要9. 已知函数y =f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，满足f(x)+f(−x)=0，当x >0时，f(x)=1nx −x +1，则函数y =f(x)的大致图象为( )A. B.C. D.10.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P−ABC的体积为()A. 34√3 B. 94√3 C. 32√3 D. 274√311.已知函数f(x)={1x −x,x<0|lnx|,x>0，则关于x的方程[f(x)]2−f(x)+a=0(a∈R)的实数解的个数不可能是()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=e x−ax有两个零点x1<x2，则下列说法错误的是()A. a>eB. x1+x2>2C. x1x2>1D. 有极小值点x0，且x1+x2<2x0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足方程1−i⋅z=i，则|z|=______．14.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=3,S3=18，则其通项公式a n=______ ．15.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=______．16.在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB//CD，AD⊥DC．(1)AB//平面PCD；(2)AD⊥平面PCD；(3)M是棱PA的中点，棱BC上存在一点F，使MF//PC．正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(Ⅱ)从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；|≤1)≥(Ⅲ)记P(a≤X≤b)表示学生的考核成绩在区间[a,b]的概率，根据以往培训数据，规定当P(|X−85100.5时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．18.已知△ABC的面积为3√3，且内角A、B、C依次成等差数列．(1)若sinC=3sinA，求边AC的长；(2)设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．19.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P−ABFED，且PB=√10．(1)求证：BD⊥PA；(2)求四棱锥P−BFED的体积．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点与抛物线C2：y2=8√2x的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为3−2√2．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．21.已知函数f(x)=xlnx−ax(a>0)．(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数，求实数a的最小值；(2)若∃x1、∃x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α<π)，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M，N两点(异于原点)，求|OM|+|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=x|x−a|，a∈R．(1)若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．(2)若a>0，对∀x，y∈(−∞,a]，都有不等式f(x)≤|y+54答案和解析1.【答案】A【解析】解：双曲线x22−y22=1可得a=b=√2，则c=2，所以双曲线的左焦点坐标(−2,0)．故选：A．利用双曲线的标准方程，直接求解双曲线的左焦点坐标．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：∵角θ的终边过点(1,2)，∴tanθ=21=2，则tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=13，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，两角和差的正切公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵“∃x∈R，2x2+(a−1)x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0“∵“∃x∈R，2x2+(a−1)x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+(a−1)x+12>0“为真命题即2x2+(a−1)x+12>0恒成立∴(a−1)2−4×2×12<0解得−1<a<3故选：B．写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+(a−1)x+12>0恒成立，令判别式小于0，求出a 的范围．本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．4.【答案】C【解析】解：a⃗+b⃗ =(√3−12,√3−12)；∴(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =3−√34−√3−14=2−√32≠0；∴a⃗+b⃗ 不与b⃗ 垂直；∴A错误；(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=−√3−14+3−√34=2−√32≠0；∴a⃗+b⃗ 不与a⃗垂直；∴B错误；又(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=1−1=0；∴(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )；∴C正确．故选：C．可求出a⃗+b⃗ 的坐标，进而可求出(a⃗+b⃗ )⋅a⃗≠0,(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ ≠0，即得出a⃗+b⃗ 与a⃗和b⃗ 都不垂直，从而判断出A，B都错误；容易求出(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，从而判断出(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，即得出C正确．考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量数量积的运算，向量垂直的充要条件．5.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用正弦定理可得sin C，根据大边对大角可求C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cos C，利用两角和的正弦函数公式可求sin B，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a=7，c=3，∠A=60°，∴由正弦定理可得：sinC=c⋅sinAa =3×√327=3√314，∵a>c，C为锐角，∴cosC=√1−sin2C=1314，∴可得：sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12acsinB =12×7×3×4√37=6√3．故选：D ．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点的存在定理，属于基础题．函数f(x)=ln(x +1)−2x 的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：函数f(x)=ln(x +1)−2x 在定义域内为增函数，只有一个零点，∵f(1)=ln2−2<0，f(2)=ln3−1>lne −1=0，即f(1)⋅f(2)<0，∴函数f(x)=ln(x +1)−2x 的零点所在区间是(1,2)，故选：B ．7.【答案】C【解析】解：由约束条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0作出可行域如图，联立{x =1x +y −4=0，解得A(1,3)， ∵z =y x =y−0x−0，如图所示，经过原点(0,0)与A 的直线斜率最大为3，∴y x 的最大值是3．故选：C．由约束条件作出可行域，再由y的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．x本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.【答案】B【解析】解：等比数列{a n}中，−1，1，−1，1，−1，1，…故数列为摆动数列，不为递增数列，当{a n}为递增数列，则a2>a1，所以，“a2>a1”是“{a n}为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．直接利用举例法满足，“a2>a1”的等比数列，不为单调递增数列，进一步利用数列的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：成分条件和必要条件，数列的单调性，列举法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：由f(x)+f(−x)=0得f(−x)=−f(x)，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x>0时，f(x)=1nx−x+1，则f(1)=ln1−1+1=0，f(e)=lne−e+1=1−e+1=−e<0，排除B，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性的对称性以及函数特殊值的符号，利用排除法是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为O，根据条件作出对应的直观图，求出棱锥P−ABC的高和底面边长，计算出锥体的体积即可．本题主要考查三棱锥的体积公式的计算，利用三棱锥和球的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．【解答】解：设球心为M ，三角形ABC 截面小圆的圆心为O ， ∵ABC 是等边三角形，∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30°， ∴P 在面ABC 的投影O 是等边△ABC 的重心(此时四心合一)， ∵PQ 是直径，∴∠PCQ =90°，，，，O 是等边△ABC 的重心，∴OC =23OH ， ∴等边三角形ABC 的高OH =3√32， AC =3√32sin60∘=3，三棱锥P −ABC 体积=13PO ⋅S △ABC =13×3×12×3√32×3=9√34．故选：B ． 11.【答案】A【解析】解：当x <0时，f′(x)=−1x 2−1<0， ∴f(x)在(−∞,0)上是减函数，当x >0时，f(x)=|lnx|={−lnx,0<x <1lnx,x ≥1， ∴f(x)在(0,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，做出f(x)的大致函数图象如图所示：设f(x)=t，则当t<0时，方程f(x)=t有一解，当t=0时，方程f(x)=t有两解，当t>0时，方程f(x)=t有三解．由[f(x)]2−f(x)+a=0，得t2−t+a=0，若方程t2−t+a=0有两解t1，t2，则t1+t2=1，∴方程t2−t+a=0不可能有两个负实数根，∴方程[f(x)]2−f(x)+a=0不可能有2个解．故选A．判断f(x)的单调性，做出f(x)的草图，得出f(x)=t的根的情况，根据方程t2−t+a=0不可能有两个负根得出结论．本题考查了函数单调性的判断，根的存在性判断，一元二次方程的根的个数判断，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：∵f(x)=e x−ax，∴f′(x)=e x−a，令f′(x)=e x−a>0，①当a≤0时，f′(x)=e x−a>0在x∈R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增，不符合题意；②当a>0时，∵f′(x)=e x−a>0，∴e x−a>0，解得x>lna，∴f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增．∵函数f(x)=e x−ax有两个零点x1<x2，∴f(lna)<0，a>0，∴e lna−alna<0，∴a>e，A正确；x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2)，取a=e22，f(2)=e2−2a=0，∴x2=2，f(0)=1>0，∴0<x1<1，∴x1+x2>2，B正确；f(0)=1>0，∴0<x1<1，x1x2>1不一定，C不正确；f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，∴有极小值点x0=lna，由图象观察可得x1+x2<2x0=2lna，D正确．故选：C．13.【答案】√2【解析】解：∵1−i⋅z=i，∴iz=1−i，则z=1−ii =(1−i)(−i)−i2=−1−i，则|z|=√(−1)2+(−1)2=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．14.【答案】3n【解析】解：根据题意得，a1=3，S3=a1+a2+a3=18，∴3a2=18，∴a2=6，∴d=3，∴a n=3+3(n−1)=3n，故答案为：3n．运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．本题考查等差数列的前n项和公式和等差数列的通项公式．15.【答案】17【解析】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故答案为：17．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．16.【答案】(1)(2)【解析】(1)∵AB//CD，AB⊈平面PCD，CD⊆平面PCD，∴AB//平面PCD因此(1)正确(2)∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊥CD，AD⫋平面ABCD，∴AD⊥平面PCD因此(2)正确．(3)假设棱BC上存在一点F，使得MF//PC，则MF，PC共面，而M∉PC，∴M，PC确定唯一的平面MPC即平面PAC．于是F∈平面PAC，但是F∈BC，BC⊆平面ABCD，所以F∈AC，从而F与C重合．这与MF//PC矛盾，假设不成立，因此不存在F满足题意．因此(3)错误．故答案为(1)(2)(1)根据线面平行的判定定理进行判断；(2)根据线面垂直的性质定理进行证明；(3)根据共面的性质进行判断．本题考查的是线面平行和线面垂直的判定，考查平面的基本性质．立体几何中要说明一个命题正确，一般需要进行证明，而说明命题错误可以举反例，也可以用反证法．17.【答案】解：(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件A，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，所以所求概率P(A)约为730(Ⅱ)设从图中考核成绩满足X∈[80,89]的学生中任取2人，至少有一人考核成绩优秀为事件B，因为表中成绩在[80,89]的6人中有2个人考核为优，所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，事件B包含9个基本事件，所以P(B)=915=35；(Ⅲ)根据表格中的数据，满足|X−8510|≤1的成绩有16个，所以P(|X−8510|≤1)=1630=815>0.5，所以可以认为此次冰雪培训活动有效．【解析】(Ⅰ)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；(Ⅱ)结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；(Ⅲ)求出满足|X−8510|≤1的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．18.【答案】解：(1)设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 依次成等差数列， ∴2B =A +C ， ∵A +B +C =180°， ∴B =60°，∵△ABC 的面积为3√3=12acsinB =√34ac ，∴ac =12，∵sinC =3sinA ，由正弦定理可得：c =3a ， ∴解得：a =2，c =6，∴由余弦定理得AC =b =√a 2+c 2−2accosB =√4+36−2×2×6×12=2√7．(2)因为D 为AC 边的中点，所以：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方，可得：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得：|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(c 2+a 2+2a ⋅c ⋅cosB) =14(c 2+a 2+a ⋅c)≥14(2ac +ac)=14×3×12=9，解得BD ≥3，当且仅当a =c 时等号成立，可得BD 的最小值为3．【解析】本题主要考查了等差数列的性质，正余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由A ，B ，C 依次成等差数列，得到2B =A +C ，再由内角和定理求出B 的度数，利用三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理即可计算得解．(2)由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式即可计算得解BD 的最小值．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点． ∴BD//EF ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ，∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，∴BD⊥PA (2)解：设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=4，BH=2，HA=2√3，HO=PO=√3，在RT△BHO中，BO=√BH2+HO2=√7，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO．∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED梯形BFED的面积S=12(EF+BD)⋅HO=3√3，∴四棱锥P−BFED的体积V=13S⋅PO=13×3√3×√3=3．【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(Ⅰ)证明BD//EF，推出EF⊥AC，EF⊥AO，EF⊥PO，即可证明EF⊥平面POA，推出BD⊥PA(2)设AO∩BD=H，连接BO，说明△ABD为等边三角形，求出HO，BO，说明PO⊥BO.然后转化求解四棱锥P−BFED的体积．20.【答案】解：(1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，a>b，且F(2√2,0)，则c=2√2,a−c=3−2√2，又a2=b2+c2，可得a=3,b=1，所以椭圆C1的方程为x29+y2=1；(2)依题意，可得直线PA ，PB 的斜率存在且不为零，不妨设直线PA ：y =k(x −3)，k ≠0，则直线PB ：y =−1k (x −3)，联立{y =k(x −3)x 29+y 2=1，得(1+9k 2)x 2−54k 2x +(81k 2−9)=0，所以3x A =81k 2−91+9k 2⇒x A =27k 2−31+9k 2，则|PA|=√1+k 2⋅61+9k 2，同理可得：|PB|=√1+1k 2⋅61+9⋅1k2=√1+k 2⋅6|k |9+k 2，所以△PAB 的面积S =12|PA||PB|=18(1+k 2)|k |(1+9k 2)(9+k 2) =18(1+k 2)|k |9(1+k 2)2+64k2≤2222=38，当且仅当3(k 2+1)=8|k |时，△PAB 的面积取得最大值38．【解析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．(1)利用已知条件转化求解椭圆的几何量，求解椭圆方程即可；(2)设出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可．21.【答案】解：(1)因f(x)在(1,+∞)上为减函数，故f′(x)=lnx−1(lnx)2−a ≤0在(1,+∞)上恒成立，又f′(x)=lnx−1(lnx)2−a =−(1lnx )2+1lnx −a =−(1lnx −12)2+14−a ，故当1lnx =12，即x =e 2时，f′(x)max =14−a ，所以14−a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14． (2)命题“若∃x 1,x 2∈[e,e 2]，使f(x 1)≤f′(x 2)+a 成立 ”等价于“当x ∈[e,e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a ”，由(1)，当x ∈[e,e 2]时，f′(x)max =14−a ，所以f′(x)max +a =14，问题等价于：“当x ∈[e,e 2]时，有f(x)min ≤14”. ①当a ≥14时，由(1)，f(x)在[e,e 2]上为减函数，则f(x)min =f(e 2)=e 22−ae 2≤14，故a ≥12−14e 2；②当a <14时，由于f′(x)=−(1lnx −12)2+14−a 在[e,e 2]上为增函数，故f′(x)的值域为[f′(e),f′(e 2)]，即[−a,14−a]．(ⅰ)若−a ≥0，即a ≤0，f′(x)≥0在[e,e 2]上恒成立，故f(x)在[e,e 2]上为增函数，于是，f(x)min =f(e)=e −ae ≥e >14，不合题意； (ⅰ)若−a <0，即0<a <14，由f′(x)的单调性和值域知， ∃唯一x 0∈(e,e 2)，使f′(x 0)=0，且满足：当x ∈(e,x 0)时，f′(x 0)<0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0,e 2)时，f′(x 0)>0，f(x)为增函数；所以，f(x)min =f(x 0)=x 0lnx 0−ax 0≤14,x 0∈(e,e 2)，所以，a ≥1lnx 0−14x 0>1lne 2−14e >12−14=14，与0<a <14矛盾，不合题意．综上，得a ≥12−14e 2．【解析】(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出a 的范围即可；(2)问题等价于当x ∈[e,e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a ，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a 的具体范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ(β为参数)，∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4，化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα(t 为参数，0≤α<π)，∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0,2)，也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2，不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，其中θ∈(0,π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)，所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．【解析】本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，属于中档题．(1)曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．(2)由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心(0,2)，则∠MON =π2，设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，则|OM|+|ON|=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．23.【答案】解：(1)f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立，若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12，若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解，综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，当x ∈(−∞,a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54，即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0,5]．【解析】(1)利用f(1)+f(−1)=|1−a|−|1+a|>1，通过a ≤−1，−1<a <1，a ≥1，分别求解即可． (2)要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

辽宁省实验中学2020届高三内测模考文科数学(word版无答案)

辽宁省实验中学2020届高三内测模考文科数学一､选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合2{|4,},{|4,}A x x x R B x x x Z =≤∈=≤∈,则A∩B=().(0,2)AB.[0,2]C.{0,1,2}D.{0,2}2.复数241iz i+=+(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是() A.(3,1)B.(-1,3).(3,1)C - D.(2,4)3.已知x,y 满足约束条件140,0y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩则z=x+2y 的最小值是()A.-8B.-6C.-3D.34.设平面向量(2,1),(0,2),a b ==-则与2a b +垂直的向量可以是() A.(4,-6)B.(4,6).(3,2)C - D.(3,2)5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若6212,5,S a ==则5a =() A.-3B.-1C.1D.36.已知A 是△ABC 内角,则“3sin A =”是“tan 3A =”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知两条直线m,n,两个平面α,β,m//α,n ⊥β,则下列正确的是() A.若α//β,则m ⊥n B.若α//β,则m//β C.若α⊥β,则n//αD.若α⊥β,则m ⊥n8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图､90后从事互联网行业者岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D.互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多9.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)内单调递减,则() A.23(log 3)(log 2)(0)f f f -<< 32.(log 2)(0)(log 3)B f f f <<- C.32(0)(log 2)(log 3)f f f <<-32.(log 2)(log 3)(0)D f f f <-<10.圆2241210x y x y ++-+=关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,则26a b+的最小值是() 16.3A 30.3B 32.3C.D11.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列,把函数f(x)的图象沿x 轴向左平移6π个单位,得到函数g(x)的图象｡关于函数g(x),下列说法正确的是() A.在[,]42ππ上是增函数B.其图象关于直线4x π=-对称C.函数g(x)是奇函数D.当2[,]63x ππ∈时,函数g(x)的值域是[-2,1]12.已知函数32,0(),,0x x x f x lnx x ⎧-≥⎪=⎨->⎪⎩若函数g(x)=f(x)-x-a 有3个零点,则实数a 的取值范围是() A.[0,2) B.[0,1) C.(-∞,2] D.(-∞,1]二､填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.甲､乙两支足球队进行一场比赛,A,B,C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说:“甲队一定获胜.”B 说:“甲队不可能输.”C 说:“乙队一定获胜.”比赛结束后,发现三人中只有一人的判断是正确的,则比赛的结果不可能是_____.(填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个)14.函数ln y xx=的图像在x=1处的切线方程是__.15.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B.若点F 到直线AB ,则该椭圆的离心率为__.16.在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,cos cos tan ,sin sin A CA A C+=+则角A 的取值范围是___.三､解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤,第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22--23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分｡17.(12分)已知四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD ⊥底面ABCD,4BAD=60°,△PAD 是边长为2的正三角形,底面ABCD 是菱形,点M 为PC 的中点.(1)求证:PA ∥平面MDB (2)求三棱锥A-BDM 的体积 18.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?19.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 10214212120,,,S a a a a a a =--+成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列1{}n S 的前n 项和,n T 并求满足1522n T >的最小的n 值.20.(12分)已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,左右焦点分别为12,F F ,离心率为1,2右焦点到右顶点的距离为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B,则1F AB ∆的面积是否存在最大21.(12分)已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈ (1)当b=0时,讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数()()f x g x x=在x 为自然对数的底)时取得极值,且函数g(x)在(0,e)上有两个零点,求实数b 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在22､23两题中任选一题作答,如果多答,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡,上把所选题目对应题号的方框涂黑.22.(10分)在直角坐标系xOy 中,已知点1M C的参数方程为12x ty ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2232cos .θρ=+(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程; (2)设曲线1C 与曲线2C 相交于A,B 两点,求11||||MA MB +的值.23.(10分)设()|1||1|f x x x =-++ (1)求f(x)≤x+2的解集; (2)若不等式|1||21|()||a a f x a +--≥,对任意实数a≠0恒成立,求实数x 的取值范围.。

辽宁省实验高中高三数学第五次模拟考试试题文新人教A版

数学试卷（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．集合2{|},{|1,}A x y x R B y y x x R =∈==-∈，则A B =( )A ．{(B ．{|1z z ≤≤C ．{|1z z -≤≤D ．{|0z z ≤≤2．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若||||a b a b +=-，则0a b ⋅=D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=3．函数22sin ()14y x π=--是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 4．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A B ．12C D 5．设121:log 0;:()12x p x q -<>，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知(2,4)A 、(1,2)B -、(1,0)C ，点(,)P x y 在ABC ∆内部及边界运动，则z x y =-的最大值及最小值分别是( )A ．1,3--B ．1,3-C ．3,1-D ．3,17．抛物线28y x =的焦点到双曲线221124x y -=的渐近线的距离为( )A ．1BC D 8．与圆22(2)1x y +-=相切，且在每坐标轴上截距相等的距离有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条9．函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)f =9，则(8.5)f 等于( )A ．-9B ．9C ．-3D ．010．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于( )A ．13B ．23C 15D 62 11．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为( ) A ．αβγ>> B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>12．已知集合{1,2,3},{1,2,3,4}M N ==，定义函数:f M N →。

2020年5月辽宁省实验中学2020届高三下学期5月模拟考试数学(文)试题及解析

【解析】
分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
【详解】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
【答案】A
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出结果．
【详解】由题意得：复数所对应点的坐标是
本题正确选项：
3.已知x，y满足约束条件，则的最小值是（）
A. 8B. 6C. 3D. 3
【答案】B
【解析】
根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点时，直线的截距最小，从而得到答案.
2020年5月辽宁省实验中学2020届高三下学期5月模拟考试
数学（文）试题
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（共12小题）.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： ,
,所以，故选C．
2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）
A. B. C. D.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：因为， ,所以，即由不能推出，而，，所以 , ，所以，即由可以推出，所以“ ”是成立的必要不充分条件．
7.已知两条直线m，n，两个平面α，β，m∥α，n⊥β，则下列正确的是（）
10.圆关于直线（）对称，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
先对圆的方程进行配方，求出圆心的坐标，根据圆的性质可以得到关于的等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】，所以圆心坐标为：，

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辽宁省实验中学2020届高三下学期学期第下学期五次模拟考试
数学文科试卷
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．．．．．．．
题目要求的．．．．．。

1．已知集合6{|
1}2A x Z x =∈≥+，}4)2
1
(41|{≤≤=x x B ，则=⋂B A （） A ．{|12}x x -≤≤ B ．}2,1,0,1{-
C ．}2,1,0,1,2{--
D ． }2,1,0{
2. 若复数2
8
9
123...910z i i i i =+++++（i 是虚数单位），则在复平面内，z 的共轭复数z 对应的点在第（）象限。

A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
3. 已知a 为正数，则“1a >”是“
21
log 0a a a
-+> ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要
4.数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。

在二进制中，只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数，例如二进制中的数11，转化为十进制的数为3，记作102)3()11(=，则二进制中的位
共102)1111111111(转化为十进制的数为（）
A ．1023
B ．1024
C ．2047
D ． 2048
5. 已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤--≥-+042033022y x y x y x ，则y x z 3-=的最大值为（）
A ．-7
B ．-6
C ．1
D ． 6 6. 用随机试验的方式估算圆周率，可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒，统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒，则可据此试验结果估算圆周率约为（） A ．2.03 B ．3.05 C ．3.14 D ．3.24 7. 如图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的体积为（）
A ．23
B ．
12
C ．13
D ．16
8. 如图的框图中，若输入32
31
=
x ，则输出的i 的值为（）
开始输入x
i=0x=2x-1i=i+1x=0
否
是
输出i 开始
A ．3
B ．4
C ．5
D ． 6
9. 已知实数,x y 满足2
2
1x xy y -+=，则x y +的最大值为（） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2
π
ϕ≤
）的图象与y 轴交于点
，
在y 轴右边到y 轴最近的最高坐标为,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则不等式()1f x >的解集是（） A ．5,66k k π
πππ⎛
⎫
-
+ ⎪⎝
⎭，k Z ∈ B ．5,126k k π
πππ⎛
⎫
-
+ ⎪⎝⎭
，k Z ∈ C ．,6
4k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
，k Z ∈
D ．,12
4k k π
πππ⎛⎫
-
+
⎪⎝
⎭
，k Z ∈ 11. 己知函数()()*2
1
x n
f x n N x x -=∈++的最小值为n a ，最大值为n b ，若n n n c a b =，则数列{}n c 是（）
A ．公差不为零的等差数列
B ．公比不为1的等比数列
C ．常数列
D ．以上都不对
12. 已知函数()422
4x
x
x
x f x k k --=+++，若对于任意的123,,[1,1]x x x ∈-，以
123(),(),()f x f x f x 为长度的线段都可以围成三角形，则k 的取值范围为（）
A ．1(,)2
+∞
B ．1(,)3
+∞
C ．1(,)6
+∞
D ． 1
(
,)12
+∞
第Ⅱ卷(非选择题满分90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填写在答题纸相应位置上。

13. 已知向量()1,1a =-r ，向量()0,1b =r
，则2a b -=r r ______.
14. 若圆:C 2
2
()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是______.
15. 已知球的直径4DC =，A ，B 是该球面上的两点，30ADC BDC ∠=∠=︒，则三棱锥A BCD -的体积最大值是______.
16. 已知抛物线C ：2
y x =上有一动点P ，则动点P 到点(1,0),(1,0)A B -两定点距离之差的取值范围为______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)如图所示，圆锥的侧面积是底面积的2倍，线段AB 为圆锥底面O e 的直径，在底面内以线段AO 为直径作M e ，点P 为M e 上异于点,A O 的动点。

（1）证明：平面SAP ⊥平面SOP ；（2
）已知OS =
S APO -的体积最大时，求点B 到平面SAP 的距离。

18.(本小题满分12分) 已知ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且
(2)tan tan a b B b C -=
（1）求角C ；
（2）若cos cos 2a B b A +=，求2a b +的最大值。

19.(本小题满分12分) 疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务。

运营一段时间后，食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度，从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分，满分100分，同学们打分的分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）从成绩在[)50,70的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)60,70中的概率；（3）若打分超过60分可视为对送餐服务满意，用样本的统计结果估计总体，请估计全年级
有多少同学对送餐服务满意．
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中抛物线C 的方程为2
2y px =，点(2,)Q q 在抛物线C 上，且Q 到抛物线的准线的距离为3。

（1）求抛物线C 的方程，并给出其焦点F 的坐标；
（2）过定点N 且不经过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线AF 与抛物线C 交于点S ，直线BF 与抛物线C 交于点T 。

请问直线ST 的斜率是否为定值？若是，求此定值；若不是，请证明你的结论。

21.(本小题满分12分) 已知函数()ln(1)f x x k x =++，、（1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）若对于任意的0x >，不等式()(8)77x
f x k x e -+≥-，恒成立，求k 的范围。

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ=+，直线1l ：
()6
π
θρ=
∈R ，直线2l ：()3
π
θρ=
∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；
（2）已知直线1l 与曲线C 交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 交于O ，B 两点，求AOB V 的面积．
23.(本小题满分10分)设函数()|21|f x x =-．（1）设
()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；
（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c
a b c
---⋅⋅≥．。